1
GEOMETRIA ESPACIAL
Escola Estadual Samuel Engel
Ministrantes: Camila Machado, Joelson Rolino, Rafaela Fidelis e Rafaela Silva
Nome: ____________________________________________________________ Série: _____________
Data: ____/____/2014.
Aula 1: Arquimedes e a coroa
Você já reparou que quando você entra em uma banheira ou em uma
piscina totalmente cheia, a água
transborda?
Pense em um elefante caindo na piscina. A quantidade de água que
transborda é proporcional ao volume dele. A descoberta desse
princípio foi feita por um grande sábio, em uma situação engraçada.
Foi assim, como conta a lenda:
Era uma vez um rei. E um sábio. O rei se chamava Hierão, e o
sábio, Arquimedes. Os dois viviam em Siracusa, cidade-Estado da
Grécia Antiga. O rei mandou fazer uma coroa todinha de ouro, mas
ouviu uns boatos de que o ourives não tinha usado apenas ouro para
fazer a coroa, e ficou desconfiado. Mas se a coroa era totalmente
dourada, e se parecia muito com ouro puro, como fazer então para ter certeza sem destruí-la?
É aqui que entra o sábio. Arquimedes já era renomado na época e é célebre até hoje por suas
descobertas na matemática, física e por diversas invenções. Arquimedes teve uma importância decisiva no
surgimento da ciência moderna.
A história mais conhecida de Arquimedes é, porém, como dissemos, uma lenda. O rei consultou o
filósofo para resolver o problema da coroa de uma vez por todas – provar se ela era toda de ouro ou não.
Estava o sábio grego, um belo dia, a tomar banho numa banheira, entretido com essa questão. De repente,
ele teve um vislumbre da solução e saiu correndo, nu (!) pelas ruas da cidade, gritando “Eureka, Eureka!”,
que em grego quer dizer “Descobri, descobri!”.
O que ele descobriu foi o que hoje chamamos de "Princípio de Arquimedes" (que se baseia no empuxo
ou impulsão). A partir dele, podemos afirmar: "um corpo imerso em um líquido irá flutuar, afundar ou
ficar neutro de acordo com o peso do líquido deslocado por este corpo". Ou seja, se o peso do líquido
deslocado por um objeto for maior que o peso do corpo, ele irá flutuar. Mas se o peso do objeto for
superior ao peso do líquido deslocado, o corpo irá afundar. Se for igual ficará no meio do caminho, não
afunda nem flutua. E Arquimedes descobriu isso quando tomava banho em sua banheira, quando
percebeu que a quantidade de água que transbordava era igual em volume ao seu próprio corpo.
Assim percebeu como poderia provar a fraude do ourives. Ele observou que blocos de mesma massa,
feitos de prata e de ouro, faziam transbordar diferentes volumes de água: por serem materiais de
densidades diferentes, os blocos não tinham o mesmo tamanho (volume). Então, ele mergulhou numa
bacia cheia de água um bloco de ouro de massa igual à da coroa e mediu o volume de água que
transbordou. Fez a mesma coisa com um bloco de prata. O volume de água que transbordou quando
mergulhou o bloco de ouro era menor que o volume de água quando mergulhou o bloco de prata. Repetiu
a experiência com a coroa e verificou que o volume de água que transbordou era maior que o do bloco de
ouro e menor do que o do bloco de prata. Concluiu que a coroa não era de ouro puro e que o ourives a
tinha feito misturando os metais. Ele usou a densidade para provar que a coroa tinha sido feita com uma
liga (mistura) de ouro e prata. O rei não deve ter ficado lá muito satisfeito com o ourives...
Fonte: http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=946&sid=7
2
Aula 2: Volume do cubo e bloco retangular
Volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupada. Para mensurarmos essa quantidade
devemos compará-la com uma unidade. O resultado dessa comparação será um número que nos fornece a
medida do volume.
Volume do cubo: Um cubo C com aresta n, sendo n um número inteiro, tem volume n3.
Se a aresta desse cubo for um número fracionário , o volume de C é
.
Exercício 1: Qual é o volume do cubo de aresta 2,5 u.m.?
Volume do bloco retangular: O volume de um bloco retangular (paralelepípedo reto) pode ser calculado
analogamente ao do cubo.
a)
b)
Volume:
Comprimento (cm)
Largura (cm)
Altura (cm)
Antiga
16,8
4,8
24
Nova
Exercício 2: Calcule o volume das caixas. Qual caixa é mais vantajosa para a empresa?
Embalagens
19
7
14,5
Volume (cm3)
3
Aula 3: Volume dos sólidos
1. O volume de um paralelepípedo é o produto da área da base pela altura.
2. O volume de um cilindro é o produto da área da base pela altura.
3. O volume de um prisma é o
produto da área da base pela
altura.
4. O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da
altura pela área da base.
5. O volume de um cone é igual a um terço do produto da altura pela área da base.
6. O volume de uma esfera é :
.
4
Aula 4: Exercícios
Exercício 1: Calcule o volume do seguinte prisma de base quadrada, sabendo que
sua altura é
.
Exercício 2: Uma lata de refrigerante tem a forma de um cilindro reto, cuja altura mede
e o diâmetro da base mede
. Vamos usar a aproximação
para
calcular a capacidade da lata.
Exercício 3: Um enfeite de acrílico tem como base um trapézio isósceles (figura ao lado). O
trapézio tem
de altura e suas bases medem
e
. A peça tem
de altura.
Qual é o volume dessa peça?
Exercício 4: A casquinha de sorvete mostrada ao lado tem a forma de um cone com raio da
base
. Determine seu volume sabendo que altura da casquinha é aproximadamente
.
Exercício 5: A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande Pirâmide do
Egito. Sua base tem aproximadamente
de aresta e sua altura é de
.
Qual o volume dessa pirâmide?
Exercício 6: Considere a Terra como uma esfera de diâmetro 12740 km.
Determine seu volume.
Ministrantes: Camila Machado, Joelson Rolino, Rafaela Fidelis e Rafaela Silva
5
ATIVIDADE INVESTIGATIVA
GEOMETRIA ESPACIAL
Escola Estadual Samuel Engel
Ministrantes: Camila Machado, Joelson Rolino, Rafaela Fidelis e Rafaela Silva
Nome: ____________________________________________________________ Série: _____________
Data: ____/____/2014.
1. Observe as figuras planas abaixo e marque com X os polígonos.
2. Considere que cada quadradinho tem área 1. Como é possível calcular a área da figura? Qual é
a área?
3. Duas caixas de madeira serão construídas com as formas e medidas indicadas nas figuras.
a) Em qual delas será usada maior quantidade de madeira?
b) Qual delas tem espaço interno maior?