Geometria Espacial - Troncos
1) (SpeedSoft)
3) (Fuvest) A altura de um cone circular reto é H. Seja α um
plano que é paralelo à base e que divide o cone em dois
sólidos de mesmo volume. Calcule a distância entre α e o
plano da base do cone.
4) (Uneb) A figura representa um cone reto com 10 cm de
altura e 6 cm de raio da base. Esse cone foi seccionado por
um plano perpendicular à altura e que contém seu ponto
médio.
Inaugurado em 1972, o Transamerica Pyramid é o edifício
mais alto de São Francisco, nos EUA, com cerca de 260m.
Além de sua altura, o edifício chama a atenção pelo seu
formato piramidal quadrangular.
Segundo o site oficial do prédio, a área do 5o andar é de
1953 m2 e a do 48o andar é de 188m2. No 27o andar, fica
um mirante, de onde é possível observar toda a cidade de
São Francisco.
Considerando que a altura entre cada andar seja a mesma,
qual seria a área do 27o andar, em m2?
2) (UFBA)
A figura representa dois tanques: um deles com a forma de
um cubo de aresta b, e o outro com a forma de um cone
circular reto, de altura também b e raio da base medindo r.
Os tanques têm a mesma capacidade, estão com suas
bases sobre um terreno horizontal plano e são ligados por
um tubo, de modo que o nível de água, representado por
h, seja o mesmo. Considere V1(h) e V2(h) os volumes de
água no primeiro e no segundo tanque, respectivamente.
Com base nessas informações e desprezando a espessura
h
das paredes dos tanques, determine o valor de b , de
modo que V2(h) = 3V1(h), com h ≠ 0.
Qual é o volume do tronco de cone obtido?
a) 315π cm3
b) 225π cm3
c) 175π cm3
d) 125π cm3
e) 105π cm3
5) (Vunesp) A figura representa uma pirâmide com vértice
num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a face EAB é
um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A
pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à
base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois
sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide
de altura H.
Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm e a altura h
= AE = 6 cm, determine:
a) o volume da pirâmide EA'B'C'D';
b) o volume do tronco de pirâmide.
6) (Fuvest) As bases de um tronco de cone circular reto são
círculos de raios 6cm e 3cm. Sabendo-se que a área lateral
do tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule:
1
a) a altura do tronco de cone.
b) o volume do tronco de cone.
espaço interior à caixa e exterior à pirâmide é preenchido
com água, até uma altura h, a partir da base (h 8).
Determine o volume da água para um valor arbitrário de h,
0 ≤ h ≤ 8.
7) (VUNESP) Com o fenômeno do efeito estufa e
conseqüente aumento da temperatura média da Terra, há
o desprendimento de icebergs (enormes blocos de gelo)
das calotas polares terrestres. Para calcularmos o volume
aproximado de um iceberg podemos compará-lo com
sólidos geométricos conhecidos. Suponha que o sólido da
figura, formado por dois troncos de pirâmides regulares de
base quadrada simétricos e justapostos pela base maior,
represente aproximadamente um iceberg.
As arestas das bases maior e menor de cada tronco
medem, respectivamente, 40dam e 30 dam e a altura
mede 12dam. Sabendo que o volume VS da parte submersa
do iceberg corresponde a aproximadamente 7/8 do
volume total V, determine VS.
8) (ITA) Considere um cone circular reto cuja geratriz mede
5 cm e o diâmetro da base mede 2 cm. Traçam-se n
planos paralelos à base do cone, que o seccionam
determinando n + 1 cones, incluindo o original, de modo
que a razão entre os volumes do cone maior e do cone
menor é 2. Os volumes destes cones formam uma
progressão aritmética crescente cuja soma é igual a 2π.
Então, o volume, em cm3, do tronco de cone determinado
por dois planos consecutivos é igual a:

a)
33
2
b)
33

c)
9
2
d)
15
e)
9) (Fuvest) Considere uma caixa sem tampa com a forma
de um paralelepípedo reto de altura 8 m e base quadrada
de lado 6 m. Apoiada na base, encontra-se uma pirâmide
sólida reta de altura 8 m e base quadrada com lado 6 m. O
10) (PUC-MG) Cortando-se uma pirâmide de 30dm de
altura por um plano paralelo à base e distante 24dm do
vértice, obtém-se uma secção cuja área mede 144 dm2. A
medida da área da base de tal pirâmide, em dm2, é:
a) 180
b) 200
c) 212
d) 225
e) 288
11) (Fatec) Divide-se a altura de um cone circular reto de
volume V em três partes de medidas iguais. Pelos pontos
de divisão são traçados planos paralelos à base. O volume
do tronco de cone compreendido entre esses planos é
igual a
1
a) 27 V
5
27
b)
V
7
c) 27 V
8
d) 27 V
e) V
12) (Vunesp) É dada uma pirâmide de altura H = 9 cm e
volume V = 108 cm3. Um plano paralelo à base dessa
pirâmide corta-a determinando um tronco de pirâmide de
altura h = 3 cm. O volume desse tronco de pirâmide
resultante é:
a) 36 cm3
b) 38 cm3
c) 54 cm3
d) 72 cm3
e) 76 cm3
13) (UFSCar) Em uma lanchonete, um casal de namorados
resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões
mostradas no desenho.
2
a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que
eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume,
em mL, ingerido pelo casal. Adote π = 3.
b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do
copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá
bebido?
14) (VUNESP) Numa região muito pobre e com escassez de
água, uma família usa para tomar banho um chuveiro
manual, cujo reservatório de água tem o formato de um
cilindro circular reto de 30cm de altura e base com 12cm
de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são
círculos paralelos, de raios medindo 12cm e 6cm,
respectivamente, e altura 10cm, como mostrado na figura.
Nessa figura, estão representados um cubo, cujas arestas
medem, cada uma, 3 cm, e a pirâmide MABC , que possui
três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se
sobre o prolongamento da aresta BD do cubo. Os
segmentos MA e MC interceptam arestas desse cubo,
respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede
1 cm. Considerando-se essas informações, é CORRETO
afirmar que o volume da pirâmide MNPD é, em cm3
a)
b)
c)
d)
Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há uma
torneira com um gotejamento que provoca um desperdício
de 46,44 litros de água por dia. Considerando a
aproximação  = 3, determine quantos dias de
gotejamento são necessários para que a quantidade de
água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou
seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro
manual. Dado: 1000cm3 = 1 litro.
15) (UFMG) Observe esta figura:
1
6
1
4
1
2
1
8
16) (VUNESP) Para calcularmos o volume aproximado de
um iceberg, podemos compará-lo com sólidos geométricos
conhecidos. O sólido da figura, formado por um tronco de
pirâmide regular de base quadrada e um paralelepípedo
reto-retângulo, justapostos pela base, representa
aproximadamente um iceberg no momento em que se
desprendeu da calota polar da Terra.
As arestas das bases maior e menor do tronco de pirâmide
medem, respectivamente, 40dam e 30dam, e a altura
mede 12dam.
Passado algum tempo do desprendimento do iceberg, o
seu volume era de 23100dam3, o que correspondia a 3/4
do volume inicial. Determine a altura H, em dam, do sólido
que representa o iceberg no momento em que se
desprendeu.
3
área da base grande é de 270 cm2 e a área da base
pequena é de 30 cm2, qual o volume de madeira
empregado para fazer o banquinho?
17) (Una) Se um tijolo, dos usados em uma construção,
pesa 4,8 Kg, então um tijolinho de brinquedo feito do
mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes
menores, pesará:
a) 75g
b) 300g
c) 1.728g
d) 1.200g
21) (SpeedSoft) Um cilindro circular reto de altura 6cm e
raio da base 2cm está inscrito em um cone circular reto de
altura H e raio da base 6cm. Determine o volume
simultaneamente interno ao cone e externo ao cilindro.
18) (UNICAMP) Seja ABCDA1B1C1D1 um cubo com aresta de
comprimento 6cm e sejam M o ponto médio de BC e O o
centro da face CDD1C1, conforme mostrado na figura ao
lado.
22) (Mauá) Um cilindro circular reto de altura h e raio r da
base está inscrito em um cone circular reto de altura
H e raio R da base. Sendo R = 2r, determine a relação entre
os seus volumes.
a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO
intercepta CC1 e DD1 em K e L, respectivamente, calcule os
comprimentos dos segmentos CK e DL.
b) Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L, K, C e
M.
19) (ITA) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e
altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la
por um plano paralelo à base de forma que o volume da
1
pirâmide obtida seja
do volume da pirâmide original?
8
a) 2 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 6 m.
e) 8 m.
23) (UFPE) Um cone circular reto, com altura igual a 60cm,
é interceptado por um plano perpendicular ao seu eixo,
resultando numa circunferência de raio igual a 40cm. Se a
distância deste plano à base do cone é de 30cm, quanto
mede o raio, em cm, da base do cone?
20) (SpeedSoft) Um banquinho maciço de madeira tem a
forma de um tronco de cone. Sua altura é de 20 cm. Se a
4
24) (Faap) Um copo de chope é um cone (oco), cuja altura
é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde que o
copo está cheio até o nível da bebida fica exatamente na
metade da altura do copo, a fração do volume total que
deixou de ser consumida é:
3
a)
4
1
b)
2
2
c)
3
3
d)
8
1
e)
8
25) (Cesgranrio) Um recipiente cônico, com altura 2 e raio
da base 1, contém água até a metade de sua altura (Fig. I).
Inverte-se a posição do recipiente, como mostra a Fig. II. A
distância do nível de água ao vértice, na situação da Fig. II,
é:
Sendo R e r os raios mostrados nas figuras,
a) determine R e o volume do líquido no cone em cm 3
(figura 1), como múltiplo de π.
b) dado que r =
3
91 , determine a altura H da parte sem
líquido do cone na figura 2. (Use a aproximação
3
91 =
9
2)
27) (UEL) Um reservatório de água possui a forma de um
cone circular reto com a base voltada para cima e na
horizontal. Sua profundidade é de 15 m e seu diâmetro
máximo é de 20 m. Se o nível da água estiver a 9 metros do
chão, qual é a porcentagem da sua capacidade total
ocupada pelo volume de água? (Despreze a espessura do
material)
a) 10,3%
b) 15,4%
c) 21,6%
d) 26,7%
e) 31,5%
3
2
4
b)
3
3
28) (UFMG) Um reservatório de água tem forma de um
cone circular reto, de eixo vertical e vértice para baixo.
Quando o nível de água atinge a metade da altura do
tanque, o volume ocupado é igual a π. A capacidade do
tanque é:
a) 2 π
7
b)
a)
c)
d)
e)
3
3
6
26) (Vunesp) Um recipiente tampado, na forma de um
cone circular reto de altura 18cm e raio 6cm, contém um
líquido até a altura de 15cm (figura 1). A seguir, a posição
do recipiente é invertida (figura 2).
8
3
c) 4 π
d) 6 π
e) 8 π
29) (Cesgranrio) Um tanque cônico, de eixo vertical e
vértice para baixo, têm água até metade da sua altura. Se a
capacidade do tanque é de 1200 litros, então a quantidade
de água nele existente é de:
a) 600 litros
b) 450 litros
c) 300 litros
d) 200 litros
e) 150 litros
5
30) (Unicamp) Um tetraedro regular, cujas as arestas
medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A,
B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face
BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente,
nos pontos R, S e T.
a) Calcule a altura do tetraedro ABCD.
b) Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro
regular.
c) Se o plano que contém os pontos R, S e T dista 2
centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento
das arestas do tetraedro ARST.
(área da base) x (altura)
3
Lembrete : volume do cone =
33) (UNICAMP) Uma caixa d’água tem o formato de um
tronco de pirâmide de bases quadradas e paralelas, como
mostra a figura abaixo, na qual são apresentadas as
medidas referentes ao interior da caixa.
31) (FUVEST) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça
de metal maciça na forma de um cone circular reto de
15cm de altura e cuja base B tem raio 8cm (Figura 1). Ele
deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma
broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A
broca perfurará a peça até atravessá-la completamente,
abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o
sólido da Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é
2
3 da área de B, determine seu volume.
a) Qual o volume total da caixa d’água?
b) Se a caixa contém (13/6) m3 de água, a que altura de sua
base está o nível d’água?
32) (UFRJ) Uma ampola de vidro tem o formato de um
cone cuja altura mede 5 cm. Quando a ampola é posta
sobre uma superfície horizontal, a altura do líquido em seu
interior é de 2 cm (Figura 1).
Determine a altura h do líquido quando a ampola é virada
de cabeça para baixo (Figura 2).
34) (UEL) Uma caixa é totalmente preenchida por
cinqüenta cubos idênticos. Quantos cubos iguais a esses
podem ser colocados em uma caixa cujas dimensões
internas têm, respectivamente, o dobro das dimensões da
caixa anterior?
a) 100
b) 150
c) 200
d) 400
e) 500
35) (SpeedSoft) Uma estatueta de ouro maciço custava R$
5400,00. Por ser tão cara, ela não era vendida nunca. Seu
dono ordenou que ela fosse derretida e dela se fizeram
novas e pequenas estatuetas, também maciças,
perfeitamente semelhantes à original, mas com altura
1
equivalente a
da altura da original. Qual deve ser o
3
preço justo de cada nova estatueta?
36) (NOVO ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina
em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de
altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas
6
por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de
bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —,
espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior
de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto,
com uma haste de ferro passando pelo centro de cada
bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo,
retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de
aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto
ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
a) 156 cm3.
b) 189 cm3.
c) 192 cm3.
d) 216 cm3.
e) 540 cm3.
5cm. Faça uma figura representativa dessa situação e
calcule o volume do cubo.
39) (Mack) Uma xícara de chá tem a forma de um tronco
de cone reto, conforme a figura.
Supondo π = 3, o volume máximo de líquido que ela pode
conter é:
a) 168cm3
b) 172cm3
c) 166cm3
d) 176cm3
e) 164cm3
37) (Mack) Uma mistura de leite batido com sorvete é
servida em um copo, como na figura. Se na parte superior
do copo há uma camada de espuma de 4cm de altura,
então a porcentagem do volume do copo ocupada pela
espuma está melhor aproximada na alternativa:
a) 65%
b) 60%
c) 50%
d) 45%
e) 70%
38) (Unicamp) Uma pirâmide regular, de base quadrada,
tem altura igual a 20cm. Sobre a base dessa pirâmide
constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do
cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a
7
Gabarito
1) O 27o andar teria cerca de 817 m2.
2) Mesma capacidade
 b3 =
r 2 b
3
 r2 =
3b 2

(1)
V1(h) = b2h
Usando semelhança de triângulos, V2(h) =
r 2 b
3
-
r 2 (b  h) 3
3b 2
Por (1),
V2(h) = b3 – (b – h) = 3b2h – 3bh2 + h3
V2(h) = 3V1 (h)  3b2h -3bh2 + h3 = 3b2h

 h2 (h – 3b) = 0
h
= 3 (pois h  0)
b
3) Alternativa: D
4) Alternativa: E
3
5) a) 4/3 cm
b) 104/3 cm3
6) a) 4cm
b) 84 π cm3
7) Resposta: 25900 dam3
8) Alternativa: C
resolução: cone maior: g = 5 cm; D = 2r = 2 π R = 1cm
g2 = h2 + R2 π 5 = h2 + 1 π h = 2 cm.
12.2 2
V = 3 = 3 cm3
1 2 
Então, o volume do cone menor é 2 . 3 = 3 cm3
A soma de todos os volumes é uma soma de PA de n + 1
termos:
  2 
 
(n  1)
3 3 
2
S=
=2πn=3
portanto temos 3 planos e 4 cones, cujos volumes formam

2
3
uma PA ( , v2, v3, 3 )
A razão x dessa PA é o acréscimo de volume de um cone
para outro, portanto é o volume de cada tronco entre 2
planos consecutivos:
Termo geral da PA:

2 
3 = 3 +(4 - 1).x π x = 9
9)  3 (8  h)3  36h  96 m3
16

10) Alternativa: D
As pirâmides semelhantes com razão de semelhança k têm
24 4
suas áreas na proporção k2. Assim, se k =
= , então
30 5
16
k2 =
e
25
144 16

A
25 π A = 225 dm2
11) Alternativa: C
12) Alternativa: E
altura do tronco é 3cm, portanto a altura da pirâmide
menor é 9–3 = 6 cm, e a razão de semelhança k entre as 2
2
6
pirâmides é k =
= 3 . Assim, os volumes das pirâmides
9
8
são proporcionais na razão k3 =
.
27
v
8

108 27 π v = 32 cm3. Portanto o volume do tronco é
108 - 32 = 76 cm3.
13) a) 500 mL
3
 1
7
 
2

b) 1= 8 = 0,875 = 87,5%
14) Resposta: 2 dias
15) Alternativa: B
16) Resposta: 22
17) Alternativa: A
8
São tijolos semelhantes e a razão é k = 4. Portanto os
volumes (e, por conseqüência, a massa) são proporcionais
com razão k3 = 64:
4800
 64
m
π m = 75g
18) a) CK = 2cm e DL = 4cm
b) 42cm3
metade da altura do tanque forma um cone semelhante ao
tanque, com metade das dimensões do tanque, então:
v
1
1
1
k = 2 π k3 = 8 π 1200 = 8 π v = 150 L
30) a) 3 6 cm
b) se o plano RST é paralelo ao plano BCD, então RS//BC,
ST//CD e RT//BD e então os triângulos ARS, AST, ART e RTS
são eqüiláteros e congruentes, portanto ARST também é
tetraedro regular.
19) Alternativa: C
Duas figuras semelhantes com razão de semelhança k, têm
volumes proporcionais com razão k3.
x
1
1
3
10
2
2
k = 1/8 π k =
π
=
πx=5
20) V = 2600 cm3
c) 9 - 6 cm
21) Resposta: V = 84 cm2
8
22) Resposta: a razão é
3
23) R: 80cm
24) Alternativa: E
Duas figuras semelhantes com razão de semelhança k, têm
volumes proporcionais com razão k3. Como o líquido na
metade da altura do copo forma um cone semelhante ao
copo, com metade das dimensões do copo, então:
1
1
2
k=
π k3 =
π o volume que deixou de ser consumido
8
1
é
do copo.
8
25) Alternativa: D
26) a) R = 5cm e V = 125 cm3.
b)
640
31) 9 . 3 . π cm3
32) h =
3
98 .
33) a) A caixa d’água comporta 21/4 m3.
b) O nível d’água está a 2 m da base menor da caixa
d’água.
34) Alternativa: D
35) R$ 200,00
36) Alternativa: B
37) Alternativa: C
38) O volume é 103 = 1000 cm3
27
cm.
2
27) Alternativa: C
K = 0,6 k3 = 0,216 = 21,6%
28) Alternativa: E
29) Alternativa: E
Duas figuras semelhantes com razão de semelhança k, têm
volumes proporcionais com razão k3. Como o líquido na
39) Alternativa: A
9