Teoria da Partilha Equilibrada
Métodos de Divisão
Proporcional
Um pouco de história…
“No verão de 1787 em Philadelphia, delegados de treze estados encontraramse para planearem a constituição para a nova nação.
Os estados mais pequenos liderados por New Jersey, queriam que todos os
estados tivessem o mesmo número de representantes e os estados maiores
liderado por Virgínia, exigiam uma forma de representação proporcional.
A resolução final de disputa foi:
. um senado
. uma casa de representantes, onde cada estado obtém um
nº de representantes em função do seu nº populacional.
Artigo 1, secção 2 e 3 da constituição E.U.
Teoria da Partilha Equilibrada
Divisão proporcional
É o processo de dividir objectos iguais e
indivisíveis por um determinado número de
participantes, recebendo cada um partes
desiguais consoante uma determinada situação.
Teoria da Partilha Equilibrada
Os resultados das eleições autárquicas de 2001 para a
Câmara Municipal de Coimbra, estão traduzidos na tabela
seguinte, onde num universo de 72690 eleitores, existiam
11 mandatos para serem divididos pelos vários partidos,
consoante o número de votos atribuídos a cada um.
Partidos
Votos
PSD/PP/PPM
38335
PS
22512
CDU
9611
B.E.
1385
PCTP/MRPP
587
P.H.
260
In Diário Coimbra 17/12/2001
Teoria da Partilha Equilibrada
Calcular a razão entre a população
total e o número de mandatos a
distribuir de modo a obter o número de
votos necessários para conseguir um
mandato.
Este número é chamado divisor
standard.
Divisor Standard =
População Total
# de Mandatos
Teoria da Partilha Equilibrada
Fazendo a razão entre o número de votos de
cada partido e o Divisor standard iremos obter o
número total de mandatos a que cada partido fica
habilitado.
Este número é chamado quota.
População de cada Partido
Quota=
Divisor Standard
Teoria da Partilha Equilibrada
Quota
Quota Máxima
Quota Mínima
(quota arredondada por excesso)
(quota arredondada por defeito)
Teoria da Partilha Equilibrada
 Um método de divisão proporcional que, a cada
estado faz corresponder sempre um número de
lugares igual à quota máxima ou à quota mínima dizse que está de acordo com regra da quota.
 Se no método de partilha, a um estado for dado um
número de lugares diferente da quota máxima ou da
quota mínima, diz-se que o método viola a regra da
quota.
Teoria da Partilha Equilibrada
Métodos de divisão proporcional
• Método de Hamilton
Passo 1: Calcular o divisor standard;
Passo 2: Para cada estado, calcular a quota;
Passo 3: Atribuir a cada estado a sua quota mínima;
Passo 4: Dividir os lugares sobrantes (um a um) pelos
estados, por ordem decrescente das partes decimais das
suas quotas.
Teoria da Partilha Equilibrada
Coimbra- câmara municipal
Votantes-72690
Partidos
Mandatos-11
Votos
Divisor standard = 72690 / 11 = 6608.18
(Passo 1)
Quota
(Passo2)
Quota
mínima
(Passo3)
Parte
decimal
Votos extra
(Passo4)
Divisão
final
(mandatos)
PSD/PP/PPM
38335
5.801
5
0.801
PS
22512
3.406
3
0.406
CDU
9611
1.454
1
0.454
BE
1385
0.209
0
0.209
0
PCTP/MRPP
587
0.088
0
0.088
0
PH
260
0.039
0
0.039
0
TOTAL
72690
11
9
2
11
Teoria da Partilha Equilibrada
1
6
3
1
2
Resumo da tabela
 Pelo menos cada partido consegue um número de
mandatos igual à sua quota mínima.
 Alguns partidos podem ter direito a mais um mandato,
ficando assim com um número de mandatos igual à sua
quota máxima.
 Um partido nunca fica com um número de mandatos
inferior à sua quota mínima ou superior à sua quota máxima.
 Neste sentido dizemos que o método Hamiltoniano não
viola a regra da quota.
Teoria da Partilha Equilibrada
Paradoxo de Alabama
Um incremento no número total de
lugares a serem distribuídos, obriga a que
um estado perca um lugar.
A descoberta do Paradoxo de Alabama em
1880 foi o beijo de morte do método.
Teoria da Partilha Equilibrada
 Depois dos sensos de 1880, o chefe dos sensos U.S. concluiu
que se a casa dos representantes tivesse 299 lugares para serem
distribuídos, Alabama conseguiria 8 lugares, enquanto que se a
casa tivesse 300, Alabama conseguiria apenas 7.
Estado
Quota M=299 Divisão M=299 Quota M=300 Divisão M=300
Alabama
7.64
8
7.671
7
Texas
9.64
9
9.672
10
Illinois
18.64
18
18.70
19
O método hamiltoniano e o paradoxo de Alabama, 1880
Teoria da Partilha Equilibrada
Explicação
Incrementando o número de lugares a ser partilhado, a
quota de cada estado sobe;
Pode mudar a parte decimal de cada uma;
Os lugares extra a serem ganhos irão ser distribuídos
consoante as novas casas decimais.
Teoria da Partilha Equilibrada
Paradoxo da população
Um aumento na população de um
estado, pode obrigar o estado a perder
um lugar.
O paradoxo da população foi descoberto por volta
de 1900, quando se mostrou que um estado podia
perder um lugar na casa dos representantes,
devido a um aumento na sua população.
Teoria da Partilha Equilibrada
No ano 2525, cinco planetas criaram uma federação intergaláctica,
onde existiam 50 lugares para serem ocupados por delegados dos 5
planetas.
Federação intergaláctica: divisão de 2525 (divisor standard = 900 / 50 = 18)
Planeta
População
Quota
(biliões) (população/18)
Quota
mínima
Parte
decimal
Lugares
extra
Divisão
Final
Alanos
150
8.3
8
0.3
8
Betta
78
4.3
4
0.3
4
Conii
173
9.61
9
0.61
Dugos
204
11.3
11
0.3
Ellisium
295
16.38
16
0.38
1
17
TOTAL
900
50
48
2
2
50
Teoria da Partilha Equilibrada
1
10
11
Dez anos mais tarde...
Federação intergaláctica: divisão de 2535 (divisor standard = 909 / 50 = 18.18)
Planeta
População
Quota
(biliões) (população/18.18)
Quota
mínima
Parte
decimal
Lugares
extra
Divisão
Final
Alanos
150
8.25
8
0.25
8
Betta
78
4.29
4
0.29
1
5
Conii
181
9.96
9
0.96
1
10
Dugos
204
11.22
11
0.22
11
Ellisium
296
16.28
16
0.28
16
TOTAL
909
50
48
2
2
50
_ Ellisium, cuja população cresceu 1 bilião, perdeu um lugar para Betta cuja
população se manteve. !?!
Teoria da Partilha Equilibrada
Paradoxo do novo estado
Quando um estado novo, com direito a um
determinado número de lugares na casa dos
representantes (baseado na sua população), adere ao
congresso, depois de recalculada a distribuição, o
número de lugares por estado pode ser alterado.
O paradoxo do novo estado foi descoberto em 1907 quando
Oklahoma se tornou um estado. Com a entrada do novo estado,
era esperado manter o número de lugares ocupados pelos outros
estados. No entanto, quando a partilha foi recalculada, Maine
ganhou um lugar e New York perdeu um lugar.
Teoria da Partilha Equilibrada
Num determinado distrito, existem 100 psicólogos para
serem distribuídos por duas escolas A e B, com
respectivamente 1045 e 8950 alunos, usando o método de
Hamilton
Alunos-10000
Divisor standard = 10000 / 100 = 100
Alunos
Quota
Quota
mínima
Parte
decimal
Divisão
final
A
1045
10.45
10
0.45
10
B
8955
89.55
89
0.55
90
TOTAL
10000
100
99
1
100
Escola
Suponhamos que, nesse mesmo distrito, abre uma nova escola C (525
alunos) com direito a 5 psicólogos.
Teoria da Partilha Equilibrada
Recalculando a partilha…
Alunos-10525
Divisor standard = 10525 / 105 = 100.238
Alunos
Quota
Quota
mínima
Parte
decimal
Divisão
final
A
1045
10.425
10
0.425 (1)
11
B
8955
89.337
89
0.337
89
C
525
5.239
5
0.239
5
TOTAL
10525
105
104
1
105
Escola
… verificamos que a escola B perde um psicólogo para a escola A
Teoria da Partilha Equilibrada
Conclusão
O método hamiltoniano deixa margem para dúvidas e,
apesar de ainda ser utilizado em países como Costa
Rica e Suécia, está realmente longe de ser um método
correcto de divisão proporcional.
Teoria da Partilha Equilibrada
• Para introduzir o método de Jefferson, tivemos que eliminar o
passo 3 do método de Hamilton, de modo que depois de,
dividirmos o número de habitantes por defeito, terminássemos
sem lugares excedentes.
• Necessitamos de usar um divisor, diferente do divisor
standard, para obtermos novas quotas. Obtemos este novo
divisor por erro e tentativa, de modo que, a soma das novas
quotas arredondadas por defeito, nos dê o número exacto de
lugares a serem divididos.
• A este novo divisor chamamos Divisor Modificado e
às novas quotas, Quotas Mínimas Modificadas.
Teoria da Partilha Equilibrada
MÉTODO DE
JEFFERSON
Passo 1: Encontrar o divisor modificado, de
modo que as quotas modificadas
arredondadas por defeito somem o número
exacto de lugares a serem distribuídos.
Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota
mínima modificada.
Teoria da Partilha Equilibrada
Vejamos o seguinte exemplo
Estado
População
Quota
Quota
mínima
A
1,646,000
32.92
32
B
6,936,000
138.72
138
C
154,000
3.08
3
D
2,091,000
41.82
41
E
685,000
13.70
13
F
988,000
19.76
19
Total
12,500,000
250.00
246
Tabela 1: República do Parador
Cálculos usando o divisor standard = 50,000 (12,500,000/250)
Teoria da Partilha Equilibrada
Estado
População
Quota
Quota
Modificada
Quota
Mínima
Modificada
A
1,646,000
32.92
33.25
33
B
6,936,000
138.72
140.12
140
C
154,000
3.08
3.11
3
D
2,091,000
41.82
42.24
42
E
685,000
13.70
13.84
13
F
988,000
19.76
19.96
19
Total
12,500,000
250
252.52
250
Tabela 2: República do Parador
Cálculos usando o divisor modificado = 49,500
...verifica-se que o estado B obtém 140 lugares, e a sua quota é 138.72.
De acordo com a regra da quota, o número justo de lugares que o estado B
poderia obter é 138 ou 139 lugares, há uma diferença de 1.28 lugares.
Teoria da Partilha Equilibrada
O método de Jefferson viola a regra da
quota, no entanto viola somente a quota
máxima nunca a quota mínima.
É também conhecido como o método de
grandes divisores e na Europa como o
método de D´Hondt.
Este método continua a ser usado em
muitos países nomeadamente Portugal,
Áustria, Brasil, Finlândia, Alemanha e
Países Baixos.
Teoria da Partilha Equilibrada
 Na divisão proporcional de 1832, Nova
York tinha uma quota de 38.59 e recebeu 40
lugares, o que horrorizou toda a delegação!
 Partiu-se então em busca de um método
de divisão proporcional, que não violasse a
regra da quota.
 Como o método de Jefferson estava
desacreditado por todos, surgiu um novo
método apresentado por John Quincy
Adams.
 Adams no seu método arredonda a quota
modificada por excesso. A esta nova quota
chamamos Quota Máxima Modificada.
Teoria da Partilha Equilibrada
MÉTODO DE ADAMS
Passo 1: Encontrar o divisor modificado, de modo que as
quotas modificadas arredondadas por excesso somem
o número exacto de lugares a serem distribuídos.
Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota máxima
modificada.
Teoria da Partilha Equilibrada
Estado
População
Quota
A
B
C
D
E
F
Total
1,646,000
6,936,000
154,000
2,091,000
685,000
988,000
12,500,000
32.92
138.72
3.08
41.82
13.70
19.76
250.00
Quota
Quota
modificada máxima
modificada
32.47
136.80
3.04
41.24
13.51
19.49
246.55
33
137
4
42
14
20
250
Tabela 3: República do Parador
Cálculos usando o divisor modificado =50,700
...verifica-se que o estado B obtém 137 lugares e comparando-o
com a sua quota de 138.72, existe uma diferença de lugares.
Teoria da Partilha Equilibrada
Apesar de todos os esforços, Adams não
conseguiu superar o problema de violação da
regra da quota, o seu método viola a quota
mínima.
Teoria da Partilha Equilibrada
Tratar todos estados exactamente do mesmo modo, foi uma
filosofia que os métodos anteriores partilharam e que trouxe de certa
forma problemas que levaram à desacreditação dos métodos.
Em 1832, Daniel Webster propôs uma ideia baseada no seguinte:
- Arredondar as quotas para o inteiro mais próximo, da
maneira convencional.
A ideia de Webster era, usar quotas modificadas (escolhidas
especificamente) de modo que depois de arredondadas convencionalmente,
somassem exactamente o número de lugares a serem divididos.
Teoria da Partilha Equilibrada
MÉTODO DE WEBSTER
Passo 1: Encontrar o divisor modificado, de modo que
as quotas modificadas arredondadas de modo
convencional somem o número exacto de lugares a
serem distribuídos.
Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota
arredondada de modo convencional.
Teoria da Partilha Equilibrada
O método de Webster é mais difícil de usar na prática, pois o
divisor modificado que temos que escolher por tentativa e
erro pode ser:
menor que, igual a, ou maior que,
o divisor standard.
Teoria da Partilha Equilibrada
Estado
População
Quota
modificada
Arredondar
para
A
1,646,000
32.85
33
B
6,936,000
138.44
138
C
154,000
3.07
3
D
2,091,000
41.74
42
E
685,000
13.67
14
F
988,000
19.72
20
Total
12,500,000
249.49
250
Tabela 4: República do Parador
Cálculos usando o divisor modificado =50,100
...verifica-se que o divisor modificado é maior que o divisor standard,
isto para que, as quotas modificadas arredondadas de modo
convencional somem o total de 250 lugares a serem distribuídos.
Teoria da Partilha Equilibrada
O método de Webster também viola a regra da quota,
mas felizmente as violações são raras e difíceis de
imaginar.
O método de Webster, é considerado por muitos
experimentadores o melhor de todos os métodos de
divisão proporcional. Poderá vir a ser o método oficial
da divisão proporcional para a Casa de
Representantes e possivelmente nas nossas vidas.
Teoria da Partilha Equilibrada
CONCLUSÃO
O congressista Ernest Gibson de Vermont
disse em 1929:
“A divisão proporcional de representantes
para a população é um problema
matemático. Então porquê não usar um
método que pode testar (de justiça) sobre
uma fórmula matemática correcta?”
Teoria da Partilha Equilibrada
A resposta foi dada em 1980 por uma descoberta feita por dois matemáticos
– Michael L. Balinski e H. Peyton Young – e é conhecida como
Teorema da Impossibilidade de Balinski e Young:
Não há métodos de divisão proporcional perfeitos.
Qualquer método de divisão proporcional que não
viole a regra da quota tem que aderir a paradoxos, e
qualquer método de divisão proporcional que não
produza paradoxos tem que violar a regra da quota.
Teoria da Partilha Equilibrada
Em síntese:
Hamilton
Jefferson
Adams
Webster
Viola a regra
da quota
Não
Sim
Sim
Sim
Paradoxo de
Alabama
Sim
Não
Não
Não
Paradoxo da
População
Sim
Não
Não
Não
Paradoxo de
Novos
Estados
Sim
Não
Não
Não
Favorece
Estados
grandes
Estados
grandes
Estados
Estados
pequenos pequenos
Teoria da Partilha Equilibrada
MÉTODO DE HUNTINGTON-HILL
Passo 1: Encontrar um número D tal que, cada quota
modificada é arredondada pela regra de Huntington-Hill.
O total dos arredondamentos é exactamente o número de
lugares a distribuir.
Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota modificada
arredondada pela regra de Huntington-Hill.
Teoria da Partilha Equilibrada
Regra de Arredondamento de
Huntington-Hill
Se a quota está entre L e L+1, o ponto de
viragem é H = sqrt (L×(L+1)). Se a quota é
inferior a H, arredonda-se por defeito, caso
contrário, arredonda-se por excesso.
Teoria da Partilha Equilibrada
Mais uma vez, chegámos à conclusão que justiça e
representação proporcional são incompatíveis.
FIM
Teoria da Partilha Equilibrada