UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA
Faculdade de Ciências Humanas e Sociais
Instituto de Psicologia e Ciências da Educação
Mestrado em Ensino de Artes Visuais no 3.º Ciclo
do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Geometria descritiva: artes ou ciências
Realizado por:
Rui Jorge Marques Godinho
Supervisionado por:
Prof. Doutor Arqt. Joaquim José Ferrão de Oliveira Braizinha
Dr. José Manuel Mata Justo
Orientado por:
Mestre Laura Maria Barbosa de Medeiros
Constituição do Júri:
Presidente:
Supervisor:
Arguente:
Vogal:
Prof. Doutor Carlos César Lima da Silva Motta
Prof. Doutor Arqt. Joaquim José Ferrão de Oliveira Braizinha
Prof. Doutor Arqt. Filipe Alexandre Duarte González Migães de Campos
Prof.ª Doutora Maria Adelaide Gregório dos Santos da Fonseca Pires
Dissertação aprovada em:
28 de Julho de 2015
Lisboa
2015
U
N I V E R S I D A D E
L
U S Í A D A
D E
L
I S B O A
Faculdade de Ciências Humanas e Sociais
Instituto de Psicologia e Ciências da Educação
Mestrado em Ensino de Artes Visuais
no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Geometria descritiva: artes ou ciências
Rui Jorge Marques Godinho
Lisboa
Abril 2015
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N I V E R S I D A D E
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U S Í A D A
D E
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I S B O A
Faculdade de Ciências Humanas e Sociais
Instituto de Psicologia e Ciências da Educação
Mestrado em Ensino de Artes Visuais
no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Geometria descritiva: artes ou ciências
Rui Jorge Marques Godinho
Lisboa
Abril 2015
Rui Jorge Marques Godinho
Geometria descritiva: artes ou ciências
Relatório de estágio apresentado ao Instituto de
Psicologia e Ciências da Educação da Faculdade de
Ciências Humanas e Sociais da Universidade Lusíada
de Lisboa para a obtenção do grau de Mestre em
Ensino de Artes Visuais no 3.º Ciclo do Ensino Básico e
no Ensino Secundário.
Coordenador de mestrado: Prof. Doutor Carlos César
Lima da Silva Motta
Supervisores de estágio: Prof. Doutor Arqt. Joaquim
José Ferrão de Oliveira Braizinha, Dr. José Manuel
Mata Justo
Orientadora de estágio: Mestre Laura Maria Barbosa de
Medeiros
Lisboa
Abril 2015
Ficha Técnica
Autor
Coordenador de mestrado
Supervisores de estágio
Orientadora de estágio
Rui Jorge Marques Godinho
Prof. Doutor Carlos César Lima da Silva Motta
Prof. Doutor Arqt. Joaquim José Ferrão de Oliveira Braizinha
Dr. José Manuel Mata Justo
Mestre Laura Maria Barbosa de Medeiros
Título
Geometria descritiva: artes ou ciências
Local
Lisboa
Ano
2015
Mediateca da Universidade Lusíada de Lisboa - Catalogação na Publicação
GODINHO, Rui Jorge Marques, 1969Geometria descritiva : artes ou ciências / Rui Jorge Marques Godinho ; coordenado por Carlos César
Lima da Silva Motta ; supervisionado por Joaquim José Ferrão de Oliveira Braizinha, José Manuel
Mata Justo ; orientado por Laura Maria Barbosa de Medeiros. - Lisboa : [s.n.], 2015. - Relatório de
estágio do Mestrado em Ensino de Artes Visuais no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino
Secundário, Instituto de Psicologia e Ciências da Educação da Universidade Lusíada de Lisboa.
I - MEDEIROS, Laura Maria Barbosa de, 1955II - BRAIZINHA, Joaquim José Ferrão de Oliveira, 1944III - JUSTO, José Manuel Mata, 1955IV - MOTA, Carlos César Lima da Silva, 1948LCSH
1. Geometria descritiva - Ensino e estudo
2. Artes - Ensino e estudo
3. Colégio Moderno (Lisboa, Portugal) - Ensino e estudo (Estágio)
4. Universidade Lusíada de Lisboa. Instituto de Psicologia e Ciências da Educação - Teses
5. Teses - Portugal - Lisboa
1.
2.
3.
4.
5.
Geometry, Descriptive - Study and teaching
Arts - Study and teaching
Colégio Moderno (Lisbon, Portugal) - Study and teaching (Internship)
Universidade Lusíada de Lisboa. Instituto de Psicologia e Ciências da Educação - Dissertations
Dissertations, Academic - Portugal - Lisbon
LCC
1. QA501.G63 2015
À escola, onde estou e onde estive.
À família, de quem recebo e a quem me entrego.
Aos amigos de sempre.
“A ciência descreve as coisas como são;
a arte, como são sentidas, como se sente que são.”
Fernando Pessoa in Ideias Estéticas da Arte
AGRADECIMENTOS
Gostaria de deixar o meu agradecimento à Dra. Isabel Soares, Diretora do
Colégio Moderno, por me ter confiado o acesso à sua Escola e a possibilidade
de me reinventar.
Um agradecimento aos meus Professores da Universidade Lusíada pelo
contributo prestado ao longo da minha formação académica e, em particular,
ao Dr. José Manuel Mata Justo pela disponibilidade e incentivo nesta fase de
concretização.
Agradeço à Dra. Laura Medeiros, minha orientadora de estágio, pelo seu saber
e generosidade na sua partilha.
Finalmente, aos meus alunos com quem diariamente continuo a aprender.
APRESENTAÇÃO
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Rui Jorge Marques Godinho
Esta dissertação tem por objetivo apresentar uma reflexão crítica sobre o trabalho
desenvolvido no âmbito da Prática do Ensino Supervisionada – estágio –, do Mestrado
de Ensino de Artes Visuais, bem como uma investigação sobre um tema relevante
para o ensino da disciplina de Geometria Descritiva A no ensino secundário –
Geometria Descritiva: Ciência ou Arte.
Na primeira parte, apresenta-se a identidade, a caracterização, o Projeto Educativo e a
organização e funcionamento da instituição onde se desenvolveu o estágio, no sentido
de contextualizar a problemática, e referem-se as atividades desenvolvidas durante a
prática pedagógica, nomeadamente na disciplina de Educação Visual do 2º ciclo do
ensino básico e na disciplina de Geometria Descritiva A do ensino secundário,
acompanhada de reflexão crítica.
A segunda parte, e no que se refere à investigação os objetivos são verificar as
diferenças entre os desempenhos em Geometria Descritiva A dos alunos, do Colégio
Moderno, de 10º e 11º anos, de Artes Visuais e de Ciências e Tecnologias, explorar e
interpretar as flutuações encontradas e secundariamente, compreender o impacto do
exame nos resultados alcançados.
Palavras Chave: avaliação formadora; estratégias de ensino; estratégias de
aprendizagem, geometria descritiva; artes; ciências.
PRESENTATION
Descriptive Geometry: Arts or Science
Rui Jorge Marques Godinho
The aim of this dissertation is to present critical reflection on work developed within the
Supervised Teaching Practice internship of the Masters degree in the Teaching of
Visual Arts, as well as an investigation of a topic relevant to the teaching of Descriptive
Geometry A at secondary school level – Descriptive Geometry: Science or Art.
In the first part the identity, characterisation, Educational Project, organisation and
running of the institution where the internship has been developed are presented, with
a view to contextualising the problem; activities developed during teaching practice are
referred to, namely in Visual Educational at the 2nd phase of basic education and in
secondary school Descriptive Geometry A, followed up with critical reflection.
In the second part and in that which refers to the investigation, the goals are to check
the differences between Descriptive Geometry students from both Visual Arts and
Sciences and Technologies study fields, from 10th and 11th grade, at Colégio Moderno,
explore and interpret the fluctuations found and, secondly, understand the impact of the
final exam on the results achieved.
Key words: teacher training evaluation; teaching strategies; learning strategies,
descriptive geometry; arts; science.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Ilustração 1 – Colégio Moderno fundado em 1936, fotografado por Mário Novais.
(Biblioteca de Arte Fundação Calouste Gulbenkian, 2006) …………………………... 21
Ilustração 2 – Primeiro grupo de alunos do Colégio Moderno, ano letivo 1936-37
(Arquivo Fotográfico Colégio Moderno, 2014) ……………………………………………22
Ilustração 3 – Pátio principal do Colégio Moderno (Arquivo Fotográfico CM, 2013)….25
Ilustração 4 – Pátio coberto (Arquivo Fotográfico do CM, 2013)………………………..26
Ilustração 5 – Sala 33, sala de geometria descritiva (Arquivo Fotográfico CM, 2013)..26
Ilustração 6 – Atelier de artes plásticas do 1º ciclo (Arquivo Fotográfico CM, 2013)…27
Ilustração 7 – Sala de atividades pedagógicas da secção do pré-escolar (Arquivo
Fotográfico CM, 2013)………………………………………………………………………28
Ilustração 8 – Sala de atividades pedagógicas do infantário do Colégio (Arquivo
Fotográfico CM, 2013)………………………………………………………………………28
Ilustração 9 - Distribuição, por género, em percentagem, dos alunos da turma de 10º
Ano (Ilustração nossa, 2015)………………………………………………………………63
Ilustração 10 – Distribuição de idades por género na turma do 10º ano (Ilustração
nossa, 2015)………………………………………………………………………………….63
Ilustração 11 – Distribuição percentual de alunos do 10º ano por concelho de
residência………………………………………………………………………..……………63
Ilustração 12 - Distribuição percentual das habilitações literárias dos pais dos alunos
da turma de 10º ano (Ilustração nossa, 2015)…………………………………………….64
Ilustração 13 - Distribuição, por género, em percentagem, dos alunos da turma de 11º
Ano (Ilustração nossa, 2015)………………………………………………………………..65
Ilustração 14 - Distribuição de idades, por género, na turma do 11º ano (Ilustração
nossa, 2015)…………………………………………………………………………………..65
Ilustração 15 - Distribuição, percentual, de alunos por Concelho de residência da turma
de 11º ano (Ilustração nossa, 2015)………………………………………………………..65
Ilustração 16 - Distribuição, percentual, das habilitações literárias dos pais dos alunos
da turma de 11º ano (Ilustração nossa, 2015)…………………………………………….66
Ilustração 17 – Osso de Ishango……………………………………………………………67
Ilustração 18 – Papiro de Rhind e Papiro de Oxy, 1600 a.C…………………………….68
Ilustração 19. – Capa de “Elementos” de Euclides, versão impressa, Inglaterra,1570, e
fólio do“ Elementos” de Euclides, 1482…………………………………………………….69
Ilustração 20 – Geometria Euclidiana, Livro I, Proposição I……………………………..70
Ilustração 21 – “A Flagelação de Cristo”, de Piero della Francesca, (provavelmente)
1455-1460……………………………………………………………………………………..72
Ilustração 22 - Esquema das pontes de Koningsberg que deu origem à Teoria do
Grafos…………………………………………………………………………………………74
Ilustração 23 - Géométrie Descriptive – Leçons donnés aux écoles normales, Gaspard
Monge…………………………………………………………………………………………74
Ilustração 24 – Épura de carpintaria francesa, século XVIII………..……………………77
Ilustração 25 – Desenho do corte da pedra………………………………………..………78
Ilustração 26 - Desenho de máquinas na École Polytechnique (1794-1850)………….81
Ilustração 27 – Épura Géometrie descriptive, Monge, Planche XIX, XX……………….83
Ilustração 28 – Médias das classificações obtidas pelos alunos de Artes Visuais e
Ciências e Tecnologias, no 10º ano, nos testes de avaliação da disciplina de
Geometria Descritiva (Ilustração nossa, 2015)……………………………………………92
Ilustração 29 – Médias das classificações obtidas pelos alunos de Artes Visuais e
Ciências e Tecnologias, no 11º ano, nos testes de avaliação da disciplina de
Geometria Descritiva (Ilustração nossa, 2015)……………………………………………94
Ilustração 30 – Médias das classificações da disciplina de Geometria Descritiva
obtidas pelos alunos de Artes Visuais e Ciências e Tecnologias, do 10º ano, no 1º, 2º e
3º períodos (Ilustração nossa, 2015)………………………………………………………95
Ilustração 31 – Médias das classificações da disciplina de Geometria Descritiva
obtidas pelos alunos de Artes Visuais e Ciências e Tecnologias, do 11º ano, no 1º, 2º e
3º períodos (Ilustração nossa, 2015)………………………………………………………96
Ilustração 32 – Médias da avaliação sumativa (3º período) nas disciplinas de Desenho,
Matemática B e Geometria Descritiva obtidas pelos alunos de Artes Visuais do 10º e
do 11º anos (Ilustração nossa, 2015)………………………………………………………96
Ilustração 33 – Médias da avaliação sumativa externa nas disciplinas de Física e
Química, Matemática A e Geometria Descritiva obtidas pelos alunos de Ciências e
Tecnologias do 10º ano e do 11º anos (Ilustração nossa, 2015)………………………..97
Ilustração 34 – Médias das CIF, do Exame Nacional de GD - 1ª fase (CE) e da CFD
dos alunos de Artes Visuais e Ciências e Tecnologias do 11º ano (Ilustração nossa,
2015)…………………………………………………………………………………………...98
LISTA DE TABELAS
Tabela1 – Matriz do horário escolar dos alunos do 2º e 3º ciclos do ensino básico e do
ensino secundário……………………………………………………………………………37
Tabela 2 - Horário do docente no ano letivo de 2012/2013……………………………...41
Tabela 3 - Matriz/grelha de observação direta para monitorização/avaliação…………45
Tabela 4 – Referencial de avaliação na disciplina de Geometria Descritiva A………...48
Tabela 5 – Médias das classificações atribuídas aos alunos de 10º ano à disciplina de
Geometria Descritiva, no ano letivo de 2012/2013………………………………………..51
Tabela 6 – Médias das classificações atribuídas aos alunos de 11º ano à disciplina de
Geometria Descritiva, no ano letivo de 2012/2013………………………………………..51
Tabela 7 – Diferença entre a média dos resultados obtidos pelos alunos de Ciências e
Tecnologias e os de Artes Visuais, nos testes de avaliação (RCT-RAV)………………93
Tabela 8 - Cursos que requerem como Prova de Ingresso a disciplina de Geometria
Descritiva, por área de estudos, na região de Lisboa……………………………………99
LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E ACRÓNIMOS
ApGD - Apoio de Geometria Descritiva
CE - Classificação do Exame Nacional
CFD - Classificação Final de Disciplina
CIF - Classificação Interna de Frequência
CM - Colégio Moderno
DGES - Direção-Geral do Ensino Superior
EV
Educação Visual
GDA - Geometria Descritiva A
PEJ - Parlamento Europeu de Jovens
RefExGD - Reforço para Exame de Geometria Descritiva
Sumário
1. Introdução………………………………………………………………………….
2. Descrição do contexto……………………………………………………………
2.1.Identidade e caracterização do Colégio Moderno………………………..
2.1.1. Enquadramento histórico…………...……………………...........
2.1.2. Localização………………………………………………………..
2.1.3. População escolar………………………………………………..
2.1.4.Edifícios e equipamentos…………………………………………
2.1.5.Corpo docente e não docente……………………………...........
2.1.6.Atividades de enriquecimento e recursos de apoio
educativo………………………………………………………………….
2.2.O Projeto Educativo do Colégio Moderno…………………………………
2.3.Organização e funcionamento do Colégio Moderno……………………..
3. Estágio curricular no âmbito do Mestrado em Ensino das Artes Visuais do
3º ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário……………………….
3.1.Descrição das atividades desenvolvidas na componente não
letiva………………………………………………………………………………..
3.2.Descrição das atividades desenvolvidas na componente letiva………...
3.2.1.Lecionação de Educação Visual ao 2º ciclo do Ensino
Básico………………………………………………………………….
3.2.2.Lecionação
de
Geometria
Descritiva
ao
Ensino
Secundário…………………………………………………………….….
4. Problemática…………………………………………………………………..…..
5. Objetivos…………………………………………………………………………...
6. Metodologia………………………………………………………………………..
6.1. Opções metodológicas……………………………………………………...
6.2. Plano de ação………………………………………………………………..
6.3. Caracterização da população………………………………………………
7. Fundamentação Teórica…………………………………………………………
7.1. Contexto histórico da geometria…………………………………………...
7.2. A geometria descritiva………………………………………………………
7.3. O ensino da Geometria Descritiva em Portugal………………………….
7.4. Notas finais …………………………………………………………………..
8. Recolha e análise de dados……………………………………………………..
9. Conclusões………………………………………………………………………
9.1. Conclusões finais……………………………………………………………
9.2. Limitações ao estudo………………………………………………………..
Referências………………………………………………………………………..
Bibliografia…………………………………………………………………………
19
21
21
21
24
24
25
29
30
32
37
39
39
41
42
43
56
57
58
58
60
62
67
67
76
85
89
92
100
100
101
103
105
Apêndices
Apêndice A
Apêndice B
Apêndice C
Apêndice D
Apêndice E
Apêndice F
Apêndice G
Apêndice H
Apêndice I
Apêndice J
Anexos
Anexo A
Anexo B
Anexo C
Anexo D
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
1. INTRODUÇÃO
O presente trabalho apresenta como tema “Geometria Descritiva: Artes ou Ciências” e
surge na sequência do estágio profissional realizado no âmbito do Mestrado de Ensino
de Artes Visuais no 3º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário, que se
concretizou no Colégio Moderno, ao longo do ano letivo de 2012/2013.
A inserção num contexto educativo muito particular, o Colégio Moderno, instituição de
referência no que concerne à sua história, ao sucesso educativo e aos valores
transmitidos, foi, num primeiro momento, objeto de observação e descrição.
Enquadrado o ambiente social, cultural, ideológico e organizativo donde irá emergir a
situação problema, a realização do estágio supervisionado permitiu a aproximação à
realidade educativa com o impacto entre o aprendido e o aplicado e suscitou questões
diversas sobre as estratégias de ensino e de aprendizagem. A concretização do
estágio implica um envolvimento além do cumprimento e correção dos procedimentos
e conduz à reflexão e ao questionamento, forças motrizes da avaliação formadora e
não apenas certificadora.
Porque se verificou uma significativa diferença de desempenhos na disciplina de
Geometria Descritiva A, doravante designada Geometria Descritiva, dos alunos de 10º
e 11º anos do Curso de Artes Visuais e do Curso de Ciências e Tecnologias do
Colégio Moderno, este estudo pretende encontrar uma justificação que conduza a
estratégias de ensino-aprendizagem que otimizem os resultados dos alunos de artes.
São, então, objetivos desta dissertação verificar as diferenças entre os
desempenhos dos alunos de Artes Visuais e de Ciências e Tecnologias em
Geometria Descritiva, explorar e interpretar as flutuações encontradas e,
secundariamente, compreender o impacto do Exame de Geometria Descritiva A,
como prova de ingresso no ensino superior, nos resultados alcançados. [negrito
nosso]
Pretende-se, igualmente, compreender na disciplina de Geometria Descritiva a
relação, a filiação, a evolução, a hierarquia e a causalidade, na dualidade entre
as artes e as ciências. Esta fundamentação teórica tem como objetivo levantar
possíveis justificações para os resultados alcançados pelos alunos. [negrito nosso]
Rui Jorge Marques Godinho
19
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
A presente investigação inscreve-se num estudo de caso exploratório, e no capítulo
seis são fundamentadas e descritas as opções metodológicas, o plano de ação e a
caracterização da população sobre a qual incide este trabalho. Assim, consideraramse, em relação à população estudada, os testes de avaliação formal, as avaliações
sumativas, por período, as Classificações Internas de Frequência e os resultados do
Exame Nacional de Geometria Descritiva A como instrumentos de recolha de dados.
Foram, ainda, analisadas as avaliações sumativas internas, do 3º período, das
restantes disciplinas que compõem a formação específica destes alunos.
No capítulo sete, através da revisão bibliográfica e da análise de ideias de diversos
autores, contextualiza-se historicamente a geometria, fundamenta-se a origem e
natureza da geometria descritiva e apresenta-se a evolução da disciplina no sistema
educativo em Portugal.
Os dados recolhidos e a sua análise são apresentados no capítulo oito e, finalmente,
reserva-se o capítulo nove para as conclusões, onde se elabora uma síntese dos
principais resultados obtidos e suas implicações, enquadrada numa reflexão que vai
de encontro às perspetivas assumidas e aos objetivos que orientaram esta
investigação. Neste capítulo, são, ainda, apontadas algumas das limitações do
presente estudo e sublinha-se um conjunto de aspetos que poderão contribuir para
investigações futuras.
Rui Jorge Marques Godinho
20
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
2. DESCRIÇÃO DO CONTEXTO
2.1. IDENTIDADE
E
CARACTERIZAÇÃO
DO
COLÉGIO
MODERNO
2.1.1.
ENQUADRAMENTO HISTÓRICO
O Colégio Moderno foi fundado em 1936 pelo Professor João Soares, que é descrito
por David Mourão Ferreira como um “pedagogo nato, democrata por convicção e
inabalável coerência” (1978, p.20). O Colégio Moderno caracterizou-se, desde o início,
por ser um espaço de liberdade e tolerância, imbuído pelos valores humanistas do seu
fundador, que “soube fazer deste Colégio – e numa altura em que era dificílimo
consegui-lo ou esboçá-lo sequer – não só um modelar estabelecimento de ensino mas
também um permanente centro cultural e de tolerância cívica.” (1978, p.20). O Colégio
teve como fundador uma figura que, além de notável pedagogo, se destacou na vida
política do seu tempo pela adesão aos ideais republicanos de 1910 e, mais tarde, pelo
combate à ditadura salazarista, durante a qual conheceu o exílio e a prisão.
Ilustração 1 – Colégio Moderno fundado em 1936, fotografado por Mário Novais
(Biblioteca de Arte Fundação Calouste Gulbenkian, 2006)
“Durante as décadas de 40, 50 e 60 funcionou em Lisboa, em Portugal, uma escola de
democracia que se baseava na concessão da liberdade a partir da responsabilidade”,
segundo as palavras de José Rabaça (1978, p.24) em sintonia com aquilo que, anos
Rui Jorge Marques Godinho
21
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
mais tarde, José Luís Saldanha Sanches viria a afirmar: “O que recordo como mais
significativo da minha entrada, e depois permanência, no colégio foi o espaço de
liberdade que ali existia. Isto à parte do ensino e dos bons professores.” (Rêgo, 1996).
Ilustração 2 – Primeiro grupo de alunos do Colégio Moderno, ano letivo 1936-37
(Arquivo Fotográfico Colégio Moderno, 2014)
Desde início o Colégio utilizou uma pedagogia inovadora, avançada no seu tempo,
com metodologias e práticas diferenciadas, que envolviam alunos e professores,
conciliando o rigor nas aprendizagens com a inovação na educação artística e a
preocupação com as dimensões relacional e afetiva.
O Colégio Moderno foi, então, concebido como um estabelecimento de ensino livre e
pedagogicamente avançado, acolhendo no seu corpo docente personalidades de
elevada craveira afastadas do ensino público por razões ideológicas. Afirmou-se no
panorama educativo português como um reduto de liberdade de expressão e dos
valores da cultura por onde passaram, como alunos, algumas figuras relevantes da
vida político-cultural.
Aquando a sua fundação, o Colégio oferecia as opções de externato e internato, tendo
originalmente sido uma escola mista. Durante o Estado Novo, e a imposição da
Rui Jorge Marques Godinho
22
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
separação dos sexos na escola, o Colégio deixa de ser frequentado por raparigas e,
apenas após o 25 de abril de 1974, voltou ao regime misto.
Inclui, desde o início, todos os níveis de ensino – da Escola Primária ao 7º ano do
Liceu – , nos anos 60, foi criada a Infantil, funcionou, igualmente, um Curso Noturno e
na década seguinte nasceria o Infantário.
Entre os anos 70 e 1985, o Colégio foi dirigido por Maria Barroso Soares que teve um
papel determinante na sua manutenção e expansão, num período particularmente
difícil da vida portuguesa.
Desde outubro de 1985 que Isabel Soares assumiu a Direção Pedagógica e Executiva,
preservando os ideais do seu Fundador, como é notório no atual Projeto Educativo.
No quadro do Ensino Particular e Cooperativo em Portugal, e desde a sua fundação, o
Colégio Moderno manteve-se uma Escola independente, sendo uma das únicas
escolas privadas que nunca estabeleceu qualquer tipo de Contrato de Associação, ou
outro, com o Estado, por decisão da sua Direção.
A estimulação intelectual, o empenho na formação artística e cultural e a vivência da
cidadania estão presentes, desde sempre, na história do Colégio, e refletem-se nas
inúmeras atividades de cariz intelectual e artístico que têm vindo a ser desenvolvidas.
Referência, nomeadamente, para as conferências com personalidades de excelência
dos setores artístico, científico, político ou literário, a publicação de jornais, desde o
“Gente Moça” ao “Moderno”, e a participação em concursos de âmbito internacional,
entre os quais se destaca a representação no Parlamento Europeu de Jovens (PEJ),
em Istambul, após a delegação do Colégio ter vencido a competição nacional.
O Colégio privilegia o desenvolvimento de três grandes áreas: as artes plásticas e
visuais, o desporto e a música, tendo vindo a alargar a oferta curricular e
extracurricular nestes domínios. Neste âmbito, foi criada, no ano letivo de 2012/2013,
a Escola de Música do Colégio Moderno, que recebe, também, alunos externos,
vocacionada para os instrumentos de corda (violino, viola de arco, violoncelo e piano)
e que veio reforçar e expandir o prestígio do Colégio.
Rui Jorge Marques Godinho
23
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
2.1.2.
LOCALIZAÇÃO
O Colégio Moderno situa-se na freguesia do Campo Grande, rua Dr. João Soares, nº
19, e estende-se por vários edifícios (nº 17, 19, 18 e 22 da mesma rua e pelo nº 99 do
Campo Grande).
2.1.3.
POPULAÇÃO ESCOLAR
A população escolar provém de áreas residenciais diversificadas do Concelho de
Lisboa, (Campo Grande, Alvalade, Avenidas Novas, Telheiras, Benfica, Olivais, …) e
de outros concelhos (Vila Franca, Almada, Sintra, Amadora, Cascais, Oeiras, …).
Esta diversidade quanto às áreas residenciais também se verifica nas proveniências
socioeconómicas dos alunos. Embora a maioria seja oriunda de uma classe média, e
média alta, cujos pais trabalham em serviços ou possuem profissões liberais, é política
da escola atribuir bolsas de estudo a alunos. Todos os filhos de funcionários não
docentes e docentes estão abrangidos por esta medida.
É de sublinhar que as expetativas das famílias – embora com níveis de escolaridade e
culturas e percursos diferentes – são todas elas muito elevadas revelando o grande
investimento feito na educação dos seus filhos.
A maioria dos alunos ingressa no Colégio para o nível dos três anos do pré-escolar,
embora alguns entrem aos quatro meses para a Creche, permanecendo até ao final do
Ensino Secundário. Adotando o conceito de escola inclusiva o Colégio recebe alunos
com necessidades educativas especiais em todos os graus de ensino.
A população escolar, no ano letivo de 2012/2013, foi constituída por 1820 alunos,
distribuídos pelos diferentes níveis de ensino:

Creche/Infantário – berçário, sala de um ano e três salas de dois anos

Pré-escolar – quatro salas para cada um dos níveis etários (3, 4 e 5 anos)

1º Ciclo do Ensino Básico – 5 turmas do 1º e 4 turmas do 2º, 3º e 4ºanos

2º Ciclo do Ensino Básico – 6 turmas 5º ano e 5 turmas do 6º ano

3º Ciclo do Ensino Básico – 5 turmas/ano de escolaridade (7º, 8º e 9º anos)
Rui Jorge Marques Godinho
24
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências

Ensino Secundário – 5 turmas/ano de escolaridade (10º, 11º e 12º ano). O Colégio
faculta todos os cursos científico-humanísticos, existindo duas turmas de Ciências
e Tecnologias.
O insucesso escolar é pouco significativo e não se regista abandono escolar. A
maioria dos alunos do Colégio prossegue estudos superiores, registando-se uma
elevada taxa de colocação na 1ª fase de candidatura. Na candidatura ao acesso ao
ensino superior de 2013, 91% dos alunos ingressaram na primeira opção.
2.1.4.
EDIFÍCIOS E EQUIPAMENTOS
A escola compreende cinco grandes edifícios. No número 19 da Rua Professor João
Soares situa-se o edifício principal, onde funcionam o 1º, 2º, 3º ciclos do ensino básico
e o ensino secundário. Neste edifício, que engloba vários blocos, funcionam:
Bloco A ou edifício administrativo - gabinetes da direção executiva e pedagógica,
secretariado de apoio à direção, gabinetes dos coordenadores de ano (2º e 3º ciclos
do ensino básico), gabinete de atendimento de encarregados de educação (2º e 3º
ciclos), gabinetes de adjuntos pedagógicos e de coordenação de atividades de
enriquecimento curricular, secretaria administrativa, sala de informática, sala de
música e conferências, salas de aula do 1º ciclo, biblioteca do 1º ciclo, sala de
professores do 1º ciclo, gabinete de coordenação do 1º ciclo e de atendimento de
encarregados de educação e espaço polivalente e de recreio de Inverno do 1º ciclo.
Ilustração 3 – Pátio principal do Colégio Moderno (Arquivo Fotográfico CM, 2013)
Rui Jorge Marques Godinho
25
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Bloco B – laboratório de ciências da natureza do 2º ciclo do ensino básico, mapoteca,
salas de aula do 2º e 3º ciclos, gabinete de primeiros socorros, gabinete de
atendimento de encarregados de educação do ensino secundário, sala de espera,
telefonista e gabinete do chefe de pessoal.
Ilustração 4 – Pátio coberto (Arquivo Fotográfico CM, 2013)
Bloco C - salas de aula do 3º ciclo do ensino básico e ginásio.
Bloco D - salas de aula do 3º ciclo do ensino básico e do ensino secundário,
laboratórios de química, biologia e física, salas de educação visual e educação
tecnológica do 2º ciclo do ensino secundário, sala de geometria descritiva, sala de
alunos, gabinete de coordenação das atividades desportivas e sala de “perdidos e
achados”.
Ilustração 5 – Sala 33, sala de geometria descritiva (Arquivo Fotográfico CM, 2013)
Rui Jorge Marques Godinho
26
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Bloco E - salas de aula do ensino secundário, sala de audiovisuais e conferências,
sala de educação visual do 3º ciclo do ensino secundário, cantina e vestiário.
Bloco F - salas de aula do 3º ciclo do ensino básico e do ensino secundário, sala de
desenho, sala de professores, sala de reuniões, gabinetes de coordenadores de ano
do ensino secundário.
Bloco G - salas de aula do 1º ciclo do ensino básico, ginásio do 1º ciclo do ensino
básico, atelier de artes plásticas (1º ciclo do ensino básico), sala de música (1º ciclo do
ensino básico) e associação de estudantes.
Ilustração 6 – Atelier de artes plásticas do 1º ciclo (Arquivo Fotográfico CM, 2013)
Bloco H - salas de aula do 3º ciclo do ensino básico, biblioteca do 2º e 3º ciclos do
ensino básico e do ensino secundário, gabinete de psicologia, papelaria e reprografia,
sala polivalente de ballet, dança jazz, mímica e teatro, sala polivalente de atividades
desportivas, balneários.
Bloco I - sala de informática.
Bloco R – refeitório, cozinha e dispensa/economato.
Para além dos blocos de edifícios descritos, o Colégio possui, ainda, os seguintes
equipamentos: campos polidesportivos, campo de ténis, espaços de jogos/recreios do
1º, 2º e 3º ciclos e do ensino secundário e recreios cobertos.
Rui Jorge Marques Godinho
27
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
No número 17, antiga vila operária, está instalada a associação dos antigos alunos, a
carpintaria, o armazém de material escolar e o arquivo.
No número 18 funciona, atualmente, a Escola de Música do Colégio Moderno.
O número 22 é o edifício do pré-escolar que inclui: gabinete da coordenadora desta
secção e de atendimento de pais, sala de educadores, salas de atividades
pedagógicas, biblioteca, sala de música, ginásio, sala polivalente de repouso e
atividades desportivas, áreas de jogos/recreios, refeitórios, cozinha e copa.
Ilustração 7 – Sala de atividades pedagógicas da secção do Pré-Escolar
(Arquivo Fotográfico CM, 2013)
No Campo Grande, nº 99 funciona a creche/ infantário do Colégio.
Ilustração 8 – Sala de atividades pedagógicas do Infantário do Colégio
(Arquivo Fotográfico CM, 2013)
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28
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
2.1.5.
CORPO DOCENTE E NÃO DOCENTE
O corpo docente da escola, no ano letivo de 2012/2013, foi constituído por 143
professores. A maior parte do corpo docente faz parte do quadro da escola e a
percentagem de professores em acumulação é pouco significativa e tendencialmente
nula.
Os dados estatísticos relativos ao corpo docente, facultados pelos serviços
administrativos do Colégio, confirmam a coerência entre a teoria, expressa no Projeto
Educativo, e a prática. Com efeito, verifica-se a integração no quadro do Colégio da
quase totalidade dos elementos que constituem o corpo docente 87,4% dos quais são
efetivos do colégio, onde exercem funções, também maioritariamente (93,7%), em
regime de exclusividade.
Por seu lado, a convergência de número de anos de lecionação (média de 14,79) e de
permanência no Colégio (média de 14,35) aponta no sentido de uma trajetória de
“fidelidade” profissional à instituição que admitimos constituir, a par da efetivação e da
exclusividade, um “(…) cenário propício à manutenção das regularidades culturais, ao
nível das práticas, dos rituais, dos hábitos e dos costumes sedimentados ao longo dos
anos (…), de um grande envolvimento e empenhamento destes atores nas atividades
escolares, face ao sentido de pertença e de identidade ao longo da sua carreira
profissional” (Torres, 2004, p.328). Dotado, na quase totalidade, de qualificações de
grau superior (89,7%) e com uma média de idade de 43,86 anos, o corpo docente do
Colégio parece reunir condições para responder quer à procura de estabilidade,
competência científico-pedagógica e maturidade procurada pelos pais, quer ao perfil
docente delineado pela instituição.
No que respeita à distribuição do trabalho docente existe uma transversalidade por
ciclos de escolaridade.
No ano letivo de 2012/2013 a escola contou, ainda, com 126 funcionários não
docentes, distribuídos por diferentes áreas (serviços administrativos, auxiliares de
ação educativa, serviços de manutenção e limpeza e outros).
No Colégio existem, ainda, três psicólogos que asseguram o funcionamento
permanente do gabinete de psicologia e orientação vocacional e uma técnica de
educação especial.
Rui Jorge Marques Godinho
29
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
O corpo docente e não docente é estável, sendo esta estabilidade promovida pela
Direção do Colégio, no sentido de, por um lado, conferir um ambiente de familiaridade
a uma escola que apresenta uma população escolar das mais elevadas em relação às
suas congéneres e, por outro, promover nos seus docentes/funcionários a
interiorização do Projeto Educativo e estimular um sentimento de pertença, condições
essenciais para um desempenho profissional competente.
2.1.6.
ATIVIDADES DE ENRIQUECIMENTO E REURSOS DE
APOIO EDUCATIVO
Estas atividades têm como objetivo a promoção da realização pessoal e comunitária
dos alunos e assentam numa conceção global do desenvolvimento humano e
complementaridade da formação pessoal e social do indivíduo, destacando-se as
dimensões humana, académica e cívica na formação dos alunos.
Numa perspetiva que privilegia a construção da autonomia e o desenvolvimento
harmoniosos da personalidade singular de cada um, estas atividades incluem para
além das atividades de complemento curricular e educativo, os projetos transversais
dos vários níveis de ensino, permitindo o enriquecimento de múltiplas expressões plástica, musical, desportiva, científica, cultural e tecnológica,
Assim, o currículo nacional do 1º ciclo de ensino básico é complementado no Colégio
com a lecionação da iniciação a uma Língua Estrangeira (Inglês) e com a docência
das Expressões Artísticas e Físico-Motoras, por professores especializados.
Ao nível do 1º Ciclo, o Colégio dispõe, ainda, das seguintes atividades:
Ballet, contrabaixo, flauta, ginástica acrobática, ginástica desportiva, guitarra clássica,
judo, mímica, música especial, piano, técnica vocal, ténis, viola, violino, violoncelo e
prolongamento/sala de apoio ao estudo.
Desenvolvem-se os seguintes projetos transversais:
Jornal “Moderninho”, Torneios Inter-turmas e parcerias inter-escolas/intercâmbios
escolares
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30
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Nos restantes ciclos do ensino básico e no ensino secundário, os alunos podem
frequentar as seguintes atividades:
Ballet, dança jazz, hip-hop, rugby, ginástica acrobática, ginástica desportiva, guitarra
clássica, informática, judo, flauta, piano, contrabaixo, teatro, técnica vocal, ténis, viola,
violeta, violino, violoncelo, prolongamento/ sala de estudo e ateliers de verão.
Desenvolvem-se os seguintes projetos transversais:
“Semana das Artes”, “Semana das Línguas, da Literatura e da Poesia”, “Semana das
Ciências”, “Semana do Desporto”, Grupo de Teatro, Cinema no Moderno, Jornal
“Moderno”, “Mês das Profissões”, Torneios Interturmas e Desporto Escolar.
Paralelamente, realizam-se Projetos Interciclos que envolvem toda a comunidade
escolar:
“Música na Escola”, “As Artes na Escola”, “Ser Solidário com…”, “Projeto de Educação
para a Saúde” e Projeto “Eco-Escola”.
Nesta procura da diversificação de ofertas educativas o Colégio dispõe, ainda dos
seguintes recursos:
apoio pedagógico acrescido, aulas de reforço para exame, atelier de leitura e escrita
criativa, bibliotecas escolares, gabinete de psicologia e educação especial, sala de
atividades de tempos livres, sala de audiovisuais, salas de apoio ao estudo, salas de
informática.
São designados, pela Direção Pedagógica e Executiva, professores e técnicos
especializados, responsáveis pela conceção, gestão e avaliação destes projetos, pela
coordenação das atividades e recursos referidos e planeamento das visitas de estudo.
Em outubro de 2012, foi criada uma escola de música, a Escola de Música do Colégio
Moderno, vocacionada para o ensino de instrumentos de corda – violino, viola e
violoncelo – e piano.
Esta escola está aberta aos alunos do Colégio, mas também a alunos de
outras escolas, a partir dos 3 anos.
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31
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
2.2. O PROJETO EDUCATIVO DO COLÉGIO MODERNO
O Projeto Educativo constitui-se como o instrumento planificador e orientador, a longo
prazo, da vida escolar, e constitui, enquanto expressão de identidade e de autonomia,
um documento onde a escola se autodefine.
Perfilhando a definição de Escola enquanto “organização dinâmica” (Projeto
Educativo, p.1), o Colégio Moderno assume-se como uma instituição educativa aberta
ao meio e em contínuo ajustamento a uma realidade que, em função das variáveis
espácio-temporais, se encontra em constante mutação. Neste quadro de mudança,
exige-se dos educadores que não se limitem à aplicação mecânica de “modos de fazer
ou pensar” do passado e que encontrem, enquanto agentes de um “sistema
inteligente” como tem de ser a Escola, respostas inovadoras que permitam conciliar a
ajustabilidade – às mudanças e exigências do meio envolvente e da sociedade em
geral – e a preservação do que constitui a identidade e individualidade da instituição.
O Projeto Educativo do Colégio dá corpo a essa “ideia de futuro” que se pretende
partilhada por toda a comunidade educativa. Mas enquanto expressão identitária de
uma instituição fundada na base dos princípios humanistas e da educação para os
valores, reafirma a defesa dos princípios intemporais instituídos pelo seu Fundador.
O Colégio assume como traço identitário os grandes valores humanistas que
presidiram à sua fundação e que continuam hoje a nortear a sua ação educativa,
acreditando que “(…) a educação não se restringe ao ensino, mas engloba uma
educação para os valores (…)” (Projeto Educativo, p.4), como o do respeito pela
alteridade e pela diferença, o da tolerância e o da solidariedade. A laicidade e a
abertura à diversidade de credos e religiões constituem, assim, eixos estruturantes da
identidade do Colégio que se afirma, numa linha de continuidade com a matriz
fundadora, e assume-se como um espaço de liberdade e de diálogo permanentes
entre as várias correntes de pensamento.
Preconizando a formação global do indivíduo, o colégio promove não apenas a
educação para a cidadania e para a solidariedade a nível quer nacional, quer
internacional, mas também, na linha da tradição cultural da instituição, a educação
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32
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
para a cultura, que abarca as artes, nas suas múltiplas expressões, o desporto e a
ciência e tecnologia.
Tendo por enquadramento os objetivos gerais definidos pelo Ministério da Educação e
da Ciência, o Projeto Educativo do Colégio Moderno desenvolve-se, neste âmbito, em
torno de três eixos estruturantes de ação educativa: a dimensão global do indivíduo; o
aluno – sujeito e objeto do processo de ensino-aprendizagem; a educação para os
valores/educação para a cidadania.
O Colégio tem como meta o desenvolvimento global dos seus alunos e o crescimento
harmonioso da personalidade de cada educando. Nesse sentido, aposta na
otimização, nos vários estádios de desenvolvimento infanto-juvenis, das possibilidades
de evolução das capacidades discentes. Defende que a concretização das
capacidades cognitivas e das aptidões específicas dos alunos constrói-se na relação
com o outro, na comunicação e na expressão afetiva. O Colégio promove a articulação
entre a vertente cognitiva e relacional, desenvolvida a par da estimulação do espírito
crítico, independente e participativo na sociedade, da “criatividade, inovação e
sensibilidade artística” (Projeto Educativo, p.8) – através do contacto com as artes nas
suas múltiplas expressões – e também do “desenvolvimento físico e psicológico”
(Projeto Educativo, p.8), através do incremento da prática desportiva.
No âmbito das finalidades educativas, o Colégio assume que a sua prática “(…)
assenta na conceção global do desenvolvimento humano e complementaridade da
formação pessoal e social do indivíduo” (Projeto Educativo, p.12).
No plano da dimensão humana, o Colégio visa estimular nos alunos o
autoconhecimento, reforçar a sua autoestima e autoconfiança, desenvolver as suas
capacidades críticas e analíticas, promover a sua abertura de espírito e incentivar “(…)
a criatividade, a iniciativa e a realização autónoma” (Projeto Educativo, p.13).
Potencializa-se, desse modo, não apenas a afirmação e o desenvolvimento das
capacidades individuais – sempre balizadas pelo “respeito pela diversidade” e pelos
“valores da justiça e solidariedade” (Projeto Educativo, p.13), mas também o
desenvolvimento de “uma
atitude de abertura
à novidade e
de vontade
transformadora” (Projeto Educativo, p.13). A valorização do trabalho em grupo, da
Rui Jorge Marques Godinho
33
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
cooperação e entreajuda, da autodisciplina, da organização e da perseverança são
instrumentos ao serviço da mesma meta.
Ao nível da dimensão académica, o Colégio dá lugar de relevo ao património
linguístico e literário, sublinhando a importância da “compreensão da estrutura e
funcionamento da Língua Portuguesa” (Projeto Educativo, p.14) e do incentivo ao
gosto pela leitura e pela escrita. Destaca, igualmente, a importância da aprendizagem
de línguas estrangeiras, da estimulação da curiosidade pela descoberta e pela
investigação nas diferentes áreas do conhecimento e da aplicação dos saberes novos
numa perspetiva de transdisciplinaridade.
Baseado na “aquisição de conhecimentos úteis e significativos (…)”(Projeto Educativo,
p.15), o processo de ensino aprendizagem deverá levar os alunos a “aprender a
aprender” – organizando, selecionando e integrando a informação – e a desenvolver
“as capacidades de compreensão, expressão, interpretação, raciocínio lógico e
hipotético, aplicação e solução de problemas, iniciativa, sentido crítico e gosto pela
investigação” (Projeto Educativo, p.13). A aproximação ao universo laboral, mediante
recurso a visitas de estudo, conferências e debates; a promoção da “(…) orientação
escolar e profissional, integrada na realidade social e cultural da comunidade, em
colaboração com as famílias” (Projeto Educativo, p.16); a disponibilização de formação
técnica requerida para prosseguir estudos ou integrar o mundo do trabalho; as
atividades de educação musical e expressão plástica e a prática desportiva integram,
igualmente, a ação educativa do colégio, no âmbito académico.
No âmbito da prática pedagógica, o Projeto Educativo do Colégio defende que o aluno
seja colocado no “centro das aprendizagens” (Projeto Educativo, p.9), que deverão
caracterizar-se pela diversificação e adaptabilidade aos ritmos e necessidades
individuais. Pretende-se que o discente seja estimulado a refletir sobre o processo de
aprendizagem – o “aprender a aprender”, meta identificada como prioritária para o
auto e heteroconhecimento – e a envolver-se, através do recurso a “metodologias
ativas e inovadoras” (Projeto Educativo, p.9), na construção e avaliação das suas
aprendizagens, numa dinâmica promotora de autonomização e de reflexão crítica.
A par do trabalho grupal, considerado essencial na promoção do espírito de
entreajuda, de solidariedade e de sã competitividade, estimula-se o manuseamento
Rui Jorge Marques Godinho
34
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
das novas tecnologias, ambos referenciados como instrumentos ao serviço da “(…)
preparação de um cidadão trabalhador e responsável” (Projeto Educativo, p.10).
Preconiza-se, igualmente, a valorização e o incentivo do trabalho, da tenacidade e do
esforço discente, vias para a consolidação da “(…) confiança e da autoestima,
fundamentais à plena expressão das capacidades individuais na realização escolar”
(Projeto Educativo, p.9). Nesta conformidade, conclui o Colégio que: “A avaliação
privilegia, para além dos produtos da aprendizagem, os processos subjacentes e o
esforço do aluno numa perspetiva essencialmente qualitativa” (Projeto Educativo,
p.10).
Quanto à dimensão da cidadania, o Colégio assume como objetivo “Implementar
atitudes e hábitos positivos que favoreçam a maturidade sócio afetiva, e que auxiliem
a compreensão dos mecanismos de organização e funcionamento dos diferentes
grupos sociais” (Projeto Educativo, p.16). Neste domínio, a instituição educativa
assume como missão “alertar o aluno para as grandes causas, como o combate à
violência e às desigualdades económicas e sociais, a injustiça, a desumanização das
sociedades competitivas e consumistas, a destruição do património, a defesa do meio
ambiente, e envolvê-lo em projetos de solidariedade nacional e internacional” (Projeto
Educativo, p.10). Através do estímulo ao trabalho grupal e individual, o Colégio
propõe-se levar os alunos a refletir sobre questões de interesse social e cívico e outros
“problemas de interesse geral” (Projeto Educativo, p.16), a debatê-los e a envolver-se
na sua prevenção ou resolução. Nesse sentido, promove a educação para a saúde e
sexualidade, para a preservação do meio ambiente e para uma integração esclarecida
e responsável na sociedade de consumo, potenciando um intercâmbio com a
comunidade envolvente que sirva de plataforma de compromisso dos alunos com a
diferença e com a realidade social.
Procura, igualmente, “(…) fomentar nas relações entre os alunos e os restantes
elementos da Escola, a prática de valores de convivência cívica, de respeito pelo outro
e pela diferença, de tolerância e diálogo” (Projeto Educativo, p.11)e levar os alunos a
cumprir e interiorizar as “regras da Escola” – intervenções assumidas pelo Colégio
como complementares da “(…) educação cívica iniciada na família” (Projeto Educativo,
p.11).
Rui Jorge Marques Godinho
35
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Finalmente, o Colégio propõe-se formar cidadãos capazes de defender os valores da
cultura portuguesa e da sociedade e assegurar aos discentes “(…) o acesso à
informação que permita a compreensão adequada dos significados e implicações das
relações com outros espaços e culturas, nomeadamente a comunidade europeia, os
países de língua oficial portuguesa e outros organismos e instituições internacionais”
(Projeto Educativo, p.17).
No que diz respeito à equipa docente, o Colégio reconhece como essencial para o seu
bom funcionamento a existência de “(…) um corpo docente estável, profissionalizado,
com dedicação exclusiva e que se identifica com o seu Projeto Educativo (…)” (Projeto
Educativo, p.18).
Com efeito, dos professores o Colégio espera que sejam também figuras de referência
e de identificação para os alunos, a quem devem disponibilizar “(…) um
acompanhamento personalizado de tipo tutorial” (Projeto Educativo, p.19). Valoriza-se
o espírito dialógico e de colaboração grupal dos docentes e a capacidade de “(…)
partilha de linguagens entre Pais, Professores e Direção da Escola, no sentido de uma
prática pedagógica coerente, estável e securizante” (Projeto Educativo, p.18), apenas
possível se os professores, através da formação contínua e do trabalho
multidisciplinar, se atualizarem constantemente. Para tal, o Colégio incentiva nos
docentes “(…) a participação em ações de formação, a frequência em seminários e
cursos de cariz científico e pedagógico que permitam ao Professor valorizar-se
profissionalmente e melhorar o seu desempenho” (Projeto Educativo, p.19).
Os pais e os encarregados de educação não são parte esquecida no Projeto
Educativo do Colégio. Defendendo a importância da participação na vida escolar dos
filhos, o Colégio delega na Direção, nos Coordenadores de Ano e nos responsáveis
pelas diferentes secções a missão de promover o diálogo permanente entre a Escola e
a Família, estimulado também pela realização de eventos – de âmbito diverso – que,
ao longo do ano letivo, abrem a escola à presença do núcleo familiar. Acredita o
colégio que só através desta conjugação de esforços entre Escola e Família se poderá
alcançar a meta da formação global dos indivíduos. Numa aceção de escola dinâmica
e aberta, o colégio promove, periodicamente, a revisão e atualização do seu Projeto
Educativo que, sempre na fidelidade aos princípios humanistas e de educação para os
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36
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
valores, se admite passível de ajustamento “(…) às transformações e exigências da
realidade envolvente e da sociedade em geral (…)”(Projeto Educativo, p.22).
2.3. ORGANIZAÇÃO
E
FUNCIONAMENTO
DO
COLÉGIO
MODERNO
Calendário escolar
O calendário escolar, que traduz a operacionalização do Projeto Educativo, tem como
matriz referencial o enquadramento legal proposto, anualmente, pelo Ministério da
Educação e da Ciência e encontra-se em anexo o calendário referente ao ano letivo
de 2012/2013.
Horário Escolar
No que respeita ao 2º, 3º ciclos e ensino secundário é designada, anualmente, pela
Diretora Executiva e Pedagógica, uma equipa de docentes que elabora os horários
atendendo, nomeadamente, a uma matriz que assenta na lógica dos blocos de 90
minutos e/ou 45 minutos e procurando sempre a libertação de atividades letivas numa
tarde da semana, de forma a possibilitar aos alunos a realização de atividades de
enriquecimento curricular.
Tabela1 – Matriz do horário escolar dos alunos do 2º e 3º ciclos do ensino básico e do ensino secundário
Segunda
Terça
Quarta
Quinta
Sexta
08:10 – 08:55
08:55 – 09:40
09:55 – 10:40
10:40 – 11:25
11:45 – 12:30
12:30 – 13:15
14:30 – 15:15
15:15 – 16:00
16:15 – 17:00
17:00 – 17:45
Rui Jorge Marques Godinho
37
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Estruturas Pedagógicas
Os Coordenadores da Educação Pré-escolar e do 1º ciclo do ensino básico são
nomeados anualmente pela Diretora Pedagógica e Executiva do Colégio e assumem
um papel privilegiado na prossecução das finalidades educativas delineadas no
Projeto Educativo, garantindo o bom funcionamento e organização das respetivas
secções.
A Diretora Pedagógica e Executiva designa, igualmente, e no que respeita aos 2º e 3º
ciclos do ensino básico e ensino secundário, professores responsáveis por ano de
escolaridade
-
Coordenadores
de
Ano.
A
estes
professores
compete
o
acompanhamento pedagógico continuado do aluno, a coordenação e monitorização do
Projeto Curricular de Turma, como também a interlocução e mediação entre a Direção
Pedagógica, professores, alunos e encarregados de educação.
Anualmente, são igualmente designados pela Diretora do Colégio os Coordenadores
de Departamento (Departamento Curricular de Ciências e Tecnologias, Departamento
Curricular de Línguas, Departamento Curricular de Ciências Sociais e Humanas e
Departamento Curricular de Artes e Educação Física) e os Responsáveis de Grupos
Disciplinares.
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38
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
3. ESTÁGIO CURRICULAR NO ÂMBITO DO MESTRADO EM
ENSINO DAS ARTES VISUAIS DO 3º CICLO DO ENSINO
BÁSICO E DO ENSINO SECUNDÁRIO
No presente capítulo descreve-se o estágio profissional realizado no âmbito do
Mestrado em Ensino das Artes Visuais no 3º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino
Secundário que decorreu durante o ano letivo de 2012/2013, de setembro de 2012 a
julho de 2013.
Acresce salientar que o estágio realizado foi inscrito na atividade profissional como
docente da referida instituição – Colégio Moderno.
Neste sentido, e atendendo a que a atividade de docência é avaliada segundo
parâmetros definidos e aprovados pela Direção do Colégio, serão utilizados alguns
desses critérios/parâmetros como elementos organizadores deste capítulo. Com
efeito, pressupõe-se que estes parâmetros poderão ser mais do que a “alavanca” para
a descrição mais ou menos minuciosa dos elementos fundamentais dos componentes
do estágio, mas sobretudo os elementos orientadores sobre os quais é pertinente
refletir e analisar, num processo de autoavaliação crítica do trabalho desenvolvido.
3.1. DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA
COMPONENTE NÃO LETIVA
A componente não letiva abrange a realização de trabalho individual (nomeadamente,
a preparação de aulas e a avaliação do processo ensino-aprendizagem) e a prestação
de trabalho ao estabelecimento de ensino. Assim, sob a orientação das diferentes
estruturas pedagógicas foram desenvolvidas as seguintes atividades das quais se
exclui o trabalho individual:

Participação em reuniões de natureza pedagógica: reuniões do Departamento
Curricular, do grupo de recrutamento de Artes Visuais, de Conselho de Turma
(ordinárias e extraordinárias) e nas reuniões de encarregados de educação do 6º,
10º e 11º anos.
Rui Jorge Marques Godinho
39
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Acresce, ainda, a participação nas Reuniões Gerais de Professores, convocadas
pela Direção do Colégio: em setembro, para a abertura do ano letivo, em janeiro,
reunião extraordinária para esclarecer e discutir aspetos relacionados com a Lei
nº11/2013, em maio, relativa às Provas Finais de Ciclo e aos Exames Nacionais, e
em julho para balanço do ano letivo e preparação do ano de 2013/2014.

Orientação de uma sala de apoio ao estudo, dirigida ao 2º ciclo do ensino básico (1
bloco semanal).

Substituição de outros docentes em situação de ausência (um tempo letivo).

Dinamização de uma sala de apoio para os alunos do 10º ano de Geometria
Descritiva que apresentam dificuldades na aquisição de conhecimentos à disciplina
e/ou desejem melhorar o seu desempenho. A frequência deste apoio é facultativa,
mas assume caráter obrigatório, com controlo de assiduidade, para os alunos
propostos em Conselho de Turma e após anuência dos encarregados de
educação.

Orientação de aulas de reforço para exame, dirigidas aos alunos do 11º ano de
Geometria Descritiva. Estas aulas assumem, no Projeto Curricular de Escola, um
caráter obrigatório e visam desenvolver competências específicas relacionadas
com o Exame Nacional.

No âmbito do Plano de Atividades do Colégio, participei em iniciativas que visam
promover o enriquecimento cultural e a inserção dos educandos na comunidade
educativa.
Assim, participei na Semana das Artes – dinamizando ateliers de enriquecimento
curricular com a atividade realizada no Museu da Cidade (pintura de uma t-shirt) e
a construção de um painel coletivo de aproximação à pintura sem pincel cujo
percursor foi Max Ernst e posteriormente desenvolvida por Pollock; participei na
montagem da exposição final de ano e realizei um workshop com o tema Origami
- A arte da dobragem, no âmbito dos Ateliers de Verão dirigidos aos alunos do 2º
e 3º ciclos do ensino básico.
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40
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
3.2. DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA
COMPONENTE LETIVA
No ano letivo de 2012/2013 foram atribuídas, no que se refere à componente letiva, a
lecionação da disciplina de Geometria Descritiva de 10º e 11º anos - turmas IB (Curso
Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologias) e II (Curso Científico Humanístico
de Artes Visuais) e da disciplina de Educação Visual de 6º ano - turmas A, B, C, D, E,
esta última lecionada em parceria com uma outra professora (par pedagógico), num
modelo extinto pelo Ministério da Educação e Ciência, mas que o Colégio mantém.
O horário estabelecido pela Comissão de Horários, nomeada pela Direção do Colégio
e aprovada em Conselho Pedagógico, é o descrito na Tabela 2, e que comporta 22
horas letivas (horário completo) e responde à matriz de horário dos alunos do 2º e 3º
ciclos do ensino básico e do ensino secundário. O Apoio Pedagógico Acrescido à
disciplina de Geometria Descritiva (ApGD) para os alunos de 10º ano e o Reforço para
Exame para os alunos de 11º ano (RefExGD) inscrevem-se nos tempos cedidos à
escola. Assinalado com “X” estão os tempos que são disponibilizados para a bolsa de
professores substitutos e/ou atividades de apoio à escola.
Tabela 2 - Horário do docente no ano letivo de 2012/2013
08:10
Segunda
Sala
X
08:55
09:55
10:40
11:45
12:30
11IB+II
GD
11IB+II
GD
10IB+II
GD
10IB+II
GD
33
33
33
33
13:15
14:30
15:15
16:15
17:00
Rui Jorge Marques Godinho
Terça
10IB+II
GD
10IB+II
GD
6ºE
EV
6ºE
EV
6ºB
EV
6ºB
EV
Sala
33
Quarta
Sala
Quinta
Sala
Sexta
Sala
33
30
6ºA
30
EV
30
6ºA
30
EV
30
6ºD
30
EV
30
6ºD
30
EV
11IB+II
GD
11IB+II
GD
33
33
11IB+II
33
GD
11IB+II
33
GD
11IB+II
33
RefExGD
10IB+II
GD
10IB+II
GD
6ºC
EV
6ºC
EV
33
33
30
30
X
X
10IB+II
33
ApGD
41
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
3.2.1.
LECIONAÇÃO DE EDUCAÇÃO VISUAL AO 2º CICLO
DO ENSINO BÁSICO
Foram-me atribuídas cinco turmas de 6º ano de Educação Visual, num total de cento e
quarenta alunos, entre os quais dois encontravam-se ao abrigo do Decreto-Lei
nº3/2008 e um deles beneficiava de um Currículo Específico Individual.
Relativamente à lecionação da disciplina de Educação Visual ao 6º ano do 2º ciclo do
ensino básico, a planificação das atividades letivas foi realizada em cooperação com a
docente com quem trabalhei em par pedagógico e em articulação com os professores
da disciplina de Educação Tecnológica do mesmo ano de ensino.
Na elaboração dos documentos de gestão pedagógica - planificação, referenciais de
avaliação, projeto curricular turma - atendeu-se às metas curriculares da disciplina
emanadas do Ministério da Educação e Ciência, aos Projetos Educativo e Curricular
de Escola e às orientações do Departamento de Artes do Colégio. Sublinho a
importância do trabalho colaborativo na construção dos documentos orientadores da
prática letiva.
O trabalho realizado foi sistematicamente preparado e monitorizado nas reuniões com
a orientadora do estágio académico no Colégio, com base na reflexão sobre o
percurso de “trabalho” supervisionado, nas minhas notas de campo e nas observações
dos desempenhos dos alunos, em situações formais e informais de avaliação, em
contexto de sala de aula.
Acresce referir, ainda que excedendo o âmbito do presente trabalho, que a revisão da
estrutura curricular com substituição da disciplina de Educação Visual e Tecnológica
pelas disciplinas de Educação Visual e de Educação Tecnológica, no 2.º ciclo do
ensino básico, cada uma com programa próprio, bem como a introdução das metas
curriculares, conduziram a dificuldades na preparação e organização das atividades
letivas, o que creio pôde ser relativamente ultrapassado pela manutenção de par
pedagógico na lecionação destas disciplinas, mérito da Direção da instituição onde
estagiei. Ainda neste sentido, foi realizada uma ação de formação orientada pelo Dr.
António da Cruz Rodrigues (coordenador da equipa que elaborou as metas
Rui Jorge Marques Godinho
42
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
curriculares de Educação Visual do Ensino Básico) e dirigida aos docentes do
Departamento de Artes do Colégio.
Outro aspeto relevante é a constatação que a divisão da disciplina de Educação Visual
e Tecnológica, e consequente diminuição do tempo semanal que partilhei com os
alunos, criou-me dificuldades no conhecimento específico e individualizado do perfil de
cada aluno.
Na avaliação dos trabalhos, sentia que aplicava com maior objetividade os critérios
específicos, sem no entanto enquadrar os produtos finais com as características e
perfis de cada aluno. Neste ponto em particular, foi, novamente, importante o trabalho
de parceria com a docente que formava par pedagógico, tanto pela sua experiência,
como por lecionar cumulativamente a disciplina de Educação Tecnológica ao 6º ano.
Fui nomeado para integrar a equipa de realização da Prova de Equivalência à
Frequência de Educação Visual – 2º ciclo do ensino básico, conduzindo, mais uma vez
ao aprofundamento da análise das metas curriculares do 5º e 6º anos. Neste âmbito
colaborei na elaboração da informação, no enunciado e nos critérios de classificação e
nos descritores de desempenho do nível específico da disciplina. A introdução de uma
prova no 2º ciclo do ensino básico numa disciplina como Educação Visual muda
totalmente o paradigma utilizado: os alunos têm de aplicar, em contexto de avaliação
formal, conhecimentos adquiridos ao longo do 2º ciclo. Este fator confere rigor e
exigência, numa disciplina, até agora, assumida como sendo eminentemente
experimentalista, lúdica e criativa.
3.2.2.
LECIONAÇÃO DE GEOMETRIA DESCRITIVA AO
ENSINO SECUNDÁRIO
Planificação, organização e realização das atividades letivas
Na planificação, numa primeira fase, atendeu-se ao programa da disciplina de
Geometria Descritiva A emanado do Ministério da Educação e Ciência, aos Projetos
Educativo e Curricular de Escola e às orientações do Departamento Curricular de
Artes do Colégio. As alterações/reformulações relativas às estratégias de ensino,
Rui Jorge Marques Godinho
43
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
feitas ao longo do ano letivo, tiveram como principal preocupação as características,
ritmos e aprendizagens do grupo/turma, as leituras dos seus desempenhos nas
diferentes atividades de aprendizagem e avaliação. Foram, ainda, definidos os
referenciais, referentes, critérios e ferramentas de avaliação consubstanciados nos
normativos vigentes e no referencial de avaliação do Colégio.
A planificação anual foi trabalhada integralmente no 10º e no 11º anos (Apêndices A e
B). Relativamente ao cumprimento dos programas, acrescento que o programa de
Geometria Descritiva de 10º ano permite um ritmo de aprendizagem adequado a cada
aluno, com espaço para a recuperação e obtenção de confiança para superar as
dificuldades e resistências à disciplina, permitindo a revisão e reforço das
aprendizagens. Parece-me fundamental que, ao longo do 10º ano, os alunos adquiram
hábitos de trabalho autónomos e ritmo de estudo, de forma a encararem a
complexidade e extensão do programa do ano seguinte.
A este propósito, é com alguma perplexidade que perceciono que facilmente os alunos
recorrem a explicações. Numa disciplina em que os conceitos essenciais são
introduzidos no 10º ano (não há a justificação da “falta de bases”), em que os
teoremas
são
simples
e
acessíveis
e
o
sucesso
à
disciplina
depende
fundamentalmente do treino/trabalho, num Colégio que faculta vários recursos
pedagógicos (aulas de apoio pedagógico acrescido, aulas de reforço para exame,
disponibilidade dos professores), parece-me que o recurso a explicações reflete uma
débil autonomia na produção de trabalho individual. Esta dependência de apoio
externo é, por sua vez, mantida pelos pais que se angustiam à primeira dificuldade dos
filhos, não lhes permitindo criar hábitos de estudo autónomos.
Relativamente aos planos de aula, estes foram delineados atendendo à planificação e
ritmo de aprendizagem do grupo-turma. A concretização e organização dos tempos de
aula estruturam-se em quatro momentos didáticos que serão brevemente descritos.
Como ponto de partida é introduzido o tema/conteúdo, sublinhada a sua importância
prática e são enquadrados os objetivos da aula numa perspetiva global, de forma a
captar o interesse e apelar aos aspetos motivacionais. Esta permissa é mantida ao
longo da aula e destacada sempre que considerada pertinente.
No desenvolvimento da atividade letiva são propostas estratégias de aprendizagem,
que respondem às exigências dos conteúdos a trabalhar e às necessidades do
Rui Jorge Marques Godinho
44
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
grupo/turma e/ou às individuais, e atividades de aprendizagem realizadas pelos
alunos, que compreendem a aplicação dos conteúdos em contexto.
O quarto momento didático relaciona-se com a monitorização da aula, quer no que se
refere à aprendizagem dos alunos (trabalho desenvolvido), quer no que se refere ao
processo de ensino. Atendendo ao referencial de avaliação, foi construída uma
matriz/grelha de observação direta focalizada em referentes e critérios definidos.
Tabela 3 - Matriz/grelha de observação direta para monitorização/avaliação
Na aprendizagem do aluno
Relativa ao processo de ensino
(Professor)
Referentes
. Intervenção e argumentação
. Interesse
. Autonomia
. Empenho
. Dúvidas
. Utilização das indicações de
atividades propostas
. Criatividade
. Motivação
. Clareza
. Confiança
. Segurança
. Encadeamento de ideias e
atividades
. Flexibilidade
. Clima relacional
. Atenção ao trabalho e dinâmica
da turma
Critérios
Qualidade
Pertinência
Os tempos destinados a cada momento de aula decorreram do ritmo de trabalho e da
dinâmica do grupo-turma.
No sentido de concretizar o acima exposto, apresentam-se, em apêndice ao presente
trabalho, dois planos de aula do 10º ano e dois planos de aula do 11º ano que
pretendem ilustrar aulas de carácter teórico, mais explanatórias e pouco frequentes
nesta disciplina, e aulas de teor prático.
A turma de Geometria Descritiva de 10º ano desenvolveu um trabalho sistemático e
continuado ao longo de todo o ano. No entanto, e em relação à postura e atitude da
turma, importa referir que esta se caracterizava por ser globalmente passiva e pouco
dinâmica.
Ao longo do ano letivo, os alunos do 10º ano foram acedendo ao trabalho, revelandose, progressivamente, mais envolvidos nas tarefas e desafios propostos. Este facto é
Rui Jorge Marques Godinho
45
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
comprovado pela assiduidade com que os alunos frequentaram as aulas de apoio
pedagógico acrescido (aulas de caráter facultativo, exceto para os alunos indicados
em Conselho de Turma), sendo que o horário destas aulas (6ª feira às 17h) estava,
para os alunos de Artes, agendado na tarde livre.
A turma de Geometria Descritiva de 11º ano com uma expetativa em relação à
disciplina e ao docente, assumiu uma postura interventiva e, por vezes, contestatária
que impedia o decurso das atividades letivas. A necessidade de mais trabalho
autónomo, que este segundo ano de frequência da disciplina exige, foi pontualmente
dificultada pela resistência de alguns alunos.
Associado a estes aspetos, o ritmo de aula, comparativamente ao 10º ano, é muito
superior. Mais uma vez, alguns alunos revelaram dificuldades em acompanhar estes
requisitos. A ansiedade gerada pela proximidade do Exame foi no último período
mitigada através da presença assídua nas aulas de reforço e nas aulas suplementares
de esclarecimento de dúvidas depois de findo o ano letivo.
Relação Pedagógica com os Alunos
Para Lev Vygotsky (1979) é importante que a aprendizagem se desenvolva, não como
uma prática isolada, mas antes através da interação com os outros.
Deste modo, foi uma constante a preocupação em estabelecer “pontes” que facilitaram
a motivação e a adesão dos alunos às atividades de aprendizagem, determinante para
“vencer” a resistência de alguns alunos em refazer tarefas/trabalhos de aprendizagem.
Ciente de que a turma organizada em cooperação, constitui a estrutura reguladora da
dinâmica das atividades de aprendizagem, desde o seu início até à sua comunicação,
de forma que o impulso individual se transforme num compromisso social de
construção de novas aprendizagens, foi privilegiado o clima de sala de aula que
favoreceu o estabelecimento de uma cultura de respeito mútuo, de cooperação e de
partilha que facilitou uma aprendizagem consistente, cooperativa e de permanente
diálogo.
Rui Jorge Marques Godinho
46
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Deste modo, em situação de aula recorreu-se a recursos diversificados, mas sempre
adequados às situações de trabalho, observando-se um acompanhamento do trabalho
desenvolvido pelo aluno, dando respostas às suas dúvidas e organizando momentos,
não programados, de motivação.
Processo de Avaliação das Aprendizagens
A avaliação não constitui uma finalidade em educação: trata-se de uma constelação
de instrumentos que visa a construção de um novo conhecimento acerca do próprio
processo
educativo.
Assim,
posiciona-se
a
avaliação
como
estratégia
de
aprendizagem que ao mesmo tempo se constitui como atividade de avaliação.
Como tal, a avaliação tem como objetos e protagonistas os intervenientes no processo
de ensino/aprendizagem formal – professores e alunos -, em âmbitos distintos e a
níveis muito diferentes, mas com objetivos comuns: consolidar saberes, aperfeiçoar ou
rejeitar metodologias, concertar finalidades e meios, e estimular e aproximar
criativamente os agentes do processo educativo.
No processo de avaliação definem-se três etapas, indissociáveis pela sua
complementaridade: a recolha de informação; o tratamento e interpretação da
informação recolhida e, finalmente, as leituras/reflexão acerca dos resultados.
Consequentemente, deste modelo tri-etápico da avaliação derivam as suas três
finalidades principais: informativa, valorativa e interventiva. Esta última possibilita o
contínuo reajustamento das modalidades processuais, o qual implica não só o
progressivo aperfeiçoamento da aprendizagem, como também a produção de
conhecimento sobre a própria avaliação.
O referencial de avaliação construído para a disciplina de Geometria Descritiva teve
por base as competências essenciais definidas pelo Ministério da Educação e Ciência
e constitui o modelo organizativo da gestão das aprendizagens, que visa posicionar o
processo avaliativo no âmbito duma avaliação formadora.
Rui Jorge Marques Godinho
47
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Tabela 4 – Referencial de avaliação na disciplina de Geometria Descritiva A
Domínios
Saberes
(declarativos e
procedimentais)
Referentes
Conceitos
Transferências
Utilização da linguagem
gráfica
Explicitação de
dúvidas/dificuldades
Avaliação de situações
reais com base nas
aprendizagens adquiridas
Critérios
Instrumentos
Pertinência
Portfolio
Qualidade
Testes
Oportunidade
Fichas de Trabalho
Organização das:
-ideias
-materiais
Trabalho na aula
Trabalhos de casa
Criatividade
Relação
(competências sociais;
adequação da atuação
em aprendizagem)
Partilha
Cooperação
Postura nos diferentes
espaços educativos
Responsabilidade
Autonomia/independência
Entreajuda
Organização
(lógica e coerência da
organização dos
materiais e na
realização das
atividades)
Cumprimento das tarefas
propostas
Cumprimento de prazos
Empenho
No início do ano letivo, com base na informação e clarificação sobre o roteiro temático,
as aprendizagens essenciais, as competências a desenvolver e os recursos a utilizar,
foi trabalhado com os alunos o referencial de avaliação da disciplina, os referentes a
observar, os critérios e os instrumentos de avaliação.
A avaliação comporta três modalidades, de acordo com as indicações do Ministério da
Educação e Ciência, a saber: a avaliação diagnóstica, a avaliação formativa e a
avaliação sumativa interna e externa.
Com base nesta estrutura, os alunos foram sujeitos de uma avaliação criteriosa e
exigente, com base em instrumentos diferenciados de observação do seu
desempenho, tais como os descritos no referencial de avaliação: portfolio, fichas
diagnósticas, trabalhos de casa, observação do trabalho na aula, fichas de trabalho e
testes de avaliação sumativa interna.
No sentido de responder à vertente diagnóstica do processo de avaliação, foram
realizadas fichas de trabalho para ambas as turmas/ano. A ficha diagnóstica do 10º
Rui Jorge Marques Godinho
48
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
ano incidiu sobre conceitos da geometria euclidiana e do desenho axonométrico,
abordados nas disciplinas de Matemática e Educação Visual do Ensino Básico.
No 11º ano, foi construída uma ficha de caráter diagnóstico sobre os conteúdos
considerados essenciais do programa de 10º ano da disciplina de Geometria
Descritiva A: representação diédrica de pontos, retas e planos; definição de pontos e
retas em planos e de planos por pontos e retas; interseções de retas com planos e
planos com planos; representação de figuras planas e representação de sólidos
regulares e oblíquos.
No entanto, e considerando a avaliação não apenas certificativa mas formadora, todas
as atividades de avaliação tinham, ao mesmo tempo, uma leitura inscrita do domínio
do diagnóstico, uma reflexão formativa e uma função certificativa/classificativa dos
desempenhos.
Sublinha-se a importância da avaliação diagnóstica na (re)formulação das estratégias
de ensino por forma a integrar atividades de aprendizagem que fossem, ao mesmo
tempo, de remediação e de desenvolvimento.
Foram igualmente elaboradas fichas de trabalho a serem aplicadas em contexto de
sala de aula. Desta forma foi reforçada a preparação para os testes de avaliação e
obteve-se, por parte dos alunos, um “feedback”, sobre as suas dúvidas, as
dificuldades e o grau de preparação sobre determinada matéria presente nas fichas.
Normalmente, estas fichas eram apresentadas às turmas, na semana que antecedia o
próprio teste. Assim, os conteúdos presentes nesses documentos eram exercitados e
aplicados no teste de avaliação.
Em relação ao aluno com necessidades educativas especiais foram realizados
diversos procedimentos exigidos pelo seu perfil de aprendizagem: elaboração de
adequações
curriculares,
matrizes
específicas
para
as
avaliações
formais,
instrumentos de avaliação adequados às necessidades do aluno, grelhas de cotação
específicas e fichas orientadoras de estudo.
A planificação das avaliações formais do Colégio é realizada, no início do ano, em
articulação com o calendário escolar e o Plano Anual de Atividades, pela Coordenação
de Ano e aprovada pela Direção. A calendarização das avaliações é formalizada em
documento próprio e, devidamente, divulgado na comunidade educativa. Foram
Rui Jorge Marques Godinho
49
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
realizadas duas avaliações formais por período na disciplina de Geometria Descritiva
A e estes instrumentos de avaliação apresentaram um caráter globalizante.
Relativamente à metodologia desenvolvida na elaboração dos testes foram
selecionados os objetivos/conteúdos a serem avaliados e definidos na planificação da
disciplina.
Procedeu-se, então, para cada teste, à elaboração de uma matriz de conteúdos que
era transmitida e trabalhada com os alunos. Pretende-se, conforme o entendimento da
avaliação anteriormente referido, que cada teste encerre um carácter diagnóstico, para
além de certificativo das aprendizagens, respondendo a uma avaliação formativa.
Foram selecionados itens/exercícios que respondiam aos objetivos a avaliar para cada
conteúdo e finalmente, procedeu-se a uma revisão cuidada do teste construído, tendo
em vista verificar se satisfazia requisitos de qualidade/exigência- validade de conteúdo
e adequação ao perfil da turma.
As matrizes, enunciados e respetivos critérios de correção da 2ª, 4ª e 6ª avaliação
formal escrita elaborada para o 10º e o 11º ano na disciplina de Geometria Descritiva
encontram-se apensas a este trabalho.
As
leituras
relativas
ao
desempenho
dos
alunos
nas
atividades
de
avaliação/aprendizagem em conjunto com as minha “notas de campo” estruturaram a
monitorização do meu desempenho como professor, e orientando-se na análise crítica,
resultante da supervisão pedagógica, serviram de base de trabalho para construção
da minha prática docente.
No âmbito da avaliação sumativa interna, juízo globalizante sobre as aprendizagens
realizadas pelos alunos, e traduzida no ensino secundário numa escala de 0 a 20
valores registam-se as seguintes considerações.
Nos resultados escolares obtidos pelos alunos do 10 º ano, a média da classificação
atribuída no final do ano (3º período) foi de 14,3 valores, com uma diferença muito
significativa entre a média de classificação final dos alunos do Curso de Ciências e
Tecnologias (16,3 valores) e a média de classificação final dos alunos do Curso de
Artes Visuais (11,4 valores). Note-se que no 1º período, num universo de 10 alunos de
Rui Jorge Marques Godinho
50
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
artes, 8 tiveram negativa (média de 8,6 valores), em contraste com uma média de 15,0
valores dos alunos de Ciências e Tecnologias. Esta discrepância nos resultados dos
alunos manteve-se ao longo do ano (Tabela 5) e conduz a reflexões sobre as razões
que poderiam estar na origem deste desfasamento, objeto de estudo do presente
trabalho.
Tabela 5 – Médias das classificações atribuídas aos alunos de 10º ano à disciplina de Geometria
Descritiva, no ano letivo de 2012/2013
Curso Científico-Humanístico
Ciências e Tecnologias
Artes Visuais
1º Período
2º Período
3º Período
15,0
15,8
16,3
8,6
10,1
11,4
.
No que se refere aos resultados escolares obtidos pelos alunos do 11 º ano, a média
da classificação atribuída no 3º período foi de 13,8 valores, com uma diferença ainda
significativa entre a média de classificação final dos alunos do Curso de Ciências e
Tecnologias (14,4 valores) e a média de classificação final dos alunos do Curso de
Artes Visuais (13,3 valores).
Tabela 6 – Médias das classificações atribuídas aos alunos de 11º ano à disciplina de Geometria
Descritiva, no ano letivo de 2012/2013
Curso Científico-Humanístico
Ciências e Tecnologias
Artes Visuais
1º Período
2º Período
3º Período
12,7
13,3
14,4
11,7
11,9
13,3
Surge, então um outro dado relevante relacionado com as classificações obtidas pelos
alunos de 11º ano no Exame Nacional. A média obtida pelos alunos no Exame
Nacional de Geometria Descritiva foi 17,1 valores. A diferença positiva entre a nota de
exame e a Classificação Interna de Frequência (CIF) deve-se aos resultados obtidos
pelos alunos de artes. Esta discrepância coloca em evidência, mais uma vez e à
semelhança do relatado com a turma de 10º ano, a assimetria de resultados entre os
dois cursos do ensino secundário (Ciências e Tecnologia e Artes).
Na realidade, os alunos de artes, com menos hábitos de trabalho e uma metodologia
de estudo menos sistematizada, e portanto menos confiável, apenas no final do ano, e
Rui Jorge Marques Godinho
51
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
com a aproximação do exame, aplicam esforços, obtendo resultados no exame acima
dos que atingiram ao longo do ano.
No mesmo sentido, o grau de exigência dos instrumentos de avaliação, algumas vezes
sinalizada pelos alunos, poderá justificar a diferença nos resultados obtidos na
avaliação interna e na externa. Tento, porém, na ponderação da classificação interna
responder a critérios de empenho, envolvimento, participação e progressão dos
alunos, expressos no referencial de avaliação da disciplina, que julgo refletirem-se nos
níveis atribuídos e que, novamente, podem “beneficiar” os alunos de ciências.
Participação e envolvimento no Projeto Educativo
Relativamente a este parâmetro, cumpre-me referir que o processo de envolvimento
com o Projeto Educativo do Colégio foi natural e afetivamente fácil, visto que a minha
ligação à Instituição é anterior à realização do Estágio Supervisionado e mais ampla
do que o vínculo profissional.
Partilho com entusiasmo os ideais e princípios consignados no Projeto Educativo,
lançados pelo Fundador do Colégio e mantidos com convicção e assertividade pela
atual Diretora. Foi, por isso, com agrado e espírito de pertença que participei nas
várias iniciativas desenvolvidas e partilhei alguns momentos que constituem
experiências sentidas dos princípios humanistas e de uma educação para os valores.
Foram exemplo disso a receção aos novos alunos do 2º e 3º ciclos do ensino básico e
do ensino secundário, a cerimónia de entrega dos prémios aos melhores alunos, a
eucaristia de celebração da data de aniversário do Fundador do Colégio, o concerto de
Natal na Aula Magna da Reitoria de Lisboa, a festa de encerramento das atividades
letivas do 2º e 3º ciclo e do ensino secundário e o concerto de final de ano.
No âmbito da Semana das Ciências, assisti à conferência do Dr. Medina Carreira, e na
Semana da Línguas, da Literatura e da Poesia, às apresentações das escritoras Isabel
Alçada e Maria do Rosário Pedreira e do Prof. Manuel Maria Carrilho.
O ano letivo de 2012/2013 ficou também marcado pelo surgimento da Escola de
Música do Colégio Moderno, concretizando, uma vez mais, a linha de tradição cultural
da instituição, e neste particular da expressão musical. Este projeto teve um programa
de apresentações muito interessante e variado que acompanhei ao longo do ano, mas
no qual destaco o Dia Solidário no Teatro Nacional de S. Carlos – um conjunto de
Rui Jorge Marques Godinho
52
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
concertos cuja receita reverteu integralmente a favor do Centro Pediátrico do Hospital
de Santa Maria.
No âmbito da prática pedagógica, foi, igualmente, minha intenção manter uma atitude
de disponibilidade, de cooperação e de compreensão, aliadas a uma posição de
autoridade e de referência, assente na ideia de formar cidadãos reflexivos, críticos,
criativos, cientificamente preparados, autónomos, tolerantes e capazes de defender os
valores da cultura e das artes.
Participação e dinamização de projetos e outras atividades

Orientação de sala de estudo dirigida aos alunos do 2º ciclo do ensino básico
Durante o ano letivo de 2012/2013, orientei, uma vez por semana, uma sala de estudo
dirigida aos alunos do 2º ciclo do ensino básico. Foi intenção proporcionar um espaço
tranquilo e agradável, adequado ao estudo, com regras claras de respeito e trabalho.
Devo acrescentar que a intervenção tinha como objetivo fomentar a autonomia dos
alunos, incentivando a procura de soluções, a pesquisa nos manuais e estimulando a
partilha de conhecimentos e esclarecimento de dúvidas entre pares. Muito raramente,
e apenas quando esta abordagem não era eficaz, intervinha ativamente no processo
de ajuda.
Os alunos que frequentavam habitualmente a sala que orientei eram tranquilos e, por
se tratar das sextas-feiras à tarde, foi-me permitido assumir algumas vezes uma
postura mais informal e descontraída, diferente da que assumo nas aulas que leciono.

Semana das Artes
Foi proposto ao Departamento de Artes a realização de uma atividade, dirigida aos
alunos do 2º ciclo, a ter lugar na Semana das Artes, utilizando a técnica de impressão
precursora da fotografia, através da qual, com recursos muito simples e básicos, é
possível executar a fotossensibilização de folhas de papel. Um exemplo da utilização
desta técnica é o Grande Herbário de Sombras da artista Lourdes Castro.
O processo é totalmente artesanal, não sendo necessária câmara escura, e apenas
requer a aplicação de uma solução química sobre papel de boa qualidade e
gramagem. Em colaboração com um professor do ensino secundário da disciplina de
Físico-Química e Coordenador do Departamento de Ciências e Tecnologias, foi
Rui Jorge Marques Godinho
53
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
planificada a atividade. Com esta colaboração seria possível aceder a um processo
preparatório da solução química e emulsão da folha, com utilização do laboratório,
conferindo à atividade um caráter transversal (artes e química).
Nos moldes utilizados pela artista é possível promover uma experiência com
resultados de alta qualidade plástica e acessível aos alunos de anos mais
elementares. No entanto, e por meio de imagens em negativo, num exercício mais
exigente e complexo, pode adequar-se a atividade a alunos mais velhos (mais próximo
dos trabalhos de Moholy-Nagy).
No entanto, devido à indisponibilidade dos materiais (citrato de ferro amoniacal e
ferricianeto de potássio) esta atividade não se concretizou, tendo ficado planificada
para concretizar no ano letivo seguinte no âmbito da Semana da Artes.
Colaborei, ainda, com um dos professores de Educação Visual do 3º ciclo do ensino
básico numa atividade, inicialmente pensada para ser efetuada em contexto de aula,
mas que foi desenvolvida no pátio do Colégio, durante a Semana das Artes,
assumindo um caráter público, de participação livre e coletiva. Esta oficina, de
abordagem à pintura do artista Pollock, pela sua liberdade expressiva, foi bastante
participada e no resultado final trespassaram a energia e dinâmicas conseguidas.
A substituição do professor de Materiais e Tecnologias de 12º ano, durante a sua
licença de paternidade, permitiu-me, ainda, acompanhar os alunos desta disciplina na
finalização do trabalho que apresentaram na Semana das Artes.

Exposição Final de Ano
Colaborei com elementos do Departamento de Artes na planificação, montagem e
desmontagem da exposição final de ano.
Esta exposição, com uma vertente predominantemente artística, mas que abarca a
mostra de outros projetos e de outras disciplinas, sob o signo do tema anual do
Colégio, em 2012/2013 “Por um novo humanismo: mais cultura, melhor educação”, é
um dos momentos que permite à comunidade educativa contactar com o trabalho
desenvolvido ao longo ano.
Rui Jorge Marques Godinho
54
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Atendendo aos critérios definidos pelo Departamento de Artes, e em colaboração com
a professora que constituía o par pedagógico em Educação Visual, foram
selecionados e expostos trabalhos dos alunos de 6º ano da referida disciplina.

Ateliers de Verão
Realizei um atelier de Origami, para a execução de um cubo sonobe. Esta técnica,
apenas com dobragens e sem qualquer uso de tesoura ou cola, permite realizar um
cubo. Apesar da apreensão inicial, visto a tarefa ter um grau de dificuldade razoável, e
grande expetativa em relação ao resultado final, foi com agrado que se verificou que
todos os alunos conseguiram executar a proposta.
Nos Ateliers de Verão acompanhei, ainda, os alunos numa visita ao Museu da RTP.
Foi realizada uma breve visita ao museu e aos estúdios, que terminou com a
dobragem de um pequeno filme de animação.
Rui Jorge Marques Godinho
55
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
4. PROBLEMÁTICA
Neste capítulo define-se a problemática objeto de estudo do presente trabalho.
O Colégio Moderno é reconhecido por ser uma escola de excelência, orientada para a
qualidade do sucesso educativo, que confere aos seus alunos métodos de trabalho e
uma cultura de aprendizagem que promove a apropriação dos saberes estruturada em
objetivos de exigência e rigor, condições fundamentais para um desempenho escolar
muito satisfatório e que se traduz nas elevadíssimas percentagens de alunos do
Colégio que ingressam no ensino superior na primeira opção.
Esta instituição oferece, no ensino secundário, cursos científico-humanísticos
claramente vocacionados para o prosseguimento de estudos, sendo muito relevante,
os resultados obtidos pelos seus alunos nos exames nacionais, respondendo, deste
modo, às expetativas dos alunos e das suas famílias e honrando o compromisso com
os princípios, valores e história da instituição.
Atendendo a este enquadramento, o tema/problema que me proponho investigar surge
da constatação e da reflexão realizada na e sobre a prática letiva.
Na realidade foi possível verificar, no que diz respeito à disciplina de Geometria
Descritiva, que os alunos, do 10º e do 11º anos do Curso de Artes Visuais obtinham,
globalmente, nas avaliações escritas formais (testes) classificações inferiores, ainda
que satisfatórias, aos dos alunos do Curso de Ciências e Tecnologias. Esta
discrepância mantém-se na avaliação sumativa interna e na certificação conferida pelo
exame nacional.
Refira-se que os alunos dos dois cursos constituem um único grupo turma/ano de
escolaridade na disciplina de Geometria Descritiva, as aulas têm exatamente a mesma
planificação,
a
mesma
dinâmica,
a
mesma
metodologia
de
ensino,
são
disponibilizadas as mesmas ferramentas de trabalho, elaboradas as mesmas
propostas e utilizados os mesmos instrumentos de avaliação.
Deste modo, e considerando que ao longo do ano letivo estas diferenças no
desempenho escolar não foram atenuadas, constitui-se como objeto desta tese de
Mestrado um estudo exploratório entre os resultados dos alunos de 10º e 11º anos de
Ciências e Tecnologias e de Artes Visuais na disciplina de Geometria Descritiva.
Rui Jorge Marques Godinho
56
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
5. OBJETIVOS
O presente estudo apresenta como objetivo principal explorar as razões inerentes à
discrepância de resultados escolares dos alunos de Geometria Descritiva de
Artes Visuais e Ciências e Tecnologias, tendo como estudo de caso duas turmas,
de 10º e 11º anos, do Colégio Moderno. [negrito nosso]
Na prática letiva intuiu-se uma discrepância entre os desempenhos escolares dos
alunos de Artes Visuais e Ciências e Tecnologias. Neste sentido, pretende-se, numa
perspetiva descritiva, exploratória e interpretativa, destacar e verificar as diferenças
reais no desempenho da população em estudo através da análise de diferentes
elementos de avaliação de natureza quantitativa (testes de avaliação formal, avaliação
sumativa, exame nacional de Geometria Descritiva A).
Sendo o Exame Nacional de Geometria Descritiva A considerado como prova de
ingresso para alguns cursos do ensino superior, pretende-se perceber se este facto
influencia os resultados dos alunos do 11º ano no exame nacional. [negrito
nosso]
Através do enquadramento histórico da Geometria Descritiva é, objetivo deste
estudo perceber a sua natureza e etiologia e se existem neste âmbito respostas
para uma aproximação da disciplina às ciências ou às artes visuais. [negrito nosso]
Especificamente, o presente estudo tentará responder às seguintes questões:
Os alunos de Ciências e Tecnologias adaptam-se melhor do que os de Artes Visuais à
disciplina de Geometria Descritiva?
Será que o exame de Geometria Descritiva A, prova certificadora externa, influencia
positivamente os resultados dos alunos de Artes Visuais?
A disciplina de Geometria Descritiva encontra-se mais próxima das artes ou das
Ciências?
Rui Jorge Marques Godinho
57
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
6. METODOLOGIA
6.1. OPÇÕES METODOLÓGICAS
Atendendo ao tema, à problemática, aos objetivos delineados e à população, foi
definido o estudo de caso como a opção metodológica mais adequada.
Esta modalidade de investigação tem vindo a ser alvo de críticas em relação ao seu
valor científico, no entanto é reconhecida como sendo uma das mais adequadas à
compreensão, exploração ou descrição de acontecimentos ou contextos complexos,
como é o caso dos educacionais. Yin (1994) defende que esta opção metodológica se
encontra particularmente adaptada à análise de fenómenos contemporâneos, sobre os
quais o investigador não tem controlo, e em que se procuram respostas ao “Como” e
“Porquê”, apresentando-se como uma solução metodológica eficaz para o conjunto de
questões identificadas no presente estudo.
Relativamente à profundidade ou natureza do estudo de caso, esta metodologia
encontra-se em harmonia com a experiência daqueles que nela estão envolvidos. Este
aspeto, descrito como uma limitação, é no domínio da investigação em educação,
onde os estudos se fundamentam na relação entre a profundidade e o tipo de
experiência vivida, na expressão desta experiência e na compreensão da mesma, uma
vantagem importantíssima.
Relativamente à possibilidade de generalização e ao caráter particular do objeto de
estudo, o caso, definido como um fenómeno de certa natureza ocorrendo num dado
contexto, pretende ser compreendido e interpretado na dimensão dos seus limites, não
existindo a pretensão das conclusões serem generalizáveis a outros contextos.
Considera-se, aliás o que afirma Stake, que “(…) o objetivo do estudo de caso não é
representar o mundo, mas representar o caso”. (1998, p.245).
No mesmo sentido, se considera que os estudos de caso não têm de autorizar
inferências estatísticas (generalizações extensivas), mas antes inferências lógicas, isto
é, generalizações analíticas. (Yin, 1994)
Rui Jorge Marques Godinho
58
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
A presente investigação, que decorre no âmbito do estágio supervisionado no ensino
das artes visuais, na qual o investigador é elemento-participante, inscreve-se numa
abordagem qualitativa. Os estudos de natureza qualitativa consideram que há uma
relação dinâmica entre o mundo real e o sujeito e a interpretação dos fenómenos e a
atribuição de significados são essenciais no processo de pesquisa.
As características mais comuns nas investigações qualitativas apresentadas por
Bogdan e Bilken (1994, p.47-51) são: 1) na pesquisa qualitativa, o investigador é o
instrumento principal; 2) a investigação qualitativa tende a ser mais descritiva; 3) na
investigação qualitativa há mais interesse pelo processo do que pelos resultados ou
produtos; 4) os investigadores qualitativos tendem a analisar os dados indutivamente;
5) o significado é de importância vital para as abordagens qualitativas; 6) é indutiva,
isto é, o investigador desenvolve conceitos, ideias a partir de padrões encontrados nos
dados.
Os mesmos autores esclarecem que as abordagens qualitativas e quantitativas podem
ser complementares o que se revela pertinente no presente estudo.
Privilegia-se o método qualitativo, tendo em conta a sua maior potencialidade quando
se trata de compreender um fenómeno particular e circunscrito, ainda que complexo,
no entanto, aceita-se a complementaridade, aliando às técnicas qualitativas as
quantitativas através da triangulação metodológica.
A triangulação, método de verificação de dados, segundo Denzin (1989), utiliza
múltiplas perspetivas para a recolha e análise dos dados de um fenómeno para que
haja convergência numa representação mais precisa da realidade.
No presente estudo exploratório sobre os resultados dos alunos de Ciências e
Tecnologias e de Artes Visuais na disciplina de Geometria Descritiva, optou-se pela
triangulação dos dados e pela triangulação metodológica. Na primeira, consideram-se
duas turmas, de anos distintos ao longo do ano letivo de 2012/2013. Cada uma das
unidades em estudo (turma/ano) representa uma área diferente do significado no qual
ocorre o mesmo evento genérico (resultados escolares dos alunos de ciências e dos
alunos de artes).
Rui Jorge Marques Godinho
59
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Relativamente à triangulação metodológica, optou-se pela combinação de vários
instrumentos de recolha de dados, com idênticas aproximações ao objeto de estudo.
Assim, recorreu-se às classificações obtidas nas avaliações formais escritas (testes),
às
avaliações
sumativas
(avaliações
finais
de
período),
à
avaliação
externa/certificadora (Exame Nacional de Geometria Descritiva), às classificações
internas de frequência na disciplina de Geometria Descritiva e a informação
disponibilizada pelo Ministério da Educação e Ciência relativa às provas de ingresso
de acesso ao ensino superior.
O processamento de dados foi realizado através da estatística descritiva,
pretendendo-se resumir a informação recolhida relativa à população em estudo, sem
distorção, nem perda de informação.
Em síntese, esta investigação conjuga a abordagem quantitativa e qualitativa,
utilizando a triangulação como opção metodológica e é consonante com o design de
estudo de caso. No processamento e tratamento dos dados é utilizada a estatística
descritiva. As opções metodológicas estão, assim, relacionadas com os objetivos do
estudo: compreender as diferenças de desempenho a Geometria Descritiva nos
alunos de Ciências e Tecnologias e de Artes Visuais do Colégio Moderno e posicionar
a disciplina nestas duas áreas de conhecimento – ciência ou arte.
6.2. PLANO DE AÇÃO
A presente investigação decorreu, no Colégio Moderno, durante o ano letivo de
2012/2013, em duas turmas, de anos diferentes (10º e 11º), nas quais exerci funções
como docente da disciplina de Geometria Descritiva. As turmas eram compostas por
alunos dos cursos científico-humanísticos de Ciências e Tecnologias e de Artes
Visuais.
No âmbito da prática letiva verificou-se, em ambas as turmas, após a realização do
primeiro teste de avaliação, uma discrepância significativa nos resultados obtidos
pelos alunos de Ciências e Tecnologias e Artes Visuais. Esta evidência conduziu a
uma reflexão sobre as razões inerentes ao acontecimento. Os registos das
observações em sala de aula, as notas de campo inscritas nos planos de aula e o
próprio instrumento de avaliação (teste) não pareciam justificar o acontecimento.
Rui Jorge Marques Godinho
60
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
A favor da boa prática letiva e na tentativa de aproximar os perfis de desempenho do
grupo-turma, na construção dos instrumentos de avaliação atendeu-se a esta
discrepância tentando atenuá-la. Todavia, estes procedimentos não produziram os
efeitos desejados. Assim, consideraram-se os testes de avaliação formal como
instrumentos de recolha de dados de forma a estabelecer um padrão que permitisse
formular hipóteses justificativas para o desvio de resultados entre os alunos de
ciências e artes.
Na recolha de dados consideraram-se, também, as avaliações sumativas, por período,
na disciplina de Geometria Descritiva, na medida em que esta avaliação consiste num
juízo globalizante e é da responsabilidade do Conselho de Turma, respeitando o
referencial de avaliação da disciplina e do Colégio, que considera outros domínios e
referentes que não são contemplados nos testes de avaliação e na qual estão
envolvidos outros intervenientes.
Em relação aos alunos de 11º ano, recolheram-se, igualmente, as classificações
internas de frequência (CIF) na disciplina de Geometria Descritiva e os resultados do
Exame Nacional, visto considerar-se um elemento certificador externo e, portanto,
cumprindo critérios de independência e universalidade.
Na tentativa de posicionar a disciplina no domínio das Artes ou da Ciência, incluíramse as avaliações sumativas internas de final de ano das restantes disciplinas que
compõem a formação específica. Assim, em relação aos alunos de Ciências e
Tecnologias reuniram-se as classificações de Física e Química e Matemática A, e em
relação aos alunos de Artes Visuais as de Desenho e Matemática B.
Os desenhos dos estudos qualitativos são flexíveis e evoluem ao longo da
investigação. Alguns autores defendem, ainda, que nos estudos qualitativos não se
deve realizar pesquisa prévia dos fenómenos em estudo. Aceitando estas premissas,
tornou-se, a dado momento, pertinente realizar uma pesquisa bibliográfica que
enquadrasse a geometria, e em particular a geometria descritiva, num campo de
conhecimento mais próximo das artes ou da ciência, e que apontasse num sentido
explicativo ou de levantamento de hipóteses para os resultados que estavam a ser
obtidos.
Rui Jorge Marques Godinho
61
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Foi, igualmente, construído um questionário que pretendia recolher dados relativos à
caracterização sociodemográfica da população em estudo.
Na lógica de reformulação do design experimental comum nos estudos qualitativos, e
numa fase final de recolha de dados, acrescentou-se informação relativa às provas de
ingresso de acesso ao ensino superior que pudesse clarificar aspetos motivacionais na
frequência da disciplina.
Procedeu-se, posteriormente, a uma análise quantitativa (estatística descritiva) de
todos os dados recolhidos.
6.3. CARACTERIZAÇÃO DA POPULAÇÃO
A população do presente estudo é constituída por 41 sujeitos distribuídos da seguinte
forma: uma turma de 10º ano (n=22), composta por alunos do Curso CientíficoHumanístico de Artes Visuais (n=10), para os quais a disciplina tem, no Colégio,
caráter obrigatório, e alunos do Curso de Ciências e Tecnologias que optam entre
Geometria Descritiva e Biologia e Geologia (n=12), e uma turma de 11º ano, cujos 10
alunos frequentam o Curso de Artes Visuais e 9 alunos de Ciências e Tecnologias.
Nesta amostra não se incluiu o aluno com necessidades educativas especiais.
Turma de 10º Ano
A turma de 10º ano é constituída por 22 alunos, composta por 10 alunos do Curso
Científico-Humanístico de Artes Visuais, para os quais a disciplina tem, no Colégio,
caráter obrigatório, e 12 alunos do Curso de Ciências e Tecnologias que optam entre
Geometria Descritiva e Biologia e Geologia (no Colégio, os alunos de Ciências e
Tecnologias frequentam na formação específica as disciplinas de Física e Química e
Geometria Descritiva ou Física e Química e Biologia e Geologia).
Relativamente à distribuição por género, 9 alunos são do sexo feminino e 13 do sexo
masculino.
Rui Jorge Marques Godinho
62
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Ilustração 9 - Distribuição, por género, em percentagem, dos alunos da turma de 10º Ano
(Ilustração nossa, 2015)
A média de idades da turma é de 15 anos, sendo que uma aluna ficou retida durante o
seu percurso no 3º ciclo do ensino básico e uma outra beneficiou de antecipação no
ingresso na escolaridade.
Ilustração 10 – Distribuição de idades por género na turma do 10º ano
(Ilustração nossa, 2015)
No que se refere à localização da residência, a maioria dos alunos vive na cidade de
Lisboa, nas freguesias próximas da do Colégio, e apenas seis alunos noutros
Concelhos. Todos os alunos são de nacionalidade portuguesa.
Ilustração 11 – Distribuição percentual de alunos do 10º ano por concelho de residência
(Ilustração nossa, 2015)
Rui Jorge Marques Godinho
63
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Relativamente à situação profissional dos Pais dos alunos, verifica-se que todos se
encontram em situação laboral ativa e apenas uma Mãe é referenciada como sendo
“doméstica”. Relativamente às profissões exercidas pelos progenitores dos alunos da
turma
verifica-se
que
as
mais
frequentes
são
a
Engenharia
(27,9%),
a
Economia/Gestão (20,9%), a Advocacia (9,3%) e a Medicina (9,3%).
O nível de escolaridade dos progenitores é revelador da importância dada à
escolaridade dado que 91% têm um diploma do Ensino Superior. A licenciatura é o
grau académico mais frequente entre os progenitores (77%). Contudo, uma
percentagem significativa possui uma habilitação académica superior a esta (5%
possui um Mestrado e 9% um Doutoramento). Apenas 9% dos progenitores
abandonaram os estudos no final do Ensino Secundário.
Ilustração 12 - Distribuição percentual das habilitações literárias dos pais dos alunos da turma de 10º ano
(Ilustração nossa, 2015)
Turma de 11º Ano
A turma de 11º ano é constituída por 19 alunos, sendo que 10 dos alunos frequentam
o Curso Científico-Humanístico de Artes Visuais e 9 o Curso de Ciências e
Tecnologias.
Rui Jorge Marques Godinho
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
No que se refere à distribuição por género, 10 alunos são do sexo masculino e 9 do
sexo feminino.
Ilustração 13 - Distribuição, por género, em percentagem, dos alunos da turma de 11º Ano
(Ilustração nossa, 2015)
A média de idades da turma é de 16,1 anos, existindo dois alunos que no seu percurso
educativo registam uma retenção durante o ensino básico. Todos os alunos que
constituem a turma encontram-se a frequentar pela primeira vez o 11º ano.
Ilustração 14 - Distribuição de idades, por género, na turma do 11º ano
(Ilustração nossa, 2015)
Quanto à nacionalidade e zona de residência dos alunos, os dados apontam para a
inexistência de variações assinaláveis: todos os alunos são de nacionalidade
portuguesa e a maioria vive no Concelho de Lisboa.
Rui Jorge Marques Godinho
65
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Ilustração 15 - Distribuição, percentual, de alunos por Concelho de residência da turma de 11º ano
(Ilustração nossa, 2015)
À semelhança da turma de 10º ano, os Pais encontram-se em situação laboral ativa e
dois alunos referem que as mães se ocupam, neste momento, das tarefas domésticas
mas já exerceram, no passado, uma profissão.
Na turma de 11º ano, e no que concerne às profissões exercidas pelos progenitores
dos alunos, verifica-se, mais uma vez, que a profissão que prevalece é a Engenharia
(31,6%), seguida da Economia/Gestão (13,5%).
Relativamente às habilitações literárias dos progenitores dos alunos da turma de 11º
ano, constata-se a tendência já evidenciada na turma de 10º ano. Destaca-se, então, a
licenciatura como habilitação literária preponderante entre os pais dos alunos (71%).
Ilustração 16 - Distribuição, percentual, das habilitações literárias dos pais dos alunos
da turma de 11º ano (Ilustração nossa, 2015)
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
7. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
7.1. CONTEXTO HISTÓRICO DA GEOMETRIA
A matemática apresenta duas vertentes: as matemáticas finitas, também conhecidas
como discretas – tratam de quantidades que se podem contar – e as consideradas
contínuas. A prova mais antiga do uso da matemática discreta é o osso de Ishango
(Ilustração 17), os seus entalhes agrupados sugerem que terá sido utilizado para
algum tipo de cálculo. Por outro lado, há elementos que não são possíveis de
quantificar através da matemática discreta. As substâncias como a água ou a terra são
quantidades contínuas que também são necessárias converter em algo mensurável.
As origens da geometria baseiam-se nestas medições (Fundamentos da Geometria).
Ilustração 17 – Osso de Ishango
Heródoto (485-420 a.C.), considerado o Pai da História, acreditava que a geometria
tinha surgido da necessidade prática de fazer novas medidas de terra após cada
inundação anual do vale do Nilo. Aristóteles (384-322 a. C.), por sua vez, achava que
a existência no Egito de uma classe sacerdotal ociosa é que teria conduzido ao estudo
da geometria.
Ainda que as antigas civilizações tenham encontrado maneira de gerir e comercializar
com quantidade contínuas, como por exemplo, as que foram necessárias para medir o
azeite ou o vinho, a origem do termo «geometria» encontra-se entre os agricultores do
delta do Nilo. As grandes cheias que tinham lugar a cada ano nesta região
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
“apagavam” os limites estabelecidos das propriedades e das terras, sendo necessário
encontrar uma forma de marcar o território. Nascia, assim, a geometria (em grego
antigo: γεωμετρία; geo- "terra", -metria "medida").
Ilustração 18 – Papiro de Rhind e Papiro de Oxy, 1600 a.C.
Ainda que muitos considerem, o matemático grego, Euclides (360-230 a.C.), como o
“pai da Geometria,” esta denominação deveria pertencer a Tales de Mileto (640-546
a.C.) que realizou vários estudos sobre geometria trezentos anos antes dele.
Esta apropriação deve-se, provavelmente, ao facto de não se encontram disponíveis
quaisquer registos escritos de Tales, existindo apenas relatos de acontecimentos
históricos que revelam a sua importância.
Um dos relatos mais conhecidos é o que explica o método de cálculo da altura da
pirâmide de Keops no Vale de Gisé, uma das sete maravilhas da antiguidade,
construída por volta do ano 2600 a.C.. Tales observou que, num determinado
momento, a sua sombra era idêntica à sua altura. Em concreto, bastaria esperar o
momento em que o sol se posicionasse no céu de tal forma que a altura da pirâmide
fosse igual à sua sombra, e calcular a altura desta somando metade da longitude da
base e a longitude da sombra da pirâmide.
São também atribuídas a Tales outras descobertas tais como: que o diâmetro divide
sempre um círculo em duas partes iguais ou a observação que, num triângulo
isósceles, os ângulos opostos aos dois lados iguais também são iguais.
Rui Jorge Marques Godinho
68
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Atualmente, estes conceitos associados ao senso-comum, foram, à época grandes
contributos no domínio da matemática. Esta forma de mentalidade dedutiva supõe
uma nova abordagem de como pensar esta disciplina, abandonando a sua dimensão
puramente prática para se tornar no estudo abstrato de generalidades, uma forma de
pensar que originou a matemática moderna.
Assim, Tales transformou o aspeto métrico - que a geometria perseguia - no estudo da
procura das invariantes: determinação das propriedades específicas das formas
independentemente do seu tamanho. Exemplificando, os diâmetros dos círculos
mudam, mas todos os diâmetros dividem a circunferência em duas. Se há algum
elemento comum que unifique todos os ramos da geometria, é o estudo das
invariantes.
Segundo Ribeiro (1991, p.26), os fundamentos da geometria iniciam-se com Tales,
mas foi com os matemáticos e os geómetras pitagóricos (séc. VI a.C.) que o universo
ganhou uma interpretação discreta e numérica. A definição da geometria como
ciência, com características matemáticas dedutivas, é consensualmente atribuída ao
Elementos de Euclides do século III a. C (Ilustração 19).
Ilustração 19. – Capa de “Elementos” de Euclides, versão impressa, Inglaterra,1570,
e fólio do“ Elementos” de Euclides, 1482
Euclides sugeriu que em geometria, os desenhos apenas ilustram ideias, não são as
ideias, a geometria só existe no reino da imaginação.
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69
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Ainda que mais conhecido pelos seus teoremas, Euclides provocou uma pequena
revolução no campo da matemática. Definiu um ponto como um elemento «que não
tem dimensão» e uma linha como «comprimento sem espessura». Com estas
definições estabeleceu uma distinção entre o «ideal» matemático (que só existe na
imaginação) e a realidade. O que efetivamente existe são representações dos objetos
matemáticos ideais.
Os geómetras para desenhar utilizavam como instrumentos, apenas, a régua (para
traçar linhas retas e não como ferramenta de medição) e o compasso para desenhar
círculos (que também funcionava como unidade de medida). Com estes elementos
básicos, os geómetras gregos construíram uma ampla gama de representações e
resolveram inúmeros problemas geométricos.
Desde o século XVIII, com Gutenberg e a impressão da obra de Euclides - constituída
por treze livros, nove sobre geometria plana e espacial e quatro sobre a teoria de
números – que os seus teoremas ocupam lugar no ensino, quer no domínio da
geometria, quer no da lógica.
Em toda a obra impressa de Euclides é apresentado o mesmo padrão: constam
sistematicamente as definições, os axiomas e os teoremas. No que se refere aos
conteúdos constam: problemas geométricos, de proporção, sobre a matemática dos
espelhos (reflexão), das esferas em movimento e sobre perspetiva.
Ilustração 20 – Geometria Euclidiana, Livro I, Proposição I
Rui Jorge Marques Godinho
70
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
No livro I, do Elementos (Ilustração 20) Euclides apresenta vinte e duas definições dos
conceitos básicos da geometria, cujos primeiros quatro são: um ponto é aquele que
não apresenta dimensão; uma reta é um comprimento sem altura; os extremos de
linha reta são pontos (segmento de reta); e uma linha reta é definida por dois pontos.
Posteriormente, Euclides, estabeleceu dez axiomas como base para a matemática e
criou um procedimento lógico para a demonstração dos axiomas: dividiu os seus dez
axiomas em dois grupos de cinco. O primeiro grupo inclui «noções comuns» em
matemática. Aos outros cinco chamou de postulados (Axiomas ou Postulados de
Euclides) e são específicos da Geometria:
-
Dados dois pontos distintos podemos desenhar o segmento de reta que os
une. (Podemos usar régua)
-
Qualquer segmento de reta pode ser prolongado para uma reta. (A régua pode
ser considerada infinita)
-
Dados dois pontos distintos, podemos desenhar uma circunferência com centro
num e que passa no outro. (Podemos usar compasso)
-
Todos os ângulos retos são congruentes. (Podemos usar translações e
rotações para comparar figuras)
-
Dada uma reta e um ponto que não lhe pertence, existe uma e uma só reta que
passa nesse ponto e é paralela à reta inicial.
As demonstrações geométricas do Elementos baseiam-se na construção, isto é,
desenham-se as figuras para demonstrar as proporções utilizando apenas a régua e o
compasso. No entanto, e como já afirmado, a régua não está graduada, as medidas só
podem ser relacionadas e determinadas pelo compasso.
Euclides apresenta proposições em que cada uma justifica e suporta a seguinte,
construindo um primado. A soma de todas as partes justifica o fim, recorrendo ao
princípio conhecido como reductio ad absurdum («redução ao absurdo»), em que a
suposição de que uma afirmação obviamente certa é falsa e leva a uma conclusão
absurda. A geometria euclidiana ou geometria elementar permaneceu como modelo
de construção matemática até ao séc. XIX.
No entanto, com a descoberta que a terra não era plana, as «verdades» euclidianas,
até aqui absolutas e inquestionáveis, foram objeto de reformulação. Na constatação
que os barcos podiam viajar em linha reta, mudando de direção por três vezes e
chegar ao ponto de partida, recorrendo desta forma à lógica do triângulo, verificou-se
Rui Jorge Marques Godinho
71
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
que a soma dos ângulos internos desse triângulo era superior a 180º (um triângulo
sobre uma esfera). Estava, então, aberta uma nova possibilidade matemática, a
geometria não euclidiana.
Constata-se,
então,
um
período
de
estagnação
que terminou quando
no
Renascimento se colocaram em evidência problemas na transposição de objetos
tridimensionais para o plano bidimensional. A geometria projetiva observa o que não
muda quando os objetos, num determinado contexto, se fazem representar de forma
distinta: por exemplo, quando um objeto tridimensional se projeta num plano
bidimensional, ou quando as figuras de uma esfera se projetam num plano
bidimensional.
Os artistas do Renascimento Italiano contribuíram de forma muito relevante para o
entendimento da geometria projetiva, e é com Filippo Brunellesschi (1377-1446) que a
representação mais se aproxima do conceito de representação perspética (1420),
onde o espaço pictórico aparece como uma janela para o espaço real.
Ilustração 21 – “A Flagelação de Cristo”, de Piero della Francesca, (provavelmente) 1455-1460
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72
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
A “pirâmide visual” seccionada pelo plano do quadro que corresponde ao sistema de
representação cónica (Ilustração 21), utilizado como referência nas diferentes
axonometrias projetivas, foi apresentada por Leone Battista Alberti (1404-1472).
Sublinha-se, ainda, a apresentação da primeira teoria que refere o ponto de fuga, em
1600, por Guidoubaldo del Monte (1545-1607) cujo conceito definitivo é apresentado,
em 1636, por Gerard Desargues (1591-1661) e que constitui a base de toda a
geometria projetiva.
A geometria projetiva assenta no estudo das cónicas, matéria pensada desde a
Antiguidade Grega, e centra-se nas propriedades projetivas ou gráficas das figuras,
em oposição às propriedades métricas da geometria analítica.
Na primeira metade do século XVII, a geometria aproxima-se novamente da
matemática com os contributos decisivos de René Descartes (1596-1650) e Pierre de
Fermat (1601-1665). A geometria analítica, também conhecida por geometria de
coordenadas ou geometria cartesiana, tem como objetivo estudar a geometria através
de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Teve início
com René Descartes, inventor das coordenadas cartesianas, que permitiram a
representação numérica de propriedades geométricas.
A geometria cartesiana utiliza uma reta graduada e outra perpendicular a esta para
descrever as formas planas (sistema de coordenadas). Através da utilização da
álgebra podem executar-se movimentos de translação, rotação e de reflexão.
As ideias de Descartes foram desenvolvidas, mais tarde, por Isac Newton (1643-1727)
e Leibniz (1646-1716). Os autores prosseguiram as suas teorias em paralelo,
conduzindo a matemática em direções ligeiramente diferentes.
O séc. XVIII revelou-se bastante representativo do desenvolvimento da geometria,
defendendo a sua racionalização e respetiva representação. Impulsionada pela
criação das Academias Militares Francesas (1720), a Estereotomia da Pedra, estudo
minucioso da forma das pedras, foi uma área que sofreu uma grande evolução neste
período, com claro investimento no conhecimento das ciências aplicadas.
Em 1736, a Topologia, através de Leonard Euler (1707-1783) e a sua Teoria de
Grafos, constitui-se como uma ciência, dando origem à geometria de continuidade.
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73
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Ilustração 22 - Esquema das pontes de Koningsberg que deu origem à Teoria do Grafos, 1736
Finalmente, em 1794, com a publicação de Géométrie Descriptive – Leçons donnés
aux écoles normales, l’an 3 de la République por Gaspard Monge (1746-1818) a
geometria descritiva ganharia o estatuto de ciência autónoma.
Ilustração 23 - Géométrie Descriptive – Leçons donnés aux écoles normales, Gaspard Monge
Gaspard Monge apresenta um sistema de representação plana de objetos existentes
no espaço. Este sistema constituiu-se pela Dupla Projeção Ortogonal, mas também
pela Geometria Cotada, a Representação Axonométrica e a Representação Icónica
(quando os objetos são concebidos na ausência da ação). A geometria descritiva não
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74
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
só permite desenhar no plano do desenho formas tridimensionais mas também
permite a resolução de problemas gráficos.
A geometria projetiva, apresentada por Jean Victor Poncelet (1788-1867), é
reconhecida como ciência autónoma na primeira metade do séc. XIX com os
contributos de August Ferdinand Möbius (1790-1868) e Michel Chasles (1793-1880),
relativos ao desenvolvimento, e de Jakob Steiner (1796-1863) e Karl von Staudt (17981867) ao nível da estruturação.
O processo de contribuições metodológicas e conceptuais para a versão atual da
geometria descritiva, termina com Felix Klein (1849-1925) que estabeleceu o conceito
de espaço afim.
No séc. XIX a introdução da Perspetiva Axonométrica, que sempre evoluiu em paralelo
com o estudo das cónicas, foi sistematizada por William Farish (1759-1837) e por Karl
Pohlke (1810-1876), num conjunto de três grupos distintos (isometria, dimetria e
trimetria).
Uma referência, também, para a sistematização da Representação Cotada por F.
Noizet (1792-1872), assim como a noção de projeção central, distanciada da atividade
percetiva, apresentada por Friedler (1859). Num período profícuo de contributos
publicaram-se os Tratados de Geometria Descritiva de Jules de la Gournerie (18141883), A. Leroy (1780-1854), Théodore Olivier (1793-1853) e Joseph-Alphonse
Adhemar (1797-1862).
David Hilbert (1862-1943) define o conceito de Geometria Racional, baseada na
abstração, desligada da representação gráfica e intimamente relacionada com a
álgebra, em que o espaço até aí considerado infinito passa a vetorial. Para este fim
consideram-se as obras percursoras de Felix Klein (1849-1925), Sophus Lie (18421899) e Elie Cartan (1869-1951).
No princípio do séc. XX os conceitos tempo/espaço foram colocados em causa e
conduziram a Geometria para outros conceitos: a construção interna do sistema
diédrico, a consolidação do método direto (supressão do eixo x) e a fundamentação
metodológica das mudanças de planos.
Rui Jorge Marques Godinho
75
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
O surgimento do computador, e a sua crescente utilização, nomeadamente na
representação gráfica, ganha clara visibilidade com o aparecimento das plotters
(possibilidade de obter desenhos em suporte permanente). Destaca-se, ainda, o
surgimento, nos finais dos anos 60, dos programas de desenho gráfico e a
massificação, nos anos 80, da utilização de computadores pessoais que facilitavam o
acesso aos programas de desenho CAD, de modelação 3D, tratamento de imagens,
entre outros.
7.2. A GEOMETRIA DESCRITIVA
A geometria descritiva é o resultado de uma longa e lenta evolução de diferentes
métodos gráficos usados para representar o espaço e fruto da imaginação de Gaspar
Monge (1746-1818) professor, geómetra, estudioso, herdeiro do Iluminismo e
revolucionário convicto.
Gaspard Monge apresentou, em Paris, em 1795, as primeiras Leçons de Géométrie
Descriptive. Para além de impor a introdução desta disciplina na École Normale do
ano III, como formação dos futuros professores franceses, tornou-a, ainda, na principal
disciplina da primeira École Polytechnique. A disciplina é, contudo, menos
vanguardista do que aparenta e Lagrange (1736-1813), aluno e colega de Monge
afirmou à época: "Eu não sabia que sabia geometria descritiva”.
Na primeira edição de Géométrie Descriptive, Monge define geometria descritiva
como:
"Cet art a deux objets principaux. Le premier est de représenter avec
exactitude, sur des dessins qui n'ont que deux dimensions, les objets qui en ont
trois, et qui sont susceptibles de définition rigoureuse... Le second... est de
déduire de la description exacte des corps tout ce qui suit nécessairement de
leurs formes et de leurs positions respectives"1
1
"Esta arte tem dois objetivos principais. A primeira é a de representar com precisão, em
desenhos apresentam apenas duas dimensões, os objetos que têm três e são suscetíveis de
definição rigorosa... o segundo... é deduzir da descrição exata dos corpos tudo o que seja
necessário das suas formas e suas respetivas posições" (Tradução nossa)
Rui Jorge Marques Godinho
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Os fatores que se encontram na origem da conceção e organização do currículo da
primeira École Polytechnique estão fundamentados na experiência de ensino que
Monge adquiriu na Escola de Engenharia de Mézières e que torna particular a
geometria descritiva.
No verão de 1764, Monge, com dezoito anos, aluno brilhante em Beaume, sua cidade
natal, e posteriormente em Lyon, foi convidado pelo diretor, Nicolas de Chastillon, da
Escola de Engenharia de Mézières, uma das mais prestigiadas escolas de engenharia
europeia da segunda metade do séc. XVIII, para lecionar.
Ilustração 24 – Épura de carpintaria francesa, século XVIII
A Escola de Engenharia de Mézières, escola de formação dos oficiais técnicos e dos
engenheiros do Estado Francês, ligada ao então Ministério de Guerra, criada em 1748,
estrutura o ensino em duas vertentes: a formação teórica e a escola prática. A
formação teórica inclui a aritmética, a geometria, a mecânica estática e hidráulica e na
escola prática os alunos são iniciados nos desenhos em épura (Ilustração 24) e na
execução de modelos de corte em pedras e madeira (estereotomia).
Rui Jorge Marques Godinho
77
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Chastillon atribui ao ensino da estereotomia um lugar de destaque no currículo da
Escola Militar de Engenharia de Mézières, sendo o seu principal objetivo a formação
em geometria e visão espacial, e refere no Traité des ombres dans le dessin géométral
(Sakarovitch, 2005, p.2) que:
"Indépendamment de l'utilité de la coupe des pierres et des bois pour les
différentes constructions que les ouvrages du roi présentent, ces arts ouvrent
des connaissances si exactes et si précises sur le dessin des plans et des
profils et sur la manière d'exprimer le relief qu'il doit représenter, qu'on peut les
regarder comme les Eléments (d'Euclide)" 2
No sentido de formar mão-de-obra especializada foi criado na instituição, anexo à
Escola de Engenharia, um centro de aprendizagem, onde era ensinado o desenho e o
corte de pedras e madeira (Ilustração 25).
Ilustração 25 – Desenho do corte da pedra
2
"Independentemente da utilidade do corte das pedras e da madeira, para as diferentes construções e obras que o rei
necessita, esta arte conduz a um conhecimento tão vasto e preciso sobre o desenho em planta e alçado, bem como da
representação em relevo, que deve ser tão considerada como o Elements (de Euclides)" (Tradução nossa)
Rui Jorge Marques Godinho
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Nesta "escola de aparelhadores de pedra e capatazes de fortificações", Gaspard
Monge inicia as suas funções como professor, ensinando desenho, perspetiva, traço
de sombras e o corte de pedras, sendo que, gradualmente, se irá destacar no ensino
científico da Escola de Mézières, e assumir funções como professor de matemática e
de física
Em 1780, Monge torna-se “geómetra associado” da Academia de Ciências Francesa,
à semelhança de Condorcet, Lavoisier e Vandermond com quem mantém contacto, e
apresenta oito dissertações, cinco das quais de análise matemática e três de
geometria diferencial. Neste período, deixa Mézières, instala-se em Paris, e interessase, então, mais pela física e a química do que pela matemática, acompanhando
Lavoisier nas suas investigações.
Oriundo de uma família humilde, Monge assume os ideais da Revolução Francesa e
após a queda da monarquia envolve-se em duas das principais instituições criadas
neste período: a École Normale do ano III e a École Polytechnique, sendo através
destes projetos que tomará forma a disciplina de geometria descritiva.
É, no entanto, em 1793, na sua proposta de organização das écoles secondaires, que
Monge utiliza pela primeira vez o termo “geometria descritiva” (Sakarovitch, 2005, p.5):
"L'ordre de connaissance dont il s'agit ici est fondé sur une géométrie
particulière des trois dimensions dont il n'existe pas de traité bien fait ; sur une
géométrie purement descriptive, mais rigoureuse, et dont l'objet est de
représenter par des dessins qui n'ont que deux dimensions des objets qui en
ont trois. Cet art est pour ainsi dire une langue commune nécessaire au chef
d'ateliers qui dirige des travaux, et aux ouvriers qui doivent les exécuter (…)”3
Através da École Normale do Ano III, que pretendia formar futuros professores
do ensino secundário, Monge retoma o seu projeto para as école secondaires que
3
"Faço saber, a questão aqui fundamentada, tem por base uma geometria específica a três
dimensões que não possui nenhum tratado específico; é uma geometria puramente descritiva,
mas rigorosa, e cujo objetivo é representar por desenhos que têm apenas duas dimensões,
objetos que têm três. Esta arte é por assim dizer uma linguagem universal, necessária para
quem dirige o trabalho e aos trabalhadores na construção (…).” (Tradução nossa)
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
tinha falhado e introduz no currículo um curso de geometria descritiva, desta feita fora
do domínio da engenharia. Estes futuros professores devem assegurar a divulgação
da nova disciplina por todo o país e conferir-lhe, desta forma, um papel importante na
educação geral de toda a população.
A École Polytechnique, um dos projetos pedagógicos mais marcantes após a
Revolução Francesa, pretendia unificar o ensino da engenharia através da fusão da
Escola Militar de Mézières e da Escola de Engenharia Civil.
Monge retoma a ideia inicial de que a formação dos engenheiros deve incluir: uma
aprendizagem da representação no espaço, de volume, das superfícies e das suas
intersecções. Esta formação era assegurada em Mézières, pela estereotomia e na
École Polytechnique este papel é atribuído à geometria descritiva. Assim, uma teoria
geométrica, coerente e abstrata, torna-se um veículo de formação fundamental.
A disciplina de geometria descritiva apresenta-se como um ícone dos ideais dos
Enciclopedistas, é um produto da Revolução, e está alicerçada nas seguintes
proposições: prolonga a esfera da ciência, é uma disciplina centrada na ligação entre a
teoria/prática, cria uma linguagem científica universal e atende ao problema da
escolarização em escala.
A geometria descritiva alarga a esfera da ciência
Para compreender o papel único da geometria descritiva na formação politécnica, há
que atender à importância do desenho, ao longo do século XVIII e XIX, o desenho de
representação, mas também o desenho técnico, explicativo do método e processo de
fabrico dos objetos. O essencial da informação é transmitido neste suporte, neste
sistema/linguagem universal de comunicação, um engenheiro do século XVIII deve ser
um "engenheiro-artista".
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Ilustração 26 - Desenho de máquinas na École Polytechnique (1794-1850)
O desenho assume um valor educativo, na medida em que aprender a desenhar é
aprender a observar, a analisar, a selecionar, sendo que essas competências também
são essenciais na formação do engenheiro.
A geometria descritiva pode, então, ser vista como um dos ramos "da arte do desenho
(engenharia)," o que só por si justifica o seu ensino na École Polytechnique. No
entanto, adquire através de Monge uma dimensão mais ampla no projeto educacional,
uma vez que permite reunir o desenho e a matemática – os dois ramos principais da
educação em engenharia no século XVIII.
Como refere Sakarovitch (2005, p.8), Monge distingue dois tipos de conhecimento, um
relacionado com a matemática, que inclui a "análise e descrição de objetos gráficos",
sendo esta última subdividida especificamente entre "geometria descritiva e arte do
desenho", e outro com a física.
Assim, a geometria descritiva contribui para alargar a esfera da ciência ao classificar
toda a parte da descrição gráfica dos objetos, ou seja, o desenho, como um
subdomínio da matemática, e avança em áreas que até então tinham permanecido
fora dela.
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
A geometria descritiva permite uma ligação entre teoria/prática
A geometria descritiva apresentou-se sempre como um espaço de articulação entre a
teoria e a prática, por pertencer ao ramo das matemáticas aplicadas e pela pluralidade
de áreas práticas que teoriza. Monge, então, divide a geometria descritiva em três
áreas de aplicabilidade: a estereotomia, a arquitetura e a fortificação.
Esta organização coloca em evidência as inúmeras aplicações contempladas por este
ramo da geometria. No entanto a sua especificidade ou interesse não se prende tanto
à extensão das suas potenciais aplicações, mas antes às características que lhe dão
um lugar único na ligação entre a teoria / prática.
A geometria académica, orientada diretamente a partir de várias geometrias práticas –
principalmente as utilizadas entre pedreiros – não necessita de justificação no que se
refere à aplicabilidade das técnicas que teoriza e que são integradas no programa
escolar.
Além disso, a geometria descritiva requer habilidade na técnica de desenho e, este
facto, permite ao aluno exercitar a sua inteligência e, simultaneamente, praticar a
destreza manual. A geometria descritiva não se reduz à expressão de raciocínios
abstratos, mas exige, também, a apresentação de um documento concreto, com
qualidade gráfica, que afirma inseparavelmente a coerência do raciocínio e a precisão
da linha.
A épura de geometria descritiva é um desenho único, conseguido através do uso de
tintas, cores, tracejados, veladuras e manchas. Como refere Sakarovitch (2005, p.9),
ao prazer de encontrar uma solução para um problema geométrico em épura, alia-se o
prazer da produção de uma imagem, por vezes inesperada, que tem uma estética
específica. Este princípio é no campo da matemática, específico da geometria
descritiva.
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Ilustração 27 – Épura Géometrie descriptive, Monge, Planche XIX, XX
Monge posiciona a geometria descritiva como a disciplina que surge para visualizar
um outro ramo da matemática, mais abstrato que ela própria, a análise. No binário
abstrato/concreto, a geometria descritiva, ocupa agora, o polo oposto, ao que
anteriormente ocupava. A geometria descritiva aparece como uma disciplina
emblemática da articulação entre a teoria e as suas aplicações e, num âmbito mais
amplo, como a articulação teórica/prática, que está no centro da formação em
engenharia.
A
geometria
descritiva
como
uma
linguagem
universal
científica
Monge, citado por Sakarovitch (2005, p.10), considera a geometria descritiva como
uma linguagem universal, isto é, que é comum "ao engenheiro que desenha/concebe
um projeto, aquele a quem cabe a direção/execução do mesmo, e aos diferentes
mestres que a devem executar”. A geometria descritiva é, ainda, a linguagem comum
a diferentes especialidades da engenharia e a diferente corporações civis e militares.
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
A geometria descritiva responde ao problema da escolarização
A transferência da Estereotomia lecionada na Escola de Mézières para uma disciplina
abstrata e académica com função formativa, só é possível porque a geometria
descritiva permite também teorizar, aplicar e deslocar do exercício da prática para uma
construção abstrata, passo essencial que permite a descoberta de novos volumes.
Na prática do corte das pedras, quando se executa o entalhamento de um volume este
revela as suas formas gradualmente, sem que o fim esteja geometricamente
predeterminado.
Existe na construção em épura um processo semelhante, embora totalmente gráfico. A
geometria descritiva permite progredir passo a passo na procura da forma/volume,
tendo por base, alguns princípios simples, como o da projeção e o do rebatimento.
Não existe, portanto, necessidade de "ver" o objeto no espaço antes de fazer o
projeto, podemos descobri-lo sem que o tenhamos que imaginar.
A geometria descritiva permite representar objetos tridimensionais numa folha de
papel. No entanto, para a representação de objetos com formas simples, é muito
abstrata e difícil, em comparação com outras representações no espaço,
nomeadamente, a axonometria. Neste sentido, basta observar que as instruções de
montagem de móveis, jogos, ou outros objetos entregues em kit usam representações
axonométricas.
A geometria descritiva torna-se insubstituível no momento em que se pretende
representar um objeto complexo, difícil de imaginar de forma imediata, ou na
necessidade de intersetar duas superfícies.
Esta disciplina assume-se como um método gráfico universal, porque teoriza sobre as
duas fases essenciais da representação dos objetos: a descoberta das formas e a
representação das superfícies. A geometria descritiva permite, assim, avançar na
resolução de problemas práticos (traçado de sombras, relógios de sol, planificação).
Estes dois conceitos - a descoberta das formas e a representação das superfícies –
estão ainda diretamente ligados à geometria prática e aos entalhadores de pedra. Ao
"empirismo" transmitido pela tradição, Monge oferece ao ensino uma técnica gráfica
universal e "práticas concretas" na apresentação de uma metodologia simples.
Rui Jorge Marques Godinho
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Monge, ao conceptualizar e teorizar os passos percorridos necessários para chegar à
descoberta das formas, possibilitou que as operações geométricas necessárias para a
determinação de um objeto sejam descritas. A geometria descritiva torna clara todas
as operações mentais e registos gráficos que constituem uma forma de representação
espacial, sua justificação e resultado.
A geometria descritiva distingue-se de outras técnicas de registo gráfico na medida em
que não representa apenas os objetos, mas também as construções geométricas que
foram necessárias para obter o resultado.
Um desenho de geometria descritiva é, portanto, autossuficiente, tornando-se uma
ferramenta educacional incomparável. O autor da épura pode reler, refazer os seus
passos, repensar/avaliar um raciocínio errado, como quando se escreve uma
demonstração.
Em suma, a geometria descritiva, disciplina escolar, nascida na escola, para a escola
e na escola (i.e., na escola politécnica, para a escola politécnica e com base na escola
politécnica ) consegue responder ao problema da escolarização ao evoluir de um
processo de formação de aprendizes, em pequeno grupo, como é característica da
Escola de Mézières, para um ensino em anfiteatro, em cursos magistrais, com
trabalhos e exercícios práticos.
7.3. O ENSINO DA GEOMETRIA DESCRITIVA EM PORTUGAL
O posicionamento da disciplina de Geometria Descritiva alterou-se ao longo das
diferentes Reformas de Ensino levadas a cabo em Portugal e registaram-se
modificações no programa, no regime de lecionação (bianual ou trianual) e, inclusive,
na nomenclatura da disciplina e nas designações dos sistemas abordados.
Em 1931, através da consulta do Decreto nº20:369, do Ministério de Instrução Pública,
verifica-se que a cadeira de Desenho desenvolvia-se ao longo de cinco classes no
Ensino Secundário e incluía a representação pelo método da Dupla Projeção
Ortogonal na IV e V classes.
Rui Jorge Marques Godinho
85
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
No Decreto n.º 27:085, de 14 de Outubro de 1936, que aprova os Programas do
Ensino, não constava no quadro apresentado qualquer disciplina onde os conteúdos
da Geometria Descritiva estivessem incluídos
Em 1947, com base no Decreto-lei nº 36:507, de 17 de Setembro de 1947, o curso
geral liceal encontrava-se dividido em 1º e 2º ciclo, com uma duração total de cinco
anos e é constituído o curso complementar (3º Ciclo) distribuído em dois anos, com o
objetivo de preparar os alunos para o acesso ao ensino superior.
Na publicação dos novos Programas do Ensino Liceal, em 1948, é possível encontrar
o Método de Monge na disciplina de Desenho e trabalhos manuais, inscrito nos
programas do 6º e 7º anos, correspondentes aos atuais 10º e 11º anos. Abordava
temáticas como o “Desenho Geométrico”, “o Esboço Cotado” e o “Desenho à vista”. O
“Desenho Geométrico” tratava de questões relativas ao método de Dupla Projeção
Ortogonal ocupando a maior carga horária atribuída a esta disciplina. O «Esboço
cotado» ocupava-se da «representação de objetos e formas variadas e materiais
diversos». E no «Desenho à vista» realizavam-se «cópias dos objetos que servem em
esboço cotado ou de outros, de ornatos de gesso muito simples e de animais e
plantas».
Em 1954 são introduzidas algumas alterações ao programa de Desenho do ensino
liceal entre as quais se destaca o estudo da interseção de planos e a recomendação
quanto à utilização da direção luminosa.
Na Reforma do Ministro Veiga Simão, em 1973, opera-se a reorganização da estrutura
do sistema escolar repartindo-a nos três níveis que caracterizam o sistema educativo
português: básico, secundário e superior. A disciplina mantém a designação de
Desenho e um caráter bienal.
Após o 25 de abril, sucedem-se várias alterações no sistema educativo e no ano letivo
de 1976/1977 entra em funcionamento o curso geral unificado (7º, 8º e 9º anos). O ano
propedêutico, constituído por cinco disciplinas das quais duas obrigatórias (língua
portuguesa e língua estrangeira), é introduzido em 1977 e substituído em 1980 pelo
12º ano com as Via de Ensino e a Via Profissionalizante, que dão acesso ao Ensino
Superior.
O Curso Complementar, equivalente aos atuais 10º e 11º anos de escolaridade, com o
objetivo de eliminar as duas vias existentes (o ensino liceal e o ensino técnico) e
Rui Jorge Marques Godinho
86
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
facilitar o acesso ao ensino superior é introduzido em 1978. Esta reestruturação teve
como base a introdução de cinco áreas de estudo (Área A- Científico-naturais, Área B
- Científico-tecnológico, Área C - Económico-sociais, Área D – Humanísticos, e Área E
- Artes Visuais), constituídas por três componentes: formação geral (comum a todas as
áreas; formação específica; e formação vocacional.
A disciplina de Geometria Descritiva aparece desta forma em duas áreas vocacionais
diferentes, nas Artes Visuais (área E), como componente de formação específica
obrigatória, orientada para as Artes Plásticas e Arquitetura e na área vocacional do
curso cientifico-tecnológico (área B) no encaminhamento para a Engenharia, e
distribuída em três anos consecutivos (10º, 11º e 12º).
O Despacho Normativo nº 135-A, de 1979, que regulamenta alterações nos planos de
estudos torna a disciplina apenas de carácter obrigatório para os alunos que
frequentassem a componente de formação vocacional «Introdução às artes plásticas,
design e arquitetura», sendo facultativa para as restantes.
Neste período a disciplina de Desenho assume várias nomenclaturas, de acordo com
o nível escolar: Educação Visual no 7º e 8º ano, Desenho, no 9º ano e Geometria
Descritiva nos 10º e 11º anos, assim como no 12º ano. O curso liceal noturno manteve
a denominação de Desenho, apesar dos conteúdos serem os mesmos da Geometria
Descritiva.
O último ano do 3º Ciclo (9ºano) é dedicado ao desenho geométrico, mais
concretamente, às construções geométricas complementadas com uma abordagem ao
Sistema de Dupla Projeção Ortogonal. Nesta introdução ao Sistema de Monge são
estudados fundamentalmente sólidos com faces paralelas aos planos de projeção.
Relativamente aos programas de Geometria Descritiva (do Curso Complementar
Diurno) são definidas as seguintes áreas para o 10º ano: Projeção e Sistemas de
Projeção (abordagem introdutória), Sistema de Múltipla Projeção Ortogonal, Sistema
de Projeção Axonométrica e Sistema de Dupla Projeção Ortogonal. No 11º ano, eram
abordados os seguintes sistemas: Sistema de Dupla Projeção Ortogonal e Sistema de
Projeção Cónica.
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Em 1984 a disciplina é renomeada para Desenho e Geometria Descritiva, de forma a
associar o desenho e a sua função representativa, e integrava no seu plano
programático a Dupla Projeção Ortogonal – Ponto, Reta, Plano, Figuras Planas e
Sólidos, Intersecções, Métodos Geométricos Auxiliares, Sombras – Projeções Cotadas
e Perspetiva, sendo os dois últimos capítulos referidos de forma breve.
A alteração implementada pela Lei nº 115/97, de 19 de Setembro, refere a disciplina
de Desenho e Geometria Descritiva (dos 10º, 11º e 12º anos) como uma Componente
de Formação Específica. A carga horária desta disciplina para os alunos de
Arquitetura, Artes Plásticas e Design passava a ser de 4 horas em cada um dos três
anos e de apenas 3 horas para os alunos de Engenharia, no 12º ano. Neste
enquadramento o 12º ano também faria parte da Componente de Formação
Específica, com alterações relativas aos conteúdos programáticos, que passariam a
incluir integralmente a Perspetiva Cónica, que até então apenas era abordada de
forma superficial e no ensino superior.
O plano curricular de Desenho e Geometria Descritiva, em 1999, é alterado e a
disciplina assume uma nova nomenclatura. A Perspetiva Cónica é retirada e os
Problemas Métricos e a Representação Axonométrica passaram a integrar o novo
plano curricular, mantendo-se distribuída por três anos com a denominação de
Geometria Descritiva A e Geometria Descritiva B, apenas num ano.
Em 2001 é homologado um novo programa de Geometria Descritiva A, para o Curso
Geral de Ciências e Tecnologias e o Curso Geral de Artes Visuais e de Geometria
Descritiva B para o curso Tecnológico de Design de Equipamento e o Curso
Tecnológico de Multimédia. As disciplinas de Geometria Descritiva A e Geometria
Descritiva B são distribuídas em dois anos (10º e 11º anos), a primeira com uma carga
horária de 4,5 horas e a segunda com 3 horas.
O novo programa da disciplina de Geometria Descritiva vai responder a uma lacuna
que os docentes sentiam na prática letiva e que correspondia à deficiente preparação
no âmbito do desenho e dos conceitos básicos da geometria. Na disciplina de
Educação Visual, progressivamente, foi sendo diminuída a proposta de trabalhos
tendo como conteúdo a geometria, em prole da criatividade. Este enfoque repercutiuse na habilidade em lidar com os instrumentos (régua, esquadro e compasso) e
Rui Jorge Marques Godinho
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
aplicação de princípios básicos da geometria. No novo programa, a inclusão de um
Módulo Inicial, contendo os conceitos gerais relativos à geometria, pretende preencher
essa lacuna.
O Decreto-Lei nº74/2004, de 26 de Março, estabelece os princípios orientadores da
organização e da gestão curricular, assim como da avaliação das aprendizagens, no
nível secundário da educação. Esta reforma do Ensino Secundário foi organizada em
função das necessidades formativas do país, mantendo-se os programas vigentes
com pequenas alterações. A oferta formativa do Ensino Secundário compreendia
cursos científico-humanísticos, cursos tecnológicos cursos artísticos especializados,
cursos profissionais e cursos do Ensino Secundário recorrente.
A revisão da estrutura curricular, realizada em 2005, transforma o programa de
Geometria Descritiva A, atualmente em aplicação, em bienal e extingue a versão B do
programa.
O atual programa da disciplina de Geometria Descritiva A está dividido em dois anos
(10º e 11º anos) constituindo o tronco comum da componente de formação específica
dos Cursos Geral de Ciências e Tecnologias e do Curso Geral de Artes Visuais, com o
objetivo de fornecer conteúdos no âmbito da Representação Diédrica e Representação
Axonométrica.
7.4. NOTAS FINAIS
No presente capítulo, e num primeiro momento, elaborou-se uma resenha histórica da
geometria desde a sua origem, nas primeiras civilizações. Ao longo da exposição
pretendeu-se, igualmente, caracterizar a evolução dos conceitos geométricos e da sua
aplicabilidade.
A geometria encontra-se na sua génese ligada à história da matemática, não existindo
separação entre os conceitos e os autores. A matemática e a geometria cumpriam
funções de natureza prática e utilitária ligada à vida quotidiana.
Rui Jorge Marques Godinho
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Na constatação da impossibilidade da geometria responder às novas descobertas
científicas torna-se forçosa uma separação entre estas duas áreas de conhecimento e
a pertinência dos conhecimentos geométricos extingue-se.
A geometria surge, então, como solução aos artistas do Renascimento, com a
introdução de novos conceitos ligados à representação bidimensional, que retomam os
antigos teoremas e os projetam nesta nova geometria.
É, no entanto, impulsionada pelas Academias Militares Francesas que a geometria,
depois descritiva, se irá constituir como ciência e disciplina autónoma.
Acompanhando o desenvolvimento científico da matemática e da física, a geometria
evoluiu num sentido mais analítico e abstrato, mantendo-se eficaz na resolução de
problemas e na construção de teorias nestes domínios da ciência.
Num segundo momento, apresentaram-se as razões e os fundamentos de cariz
histórico para o surgimento da geometria descritiva e, simultaneamente, pretendeu-se
caracterizar a natureza desta disciplina.
Concluiu-se que a geometria descritiva apresenta, desde a sua origem, duas
vertentes. Assume-se como sendo uma disciplina inteiramente nova, "revolucionária",
que encontra, durante o percurso como professor de Gaspard Monge, um nome, uma
finalidade e uma posição na matemática.
Por um lado, a geometria descritiva é uma forma singular de ligar a geometria plana e
a geometria no espaço, sendo também pioneira na posição que adquire no sistema
escolar e na formação técnica geral. A geometria resulta de uma tradição que a
mantém ligada à realidade, é o último aperfeiçoamento das técnicas gráficas
anteriores e culmina no nascimento de um novo ramo.
Por outro, a geometria descritiva pode, também, ser tida como uma disciplina de
transição ao mudar do "artista-engenheiro", que se baseia numa formação mais na
prática do desenho do que em disciplinas de aprendizagem científica, para o
"engenheiro-cientista" do século XIX, em que a matemática - e mais particularmente a
análise - se torna no pilar central da sua formação.
Rui Jorge Marques Godinho
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Por último, apresentou-se o posicionamento da disciplina de geometria descritiva no
ensino em Portugal, bem como as modificações no programa, no regime de
lecionação e na nomenclatura da disciplina.
Percorrendo a história do ensino básico em Portugal verifica-se que a geometria
descritiva assume um carácter preponderante no domínio do desenho, tendo adotado
diversas nomenclaturas, no ensino secundário, primeiramente conotadas com o
desenho (Desenho e Geometria Descritiva) e vindo, mais tarde, a impor-se como
disciplina autónoma (Geometria Descritiva).
Do ponto de vista programático, a disciplina tem vindo a manter os conteúdos, com
exceção da Perspetiva Cónica que, atualmente, não integra o programa de geometria
descritiva.
Atualmente, a disciplina de geometria descritiva apresenta um programa único, sendo
disciplina de opção na formação específica dos cursos científico-humanísticos de
Artes Visuais e Ciências e Tecnologias, com uma carga horária idêntica nos dois
cursos e Exame Nacional obrigatório para conclusão do ensino secundário.
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
8. RECOLHA E ANÁLISE DE DADOS
No presente capítulo serão apresentados os dados recolhidos ao longo da
investigação, procurando analisá-los, relacioná-los e confrontá-los entre si. Os dados
serão organizados comparando os resultados dos alunos de Ciências e Tecnologias e
dos alunos de Artes Visuais.
Na Ilustração 28 apresentam-se as médias das classificações obtidas pelos alunos de
Artes Visuais e Ciências e Tecnologias, no 10º ano, nos seis testes de avaliação da
disciplina de Geometria Descritiva.
Ilustração 28 – Médias das classificações obtidas pelos alunos de Artes Visuais e Ciências e Tecnologias,
no 10º ano, nos testes de avaliação da disciplina de Geometria Descritiva (Ilustração nossa, 2015)
No primeiro teste de avaliação realizado verifica-se uma diferença muito significativa
de desempenho entre os alunos de Artes e os de Ciências e Tecnologias
(aproximadamente 6 valores), que irá agravar-se no segundo teste (aproximadamente
8 valores). O início de uma disciplina nova no currículo parece criar expetativas e
adaptações diferentes dependendo dos alunos serem de Artes ou de Ciências, com clara
vantagem para estes últimos. Acrescente-se que nos dois primeiros testes os alunos
Rui Jorge Marques Godinho
92
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
de Artes obtiveram uma média de desempenho negativa, reforçando o pressuposto de
difícil adaptação à disciplina.
No 2º teste de avaliação, todos os alunos de Artes Visuais obtiveram resultados
negativos (valor mínimo de 2,3 valores, máximo de 8,1 e desvio padrão de 1,8) muito
diferentes dos obtidos pelos alunos de Ciências (valor mínimo de 4,1, máximo de 19,6
e desvio padrão de 6,0). Os dois grupos comportam-se de forma claramente distinta.
Os resultados francamente negativos obtidos pelos alunos de Artes são ainda mais
surpreendentes, visto tratar-se de uma disciplina nova que não requer conteúdos
trabalhados durante o ensino básico – alguns conceitos são utilizados na Matemática
e em Educação Visual, mas não são imprescindíveis para a compreensão e resolução
dos exercícios.
Estas diferenças irão ser atenuadas ao longo do ano, como pode ser verificado na
Tabela 7, mas são sempre positivas e significativas.
Tabela 7 – Diferença entre a média dos resultados obtidos pelos alunos de Ciências e Tecnologias e os
de Artes Visuais, nos testes de avaliação (RCT-RAV)
RCT - RAV
1º teste
2º teste
3º teste
4º teste
5º teste
6º teste
58,34
78,53
42,05
44,87
26,98
48.73
A análise das médias das classificações obtidas pelos alunos de Artes Visuais e
Ciências e Tecnologias, no 11º ano, nos testes de avaliação de Geometria Descritiva
permite verificar que o efeito “surpresa” em relação à disciplina e ao docente (a turma
em estudo teve-me como docente no ano letivo anterior), verificado no 10º ano, não
está presente. (Ilustração 29)
Rui Jorge Marques Godinho
93
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Ilustração 29 – Médias das classificações obtidas pelos alunos de Artes Visuais e Ciências e Tecnologias,
no 11º ano, nos testes de avaliação da disciplina de Geometria Descritiva (Ilustração nossa, 2015)
No entanto, e apesar das diferenças de resultados entre os alunos de Ciências e de
Artes no 11º ano serem inferiores às obtidas pelos alunos de 10º ano, a tendência de
melhor desempenho à disciplina de Geometria Descritiva nos alunos de Ciências
mantém-se. A exceção é o 2º teste realizado, em que a diferença é negativa, mas o
seu valor é residual (- 0.34).
Utilizando as classificações da disciplina de Geometria Descritiva obtidas pelos alunos
de Artes Visuais e Ciências e Tecnologias, do 10º ano, nas avaliações sumativas
(globalizantes, com domínios e referenciais mais amplos e diferentes intervenientes)
verifica-se que os perfis de desempenho dos dois grupos se mantêm (Ilustração 30).
Rui Jorge Marques Godinho
94
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Ilustração 30 – Médias das classificações da disciplina de Geometria Descritiva obtidas pelos alunos de
Artes Visuais e Ciências e Tecnologias, do 10º ano, no 1º, 2º e 3º períodos (Ilustração nossa, 2015)
A diferença entre as classificações obtidas pelos alunos de Ciências e Tecnologias e
os de Artes Visuais é sempre positiva e significativa (no 1º período é de 6,3; no 2º
período de 5,35 e no 3º período de 4,43), ainda que diminua. Contribuem, no entanto,
de forma mais relevante os alunos de Artes Visuais. A progressão das classificações
dos alunos de Ciências é menor do que a dos alunos de Artes Visuais.
A dificuldade em progredir dos alunos de Ciências a partir de valores francamente
positivos, com uma margem de progressão menor (de 15 valores até à nota máxima),
pode justificar estes resultados quando comparados com os obtidos pelos alunos de
Artes (progressão com maior margem, de 9 valores até à nota máxima).
Neste ponto, é pertinente introduzir uma observação decorrente da prática letiva e
complementa a análise dos resultados. Nas notas de campo e nas autoavaliações
pedidas aos alunos nos finais de período, verifica-se que estes apresentam
expetativas muito elevadas em relação às classificações que a disciplina permite
atingir. Os alunos de Ciências parecem confirmar essas expetativas, enquanto os de
Artes manifestam descontentamento em relação aos resultados, logrando as suas
aspirações e o esforço despendido com a disciplina.
À semelhança da turma de 10º ano, os alunos de Artes Visuais do 11º ano obtêm
classificações inferiores às alcançadas pelos alunos de Ciências e Tecnologias na
disciplina de Geometria Descritiva no 1º, 2º e 3º períodos (Ilustração 31).
Rui Jorge Marques Godinho
95
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Ilustração 31 – Médias das classificações da disciplina de Geometria Descritiva obtidas pelos alunos de
Artes Visuais e Ciências e Tecnologias, do 11º ano, no 1º, 2º e 3º períodos (Ilustração nossa, 2015)
Na análise da Ilustração 31 verifica-se, mais uma vez, mas de forma atenuada, uma
diferença positiva entre as classificações dos alunos de Ciências e os de Artes, sendo
que a progressão, ao longo do ano, não é muito diferente nos dois grupos.
No sentido de posicionar a Geometria Descritiva nos domínios das Artes e das
Ciências, apresentam-se, seguidamente, tabelas comparativas entre as classificações
obtidas pelos alunos de Artes Visuais e Ciências e Tecnologias no 3º período nas
disciplinas de formação específica.
Ilustração 32 – Médias da avaliação sumativa (3º período) nas disciplinas de Desenho, Matemática B e
Geometria Descritiva obtidas pelos alunos de Artes Visuais do 10º e do 11º anos (Ilustração nossa, 2015)
Rui Jorge Marques Godinho
96
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Assim, em relação ao 10º ano, as classificações obtidas na disciplina de Geometria
Descritiva aproximam-se significativamente das obtidas em Matemática B. Esta
relação torna-se menos evidente no 11º ano, estando, no entanto, a classificação de
Geometria Descritiva mais próxima da obtida na Matemática B (0,75) do que da média
das classificações na disciplina de Desenho (1,3) (Ilustração 32).
Ilustração 33 – Médias da avaliação sumativa externa nas disciplinas de Física e Química, Matemática A
e Geometria Descritiva obtidas pelos alunos de Ciências e Tecnologias do 10º ano e do 11º anos
(Ilustração nossa, 2015)
Relativamente às classificações dos alunos de Ciências e Tecnologias nas disciplinas
de formação específica, constata-se que a disciplina de Geometria Descritiva se
aproxima da Matemática A.
Em suma, quer na comparação com as disciplinas de formação específica das Artes
Visuais, quer com as das Ciências e Tecnologias, os alunos obtêm resultados na
Geometria Descritiva próximos dos obtidos a Matemática.
O Exame Nacional de Geometria Descritiva constitui-se como elemento de avaliação
certificador externo, assumindo uma função de controlo. No presente estudo, contribui
para a sua regulação e fiabilidade, por se tratar de um instrumento estandardizado,
construído externamente e aferido num universo amplo.
Rui Jorge Marques Godinho
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Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
A Ilustração 34 apresenta as médias das Classificações Internas de Frequência (CIF),
do Exame Nacional de Geometria Descritiva -1ª fase (CE) e da Classificação Final da
Disciplina (CFD) dos alunos de Artes Visuais e Ciências e Tecnologias do 11º ano.
CIF – Classificação Interna de Frequência - calculada através da média aritmética simples, arredondada às unidades,
das classificações de cada um dos anos em que a disciplina foi ministrada.
CE – Classificação do Exame Nacional
CFD – Classificação Final da Disciplina – calculada pela fórmula: (7CIF+ 3CE)/10
Ilustração 34 – Médias das CIF, do Exame Nacional de GDA - 1ª fase (CE) e da CFD dos alunos
de Artes Visuais e Ciências e Tecnologias do 11º ano (Ilustração nossa, 2015)
A diferença entre as CIF dos alunos de Ciências e Artes Visuais (2 valores), é superior
do que a verificada nas classificações obtidas na avaliação sumativa do 3º período
(1,29) (Ilustração 34).
Dados os resultados referenciados, importa atender, então, às classificações obtidas
por este grupo-turma no ano anterior (10º ano, ano letivo 2011/2012). A média das
classificações alcançadas no 3º período, pelos alunos de Ciências foi de 15,5 e pelos
alunos de Artes de 13 valores.
Observa-se um padrão no comportamento dos grupos Artes/Ciências ao longo dos
dois anos de frequência da disciplina de Geometria Descritiva. Com a análise das CIF,
verifica-se que a diferença de resultados entre os alunos de Ciências e Artes é positiva
e mais significativa no 10º ano e mantém-se positiva, ainda que atenuada no 11º ano.
Rui Jorge Marques Godinho
98
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Os resultados do Exame Nacional de Geometria Descritiva permitem concluir que
todos os alunos, independentemente do grupo a que pertencem (Ciências ou Artes),
subiram 2 valores em relação à CIF. Constata-se, ainda, que os alunos de Artes
investem de forma significativa neste momento de avaliação o que se irá traduzir na
CFD.
A pesquisa no site oficial da Direção-Geral do Ensino Superior, Ministério da Ciência,
Tecnologia e Ensino Superior, no Guia das Provas de Ingresso de 2014 – Ensino
Superior Público permite analisar os cursos que requerem a disciplina de Geometria
Descritiva como Prova de Ingresso. No entanto, selecionaram-se apenas os
estabelecimentos do ensino superior público, universitário e politécnico, na região de
Lisboa, por se considerarem representativos da realidade nacional (Tabela 8).
Tabela 8 – Cursos que requerem como Prova de Ingresso a disciplina de Geometria Descritiva, por área
de estudos, na região de Lisboa
Artes
Artes do Espetáculo
Tecnologias
Arquitetura
Arquitetura Paisagista
Arte Multimédia
Artes Visuais e Tecnologias
Ciências da Arte e do Património
Desenho
Design
Design da Comunicação
Design de Moda
Design do Equipamento
Escultura
Pintura
Cenografia
Cinema
Dança
Música
Teatro
Tecnologias da Música
Audiovisual e Multimédia
Tecnologias da Informação e
Comunicação
Fonte: DGES
A análise da Tabela 8 permite constatar a preponderância dos cursos de Artes em que
a disciplina de Geometria Descritiva é requerida como Prova de Ingresso e apenas
dois das Tecnologias a exigem. Verifica-se, ainda, que nenhum curso da área de
estudos das Ciências requer esta prova.
Estes dados apontam um possível sentido para a crescente motivação, investimento e
empenho dos alunos de Artes, com consequências evidentes nas classificações no
Exame Nacional e que conduzem a uma aproximação das CFD entre os alunos de
Artes e Ciências.
Rui Jorge Marques Godinho
99
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
9. CONCLUSÕES
9.1. CONCLUSÕES FINAIS
A análise e os dados recolhidos permitem concluir que em ambas as turmas,
independentemente do ano lecionado, os alunos do Curso de Ciências e Tecnologias
apresentam melhores resultados na disciplina de Geometria Descritiva do que os
alunos de Artes Visuais. Esta afirmação é consubstanciada através de todos os
instrumentos metodológicos utilizados para aferir a dimensão desta diferença. Verificase nas avaliações formais, reflete-se nas avaliações sumativas, mantém-se na
classificação no Exame Nacional e, obviamente, na Classificação Final da Disciplina.
O diferencial entre os desempenhos a Geometria Descritiva dos alunos de Ciências e
Tecnologias e Artes Visuais diminui ao longo do(s) ano(s) e atinge na CFD o seu valor
mínimo.
As expetativas, os métodos de trabalho e a lógica de raciocínio dos alunos de ciências
encontram na disciplina uma continuidade e uma resposta positiva. Esperam atingir
muito bons resultados (melhores do que os possíveis na outra disciplina de opção),
cumprindo as suas ambições futuras de ingresso num curso superior de difícil acesso.
Encontram uma disciplina analítica e racional, de compreensão lógica, em que a
aplicação de métodos de trabalho sistematizados (obtidos com rigor e exigência
durante o ensino básico) permite o domínio dos conceitos necessários para a
resolução dos desafios que a disciplina lhes lança.
A adaptação no 10º ano à disciplina de Geometria Descritiva decorre para os alunos
de artes de forma complexa. O conflito entre o esperado e o conseguido acompanha
estes alunos ao longo dos dois anos de frequência da disciplina e reflete-se na
dificuldade em acederem às sugestões e propostas de trabalho. A Geometria
Descritiva, disciplina racional, lógica, rigorosa não reflete a matriz de pensamento dos
alunos de artes e, ainda que reconhecendo o seu caráter utilitário, resistem à
aplicação do método exigido, à consolidação do conhecimento através da prática, da
tentativa e do erro, e ao esforço.
Os alunos de artes imaginam a solução e o desenho é o produto das suas ideias.
Precipitam a concretização porque o desenho é a sua forma privilegiada de expressão.
Rejeitam todos os métodos utilizados na disciplina, que implicam ir construindo, passo
a passo, o desenho sem que isso implique a visualização do objeto.
Rui Jorge Marques Godinho
100
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
Por outro lado, os alunos de ciências encaram o processo como uma finalidade, um
desafio, e apreciam o desenho como descoberta do objeto.
Num dado momento, e na urgência de obterem resultados relevantes, os alunos de
artes conformam-se com a natureza da disciplina – mas não a aceitam – e aplicam,
finalmente, as boas práticas que os aproximam dos seus pares.
A preponderância dos cursos de Artes Visuais em que a disciplina de Geometria
Descritiva é requerida como prova de ingresso encadeia-se nesta lógica. A crescente
motivação, investimento e empenho dos alunos de artes vai tendo repercussões no
desempenho ao longo do 11º ano e assume consequências evidentes nas
classificações no Exame Nacional de Geometria Descritiva, em que alcançam bons
resultados.
Destaque, então, para a dualidade expressa no tema desta investigação, ciências ou
artes, e que acompanha quer os alunos do Colégio, quer a disciplina de geometria
descritiva.
A Geometria Descritiva desde a sua formação foi sempre uma disciplina prática e
formadora, criada para codificar uma representação gráfica do espaço tridimensional a
partir de axiomas e teoremas. Em Portugal, perpetuando esta dualidade, a disciplina
de Geometria Descritiva assume um caráter de relevância no ensino das artes, ainda
que presente na vertente científica.
Conclui-se que a geometria descritiva é uma disciplina de fronteira, que se encontra no
limite entre o desenho e a matemática, a prática e a teoria, o empirismo e a abstração,
o concreto e o abstrato, o método e o instinto, entre as artes e as ciências.
9.2. LIMITAÇÕES AO ESTUDO
A possibilidade de averiguar a perceção dos alunos de artes e de ciências em relação
ao posicionamento da disciplina de Geometria Descritiva, bem como a do corpo
docente dos Grupos de Recrutamento de Matemática, Física e Química e Artes
Visuais, através da aplicação de questionários e/ou entrevistas, foi ponderada. Estes
instrumentos metodológicos permitiriam enriquecer o estudo e cumprir com maior
eficácia os objetivos a que este se propõe. No entanto, no decorrer da investigação
Rui Jorge Marques Godinho
101
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
consideraram-se suficientes os recursos metodológicos utilizados e a diversidade de
dados recolhidos.
Tratando-se de um estudo de caso, a presente investigação, encontra-se limitada no
que concerne à generalização das conclusões. A discrepância significativa observada
entre os resultados dos alunos de ciências e de artes está circunscrita ao contexto
educativo particular onde decorreu o estágio. Um indicador neste sentido é a
importante diferença entre a média nacional do Exame de Geometria Descritiva de
2013 (10,2 valores) e a média dos alunos do Colégio no mesmo ano (15,7 valores).
No entanto, alargar a investigação a outras instituições escolares, constituindo uma
amostra representativa, da realidade nacional ou, de forma menos ambiciosa, à
realidade da Região de Lisboa, seria relevante.
O estudo exploratório e descritivo, como o apresentado, levanta possibilidades
interpretativas e compreensivas, assentes nas reflexões pessoais emanadas da
prática letiva e consubstanciadas nos autores. Todavia não permite estabelecer
relações causais que poderão ser objeto de futuros trabalhos.
A complexidade dos processos cognitivos implicados no desenho não foi
especificamente abordada neste estudo e a ser explorado em futuras investigações
poderia ajudar a compreender a natureza da Geometria Descritiva. Numa perspetiva
mais ampla e interventiva, esse contributo poderia fornecer estratégias de ensino
diferenciadas para os alunos de artes e de ciências.
Rui Jorge Marques Godinho
102
Geometria Descritiva: Artes ou Ciências
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Rui Jorge Marques Godinho
106
APÊNDICES
LISTA DE APÊNDICES
Apêndice A - Planificação do 10º ano da disciplina de Geometria Descritiva
no ano letivo de 2012/2013
Apêndice B - Planificação do 11º ano da disciplina de Geometria Descritiva
no ano letivo de 2012/2013
Apêndice C - Planos das aulas nºs 40 e 43 do 10º ano
Apêndice D - Planos das aulas nºs 80 e 83 do 11º ano
Apêndice E - Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 2ª
avaliação formal escrita elaborada para o 10º ano na disciplina
de Geometria Descritiva, no ano letivo de 2012/2013
Apêndice F - Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 4ª
avaliação formal escrita elaborada para o 10º ano na disciplina
de Geometria Descritiva, no ano letivo de 2012/2013
Apêndice G - Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 6ª
avaliação formal escrita elaborada para o 10º ano na disciplina
de Geometria Descritiva, no ano letivo de 2012/2013
Apêndice H - Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 2ª
avaliação formal escrita elaborada para o 11º ano na disciplina
de Geometria Descritiva, no ano letivo de 2012/2013
Apêndice I - Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 4ª
avaliação formal escrita elaborada para o 11º ano na disciplina
de Geometria Descritiva, no ano letivo de 2012/2013
Apêndice J - Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 6ª
avaliação formal escrita elaborada para o 11º ano na disciplina
de Geometria Descritiva, no ano letivo de 2012/2013
APÊNDICE A
Planificação do 10º ano da disciplina de
Geometria Descritiva no ano letivo de 2012/2013
PLANIFICAÇÃO ANO LETIVO 2012/2013.GEOMETRIA DESCRITIVA 10º ANO
ATIVIDADES
LETIVAS
1º Período
2º Período
3º Período
Apresentação
Unidades de ensino
Avaliação Formal
Autoavaliação
2x45 minutos
75 x 45 minutos
4x45 minutos
1x45 minutos
------------------54 x 45 minutos
4x45 minutos
1x45 minutos
------------------53 x 45 minutos
4x45 minutos
1x45 minutos
1. MÓDULO INICIAL
1.1. O ponto
1.2. A Reta
1.3. Posição relativa entre duas retas
1.4. O Plano
1.5. Posição relativa entre retas e planos
a) Reta pertencente a um plano
b) Reta paralela a um plano
c) Reta concorrente com um plano
d) Planos paralelos
e) Planos concorrentes
1.6. Perpendicularidade entre retas e planos
a) Retas perpendiculares e ortogonais
b) Reta perpendicular a um plano
c) Planos perpendiculares
1.7. Superfícies
a) Generalidades, geratriz e diretriz
b) Superfícies: plana, piramidal, cónica, prismática, cilíndrica e esférica
1.8. Sólidos
a) Pirâmides regulares e oblíquas
b) Prismas regulares e oblíquos
c) Cones retos e oblíquos
d) Cilindros retos e oblíquos
e) Esfera
f) Secções planas de sólidos e truncagem
2. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DESCRITIVA
2.1. Geometria Descritiva
a) Resenha histórica
b) Objeto e finalidade
c) Noção de projeção (projetante, superfície de projeção e projeção)
2.2. Tipos de projeção
a) Projeção central ou cónica
b) Projeção paralela ou cilíndrica
- Projeção oblíqua ou clinogonal
- Projeção ortogonal
2.3. Sistemas de representação e sua caracterização
Pelo tipo de projeção
Pelo número de projeções utilizadas
Pelas operações efetuadas na passagem do tridimensional para o plano
bidimensional
- Projeção única
- n projeções e rebatimento de n-1 planos de projeção
Tempos letivos
previstos
(45 minutos)
2
182
12
3
Tempos previstos
18 tempos letivos
(distribuídos ao longo
do ano letivo, antes de
iniciar os respetivos
conteúdos)
Tempos previstos
6
tempos letivos
2.INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DESCRITIVA
Tempos previstos
2.4. Introdução ao estudo Sistemas de Representação Triédrica e Diédrica
a) Representação Diédrica:
Diedros de projeção
Planos de projeção
- Plano Horizontal de Projeção ou plano 1
- Plano Frontal de Projeção ou plano 2
Eixo x ou aresta dos diedros (Linha de Terra)
Planos bissetores dos diedros
Representação diédrica de um ponto
b) Representação Triédrica
Triângulos trirretângulos de projeção
Planos de projeção
- Plano horizontal xy ou plano
- Plano frontal zx ou plano 2
- Plano de perfil zy ou plano 3
Eixos de coordenadas ortogonais: x, y, z
Coordenadas ortogonais
- Abcissa ou largura
- Ordenada, afastamento ou profundidade
- Cota ou altura
Representação triédrica de um ponto
Vantagens e inconvenientes de ambos os sistemas de representação;
sua intermutabilidade
2 tempos letivos
3. REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA
Tempos previstos
3.1. O PONTO
a) Localização de um ponto
b) Projeções do ponto (situado nos primeiro, segundo, terceiro ou quarto
Diedros, nos planos Bissetores ou no(s) plano(s) de Projeção)
3.2. O SEGMENTO DE RETA
a) Projeções de um segmento de reta
b) Posição do segmento de reta em relação aos planos de projeção:
- Paralelo a um dos Planos de Projeção
- Paralelo aos dois Planos de Projeção
- Perpendicular a um dos Planos de Projeção
- Paralelo ao Plano Referencial das abcissas e oblíquo aos dois Planos
de Projeção
- Oblíquo aos dois planos de Projeção
8 tempos letivos
6 tempos letivos
3. REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA
3.3. A RETA
a) Projeções da reta
b) Ponto pertencente a uma reta
c) Reta definida por dois pontos
d) Reta definida por um ponto e pelos ângulos que as suas projeções
fazem com o eixo x
e) Traços da reta nos planos de projeção
f) Traços da reta nos planos bissetores
g) Posição da reta em relação aos planos de projeção
- Horizontal
- Frontal
- Fronto-horizontal
- De topo ou projetante frontal
- Vertical ou projetante horizontal
- Oblíqua
- Oblíqua passante
- De perfil
- Passante de perfil
h) Posição relativa de duas retas:
- Paralelas (complanares)
- Concorrentes (complanares)
- Enviesadas (enviesadas ou não complanares)
3.4. O PLANO
a) Definição do plano por:
- Três pontos não colineares
- Uma reta e um ponto exterior
- Duas retas paralelas
- Duas retas concorrentes
- Pelos seus traços nos planos de projeção
- Pela sua reta de maior declive
- Pela sua reta de maior inclinação
b) Retas contidas num plano (definido ou não pelos seus traços)
c) Pontos pertencentes ao plano (def. ou não pelos seus traços)
d) Retas notáveis no plano oblíquo (Horizontais, Frontais, de maior declive
e de maior inclinação)
e) Posição do plano em relação aos planos de projeção:
Horizontal, frontal, de perfil, de topo, vertical, oblíquo, de rampa,
passante
f) Planos projetantes e Planos não projetantes
3.5. FIGURAS PLANAS I
a) Polígonos e círculos horizontais
b) Polígonos e círculos frontais
c) Polígonos e círculos de perfil (a bordar no conteúdo 3.9)
Tempos previstos
16 tempos
letivos
32 tempos letivos
8 tempos letivos
3. REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA
Tempos previstos
3.6. INTERSEÇÕES (PLANO/PLANO E RETA/PLANO)
a) Interseção de planos (método geral)
b) Interseção de um plano (definido ou não pelos traços) com os planos
bissetores
c) Interseção de dois planos projetantes
d) Interseção de um plano projetante com um plano não projetante
e) Interseção de um plano (definido ou não pelos traços) com um plano
oblíquo e com um Plano de rampa
f) Interseção de uma reta projetante com um plano projetante
g) Interseção de uma reta não projetante com um plano projetante
h) Interseção de uma reta com um plano (método geral)
i) Interseção de três planos
40 tempos letivos
3.7. SÓLIDOS I
a) Pirâmides (regulares e oblíquas de base regular) de base horizontal ou
frontal
b) Cones (de revolução e oblíquos de base circular) de base horizontal ou
frontal
c) Prismas (regulares e oblíquos de base regular) de bases horizontais ou
frontais
d) Cilindros (de revolução e oblíquos de base circular) de bases horizontais
ou frontais
e) Esfera
Círculos máximos (horizontal, frontal e de perfil)
f) Pontos e linhas situados nas arestas, nas faces ou nas superfícies dos
sólidos
3.8. MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES I
a) Estrutura comparada dos três métodos auxiliares
Características e aptidões
b) MUDANÇA DE DIEDROS DE PROJEÇÃO (casos que impliquem apenas
uma mudança)
Transformação das projeções de um ponto
Transformação das projeções de uma reta
Transformação das projeções dos elementos definidores de um plano
c) ROTAÇÕES (implicando apenas uma rotação) / REBATIMENTOS
Rotação do ponto
Rotação da reta
Rotação de um plano projetante
Rebatimento de planos projetantes
3.9. FIGURAS PLANAS II
a) Polígonos e círculos situados em planos verticais
b) Polígonos e círculos situados em planos de topo
c) Polígonos e círculos situados em planos de perfil
14 tempos previstos
2 tempos letivos
6 tempos letivos
16 tempos letivos
8 tempos letivos
3. REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA
Tempos previstos
3.10. SÓLIDOS II
a) Pirâmides (regulares e oblíquas de base regular) de base situada num
plano de perfil
b) Prismas (regulares e oblíquos de bases regulares) de bases situadas em
planos de perfil
c) Cones /de revolução e oblíquos de base circular) de base situada num
plano de perfil
d) Cilindros (de revolução e oblíquos de base circular) de bases situadas
em planos de perfil
e) Pirâmides regulares com base situada num plano vertical
f) Pirâmides regulares com base situada num plano de topo
g) Prismas regulares com bases situadas em planos verticais
h) Prismas regulares com bases situadas em planos de topo
16 tempos letivos
APÊNDICE B
Planificação do 11º ano da disciplina de
Geometria Descritiva no ano letivo de 2012/2013
PLANIFICAÇÃO ANO LETIVO 2012/2013.GEOMETRIA DESCRITIVA 11º ANO
ATIVIDADES
LETIVAS
1º Período
2º Período
3º Período
Apresentação
Unidades de ensino
Avaliação Formal
Autoavaliação
2 x 45 minutos
75 x 45 minutos
4 x 45 minutos
1 x 45 minutos
------------------57 x 45 minutos
4x45 minutos
1x45 minutos
------------------49 x 45 minutos
4x45 minutos
1x45 minutos
Tempos letivos
previstos
(45 minutos)
2
181
12
3
1. REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA
Tempos previstos
3.11. PARALELISMO ENTRE RETAS E PLANOS
a) Retas paralelas entre si
b) Retas de perfil paralelas entre si
c) Retas paralelas a um plano dado
d) Retas paralelas a planos bissetores
e) Plano paralelo a uma reta dada
f) Planos paralelos entre si (definidos ou não pelos traços)
g) Planos de rampa paralelos
4 tempos letivos
3.12. PERPENDICULARIDADE ENTRE RETAS E PLANOS
a) Noção de perpendicular e ortogonal
b) Retas horizontais perpendiculares (concorrentes ou enviesadas)
c) Retas frontais perpendiculares (concorrentes ou enviesadas)
d) Reta horizontal perpendicular (concorrente ou enviesada) a uma reta
e) Reta frontal perpendicular (concorrente ou enviesada) a uma reta
f) Outras retas perpendiculares entre si
g) Reta perpendicular a um plano dado (incluindo o plano de rampa)
h) Plano perpendicular a uma reta dada (incluindo a reta de perfil)
i) Retas oblíquas perpendiculares
j) Planos oblíquos e de rampa perpendiculares entre si
k) Planos perpendiculares aos planos bissetores
l) Outros planos perpendiculares entre si
3.13 MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES II
a) Segmentos de reta e retas pertencentes ao plano vertical, de topo ou
de perfil (revisões)
Determinação da verdadeira grandeza por Mudança de diedro
Determinação da verdadeira grandeza por Rebatimento
b) Segmentos de reta e retas pertencentes ao plano oblíquo
c) Segmentos de reta e retas pertencentes ao plano de rampa
d) Segmentos de reta e retas pertencentes ao plano passante
Determinação da verdadeira grandeza por Rebatimento ( Método
do triângulo do rebatimento)
Rebatimento do plano oblíquo sobre um plano horizontal
Rebatimento do plano oblíquo sobre um plano frontal
Rebatimento do plano de rampa ou passante sobre o Plano Lateral
de Projeção (com recurso à Representação Triédrica)
Determinação da verdadeira grandeza por Mudança de diedro
de 8 a 10 tempos
previstos
de 8 a 10 tempos
previstos
3.REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA
3.14. PROBLEMAS MÉTRICOS
DISTÂNCIAS
a) Distância entre dois pontos
b) Distância de um ponto a um plano
c) Distância entre dois planos paralelos
d) Distância de um ponto a uma reta
ÂNGULOS
a) Ângulo entre duas retas concorrentes
b) Ângulo entre duas retas enviesadas
c) Ângulo de uma reta com um plano frontal ou horizontal
d) Ângulo de uma reta com um plano
e) Ângulo de um plano com um plano frontal ou horizontal
f) Ângulo entre dois planos
3.15. FIGURAS PLANAS III
a) Figura plana pertencente ao plano vertical, de topo ou de perfil (revisões)
Determinação da verdadeira grandeza por Rebatimento
Determinação da verdadeira grandeza por Mudança de diedro
b) Figura plana (polígono ou círculo) pertencente ao plano oblíquo
c) Figura plana (polígono ou círculo) pertencente ao plano de rampa
d) Figura plana (polígono ou círculo) pertencente ao plano passante
Determinação da verdadeira grandeza por Rebatimento – Método do
triângulo do rebatimento
Determinação da verdadeira grandeza por Rebatimento – Método das
retas horizontais (plano oblíquo)
Determinação da verdadeira grandeza por Rebatimento – Método das
retas frontais (plano oblíquo)
Determinação da verdadeira grandeza por Mudança de diedro
3.16. SÓLIDOS III
a) Pirâmides regulares com base situado num plano oblíquo
b) Prismas regulares com bases situadas em planos oblíquos
c) Pirâmides regulares com base situada num plano de rampa
d) Prismas regulares com bases situadas em planos de rampa
e) Pirâmides regulares com base situada num plano passante
f) Prismas regulares com uma das bases situada num plano passante
3.17. SECÇÕES
a) Secções produzidas, por planos horizontal, frontal ou de perfil, em
pirâmides (com a base situada em qualquer tipo de plano)
b) Secções produzidas, por planos horizontal, frontal ou de perfil, em
prismas (com a base situada em qualquer tipo de plano)
c) Secções produzidas, por planos projetantes, em cones de base
horizontal, frontal ou perfil
d) Secções produzidas, por planos projetantes, em cilindros de bases
horizontais, frontais ou de perfil
e) Secções produzidas, por planos projetantes, na esfera
f) Secções produzidas, por qualquer tipo de plano, em pirâmides de base
horizontal, frontal ou de perfil
g) Secções produzidas, por qualquer tipo de plano, em prismas de bases
horizontais, frontais ou de perfil
h) Truncagem de sólidos
Tempos previstos
8 tempos letivos
12 tempos letivos
de 8 a 12 tempos
letivos
de 14 a 16 tempos
letivos
de 30 a 36 tempos
letivos
3.REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA
Tempos previstos
3.18. SOMBRAS
a) Generalidades
b) Noção de sombra própria, espacial, projetada (real e virtual)
c) Direção luminosa convencional
d) Sombra projetada de pontos, de segmentos reta e da reta nos Planos
de Projeção
e) Sombra própria e sombra projetada por figuras planas (situadas em
qualquer plano) sobre os Planos de Projeção
f) Sombra própria e sombra projetada por pirâmides com base
horizontal, frontal ou de perfil, nos Planos de Projeção
g) Sombra própria e sombra projetada por prismas com bases
horizontais, frontais ou de perfil, nos Planos de Projeção
h) Sombra própria e sombra projetada por cones com base horizontal,
frontal ou de perfil, nos Planos de Projeção
i) Sombra própria e sombra projetada por Cilindros com bases
horizontais, frontais ou de perfil, nos Planos de Projeção
de 34 a 46 tempos
letivos
2. REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA
Tempos previstos
2.1. INTRODUÇÃO AO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA
2.2. AXONOMETRIAS ORTOGONAIS: TRIMETRIA, DIMETRIA E ISOMETRIA´
a) Generalidades
b) Determinação gráfica das escalas axonométricas
Rebatimento do plano definido por um par de eixo
Rebatimento do plano projetante de um eixo
c) Axonometrias ortogonais normalizadas
2.3. AXONOMETRIAS CLINOGONAIS: CAVALEIRA E PLANOMÉTRICA
a) Generalidades
b) Direção e inclinação das projetantes
c) Determinação gráfica da escala axonométrica do eixo normal ao plano
de projeção através do rebatimento do plano projetante desse eixo
d) Axonometrias clinogonais normalizadas
2.4. REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA DE FORMAS TRIDIMENSIONAIS
a) Métodos de construção
Método das coordenadas
Método do paralelepípedo circunscrito ou envolvente
Método dos cortes (só no caso da axonometria ortogonal)
b) Representação axonométrica de um conjunto de sólidos ou de um
sólido dado em Representação Triédrica
c) Representação axonométrica de um sólido dado em Representação
Triédrica
de 32 a 42 tempos
letivos
APÊNDICE C
Planos das aulas nºs 40 e 43 do 10º ano
APÊNDICE D
Planos das aulas nºs 80 e 83 do 11º ano
APÊNDICE E
Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 2ª avaliação formal
escrita elaborada para o 10º ano na disciplina de Geometria Descritiva,
no ano letivo de 2012/2013
- Ser autónomo no
desenvolvimento de
atividades individuais
- Representar formas
reais ou imaginadas
- Utilizar a Geometria
Descritiva em
situações de
comunicação e registo
- Utilizar os
instrumentos de
desenho e executar os
traçados
- Reconhecer a
normalização
referente ao desenho
- Aplicar os processos
construtivos da
representação
Competências
essenciais
- Percecionar e
visualizar no espaço
Figuras
Planas
Plano
Reta
Unidades
temáticas
Ponto
- Polígonos e círculos horizontais e frontais
- Definição do plano
- Retas contidas num plano
- Pontos pertencentes ao plano
- Retas notáveis no plano oblíquo
- Posição do plano em relação aos planos de
projeção
- Planos projetantes e Planos não projetantes
- Localização de um ponto
- Projeções do ponto
- Projeções da reta
- Ponto pertencente a uma reta
- Reta definida por dois pontos
- Reta definida por um ponto e pelos ângulos
que as suas projeções fazem com o eixo x
- Traços da reta nos planos de projeção
- Posição da reta em relação aos planos de
projeção
- Posição relativa de duas retas paralelas e
concorrentes
(Duração: 90 minutos)
Conteúdos essenciais e estruturantes
Objetivos
- Resolver problemas de
determinação de
verdadeira grandeza de
segmentos de reta e
figuras.
- Resolver problemas de
pertença e interseção no
sistema de representação
diédrica.
- Representar pontos,
retas e planos no sistema
de representação
diédrica;
Matriz da 2ª Avaliação Escrita Formal – 10º Ano
Exercício IV
Exercício I, II e
III
Estrutura da
Prova
50 pontos
150 pontos
Cotações
Geometria Descritiva A – 2012/2013
C O L É G I O
M O D E R N O
GEOMETRIA DESCRITIVA
Duração: 80 minutos
30.Novembro.2012
Classificação
___________________
Professor
___________________
Nome: _______________________________________ 2º TESTE de AVALIAÇÃO
Ano: 10º IB 10ºII
Enc. Educação
__________________
_
I
Determine os traços A e B da reta projetante horizontal, v, no β1.3 e no β2.4, respetivamente. v tem
1,5 cm de afastamento. Apresente o raciocínio recorrendo à tripla projeção da reta.
II
A reta a é oblíqua, passa por B (-2; 1; 4) e o seu traço horizontal tem 3 cm de abcissa e -2 cm de
afastamento. Determine os traços de um plano δ de que a é uma das retas de maior declive.
III
Considere o plano γ definido pelos seus traços, que são coincidentes.
O traço frontal de γ faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x.
Desenhe as projeções de um triângulo [PQR], contido no plano, sendo P (6; 6), Q (2; 1) e R (-1; 3).
Distinga as partes visíveis do triângulo daquelas que são invisíveis, com os traçados adequados
(considere invisível a parte do triângulo que não se situa no 1º diedro).
IV
Desenhe as projeções de um pentágono regular [ABCDE], contido num plano horizontal (de nível) e
inscrito numa circunferência de 3,5 cm de raio. Sobre o pentágono, sabe-se que o lado [AB] faz um
ângulo de 30º (a.d.) com o plano frontal de projeção, sendo A o seu vértice mais à esquerda. O
centro da circunferência circunscrita ao pentágono pertence ao β1.3 e tem 4 cm de cota.
Pág 1 de 1
Geometria Descritiva A – 2012/2013
Critérios de Correção da 2ª Avaliação Escrita Formal – 10º Ano
Critérios Gerais (Critérios idênticos aos utilizados no Exame Nacional de Geometria Descritiva A)
- Tradução gráfica dos dados
- Processo de resolução
- Apresentação gráfica da solução
Critérios Específicos
Exercício
Critérios específicos de classificação
Pontuação (em pontos)
Reta vertical
Afastamento (1,5 cm)
Projeção horizontal
Interseção com beta 1.3
Interseção com beta 2.4
Tripla projeção
10
5
5
10
10
10
Exercício 2
Ponto B
Ponto H
Reta a
Traço horizontal do plano
Traço frontal do plano
6
8
6
15
15
6Exercício 3
Traços do plano
Ponto P
Ponto Q
Ponto R
Projeções dos triângulos
Invisibilidades
6
10
10
12
6
6
Exercício 4
Ponto O
Plano de nível
Eixo a 30º
Desenho do pentágono
Ponto A
Projeções dos pontos (4x3)
6
10
6
10
6
12
Exercício 1
50 pontos
50 pontos
50 pontos
50 pontos
200 pontos
APÊNDICE F
Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 4ª avaliação formal
escrita elaborada para o 10º ano na disciplina de Geometria Descritiva,
no ano letivo de 2012/2013
- Utilizar a
Geometria
Descritiva em
situações de
comunicação e
registo
- Utilizar os
instrumentos de
desenho e
executar os
traçados
- Reconhecer a
normalização
referente ao
desenho
- Aplicar os
processos
construtivos da
representação
Competências
essenciais
- Percecionar e
visualizar no
espaço
Plano
- Definição do plano
- Retas contidas num plano
- Pontos pertencentes ao plano
- Retas notáveis no plano oblíquo
- Posição do plano em relação aos
planos de projeção
- Planos projetantes e Planos não
projetantes
- Localização de um ponto
- Projeções do ponto
- Projeções da reta
- Ponto pertencente a uma reta
- Reta definida por dois pontos
- Reta definida por um ponto e pelos
ângulos que as suas projeções fazem
com o eixo x
- Traços da reta nos planos de
projeção
- Posição da reta em relação aos
planos de projeção
- Posição relativa de duas retas
paralelas e concorrentes
Ponto
Reta
Conteúdos essenciais e estruturantes
Unidade temática
- Resolver problemas de pertença
e interseção no sistema de
representação diédrica .
- Representar pontos, retas e
planos no sistema de
representação diédrica;
Competências/Objetivos
Matriz da 4ª Avaliação Escrita Formal – 10º Ano
(Duração: 90 minutos)
Exercício I
Estrutura
da Prova
50 pontos
Cotações
Geometria Descritiva A – 2012/2013
- Ser autónomo
no
desenvolvimento
de atividades
individuais
- Representar
formas reais ou
imaginadas
Competências
essenciais
(Continuação)
Interseções
(reta/plano)
Interseções
(plano/plano)
Figuras Planas
Unidade temática
- Interseção de planos (método
geral)
- Interseção de um plano com os
planos bissetores
- Interseção de dois planos
projetantes
- Interseção de um plano projetante
com um plano não projetante
- Interseção de um plano oblíquo
com um Plano de rampa
- Interseção de uma reta projetante
com um plano projetante
- Interseção de uma reta não
projetante com um plano projetante
- Interseção de uma reta com um
plano (método geral)
- Interseção de três planos
- Polígonos e círculos horizontais e
frontais
Conteúdos essenciais e estruturantes
- Resolver problemas de pertença
e interseção no sistema de
representação diédrica .
- Representar pontos, retas e
planos no sistema de
representação diédrica;
- Resolver problemas de
determinação de verdadeira
grandeza de segmentos de reta e
figuras.
Competências/Objetivos
Exercício
IV
Exercício
III
Exercício
II
Estrutura
da Prova
50 pontos
50 pontos
50 pontos
Cotações
Geometria Descritiva A – 2012/2013
C O L É G I O
M O D E R N O
GEOMETRIA DESCRITIVA
Duração: 90 minutos
Classificação
___________________
29.Fevereiro.2013
Professor
___________________
Nome: ___________________________________________________ 4º TESTE
Ano: 10º IB 10ºII
Enc. Educação
__________________
_
I
Determine as projeções do ponto P, contido no plano oblíquo β.
- o plano β contém a reta frontal f;
- a reta f contém o ponto A, com 2 de abcissa e 3 de afastamento, pertence ao bissetor dos diédros
ímpares;
- a projeção frontal da reta f faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para esquerda);
- os traços do plano β intersetam-se no ponto com -4 de abcissa;
- o ponto P tem 5 de cota e pertence ao bissetor dos diédros pares.
II
Determine as projeções de um hexágono regular [ABCDEF], contido num plano frontal e situado no
espaço do primeiro diédro, sabendo que:
- o ponto A (1; 2; 3) é o vértice de menor cota do hexágono;
- o lado [AB] faz, com o plano horizontal de projeção um ângulo de 45º de abertura para a direita;
- os lados do hexágono medem 4 cm.
III
Represente o plano de rampa α que é definido pelo traço horizontal, com -3 de afastamento e pelo
ponto A (0; -6; 9).
Represente o plano oblíquo π que tem um ponto no eixo x com zero de abcissa, o seu traço frontal
faz, acima desse eixo, um ângulo de 60º,(a.d.), o seu traço horizontal faz, abaixo do eixo x, um
ângulo de 30º, (a.e.).
Determine a reta i de interseção dos dois planos.
IV
Determine o ponto de interseção I da reta horizontal h com o plano oblíquo α.
- a recta h contém o ponto P (-5; 5; 3) e faz um ângulo de 45º (abertura para a direita) com o plano
frontal de projeção;
- o plano oblíquo α contém o ponto X do eixo x com 5 de abcissa e a reta frontal f que passa pelo
ponto S (4; 2; 3) e faz um ângulo de 45º (abertura para a direita) com o plano frontal de projeção.
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Geometria Descritiva A – 2012/2013
Critérios de Correção da 4ª Avaliação Escrita Formal – 10º Ano
Critérios Gerais (Critérios idênticos aos utilizados no Exame Nacional de Geometria Descritiva A)
- Tradução gráfica dos dados
- Processo de resolução
- Apresentação gráfica da solução
Critérios Específicos
Exercício
Critérios específicos de classificação
Pontuação (em pontos)
Exercício 1
Ponto A [Beta 1.3]
projeção horizontal de f (f1)
projeção frontal de f (f2)
Nascença de Beta (K)
traços do plano Beta (4+4)
reta auxiliar de suporte de P (MG)
projeções do ponto P (4+4)
6
2
4
4
8
8
8
Exercício 2
Ponto R
Ponto F
Reta a
Ponto S
Reta b
Traço H da reta a
Traços H e F da reta b
Traços do plano
Representação Gráfica
6
4
6
6
6
4
6
6
6
50 pontos
50 pontos
Exercício 3
Traços de ró (rampa)
Projeção g2
Método Geral (tripla ou reta de suporte)
Ponto auxiliar
Reta auxiliar
Projeção g1
Representação Gráfica
10
5
15
5
5
5
5
Traço do plano vertical
Ponto P
Ponto A + B + reta de perfil
Traços da reta de perfil
Reta auxiliar
Traços da reta auxiliar
Traço do plano teta
Método geral da reta de interseção
Representação gráfica
8
3
6
6
4
4
4
10
5
50 pontos
Exercício 4
50 pontos
200 pontos
APÊNDICE G
Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 6ª avaliação formal
escrita elaborada para o 10º ano na disciplina de Geometria Descritiva,
no ano letivo de 2012/2013
- Pirâmides e prismas
(regulares e oblíquas) de base
horizontal ou frontal
- Cones e cilindros (de
revolução e oblíquos) de base
horizontal ou frontal
- Pirâmides e prismas
(regulares e oblíquas) de base
situadas em planos projetantes
(de perfil, verticais e de topo)
- Cones e cilindros (de
revolução e oblíquos) de base
situadas em planos projetantes
(de perfil, verticais e de topo)
Sólidos I
Sólidos II
- Reconhecer a
normalização referente
ao desenho
- Ser autónomo no
desenvolvimento de
atividades individuais
- Representar formas
reais ou imaginadas
- Utilizar a Geometria
Descritiva em situações
de comunicação e
registo
- Utilizar os
instrumentos de
desenho e executar os
traçados
- Interseção de planos
definidos pelos seus traços e
interseção de retas com planos
definidos pelos seus traços
Interseções
(plano/plano e
reta/plano)
- Aplicar os processos
construtivos da
representação
- Percecionar e visualizar
no espaço
Conteúdos essenciais e
estruturantes
-Projeção de pontos e retas
pertencentes a planos
Unidade
temática
Ponto, reta e
plano
Competências essenciais
- Representar sólidos no
sistema de representação
diédrica.
- Resolver problemas de
determinação de verdadeira
grandeza de segmentos de
reta e de figuras planas
situados em planos
projetantes;
- Resolver problemas de
pertença e interseção no
sistema de representação
diédrica .
- Representar pontos, retas e
planos no sistema de
representação diédrica;
Competências/Objetivos
Matriz da 6ª Avaliação Escrita Formal – 10º Ano
(Duração: 90 minutos)
Exercício IV
Exercício III
Exercício II
Exercício I
Estrutura da
Prova
50 pontos
50 pontos
50 pontos
50 pontos
Cotações
Geometria Descritiva A – 2012/2013
C O L É G I O
M O D E R N O
Classificação
GEOMETRIA DESCRITIVA
Duração: 90 minutos
___________________
3.Junho.2013
Professor
___________________
Nome: ___________________________________________________ 6º TESTE
Ano: 10º IB 10ºII
Enc. Educação
__________________
_
I
Represente um plano oblíquo α pelos seus traços, sabendo que contém os pontos A (7; -1,5; 0) e
B (0; 5; 0) e que o seu traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 60º abertura para a direita.
a) Determine as projeções do ponto R do plano, sabendo que tem 7 e 4 de afastamento e cota,
respetivamente;
b) Represente ainda duas retas concorrentes a e i, pertencentes ao plano, sabendo que:
- a é a reta de maior inclinação do plano que contém o ponto R;
- i é uma reta do bissetor dos diedros pares
II
Determine as projeções da interseção entre o plano δ e a reta f, sabendo que:
- o plano δ contém os pontos A (0; 3; 4); B (0; -2; 12) e C (5; -2; 8);
- a reta f é frontal, com 5 de afastamento, e o seu traço horizontal tem -8 de abcissa;
- a projeção frontal da reta f contém a projeção frontal do ponto B.
III
Represente pelas suas projeções, uma pirâmide pentagonal de base frontal, sabendo que:
- o ponto O (3, 7; 8) dista 6 cm dos vértices da base [ABCDE];
- O e A são pontos de uma reta frontal f, que define um ângulo de 54º de abertura para a direita
com o plano horizontal de projeção, tendo A maior cota que O;
- a aresta lateral [BV] pertence a uma reta passante que contém a origem das coordenadas;
- a projeção frontal da aresta [AV] é perpendicular à projeção frontal da aresta [BV].
IV
Represente, pelas suas projeções, um cubo no espaço do primeiro diedro, sabendo que A (0; 4; 2) e
C (-6; 8; 6) são vértices opostos da face [ABCD], situada num plano de topo.
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Geometria Descritiva A – 2012/2013
Critérios de Correção da 6ª Avaliação Escrita Formal – 10º Ano
Critérios Gerais (Critérios idênticos aos utilizados no Exame Nacional de Geometria Descritiva A)
- Tradução gráfica dos dados
- Processo de resolução
- Apresentação gráfica da solução
Critérios Específicos
Exercício
Exercício 1
Critérios específicos de classificação
Pontuação (em pontos)
ponto A
ponto B
reta auxiliar [AB]
traço horizontal de alfa
traço frontal de alfa
ponto R
reta auxiliar para R
traço da reta auxiliar
reta de maior inclinação i
reta do beta 2.4
Representação gráfica
6
6
4
4
2
6
4
2
6
6
4
ponto A
ponto B
ponto C
retas auxiliares (3+3)
traços das retas (2+2)
traços do plano delta
projeção horizontal de f
traço H de f
projeção frontal de f
MG plano auxiliar projetante
MG reta de interseção i
ponto I
Representação Gráfica
3
3
3
6
4
4
2
4
3
4
4
6
4
50 pontos
Exercício 2
50 pontos
Geometria Descritiva A – 2012/2013
Critérios Específicos
Exercício
Exercício 3
Critérios específicos de classificação
Pontuação (em pontos)
ponto O
base frontal/r=6
reta frontal [AO]
ponto A/desenho do pentágono
reta passante [BV]
aresta [AV]
ponto V
contorno aparente
visibilidade/invisibilidade
Representação Gráfica
3
6
4
10
4
4
4
6
5
4
ponto A
ponto C
plano de topo
rebatimento de A e C
VG do quadrado da base
contra rebatimento do quadrado
arestas laterais perpendiculares à base
VG da altura do cubo
contorno aparente
visibilidade/invisibilidade
Representação Gráfica
3
3
6
4
4
4
6
6
4
6
4
50 pontos
Exercício 4
50 pontos
200 pontos
APÊNDICE H
Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 2ª avaliação formal
escrita elaborada para o 11º ano na disciplina de Geometria Descritiva,
no ano letivo de 2012/2013
- Ser autónomo no
desenvolvimento de
atividades individuais
- Representar formas
reais ou imaginadas
- Utilizar a Geometria
Descritiva em situações
de comunicação e
registo
- Utilizar os
instrumentos de
desenho e executar os
traçados
- Reconhecer a
normalização referente
ao desenho
- Aplicar os processos
construtivos da
representação
Competências
essenciais
- Percecionar e
visualizar no espaço
Figuras Planas
- Figura plana pertencente ao
plano oblíquo
- Figura plana pertencente ao
plano de rampa
- Figura plana pertencente ao
plano passante
- Determinação da verdadeira
grandeza
- Método do triângulo do
rebatimento
- Método das retas horizontais e
das retas frontais (plano oblíquo)
Conteúdos essenciais e
estruturantes
Perpendicularidade - Noção de perpendicular e
entre retas e
ortogonal
planos
- Perpendicularidade entre retas
(concorrentes ou enviesadas)
- Reta perpendicular a um plano
dado
- Plano perpendicular a uma reta
dada
- Perpendicularidade entre planos
Métodos
- Mudança de diedro de projeção
geométricos
- Rebatimentos de planos
auxiliares
projetantes e oblíquos
Unidade temática
- Resolver problemas de
determinação de verdadeira
grandeza de segmentos de
reta e figuras.
- Representar pontos, retas
e planos no sistema de
representação diédrica;
- Resolver problemas de
pertença e interseção no
sistema de representação
diédrica.
- Resolver problemas de
perpendicularidade de retas
e de planos
- Aplicar os métodos
geométricos auxiliares para
obtenção de verdadeiras
grandezas em planos não
projetantes;
Competências/Objetivos
Matriz da 2ª Avaliação Escrita Formal – 11º Ano
(Duração: 90 minutos)
Exercício IV
Exercícios II e III
Exercício I
Estrutura da
Prova
50 pontos
100 pontos
50 pontos
Cotações
Geometria Descritiva A – 2012/2013
C O L É G I O
M O D E R N O
GEOMETRIA DESCRITIVA
Duração: 80 minutos
Classificação
___________________
03.Dezembro.2012
Professor
___________________
Nome: _______________________________________ 2º TESTE de AVALIAÇÃO
Ano: 11º IB 11ºII
Enc. Educação
__________________
_
Esta prova é constituída por quatro itens de resolução gráfica.
Utiliza apenas lápis de grafite e desenha em tamanho natural (sem reduzir nem ampliar as medidas dadas).
Cada item deve ser apresentado numa folha de papel cavalinho A4 (folha A3 dobrada ao meio no sentido
longitudinal) e identificado pelo número que lhe corresponde no enunciado.
Em todas as folhas de resolução dos exercícios têm de apresentar, a tinta, o vosso nome completo e número.
Na resolução dos problemas, respeita os dados e indica as notações necessárias para identificar os processos de
resolução utilizados e as soluções gráficas pedidas.
Desenha com rigor, respeitando as adequadas diferenciações relativas aos vários tipos de traço e enquadrando
bem o desenho na área útil da folha.
I
Determine as projeções da reta oblíqua r ortogonal à reta a.
 a reta a contém o ponto A (3; 2; 5) e é paralela ao β2.4;
 a projeção horizontal da reta a faz um ângulo de 40º, abertura para a esquerda, com o eixo x;
 a reta r é passante e contém o ponto R (0; -2; 4).
II
Determine graficamente a verdadeira grandeza do segmento de recta [HI] e represente os pontos H e I
pelas suas projecções.
 o segmento de recta [HI] está contido numa recta de perfil p, que é definida pelos pontos A (0; 1; 5) e B,
com 6 de afastamento e 2 de cota;
 o ponto H é o traço horizontal da recta p;
 o ponto I é o ponto de intersecção da recta p com o plano oblíquo α, cujos traços horizontal e frontal
fazem, com e eixo x, respectivamente, ângulos de 45º e 60º (ambos com abertura para a direita),
intersetando-o num ponto com 5 de abcissa.
III
Determine graficamente a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.
 o plano α contém os pontos A (0; 4; 7) e B do β2.4, com 4 cm de abcissa e 2 cm de cota;
 o traço frontal do plano α faz um ângulo de 60º, abertura para a esquerda, com o eixo x;
 o ponto P está situado no plano frontal de projeção e tem -4 cm de abcissa e 5 cm de cota.
IV
Represente pelas suas projeções o triângulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo γ.
 o ponto A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;
 o lado [BC] pertence à reta s;
 o ponto F, traço frontal da reta s, tem -6 de abcissa e -4 de cota;
 as projeções, horizontal e frontal, da reta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda,
com o eixo x;
 os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.
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Geometria Descritiva A – 2012/2013
Critérios de Correção da 2ª Avaliação Escrita Formal – 11º Ano
Critérios Gerais (Critérios idênticos aos utilizados no Exame Nacional de Geometria Descritiva A)
- Tradução gráfica dos dados
- Processo de resolução
- Apresentação gráfica da solução
Critérios Específicos
Exercício
Critérios específicos de classificação
Ponto A
Reta a
Ponto R
Método Geral
Exercício 1
Reta auxiliar (h)
Traço da reta auxiliar
Plano perpendicular
Reta passante r
Convenções gráficas
Pontuação (em pontos)
3
4
3
10
6
3
8
8
5
50 pontos
Ponto A
Ponto B
Ponto K
Traços do alfa
Método geral (reta de perfil i)
Exercício 2
Tripla de H
Tripla de I
Ponto I e H rebatidos
Contra-rebatimento
Convenções gráficas
6
6
3
4
10
3
3
6
4
5
50 pontos
Geometria Descritiva A – 2012/2013
Exercício
Critérios específicos de classificação
Traço frontal de alfa
Ponto A
Ponto B
Reta r
Traço H de r
Traço horizontal de alfa
Exercício 3
Ponto P
Método Geral
Reta perpendicular (p)
Plano auxiliar
Reta de interseção, ponto I
Rebatimento da distância
Convenções gráficas
Pontuação (em pontos)
2
3
3
2
3
2
3
10
4
2
6
5
5
50 pontos
Ponto A
Ponto F
Reta r
Método Geral (traços do plano)
Rebatimento de A
Exercício 4
Rebatimento da reta r
Ponto B e C rebatidos
Contra-rebatimento de B e C
Método Geral
Convenções gráficas
3
3
4
9
6
4
2
4
10
2
50 pontos
200 pontos
APÊNDICE I
Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 4ª avaliação formal
escrita elaborada para o 11º ano na disciplina de Geometria Descritiva,
no ano letivo de 2012/2013
- Utilizar os instrumentos
de desenho e executar os
traçados
Problemas Métricos - - Ângulo entre duas retas concorrentes
Ângulos
- Ângulo entre duas retas enviesadas
- Ângulo de uma reta com um plano
frontal ou horizontal
- Ângulo de uma reta com um plano
- Ângulo de um plano com um plano
frontal ou horizontal
- Ângulo entre dois planos
- Reconhecer a
normalização referente
ao desenho
- Interseção de planos definidos pelos
seus traços e interseção de retas com
planos definidos pelos seus traços
-Projeção de pontos e retas
pertencentes a planos
Conteúdos essenciais e estruturantes
Interseções
(plano/plano e
reta/plano)
Ponto, reta e plano
Unidade temática
- Aplicar os processos
construtivos da
representação
- Percecionar e visualizar
no espaço
Competências essenciais
- Resolver problemas de
determinação de
verdadeira grandeza de
ângulos.
- Resolver problemas de
pertença e interseção no
sistema de representação
diédrica.
- Representar pontos, retas
e planos no sistema de
representação diédrica;
Competências/Objetivos
Matriz da 4ª Avaliação Escrita Formal – 11º Ano
(Duração: 90 minutos)
Exercício II
Exercício I
Estrutura da
Prova
50 pontos
40 pontos
Cotações
Geometria Descritiva A – 2012/2013
- Ser autónomo no
desenvolvimento de
atividades individuais
- Representar formas
reais ou imaginadas
- Utilizar a Geometria
Descritiva em situações
de comunicação e registo
Competências essenciais
(continuação)
- Secções produzidas, por qualquer
plano em pirâmides, em prismas, em
cones e em cilindros de base
horizontal, frontal ou perfil
- Secções produzidas, por planos
projetantes em prismas e pirâmides
com bases situadas em qualquer tipo
de plano
- Truncagem de sólidos
- Sombra projetada por figuras planas
- Sombra própria e projetada por
pirâmides, prismas, cones e cilindros
com base(s) horizontal(ais), frontal(ais)
ou de perfil
Sombras
Conteúdos essenciais e estruturantes
Secções
Unidade temática
- Determinar a sombra
própria e projetada de
pirâmides, prismas, cones e
cilindros com base(s)
horizontal(ais), frontal(ais)
ou de perfil.
- Determinar secções em
sólidos por planos,
horizontal, frontal ou de
perfil;
- Determinar secções em
sólidos com base(s),
horizontal(ais), frontal(ais)
ou de perfil por qualquer
tipo de plano.
Competências/Objetivos
Exercício IV
Exercício III
Estrutura da
Prova
50 pontos
60 pontos
Cotações
Geometria Descritiva A – 2012/2013
C O L É G I O
M O D E R N O
GEOMETRIA DESCRITIVA
Duração: 90 minutos
Classificação
___________________
29.Fevereiro.2013
Professor
___________________
Nome: ___________________________________________________ 4º TESTE
Ano: 11º IB 11ºII
Enc. Educação
__________________
_
I
Determine as projeções do ponto P, contido no plano oblíquo β.
- o plano β contém a reta frontal f;
- a reta f contém o ponto A, com 2 de abcissa e 3 de afastamento, pertence ao bissetor dos diédros
ímpares;
- a projeção frontal da reta f faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para esquerda)
- os traços do plano β intersetam-se no ponto com -4 de abcissa;
- o ponto P tem 5 de cota e pertence ao bissetor dos diédros pares.
II
Determine as projeções de um hexágono regular [ABCDEF], contido num plano frontal e situado no
espaço do primeiro diédro, sabendo que:
- o ponto A (1; 2; 3) é o vértice de menor cota do hexágono;
- o lado [AB] faz, com o plano horizontal de projeção um ângulo de 45º de abertura para a direita;
- os lados do hexágono medem 4 cm.
III
Represente o plano de rampa α que é definido pelo traço horizontal, com -3 de afastamento e pelo
ponto A (0; -6; 9).
Represente o plano oblíquo π que tem um ponto no eixo x com zero de abcissa, o seu traço frontal
faz, acima desse eixo, um ângulo de 60º, a.d., o seu traço horizontal faz, abaixo do eixo x, um
ângulo de 30º, a.e..
Determine a reta i de interseção dos dois planos.
IV
Determine o ponto de interseção I da reta horizontal h com o plano oblíquo α.
- a recta h contém o ponto P (-5; 5; 3) e faz um ângulo de 45º (abertura para a direita) com o plano
frontal de projeção;
- o plano oblíquo α contém o ponto X do eixo x com 5 cm de abcissa e a reta frontal f que passa
pelo ponto S (4;2;3) e faz um ângulo de 45º (abertura para a direita) com o plano frontal de
projeção
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Geometria Descritiva A – 2012/2013
Critérios de Correção da 4ª Avaliação Escrita Formal – 11º Ano
Critérios Gerais (Critérios idênticos aos utilizados no Exame Nacional de Geometria Descritiva A)
- Tradução gráfica dos dados
- Processo de resolução
- Apresentação gráfica da solução
Critérios Específicos
Exercício
Critérios específicos de classificação
Ponto A
reta horizontal (h)
Ponto P
traço frontal de Beta
Exercício 1
traço horizontal de Beta
MG - plano projetante
MG - reta de interseção
Ponto de interseção
convenções gráficas
Pontuação (em pontos)
4
3
4
3
6
4
6
6
4
40 pontos
Ponto H
Ponto F
reta r
traços de alfa (maior declive)
Exercício 2
traços de Beta (maior inclinação)
MG ponto externo P
MG retas perpendiculares aos planos
rebatimento das retas VG
convenções gráficas
4
4
4
6
6
4
6
10
6
50 pontos
Geometria Descritiva A – 2012/2013
Exercício
Critérios específicos de classificação
Ponto O
Ponto A
Ponto V
desenho do pentágono de base
desenho da pirâmide
plano secante
Exercício 3
interseção do plano da base com o secante MG
pontos da base
planos projetantes (2) verticais MG
pontos de interseção
secção
visibilidades e invisibilidades
convenções gráficas
Pontuação (em pontos)
3
4
4
6
4
4
6
4
6
6
4
4
5
60 pontos
Ponto A
traço horizontal do plano de rampa
traço frontal do plano de rampa
segmento [AB] 30º (a.e.)
desenho do quadrado VG
rebatimento do plano de rampa
Exercício 4
contra rebatimento do quadrado
ponto de sombra de A
pontos de sombra
pontos de quebra (2)
visibilidade e invisibilidade
convenções gráficas
4
3
3
3
3
4
8
2
6
6
4
4
50 pontos
200 pontos
APÊNDICE J
Matriz, enunciado e respetivos critérios de correção da 6ª avaliação formal
escrita elaborada para o 11º ano na disciplina de Geometria Descritiva,
no ano letivo de 2012/2013
- Utilizar os
instrumentos de
desenho e executar
os traçados
- Reconhecer a
normalização
referente ao
desenho
- Aplicar os
processos
construtivos da
representação
- Percecionar e
visualizar no
espaço
Competências
essenciais
- Retas paralelas entre si
- Retas paralelas a um plano dado
- Retas paralelas a planos bissetores
- Plano paralelo a uma reta dada
- Planos paralelos entre si
- Noção de perpendicular e ortogonal
- Perpendicularidade entre retas
(concorrentes ou enviesadas)
- Reta perpendicular a um plano dado
- Plano perpendicular a uma reta
dada
- Perpendicularidade entre planos
- Distância entre dois pontos
- Distância de um ponto a um plano
- Distância entre dois planos paralelos
- Distância de um ponto a uma reta
- Ângulo entre duas retas
concorrentes e enviesadas
- Ângulo de uma reta com um plano
- Ângulo entre dois planos
Paralelismo entre
retas e planos
Problemas Métricos
– Distâncias e
Ângulos
Perpendicularidade
entre retas e planos
- Interseção de planos definidos pelos
seus traços e interseção de retas com
planos definidos pelos seus traços
-Projeção de pontos e retas
pertencentes a planos
Conteúdos essenciais e estruturantes
Interseções
(plano/plano e
reta/plano)
Ponto, reta e plano
Unidade temática
- Resolver problemas de
determinação de
verdadeiras grandezas
lineares e angulares.
- Resolver problemas de
paralelismo e de
perpendicularidade de
retas e de planos
- Resolver problemas de
pertença e interseção no
sistema de representação
diédrica;
- Representar pontos,
retas e planos no sistema
de representação diédrica;
Competências/Objetivos
Matriz da 6ª Avaliação Escrita Formal – 11º Ano
(Duração: 90 minutos)
Exercício II
Exercício I
Estrutura da
Prova
50 pontos
50 pontos
Cotações
Geometria Descritiva A – 2012/2013
- Secções produzidas, por qualquer
plano em pirâmides, em prismas, em
cones e em cilindros de base
horizontal, frontal ou perfil
- Secções produzidas, por planos
projetantes em prismas e pirâmides
com bases situadas em qualquer tipo
de plano
- Truncagem de sólidos
Secções
Axonometria
- Determinar a sombra própria e
projetada de pirâmides, prismas,
cones e cilindros com base(s)
horizontal(ais), frontal(ais) ou de
perfil.
- Determinar secções em sólidos com
base(s), horizontal(ais), frontal(ais) ou
de perfil por qualquer tipo de plano;
- Determinar secções em sólidos por
planos, horizontal, frontal ou de
perfil;
- Resolver problemas de
determinação de verdadeira grandeza
de segmentos de reta e figuras;
Competências/Objetivos
- Representação axonométrica de um
- Caracterizar o sistema de
conjunto de sólidos em Representação representação axonométrica;
Ortogonal e Clinogonal
- Caracterizar as axonometrias
ortogonais e clinogonais;
- Determinar as escalas
axonométricas por processos
geométricos;
- Representar, em axonometria,
formas tridimensionais compostas.
- Sombra projetada por figuras planas
- Sombra própria e projetada por
pirâmides, prismas, cones e cilindros
com base(s) horizontal(ais),
frontal(ais) ou de perfil
- Figura plana pertencente a um plano
oblíquo, de rampa ou passante
- Determinação da verdadeira
grandeza
Conteúdos essenciais e estruturantes
Figuras
Planas
Unidade
temática
- Ser autónomo
no
desenvolvimento Sombras
de atividades
individuais
- Representar
formas reais ou
imaginadas
- Utilizar a
Geometria
Descritiva em
situações de
comunicação e
registo
Competências
essenciais
(continuação)
Exercício IV
Exercício III
Estrutura
da Prova
50 pontos
50 pontos
Cotações
Geometria Descritiva A – 2012/2013
C O L É G I O
M O D E R N O
Classificação
GEOMETRIA DESCRITIVA
Duração: 90 minutos
___________________
27.Maio.2013
Professor
___________________
Nome: ___________________________________________________ 6º TESTE
Ano: 11º IB 11ºII
Enc. Educação
__________________
_
I
Determine as projeções da reta a paralela ao plano α e ao bissetor dos diedros impares β1.3.
-
o plano α é definido pela retas m e f, concorrentes no ponto M (4; 2; 6);
o ponto Hm, traço horizontal da reta m, tem 7 cm de abcissa e 8 de afastamento;
a reta f é frontal e é concorrente com o eixo x no ponto X (0; 0; 0);
a reta a contém o ponto A (-4; 4; 2).
II
Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblíquos α e β.
- os planos α e β intersetam-se na reta de perfil p, cujos traços nos planos de projeção são os
pontos H (3; 6; 0) e F com 3 de cota;
- os traços do plano α intersetam o eixo x no ponto X, com 0 de abcissa;
- os traços do plano β intersetam o eixo x no ponto Y, com -8 de abcissa.
III
Representa, em dupla projeção ortogonal, um cone oblíquo de base circular, situado no 1.º
diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados:
- a base é horizontal, tem centro no ponto Q (0; 6; 5) e tem 4 de raio;
- o vértice V do cone é um ponto 2 de abcissa, 1 de afastamento e 1 de cota;
Utilizando a direção luminosa convencional, determina a sombra própria do cone a sua sombra
real projetada nos planos de projeção.
Identifica a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na
sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com
uma mancha de grafite, clara e uniforme.
(Se optar por pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e
com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada)
Pág 1 de 2
IV
Construa uma representação axonométrica ortogonal do sólido resultante da justaposição de um
prisma triangular regular e uma pirâmide triangular oblíqua.
Evidencie, a traço forte, apenas as arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
- dimetria
a projecção axonométrica do eixo x forma um ângulo de 110º com os restantes eixos axonométricos
(considere o eixo dos z orientado positivamente para cima, o eixo dos x orientado positivamente para a
esquerda e o eixo dos y orientado positivamente para a direita).
Sólidos:
- os dois sólidos têm a mesma altura e bases regulares (triângulos equiláteros) situadas num plano
horizontal
Prisma triangular regular:
- o prisma tem uma base situada no plano coordenado xy;
- a outra base contém os vértices A (1; 3; 4) B (8; 1; 4).
Pirâmide triangular oblíqua:
- a pirâmide tem duas arestas da sua base situadas nas arestas da base de maior cota do prisma.
- o vértice principal da pirâmide situa-se na mesma reta vertical que contém o ponto A.
- as três faces laterais da pirâmide são triângulos isósceles.
Pág 2 de 2
Geometria Descritiva A – 2012/2013
Critérios de Correção da 6ª Avaliação Escrita Formal – 11º Ano
Critérios Gerais (Critérios idênticos aos utilizados no Exame Nacional de Geometria Descritiva A)
- Tradução gráfica dos dados
- Processo de resolução
- Apresentação gráfica da solução
Critérios Específicos
Exercício
Critérios específicos de classificação
ponto M (1+1+1)
ponto H [traço da reta m] (1+1+1)
representação da reta m
ponto X (1+1+1)
Exercício 1
representação da reta f
representação do plano
MG reta do plano/interseção com o beta1.3
ponto A
reta paralela a i
convenções gráficas
Pontuação (em pontos)
3
3
4
3
4
6
8
3
6
5
45 pontos
ponto H (1+1+1)
ponto F (1+1+1)
reta de perfil p
traços do plano alfa
traços do plano beta
Exercício 2
MG ponto auxiliar
MG retas perpendiculares auxiliares
rebatimento das retas auxiliares
VG do ângulo
convenções gráficas
3
3
4
4
4
3
6
6
3
4
40 pontos
Geometria Descritiva A – 2012/2013
Exercício
Critérios específicos de classificação
ponto Q (1+1+1)
ponto V (1+1+1)
projeções da circunferência da base (2+2)
MG (contorno aparente)
visibilidades e invisibilidades
MG1º reta auxiliar
Exercício 3
MG2º interseção da reta com o plano da base
MG3º planos tangentes à base
separatriz luz/sombra [vis/invisib] (3+3)
sombra própria (2+2)
sombra projetada
tracejados
convenções gráficas
Pontuação (em pontos)
3
3
4
4
2
4
4
4
6
4
10
4
3
55 pontos
representação dos eixos xyz (2+2+2)
ponto A
ponto B
projeções dos pontos A e B no plano xy
rebatimento do plano xy
VG dos pontos A e B
Exercício 4
triângulo equilátero
contra rebatimento de C
perspetiva do prisma
ponto V
transferência da altura para base equilátera VG
desenho da figura em axonometria
convenções gráficas
6
3
3
4
3
6
8
3
4
6
6
4
4
60 pontos
200 pontos
ANEXOS
LISTA DE ANEXOS
Anexo A - Calendário Escolar do Colégio Moderno 2012/2013
Anexo B
- Programa de Geometria Descritiva A de 10º e 11º anos, em
vigor
Anexo C - Exame Nacional de Geometria Descritiva A de 2013 – 1ª Fase
Anexo D - Critérios de Classificação do Exame Nacional de Geometria
Descritiva A de 2013 – 1ª Fase
ANEXO A
Calendário Escolar do Colégio Moderno 2012/2013
COLÉGIO MODERNO
CALENDÁRIO ESCOLAR 2011/2012
1º Período
1 a 12 Setembro
1 de Setembro
5 de Setembro
6 de Setembro
8 de Setembro
9 de Setembro
12 de Setembro
13 de Setembro
15 de Setembro
5 de Outubro *
1 de Novembro *
4 de Novembro
7 a 12 de Novembro
19 de Novembro
1 de Dezembro *
8 de Dezembro
12 de Dezembro
13 de Dezembro
14 de Dezembro
15 de Dezembro
16 de Dezembro
18 de Dezembro
19 de Dezembro a 2 de Janeiro
30 de Dezembro
Até 30 de Dezembro
Trabalhos preparatórios para a abertura do ano lectivo
Apresentação dos Professores e Reuniões Pedagógicas
Reunião da Direcção com os Pais, a Coordenadora e os Educadores dos alunos que irão
frequentar pela primeira vez a Secção Infantil
Reunião da Direcção com os Pais, as Coordenadoras e os Professores dos alunos que irão
frequentar pela primeira vez o 1º Ciclo do Ensino Básico
Início das actividades educativas para os novos alunos do Infantário, para os alunos de 3
anos da Secção Infantil e para os alunos do 1º ano do 1º Ciclo do Ensino Básico
Início das actividades lectivas para os restantes alunos da Secção Infantil e do 1º Ciclo do
Ensino Básico
Reunião Geral de Professores
Afixação dos horários do 2º e 3º Ciclos do Ensino Básico e do Ensino Secundário
Recepção aos novos alunos do 2º e 3º Ciclos do Ensino Básico e Ensino Secundário
Início das actividades lectivas para os alunos do 5º ano do 2º Ciclo do Ensino Básico
Início das actividades lectivas para os restantes alunos (2º e 3º Ciclos do Ensino Básico e
Ensino Secundário)
Feriado Nacional
Feriado Nacional
Entrega dos prémios aos Melhores Alunos
Reuniões intercalares de avaliação
Missa e almoço dos Antigos Alunos do Colégio
Feriado Nacional
Feriado Nacional
Reunião de Pais dos alunos dos 3 anos da Infantil
Reunião de Pais dos alunos dos 4 anos da Infantil
Reunião de Pais dos alunos dos 5 anos da Infantil
Reunião de Pais dos alunos do 1º e 2º anos do 1º Ciclo do Ensino Básico
Reunião de Pais dos alunos do 3º e 4º anos do 1º Ciclo do Ensino Básico
Termo das actividades lectivas do 1º período
Concerto de Natal
Férias de Natal
Abertura online da inscrição na lista de espera para novos alunos - Ano Lectivo 2012/2013
Afixação das pautas do 1º momento de avaliação
* Dependente do Calendário Oficial de Feriados Nacionais
2º Período
3 de Janeiro
3 a 6 de Janeiro
13 a 18 de Fevereiro
20 a 22 de Fevereiro
de 23 de Fevereiro a 9 de Março
19 a 23 de Março
19 de Março
20 de Março
21 de Março
22 de Março
23 de Março
26 de Março a 9 de Abril
Até 5 de Abril
Recomeço das actividades lectivas
Semana das Artes
Reuniões intercalares de avaliação
Interrupção das actividades lectivas (Férias de Carnaval)
Reuniões de Pais dos alunos dos 2º e 3º Ciclos do Ensino Básico e do Ensino Secundário
Semana das Línguas, da Literatura e da Poesia
Reunião de Pais dos alunos dos 3 anos da Infantil
Reunião de Pais dos alunos dos 4 anos da Infantil
Reunião de Pais dos alunos dos 5 anos da Infantil
Reunião de Pais dos alunos do 1º e 2º anos do 1º Ciclo do Ensino Básico
Reunião de Pais dos alunos do 3º e 4º anos do 1º Ciclo do Ensino Básico
Termo das actividades lectivas do 2º Período
Férias da Páscoa
Afixação das pautas do 2º momento de avaliação
3º Período
10 de Abril
10 a 13 de Abril
16 de Abril
18 de Junho
Recomeço das actividades lectivas
Semana das Ciências
Data limite para anulação de matrícula, para os alunos do Ensino Secundário
Data limite para os alunos do 12º ano, que pretendam realizar exames nacionais,
solicitarem mudança de curso
Feriado Nacional
Feriado Nacional
Olimpíadas da leitura do 1º Ciclo do Ensino Básico
Feriado Nacional
Termo das actividades lectivas para os 6º, 9º, 11º e 12º anos
Afixação das pautas do 3º momento de avaliação dos 6º, 9º, 11º e 12º anos (dependente
do calendário de Exames Nacionais do Ministério da Educação)
Semana do Desporto
Feriado Municipal
Reunião de Pais dos alunos do 3º e 4º anos do 1º Ciclo do Ensino Básico
Termo das actividades lectivas para os 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 7º, 8º e 10º anos de escolaridade
e festa de encerramento do ano lectivo do 2º e 3º Ciclos do Ensino Básico e do Ensino
Secundário
Reunião de Pais dos alunos do 1º e 2º anos do 1º Ciclo do Ensino Básico
de 18 a 29 de Junho
Actividades escolares de carácter formativo para os alunos do 1º Ciclo do Ensino Básico
25 de Junho
Início das actividades de Verão para o 2º e 3º Ciclos do Ensino Básico
27 de Junho
Festa de encerramento do ano lectivo do 1º e 2º anos do 1º Ciclo do Ensino Básico
28 de Junho
Festa de encerramento do ano lectivo do 3º e 4º anos do 1º Ciclo do Ensino Básico
29 de Junho
Festa de encerramento do ano lectivo da Secção Infantil
Termo das actividades educativas do 1º Ciclo do Ensino Básico e da Secção Infantil
Afixação das pautas do 3º momento de avaliação
Concerto de final de ano lectivo
Início das actividades de Verão para a Secção Infantil e para o 1º Ciclo do Ensino Básico
Afixação da lista dos manuais escolares para o ano lectivo de 2012/2013 (Dependente do
Calendário do Ministério da Educação)
Encerramento das actividades de Verão
25 de Abril *
1 de Maio *
18 de Maio
7 de Junho
8 de Junho
até 15 de Junho
11 a 15 de Junho
13 de Junho *
14 de Junho
15 de Junho
30 de Junho
2 de Julho
Até 15 de Julho
27 de Julho
* Dependente do Calendário Oficial de Feriados Nacionais
ANEXO B
Programa de Geometria Descritiva A de 10º e 11º anos, em vigor
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDÁRIO
GEOMETRIA DESCRITIVA A
10º e 11º ou 11º e 12º anos
CURSO CIENTÍFICO-HUMANÍSTICO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS
E CURSO CIENTÍFICO-HUMANÍSTICO DE ARTES VISUAIS
AUTORES
JOÃO PEDRO XAVIER (COORDENADOR)
JOSÉ AUGUSTO REBELO
Homologação
22/02/2001
ÍNDICE
Geometria Descritiva A
1. INTRODUÇÃO
3
2. APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA
5
FINALIDADES
5
OBJECTIVOS
5
VISÃO GERAL DE TEMAS/CONTEÚDOS
6
SUGESTÕES METODOLÓGICAS GERAIS
12
COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER
13
AVALIAÇÃO
13
RECURSOS
15
3. DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA
16
GESTÃO
CONTEÚDOS/TEMAS, SUGESTÕES METODOLÓGICAS
16
16
CONVENÇÕES DE REPRESENTAÇÃO E SIMBOLOGIA
31
MODELOS DIDÁCTICOS
34
GLOSSÁRIO
35
4. BIBLIOGRAFIA
37
DIDÁCTICA ESPECÍFICA
37
GEOMETRIA
37
GEOMETRIA DESCRITIVA
40
DESENHO TÉCNICO
45
2
1. INTRODUÇÃO
A disciplina de GEOMETRIA DESCRITIVA A é uma disciplina bianual que integra o tronco
comum da componente de formação específica dos alunos no âmbito do Curso Geral de
Ciências e Tecnologias e do Curso Geral de Artes Visuais, visando o aprofundamento,
estruturação e sistematização de conhecimentos e competências metodológicas no âmbito da
Geometria Descritiva.
Uma vez que a Geometria Descritiva permite, dada a natureza do seu objecto, o
desenvolvimento das capacidades de ver, perceber, organizar e catalogar o espaço
envolvente, propiciando instrumentos específicos para o trabalhar - em desenho - ou para criar
novos objectos ou situações, pode compreender-se como o seu alcance formativo é
extremamente amplo. Sendo essencial a áreas disciplinares onde é indispensável o tratamento
e representação do espaço - como sejam, a arquitectura, a engenharia, as artes plásticas ou o
design - a sua importância faz-se sentir também ao nível das atitudes dirigindo-se ao estudante
considerado globalmente enquanto pessoa humana e não apenas funcionalmente enquanto
aprendiz de um dado ofício.
Desse modo, o sentido da presença desta disciplina no reportório curricular do ensino
secundário é o de contribuir para a formação de indivíduos enquanto tal e, particularmente,
para quem seja fundamental o "diálogo" entre a mão e o cérebro, no desenvolvimento
recíproco de ideias e representações gráficas.
Os conteúdos constantes do Programa de GD-A, após o módulo inicial de introdução à
geometria no espaço, abordam dois sistemas de representação - diédrico e axonométrico considerados como fundamentais ou basilares na formação secundária de um aluno no âmbito
da Geometria Descritiva os quais se constituem, ademais, como denominador comum às
várias vias de prosseguimento de estudos.
Optou-se por leccionar os dois sistemas de representação referidos na sequência indicada, já
que parece justificável que o estudo do sistema de representação axonométrica se faça, no
ensino secundário, com um grau de desenvolvimento maior do que no ensino básico, onde
este sistema mereceu apenas uma abordagem pertencente ao domínio do Desenho Técnico
aliada à representação de formas bastante simples, predominantemente paralelepipédicas.
Sendo assim, embora o estudo da axonometria continue a visar, fundamentalmente, a
representação de formas ou objectos tridimensionais, interessa agora fazer a desmontagem do
sistema, conhecer os seus princípios e entender o seu funcionamento, o que implica uma
síntese de operações abstractas que o aluno não está apto a realizar no início do 10º ano,
além de pré-requisitos específicos que o estudo desenvolvido do sistema de representação
diédrica lhe deverá fornecer.
É exactamente a representação diédrica que constitui o cerne do programa, dado que o
conhecimento deste sistema de representação não só fornece os pré-requisitos necessários
para a aprendizagem de qualquer outro, como se revela bastante eficaz na consecução do
objectivo essencial de desenvolver a capacidade de ver e de representar o espaço
tridimensional.
Em relação à sequência do ensino-aprendizagem dos conteúdos no âmbito da representação
diédrica ainda que, em cada ano, o percurso se inicie com situações que implicam um maior
grau de abstracção, foi procurado atenuar esta componente, através das didácticas e
Geometria Descritiva A
3
metodologia propostas. Desse modo, para que a aprendizagem da abstracção seja favorecida,
propõe-se que seja realizada em ligação ao concreto, através do recurso sistemático a
modelos tridimensionais nos quais se torna possível simular, de forma visível e palpável, as
situações espaciais que o aluno irá representar posteriormente na folha de papel - após ter
visto e compreendido - sem decorar apenas traçados, situação que, irremediavelmente, o
impediria de resolver problemas mais complexos. Refira-se, porém, que o recurso a modelos é
apenas um ponto de partida a adoptar nas fases iniciais da aprendizagem que irá sendo
progressivamente abandonado à medida que o aluno for atingindo maior capacidade de
abstracção e maturidade na visualização a três dimensões, ainda que possa reutilizá-los, se
necessário, em situações pontuais.
Também o recurso a software de geometria dinâmica pode, em contraponto com os modelos
tridimensionais, ser muito interessante e estimulante nas actividades de ensino-aprendizagem
por permitir registar graficamente o movimento e, sobretudo, por facilitar a detecção, em tempo
real, das invariantes dos objectos geométricos quando sujeitos a transformações, favorecendo,
por conseguinte, a procura do que permanece constante no meio de tudo o que varia.
Essa faceta permite a exploração dessas mesmas transformações, que estão na raiz do
próprio software, o que dá entrada ao aluno, na Geometria, através de um conceito
extremamente lato e poderoso, que está na essência das projecções utilizadas na
representação descritiva. Por outro lado, a arquitectura destes programas de computador,
favorece o desenvolvimento de um ensino-aprendizagem baseado na experimentação e na
descoberta permitindo deduzir, a partir de indícios, as leis gerais que governam os problemas
geométricos que vão sendo propostos.
Outra opção seguida consistiu na partição de unidades, o que se julga, pedagogicamente,
mais adequado a alunos do ensino secundário e mais ajustado à divisão inevitável do
Programa em dois anos lectivos. Deveremos pensar que um programa não se destina apenas
a alunos bons, para os quais qualquer método pedagógico se adapta, mas para o aluno médio
com algumas dificuldades na aprendizagem. Como afirma Britt-Mari Barth no seu livro "O
Saber em Construção": ... para poder utilizar os seus conhecimentos mais tarde o aluno deve,
ele próprio, construir o seu saber, mobilizando ferramentas intelectuais de que dispõe e que
podem ser aperfeiçoadas. Reproduzir um saber não é a mesma coisa que construi-lo. Nesta
óptica, a responsabilidade do professor é transmitir o saber de tal modo que esta construção
pessoal seja possível (... ) dado que o saber não é estático, mas sim dinâmico, convém "parálo" numa dada altura, nem que seja de modo provisório, a fim de situar pontos de referência. O
estudo de uma determinada unidade de aprendizagem de forma exaustiva, implicando uma
enumeração maciça de conceitos pode, por um lado, criar um desgaste e, por outro, provocar
lacunas intermédias que impedirão o aluno de atingir o nível pretendido. Se esse mesmo
estudo for construído por fragmentos com graus de dificuldade crescente, permitirá a reflexão
nos tempos de paragem, a fim de relembrar e sedimentar os conhecimentos adquiridos,
avançando posteriormente para uma nova etapa de forma mais segura e consciente.
Geometria Descritiva A
4
2. APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA
FINALIDADES
• Desenvolver a capacidade de percepção dos espaços, das formas visuais e das suas
posições relativas
• Desenvolver a capacidade de visualização mental e representação gráfica, de formas reais
ou imaginadas
• Desenvolver a capacidade de interpretação de representações descritivas de formas
• Desenvolver a capacidade de comunicar através de representações descritivas
• Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas
• Desenvolver a capacidade criativa
• Promover a auto-exigência de rigor e o espírito crítico
• Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia,
solidariedade e cooperação
OBJECTIVOS
•
Conhecer a fundamentação teórica dos sistemas de representação diédrica e axonométrica
• Identificar os diferentes tipos de projecção e os princípios base dos sistemas de
representação diédrica e axonométrica
• Reconhecer a função e vocação particular de cada um desses sistemas de representação
• Representar com exactidão sobre desenhos que só têm duas dimensões os objectos que
na realidade têm três e que são susceptíveis de uma definição rigorosa (Gaspard Monge)
• Deduzir da descrição exacta dos corpos as propriedades das formas e as suas posições
respectivas (Gaspard Monge)
• Conhecer vocabulário específico da Geometria Descritiva
• Usar o conhecimento dos sistemas estudados no desenvolvimento de ideias e na sua
comunicação
Geometria Descritiva A
5
• Conhecer aspectos da normalização relativos ao material e equipamento de desenho e às
convenções gráficas
• Utilizar correctamente os materiais e instrumentos cometidos ao desenho rigoroso
• Relacionar-se responsavelmente dentro de grupos de trabalho, adoptando atitudes
comportamentais construtivas, solidárias tolerantes e de respeito
VISÃO GERAL DOS TEMAS/CONTEÚDOS
O Programa é composto por um módulo inicial que contempla conteúdos essenciais de
Geometria Euclidiana do Espaço extraídos do Programa de Matemática do 3º ciclo do Ensino
Básico. Segue-se uma introdução geral à Geometria Descritiva, muito sintética, para se passar
ao estudo da Representação Diédrica que constitui o tema central do Programa, que se
reparte, inevitavelmente, pelos dois anos lectivos. Conclui o programa o estudo dos
fundamentos da Representação Axonométrica e sua aplicação na representação de formas
tridimensionais. A repartição temática do Programa e o respectivo peso de cada unidade
aparece esquematizada no seguinte quadro:
QUADRO RESUMO DO PROGRAMA
Módulo Inicial
9 aulas
Introdução à Geometria Descritiva
4 aulas
Representação Diédrica
164 aulas
Representação Axonométrica
21 aulas
Total de aulas de 90 minutos
198 aulas
Os conteúdos seleccionados são considerados como essenciais e estruturantes para o
desenvolvimento do conhecimento do espaço articulado com a aprendizagem da
representação descritiva de formas no âmbito dos sistemas de representação a estudar.
É proposta uma sequência, em correspondência com sugestões metodológicas específicas,
que se julga ser mais conveniente. Isso não obsta, no entanto, a que cada professor leccione o
Programa de modo diverso do proposto, tanto mais se a sua experiência de leccionação por
outras vias tenha demonstrado ser igualmente positiva. Fundamentalmente importa reter que a
rigidez na compartimentação dos conteúdos é mais aparente do que real podendo, em
múltiplas situações, a sua sobreposição ou reordenação revelar-se mais vantajosa.
Como exemplo referem-se os temas de representação de figuras planas contidas em planos
ou de sólidos com base assente em planos, que sucedem o estudo dos métodos geométricos
auxiliares, que podem ser abordados em paralelo ou mesmo os problemas métricos que,
embora constituam um item autónomo, poderão ser tratados parcialmente à medida que os
alunos se vão familiarizando com os referidos métodos. É natural focar a questão da
determinação da distância de dois pontos logo que o aluno tenha condições de determinar a
verdadeira grandeza do segmento que eles definem tal como parece lógico solicitar a
determinação do ângulo de duas rectas ou a distância de um ponto a uma recta mal seja
Geometria Descritiva A
6
possível rebater qualquer plano. Como estas, muitas outras situações podem permitir a
sobreposição de itens ou mesmo alterações de sequência, que poderão ser tanto mais
profíquas quanto maior for a experiência metodológica do professor.
Para além dos conteúdos referidos, a que corresponde uma carga horária determinada,
existem questões transversais que se prendem com a normalização do desenho, relativamente
a equipamento (instrumentos e materiais de traçado e medição: critérios de escolha,
manutenção e conservação; suportes: critérios de escolha, conservação) e aspectos de
representação (princípios gerais de representação; escrita, formatos dos desenhos, material de
desenho; termos relativos a desenhos técnicos), que não poderão deixar de ser veiculados.
Geometria Descritiva A
7
CONTEÚDOS DE CADA ANO
10º ANO
DESENVOLVIMENTO
1.
Módulo inicial
1.1 Ponto
1.2 Recta
1.3 Posição relativa de duas rectas
- complanares
- paralelas
- concorrentes
- enviesadas
1.4 Plano
1.5 Posição relativa de rectas e de planos
- recta pertencente a um plano
- recta paralela a um plano
- recta concorrente com um plano
- planos paralelos
- planos concorrentes
1.6 Perpendicularidade de rectas e de planos
- rectas perpendiculares e ortogonais
- recta perpendicular a um plano
- planos perpendiculares
1.7 Superfícies
Generalidades, geratriz e directriz
Algumas superfícies:
- plana
- piramidal
- cónica
- prismática
- cilíndrica
- esférica
1.8 Sólidos
- pirâmides
- prismas
- cones
- cilindros
- esfera
1.9 Secções planas de sólidos e truncagem
2.
Introdução à Geometria Descritiva
2.1
Geometria Descritiva
2.1.1
Resenha histórica
2.1.2
Objecto e finalidade
2.1.3
Noção de projecção
- projectante
- superfície de projecção
- projecção
2.2
Tipos de projecção
2.2.1
Projecção central ou cónica
2.2.2
Projecção paralela ou cilíndrica
- projecção oblíqua ou clinogonal
- projecção ortogonal
2.3
Sistemas de representação - sua caracterização:
- pelo tipo de projecção
- pelo número de projecções utilizadas
Geometria Descritiva A
8
- pelas operações efectuadas na passagem do tri para o bidimensional
- projecção única
- n projecções e rebatimento de n-1 planos de projecção
2.4
Introdução ao estudo dos sistemas de representação triédrica e diédrica
2.4.1
Representação triédrica
- triedros trirrectângulos de projecção
- planos de projecção: plano horizontal XY (plano 1), plano frontal ZX (plano 2), plano de perfil YZ
(plano 3)
- eixos de coordenadas ortogonais: X, Y, Z
- coordenadas ortogonais: x, y, z (abcissa ou largura; ordenada/afastamento ou profundidade;
cota ou altura)
- representação triédrica de um ponto
2.4.2
Representação diédrica
- diedros de projecção
- planos de projecção: plano horizontal (plano 1), plano frontal (plano 2)
- eixo X ou aresta dos diedros – (Linha de Terra)
- planos bissectores dos diedros
- representação diédrica de um ponto
2.4.3
Vantagens e inconvenientes de ambos os sistemas de representação; sua intermutabilidade
3.
Representação diédrica
3.1
Ponto
3.1.1
3.1.2
Localização de um ponto
Projecções de um ponto
3.2
Segmento de recta
3.2.1
Projecções de um segmento de recta
3.2.2
Posição do segmento de recta em relação aos planos de projecção:
- perpendicular a um plano de projecção: de topo, vertical
- paralelo aos dois planos de projecção: fronto-horizontal (perpendicular ao plano de referência
das abcissas)
- paralelo a um plano de projecção: horizontal, frontal
- paralelo ao plano de referência das abcissas: de perfil
- não paralelo a qualquer dos planos de projecção: oblíquo
3.3
Recta
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.3.6
Recta definida por dois pontos
Projecções da recta
Ponto pertencente a uma recta
Traços da recta nos planos de projecção e nos planos bissectores
Posição da recta em relação aos planos de projecção
Posição relativa de duas rectas
- complanares
- paralelas
- concorrentes
- enviesadas
3.4
Figuras planas I
Polígonos e círculo horizontais, frontais ou de perfil
3.5
Plano
3.5.1
3.5.2
3.5.3
Definição do plano por:
- 3 pontos não colineares
- uma recta e um ponto exterior
- duas rectas paralelas
- duas rectas concorrentes (incluindo a sua definição pelos traços nos planos de projecção)
Rectas contidas num plano
Ponto pertencente a um plano
Geometria Descritiva A
9
3.5.4
3.5.5
Rectas notáveis de um plano:
- horizontais
- frontais
- de maior declive
- de maior inclinação
Posição de um plano em relação aos planos de projecção
Planos projectantes:
- paralelo a um dos planos de projecção: horizontal (de nível), frontal (de frente)
- perpendicular a um só plano de projecção: de topo, vertical
- perpendicular aos dois planos de projecção: de perfil (paralelo ao plano de referência das
abcissas)
Planos não projectantes:
- de rampa (paralelo ao eixo X e oblíquo aos planos de projecção - perpendicular ao plano de
referência das abcissas); passante (contém o eixo X)
- oblíquo (oblíquo em relação ao eixo X e aos planos de projecção)
3.6
Intersecções (recta/plano e plano/plano)
3.6.1
Intersecção de uma recta projectante com um plano projectante
3.6.2
Intersecção de uma recta não projectante com um plano projectante
3.6.3
Intersecção de dois planos projectantes
3.6.4
Intersecção de um plano projectante com um plano não projectante
3.6.5
Intersecção de uma recta com um plano (método geral)
3.6.6
Intersecção de um plano (definido ou não pelos traços) com o β24 ou β13
3.6.7
Intersecção de planos (método geral)
3.6.8
Intersecção de um plano (definido ou não pelos traços) com um:
- plano projectante
- plano oblíquo
- plano de rampa
3.6.9
Intersecção de três planos
3.7
Sólidos I
3.7.1
Pirâmides (regulares e oblíquas de base regular) e cones (de revolução e oblíquos de base
circular) de base horizontal, frontal ou de perfil
3.7.2
Prismas (regulares e oblíquos de base regular) e cilindros (de revolução e oblíquos de base
circular) de bases horizontais, frontais ou de perfil
3.7.3
Esfera; círculos máximos (horizontal, frontal e de perfil)
3.7.4
Pontos e linhas situados nas arestas, nas faces ou nas superfícies dos sólidos
3.8
Métodos geométricos auxiliares I
3.8.1
Estrutura comparada dos métodos auxiliares - características e aptidões
3.8.2
Mudança de diedros de projecção
(casos que impliquem apenas uma mudança)
2.8.2.1
Transformação das projecções de um ponto
2.8.2.2
Transformação das projecções de uma recta
2.8.2.3
Transformação das projecções de elementos definidores de um plano
3.8.3
Rotações
(casos que impliquem apenas uma rotação)
2.8.3.1
Rotação do ponto
2.8.3.2
Rotação da recta
2.8.3.3
Rotação de um plano projectante
2.8.3.4
Rebatimento de planos projectantes
3.9
Figuras planas II
Figuras planas situadas em planos verticais ou de topo
3.10
Sólidos II
Pirâmides e prismas regulares com base(s) situada(s) em planos verticais ou de topo
11º ANO
Geometria Descritiva A
10
3.11
Paralelismo de rectas e de planos
3.11.1
Recta paralela a um plano
3.11.2
Plano paralelo a uma recta
3.11.3
Planos paralelos (definidos ou não pelos traços)
3.12
Perpendicularidade de rectas e de planos
3.12.1
Rectas horizontais perpendiculares e rectas frontais perpendiculares
3.12.2
Recta horizontal (ou frontal) perpendicular a uma recta
3.12.3
Recta perpendicular a um plano
3.12.4
Plano perpendicular a uma recta
3.12.5
Rectas oblíquas perpendiculares
3.12.6
Planos perpendiculares
3.13
Métodos geométricos auxiliares II
3.13.1
Mudança de diedros de projecção
(casos que impliquem mudanças sucessivas)
3.13.1.1 Transformação das projecções de uma recta
3.13.1.2 Transformação das projecções de elementos definidores de um plano
3.13.2
Rotações
(casos que impliquem mais do que uma rotação)
3.13.2.1 Rotação de uma recta
3.13.2.2 Rotação de um plano
3.13.2.3 Rebatimento de planos não projectantes
- rampa
- oblíquo
3.14
Problemas métricos
3.14.1
Distâncias
3.14.1.1 Distância entre dois pontos
3.14.1.2 Distância de um ponto a uma recta
3.14.1.3 Distância de um ponto a um plano
3.14.1.4 Distância entre dois planos paralelos
3.14.2
Ângulos
3.14.2.1 Ângulo de uma recta com um plano frontal ou com um plano horizontal
3.14.2.2 Ângulo de um plano com um plano frontal ou com um plano horizontal
3.14.2.3 Ângulo de duas rectas concorrentes ou de duas rectas enviesadas
3.14.2.4 Ângulo de uma recta com um plano
3.14.2.5 Ângulo de dois planos
3.15
Figuras planas III
Figuras planas situadas em planos não projectantes
3.16
Sólidos III
Pirâmides e prismas regulares com base(s) situada(s) em planos não projectantes
3.17
Secções
2.17.1
Secções em sólidos (pirâmides, cones, prismas, cilindros) por planos
- horizontal, frontal e de perfil
2.17.2
Secções de cones, cilindros e esfera por planos projectantes
2.17.3
Secções em sólidos (pirâmides e prismas) com base(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil por
qualquer tipo de plano
2.17.4
Truncagem
3.18
Sombras
3.18.1
Generalidades
3.18.2
Noção de sombra própria, espacial, projectada (real e virtual)
3.18.3
Direcção luminosa convencional
Geometria Descritiva A
11
3.18.4
3.18.5
3.18.6
3.18.7
3.18.8
Sombra projectada de pontos, segmentos de recta e recta nos planos de projecção
Sombra própria e sombra projectada de figuras planas (situadas em qualquer plano) sobre os
planos de projecção
Sombra própria e sombra projectada de pirâmides e de prismas, com base(s) horizontal(ais),
frontal(ais) ou de perfil, nos planos de projecção
Planos tangentes às superfícies cónica e cilíndrica:
- num ponto da superfície
- por um ponto exterior
- paralelos a uma recta dada
Sombra própria e sombra projectada de cones e de cilindros, com base(s) horizontal(ais),
frontal(ais) ou de perfil, nos planos de projecção
4.
Representação axonométrica
4.1
Introdução
4.1.1
Caracterização
4.1.2
Aplicações
4.2
Axonometrias oblíquas ou clinogonais:
Cavaleira e Planométrica
4.2.1
Generalidades
4.2.2
Direcção e inclinação das projectantes
4.2.3
Determinação gráfica da escala axonométrica do eixo normal ao plano de projecção através do
rebatimento do plano projectante desse eixo
4.2.4
Axonometrias clinogonais normalizadas
4.3
Axonometrias ortogonais:
Trimetria, Dimetria e Isometria
4.3.1
Generalidades
4.3.2
Determinação gráfica das escalas axonométricas
4.3.2.1
Rebatimento do plano definido por um par de eixos
4.3.2.2
Rebatimento do plano projectante de um eixo
4.3.3
Axonometrias ortogonais normalizadas
4.4
Representação axonométrica de formas tridimensionais
Métodos de construção
4.4.1
Método das coordenadas
4.4.2
Método do paralelepípedo circunscrito ou envolvente
4.4.3
Método dos cortes (só no caso da axonometria ortogonal)
SUGESTÕES METODOLÓGICAS GERAIS
O presente programa adianta, em paralelo com a apresentação dos conteúdos, sugestões
metodológicas que, embora não vinculativas, apontam para um modo preciso de encaminhar
as actividades e para uma forma concreta de articulação das abordagens teóricas dos
assuntos com a execução prática de problemas e traçados.
As aulas deverão ter um cariz teórico-prático, privilegiando a participação dos alunos. Mesmo
nos momentos de explanação teórica de conceitos, o professor deverá conseguir provocar o
questionamento das situações que apresenta, dando espaço para a indução ou para a
construção dedutiva por parte do aluno. Esta postura metodológica envolvente facilitará a
compreensão das situações espaciais que se colocam, permitindo vislumbrar o seu
Geometria Descritiva A
12
encadeamento e fundamentação. Para isso será indispensável que as respostas sejam
testadas e, eventualmente, comprovadas mediante a resolução prática de problemas. Esta
metodologia da resolução de problemas, ao promover um processo de ensino-aprendizagem
em que o aluno se torna actor de uma investigação, devidamente conduzida pelo professor,
deverá ser, por isso mesmo, uma via a explorar. Aliás, são numerosas as sugestões didácticas
específicas, que apontam esse caminho.
Como já foi referido no capítulo introdutório, numa fase inicial da aprendizagem, apontamos
para uma didáctica assente no uso de modelos tridimensionais, especificamente concebidos
para leccionar Geometria Descritiva, mas será sempre possível utilizar outros mais
rudimentares (em papel, acrílico ou cartolina) que os próprios alunos podem executar.
Além disso, será da maior conveniência generalizar o uso de software de geometria dinâmica
e, se possível, permitir aos alunos a sua manipulação, dadas as potencialidades deste
software de promover um tipo de ensino-aprendizagem, que corresponde ao que elegemos,
baseado na experimentação e na descoberta que, ademais, se revela altamente sedutor,
estimulante e consequente.
Sugere-se sempre que possível, uma abordagem interdisciplinar, nomeadamente com a Área
de Projecto.
Concretamente, poderão ser efectuados levantamentos de edifícios, de espaços, de
equipamento ou mobiliário com a respectiva representação rigorosa, projectos cenográficos ou
outros que envolvam a organização espacial ou a criação de pequenos objectos (como seja a
organização de uma exposição a realizar na Escola, por exemplo). Qualquer das situações
referidas poderá exigir a produção de maquetas tridimensionais e, no caso de os alunos já
possuírem conhecimentos de CAD, será de extremo interesse proceder à construção de
modelos virtuais.
Por outro lado, será útil convidar personalidades para dar palestras, ou até participar nas aulas,
provenientes de diferentes ramos de actividade (arquitectura, engenharia, artes plásticas,
design...) onde a presença da Geometria Descritiva constitui uma ferramenta fundamental para
a concepção, compreensão e representação das formas que produzem. Sessões do mesmo
tipo focando aspectos da História da Geometria Descritiva poderão também permitir entender
as razões que levaram à necessidade de criação dos sistemas descritivos presentes neste
Programa, ao entendimento do modo como evoluíram e ao equacionamento de perspectivas
para o seu futuro, particularmente, se forem tidos em conta questões relacionadas com a
História da Arte.
COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER
•
Percepcionar e visualizar no espaço
•
Aplicar os processos construtivos da representação
•
Reconhecer a normalização referente ao desenho
•
Utilizar os instrumentos de desenho e executar os traçados
•
Utilizar a Geometria Descritiva em situações de comunicação e registo
•
Representar formas reais ou imaginadas
Geometria Descritiva A
13
•
Ser autónomo no desenvolvimento de actividades individuais
•
Planificar e organizar o trabalho
•
Cooperar em trabalhos colectivos
AVALIAÇÃO
A avaliação em Geometria Descritiva é contínua e integra três componentes: diagnóstica,
formativa e sumativa.
Tem como referência os objectivos e a aferição das competências adquiridas e, define-se
segundo domínios que se apresentam em seguida.
Conceitos
Neste domínio, é objecto de avaliação a aplicação dos conceitos decorrentes dos conteúdos
do programa: os implicados no conhecimento dos fundamentos teóricos dos sistemas de
representação diédrica e axonométrica; os implicados no conhecimento dos processos
construtivos da representação; os implicados no conhecimento da normalização.
A avaliação do conhecimento dos princípios teóricos far-se-á tendo em conta:
- a interpretação de representações de formas;
- a identificação dos sistemas de representação utilizados;
- a distinção entre as aptidões específicas de cada método, com vista à sua escolha na
resolução de cada problema concreto de representação;
- o relacionamento de métodos e/ou processos.
A avaliação do conhecimento dos processos construtivos far-se-á tendo em conta:
-
a interpretação de dados ou de descrições verbais de procedimentos gráficos;
aplicação dos processos construtivos na representação de formas;
economia nos processos usados;
descrição verbal dos procedimentos gráficos para a realização dos traçados.
A avaliação do conhecimento relativo à normalização far-se-á tendo em conta:
- a interpretação de desenhos normalizados;
- a aplicação das normas nos traçados.
Técnicas
Neste domínio são objecto de avaliação: a utilização dos instrumentos de desenho e a
execução dos traçados.
Quanto à utilização dos instrumentos, a avaliação será feita tendo em conta:
- a escolha dos instrumentos para as operações desejadas;
- a manipulação dos instrumentos;
Geometria Descritiva A
14
- a manutenção dos instrumentos.
No que respeita à avaliação da execução dos traçados, serão tidos em conta:
-
o cumprimento das normas;
o rigor gráfico;
a qualidade do traçado;
a legibilidade das notações.
Realização
Neste domínio, são objecto de avaliação: competências implicadas na utilização imediata da
Geometria Descritiva em situações de comunicação ou registo; competências que actuam na
capacidade de percepção e de visualização.
A avaliação da utilização da Geometria Descritiva como instrumento de comunicação ou
registo, será feita tendo em conta:
- o recurso à representação de formas, para as descrever;
- a legibilidade e poder expressivo das representações;
- a pertinência dos desenhos realizados.
A avaliação da capacidade de representação de formas imaginadas ou reais terá em conta:
- a representação gráfica de ideias;
- a reprodução gráfica de formas memorizadas.
Atitudes
Neste domínio consideram-se as atitudes manifestadas no trabalho, incidindo a avaliação
sobre:
- autonomia no desenvolvimento de actividades individuais;
- cooperação em trabalhos colectivos;
- planificação e organização.
Técnicas e instrumentos de avaliação
A recolha de dados para a avaliação far-se-á através de:
- trabalhos realizados nas actividades desenvolvidas nas aulas ou delas decorrentes, quer
em termos dos produtos finais quer em termos dos materiais produzidos durante o
processo;
- observação directa das operações realizadas durante a execução dos trabalhos;
- intervenções orais;
- provas de avaliação sumativa expressamente propostas;
- atitudes reveladas durante as actividades.
RECURSOS
Geometria Descritiva A
15
A didáctica sugerida para a disciplina de Geometria Descritiva no Ensino Secundário
pressupõe a possibilidade de uso, na sala de aula, de materiais e equipamentos diversificados:
•
•
•
•
•
•
•
•
Material de desenho para o quadro e para o trabalho individual (régua, esquadro,
compasso, transferidor)
Modelos tridimensionais
Video didáctico de manipulação dos modelos
Sólidos geométricos construídos em diversos materiais (placas, arames, palhinhas,
acetatos, acrílico, vinil com líquido colorido, madeira)
Meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, projectores de diapositivos e de
video)
Computadores com software de geometria dinâmica e/ou de CAD
Projector de luz
Fita métrica de 10m
Seria conveniente que cada escola dispusesse de uma sala específica da disciplina de
Geometria Descritiva com os materiais referidos instalados e devidamente salvaguardados,
assim como de armários e/ou cacifos para guardar o material individual dos alunos.
Geometria Descritiva A
16
3. DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA
GESTÃO
A gestão da carga horária pressupõe a metodologia proposta na apresentação e gestão dos
conteúdos e considera como carga horária 4,5 horas x 33 semanas = 148,5 horas/ano, o que
perfaz o total de 99 aulas de 90 minutos cada.
A atribuição de carga horária, expressa em números de aulas de 90 minutos cada, à
abordagem de cada ponto do programa é uma sugestão passível de alteração, quer causada
por demoras imprevistas nas actividades de desenvolvimento dessas abordagens, quer pela
necessidade de organização da turma em grupos com ritmos de aprendizagem diferentes ou
com trabalhos de execução de diferentes durações.
CONTEÚDOS/TEMAS, GESTÃO, SUGESTÕES METODOLÓGICAS
10º ANO
DESENVOLVIMENTO
1.
Módulo inicial
1.1 Ponto
1.2 Recta
1.3 Posição relativa de duas rectas
- complanares
- paralelas
- concorrentes
- enviesadas
1.4 Plano
1.5 Posição relativa de rectas e de planos
- recta pertencente a um plano
- recta paralela a um plano
- recta concorrente com um plano
- planos paralelos
- planos concorrentes
1.6 Perpendicularidade de rectas e de planos
- rectas perpendiculares e ortogonais
- recta perpendicular a um plano
- planos perpendiculares
1.7
Superfícies
Generalidades, geratriz e directriz
Algumas superfícies:
- plana
- piramidal
- cónica
- prismática
- cilíndrica
- esférica
1.8
Sólidos
- pirâmides
- prismas
Geometria Descritiva A
Nº de
AULAS/90
MINUTOS
SUGESTÕES METODOLÓGICAS
9
9
Neste módulo inicial, onde se pretende
revisitar as noções essenciais de
Geometria no Espaço veiculadas no
ensino básico na disciplina de
Matemática, tendo em vista o
desenvolvimento do conhecimento
espacial, deverá ser seguida uma
abordagem meramente intuitiva do
espaço com recurso a modelos
tridimensionais, que podem ser, a
própria sala de aula, os objectos que
nela se encontram ou modelos
específicos dos diferentes sólidos e
superfícies a estudar.
Com esses referenciais, ou outros
expedientes, poderão ser identificados e
devidamente definidos os elementos
geométricos e verificadas as suas
posições relativas (relações de pertença,
paralelismo, concorrência e a situação
particular de perpendicularidade).
O estabelecimento das condições de
paralelismo e perpendicularidade deverá
ser tratado com particular atenção,
sempre por via intuitiva, e recorrendo a
exemplos e contra-exemplos. Pode
testar-se, eventualmente, a
perpendicularidade de duas linhas
17
1.9
- cones
- cilindros
- esfera
Secções planas de sólidos e truncagem
traçadas no terreno ou a verticalidade de
um candeeiro de pé ou da parede em
relação ao plano horizontal do chão da
sala de aula, recorrendo ao triângulo
rectângulo 345. Procedimentos do
mesmo tipo podem ser seguidos para
verificação de situações de paralelismo.
O domínio visual e espacial destas
condições deverá permitir uma
abordagem preliminar de problemas
métricos de determinação de distâncias
(distância entre dois pontos, de um ponto
a uma recta, de um ponto a um plano, de
dois planos paralelos) e de ângulos
(ângulo de duas rectas, de uma recta
com um plano, noção de diedro e ângulo
diedro), levando o aluno a deduzir o
conjunto de procedimentos necessários
para chegar a uma solução.
Para a introdução ao estudo das
superfícies será útil recorrer aos modelos
B a K ilustrativos dos vários tipos de
superfície, quer para a sua classificação
quer para o entendimento do modo como
são geradas.
As diversas situações de estudo
propostas, incluindo superfícies e
secções planas de sólidos, deverão ser
conduzidas de modo a que sejam
revitalizados as noções previamente
adquiridas, no básico, sobre lugares
geométricos.
Exemplos de situações para “visualizar”
o espaço (envolvendo as condições de
paralelismo e perpendicularidade e
outros conhecimentos) poderão ser
problemas de determinação do lugar
geométrico de pontos equidistantes,
- de um ponto
- de uma recta
- de um plano
- dos extremos de um segmento de
recta (plano mediador de um
segmento de recta)
- dos vértices de um quadrado
- dos pontos de uma circunferência
- das faces de um diedro
- etc...
ou de detecção da forma (ou formas) da
secção plana de,
- uma esfera
- um cilindro de revolução
- um cone de revolução
- um cubo
Recomenda-se que a forma das secções
referidas seja verificada com recurso a
modelos de vinil com líquido colorido.
Geometria Descritiva A
18
Para explorar a relação espaço-plano-espaço e uma vez que, nesta fase, não
se pretende explorar qualquer tipo de
representação, sugere-se que sejam
efectuadas planificações de poliedros
(pirâmides e prismas regulares e, caso
seja possível, oblíquos de base regular)
de modo a permitir a sua construção
tridimensional (tal como, no ensino
básico, pelo método da tentativa e erro:
observando, medindo, corrigindo,
construindo...). Se houver tempo e
disponibilidade poderá ser ensaiada,
inclusivamente, a planificação de troncos
dos sólidos referidos. Tal como já era
sugerido, a nível do ensino básico, este
processo deverá ser reversível, ou seja,
observando um sólido o aluno deverá
conseguir planificá-lo e face a uma
planificação qualquer deverá estar apto a
deduzir a configuração do sólido. Este
exercício permitirá, ademais, relembrar
algumas construções elementares da
geometria plana, nomeadamente, de
triângulos e de paralelogramos.
2.
Introdução à Geometria Descritiva
4
2.1
Geometria Descritiva
2.1.1
Resenha histórica
2.1.2
Objecto e finalidade
2.1.3
Noção de projecção
- projectante
- superfície de projecção
- projecção
1
Sugere-se a amostragem de desenhos,
através de acetatos ou diapositivos, que
permitam ilustrar os diversos estádios de
desenvolvimento da representação
rigorosa, evidenciando a sua adequação
às diferentes necessidades da actividade
humana.
Estes exemplos permitirão clarificar o
papel desempenhado pela Geometria
Descritiva no estudo exacto das formas
dos objectos com recurso à sua
representação gráfica.
2.2
Tipos de projecção
2.2.1
Projecção central ou cónica
2.2.2
Projecção paralela ou cilíndrica
- projecção oblíqua ou clinogonal
- projecção ortogonal
1
A noção de ponto próprio e de ponto
impróprio poderá ser melhor entendida
pelos alunos através de exemplos que
permitam acompanhar a transformação
de uma situação na outra, como sejam:
-
-
-
Geometria Descritiva A
transformar duas rectas concorrentes
em duas rectas paralelas fazendo
deslizar o ponto de concorrência ao
longo de uma delas de modo a tornálo num ponto impróprio;
partir de um triângulo equilátero
(60º+60º+60º) e chegar a um
triângulo isósceles (90º+90º+0º)
transformando um vértice num ponto
impróprio;
aumentar progressivamente o raio de
uma circunferência até à situação da
sua transformação numa recta, ou
seja, numa circunferência cujo centro
é um ponto impróprio;
19
-
etc…
Seguindo esta mesma lógica pode
começar-se por abordar a projecção
central e, em seguida, passar à
projecção paralela, entendendo esta
como um caso particular da primeira.
Exemplos concretos, facilmente
disponíveis, de cada um dos tipos de
projecção são, obviamente, as sombras
de um objecto projectadas por um ponto
de luz e pela luz do Sol.
2.3
2.4
Sistemas de representação - sua caracterização:
- pelo tipo de projecção
- pelo número de projecções utilizadas
- pelas operações efectuadas na passagem do tri
para o bidimensional
- projecção única
- n projecções e rebatimento de n-1 planos de
projecção
1
Introdução ao estudo dos sistemas de
representação triédrica e diédrica
2.4.1
Representação triédrica
- triedros trirrectângulos de projecção
- planos de projecção: plano horizontal
XY (plano 1), plano frontal ZX (plano
2), plano de perfil YZ (plano 3)
- eixos de coordenadas ortogonais: X,
Y, Z
- coordenadas ortogonais: x, y, z
(abcissa ou largura;
ordenada/afastamento ou
profundidade; cota ou altura)
- representação triédrica de um ponto
2.4.2
Representação diédrica
- diedros de projecção
- planos de projecção: plano horizontal
(plano 1), plano frontal (plano 2)
- eixo X ou aresta dos diedros – (Linha
de Terra)
- planos bissectores dos diedros
- representação diédrica de um ponto
2.4.3
Vantagens e inconvenientes de ambos
os sistemas de representação; sua
intermutabilidade
1
Os sistemas de representação podem
ser ilustrados com recurso à
apresentação de imagens, sendo
sempre vantajoso verificar como um
mesmo objecto é descrito por cada um
deles.
Em Ver pelo desenho (ilustração 66,
p.87) Manfredo Massironi utiliza um Fiat
500 numa figura extremamente sugestiva
que, ademais, torna possível evidenciar
as aptidões e vocação específica de
alguns sistemas de representação.
Para identificar e definir os elementos
estruturantes do sistema de
representação triédrica sugere-se a
simulação da realidade espacial através
da utilização do modelo A que nos
servirá para identificar os triedros de
projecção definidos pelo sistema de
planos, o referencial analítico do espaço
constituído pelos eixos de coordenadas,
a localização inequívoca de um ponto no
espaço através das suas coordenadas
ortogonais, as suas projecções
ortogonais nos planos de projecção, bem
como o conjunto de operações
efectuadas na passagem do tri para o
bidimensional.
O mesmo modelo, através da supressão
do plano de perfil (plano 3) como terceiro
plano de projecção, permitirá fazer a
passagem para a representação diédrica
cabendo agora iniciar o processo de
demonstração da suficiência da dupla
projecção ortogonal na resolução da
maior parte dos problemas que
envolvam os elementos geométricos
(ponto, recta e plano) considerados
individualmente ou em correlação.
De regresso à representação triédrica
pode sublinhar-se, por contraponto, a
sua mais-valia no reconhecimento
imediato e intuitivo de objectos
tridimensionais, de tal modo que se torna
possível, frequentemente, omitir a
identificação dos vértices que os
definem.
Geometria Descritiva A
20
3.
Representação diédrica
3.1
Ponto
3.1.1
3.1.2
164
4
Localização de um ponto
Projecções de um ponto
Para facilitar a visualização espacial
pode ser retomado o modelo A, onde
facilmente se poderão simular as
situações de projecção. Será da maior
conveniência que, durante a
aprendizagem, todos os alunos tenham
possibilidade de utilizar o modelo sempre
com uma observação frontal.
Propõe-se que:
-
-
3.2
3.3
Segmento de recta
3.2.1
Projecções de um segmento de recta
3.2.2
Posição do segmento de recta em
relação aos planos de projecção:
- perpendicular a um plano de
projecção: de topo, vertical
- paralelo aos dois planos de
projecção: fronto-horizontal
(perpendicular ao plano de referência
das abcissas)
- paralelo a um plano de projecção:
horizontal, frontal
- paralelo ao plano de referência das
abcissas: de perfil
- não paralelo a qualquer dos planos
de projecção: oblíquo
3
Recta
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
8
3.3.5
3.3.6
Recta definida por dois pontos
Projecções da recta
Ponto pertencente a uma recta
Traços da recta nos planos de
projecção e nos planos bissectores
Posição da recta em relação aos
planos de projecção
Posição relativa de duas rectas
- complanares
- paralelas
- concorrentes
- enviesadas
Geometria Descritiva A
o estudo do ponto seja efectuado
com recurso à tripla projecção;
o aluno distinga, no modelo,
projectante, de coordenada e de
projecção;
o aluno determine as
coordenadas/projecções dos
simétricos de um ponto relativamente
a cada um dos planos de projecção
ou ao eixo X;
represente as projecções de pontos
situados nos semi-planos de
projecção, como pré-requisito da
aprendizagem da determinação de
traços de rectas nesses planos.
Propõe-se que:
-
o estudo do segmento de recta seja
efectuado com recurso à tripla
projecção;
no modelo, o aluno relacione a
dimensão do segmento no espaço
com a da sua projecção em cada
plano de projecção; devem, por isso,
ser exploradas as possíveis
situações de posicionamento do
segmento, desde a sua posição
paralela a um dos planos de
projecção (e consequente verdadeira
grandeza nesse plano) até à situação
de perpendicularidade (quando a
projecção do segmento se reduz a
um ponto).
Propõe-se:
-
-
partir das projecções de um
segmento de recta definido pelos
seus pontos extremos A e B para as
projecções de uma recta definida por
esses dois pontos; será conveniente
encarar, também, as projecções de
uma recta como resultantes da
intersecção dos seus planos
projectantes com os planos de
projecção;
levar o aluno a intuir o conceito de
traço de recta a partir da
consideração de pontos da recta
progressivamente mais próximos do
plano de projecção;
21
-
-
3.4
Figuras planas I
Polígonos e círculo horizontais, frontais ou de
perfil
4
que, de uma recta, o aluno simule, no
modelo:
- as projecções;
- os traços;
que o aluno conclua quais os diedros
onde uma recta está localizada;
representar as projecções de rectas
situadas nos planos de projecção,
como pré-requisito da aprendizagem
da determinação de traços de planos.
Recomenda-se o recurso à
representação triédrica das figuras, o
que se revela indispensável na situação
de perfil.
O uso de software de geometria
dinâmica constitui um meio poderoso de
visualização espacial das figuras em
causa permitindo apreciar, em tempo
real, mudanças sucessivas do seu
posicionamento.
3.5
Plano
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.5.5
16
Definição do plano por:
- 3 pontos não colineares
- uma recta e um ponto exterior
- duas rectas paralelas
- duas rectas concorrentes (incluindo a
sua definição pelos traços nos planos
de projecção)
Rectas contidas num plano
Ponto pertencente a um plano
Rectas notáveis de um plano:
- horizontais
- frontais
- de maior declive
- de maior inclinação
Posição de um plano em relação aos
planos de projecção
Planos projectantes:
- paralelo a um dos planos de
projecção: horizontal (de nível),
frontal (de frente)
- perpendicular a um só plano de
projecção: de topo, vertical
- perpendicular aos dois planos de
projecção: de perfil (paralelo ao plano
de referência das abcissas)
Planos não projectantes:
- de rampa (paralelo ao eixo X e
oblíquo aos planos de projecção perpendicular ao plano de referência
das abcissas); passante (contém o
eixo X)
- oblíquo (oblíquo em relação ao eixo
X e aos planos de projecção)
Será de tratar, como mais habitual por
ser geral, a representação diédrica dos
planos pelas projecções de três pontos
não colineares ou de duas rectas
paralelas ou de duas rectas concorrentes
(que podem ser os traços do plano nos
planos de projecção).
Com o intuito de facilitar a visualização
do plano, a sua representação por 3
pontos não colineares poderá ser
transformada na representação do
triângulo por eles definido.
O estudo das posições do plano em
relação aos planos de projecção poderá
ser feito através do modelo A permitindo
a visualização dos traços do plano e
respectivas projecções, e os tipos de
rectas do plano. Do mesmo modo
poderá ser deduzida a condição para
que:
- uma recta esteja contida num plano;
- um ponto pertença a um plano.
Em relação ao estudo do plano definido
por uma recta de maior declive ou de
maior inclinação sugere-se, igualmente,
a observação da situação espacial no
modelo, encaminhando os alunos a
estabelecer a relação entre as
projecções da referida recta e as rectas
horizontais ou frontais do mesmo plano.
Será de chamar a atenção para o facto
dos traços do plano serem casos
particulares de rectas horizontais e
rectas frontais do plano.
Poderá ser útil fazer a distinção entre
plano apoiado (onde é visível a mesma
"face" em ambas as projecções), plano
Geometria Descritiva A
22
projectante e plano em tensão (no qual
uma "face" visível numa projecção é
invisível na outra). Esta distinção pode
ser evidenciada com o auxílio da cor.
Para clarificar a classificação de um
plano como superfície bifacial ou
bilateral poderá mencionar-se, por
contraponto, a banda de Möbius,
exemplo de uma superfície unifacial ou
unilateral.
3.6
3.7
Intersecções (recta/plano e plano/plano)
3.6.1
Intersecção de uma recta projectante
com um plano projectante
3.6.2
Intersecção de uma recta não
projectante com um plano projectante
3.6.3
Intersecção de dois planos projectantes
3.6.4
Intersecção de um plano projectante
com um plano não projectante
3.6.5
Intersecção de uma recta com um plano
(método geral)
3.6.6
Intersecção de um plano (definido ou
não pelos traços) com o β24 ou β13
3.6.7
Intersecção de planos (método geral)
3.6.8
Intersecção de um plano (definido ou
não pelos traços) com um:
- plano projectante
- plano oblíquo
- plano de rampa
3.6.9
Intersecção de três planos
20
Sólidos I
3.7.1
Pirâmides (regulares e oblíquas de
base regular) e cones (de revolução e
oblíquos de base circular) de base
horizontal, frontal ou de perfil
3.7.2
Prismas (regulares e oblíquos de base
regular) e cilindros (de revolução e
oblíquos de base circular) de bases
horizontais, frontais ou de perfil
3.7.3
Esfera; círculos máximos (horizontal,
frontal e de perfil)
3.7.4
Pontos e linhas situados nas arestas,
nas faces ou nas superfícies dos
sólidos
7
Poderá salientar-se que, para determinar
o ponto de intersecção de uma recta
com um plano projectante ou de uma
recta projectante com um plano, bastará
aplicar a condição de pertença (ou
incidência) entre ponto e plano.
Na determinação da intersecção de dois
planos oblíquos poderão ser usados
como planos auxiliares os planos
projectantes e/ou o β24.
Na determinação da intersecção de dois
planos de rampa sugere-se como
método alternativo o recurso à terceira
projecção no plano de referência das
abcissas. O mesmo se pode fazer, na
intersecção de um plano ou de uma
recta com um plano passante, tirando-se
partido do facto de o plano passante ser
projectante em relação ao plano de
referência das abcissas.
Como introdução ao estudo dos sólidos
poder-se-á recorrer a modelos
tridimensionais, vídeos, ao CAD ou a
software de geometria dinâmica. O
manuseamento e a visualização de
modelos, de acordo com os enunciados
dos problemas, poderá facilitar a leitura e
compreensão das projecções, incluindo
o reconhecimento das invisibilidades.
Será vantajoso que os alunos desenhem
as projecções de várias figuras planas
coloridas com diferentes cotas ou
afastamentos para melhor percepção
das visibilidades.
Em alternativa, sugere-se que os alunos
partam das projecções de um polígono
(ou círculo) e de um ponto exterior ou de
dois polígonos (ou círculos) sobrepostos
concluindo, então, as projecções do
respectivo sólido, seus contornos
aparentes e suas visibilidades e
invisibilidades. Será ainda vantajoso
utilizar a cor na representação de
arestas (eventualmente geratrizes) ou,
em alternativa, colorir as faces
(eventualmente superfície lateral) com
cores diferentes. Esta diferenciação
permitirá que os alunos tenham uma
percepção facilitada das visibilidades ou
Geometria Descritiva A
23
invisibilidades de arestas (geratrizes) ou
faces (superfície lateral) nas diferentes
projecções.
Quando os sólidos apresentem base(s)
ou face(s) de perfil poderá ser
necessário recorrer à terceira projecção.
Convém que seja dada especial atenção
a dois dos sólidos platónicos - tetraedro
e hexaedro regulares - ao fazer o estudo
representativo de pirâmides e prismas,
respectivamente.
3.8
Métodos geométricos auxiliares I
3.8.1
Estrutura comparada dos métodos
auxiliares
- características e aptidões
3.8.2
Mudança de diedros de projecção
(casos que impliquem apenas uma
4
transformar
-
mudança)
3.8.2.1
3.8.2.2
3.8.2.3
3.8.3
Transformação das
projecções de um ponto
Transformação das
projecções de uma recta
Transformação das
projecções de elementos
definidores de um plano
Rotações
(casos que impliquem apenas uma
rotação)
3.8.3.1
Rotação do ponto
3.8.3.2
Rotação da recta
3.8.3.3
Rotação de um plano
projectante
3.8.3.4
Rebatimento de planos
projectantes
Nesta fase de estudo é de propor aos
alunos a resolução dos seguintes
problemas-tipo:
-
8
recta horizontal em recta de topo
recta frontal em recta vertical
recta oblíqua em recta horizontal ou
frontal
plano de topo em plano horizontal
plano vertical em plano frontal
No estudo da rotação da recta (modelo
L) propõem-se os seguintes problemas-tipo:
transformar
-
uma recta horizontal numa recta
fronto-horizontal ou numa recta de
topo
uma recta frontal numa recta fronto-horizontal ou numa recta vertical
uma recta oblíqua numa recta
horizontal ou frontal
Recomenda-se que, no estudo das
rotações, se recorra a software de
geometria dinâmica, não só porque essa
transformação é uma operação base
desse tipo de programas, mas também
porque se torna possível acompanhar o
movimento espacial da figura.
Sendo o rebatimento um caso particular
de rotação deve o aluno ser alertado
para o facto de que na rotação de um
plano, o eixo mais conveniente a utilizar
deverá estar contido no próprio plano;
nestas circunstâncias, a rotação passará
a denominar-se rebatimento.
O aluno deverá resolver problemas de
rebatimento, tanto para os planos de
projecção como para planos paralelos a
estes, devendo o professor orientar essa
escolha segundo o princípio de
economia de meios.
Geometria Descritiva A
24
3.9
Figuras planas II
Figuras planas situadas em planos verticais ou de
topo
4
Para a resolução deste tipo de
problemas poderá salientar-se que o
método dos rebatimentos é, em geral, o
mais adequado, sobretudo por permitir a
aplicação do Teorema de Désargues
utilizando a charneira do rebatimento
como eixo de afinidade. Além disso,
simplificará muito os problemas, a
realização do rebatimento para um plano
que contenha, pelo menos, um vértice da
figura.
3.10
Sólidos II
Pirâmides e prismas regulares com base(s)
situada(s) em planos verticais ou de topo
8
Mais uma vez se recomenda o uso de
modelos tridimensionais dos sólidos em
estudo bem como do software já
mencionado.
11º ANO
3.11
Paralelismo de rectas e de planos
3.11.1
Recta paralela a um plano
3.11.2
Plano paralelo a uma recta
3.11.3
Planos paralelos (definidos ou não
pelos traços)
2
Sugere-se que, através da simulação
das situações espaciais no modelo, o
aluno infira os teoremas de paralelismo
de rectas e de planos.
3.12
Perpendicularidade de rectas e de planos
3.12.1
Rectas horizontais perpendiculares e
rectas frontais perpendiculares
3.12.2
Recta horizontal (ou frontal)
perpendicular a uma recta
3.12.3
Recta perpendicular a um plano
3.12.4
Plano perpendicular a uma recta
3.12.5
Rectas oblíquas perpendiculares
3.12.6
Planos perpendiculares
5
Deve salientar-se o facto de que duas
rectas perpendiculares se projectam em
ângulo recto num plano de projecção
desde que pelo menos uma delas seja
paralela a esse plano.
3.13
Na perpendicularidade de recta e plano
deve ser verificado o teorema anterior
relativamente a rectas horizontais e
frontais do plano.
Métodos geométricos auxiliares II
3.13.1
Mudança de diedros de projecção
(casos que impliquem mudanças
sucessivas)
3.13.1.1 Transformação das
projecções de uma recta
3.13.1.2 Transformação das
projecções de elementos
definidores de um plano
4
Nesta fase de estudo propõe-se a
resolução dos seguintes problemas-tipo:
transformar
-
uma recta oblíqua numa recta
vertical, de topo ou fronto-horizontal
um plano oblíquo num plano
horizontal ou frontal
Na sequência destes exercícios podem
revisitar-se as intersecções de planos
propondo este método como alternativa
ao denominado “método geral da
intersecção de planos”, já que ele nos dá
a possibilidade de transformar um plano
qualquer em projectante.
3.13.2
Rotações
(casos que impliquem mais do que
uma rotação)
3.13.2.1 Rotação de uma recta
3.13.2.2 Rotação de um plano
3.13.2.3 Rebatimento de planos não
projectantes
- rampa
- oblíquo
Geometria Descritiva A
8
Nesta fase de estudo propõe-se a
resolução dos seguintes problemas-tipo:
transformar
-
uma recta oblíqua numa recta
vertical, de topo ou fronto-horizontal
um plano oblíquo num plano
horizontal ou frontal
25
Para tratar o rebatimento de planos e
concretamente do plano oblíquo, será
conveniente recorrer ao modelo M, onde
se podem observar as rectas notáveis do
plano, e o plano projectante que é
perpendicular ao plano dado para ilustrar
espacialmente o método do triângulo do
rebatimento. O mesmo modelo, agora
sem o plano projectante auxiliar, poderá
servir para exemplificar o processo que
utiliza as horizontais, frontais ou outras
rectas do plano, no rebatimento.
Mais uma vez, o aluno deverá resolver
problemas de rebatimento, tanto para os
planos de projecção como para planos
paralelos a estes, devendo a escolha
orientar-se segundo o princípio de
economia de meios.
3.14
Problemas métricos
3.14.1
Distâncias
3.14.1.1 Distância entre dois pontos
3.14.1.2 Distância de um ponto a
uma recta
3.14.1.3 Distância de um ponto a um
plano
3.14.1.4 Distância entre dois planos
paralelos
3.14.2
Ângulos
3.14.2.1 Ângulo de uma recta com
um plano frontal ou com um
plano horizontal
3.14.2.2 Ângulo de um plano com um
plano frontal ou com um
plano horizontal
3.14.2.3 Ângulo de duas rectas
concorrentes ou de duas
rectas enviesadas
3.14.2.4 Ângulo de uma recta com
um plano
3.14.2.5 Ângulo de dois planos
4
Na resolução de problemas métricos
será vantajoso que o aluno resolva um
mesmo problema utilizando diferentes
métodos auxiliares e que, a partir daí,
conclua as vantagens de um
relativamente aos outros.
6
Quanto aos problemas de determinação
da verdadeira grandeza de ângulos,
deverá ser dada especial atenção às
definições da geometria euclidiana
relativas ao “ângulo de uma recta com
um plano” e ao “ângulo de dois planos”.
3.15
Figuras planas III
Figuras planas situadas em planos não
projectantes
4
Ver sugestões didácticas do ponto 3.9
3.16
Sólidos III
Pirâmides e prismas regulares com base(s)
situada(s) em planos não projectantes
7
Mais uma vez se recomenda o uso de
modelos tridimensionais dos sólidos em
estudo.
3.17
Secções
3.17.1
Secções em sólidos (pirâmides, cones,
prismas, cilindros) por planos
- horizontal, frontal e de perfil
3.17.2
Secções de cones, cilindros e esfera
por planos projectantes
3.17.3
Secções em sólidos (pirâmides e
prismas) com base(s) horizontal(ais),
frontal(ais) ou de perfil por qualquer
tipo de plano
3.17.4
Truncagem
15
Sugere-se que os alunos analisem e
concluam a gradual complexidade das
secções em pirâmides, preconizando-se
a seguinte sequência de situações:
Geometria Descritiva A
-
-
secção de pirâmide intersectando
apenas a superfície lateral:
• sem aresta(s) de perfil
• com aresta(s) de perfil;
secção de pirâmide intersectando a
superfície lateral e a base:
26
• sem aresta(s) da base
perpendicular(es) ao plano de
projecção
• com aresta(s) da base
perpendicular(es) ao plano de
projecção.
Propõe-se que o professor leve os
alunos a concluir os diferentes tipos de
secção plana produzida num cone. Para
tal poderá recorrer a um candeeiro com
um quebra-luz de boca circular e
apreciar a mancha de luz projectada na
parede, funcionando esta como plano
secante do cone luminoso. A deslocação
do ponto de luz permitirá observar as
diversas cónicas produzidas na parede.
Em relação ao prisma e ao cilindro, os
alunos deverão concluir que um plano
pode seccioná-los intersectando só a
superfície lateral, a superfície lateral e
uma das bases ou a superfície lateral e
as duas bases.
Quanto à esfera poder-se-á verificar que
a secção produzida por qualquer tipo de
plano é sempre um círculo, podendo
variar desde um círculo máximo até ao
ponto, no caso de tangência.
Poder-se-á utilizar o Teorema de
Désargues para determinação das
secções planas de sólidos (ou, pelo
menos, fazer a sua verificação) dada a
relação de homologia existente entre a
figura da secção e a figura da base do
sólido, notando que o centro de
homologia será o vértice (próprio ou
impróprio) do sólido, o eixo, a recta de
intersecção do plano da secção com o
plano da base e os raios, as suas
arestas ou geratrizes.
Na resolução de problemas, que
envolvam o traçado da elipse, será
conveniente que os alunos determinem
as projecções dos seus eixos sendo os
demais pontos da elipse obtidos, quer
por recurso a planos auxiliares, quer por
recurso a construções já conhecidas (por
exemplo: processo da régua de papel ou
construção por afinidade).
Será do maior interesse para concluir
esta unidade e como aplicação dos
conceitos apreendidos (particularmente
do método das rotações) realizar
planificações de sólidos (cones e
cilindros) e de sólidos truncados. Poderse-á propor, seguidamente, a realização
de maquetas dos sólidos previamente
planificados.
3.18
Sombras
3.18.1
Generalidades
Geometria Descritiva A
23
Para facilitar a aquisição dos conceitos
de sombra própria, espacial, projectada,
27
3.18.2
3.18.3
3.18.4
3.18.5
3.18.6
3.18.7
e
3.18.8
real e virtual, será conveniente a
utilização de um foco luminoso (lâmpada
ou luz solar) e de formas bi ou
tridimensionais que produzirão sombras
diversificadas conforme o seu
posicionamento.
Noção de sombra própria, espacial,
projectada (real e virtual)
Direcção luminosa convencional
Sombra projectada de pontos,
segmentos de recta e recta nos planos
de projecção
Sombra própria e sombra projectada
de figuras planas (situadas em
qualquer plano) sobre os planos de
projecção
Sombra própria e sombra projectada
de pirâmides e de prismas, com
base(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou
de perfil, nos planos de projecção
Planos tangentes às superfícies cónica
cilíndrica:
- num ponto da superfície
- por um ponto exterior
- paralelos a uma recta dada
Sombra própria e sombra projectada
de cones e de cilindros, com base(s)
horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil,
nos planos de projecção
Para melhor compreensão dos pontos de
quebra poderá ser vantajoso o estudo
comparativo da sombra de um segmento
de recta fazendo alterações sucessivas
das suas coordenadas de forma a
projectar sombra só num plano de
projecção, nos dois ou só no outro plano.
Poderá ser seguido o mesmo raciocínio
para figuras planas.
Será de todo o interesse alertar os
alunos para a vantagem da
determinação prévia da linha separatriz
de luz e sombra, para identificar a
sombra própria e, a partir desta, induzir a
projectada. Nesse sentido, pode-se fazer
incidir um foco luminoso nos sólidos em
causa para identificar a separatriz de luz
e sombra que, no caso de cones e
cilindros, corresponde às geratrizes de
tangência dos planos luz/sombra.
Considera-se favorável iniciar o estudo
da sombra de sólidos pela pirâmide (com
base situada num plano de projecção).
Sugere-se que, para pirâmides com base
igual (e em posição igual) mas de
diferentes alturas, se faça o estudo
comparativo do número de faces em
sombra própria. Fazendo o mesmo
estudo comparativo para o cone, os
alunos poderão inferir a variação de
posição das geratrizes separatrizes
luz/sombra.
Atendendo a que a sombra projectada
de pontos, rectas ou superfícies são
entidades representadas por duas
projecções e, apesar de ser usual
desprezar a projecção situada no eixo X,
recomenda-se, pelo menos numa fase
inicial de estudo, que cada ponto de
sombra seja sempre representado pelas
suas duas projecções.
4.
Representação axonométrica
21
4.1
Introdução
4.1.1
Caracterização
4.1.2
Aplicações
4
Para ilustrar as diferenças entre as
várias axonometrias e entre estas e os
sistemas de representação diédrica ou
triédrica, sugere-se a utilização de um
modelo constituído pelos três eixos de
coordenadas e de um paralelepípedo
com as suas arestas coincidentes com
os eixos, que poderá ser posicionado em
relação ao plano de projecção consoante
as necessidades.
Para dar conta do vasto campo de
Geometria Descritiva A
28
aplicação das axonometrias, poderão ser
apresentados aos alunos imagens de
axonometrias de objectos ou peças da
construção mecânica, de produções no
âmbito do design industrial (o que
permitirá frisar que é precisamente a
revolução industrial que leva à difusão
generalizada e uso intensivo deste
sistema de representação) e de objectos
arquitectónicos (como meio privilegiado
para o seu estudo, mas também como
ferramenta no trabalho de concepção e
criação), salientando a funcionalidade e
intencionalidade do uso da axonometria,
na descrição dessas formas.
No tratamento das axonometrias
clinogonais é fundamental estudar a
influência do posicionamento dos raios
projectantes em relação ao plano
axonométrico. Nesse sentido, deve fixar-se um determinado ângulo de inclinação
e fazer variar a direcção e, para uma
mesma direcção, variar a inclinação dos
raios projectantes, para apreciar os
efeitos produzidos.
4.2
Axonometrias oblíquas ou clinogonais:
Cavaleira e Planométrica
4.2.1
Generalidades
4.2.2
Direcção e inclinação das projectantes
4.2.3
Determinação gráfica da escala
axonométrica do eixo normal ao plano
de projecção através do rebatimento
do plano projectante desse eixo
4.2.4
Axonometrias clinogonais
normalizadas
Em concreto, pode fazer-se a projecção
de um cubo e verificar a maior ou menor
possibilidade de reconhecer esse
poliedro nas diferentes situações. Poder-se-á verificar que os ângulos de fuga e
os coeficientes de redução
convencionados obedecem a este
princípio de perceptibilidade, mas deverá
ser realçada, ao mesmo tempo, a
possibilidade de seguir objectivos
opostos procurando, deliberadamente,
distorções.
Seria interessante relacionar as
axonometrias clinogonais com as
sombras em representação diédrica,
previamente estudadas, para assim
vislumbrar a relação entre ambos os
tipos de projecção.
4.3
Axonometrias ortogonais:
Trimetria, Dimetria e Isometria
4.3.1
Generalidades
4.3.2
Determinação gráfica das escalas
axonométricas
4.3.2.1
Rebatimento do plano
definido por um par de eixos
4.3.2.2
Rebatimento do plano
projectante de um eixo
4.3.3
Axonometrias ortogonais normalizadas
4
Para caracterizar as axonometrias
ortogonais e determinar os ângulos dos
eixos axonométricos em cada tipo de
axonometria, é aconselhável utilizar um
modelo (modelo N) constituído pelo
sistema de eixos coordenados, passível
de adaptação a cada uma das situações.
No modelo poder-se-á evidenciar
claramente:
-
-
Geometria Descritiva A
a correspondência biunívoca entre a
posição do sistema de eixos no
espaço e a sua projecção no plano
axonométrico;
os traços dos eixos de coordenadas
no plano de projecção, ou seja, os
vértices do triângulo fundamental
correspondente à base da pirâmide
29
-
axonométrica com vértice na origem
do sistema de eixos;
a configuração deste triângulo e as
suas propriedades em cada
axonometria;
a redução das medidas resultante da
inclinação dos eixos.
Se o modelo permitir rebater as faces da
pirâmide axonométrica e/ou o triângulo
correspondente à secção produzida na
pirâmide por um plano projectante de um
eixo, o que seria desejável, poder-se-á
ilustrar, espacialmente, o processo
conducente à determinação das escalas
axonométricas.
Neste processo deverá salientar-se:
-
-
o teorema da geometria plana que
permite a fixação do ponto
correspondente ao rebatimento da
origem;
os conhecimentos anteriores relativos
ao rebatimento de um plano oblíquo
no sistema de representação
diédrica e, consequentemente, o
recurso ao Teorema de Désargues
quando se pretende chegar à
projecção de uma figura contida na
face da pirâmide axonométrica
rebatida
Com o intuito de explicitar o
relacionamento da representação
diédrica com a representação
axonométrica, poderá ainda comparar-se
a projecção axonométrica de um sólido
(um cubo, p.ex.) com a sua projecção
diédrica, quando o sólido tem uma das
suas faces situada num plano oblíquo.
Poderá ser igualmente mencionada a
possibilidade de operar com
axonometrias normalizadas com a
utilização de coeficientes de redução
convencionais, podendo confrontar-se os
resultados obtidos com as axonometrias
anteriormente estudadas nas quais se
utilizam coeficientes de redução real.
4.4
Representação axonométrica de formas
tridimensionais compostas por:
•
pirâmides e prismas regulares e oblíquos de
base(s) regular(es) com a referida base(s)
paralela(s) a um dos planos coordenados e
com pelo menos uma aresta da(s) base(s)
paralela(s) a um eixo
•
cones e cilindros de revolução e oblíquos
com base(s) em verdadeira grandeza (só no
caso da axonometria clinogonal)
13
Deve propor-se ao aluno a realização de
axonometrias de formas tridimensionais
simples ou compostas, segundo os
diferentes métodos de construção. No
caso da axonometria ortogonal será de
dar especial ênfase ao chamado
“método dos cortes” (4.4.3) devido à sua
relação directa com a representação
diédrica e triédrica.
Métodos de construção
4.4.1
Método das coordenadas
4.4.2
Método do paralelepípedo circunscrito
ou envolvente
Geometria Descritiva A
30
4.4.3
Método dos cortes (só no caso da
axonometria ortogonal)
Geometria Descritiva A
31
CONVENÇÕES DE REPRESENTAÇÃO E SIMBOLOGIA
Z
2 3
A2
A2
2
X
X
1
A3
2
3
O
1
A1
Yp
A1
1
Yh
Representação diédrica de um ponto A de coordenadas
positivas
Representação triédrica de um ponto A de coordenadas
positivas
fα
fα2
r2
Fr
F2
A2
f2
Fh
B2
r1
H2
2
X
1
F1
X
2
A2
F2
F1
h2
H2
hα2
1
fα1
A1
Hf
B1
Hr
H1
Representação de uma recta r e dos seus traços horizontal e
frontal
Geometria Descritiva A
A1
H1
hα
hα1
f1
h1
Representação de um plano α pelos seus traços horizontal e
frontal e duas rectas horizontal e frontal do plano
32
Z
2 3
D2≡D’2
c3
c2
C2≡C’2
O3
O2
A2≡A’2
X
B2≡B’2
2
3
1
Yp
X
2
1
A1
D1
B1
C1
A’1
D’1 B’1
C’1
O1
c1
1
Yh
Representação triédrica de uma circunferência c de perfil
5
Representação diédrica de um prisma regular de bases frontais
4
e2
r2R
A5
r2
P2
Q2
A4
4
1
A2
P2R
X
Q2R
2
1
r1
(e1)
P1
X
r1R
2
P1R
Q1R
1
Q1
A1
Mudança de diedros
Projecções de um ponto A em diferentes diedros
Geometria Descritiva A
Transformação de uma recta oblíqua r numa recta frontal
através de uma rotação em torno de um eixo vertical e
33
fα
V2
fα
Q2
P2
A2
X≡fαR
(e2)
2
X
1
2
R2 A2 S2 B2
C2
1
B1
C1
AR
P1
Q1
A1
S1
V1
R1
Rebatimento de um plano de topo em torno do seu traço
horizontal
D2
C2
Z
ZR
CV
CS
BS
X
Secção de uma pirâmide oblíqua de base regular
por um plano vertical
B2
A2
A1
hα
hα≡e1
A2R
BV
A2
2
1
C1
DS
A
XR
AS
X
Y
A1
B1
D1
XR
A1
Sombra produzida por um quadrado [ABCD] nos planos de
projecção
Geometria Descritiva A
YR
A1R
Representação trimétrica de um octaedro com aplicação
simultânea de dois métodos construtivos: do paralelepípedo
envolvente e dos cortes
34
MODELOS DIDÁCTICOS
Existe um conjunto de modelos expressamente concebidos para a leccionação da disciplina de
Geometria Descritiva que são os seguintes:
MODELO A
Este modelo é constituido pelo sistema de planos (realizados em acrílico transparente)
utilizados na representação diédrica e permite o rebatimento do plano horizontal e do plano de
perfil para o plano frontal de projecção.
Como acessórios são fornecidas elementos que representam tridimensionalmente pontos,
rectas e planos que podem ser projectados e representados nos planos de projecção.
MODELOS B a K
Este conjunto de modelos permite a visualização cinética de várias superfícies através da
rotação de uma geratriz em torno de um eixo vertical.
Concretamente torna-se possível ver e entender o modo como é gerado um plano, um cilindro,
um cone, uma esfera, um hiperbolóide (dois modelos de uma folha e um modelo de duas
folhas), um parabolóide, um elipsóide e um toro.
MODELO L
Este modelo é um acessório do modelo A tendo sido concebido para visualizar a rotação de
uma recta.
MODELO M
Modelo destinado a visualizar o rebatimento de um plano oblíquo, quer pelo triângulo do
rebatimento quer pelas rectas horizontais ou frontais do plano. O plano oblíquo é truncado por
um plano projectante que lhe é perpendicular, também ele rebatível, de modo a permitir a
visualização do triângulo do rebatimento e a determinação da sua verdadeira grandeza, o que
permite reproduzir espacialmente todas as operações que serão efectuadas no papel para
rebater o plano.
MODELO N
Realizado com esquadros de desenho este modelo, que se destina à leccionação das
axonometrias, permite a visualização do triedro definido pelos planos coordenados e da
pirâmide axonométrica quando fazemos coincidir a sua base (triângulo fundamental) com o
plano axonométrico. Nesta última situação torna-se possível efectuar o rebatimento de uma
face da pirâmide para o plano de projecção, bem como o seu contra-rebatimento, dando a
entender os procedimentos necessários para a determinação de verdadeiras grandezas e das
escalas axonométricas.
Geometria Descritiva A
35
GLOSSÁRIO
eixo X ou aresta dos diedros (linha de terra) - recta de intersecção do plano horizontal de
projecção com o plano frontal de projecção
axonometrias clinogonais – axonometrias oblíquas (ver projecção clinogonal)
axonometria planométrica – designação pela qual é actualmente conhecida a axonometria
militar (norma ISO 5456)
diedros de projecção (quadrantes) – são as quatro regiões do espaço definidas pelos planos
de projecção horizontal e frontal. Trata-se, por conseguinte, de quatro diedros rectos,
arestalmente opostos. Distinguem-se de qualquer outro diedro dada a sua especificidade
devida à condição de serem definidos pelos planos de projecção.
eixos de coordenadas ortogonais - referencial analítico ou cartesiano do espaço definido
pelas rectas de intersecção dos planos coordenados: horizontal, frontal e de perfil; este
referencial deve ser considerado em sentido directo o que, convém notar, tem como
consequência que as abcissas ou larguras positivas são marcadas para a esquerda do plano
de perfil
incidência - o conceito de incidência diz respeito à mais simples relação possível entre as
entidades fundamentais da geometria projectiva - os pontos, as rectas e os planos - ou seja a
relação de pertença (incidir significa estar em ou passar por)
sistema de representação – caracteriza-se pela utilização de um determinado tipo de
projecção, discriminação do número de planos de projecção e da sua posição relativa, pelo
modo como é efectuada a passagem do tri para o bidimensional (ver normas ISO 5456-2, ISO
5456-3, ISO 5456-4 e ISO 10209-2)
método dos cortes – processo
que consiste no rebatimento dos
planos coordenados para o
interior da pirâmide axonométrica
(para evitar que os planos
coordenados apresentem faces
distintas após o rebatimento),
seguido de uma translação de
cada par de eixos de coordenadas
segundo uma direcção normal à
charneira do rebatimento,
permitindo a representação de
cortes horizontais e verticais do
objecto. Por contra-rebatimento e
através da conjugação de, pelo
menos, dois cortes, obtém-se a
projecção axonométrica do
objecto.
Z
ZR
YZ
OR
OR
O'
aR
AR
AR
a'
A'
YR
OR
X'
aR
XR
XY
Y'
AR
YR
mudança de diedros de projecção (mudança de planos) - utiliza-se esta designação dado
que a mudança de um plano de projecção implica a mudança de diedros (note-se que as
novas projecções de um ponto se correspondem através de uma nova linha de chamada)
plano frontal de projecção (plano vertical de projecção) - plano frontal de afastamento nulo
Geometria Descritiva A
36
projecção clinogonal - termo utilizado para designar a projecção paralela oblíqua em relação
a um plano de projecção; o termo clinogonal surge por contraponto ao termo ortogonal,
encontrando-se ambos ao mesmo nível por implicarem, em si mesmos, o conceito de direcção
rectas de maior declive de um plano - rectas de maior inclinação (ou de maior ângulo) do
plano em relação ao plano horizontal
rectas de maior inclinação de um plano - rectas de maior inclinação (ou de maior ângulo) do
plano em relação ao plano frontal
representação diédrica ou sistema de representação diédrica - método ou sistema de
Monge, método ou sistema da dupla projecção ortogonal, método ou sistema diédrico,
projecção diédrica, etc…
teorema de Désargues - se dois triângulos têm os seus vértices alinhados a partir de um
ponto (centro de projecção próprio ou impróprio), as rectas que prolongam os seus lados
cortam-se, duas a duas, segundo três pontos alinhados
triedros trirrectângulos de projecção - são os oito triedros rectos definidos pelos planos de
projecção horizontal, frontal e de perfil
Geometria Descritiva A
37
4. BIBLIOGRAFIA
As indicações bibliográficas seguintes destinam-se fundamentalmente a professores. As obras
assinaladas com um asterisco podem também ser do interesse dos alunos.
Didáctica Específica
Bensabat, F. (1996). Ensinar Geometria Descritiva. Trabalho realizado em regime de licença sabática,
Lisboa. [texto policopiado]
Fruto da própria experiência pessoal do autor, como professor, e do contributo directo de
alguns colegas, este trabalho é uma reflexão sobre o ensino da geometria descritiva e as
consequências da sua aprendizagem no crescimento dos estudantes enquanto seres
humanos (o que é confirmado pelos depoimentos finais de alguns alunos) sem descurar o
quanto o próprio professor aprende ao ensinar. Constitui, por conseguinte, um contributo
importante para a definição das finalidades da aprendizagem da disciplina no âmbito do ensino
secundário, para a delimitação do âmbito de objectivos e conteúdos e de uma metodologia de
ensino da Geometria Descritiva.
*Gama, M. J.; Silveira, M. F.; Carvalho, J. P.; Rebelo, J. A. (1986). Geometria Descritiva - Planos a
médio e longo prazo - 11º ano Técnico-Profissional. Lisboa: Ministério da Educação e Cultura.
*Gama, M. J.; Silveira, M. F.; Carvalho, J. P.; Rebelo, J. A. (1986). Geometria Descritiva - Actividades
de Aprendizagem e de Avaliação - 11º ano Técnico-Profissional. Lisboa: Ministério da Educação e
Cultura.
*Gama, M. J.; Silveira, M. F.; Carvalho, J. P.; Rebelo, J. A. (1986). Modelos Didácticos, Filme
Didáctico (Ponto, Recta, Plano, Rebatimento). Lisboa: Ministério da Educação e Cultura.
*Rebelo, J. A.. (1986). Modelos Didácticos, Filme Didáctico (Superfícies). Lisboa: Ministério da
Educação e Cultura.
*Rebelo, J. A.; Silveira, M. F.; Carvalho, J. P. (1987). Geometria Descritiva - Actividades de
Aprendizagem e de Avaliação - 12º ano Técnico-Profissional. Lisboa: Ministério da Educação e Cultura.
Estas obras, que culminaram a experiência pedagógica do relançamento do ensino técnico em
Portugal em 1983-1984 pelo MEC, foram o resultado da necessidade de realizar estudos
pedagógicos que possibilitassem leccionar, com sucesso e em menos tempo, os mesmos
conteúdos da via vocacional.
Geometria
*Aguilar, L. T. (1993). Alguns conceitos geométricos. Lisboa: Lusolivro.
Este livro veicula informação essencial sobre geometria euclidiana que o autor considera
indispensável como matéria introdutória ao estudo da Geometria Descritiva. Alguns dos
conceitos geométricos referidos correspondem aos conteúdos do módulo inicial previsto neste
Programa.
Castelnuovo, E. (1965). La Via della Matematica - La Geometria (5ª ed. 1977). Florença: La Nuova
Italia.
Geometria Descritiva A
38
Livro que ensina a ensinar geometria em ligação à realidade concreta, recorrendo
frequentemente ao uso de modelos bi ou tridimensionais dinâmicos. Muitas das propostas de
trabalho apresentadas são uma antecipação do software de geometria dinâmica que hoje
temos à nossa disposição. Saliência especial para o capítulo sobre transformações
geométricas.
Dahan-Dalmedico A. & Peiffer J. (1986). Une Histoire des Mathématiques - Routes et Dédales. Paris:
Editions du Seuil.
Sendo, como o próprio título indica, uma história das matemáticas, este livro dá particular
relevo à história da geometria tratando, cuidadosamente, os temas relacionados com a
geometria projectiva.
Fernandes, A.N. P. (1967). Elementos de Geometria (2). Coimbra: Coimbra Editora.
É um “antigo” compêndio para o 3º, 4º e 5º anos dos liceus, que aborda a geometria
euclidiana, no plano e no espaço, de forma axiomática. Inclui, por conseguinte, numerosos
teoremas da geometria euclidiana e as respectivas demonstrações.
Glaser, R. (1927). Geometría del Espacio. Barcelona: Editorial Labor SA, Biblioteca de Iniciación
Cultural.
Uma geometria no espaço (euclidiano) tratada de forma axiomática mas que aborda também,
sumariamente, as projecções paralelas ou cilíndricas. Particularmente relevante é o estudo de
superfícies e corpos de revolução e das respectivas secções planas. Atenda-se, igualmente,
ao estudo desenvolvido da esfera e da superfície esférica.
Godeaux, L. (1960). As Geometrias. Lisboa: Edições Europa-América, Colecção Saber.
Este livro trata a evolução da geometria, desde a geometria elementar (euclidiana) até à
topologia, sistematizando as diferentes geometrias de acordo com a racionalização proposta
por Klein e Sophus Lie, alicerçada, no conceito de invariante de uma transformação
geométrica e na teoria dos grupos de Galois.
Joly, L. (1978). Structure. Lausanne: Editions Spes.
Obra geral sobre geometria, na qual são abordadas várias geometrias. Concebido como um
livro didáctico visa permitir uma visão geral da estrutura das formas físicas e, mais
particularmente, mostrar a importância capital da Geometria na criação e na existência de
formas de qualquer espécie. Particularmente indicado para o ensino da geometria em cursos
artísticos. No dizer de Rainer Mason este livro está concebido como uma “verdadeira escola
da visão sem extrapolações filosóficas”.
Loria, G. (1921). Storia della Geometria Descrittiva dalle Origini sino ai Giorni nostri. Milano: Ulrico
Hoepli, Manuali Hoelpi.
História dos diferentes sistemas de representação descritivos (perspectiva, dupla projecção
ortogonal, planos cotados e axonometria), construída através das contribuições provenientes
de diversas personagens, e respectivos países, para o desenvolvimento da Geometria
Descritiva. Saliência especial para a referência à situação portuguesa onde é referido o
contributo de Motta Pegado e Schiappa Monteiro.
Geometria Descritiva A
39
Macedo, A. A F.(1947). A Geometria ao Alcance de toda a Gente, Parte I, Iniciação geométrica (Vol. I e
II, pp. 127 e 133). Lisboa: Cosmos, Biblioteca Cosmos.
Este livro de iniciação à geometria elementar, no plano (vol. I, planimetria) e no espaço (vol. II,
estereometria e complementos), acaba por tratar os conceitos fundamentais da geometria de
forma desenvolvida e rigorosa mas bastante acessível porque ligada a situações concretas
retiradas da realidade envolvente. Salienta-se no 1º volume o tema da semelhança de
triângulos e a sua aplicação na determinação de distâncias inacessíveis e, no 2º, o estudo
desenvolvido da perpendicularidade de rectas e planos directamente relacionada, mais uma
vez, com o problema da determinação de distâncias.
Marcolli, A. (1971). Teoria del Campo - Corso di educazione alla Visione (2). Florença: Sansoni.
Texto relativo aos fundamentos visuais, tratados em articulação com actividades de projecto,
mas que aborda com bastante desenvolvimento temas da geometria, da geometria descritiva e
projectiva, da cartografia, da matemática, da topologia, sempre ligados a experiências
desenvolvidas na sala de aula.
Massironi, M. (1983). Ver pelo Desenho - Aspectos técnicos, cognitivos, comunicativos. Lisboa: Edições
70.
“Ver pelo desenho”, como o próprio título pressupõe, procura demonstrar como o desenho é
um instrumento determinante de conhecimento e de comunicação. Constituindo uma
abordagem lata a todas as formas de representação este livro não deixa de abordar,
especificamente, a participação da geometria descritiva e do desenho técnico neste processo.
*Morais, J. S.(1996). Desenho de Construções mecânicas I (Desenho Básico). Porto: Porto Editora.
Manual que aborda a normalização referente ao desenho (traçado, equipamento e cotagem),
as construções básicas da geometria plana (no capítulo desenho geométrico), e trata o tema
das projecções, com uma introdução à representação diédrica e múltipla projecção, à
axonometria e perspectiva.
Reinhardt, F.& Soeder H. (1984). Atlas de Matemáticas 1 - Fundamentos, Álgebra y Geometria. Madrid:
Alianza Editorial.
Obra de carácter expositivo, justapondo a cada página de texto uma página de ilustrações
correspondente, recolhendo exemplos, fórmulas, tabelas e representações geométricas. O 1º
volume abarca fundamentos de matemática, a álgebra, a geometria e a topologia. Em virtude
do índice alfabético pormenorizado este livro pode utilizar-se também como obra de consulta e
prontuário.
*Veloso, E. (1998). Geometria - Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional.
Esta obra cobre inúmeros temas de Geometria Elementar (e menos elementar) e contém um manancial de
sugestões de trabalho para abordar os diferentes aspectos da Geometria. São de salientar os muitos
exemplos históricos que ajudam a perceber a importância que a Geometria desempenhou na evolução da
Matemática, ao mesmo tempo que fornecem excelentes exemplos para uso na sala de aula ou como
proposta de trabalho a desenvolver, eventualmente, na área de projecto, ou ainda para alunos mais
interessados. É altamente recomendável a leitura do capítulo I que foca a evolução do ensino da
geometria em Portugal e no resto do mundo e ajuda a perceber a origem das dificuldades actuais com o
ensino da Geometria. O recurso a software de geometria dinâmica é usado de forma “natural” para
“resolver - ou suplementar a resolução - de problemas, proceder a investigações, verificar conjecturas,
etc.” Este livro tem já um “prolongamento” na Internet no endereço:
http://www.iie.min-edu.pt/iie/edicoes/livros/cdces/cdces11/index.htm
Geometria Descritiva
Geometria Descritiva A
40
Albuquerque, L. (1969). Elementos de Geometria Projectiva e Geometria Descritiva. Coimbra: Livraria
Almedina.
Este livro, que se inicia com uma abordagem à geometria projectiva e, seguidamente,
desenvolve o estudo do sistema da dupla projecção ortogonal, da projecção cónica central e
das projecções cotadas, evidencia, pela sua própria organização, a importância estrutural da
geometria projectiva na construção de qualquer sistema descritivo.
Almeida, Á. D. (1996). Nota acerca de alguns equívocos suscitados por um método de edição de
axonometria (contributo para uma necessária discussão de conceitos). Boletim da APROGED, (1) 10-11.
Reflexão sobre a adequação e vocação da axonometria na representação de formas.
Nomeadamente defende-se, com justeza, que, quanto mais ordenada for a forma do objecto
relativamente ao sistema de eixos coordenados, maior será a eficácia do sistema
axonométrico na sua representação.
*Aubert, J. (1982), Dessin d’Architecture a partir de la Geometrie Descriptive. Paris: Edition la Villette.
Curso de Desenho de Arquitectura a partir da Geometria Descritiva, para uso dos alunos do 1º
ano das escolas de arquitectura.
*Carreira, A. (1972). Compêndio de Desenho [para o 3º ciclo do ensino liceal]. Lisboa: Livraria Sá e
Costa.
Adoptado como livro único nos anos 60/70 para um programa iniciado em 1949 foi, à morte do
autor, completado por Mata de Almeida. É uma obra bem sistematizada abarcando o desenho
geométrico (geometria descritiva), o esboço cotado e o desenho à vista. É um digno
continuador da obra de Marques Leitão de 1909.
Costa, M. C. (1997). Reflexões sobre o ensino e as aplicações da Geometria Descritiva.
Boletim da APROGED, (3 e 4.) 9-13.
Este texto, onde são enunciadas as finalidades, os objectivos, as competências e os
conteúdos que devem integrar o ensino da Geometria Descritiva a nível secundário e a nível
superior, constituiu (conjuntamente com os pareceres dados pelo autor sobre versões
anteriores) um referencial determinante na elaboração dos actuais Programas de Geometria
Descritiva do Ensino Secundário.
Costa, M. C. (1998). O futuro da Geometria Descritiva. Boletim da APROGED, (7). 3-14.
Produzido na sequência da palestra com o mesmo título proferida no Seminário “Como ensinar
Geometria Descritiva”, organizado pela APROGED, este artigo revisita a história da Geometria
Descritiva para enquadrar o momento actual e perspectivar o futuro da disciplina face aos
novos desafios levantados pela invenção formal, aliada às novas possibilidades tecnológicas,
de arquitectos como Ghery e Eisenman, postulando a indispensabilidade da disciplina no
âmbito da representação gráfica e da estruturação formal dos objectos, particularmente, como
ferramenta conceptual.
*França, A. (s/d). Caderno Auxiliar de Geometria Descritiva. Porto: Livraria Athena.
Livro de exercícios que é um complemento do compêndio de António Carreira.
Geometria Descritiva A
41
Geffroy, J. (1945). Traité pratique de Géometrie Descriptive. Paris: Librairie Armand Colin.
É um pequeno tratado de geometria descritiva que trata as várias situações espaciais
utilizando em simultâneo as projecções cotadas e a dupla projecção ortogonal. Destaca-se o
recurso a qualquer dos métodos auxiliares e a preocupação de estabelecer maiores ou
menores valias de cada um deles na resolução concreta de problemas. Dedica um dos
capítulos à homologia plana.
*Gonçalves, L. (1979). Geometria Descritiva 1 - 10º Ano de Escolaridade. Lisboa: Emp. Lit. Fluminense
Lda.
*Gonçalves, L. (1981). Geometria Descritiva 2 - 11º Ano de Escolaridade. Lisboa: Emp. Lit. Fluminense
Lda..
Baseado nos programas em vigor nos anos 80, foram na verdade, como o próprio autor afirma
no prefácio “uma resposta possível aos condicionalismos do nosso Ensino e às dificuldades
que os alunos vêm sentindo”, evitando “receitas” e situações que, pelo seu particularismo, se
tornassem “enigmas”.
Gordon, V.O., Sementsov, M.A. & Oguievsky (1974). Problemas de Geometria Descriptiva. Moscovo:
Mir.
Gordon, V. O., Sementsov, M. A. & Oguievsky (1980). Curso de Geometria Descriptiva. Moscovo: Mir.
Os parâmetros que caracterizam esta obra assemelham-se aos indicados na obra de Krylov,
abaixo referida.
Guasp, J. B. (1995). Sistema Diedrico Directo - Fundamentos y Ejercicios 1. San Sebastián: Editorial
Donostiarra.
Neste livro é proposta a utilização do sistema diédrico directo, no qual, as entidades
geométricas, consideradas individualmente ou em relação, são tratadas sem ter em
consideração um referencial fixo de projecção. Deste modo torna-se irrelevante a
representação das rectas de intersecção dos planos de projecção (eixo X ou LT), bem como,
dos traços de rectas e de planos nesses mesmos planos de projecção. Num dos capítulos
procura-se estabelecer uma comparação entre a representação diédrica convencional (ou
clássica) e a directa.
Haack, W. (1962). Geometria Descriptiva. Cidade do México: Uthea. [3 Volumes]
Nos dois primeiros tomos desta obra trata-se, principalmente, dos sistemas de representação
que indicam as dimensões dos corpos; enquanto no terceiro volume se expõem,
preferencialmente os que proporcionam um carácter mais intuitivo e imediato ao desenho. A
relação com resultados puramente matemáticos consiste na dedução e nas demonstrações
dos diferentes sistemas.
Izquierdo Asensi, F. (1985). Geometria Descriptiva (Vol. 16). Madrid: Editorial Dossat SA.
Esta Geometria Descriptiva trata exaustivamente os sistemas diédrico, cotado, axonométrico e
cónico (onde se inclui uma abordagem à projecção gnomónica e à construção de relógios de
sol), ainda que o tipo de abordagem proposto seja, sobretudo, pragmática. É contudo, no
âmbito do sistema diédrico, que é dado maior desenvolvimento ao estudo de sólidos e de
superfícies, sendo tratadas questões de concordância ou de intersecção recíproca.
Geometria Descritiva A
42
Krylov, N., Lobandievsky, P. & Maine, S. (1971). Géométrie Descriptive. Moscovo: MIR.
Esta obra centra o desenvolvimento dos seus conteúdos na importância prática da Geometria
Descritiva na familiarização com a linguagem representativa e técnica expressiva dos
desenhos, ensinando a construí-los e a lê-los sem dificuldade. Obviamente o estudo da
Geometria Descritiva contribui para formar uma imaginação representativa e adquirir hábitos
de raciocínio lógico. Aperfeiçoa a aptidão para recriar em pensamento a forma dos objectos
representados sobre um plano e prepara, assim, o futuro técnico (arquitecto, designer,
engenheiro), para o estudo de disciplinas espaciais e para a criação técnica pelo
estabelecimento de projectos.
*Leitão, C.A. M. (1909). Desenho. Lisboa: Fernandes e Companhia Editores. [5 volumes]
Apesar da sua edição datar de 1909, pode considerar-se, pedagogicamente, das obras mais
profundas no ensino do, então, Desenho, com uma qualidade gráfica (e de leitura) que não vemos
conseguida actualmente em obras do ensino secundário de Desenho e Geometria Descritiva.
Mateus, N. C. (2001). Os problemas básicos da Geometria Descritiva (a propósito dos novos Programas).
Boletim da APROGED, (14). 3-9.
Transcrição da intervenção do autor no III encontro da APROGED – “Geometria: que futuro?” –
onde se questiona, com pertinência, a sequência metodológica clássica no ensino da
Geometria Descritiva que, na opinião do autor, tem contribuído para o insucesso escolar real
na aprendizagem da disciplina. Nuno Mateus acompanha esta crítica de uma contraproposta
que justifica, cuidadosamente, quer sob o ponto de vista científico quer pedagógico.
Monge, G. (ed. 1996). Geometría Descriptiva. Madrid: Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales e
Puertos.
Trata-se da edição facsimilada de uma tradução castelhana de 1803, da Geometria Descritiva
de Monge para uso na “Escuela de Caminos”, precedida do historial da respectiva escola e de
algumas notas sobre a Geometria Descritiva e o seu ensino em Espanha. Destaque para a
qualidade, excelente, das ilustrações.
Morais, J. S. (1995). Geometria Descritiva [para o 1º Ano de Engenharia Mecânica]. Porto: FEUP –
DMEGI. [policopiado]
Sebenta, destinada aos alunos de Engenharia Mecânica da FEUP, sobre os fundamentos da
representação diédrica, onde se ensaia e se tenta demonstrar a maior versatilidade e
funcionalidade do sistema directo em contraponto com sistema clássico de Monge. Destacase, ainda, o desenvolvimento do estudo da representação axonométrica ortogonal e o capitulo
consagrado a planificações.
Nannoni, D. (1978, 1981). Il Mondo delle Proiezioni - Applicazioni della Geometria Descritiva e
Proiettiva (1, 2, 3). Bologna: Cappelli Editore.
Este tratado de geometria projectiva e descritiva trata de forma rigorosa e exaustiva os
diferentes sistemas de representação. Salienta-se a primeira parte do livro sobre homologia e
afinidade e os capítulos onde se desenvolve o estudo das sombras.
Pal, I. (1959). Geometria Descriptiva (con Figuras estereoscopicas). Madrid: Aguilar.
Na linha de TAIBO, tem um similar recente na obra de R. SCHMIDT.
Geometria Descritiva A
43
Pegado, L. P. M. (1899). Curso de Geometria Descriptiva da Escola Polytechnica - Tomo I e II - Texto.
Lisboa: Typographia da Academia Real das Sciencias.
Este curso, da autoria de um dos maiores geómetras portugueses, é um verdadeiro tratado
sobre a matéria sendo, por isso, indispensável para todos que a queiram estudar a fundo.
Extremamente relevante é o facto de Motta Pegado, dando nota de uma total actualização
científica, tratar a geometria descritiva tendo sempre como pano de fundo as transformações
geométricas. É, aliás, por aí que se inicia o seu livro. Considerando irrelevante a fixação dos
planos de projecção Pegado não utiliza a LT. Para além da dupla projecção ortogonal o autor
também trata o sistema das projecções cotadas.
*Pinheiro, C. S. & Sousa, P. F. (1979). Desenho. Textos Pré-Universitários (Vol. 39). Lisboa: Ministério
da Educação.
*Pinheiro, C. .S. & Sousa, P. F. (1980). Desenho. Textos Pré-Universitários (Vol. 55). Lisboa: Min. da
Educação e Ciência.
Compêndios destinados ao ano propedêutico (que o 12º ano de escolaridade substituiu). O
TPU39 compreende o estudo de superfícies e das sombras em dupla projecção ortogonal. O
TPU55 desenvolve estudo da perspectiva e da representação axonométrica.
Ribeiro, C. T. (1991), Geometria Projectiva. Lisboa: Editora Europress.
“...sem dúvida, um excelente auxiliar dos estudantes e profissionais de engenharia, visando
ensinar e ajudar a utilizar de forma mais eficiente a linguagem da profissão.” (Transcrição, com
a devida vénia, da opinião de Veiga da Cunha no prefácio desta obra).
Rodriguez de Abajo, F. J. (1992). Geometria Descriptiva - Sistema Diédrico. San Sebastian: Editorial
Donostiarra.
Abordagem exaustiva e sistemática do “sistema diédrico” . Nota-se que o autor sugere o
recurso à tripla projecção ortogonal para resolver situações de perfil. Saliência, também, como
é norma em todos os livros dirigidos por Rodriguez de Abajo, para o capítulo introdutório sobre
homologia onde se realiza um estudo desenvolvido das cónicas. Esse capital oferecido logo de
início é activamente utilizado nas diversas situações projectivas tratadas em representação
diédrica.
Rodríguez de Abajo, F. J. & BENGOA, V. A. (1987). Geometria Descriptiva - Sistema Axonometrico.
(5ª ed.) Alcoy: Editorial Marfil SA.
Na linha do livro dedicado ao sistema diédrico também este desenvolve, com profundidade, o
estudo do sistema axonométrico ortogonal.
Rodríguez de Abajo, F. J. & BLANCO, A. R. (1982), Geometria Descriptiva - Sistema de Perspectiva
Caballera. (3ª ed.) San Sebastian: Editorial Donostiarra.
Estudo desenvolvido da axonometria por projecção oblíqua muito semelhante ao dedicado à
axonometria ortogonal.
Sánchez Gallego, J. A. (1992). Geometría Descriptiva - Sistemas de Proyección cilíndrica. Barcelona.
Ediciones UPC.
Livro muito interessante sobre os diversos sistemas de projecção cilíndrica particularmente
porque se propõe o estudo das diversas situações/problemas espaciais utilizando em
simultâneo os vários sistemas de representação. Também relevantes são os capítulos iniciais
onde se discute a essência de cada um deles e a sua vocação particular. Em relacão à
Geometria Descritiva A
44
representação diédrica a preferência de Gallego recai sobre o diédrico directo, preferência
essa que justifica com uma sólida argumentação. Em relação à representação axonométrica
são apresentados dados históricos que enquadram o aparecimento do “método dos cortes”
sendo devidamente explicado o seu funcionamento e aplicação.
*Sant’ana, S. & GOMES, B. (1980). Desenho e Geometria Descritiva. Porto: Porto Editora.
Livro de texto conciso, com exercícios muito bem elaborados.
*Santos, P.(s/d). Aprender a ver em Geometria Descritiva. Coimbra: Livraria Arnado.
Obra destinada à iniciação em Geometria Descritiva como o próprio título sugere. A sua
apresentação como livro em folhas soltas permite que os alunos executem a montagem
tridimensional e, efectuando os cortes e dobragens convenientes, tenham a “percepção” da
passagem ao bidimensional (plano de desenho).
*Schmidt, R. (1986). Geometria Descriptiva con Figuras estereoscópicas. Barcelona: Editorial Reverté
SA.
A obra mais completa e cuidada em termos de representação de superfícies em
estereoscopia.
*Sousa, P. F.(s/d). Desenho. Textos Pré-Universitários (Vol. 13). Lisboa: Ministério da Educação.
Compêndio destinado ao ano propedêutico (que o 12º ano de escolaridade substituiu). O
TPU13 compreende uma introdução à dupla projecção ortogonal seguida do estudo dos
métodos auxiliares e de problemas métricos.
Taibo, A. (1943). Geometria Descriptiva e sus aplicaciones [3 volumes]. Madrid: s/ed.
Das primeiras obras com figuras em estéreo.
Xavier, J. P. (1999). Acerca da “nova” terminologia dos Programas de Desenho e Geometria Descritiva
A e B. Boletim da APROGED, (9). 13-15.
Neste artigo, como o próprio título indica, procura-se mostrar que a terminologia usada nos
actuais Programas de Geometria Descritiva não tem qualquer novidade estando já largamente
difundida e utilizada (excepto no nosso País) à luz da necessidade de fazer convergir áreas
disciplinares distintas, mas afins, como sejam, a Geometria Analítica, a Geometria Descritiva e
o Desenho Técnico.
Xavier, J. P. (2000). A Axonometria como método descritivo. Boletim da APROGED, (12). 7-22.
Transcrição de uma comunicação apresentada no Encontro Nacional da APROGED, “Saber
ver a Geometria Descritiva”, onde o autor se debruça sobre o enquadramento histórico-cultural
da representação axonométrica. O texto constitui, igualmente, uma reflexão sobre a
preponderância actual deste sistema de representação na modelação tridimensional em CAD.
Na parte final é apresentado um método construtivo na axonometria ortogonal, conhecido
como “método dos cortes”, secundado pela amostragem de trabalhos de alunos de Geometria
da FAUP.
Geometria Descritiva A
45
Desenho Técnico
*Cunha, L. V. (1984). Desenho Técnico (Vol. 6). Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian.
Manual sobre os mais variados temas de desenho técnico (embora não actualizado) precedido
de informação sobre muitas construções geométricas euclidianas.
Morais, J. S. (1996). Desenho de construções mecânicas III (Desenho Técnico). Porto: Porto Editora.
Livro de referência sobre Desenho Técnico e, também, um dos mais actualizados sobre o
tema.
NORMAS
Norma ISO 128 Princípios gerais de representação
Norma ISO 216 Formatos de papéis
Norma ISO 2594 Métodos de projecção (desenho de construção civil)
Norma ISO 3098 Escrita
Norma ISO 5456-1/2/3/4 Métodos de projecção
Norma ISO 5457 Formatos dos desenhos
Norma ISO 9175 a 9180 Material de desenho
Norma ISO 10209-1 Termos relativos aos desenhos técnicos (generalidades e tipo de
desenho)
Norma ISO 10209-2 Termos relativos aos métodos de projecção
Endereços na Internet:
http://www.geom.umn.edu/
http://www.ul.ie/~rynnet/keanea/homepage.html
http://www.albares.com/dibujotecnico/salaestudios/salaestudios.htm
http://www.arq.ufrgs.br/
http://www.mat.uel.br/barison/DGGDcont.htm
http://www.cce.ufsc.br/~ligsouza/geometria_descritiva.htm
http://indigo.ie/~paulmcd/
http://www.engr.ukans.edu/~rhale/ae421/giesecke/CHAP17.PDF
http://thales.cica.es/ed/practicas/TecInfo/09/indice.html
http://www.anth.org.uk/NCT/
http://mane.mech.virginia.edu/~engr160/Graphics/Outline.html
http://drr.arc.uniroma1.it/decarlo/
http://www.terravista.pt/ancora/6707/impindex2.html
http://www.fc.up.pt/atractor
Geometria Descritiva A
46
ANEXO C
Exame Nacional de Geometria Descritiva A de 2013 – 1ª Fase
EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO
Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho
Prova Prática de Geometria Descritiva A
10.º e 11.º Anos de Escolaridade
Prova 708/1.ª Fase
4 Páginas
Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.
2013
No cabeçalho, utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta.
Nas respostas aos itens, utilize apenas lápis de grafite ou lapiseira.
Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve apagar aquilo que pretende que
não seja classificado.
Escreva de forma legível a numeração dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas
ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos.
Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se apresentar mais do que uma resposta a um
mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.
Resolva apenas um item em cada folha de prova.
Utilize a face das folhas de prova que tem impresso o retângulo de identificação.
As coordenadas apresentadas no enunciado estão expressas em centímetros e são indicadas
pela seguinte ordem: abcissa; afastamento; cota.
Os ângulos dados, relativos a retas ou a planos, são medidos no 1.º diedro.
Desenhe em tamanho natural, sem reduzir nem ampliar as medidas dadas.
Na resolução dos problemas, respeite os dados e indique as notações necessárias para identificar
os processos de resolução utilizados e as soluções gráficas pedidas.
Desenhe com rigor, respeitando as adequadas diferenciações relativas aos vários tipos de traço.
As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
Prova 708/1.ª F. • Página 1/ 4
1.  Determine as projeções do ponto I resultante da intersecção da reta de topo t com o plano oblíquo δ.
Dados
−− a reta t tem –5 de abcissa e 5 de cota;
−− o plano δ está definido por duas retas paralelas, a e b;
−− a reta a é passante e contém o ponto M (4; 4; 3);
−− a projeção frontal da reta a faz um ângulo de 30°, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
−− a reta b contém o ponto N (6; 4; –1).
2.  Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de rampa θ.
Dados
−− o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (0; 2; 5);
−− a reta de perfil p do plano θ contém o ponto O e tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;
−− o vértice A do pentágono é o traço frontal da reta p.
3.  Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cone oblíquo, de base
circular situada num plano horizontal, e situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do cone e o contorno da sua sombra projetada nos planos de
projeção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada
nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma
mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com
linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados
−− a base do cone tem 4 cm de raio e pertence a um plano horizontal com 1 de cota;
−− a geratriz [AV] situada mais à esquerda é vertical, com 4 de abcissa e 6 de afastamento;
−− a geratriz [AV] mede 8 cm;
−− a direção luminosa é a convencional.
Prova 708/1.ª F. • Página 2/ 4
4.  Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
−− dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 125° com as projeções dos eixos x e y.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para
cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prisma hexagonal:
−− as bases do prisma pertencem a planos horizontais;
−− o ponto A (5; 0; 3) e o ponto B (10; 0; 3) são os vértices da aresta de menor afastamento de uma das
bases do prisma;
−− a outra base está situada no plano coordenado xy.
Prisma triangular:
−− as bases do prisma pertencem a planos frontais;
−− o segmento [AB] é a aresta de menor cota de uma das bases deste prisma;
−− a outra base pertence ao plano que contém a face lateral de maior afastamento do prisma hexagonal.
FIM
Prova 708/1.ª F. • Página 3/ 4
COTAÇÕES
1................................................................................................................................. 50 pontos
Tradução gráfica dos dados ...............................................................
8 pontos
Processo de resolução ....................................................................... 26 pontos
Apresentação gráfica da solução ....................................................... 10 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis ..................
3 pontos
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados ..................
3 pontos
2................................................................................................................................. 50 pontos
Tradução gráfica dos dados ...............................................................
5 pontos
Processo de resolução ....................................................................... 29 pontos
Apresentação gráfica da solução ....................................................... 10 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis ..................
3 pontos
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados ..................
3 pontos
3................................................................................................................................. 50 pontos
Tradução gráfica dos dados ...............................................................
7 pontos
Processo de resolução ....................................................................... 23 pontos
Apresentação gráfica da solução ....................................................... 14 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis ..................
3 pontos
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados ..................
3 pontos
4................................................................................................................................. 50 pontos
Tradução gráfica dos dados ...............................................................
5 pontos
Processo de resolução ....................................................................... 29 pontos
Apresentação gráfica da solução ....................................................... 10 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis ..................
3 pontos
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados ..................
3 pontos
TOTAL.......................................... 200 pontos
Prova 708/1.ª F. • Página 4/ 4
ANEXO D
Critérios de Classificação do Exame Nacional
de Geometria Descritiva A de 2013 - 1ª Fase
EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO
Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho
Prova Prática de Geometria Descritiva A
10.º e 11.º Anos de Escolaridade
Prova 708/1.ª Fase
Critérios de Classificação
2013
7 Páginas
COTAÇÕES
1................................................................................................................................. 50 pontos
Tradução gráfica dos dados ...............................................................
8 pontos
Processo de resolução ....................................................................... 26 pontos
Apresentação gráfica da solução ....................................................... 10 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis ..................
3 pontos
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados ..................
3 pontos
2................................................................................................................................. 50 pontos
Tradução gráfica dos dados ...............................................................
5 pontos
Processo de resolução ....................................................................... 29 pontos
Apresentação gráfica da solução ....................................................... 10 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis ..................
3 pontos
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados ..................
3 pontos
3................................................................................................................................. 50 pontos
Tradução gráfica dos dados ...............................................................
7 pontos
Processo de resolução ....................................................................... 23 pontos
Apresentação gráfica da solução ....................................................... 14 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis ..................
3 pontos
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados ..................
3 pontos
4................................................................................................................................. 50 pontos
Tradução gráfica dos dados ...............................................................
5 pontos
Processo de resolução ....................................................................... 29 pontos
Apresentação gráfica da solução ....................................................... 10 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis ..................
3 pontos
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados ..................
3 pontos
TOTAL.......................................... 200 pontos
Prova 708/1.ª F. • Página C/1/ 7
A classificação da prova deve respeitar integralmente
os critérios gerais e os critérios específicos a seguir apresentados.
critérios gerais de classificação
A classificação a atribuir a cada resposta resulta da aplicação dos critérios gerais e dos critérios específicos
de classificação apresentados para cada item e é expressa por um número inteiro.
As respostas que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. No entanto,
em caso de omissão ou de engano na identificação de uma resposta, esta pode ser classificada se for
possível identificar inequivocamente o item a que diz respeito.
Pontuações referentes à tradução gráfica dos dados (parâmetro A):
As pontuações indicadas para a tradução gráfica dos dados dos problemas não podem ser subdivididas:
qualquer representação total ou parcialmente incorreta de um dado é classificada com zero pontos.
Pontuações referentes ao processo de resolução (parâmetro B):
a) Considerando a diversidade de métodos suscetíveis de serem utilizados na resolução gráfica dos
problemas propostos, as sequências de passos indicadas nos critérios específicos de classificação de
alguns dos itens constituem apenas exemplos.
As sequências de passos indicadas nos exemplos podem não corresponder às dos processos adotados
pelo examinando. Assim, desde que os problemas tenham sido corretamente resolvidos, a pontuação
prevista para este parâmetro deve ser atribuída na totalidade. Em caso de erro(s), a pontuação deve
ser subdividida de forma adequada ao processo de resolução apresentado e atribuída de acordo com o
Quadro 1.
b) Nenhuma resposta deve ser classificada com zero pontos pelo facto de apresentar erros em alguns traçados
intermédios ou dados incorretamente traduzidos, desde que não se verifique uma descaracterização do
problema a resolver, ou uma diminuição do seu grau de complexidade. Todos os passos metodologicamente
corretos do processo de resolução, ainda que isoladamente considerados, devem ser pontuados de acordo
com os critérios específicos de classificação, mesmo que existam erros em traçados ou em construções
precedentes.
c) As pontuações apresentadas para cada passo de qualquer processo de resolução devem ser arredondadas,
por excesso, a um número inteiro.
Pontuações referentes à apresentação gráfica da solução (parâmetro C):
As pontuações indicadas para a apresentação gráfica da solução dos problemas só podem ser atribuídas por
inteiro se as soluções apresentadas estiverem corretas.
Soluções incompletas ou parcialmente corretas, contudo, podem ser pontuadas de acordo com o Quadro 1,
com pontuação sempre arredondada, por excesso, a um número inteiro.
Prova 708/1.ª F. • Página C/2/ 7
O Quadro 1 indica a pontuação a atribuir nos parâmetros A, B e C.
Quadro 1
Parâmetros
A
Tradução gráfica dos dados
Pontuação a atribuir
100% nos dados traduzidos corretamente.
0% nos dados traduzidos incorretamente.
100% nos passos resolvidos corretamente.
B
Processo de resolução
50% nos passos resolvidos incorretamente, mas que não
comprometem o processo de resolução.
0% nos passos resolvidos incorretamente que comprometem o
processo de resolução ou que descaracterizam o problema.
100% na solução correta.
50% na solução incompleta.
C
Apresentação gráfica da solução
50% na solução parcialmente correta que resulta da incorreta
tradução gráfica dos dados.
50% na solução parcialmente correta que resulta de erros que não
comprometem o processo de resolução.
0% na solução incorreta que resulta de erros que comprometem o
processo de resolução ou que descaracterizam o problema.
Nos parâmetros D (observância das convenções gráficas usuais aplicáveis) e E (rigor de execução e qualidade
expressiva dos traçados), as classificações a atribuir são estabelecidas por níveis de desempenho, de acordo
com os quadros seguintes.
Quadro 2 – Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis
Soma dos pontos atribuídos
nos parâmetros A, B e C
Níveis de desempenho
relativos ao parâmetro D
11 a 33 pontos
34 a 44 pontos
Pontos a adicionar
2
Notações legíveis, corretamente posicionadas e de acordo com as
convenções usuais, e execução correta de tracejados ou de manchas
de preenchimento de secções e de áreas de sombra.
2
3
1
Notações incompletas, pouco legíveis ou mal posicionadas, mas de
acordo com as convenções usuais, e execução com irregularidade de
tracejados ou de manchas de preenchimento de secções e de áreas de
sombra.
1
2
Nota:
Não são pontuáveis as notações inexistentes, ilegíveis ou em desacordo com as convenções usuais, nem a execução
muito deficiente de tracejados ou de manchas de preenchimento de secções e de áreas de sombra.
Prova 708/1.ª F. • Página C/3/ 7
Quadro 3 – Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados
Soma dos pontos atribuídos
nos parâmetros A, B e C
11 a 33 pontos
Níveis de desempenho
relativos ao parâmetro E
34 a 44 pontos
Pontos a adicionar
2
Construções rigorosas, com traçados regulares e com diferenciação
adequada de espessura e de intensidade de traço.
2
3
1
Construções com falhas de rigor que não comprometem o processo
de resolução gráfica do problema, com traçados irregulares e com
diferenciação irregular de espessura e de intensidade de traço.
1
2
Nota:
Não são pontuáveis as construções cuja falta de rigor comprometa o processo de resolução gráfica do problema, com
execução de traçados muito deficiente e com diferenciação inadequada de espessura e intensidade de traço.
critérios específicos de classificação
1. .................................................................................................................................................... 50 pontos
Tradução gráfica dos dados .................................................................................... 8 pontos
Projeção horizontal da reta t ......................................................................
1 ponto
Projeção frontal da reta t ...........................................................................
1 ponto
Projeções do ponto M ...............................................................................
1 ponto
Projeção frontal da reta a ..........................................................................
1 ponto
Projeção horizontal da reta a .....................................................................
1 ponto
Projeções do ponto N ................................................................................
1 ponto
Projeção horizontal da reta b .....................................................................
1 ponto
Projeção frontal da reta b ..........................................................................
1 ponto
Processo de resolução ........................................................................................... 26 pontos
Exemplo
Determinação do traço horizontal da reta b ..............................................
3 pontos
Determinação do traço frontal da reta b ....................................................
3 pontos
Determinação do traço horizontal do plano δ ............................................
3 pontos
Determinação do traço frontal do plano δ .................................................
3 pontos
Representação de um plano projetante que
contenha a reta t ................................................................................
6 pontos
Determinação da projeção frontal da reta de intersecção
do plano anterior com o plano δ ........................................................
4 pontos
Determinação da projeção horizontal da reta de intersecção
do plano anterior com o plano δ ........................................................
4 pontos
Apresentação gráfica da solução ............................................................................ 10 pontos
Projeção horizontal do ponto I ...................................................................
7 pontos
Projeção frontal do ponto I .........................................................................
3 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis* ...................................... 3 pontos
*Quadro 2 da página C/3.
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados* ..................................... 3 pontos
*Quadro 3 da página C/4.
Prova 708/1.ª F. • Página C/4/ 7
2. .................................................................................................................................................... 50 pontos
Tradução gráfica dos dados .................................................................................... 5 pontos
Projeções do ponto O ................................................................................
1 ponto
Projeções da reta de perfil p do plano θ que contém
o ponto O ...........................................................................................
2 pontos
Projeções do traço horizontal da reta p ..................................................... 2 pontos
Processo de resolução ........................................................................................... 29 pontos
Exemplo
Rebatimento do plano de perfil que contém o ponto O .............................
3 pontos
Representação da reta de perfil p rebatida ...............................................
2 pontos
Projeções do vértice A ...............................................................................
4 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar a
verdadeira grandeza do pentágono [ABCDE] ................................... 5 pontos
Representação em verdadeira grandeza do
pentágono [ABCDE] ..........................................................................
3 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar
as projeções do vértice B ..................................................................
3 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar
as projeções do vértice C ..................................................................
3 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar
as projeções do vértice D ..................................................................
3 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar
as projeções do vértice E ..................................................................
3 pontos
Apresentação gráfica da solução ............................................................................ 10 pontos
Projeção horizontal do pentágono ............................................................. 5 pontos
Projeção frontal do pentágono ................................................................... 5 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis* ...................................... 3 pontos
*Quadro 2 da página C/3.
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados* ..................................... 3 pontos
*Quadro 3 da página C/4.
Prova 708/1.ª F. • Página C/5/ 7
3. .................................................................................................................................................... 50 pontos
Tradução gráfica dos dados .................................................................................... 7 pontos
Representação do traço frontal do plano da base
do sólido ............................................................................................
1 ponto
Projeção horizontal da geratriz [AV] .......................................................... 2 pontos
Projeção frontal da geratriz [AV] ................................................................
1 ponto
Medida da geratriz [AV] .............................................................................
1 ponto
Raio da circunferência da base do sólido ..................................................
1 ponto
Representação da direção luminosa convencional ...................................
1 ponto
Processo de resolução ........................................................................................... 23 pontos
Exemplo
Projeção horizontal do cone ......................................................................
2 pontos
Projeção frontal do cone ............................................................................
2 pontos
Representação do processo de determinação rigorosa
dos planos tangentes luz/sombra ......................................................
3 pontos
Determinação das projeções de uma das geratrizes de tangência ........... 2 pontos
Determinação das projeções da outra geratriz de tangência .................... 2 pontos
Determinação da sombra do vértice V do sólido .......................................
2 pontos
Determinação da sombra do extremo de uma das geratrizes
de tangência ......................................................................................
2 pontos
Determinação da sombra do extremo da outra geratriz
de tangência ......................................................................................
2 pontos
Determinação da sombra do centro da base do sólido .............................
2 pontos
Determinação rigorosa do ponto de quebra da sombra
de uma das geratrizes de tangência ..................................................
2 pontos
Determinação rigorosa do ponto de quebra da sombra
da outra geratriz de tangência ...........................................................
2 pontos
Apresentação gráfica da solução ............................................................................ 14 pontos
Identificação da parte do contorno visível da sombra projetada
de uma das geratrizes de tangência ..................................................
1 ponto
Identificação da parte do contorno invisível da sombra projetada
da mesma geratriz de tangência .......................................................
1 ponto
Identificação do contorno visível da sombra projetada
da outra geratriz de tangência ...........................................................
2 pontos
Identificação do contorno visível da sombra projetada no Plano
Horizontal de Projeção da base do sólido ......................................... 1 ponto
Identificação do contorno invisível da sombra projetada no Plano
Horizontal de Projeção da base do sólido ......................................... 1 ponto
Identificação da área visível da sombra projetada no
Plano Horizontal de Projeção ............................................................
2 pontos
Identificação da área visível da sombra projetada
no Plano Frontal de Projeção ............................................................
2 pontos
Identificação da área visível da sombra própria na
projeção horizontal do sólido .............................................................
4 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis* ...................................... 3 pontos
*Quadro 2 da página C/3.
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados* ..................................... 3 pontos
*Quadro 3 da página C/4.
Prova 708/1.ª F. • Página C/6/ 7
4. .................................................................................................................................................... 50 pontos
Tradução gráfica dos dados .................................................................................... 5 pontos
Representação do eixo axonométrico x ....................................................
2 pontos
Representação do eixo axonométrico y ....................................................
2 pontos
Representação do eixo axonométrico z ....................................................
1 ponto
Processo de resolução ........................................................................................... 29 pontos
Exemplo
Rebatimento de um par ou de dois pares de eixos
coordenados ......................................................................................
3 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar
a projeção axonométrica do ponto A .................................................
2 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar
a projeção axonométrica do ponto B .................................................
2 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar as projeções
axonométricas dos restantes vértices da base que
contém os pontos A e B do prisma hexagonal .................................. 2 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar a projeção
axonométrica da outra base do prisma hexagonal ............................ 2 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar a projeção
axonométrica do outro vértice da base do prisma
triangular que contém os pontos A e B .............................................
4 pontos
Construção auxiliar necessária para determinar a projeção
axonométrica da outra base do prisma triangular ............................. 4 pontos
Representação axonométrica dos vértices do prisma hexagonal ............. 5 pontos
Representação axonométrica dos vértices do prisma triangular ............... 5 pontos
Apresentação gráfica da solução ............................................................................ 10 pontos
Representação axonométrica das arestas visíveis do sólido resultante ... 10 pontos
Observância das convenções gráficas usuais aplicáveis* ...................................... 3 pontos
*Quadro 2 da página C/3.
Rigor de execução e qualidade expressiva dos traçados* ..................................... 3 pontos
*Quadro 3 da página C/4.
TOTAL.............................................................. 200 pontos
Prova 708/1.ª F. • Página C/7/ 7