Unidade 12 - Capacitores
Capacidade Eletrostática
Condutor Esférico
Energia Armazenada em um capacitor
Capacitor Plano
Associação de Capacitores
Circuitos com capacitores
Introdução
Os primeiros dispositivos de controle existentes nos aparelhos
elétricos eram praticamente mecânicos.
Relês que se abriam ou fechavam de acordo com a
temperatura atingida, interruptores, válvulas com grades
metálicas e emissores térmicos que necessitavam de
aquecimento, além das chaves de acionamento magnético.
Usando resistores, podemos controlar a intensidade de
corrente elétrica, mas a inconveniência desse controle é a
perda de energia.
Na verdade, com os resistores, controlarmos a fração
dissipada a fim de obter a potência útil conveniente.
Introdução
Talvez os chamados reostatos tenham sido os
primeiros controles elétricos.
Os avanços da Ciência e da tecnologia nos
possibilitaram:
Armazenar energia com capacitores;
Permitir ou impedir a circulação de corrente elétrica
com diodos;
Controlar eletronicamente a intensidade de das
correntes com perdas muito pequenas, pelo uso de
transistores.
Introdução
Ocorreu também a miniaturização desses
componentes, permitindo engenhosas
combinações em elementos muito pequenos
– os circuitos integrados – e as maravilhas
da eletrônica que hoje desfrutamos.
Capacidade Eletrostática
Ao ser eletrizado, um condutor adquire carga
elétrica.
Dependendo de seu formato geométrico, de
suas dimensões e do meio em que está
inserido, um condutor apresenta maior ou
menor capacidade de armazenamento de
carga elétrica.
Capacidade Eletrostática
Capacidade eletrostática de um condutor
elétrico é uma constante associada À sua
capacidade de armazenar energia potencial
elétrica.
Sendo C a capacidade eletrostática de um
capacitor, Q a carga elétrica que se
armazena e V seu potencial elétrico, temos
que:
Q
C=
U
Capacidade Eletrostática
Assim, para um condutor elétrico, a carga que ele é
capaz de armazenar e seu potencial elétrico são
grandezas diretamente proporcionais.
Essa relação matemática mostra que a capacidade
de um condutor é uma constante que o caracteriza.
As grandezas envolvidas na equação anterior
possuem as seguintes unidades no SI:
Carga elétrica: C (coulomb)
Potencial elétrico: V (volt)
Capacidade eletrostática: F (farad)
Condutor esférico
Esta figura representa um
condutor esférico de raio R,
eletrizado com uma
quantidade de carga Q:
R
C=
K
R
Como sabemos, o potencial
elétrico desse condutor é
dado pela expressão
K.Q
V=
R
Substituindo-se essa equação
naquela que calcula a
capacidade de um condutor,
temos:
Q
C=
→
K.Q
R
O que podemos concluir é que,
no caso de condutores
esféricos, a capacidade
eletrostática depende apenas
de seu raio e do meio em que
está imerso.
Energia armazenada em um condutor
Vimos que um condutor
isolado possui certa
capacidade de
armazenamento de carga.
Falaremos agora dos
capacitores :
Conjunto de dois condutores
próximos um do outro;
Isolados eletricamente;
Eletrizados com carga de
mesmo módulo e sinais
contrários.
Esse tipo de dispositivo
possui maior capacidade de
armazenamento de carga do
que um condutor isolado
devido à atração existente
entre as cargas próximas e
de sinais opostos.
Visto que são
descarregados lentamente,
pilhas e baterias podem
alimentar um circuito por
muito tempo.
Energia armazenada em um condutor
Os capacitores, por não
realizarem transformações
energéticas, apresentam um
processo de carga e
descarga muito rápido.
Dependendo da
necessidade em dada
situação, optamos por um
ou outro tipo de dispositivo.
Esta figura mostra a
representação de um
capacitor:
Se conectarmos um
capacitor em uma fonte de
tensão, ele se carrega como
mostra esta ilustração:
Energia armazenada em um condutor
Por definição, a capacidade eletrostática de
um capacitor é dada pela razão entre o
módulo da carga elétrica (Q) armazenada
em uma das placas do capacitor e a tensão
(U) aplicada nos seus extremos (terminais).
Q
C= →
U
Q = C.U
Energia armazenada em um condutor
Durante o processo de carga e descarga do capacitor, passa
pelo circuito uma corrente elétrica quase instantânea.
Após esses processos, não ocorre mais passagem de corrente.
Sabemos da Eletrostática que o τ = q.U, ou seja, o produto da
tensão pela carga elétrica fornece trabalho realizado pela força
elétrica sobre essa carga.
Como o trabalho de uma força conservativa coincide com a
respectiva energia potencial, podemos dizer que a energia
potencial elétrica armazenada por um capacitor pode ser obtido
pela área sob o gráfico:
Energia armazenada em um condutor
Como a capacidade
eletrostática de um capacitor
é constante, á medida que
se aumenta a diferença de
potencial U aplica em suas
placas, aumenta-se
proporcionalmente também
a carga elétrica Q nelas
armazenada.
Visto que Q e U são
diretamente proporcionais, o
gráfico que relaciona essas
grandezas é uma semirreta
que passa origem:
Podemos obter a energia
potencial (Ep) armazenada
em um capacitor:
N
E p = Área
Q.U
2
Como Q = C . U →
C.U .U
Ep =
2
Ep =
C.U 2
Ep =
2
Capacitor Plano
O capacitor plano é um bipolo
constituído por duas placas planas,
paralelas e de mesma área.
Entre elas, deve existir um meio
isolante (ar, vácuo, borracha, etc.).
A constante ε que aparece nessa
equação é denominada constante
de permissividade elétrica do
material isolante colocado entre as
placas do capacitor.
No vácuo (εo) e no ar, essa
constante é praticamente a mesma
e tem o seguinte valor:
ε ar ≅ ε o = 8,85.10 −12 F / m
Sendo A a área de cada placa e d a
distância de separação entre elas,
podemos escrever:
C=
ε .A
d
Para outros meio, a constante
apresenta valores maiores do que
no vácuo.
Associação de Capacitores
Da mesma maneira que associamos resistores e
geradores em série ou em paralelo, também
podemos fazê-lo com capacitores.
Nem sempre é possível encontrar para compra um
capacitor que tenha exatamente a capacidade
eletrostática necessária para determinado fim.
Para sanar esse tipo de problema, costumamos
fazer associações de capacitores, pois com elas
podemos obter o que denominamos capacidade
equivalente.
Associação em série
a)
b)
c)
Em uma associação de capacitores em série,
temos as seguintes características:
Todos os capacitores devem estar ligados em um
único ramo do circuito e sem ramificação entre
eles.
A diferença de potencial elétrico dessa associação
se divide entre os capacitores que a constituem.
Devido à indução eletrostática, as cargas nas
placas são todas iguais em módulo.
Associação em série
Assim sendo, vamos supor três capacitores
com capacidades eletrostática C1, C2 e C3,
associados em série e submetidos a uma
tensão U:
Associação em série
Desejamos agora determinar o capacitor equivalente
dessa associação.
Encontrar um capacitor capaz de armazenar a
mesma carga elétrica armazenada pela associação,
quando submetido à mesma tensão a que ela está.
Associação em série
Conforme o item b, mencionado
anteriormente,
U = U1 + U 2 + U 3
Q
Como Q = C . U , então U =
C
Assim, podemos escrever U =
Q Q Q Q
=
+
+
CS C1 C 2 C 3
Simplificando essa expressão, obtemos :
1
1
1
1
=
+
+
CS C1 C 2 C3
Para dois capacitores :
C1 . C 2
CS =
C1 + C 2
Para n capacitores iguais :
CS =
C
n
Associação em paralelo
Em uma associação de
capacitores em paralelo, temos
as seguintes características:
a)
Os capacitores devem estar
ligados de maneira que haja
um único capacitor em cada
ramo, estando os terminais
de todos os capacitores
ligados aos mesmos dois
nós.
Todos os capacitores estão
submetidos à mesma
diferença de potencial.
Cada capacitor armazena as
própria carga elétrica, e a
carga total da associação é
dada pela soma das cargas
armazenadas em cada
capacitor.
b)
c)
Associação em paralelo
Assim sendo, vamos supor três capacitores com
capacidades eletrostáticas C1, C2 e C3, associados
em paralelo e submetidos a uma tensão U:
Desejamos, agora determinar o capacitor
equivalente (Ce) dessa associação.
Associação em paralelo
Conforme o item b, mencionado
anteriormente,
Q = Q1 + Q 2 + Q3
Como Q = C . U
C P . U = C1 . U + C 2 . U + C3 . U
Simplificando essa expressão, obtemos :
C P = C1 + C 2 + C3 . ...
Para n capacitores iguais :
CS = n.C
Circuitos com capacitores
Vamos analisar um circuito elétrico
constituído de um gerador, um
capacitor e alguns resistores:
Inicialmente, uma rápida
corrente elétrica passa pelo
circuito, até que o capacitor
esteja carregado.
Depois disso, pelo ramo em
que está o capacitor não circula
mais corrente elétrica e,
consequentemente, R2 deixa
de funcionar.
Assim, a partir desse instante,
toda corrente elétrica fornecida
pelo gerador passa somente
em R1.
Nesse caso, a diferença de
potencial no capacitor passa a
coincidir com a do gerador.
Exercícios Resolvidos
1.
Carrega-se um capacitor de capacidade eletrostática 5 µF com
carga elétrica de 20 µC.
Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor.
Resolução
Calculando a ddp U nos terminais do capacitor:
Q
Q
20µC 20.10-6C
C= ⇒U= ⇒U=
=
= 4V
-6
U
C
5µF
5.10 F
Welétrica
Q.U (20.10-6 C).(4V)
=
=
= 4.10-5 J
2
2
Exercícios Resolvidos
2. Um capacitor armazena 8.10–6 J de energia quando submetido à ddp U.
Dobrando-se a ddp nos seus terminais, a energia armazenada passa a ser:
Resolução
W'elétrica
Welétrica
CU'2
2
2
U'
2U




-6
= 2 2 =  =
⇒
W'
=
4W
=
32.10
J
elétrica
elétrica

CU
U  U 
2
Exercícios Resolvidos
Um capacitor plano é conectado a uma pilha de força
eletromotriz constante, como mostra a figura, adquirindo carga
elétrica Q. Mantendo-o conectado à pilha, afastam-se as placas
até que a distância entre as mesmas seja o triplo da inicial. Ao
término do processo, sua carga elétrica será:
Re solução :
ε.A
ε.A
C0 =
eC=
onde d = 3d 0 ⇒ C 0 = 3C
d0
d
A ddp nos terminais do capacitor não mudou.
Q
Q
Q
Q
Q
U0 = U ⇒ 0 = ⇒ 0 = ⇒ Q = 0
C0 C
3C C
3
Exercícios Resolvidos
Na questão anterior, desliga-se o capacitor da pilha antes de
afastar as placas e em seguida dobra-se a distância entre as
mesmas. A nova ddp nos seus terminais passa a ser:
Resolução
Como o campo elétrico entre as placas do capacitor é:
σ
Q
E = = constante, pois não houve variação na densidade superficial de cargas elétricas(σ = )
ε
A
das placas, já que a carga elétrica Q e a área A permaneceram constantes, temos:
U' U
U' U
= = E = C te. ⇒
= ⇒ U' = 2U
d' d
2d d
Exercícios Resolvidos
Dois capacitores de capacidades eletrostáticas C1 = 2µF e C2 = 6µF estão
associados em série e ligados a uma fonte que fornece uma ddp constante de 20
V. Determinar:
a) a capacidade eletrostática do capacitor equivalente;
b) a carga elétrica de cada capacitor;
c) a ddp nas armaduras de cada capacitor.
a) Calculo da capacidade equivalente:
CS =
C1.C2
2.6
=
= 1,5µF
C1 + C2 2 + 6
c) Como U =
U2 =
Q 30µC
=
→ U1 = 5V
C2
6µF
b) A carga do capacitor equivalente é igual à carga
de cada capacitor: Q1 = Q 2 = Q
Q = CS .U → Q = 1,5µF.20V ⇒ Q = 30µC
Q
Q 30µC
, temos:U1 =
=
→ U1 = 15V e
C
C1
2µF
Exercícios Resolvidos
02. Dois capacitores de capacidades eletrostáticas C1 = 2µF e C2 = 6µF estão
associados em paralelo e ligados a uma fonte que fornece uma ddp
constante de 30 V. Determinar:
a) a capacidade eletrostática da associação;
b) a carga elétrica de cada capacitor;
c) a energia elétrica armazenada na associação.
R e s o lu ç ã o
b) Sendo Q = C·U e como U é a mesma para todos, temos:
a ) C a lc u la n d o a c a p a c id a d e e q u iv a le n te :
Q1 = C1.U = 2µF.30V → Q1 = 60µC
C
p
= C1+C
2
= 2µF + 6µF = 8µF
c ) S e n d o a e n e r g ia e lé tr ic a d a d a p o r : W =
Q 1 .U
6 0 µ C .3 0 V
=
→ W1 = 900µJ
2
2
Q 2 .U
1 8 0 µ C .3 0 V
=
=
→ W1 = 2700µJ
2
2
W1 =
W
2
Q2 = C 2 .U = 6µF.30V → Q 2 = 180µC
Q .U
2
Exercícios Resolvidos
03. Dado o circuito, o valor da força eletromotriz E do gerador, estando o capacitor carregado
com uma carga elétrica de 10µC, vale:
Resolução
Sendo um circuito RC-série, a ddp nos terminais do capacitor é igual à força eletromotriz do gerador, assim:
E=U=
Q 10µC
=
→ E = 50V
C 0,2µF
Exercícios Resolvidos
04. A carga e a energia elétrica armazenada no capacitor do circuito abaixo valem,
respectivamente:
Resolução
Trata-se de um circuito RC-paralelo e, para calcular a ddp U nos terminais do resistor,
devemos primeiro calcular a corrente no circuito.
Sendo i =
ε
r+Req
⇒i =
120V
4Ω+ 20Ω
→ i = 5A
A ddp U nos terminais do capacitor e nos terminais do resistor são iguais:
U=R.i ⇒ U=20V.5A → U=100V
A carga elétrica no capacitor,é:
Q=C.U ⇒ Q = 0,2µF.100V → Q = 20µC
A energia armazenada pelo capacitor é dada por:
Q.U
20µC.100V
WELÉTRICA =
⇒ WELÉTRICA =
→ WELÉTRICA = 1000µJ
2
2