PRÁTICA 13: CENTRO DE MASSA
Centro de massa (ou centro de gravidade) de um objeto pode ser definido como o ponto
em que ele pode ser equilibrado horizontalmente. Seu significado físico tem muita utilidade
prática, pois podemos aproximar um sistema de várias partículas de massas diferentes como
sendo apenas uma partícula com massa total localizada no seu centro de massa.
O caso mais simples para se estudar o centro de massa é um sistema formado por duas
partículas de massas 1 e 2 presas a um bastão de massa desprezível em lados opostos.
Imaginemos que consigamos apoiá-lo perfeitamente como mostrado na Figura 1.
Figura 1. Duas partículas de diferentes massas perfeitamente apoiadas pelo bastão
Para o caso da Figura 1, o bastão fica apoiado perfeitamente se:
= (1)
Este fato experimental, primeiramente observado por Arquimedes, é designado de lei da
Alavanca.
Considere agora que o bastão esteja sobre a coordenada das abscissas (eixo ),
deslocada com relação à origem. Desta forma, a partícula de massa está localizada na posição
, enquanto a na . O centro de massa está em ̅ (Figura 2).
Figura 2. Bostão com as duas massas sobre o eixo .. Detalhes no texto.
Analisando a Figura 2, obtemos que = − e = − . Substituindo na relação (1)
encontramos:
=
(2)
Os produtos e são chamados de momentos das massas e em relação
à origem. Analisando a relação (2), podemos concluir que o centro de massa é obtido pela soma
dos momentos das massas e divisão pela massa total.
Generalizando para um sistema de partículas com massas , ..., localizadas nos
pontos , , ..., , sobre o eixo , o centro de massa está localizado em:
=
∑
∑
=
∑
(3)
Na equação (3), = ∑ é a massa total do sistema. A soma individual dos momentos,
dada pela relação = ∑ , é chamada de momento do sistema em relação à origem.
Fazendo estas considerações, podemos reescrever a equação (3) na forma = , que diz
que se a massa total fosse considerada como concentrada no centro de massa, então sei
momento deveria ser o mesmo que o momento do sistema.
Considere agora um sistema contendo partículas com massas , ..., localizados
nos pontos cartesianos ( , ), ( , ), ..., ( , ), como mostrado na Figura 3. Definimos o
momento do sistema com relação ao eixo como:
= ∑ (4)
e o momento do sistema com relação ao eixo como:
= ∑ (5)
Fisicamente, e medem a tendência do sistema girar ao redor do eixo e eixo ,
respectivamente.
Figura 3. Sistema formado por três partículas, sendo que cada uma está situada em um ponto diferente no
sistema cartesiano.
Como no caso unidimensional, as coordenadas (̅ , ) do centro de massa são dadas em
termos dos momentos pelas fórmulas:
=
!
(6)
=
"
(7)
sendo a massa total do sistema. Como = e = , o centro de massa
( , ) é o ponto onde uma partícula única de massa teria os mesmos momentos do
sistema.
No caso de uma placa plana (lâmina) com densidade superficial uniforme #, o centróide
(centro geométrico) coincide com o centro de massa. Uma forma de verificar isso é considerando
o princípio da simetria,
simetria que diz que se uma placa plana for simétrica ao redor de uma rela $, então
o centroide da placa estará em $. Utilizando esse princípio, concluímos que o centróide de um
retângulo, ou seu centro de massa, é o seu ponto central (para chegar à essa conclusão, basta
você projetar duas retas perpendiculares no centro de simetria do retângulo. A intersecção entre
elas é o centroide).
Podemos utilizar essa informação para desenvolver uma relação geral objetivando
determinar o centro de massa de qualquer placa plana, quando possível definir uma função %&'
para o seu formato. Para calcular o centro de massa da placa plana, dividimos um intervalo da
função [a,b] (que corresponde às dimensões no eixo da placa) em subintervalos, com larguras
iguais a ∆. Escolhemos um subintervalo ) e identificamos o centróide * (, , %&, '⁄2) e,
após, calculamos a massa (# = ⁄, → = #, = #∆%&, ) e os momentos desse
subintervalo para cada eixo, sendo , a área da placa. A soma do momento de cada subintervalo
dividido pela massa total, como já deduzimos nas expressões (6) e (7), é a posição do centro de
massa da placa em relação aos eixos.
Por meio desse raciocínio, chegamos à coordenada do centro de massa ( , ):
0
0
= /1 %&'
.
= . /1 2%&'3 (8)
(9)
Se a placa pode ser definida por uma região entre as curvas = %&' e = 4&', sendo
%&' ≥ 4&', então as coordenadas do centro de massa serão dadas por:
0
0
= . /1 2%&' − 4&'3
= /1 62%&'3 − 24&'3 7
.
(10)
(11)
Nesta prática, estaremos encontrando o centro de massa de uma placa circular de papel
cartão e de uma placa de acrílico por meio de seu centro de gravidade, e comparar com os
valores teóricos, que devem ser calculados utilizando as relações (8) e (9).
MATERIAIS NECESSÁRIOS
Suporte com tripé universal / garra universal / massa / linha / placa de acrílico / caneta hidrocolor
/ papel sulfite / papel vegetal / folha milimetrada / régua / paquímetro / micrômetro / compasso
/ balança / papel milimetrado.
PROCEDIMENTO
a) Faça um desenho esquemático da placa de acrílico no Esquema 1, anotando as
dimensões encontradas.
Esquema 1
b) Meça a massa da placa de acrílico.
c) Por meio dos dados do Esquema 1, determine a área (,) da placa.
d) Meça, em cinco diferentes pontos da placa, a sua espessura utilizando o micrômetro.
Anote os valores na Tabela 1 (Nota
Nota:
Nota Não se esqueça de anotar o desvio do instrumento)
Tabela 1. Dados de massa, área e espessura da placa de acrílico
Massa (kg):
(kg):
Leitura
Espessura (mm)
Área (m2):
Medidas da espessura da placa
1
2
3
4
5
Resultados da Espessura
Média
Desvio padrão
Desvio padrão da média
Desvio total
e) A placa possui uma espessura homogênea? (Dica.
Dica. Para podermos calcular teoricamente o
centro de massa de uma placa, ele deve ter espessura e densidades homogêneas).
f) Faça a montagem experimental conforme Figura 4a para determinação experimental do
centro de massa. Os detalhes da montagem são comentados a seguir.
g) Amarre a massa à haste do suporte universal. Ela terá a função de servir como fio de
prumo (instrumento utilizado para a determinação da direção vertical).
Figura 4. (a) Montagem geral do experimento. (b) Replicando as retas no papel vegetal. Posicione o
papel vegetal com o contorno da placa exatamente sobre a placa e replique as retas. (c) Exemplo de
medida (8
( 9 ) entre os pontos de interseção das retas. (d) Área ampliada do item (c). Por meio da
média dos valores de 89 , é possível o círculo com raio : que contenha a maior número possível de
intersecções.
intersecções. O centro deste círculo é o centro de massa da placa obtido
obtido experimentalmente.
experimentalmente.
h) Passe uma linha por um dos furos das extremidades da placa de acrílico. A seguir
pendure-a no suporte universal, onde está o fio de prumo.
i) Com o auxílio de uma régua e de uma caneta tipo hidrocor risque na placa de acrílico
uma reta sobre a linha vertical definida pelo fio de prumo. Repita os procedimentos g e h
para os outros diferentes furos. (Atenção:
Atenção: cuidado para não apagar ou borrar as retas
desenhadas com a caneta hidrocor, pois elas serão usadas como modelo para réplica na
folha de papel). Nota: As intersecções entre as várias retas verticais demarcam a região
onde deve estar localizado o centro de gravidade da placa de acrílico.
j) Desenhe o contorno da placa, em mesma escala, no papel vegetal.
k) Marque as retas obtidas na placa na folha de papel vegetal. Para isso, posicione o papel
vegetal com o contorno do formato da placa (item j) sobre a placa e trace no papel, com
um lápis, as retas obtidas (Figura 4b).
l) Com o paquímetro, anote na Tabela 2 os valores das distâncias d= entre, pelo menos, três
diferentes pontos de intersecção das retas verticais na folha de papel vegetal. Estas
distâncias fornecem o diâmetro experimental da região da placa que contém o centro de
gravidade. Veja as Figuras 4c e 4d.
Tabela 2. Valores das distâncias 89
Leitura
1
2
3
4
5
Diâmetro 89
m) Calcule o valor médio e o desvio padrão do diâmetro da região das intersecções (região
do centro de gravidade). Determine o raio da região (r = d⁄2), escrevendo-o a seguir:
= &̅ ± ∆' = (………..±…………..) mm
@ = &@̅ ± ∆@' = (………..±…………..) mm
n) Com o auxílio de um compasso, trace uma circunferência de raio @ na folha de papel,
com o centro (ponta seca do compasso) escolhido de modo que a circunferência
contenha a maioria dos pontos de intersecção das retas, conforme a Figura 4c.
o) Trace os eixos e na folha de papel, de modo que fiquem alinhados com os lados retos
da chapa de acrílico, conforme mostrado na figura 4b.
p) A posição experimental do centro de gravidade é dada pelo centro da circunferência em
relação ao referencial e ( , ). Escreva as coordenadas e o vetor posição do
centro de gravidade (obtidos experimentalmente):
Resultados obtidos pelos dados experimentais.
= ______________ e = ____________________
Em notação vetorial (vetor posição):
@B = CB + EB
@B = &__________CB + _______________EB'
Em valor modular: @ = F& ' + & ' = ______________________________
q) Calcule o centro de massa da placa de acrílico. Para isso, divida a figura da placa em duas
partes e encontre o centro de massa para cada parte utilizando as relações (8) e (9).
Como o centro de massa de cada parte contém a massa total da parte, podemos
encontrar o centro de massa da placa por meio das relações (6) e (7).
Resultados obtidos pelo cálculo teórico:
= ______________ e = ____________________
Em notação vetorial (vetor posição):
@B = CB + EB
@B = &__________CB + _______________EB'
Em valor modular: @ = F& ' + & ' = ______________________________
r) Compare com o encontrado experimentalmente por meio do cálculo do erro:
G@@H&%' = 100
KL$H@ MNM@)MOL$ − KL$H@ OMó@)QH
KL$H@ OM@ó@)QH
s) Discuta os resultados.
Perguntas
1. Calcule os momentos e os centros de massa do sistema de objetos que têm massas 3 kg, 4kg e
8 kg nos pontos (-1,1), (2,-1) e (3,2). Utilizando um papel milimetrado, esboce as coordenadas de
cada ponto e a do centro de massa.
2. Demonstre que o centro de massa de um bastão retangular de espessura R e comprimento Q é
a coordenada dada pela metade de cada dimensão.
3. Calcule o centro de massa de uma placa semicircular de raio @.
4. Encontre o centro de massa da região limitada pela reta = e a parábola = (Figura 5)
y
f(x)=x
2
f(x)=x
x
Figura 5. Exercício 4.
5. Três partículas de massas =1,2 kg, =2,5 kg e S =3,4 kg formam um triângulo equilátero
cujos lados medem L = 140 Q. Encontre o centro de massa e plote as coordenadas no plano
cartesiano utilizando papel milimetrado.
6. Prove que o centro de massa de uma chapa triangular de lados iguais (L) é o ponto localizado
na posição central.
Referências
Halliday, Renick, Walker. Fundamentos de Física, v. 1. Editora LTC, 2002, 6° edição
André Koch Torres Assis, Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca. Editora
Apeiron Montreal, 2008.
James Stewart. Cálculo, v.1. Editora Pioneira, 2005, 4° edição.