Introdução à Física do Estado
Sólido
Ivan S. Oliveira
CBPF-EXP
Aula 2
Bilbiografia: Introdução à Física do Estado Sólido, Ivan S. Oliveira e Vitor L.B. de
Jesus, Ed. Livraria da Física (São Paulo, 2005).
O Problema Estatístico
Média quântica
Válido para 1 objeto quântico
Dada uma coleção de N objetos quânticos, não se tem certeza do estado
de cada um deles. Isto significa que os coeficientes cn podem variar de um
objeto para outro. Devemos então fazer uma média sobre os valores esperados:
Define-se a matriz densidade r como uma matriz cujos elementos são:
Com isso:
Ou seja, se conhecermos a matriz densidade, podemos calcular os valores
termodinâmicos de observáveis utilizando a fórmula acima. Exemplos são:
a) Energia interna:
H  U  Tr { H r }  C 
U
T
b) Magnetização:
  2  B S  M  2  B Tr { r S }   
M
H
O problema consiste então em conhecermos a matriz densidade de um dado
sistema. Isto é feito a partir da definição de entropia:
e o Princípio da Maximização: a entropia é máxima em um sistema termodinâmico
em equilíbrio.
Para um sistema a uma temperatura constante, o Princípio da Maximização
da Entropia leva a:
Onde H é o hamiltoniano, e Z a função de partição:
Z  Tr {e
 H / k BT
}

n
onde En são as auto-energias do sistema.
e
 E n / k BT
Observações sobre r
Se em um sistema composto:
H
A B
 H
A
 H B  S A B  S A  S B ; r A B  r A  r B
Sistema separável!
Em um sistema emaranhado:
r A B  r A  r B
Em um sistema não-extensivo:
1 / 1 q
r  [1  (1  q )  H ]
Exemplo: magnetização de uma amostra.
Considerar S = 1/2
M
z
 2  B Tr { r S z }
H  μ  B  2  B B0 S z
r 
e
2  B B0 S z / k BT
Tr { e
M
z
 B
2  B B0 S z / k BT
e
e
 B B0 / k BT
  B B0 / k BT
e

}
e
e
2  B B0 S z / k BT
  B B0 / k BT
  B B0 / k BT
e
  B B0 / k BT
e
  B B0 / k BT
  B B0 

  B coth 

k
T
 B 
Segunda Quantização
Paradigma: oscilador harmônico
Obtém-se:
Ou:
Seja:
A E.S. se torna:
Usando:
E:
2)
Definições:
Seja y0 o estado fundamental:
Com isto:
Onde,

H   a a
Propriedades importantes:
1)
3) De modo análogo:
Logo,
Aplicação:
Generalização:
Corpo negro
Férmions
Operadores que satisfazem a regra [a,a+] =1 são chamados de operadores de
bósons. Bósons são partículas com spin inteiro. Exemplos de bósons são:
fótons, fônons, magnons, plasmons, etc.
Férmions são partículas com spin semi-inteiro. Operadores de criação-aniquilação para férmions são denotados por c e c, respectivamente, e satisfazem
uma regra de anti-comutação: {c,c+} = cc+ + c+c = 1. Exemplos de férmions são:
Prótons, elétrons, etc.
Férmions obedecem ao Princípio de Exclusão; bósons não. A expressão deste princípio em termos dos operadores de criação é:
(c

k ,s
) y 0
2
O que significa que dois férmions não podem estar no mesmo estado quântico.
Ou seja, o número de férmions em um estado quântico é zero ou 1.
Exemplo: número médio de férmions em um estado.
Onde ckck+ é o operador de número de férmions, que vale 0 ou 1.
Conseqüentemente,

k
c ck 
1r1

e
n k  0 ,1
 nk / k BT

1
1 e
 / k BT
Distribuição de
Fermi-Dirac