ESTATÍSTICA E
Prof Paulo Renato A. Firmino
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Aulas 05-06
Estatística Descritiva – Medidas de Posição
• Mediana:
ƒ É o valor que se localiza no centro de uma amostra ordenada
• Se o número de observações (n) for impar, a mediana será o valor que
se localiza na posição (n+1)/2 da amostra ordenada
• Se não, a de se ponderar os valores localizados nas posições n/2 e
n/2+1
ƒ É o valor cuja percentagem de valores menores ou iguais
equivale a 50%
Dados não
ordenados
x1
x2
x3
...
xj
...
xn
quantile(x, prob=0.5)
Ordenação
sort(x)
posição
1
2
3
...
(n+1)/2
...
n
Dados
ordenados
x32
xn
xj
...
x22
...
x4
Estatí
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Estatística Descritiva – Medidas de Posição
• Mediana:
ƒ Não deve ser usada sobre variáveis nominais, pois requer a
ordenação das categorias
• Ex. 1: Degradação = {0, 2, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 0} → Mediana
=1
• Ex. 3: tempo de atendimento = {5, 10, 2.3, 4, 4.1, 3, 7, 2,
4.5, 0.3} → Mediana = (4+4.1)/2 = 4.05
Estatí
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Estatística Descritiva – Medidas de Posição
•
Exercício 1: Obtenha a mediana nos seguintes casos
1.
Tempos de aposentadoria em dada comunidade (em anos): 5,
10, 2.3, 4, 4.1, 3, 7, 2, 4.5, 0.3
2.
Considera-se que o seguinte modelo se ajusta bem à
distribuição de renda (x) de dado local:
f (x) = e
3.
−
1
( x − 630 )2
2
Considere as variáveis de “BSI01”.
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Estatística Descritiva – Medidas de Posição
• Quantil:
ƒ Uma generalização da mediana é a função Quantil
ƒ A mediana é o quantil 50% da amostra ordenada (Q50%)
ƒ De maneira geral, tem-se Q100·p% (o quantil 100·p%) como sendo
o valor que se encontra na posição p·n da amostra ordenada
ƒ Toda a abordagem apresentada para a mediana pode ser aplicada
para o cálculo de um quantil qualquer
quantile(x, prob=p)
Estatí
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Estatística Descritiva – Medidas de Posição
• Média aritmética:
n
ƒ É a razão entre a soma dos valores observados e
o número de valores observados
x=
∑x
i=1
i
n
ƒ É a medida de posição que representa o
centro de gravidade da amostra
ƒ Sofre influência de todos os valores da amostra
• Isto não ocorre com a moda ou a mediana, por exemplo
ƒ Não deve ser apliaca a variáveis qualitativas
• Realiza operações matemáticas de soma e divisão
ƒ Ex. 1: tempo de vida: 5, 10, 2.3, 4, 4.1, 3, 7, 2, 4.5, 0.3 →
Média = (4+10+2.3+...+0.3)/10 = 4.22
Estatí
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mean(x)
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Estatística Descritiva – Medidas de Posição
•
Exercício 2: Obtenha a média nos seguintes casos
1.
Tempos de aposentadoria em dada comunidade (em anos): 5,
10, 2.3, 4, 4.1, 3, 7, 2, 4.5, 0.3
2.
Considera-se que o seguinte modelo se ajusta bem à
distribuição de renda (x) de dado local:
f (x) = e
3.
−
1
( x − 630 )2
2
Considere as variáveis de “BSI01”.
Estatí
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Estatística Descritiva – Medidas de Posição
• Aplicação por tipo de variável:
Medida
Moda
Mediana
Média
Tipo de variável
Qualitativa
Quantitativa
Nominal Ordinal
Pode
Pode
Pode
Não pode Pode
Pode
Não pode Não pode
Pode
Estatí
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Estatística Descritiva – Medidas de Dispersão
• Medidas de posição permitem inferir sobre o valor que a variável aleatória
assumirá
ƒ Qual será o resultado do lançamento da moeda?
ƒ Quantos milímetros de chuva teremos na próxima semana?
ƒ Quanto valerá a cesta básica em Outubro?
• Medidas de dispersão permitem medir quão confiáveis são estas
inferências
ƒ Elas medem a variabilidade que caracteriza uma variável como tal
ƒ A quantidade de milímetros de chuva varia “muito” de uma
precipitaçao para outra?
ƒ O valor da cesta básica tem variado “pouco” ao longo dos meses?
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Estatística Descritiva – Medidas de Dispersão
• Índice de variação qualitativa (IQV):
ƒ É a razão entre a quantidade de variação observada nos dados e a máxima
variação possível
ƒ É geralmente aplicada a variáveis qualitativas
ƒ Assume valores entre zero (não há dispersão nos dados) e 1 (observa-se
máxima dispersão nos dados)
k
k(n − ∑ n )
2
IQV =
i=1
n2 (k − 1)
• k – nº de classes
• n – tamanho da amostra
• ni – freqüência da classe i
2
i
#freq: the absolute frequency distribution
iqv<-function(freq){
k<-length(freq)
n<-sum(freq)
sum_n2 <- sum(freq*freq)
n2 <- n^2
k*(n2-sum_n2)/(n2*(k-1))
}
ƒ Veja que as categorias observadas não são envolvidas nas contas
• Mas sim as suas frequências
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Estatística Descritiva – Medidas de Dispersão
•
Exercício 3: Para os seguintes casos, calcule o IQV. Tente interpretar seus
resultados.
1. Tempos de falha (em anos): 5, 10, 2.3, 4.5, 4.1, 3, 7, 2, 4, 0.3
2.
Sexo de entrevistados (1- masc, 2-femin): 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1,
2, 1
3.
Grau de instrução de entrevistados (1- sem formação, 2-ens fundam,
3-ens médio, 4-ens super): 1, 4, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 3
4.
Nº de leitos ocupados de um hospital (por dia): 33, 21, 26, 22, 24, 28,
35, 23, 27, 25, 32, 34
5.
Considere as variáveis de “BSI01”.
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Estatística Descritiva – Medidas de Dispersão
• Amplitude:
ƒ É a diferença entre os valores máximo e mínimo da amostra
• Amplitude = max - min
ƒ Por usar o operador matemático de subtração, não deve ser
aplicado a variáveis qualitativas
ƒ Não mede a dispersão dos dados contidos entre os extremos,
tornando-se relativamente pobre
l<-range(x)
amplitude <- l[2]-l[1]
Amplitude
max
min
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Estatística Descritiva – Medidas de Dispersão
• Variância amostral (s2):
n
ƒ É a razão entre a soma dos quadrados das
diferenças entre cada observação e a média
e o número de observações (n) menos 1
s2 =
2
(
x
−
x
)
∑ i
i =1
n −1
var(x)
ƒ Indicada apenas para variáveis quantitativas
ƒ Considera todas as observações disponíveis
ƒ A divisão por n-1 se dá de forma a eliminar eventuais vícios de
estimadores.
ƒ Devido à sua unidade de medida ser o quadrado da unidade de
medida da variável, é comum que se trabalhe com o desvio
padrão (DP):
2
s= s
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Estatística Descritiva – Medidas de Dispersão
• Exercício 4: Para os seguintes casos, calcule a amplitude,
variância e o desvio-padrão
1. Produção de grãos de dada comunidade em 4 meses (em
toneladas): 1, 2, 4, 3
2. tempos de falha (em anos): 5, 10, 2.3, 4.5, 4.1, 3, 7, 2, 4,
0.3
3. Nº de leitos ocupados de um hospital (por dia): 33, 21, 26,
22, 24, 28, 35, 23, 27, 25, 32, 34
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Estatística Descritiva – Medidas de Dispersão
• Exercício 5: Para o seguinte caso, calcule a variância e o desvio-padrão
1.
A distribuição de frequências do nº de clientes mensais de uma
empresa é dada por
categoria
1
2
3
Total
freq absoluta
(ni)
3
5
2
10
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Estatística Descritiva – Medidas de Dispersão
• Coeficiente de Variação (CV):
ƒ É a razão entre o desvio-padrão e a média
s
cv =
x
ƒ Indicado apenas para os casos onde a média difere de zero
• Mais usado para variáveis não negativas
– Nestes casos, ele expressa a porcentagem de variação da amostra em
relação à média
– Trata-se de uma medida adimensional
• Permite que a dispersão de diversas variáveis seja comparada
– Esta seria uma tarefa árdua se recorrêssemos à amplitude, variância e
desvio-padrão
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Estatística Descritiva – Medidas de Dispersão
• Exercício 6: Retorne ao Exercício 3 e ao Exercício 4 e calcule o CV.
1.
2.
Qual amostra apresenta maior variabilidade?
Qual delas é menos dispersa?
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Estatística Descritiva – Medidas de Dispersão
• Aplicação por tipo de variável:
Tipo de variável
Qualitativa Quantitativa
Medida
IQV
Pode
Amplitude
Não pode
Variância
(desvio-padrão) Não pode
Pode
Pode
Pode
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