CADERNO DE MATEMÁTICA
NOVO ENEM (III)
Freqüência Absoluta
•Conhecimentos de estatística e probabilidade:
representação e análise de dados; medidas de
tendência central (médias, moda e mediana);
desvios e variância; noções de probabilidade.

3. Freqüência Absoluta e Freqüência Relativa
ESTATÍSTICA
1. Introdução
xi 
vezes que o dado
Conforme vamos fazendo uma pesquisa
vamos tomando nota dos resultados (dados) na
seqüência em que eles aparecem. Essa relação
de dados é chamada de DADOS BRUTOS.
Freqüência Relativa  f r  é a quantidade de
vezes que o dado aparece em determinada
pesquisa dividido pelo total de elementos
pesquisados.
fr 
2, 5, 8, 9, 7, 4, 6, 6, 7, 6
fi
n
A Freqüência Relativa pode vir expressa em
percentual. Para tal, basta multiplicar o resultado
da Freqüência Relativa por 100. Chamamos essa
de Freqüência Relativa Percentual  f r % .
f r %  f r .100
Exemplo 1
Notas de um grupo de 10 alunos em uma
avaliação:
aparece em determinada
pesquisa.
É a área da Matemática que estuda o
comportamento e análise dos dados colhidos em
pesquisas com uma amostra de uma população.
2. Dados Brutos e Rol
 f i  é a quantidade de
Exercício de Aula
01) Monte uma tabela com as freqüências
absolutas, relativas e relativas percentuais
para os dados do exemplo dos filhos.
Exemplo 2
xi
De um grupo de 50 pessoas. Perguntamos
quantos filhos a pessoa tem. O resultado foi o
seguinte:
0
fi
fr%
fr
1
2
0, 1, 1, 4, 3, 1, 0, 3, 4, 1, 1, 0, 3, 3, 2, 5, 2, 1, 2, 4,
2, 1, 0, 2, 0, 0, 3, 4, 5, 2, 3, 1, 4, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 5,
1, 0, 3, 1, 2, 0, 3, 1, 4, 2
3
4
Costuma-se organizar, para facilitar a
consulta, os dados quantitativos de uma maneira
crescente. Assim teremos:
5

Para as notas:
2, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9
Para o número de filhos:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5.
Esse tipo de organização é chamado de ROL.
4. Freqüências Acumuladas
A
Freqüência
Acumulada
 f ia 
é
a
quantidade de vezes que um determinado dado
aparece somado com todas as vezes que dados
anteriores a ele aparecem.
f ia  f1  f 2  ...  f i
A Freqüência Relativa Acumulada
 f ra 
éo
quociente entre a freqüência acumulada e o total
de elementos pesquisados.
f
f ra  ia
n
A Freqüência Relativa Acumulada Percentual
é a Freqüência Relativa Acumulada
 f ra %
expressa em porcentagem. Bastando multiplicar
por 100.
É o número que se encontra no centro da
série de números. Caso a série tenha um número
par de termos, a mediana será a média aritmética
dos dois termos centrais.
Exemplos
2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9
2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10
f ra %  f ra .100
Exercício de Aula
Exercício de Aula
02) Monte uma tabela com as freqüências
absolutas, relativas e relativas percentuais
acumuladas para os dados do exemplo dos
filhos.
04) Calcule a mediana para o exemplo dos
filhos.
xi
f ia
f ra
f ra%
0
7.3. Moda
1
É o valor que ocorre com maior freqüência
em uma série de valores.
2
Exemplos
3
2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9
4
2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10
5
Exercício de Aula
5. Medidas de centralidade e variabilidade
7.1. Média Aritmética
05) Calcule a moda para o exemplo dos filhos.
x 
É o quociente da divisão da soma dos valores
da variável pelo número deles.
x
x
i
n
Exercício de Aula
03) Calcule a média aritmética para o exemplo
das notas e dos filhos.
 OBSERVAÇÃO
Chamamos de AMPLITUDE TOTAL à
diferença entre o maior e o menor valor
observado.
7.4. Desvio Médio
O desvio médio é a média aritmética do módulo
dos desvios em relação à média.
Exercício de Aula
7.2. Mediana
Md
06) Calcule o desvio médio para o exemplo das
notas e dos filhos.
7.5. Variância
s 
2
A variância é a média aritmética dos
quadrados dos desvios em relação à média. Por
isso a simbolizamos por
d) A média aritmética entre os limites superior e
inferior é chamada de ponto médio da
classe.
s2 .
 x  x  . f
xi 
2
s2 
7.6. Desvio Padrão
i
i
L
2
n
s 
8.1. Média Aritmética
Será a média calculada tomando como base
os pontos médios de cada classe.
É a raiz quadrada da variância.
s  s2
Exercício de Aula
Exercício de Aula
07) Calcule a variância e o desvio patrão para o
exemplo das notas e dos filhos.
08) Calcule a média aritmética para o exemplo
anterior.
8.2. Classe Mediana
Para determinar a classe mediana devemos
fazer uma distribuição com as freqüências
acumuladas:
6. Distribuição por classes
Usualmente podemos agrupar os dados para
facilitar a manipulação de suas medidas. Observe
no exemplo a tabela que se refere a uma
pesquisa feita entre 50 pessoas sobre quanto
tempo (em minutos) ela leva para tomar um
banho.
i
1
2
3
4
5
TEMPO
(min)
0 – 10
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
TOTAL
fi
de
1
2
3
4
5
xi
14
12
8
12
4
50
TEMPO
(min)
0 – 10
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
TOTAL
fi
f ia
14
12
8
12
4
50
14
26
34
46
50
–
Exercício de Aula
09) Calcule a classe mediana para o exemplo
anterior.
 OBSERVAÇÕES
a) Chamamos
intervalos.
i
8.3. Moda
classe
cada
um
dos
Chamamos de classe modal àquela que
possuir a maior quantidade de elementos.
b) O menor valor de cada classe é chamado
limite inferior   e o maior valor de cada
classe é chamado limite superior
L  .
c) A diferença entre o limite superior e o limite
inferior de cada classe é chamada de
amplitude da classe.
Chamamos de moda bruta ou simplesmente
moda ao ponto médio da classe modal.
Exercício de Aula
10) Calcule a classe modal e a moda bruta para
o exemplo anterior.
hi  L i   i
8.4. Variância
Calculamos de maneira análoga aos dados
não-agrupados utilizando-se da média aritmética
e dos pontos médios de cada classe como
valores para xi .
3
28
4
28
Com base nisso, responda os itens abaixo.
8.5. Desvio Padrão
A) O jogador fez em média quantos pontos por jogo
,nesses 4 jogos.
É a raiz quadrada da variância.
7. Média Geométrica
A Média Geométrica de n números é a raiz
enésima do produto desses n números.
B) O desvio médio dos pontos em relação à média é
igual a quanto:
G  n x1.x2 .x3 . ... .xn
Exercício de Aula
C) O desvio padrão dessa amostra é igual a quanto:
11) Determine a média geométrica entre os
números 2 , 3 e 5 .
D) Qual a moda da amostra e também o limite
superior dos valores?
8. Média Harmônica
A Média Harmônica de n números não
nulos é o inverso da média aritmética dos
inversos.
1 
 1 1
   ...  
x x2
xn 
H  1


n




E) Qual a amplitude da amostra ?
1
02-Uma rede de lojas afirma que a venda de
televisores durante 10 dias seguidos obedeceu à
seguinte distribuição
Exercício de Aula
12) Determine a média harmônica entre os
números 2 , 3 e 5 .
ATIVIDADES DE SALA
01-O número de pontos, por partida, de um
jogador de basquete nos últimos jogos é descrito
pela tabela.
Jogo
Número de pontos
1
24
2
20
Classe
1
2
3
4
5
N° de televisores / dia
0–4
4–8
8 – 12
12 – 16
16 – 20
Número de dias
0
2
3
4
1
Com base nesses dados responda os itens que se
seguem.
A) Em todos os 10 dias a loja vendeu pelo menos
um televisor.
B) O número médio de televisores vendidos por dia
é igual a:
C) A porcentagem de dias em que a venda de
televisores por dia foi menor que 12 igual a:
D) Qual a classe mediana dessa distribuição e a
classe modal?
E) A freqüência acumulada relativa percentual da
classe 4 igual a:
03-Em uma pesquisa socioeconômica sobre itens
de conforto, perguntou-se a cada um dos 800
entrevistados: Quantos aparelhos de TV em cores
há em sua casa? Os resultados aparecem na
tabela:
N° de
Aparelho
s
Freqüênci
a Absoluta
Freqüênci
a Relativa
Freqüênci
a Relativa
Percentual
0
20
a
b
1
c
d
e
2
f
0,6
g
3
h
i
7,5
4
30
j
k
ES
289,6
AC
180,7
AL
139,9
MT
288,1
RN
176,2
PI
129,0
MS
287,5
AM
173,9
MA
110,4
Com tais dados foi construída uma tabela
agrupada em cinco classes de intervalos: 100 –
200, 200 – 300, 300 – 400, 400 – 500 e 500 – 600.
A) Construir uma tabela com
indicados :
os
intervalos
B) Qual a classe modal,classe mediana
média da distribuição?
e a
C) A freqüência relativa acumulada percentual da
classe 200 – 300 é, aproximadamente igual a:
05-Para responder os itens A e B, considere a
tabela abaixo, que mostra a distribuição da
arrecadação de
certo imposto em um
determinado município, em 2001.
Quais são valores de( a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k):
04-A tabela seguinte, extraída do Atlas do
Desenvolvimento Humano no Brasil, está
relacionada a renda per capita média em cada
Estado (dados do censo 2000), expressa em
reais.
A) O valor médio individual arrecadado foi de
quanto:
DF
605,4
GO
286,0
TO
172,6
B) O
SP
442,7
MG
276,6
PA
168,6
RJ
413,9
RO
233,8
SE
163,5
RS
357,7
RR
232,5
BA
160,2
SC
348,7
AM
211,4
CE
156,2
PR
321,4
PE
183,8
PB
150,2
valor médio individual pago
contribuintes da classe 1 foi igual a:
pelos
06-.Atenção: Para responder os itens A,B e C
,use os dados indicados nos gráficos abaixo,
referentes às vendas de veículos novos no
mercado brasileiro e à participação das marcas
desses veículos nesse mercado que, até o final do
mês de setembro de 2007, registrava 1,739 milhão
de unidades vendidas no ano.
Aracaju
27 ºC
Fernando
Noronha
de
30 ºC
Fortaleza
31 ºC
João Pessoa
30 ºC
Maceió
27 ºC
Natal
30 ºC
Recife
30 ºC
Salvador
26 ºC
São Luis
32 ºC
Terezina
32 ºC
(Jornal "O Estado de S. Paulo" . 02/10/2007)
A) O total de unidades vendidas no mês de maio
apresentou um aumento percentual de
aproximadamente quantos percentual em relação
ao total de vendas registradas em abril?
B) A média do total de vendas registradas nos
últimos cinco meses foi de quantas mil unidades?
C) De acordo com os dados que aparecem no
gráfico de setor, o total de veículos vendidos pela
GM excedeu o total dos vendidos pela Ford em
quantas unidades?
Com base nessas informações responda os itens
abaixo:
A) A freqüência relativa da temperatura de
31ºC é igual a :
B) Representando-se a freqüência relativa por meio
de um gráfico de setores, a região correspondente
à temperatura de 27ºC tem ângulo de quantos
graus.
C) A média aritmética das temperaturas indicadas
no quadro corresponde a quantos graus Celsius?
D) A amplitude das temperaturas é de quantos
graus Celsius?
ATIVIDADES
01)Um aluno faz 3 provas com pesos 2, 2 e 3. Se
ele tirou 2 e 7 nas duas primeiras, quanto precisa
tirar na terceira prova para ficar com média maior
ou igual a 6?
07-De acordo com o Boletim do Serviço de
Meteorologia de 07 de Junho de 2000, o quadro
abaixo apresenta a temperatura máxima, em graus
Celsius, registrado em Fernando de Noronha e nas
capitais da Região Nordeste do Brasil.
a) Pelo menos 4.
b) Pelo menos 5.
c) Pelo menos 6.
d) Pelo menos 7.
d) 1.831
e) Pelo menos 8.
e) 1.897
02)O Departamento de Comércio Exterior do
Banco Central possui 30 funcionários com a
seguinte distribuição salarial em reais.
04)Um a prova foi aplic ada em duas
turm as dis tintas. Na prim eira, com 30
alunos, a m édia
aritmética das notas foi 6,40. Na segunda,
com 50 alunos, foi 5,20.
Nº de
funcionários
Salário
em R$
10
2.000,00
12
3.600,00
5
4.000,00
3
6.000,00
A média aritmética das notas dos 80 alunos
foi:
a) 5,65
b) 5,70
c) 5,75
Quantos funcionários que recebem R$
3.600,00 devem ser demitidos para que a
mediana desta distribuição e salários seja de
R$ 2.800,00?
a) 8
b) 11
c) 9
d) 10
e) 7
d) 5,80
05)Determinada doença tem probabilidade de
incidência de 2,0% na faixa etária A (51 a 60
anos) e de 3,2% na faixa B (61 a 70 anos). Ao
se compor um grupo escolhendo-se ao acaso
300 indivíduos na faixa A e certo número de
indivíduos na faixa B, obteve-se um grupo
com probabilidade de 2,8% de incidência
dessa doença. O número de indivíduos de B
é:
a) 500.
b) 600.
03)Numa empresa com 20 funcionários, a
distribuição dos salários está representada no
quadro abaixo:
c) 700.
d) 800.
e) 900.
N
úm
erode
em
pregados
N
úm
erode
Salário(emReais)
10
1.540
5
1.860
3
2.120
2
3.440
O salário médio (em reais) dos empregados
dessa empresa é:
06) Uma prova continha cinco questões, cada
uma valendo 2 pontos. Em sua correção,
foram atribuídas a cada questão apenas as
notas 0 ou 2, caso a resposta estivesse,
respectivamente, errada ou certa. A soma dos
pontos obtidos em cada questão forneceu a
nota da prova de cada aluno.
a) 1.680
Ao final da correção, produziu-se a seguintes
tabela, contendo a porcentagem de acertos
em cada questão:
b) 1.742
Questão
c) 1.786
% de acerto 30%
01
02
03
04
10% 60% 80%
05
40%
Logo, a média das notas da prova foi:
09)Em uma cela, há uma passagem secreta que
conduz a um porão de onde partem três
túneis. O primeiro túnel dá acesso à liberdade
em 1 hora; o segundo, em 3 horas; o terceiro
leva ao ponto de partida em 6 horas. Em
média, os prisioneiros que descobrem os
túneis conseguem escapar da prisão em:
a) 3,8
b) 4,0
c) 4,2
d) 4,4
e) 4,6
a) 3h 20 min
b) 3h 40min
07)A distribuição das idades dos alunos de uma
classe é dada pelo gráfico abaixo.
c) 4h
d) 4h 30min
e) 5h
23
número de alunos
20
10)Sejam a e b números positivos. A média
harmônica de a e b é o inverso da média
1
1
aritmética de
e
. Então a média
a
b
harmônica de a e b é:
10
5
2
16 17 18 19 20
idade
(anos)
Qual das alternativas representa melhor a
média de idades dos alunos?
a) 16 anos e 10 meses.
a)
2ab
ab
b)
ab
2ab
c)
ab
ab
d)
ab
2(a  b)
b) 17 anos e 1 mês.
c) 17 anos e 5 meses.
d) 18 anos e 6 meses.
e) O menor entre a e b.
e) 19 anos e 2 meses.
08) Sabe-se que a média aritmética de 5 números
inteiros distintos, estritamente positivos, é 16.
O maior valor que um desses inteiros pode
assumir é:
a) 16
b) 20
c) 50
d) 70
e) 100
11)Seis caixas d’água cilíndricas iguais estão
assentadas no mesmo piso plano e ligadas
por registros (R) situados nas suas bases,
como sugere a figura abaixo:
b) 5,0
Após a abertura de todos os registros, as
caixas ficaram com os níveis de água no
mesmo plano.
c) 5,2
A altura desses níveis, em dm, equivale a:
e) 6,2
d) 6,0
a) 6,0
b) 6,5
14) Considere um grupo de 10 pessoas A, B, C, D,
..., I, J, dentre as quais:
c) 7,0
d) 7,5
I.
12) Para que fosse feito um levantamento sobre
o número de infrações de trânsito, foram
escolhidos 50 motoristas. O número de
infrações cometidas por esses motoristas, nos
últimos cinco anos, produziu a seguinte
tabela:
A, B e C têm respectivamente 16, 29 e 31
anos;
II. H e J nasceram em 1971;
III. D, E, F, G e I nasceram, nessa ordem, em
anos consecutivos.
Sabe-se ainda que todos já aniversariaram
este ano (1998) e que a média aritmética das
idades de todo o grupo é 23. O ano em que I
nasceu foi:
a) 1980.
b) 1979.
c) 1978.
Pode-se então afirmar que a média do número
de infrações, por motorista, nos últimos cinco
anos, para este grupo, está entre:
d) 1977.
e) 1976.
a) 6,9 e 9,0
b) 7,2 e 9,3
c) 7,5 e 9,6
15) A média aritmética de n números positivos é
7. Retirando-se do conjunto desses números o
número 5, a média aritmética dos números
que restam passa a ser 8. O valor de n é
d) 7,8 e 9,9
a) 2
e) 8,1 e 10,2
b) 3
13) Num concurso vestibular para dois cursos, A
e B, compareceram 500 candidatos para o
curso A e 100 condidatos para o curso B. Na
prova de matemática, a media aritmética
geral, considerando os dois cursos, foi 4,0.
Mas considerando-se apenas os condidatos
ao curso A, a média cai pra 3,8. A média dos
candidatos ao curso B, na prova de
matemática, foi
a) 4,2
c) 5
d) 6
e) 9
16)Uma equipe de futebol realizou um
levantamento dos pesos dos seus 40 atletas e
chegou à distribuição de freqüência dada pela
tabela
a
seguir,
cujo
correspondente é visto abaixo.
histograma
18) Um carro, que pode utilizar como combustível
álcool e gasolina misturados em qualquer
proporção, é abastecido com 20 litros de
gasolina e 10 litros de álcool.
TABELA
Peso (kg)
Frequência
60 | 64
64 |
68 |
72 |
76 |
80 |
84 |
Total de atletas
2
Sabe-se que o preço do litro de gasolina e o
do litro de álcool são, respectivamente, R$
1,80 e R$ 1,20 .
5
10
12
Nessa situação, o preço médio do litro do
combustível que foi utilizado é de:
6
3
2
a) R$ 1,50.
b) R$ 1,55.
40
c) R$ 1,60.
frequência
HISTOGRAMA
d) R$ 1,40.
12
10
6
5
3
2
19)
62
66
70
74
78
82
86
Peso (kh)
Nessas condições, a média, em metros, das
alturas dos jogadores que saíram supera a
dos que entraram em:
Com base nestes dados pode-se afirmar que
o valor da mediana dos pesos é igual a
a) 0,03.
a) 75
b) 0,04.
b) 72
c) 0,06.
c) 74
d) 0,09.
d) 73
17)
Seja f uma função de N em Q, dada por
2x  1, 1  x  5
f (x)  
 x  12, 5  x  12
Sabendo-se que a função f determina o
número de vezes que um equipamento foi
utilizado em cada um dos 12 meses de um
ano, é correto afirmar que a mediana
(estatística) dos 12 registros é igual a:
a) 3.
e) 0,12.
20) A média aritmética das alturas de cinco
edifícios é de 85 metros. Se for acrescentado
a apenas um dos edifícios mais um andar de 3
metros de altura, a média entre eles passará a
ser:
a) 85,6 m
b) 86 m
c) 85,5 m
b) 3,5.
c)
A média das alturas dos 6 jogadores em
quadra de um time de vôlei é 1,92 m. Após
substituir 3 jogadores por outros, a média das
alturas do time passou para 1,90 m.
d) 86,6 m
11
.
3
e) 86,5 m
d) 4.
e) 5,5.
21)
O gráfico abaixo ilustra a evolução do
número total de formados nas universidades
brasileiras, em milhares, de 1962 a 2002, de
dez em dez anos.
formados de 2002, não foram absorvidos pelo
mercado de trabalho em 2003?
a) 280.200
b) 270.300
c) 260.400
d) 250.500
e) 260.600
Qual das afirmações seguintes está em
desacordo com os dados do gráfico:
a) Entre 1962 e 2002 o número de formados
cresceu 2.235%.
b) O número de formados em 2002 foi
inferior ao dobro do número de formados
em 1992.
c) Em relação a 1982, o número de
formados em 1992 cresceu mais de 4%.
d) Entre 1962 e 1972, o número de formados
cresceu 385%.
e) O número de formados em 1982 foi
inferior ao triplo do número de formados
em 1972.
22)
23) A média aritmética das notas dos alunos de
uma classe de 40 alunos é 7,2 . Se a média
aritmética das notas das meninas é 7,6 e a dos
meninos é 6,6 , então o número de meninas na
classe é
a) 20.
b) 18.
c) 22.
d) 24.
e) 25.
24) Na busca de solução para o problema da
gravidez na adolescência, uma equipe de
orientadores educacionais de uma instituição de
ensino pesquisou um grupo de adolescentes de
uma comunidade próxima a essa escola e obteve
os seguintes dados:
O gráfico abaixo ilustra a evolução do
número total de formados nas universidades
brasileiras, em milhares, de 1962 a 2002, de
dez em dez anos.
Com base nos textos e em seus
conhecimentos, é correto afirmar, em relação
às idades das adolescentes grávidas, que
a) a média é 15 anos.
b) a mediana é 15,3 anos.
c) a mediana 16,1 anos.
Em 2003, o mercado de trabalho absorveu
40% dos formados de 2002. Quantos
d) a moda é 16 anos.
e) a média é 15,3 anos.
f)
a)
I.R.
b)
c)
Sair soma dos pontos obtidos nos dois dados maior
que 9.
Sair soma dos pontos obtidos nos dois dados menor
que 6.
Sair o mesmo resultado em ambos os dados.
GABARITO:
1) Gab: E 2) Gab: D 3) Gab: E 4) Gab: A
15)
5) Gab: B 6) Gab: D 7) Gab: C 8) Gab: D
a)
b)
c)
9) Gab: C 10) Gab: A 11) Gab: C 12) Gab: A
13) Gab: B 14) Gab: E 15) Gab: B 16) Gab: D
17) Gab: B 18) Gab: C 19) Gab: B 20) Gab: A
16)
21) Gab: C 22) Gab: A 23) Gab: D 24) Gab: E

PROBABILIDADE
9.
Introdução
No lançamento de uma mesma moeda três vezes, qual o
espaço amostral?
Em um cesto há 7 bolas de vôlei, sendo 4 brancas e 3
vermelhas. Desse cesto são retiradas, sucessivamente, 3
bolas. Calcular o número de elementos dos seguintes
eventos:
a)
b)
c)
d)
A Teoria das Probabilidades é um ramo da
matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para
estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Pelo fato
de não sabermos o resultado exato de um fenômeno
aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as
chances, as probabilidades de um determinado resultado
ocorrer.
A análise das probabilidades permite calcular o
percentual de chance que uma pessoa tem de ganhar na
Mega Sena, por exemplo, ou de uma determinada criança
nascer com um gene que cause uma certa doença. Em
muitas das outras áreas da ciência aplicada, como a
medicina, a engenharia e a estatística, a probabilidade
também é uma ciência importante.
Qual o evento “sair três caras”?
Qual o evento “sair pelo menos uma cara”?
Qual o evento “sair exatamente duas coroas”?
As três bolas têm a mesma cor.
Duas das bolas são brancas.
As três bolas são vermelhas.
O numero de bolas brancas é igual ao número de
bolas vermelhas.
11. Cálculo das Probabilidades
 
Em um experimento com espaço amostral  , onde
cada evento elementar tem a mesma chance de ocorrer
(espaço equiprovável), a probabilidade de ocorrência de um
evento A é dada por:
P  A 
ou
P A 
10. Espaço Amostral e Evento
Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto
formado por todos os resultados possíveis é chamado de
espaço amostral do experimento  . Qualquer subconjunto
do espaço amostral é chamado de evento.
 
No lançamento de um dado, qual o espaço amostral?
Qual o evento “ocorrer um número ímpar”? Qual o evento
“ocorrer um numero primo”?
14)
No lançamento de dois dados distinguíveis (um vermelho
e um branco), qual o espaço amostral? Quantos
elementos ele tem? Determine os seguintes eventos:
número de resultados favoráveis
número total de resultados possíveis
Exercícios de Aula
17)
Exercícios de Aula
13)
n A
n 
No lançamento simultâneo de dois dados (um branco e
um vermelho) determine a probabilidade dos seguintes
eventos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
18)
Os números são iguais.
A soma dos números é igual a 9.
A soma obtida é menor que 5.
A soma dos números é menor que 9.
A soma dos números é par.
O produto dos números é par.
Numa gaveta há 3 canetas que escrevem em azul, 2 em
preto, 4 em verde e 3 que não possuem carga.
Escolhendo, ao acaso, uma dessas canetas, ache a
probabilidade de que a caneta:
a)
b)
c)
d)
19)
20)
escreva
não escreva
não escreva em azul
escreva numa cor que não seja azul
h)
 OBSERVAÇÕES

Escolhendo aleatoriamente um dos anagramas da
palavra BRASIL. Qual a probabilidade do anagrama
escolhido possuir as letras B e R juntas?


De um baralho de 52 cartas, tira-se ao acaso uma das
cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja:
a)
b)
c)
d)
e)
uma dama.
um rei de ouros.
uma carta de espadas.
uma carta vermelha.
uma figura.
um
evento
A
ocorre
em
n
Um evento é dito certo quando a sua probabilidade de
ocorrência é 1 (ou 100%).
Um evento é dito impossível quando a sua probabilidade de
ocorrência é 0 (ou 0%).
Dois eventos A e A são ditos complementares quando
são as únicas possibilidades de ocorrência em um
experimento.

P A  P A  1
ou

P A  P A  100%
23)
(UFMG) Ao preencher um formulário de inscrição do
vestibular de uma determinada universidade, dentre os 12
cursos diferentes oferecidos, o candidato deve informar
os 3 aos quais está se candidatando, indicando a ordem
de preferência. Qual o número de maneiras diferentes em
que o formulário pode ser preenchido e a probabilidade
de que o curso de Engenharia Civil, um dos oferecidos,
figure como uma das opções de um formulário preenchido
aleatoriamente?
24)
Um soldado de um esquadrão anti-bombas tenta
desativar um certo artefato explosivo que possui 5 fios
expostos. Para desativá-lo, o soldado precisa cortar dois
fios específicos, um de cada vez, em uma determinada
ordem. Se cortar um fio errado ou na ordem errada, o
artefato explodirá. Se o soldado escolher aleatoriamente
2 fios para cortar, numa determinada ordem, qual a
probabilidade do artefato não explodir ao cortá-los?
12. Ocorrência de um evento por etapas
Se
cinco bolas, sem reposição, e todas elas sejam
amarelas.
etapas
 A1 , A2 ,..., An  , a probabilidade de ocorrência será dada
por:
P A  P A1 .P A2 . ... .P An 
Exercícios de Aula
21)
De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas,
escolhemos duas aleatoriamente. Determine a
probabilidade de que:
a)
b)
c)
d)
ambas sejam defeituosas.
ambas sejam perfeitas
apenas uma seja defeituosa.
pelo menos uma seja defeituosa.
13. Eventos com União entre eles
Sejam dois eventos A e B, com uma intersecção entre eles
expressos com a ilustração abaixo:
22)
Uma urna contém 10 bolas idênticas, sendo 6 bolas
verdes e 4 bolas amarelas. Determine a probabilidade de,
retirando aleatoriamente:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
uma bola, ela seja amarela.
duas bolas, sem reposição e elas sejam ambas
amarelas.
duas bolas, sem reposição, e elas sejam de cores
iguais.
duas bolas, sem reposição, elas sejam de cores
diferentes.
três bolas, com reposição, e entre elas apenas uma
seja amarela.
cinco bolas, sem reposição, e entre elas pelo menos
uma delas seja amarela.
cinco bolas, sem reposição, e entre elas pelo menos
uma delas seja verde.
A
B
Sabemos da teoria de conjuntos que:
n A  B  n A  nB  n A  B
Dividindo ambos os lados por
elementos do conjunto Universo teremos:
nU  ,
número de
n A  B  n A nB  n A  B 



nU 
nU  nU 
nU 
P A  B  P A  PB  P A  B
02-(UNIT) A tabela seguinte apresenta um
levantamento
sobre os números de ingressos
vendidos em três teatros, durante três dias sucessivos,
bem como os totais arrecadados com as vendas, a
cada
dia.
Exercícios de Aula
25)
Num grupo de 80 alunos, 50 jogam futebol, 40 jogam
vôlei e 20 jogam futebol e vôlei. Escolhendo ao acaso um
dos alunos, qual a probabilidade de ele:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
jogar vôlei;
jogar futebol;
jogar futebol e vôlei;
jogar futebol ou vôlei;
jogar somente futebol;
jogar somente um dos dois esportes;
não praticar nenhum dos esportes.
Se, em cada teatro, o preço do ingresso manteve-se
constante nos três dias, de quantos reais o preço do
ingresso mais caro excede o do mais barato?
(A)7,5
26)
Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho de
52 cartas (13 de cada naipe). Qual a probabilidade de:
a)
b)
c)
d)
e)
sair um rei;
sair um rei de ouros;
sair uma carta de espada ou uma dama;
sair uma figura ou uma carta de ouros;
sair uma carta vermelha ou um ás.
OBS: QUESTÕES UNIT E FUVEST
01-(UNIT) Cada um dos anagramas da palavra
SERGIPANO é escrito em uma única ficha e todas elas
são colocadas em uma urna vazia.A probabilidade de
retirar-se aleatoriamente uma ficha dessa urna e o
anagrama nela marcado começar e terminar por uma
vogal é
(B)10
(C)12,5
(D)15
(E)17,5
03-(UNIT) Todos os anagramas da palavra BRASIL
foram assinalados em fichas que, em seguida, foram
colocadas em uma urna vazia. Se em cada ficha foi
escrito um único anagrama, a probabilidade de sortearse um ficha dessa urna e o anagrama nela assinalado
ter as vogais e as consoantes juntas é
(A)
1
3
(A)
1
2
(B)
4
15
(B)
5
12
(C)
1
5
(C)
1
3
(D)
2
15
(D)
1
4
(E)
1
15
(E)
1
6
04.(FUVEST) Em uma equipe de basquete, a
distribuição de idades dos seus jogadores é a
seguinte:
idade
Nº de jogadores
22
1
25
3
26
4
29
1
31
2
32
1
GABARITO
01-E
02-D
04- A) C12,2 =
03-D
12 11
12!
=
 66
2
2! 10!
B) A média das idades de todos os jogadores é:
x
22(1)  25(3)  26(4)  29(1)  31(2)  32(1)
 27
12
Sendo x1 e x2 as idades dos jogadores sorteados:
Será sorteada, aleatoriamente, uma comissão de
dois jogadores que representará a equipe junto
aos dirigentes.
Possibilidades Quantidade
para x1 e x2
22 e 25

1 3 = 3
22 e 26

1 4 = 4
B) Qual a probabilidade da média de idade dos
dois jogadores da comissão sorteada ser
estritamente menor que a média de idade de
todos os jogadores?
22 e 29

1 1 = 1
22 e 31

1 2 = 2
23 e 25

C3,2 = 3
05-(FUVEST ) Segundo um artigo da revista Veja,
durante o ano de 1998, os brasileiros consumiram
261 milhões de litros de vinhos nacionais e 22
milhões de litros de vinhos importados. O artigo
informou ainda que a procedência dos vinhos
importados consumidos é dada pela seguinte
tabela:
25 e 26

3  4 = 12
26 e 26

C4,2 = 6
A) Quantas possibilidades distintas existem para
formar esta comissão?
O número de casos favoráveis:
3 + 4 + 1 + 2 + 3 + 12 + 6 = 31
A probabilidade pedida é: P =
Itália
Portugal
Chile
França
23%
20%
16%
16%
Alemanha
Argentina
Outros
13%
6%
6%
O valor aproximadamente do total de vinhos
importados da Itália e de Portugal, em relação ao
total de vinhos consumido pelos brasileiros, em
1998, foi de:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2,3%
3,3%
4,3%
5,3%
6,3%
31
66
05- alternativa B
O total de vinhos importados da Itália e de Portugal
corresponde a 23% + 20% = 43% do total de vinhos
importados. ASSIM, O TOTAL DE VINHOS
IMPORTADOS DA Itália e de Portugal em relação ao
total consumido pelos brasileiros foi de
0,43 . 22 milhões de litros
(261 + 22) milhões de litros  3,3%
REVISÃO DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando
representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem
qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo,
tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um
prêmio de R$ 200,00.
01-(ENEM) A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a:
(A) 0
(B) 1/3
(C) 1/4
(D) 1/2
(E) 1/6
02-(ENEM) A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$400,00 é igual a:
(A) 0
(B) 1/3
(C) 1/2
(D) 2/3
(E) 1/6
03-(ENEM) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período 1985-1996,
realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego.
Médias Anuais da Taxa de Desemprego Total
Grande São Paulo
1985 - 1996
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado,
(A) a maior taxa de desemprego foi de 14%.
(B) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período.
(C) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente.
(D) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%.
(E) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991.
No quadro abaixo estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar,
cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m³) e de eletricidade (em
kwh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo
fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.
04-(ENEM) Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo
valor da conta será de:
(A) R$ 55,23
(B) R$ 106,46
(C) R$ 802,00
(D) R$ 100,00
(E) R$ 22,90
05-(ENEM) Suponha agora que dobre o consumo d’água. O novo valor da conta será de:
(A) R$ 22,90
(B) R$ 106,46
(C) R$ 43,82
(D) R$ 17,40
(E) R$ 22,52
Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de
televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite.Os resultados obtidos estão representados
no gráfico de barras abaixo:
06-(ENEM) O número de residências atingidas nessa pesquisa foi aproximadamente de:
(A) 100
(B) 135
(C) 150
(D) 200
(E) 220
07-(ENEM) A percentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TvB é aproximadamente
igual a:
(A) 15%
(B) 20%
(C) 22%
(D) 27%
(E) 30%
08-(ENEM) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão
da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel
respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de
linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.
Analisando os gráficos, pode-se concluir que
(A) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I.
(B) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto.
(C) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I incorreto.
(D) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas.
(E) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes.
09-(ENEM)
Imagine uma eleição envolvendo 3 candidatos A, B, C e 33 eleitores (votantes). Cada eleitor vota fazendo
uma ordenação dos três candidatos. Os resultados são os seguintes: A primeira linha do quadro descreve
que 10 eleitores escolheram A em 1º lugar, B em 2º lugar, C em 3º lugar e assim por diante. Considere o
sistema de eleição no qual cada candidato ganha 3 pontos quando é escolhido em 1º lugar, 2 pontos quando
é escolhido em 2º lugar e 1 ponto se é escolhido em 3º lugar. O candidato que acumular mais pontos é eleito.
Nesse caso,
(A) A é eleito com 66 pontos.
(B) A é eleito com 68 pontos.
(C) B é eleito com 68 pontos.
(D) B é eleito com 70 pontos.
(E) C é eleito com 68 pontos.
10-(ENEM) O número de indivíduos de certa população é representado pelo gráfico abaixo.
Em 1975, a população tinha um tamanho aproximadamente igual ao de:
(A) 1960
(B) 1963
(C) 1967
(D) 1970
(E) 1980
Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio
aleatório de um número dentre dez.
1a opção: comprar três números para um único sorteio.
2a opção: comprar dois números para um sorteio e um número para um
segundo sorteio.
3a opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três
sorteios.
11-(ENEM) Se X, Y, Z representam as probabilidades de o apostador ganhar algum prêmio, escolhendo,
respectivamente, a 1a, a 2a ou a 3a opções, é correto afirmar que:
(A) X < Y < Z.
(B) X = Y = Z.
(C) X >Y = Z.
(D) X = Y > Z.
(E) X > Y > Z.
12-(ENEM) Escolhendo a 2a opção, a probabilidade de o apostador não ganhar em qualquer dos sorteios é
igual a:
(A) 90%.
(B) 81%.
(C) 72%.
(D) 70%.
(E) 65%.
A distribuição média, por tipo de equipamento, do consumo de energia elétrica nas residências no
Brasil é apresentada no gráfico.
13-(ENEM) Em associação com os dados do gráfico, considere as variáveis:
I. Potência do equipamento.
II. Horas de funcionamento.
III. Número de equipamentos.
O valor das frações percentuais do consumo de energia depende de:
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I e II, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
14-(ENEM) Como medida de economia, em uma residência com 4 moradores, o consumo mensal médio de
energia elétrica foi reduzido para 300 kWh. Se essa residência obedece à distribuição dada no gráfico, e se
nela há um único chuveiro de 5000 W, pode-se concluir que o banho diário de cada morador passou a ter
uma duração média, em minutos, de
(A) 2,5.
(B) 5,0.
(C) 7,5.
(D) 10,0.
(E) 12,0.
15-(ENEM) Num determinado bairro há duas empresas de ônibus, ANDABEM e BOMPASSEIO, que fazem
o trajeto levando e trazendo passageiros do subúrbio ao centro da cidade. Um ônibus de cada uma dessas
empresas parte do terminal a cada 30 minutos, nos horários indicados na tabela.
Carlos mora próximo ao terminal de ônibus e trabalha na cidade. Como não tem hora certa para chegar ao
trabalho e nem preferência por qualquer das empresas, toma sempre o primeiro ônibus que sai do terminal.
Nessa situação, pode-se afirmar que a probabilidade
de Carlos viajar num ônibus da empresa ANDABEM é:
(A) um quarto da probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.
(B) um terço da probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.
(C) metade da probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.
(D) duas vezes maior do que a probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.
(E) três vezes maior do que a probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.
16-(ENEM) O consumo total de energia nas residências brasileiras envolve diversas fontes, como
eletricidade, gás de cozinha, lenha, etc. O gráfico mostra a evolução do consumo de energia elétrica
residencial, comparada com o consumo total de energia residencial, de 1970 a 1995.
Verifica-se que a participação percentual da energia elétrica no total de energia gasto nas
residências brasileiras cresceu entre 1970 e 1995, passando, aproximadamente, de
(A) 10% para 40%.
(B) 10% para 60%.
(C) 20% para 60%.
(D) 25% para 35%.
(E) 40% para 80%.
17-(ENEM) No gráfico estão representados os gols marcados e os gols sofridos por uma equipe de futebol
nas dez primeiras partidas de um determinado campeonato.
Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3 pontos para cada vitória, 1 ponto por empate e
0 ponto em caso de derrota, a equipe em questão, ao final da décima partida, terá acumulado um número de
pontos igual a
(A) 15.
(B) 17.
(C) 18.
(D) 20.
(E) 24.
18-(ENEM) Em reportagem sobre crescimento da população brasileira, uma revista de divulgação científica
publicou tabela com a participação relativa de grupos etários na população brasileira, no período de 1970 a
2050 (projeção), em três faixas de idade: abaixo de 15 anos; entre 15 e 65 anos; e acima de 65 anos.
Admitindo-se que o título da reportagem se refira ao grupo etário cuja população cresceu sempre, ao longo
do período registrado, um título adequado poderia ser:
(A) .O Brasil de fraldas.
(B) .Brasil: ainda um país de adolescentes.
(C) .O Brasil chega à idade adulta.
(D) .O Brasil troca a escola pela fábrica.
(E) .O Brasil de cabelos brancos
19-(ENEM) O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha varia, durante
o dia, conforme as condições do trânsito, demorando mais nos horários de maior movimento. A empresa
que opera essa linha forneceu, no gráfico abaixo, o tempo médio de duração da viagem conforme o horário
de saída do ponto inicial, no período da manhã.
De acordo com as informações do gráfico, um passageiro que necessita chegar até as 10h30min ao ponto
final dessa linha, deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máximo, até as:
(A) 9h20min
(B) 9h30min
(C) 9h00min
(D) 8h30min
(E) 8h50min
20-(ENEM) O número de atletas nas Olimpíadas vem aumentando nos últimos anos, como mostra o gráfico.
Mais de 10.000 atletas participaram dos Jogos Olímpicos de Sydney, em 2000.
Nas últimas cinco Olimpíadas, esse aumento ocorreu devido ao crescimento da participação de
(A) homens e mulheres, na mesma proporção.
(B) homens, pois a de mulheres vem diminuindo a cada Olimpíada.
(C) homens, pois a de mulheres praticamente não se alterou.
(D) mulheres, pois a de homens vem diminuindo a cada Olimpíada.
(E) mulheres, pois a de homens praticamente não se alterou.
GABARITO
01-B
02-A
11-E
12-C
03-D
13-E
04-B
14-C
05-C
15-D
06-D
16-B
07-A
17-C
08-D
18-E
09-C
19-E
10-B
20-E