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Variáveis Aleatórias Bidimensionais &
Teoremas de Limite
Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello
UFES – Universidade Federal do Espı́rito Santo
DI – Departamento de Informática
CEUNES – Centro Universitário Norte do Espı́rito Santo
DCEL – Departamento de Computação e Eletrônica
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
1/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das
Antes: distribuições de probabilidade com uma única VA.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
2/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das
Antes: distribuições de probabilidade com uma única VA.
Agora: expressões de probabilidade envolvendo duas ou mais
VAs.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
2/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das
Antes: distribuições de probabilidade com uma única VA.
Agora: expressões de probabilidade envolvendo duas ou mais
VAs.
Sejam X e Y duas VAs. A função distribuição de
probabilidade cumulativa conjunta de X e Y é definida como
F (a, b) = P(X ≤ a, Y ≤ b),
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
a, b ∈ R .
2/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das
Antes: distribuições de probabilidade com uma única VA.
Agora: expressões de probabilidade envolvendo duas ou mais
VAs.
Sejam X e Y duas VAs. A função distribuição de
probabilidade cumulativa conjunta de X e Y é definida como
F (a, b) = P(X ≤ a, Y ≤ b),
a, b ∈ R .
Obtemos a função cumulativa de X a partir da distribuição
conjunta fazendo
FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ a, Y ≤ ∞) = F (a, ∞) .
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
2/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das
Antes: distribuições de probabilidade com uma única VA.
Agora: expressões de probabilidade envolvendo duas ou mais
VAs.
Sejam X e Y duas VAs. A função distribuição de
probabilidade cumulativa conjunta de X e Y é definida como
F (a, b) = P(X ≤ a, Y ≤ b),
a, b ∈ R .
Obtemos a função cumulativa de X a partir da distribuição
conjunta fazendo
FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ a, Y ≤ ∞) = F (a, ∞) .
Similarmente, a função cumulativa de Y é dada por
FY (b) = P(Y ≤ b) = F (∞, b) .
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
2/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Se X e Y são VAs discretas então podemos definir a função
de probabilidade conjunta de X e Y como
p(x , y ) = P(X = x , Y = y )
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
.
3/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Se X e Y são VAs discretas então podemos definir a função
de probabilidade conjunta de X e Y como
p(x , y ) = P(X = x , Y = y )
.
As funções de probabilidade de X e Y são obtidas a partir de
p(x , y ) tomando-se
pX (x ) =
X
p(x , y )
y :p(x ,y )>0
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
pY (y ) =
X
p(x , y )
.
x :p(x ,y )>0
3/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Se X e Y são VAs contı́nuas, então elas são ditas
conjuntamente contı́nuas se existir uma função f (x , y ), com
domı́nio R × R, onde
P(X ∈ A, Y ∈ B) =
Z Z
f (x , y ) dx dy
B
,
A
para todos os possı́veis conjuntos de números reais A, B ⊆ R.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
4/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Se X e Y são VAs contı́nuas, então elas são ditas
conjuntamente contı́nuas se existir uma função f (x , y ), com
domı́nio R × R, onde
P(X ∈ A, Y ∈ B) =
Z Z
f (x , y ) dx dy
B
,
A
para todos os possı́veis conjuntos de números reais A, B ⊆ R.
A função f (x , y ) é chamada de função densidade de
probabilidade conjunta de X e Y .
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
4/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Se X e Y são VAs contı́nuas, então elas são ditas
conjuntamente contı́nuas se existir uma função f (x , y ), com
domı́nio R × R, onde
P(X ∈ A, Y ∈ B) =
Z Z
f (x , y ) dx dy
B
,
A
para todos os possı́veis conjuntos de números reais A, B ⊆ R.
A função f (x , y ) é chamada de função densidade de
probabilidade conjunta de X e Y .
As funções densidade de probabilidade de X e Y são obtidas a
partir de f (x , y ) tomando-se
Z ∞
fX (x ) =
Z ∞
f (x , y )dy
−∞
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
fY (y ) =
f (x , y )dx
.
−∞
4/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Proposição 1
Se X e Y são VAs e g é uma função de duas variáveis, então
E [g(X , Y )] =
XX
y
g(x , y ) p(x , y )
no caso discreto
x
Z ∞ Z ∞
=
g(x , y ) f (x , y ) dx dy
no caso contı́nuo.
−∞ −∞
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
5/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Exemplo 1
Se g(X , Y ) = X + Y , então, no caso contı́nuo
Z ∞ Z ∞
E [X + Y ] =
(x + y ) f (x , y ) dx dy
−∞ −∞
Z ∞ Z ∞
=
Z ∞ Z ∞
x f (x , y ) dx dy +
−∞ −∞
y f (x , y ) dx dy
−∞ −∞
= E [X ] + E [Y ] .
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
6/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Exemplo 1
Se g(X , Y ) = X + Y , então, no caso contı́nuo
Z ∞ Z ∞
E [X + Y ] =
(x + y ) f (x , y ) dx dy
−∞ −∞
Z ∞ Z ∞
=
Z ∞ Z ∞
x f (x , y ) dx dy +
−∞ −∞
y f (x , y ) dx dy
−∞ −∞
= E [X ] + E [Y ] .
Para o caso discreto, e para quaisquer constantes a e b, tem-se
E [aX + bY ] = aE [X ] + bE [Y ] .
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
6/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Exemplo 2
Calcule o valor esperado da soma obtida quando três dados
honestos são rolados.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
7/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Exemplo 2
Calcule o valor esperado da soma obtida quando três dados
honestos são rolados.
Solução: Tome X como a VA indicando a soma. Então
X = X1 + X2 + X3 , onde Xi representa o valor obtido no i-ésimo
dado. Logo
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
7/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Exemplo 2
Calcule o valor esperado da soma obtida quando três dados
honestos são rolados.
Solução: Tome X como a VA indicando a soma. Então
X = X1 + X2 + X3 , onde Xi representa o valor obtido no i-ésimo
dado. Logo
E [X ] = E [X1 ] + E [X2 ] + E [X3 ] = 3(7/2) = 21/2 .
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
7/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Exemplo 3
Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parâmetros n
e p̂.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
8/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Exemplo 3
Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parâmetros n
e p̂.
Solução: A VA X indica o número de sucessos em n
experimentos, onde a probabilidade de sucesso de cada
experimento é p̂. Assim, temos que
X = X1 + X2 + . . . + Xn
,
onde cada Xi é uma VA de Bernoulli com E [Xi ] = p̂. Logo
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
8/22
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Distribuı́das (cont.)
Exemplo 3
Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parâmetros n
e p̂.
Solução: A VA X indica o número de sucessos em n
experimentos, onde a probabilidade de sucesso de cada
experimento é p̂. Assim, temos que
X = X1 + X2 + . . . + Xn
,
onde cada Xi é uma VA de Bernoulli com E [Xi ] = p̂. Logo
E [X ] = E [X1 ] + E [X2 ] + . . . + E [Xn ] = np̂
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
.
8/22
Variáveis Aleatórias Independentes
As VAs X e Y são independentes se para todo a, b
P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a) P(Y ≤ b) ,
isto é, se os eventos {X ≤ a} e {Y ≤ b} são independentes.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
9/22
Variáveis Aleatórias Independentes
As VAs X e Y são independentes se para todo a, b
P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a) P(Y ≤ b) ,
isto é, se os eventos {X ≤ a} e {Y ≤ b} são independentes.
Se X e Y são independentes, então
F (a, b) = FX (a) FY (b) para todo a, b
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
.
9/22
Variáveis Aleatórias Independentes
As VAs X e Y são independentes se para todo a, b
P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a) P(Y ≤ b) ,
isto é, se os eventos {X ≤ a} e {Y ≤ b} são independentes.
Se X e Y são independentes, então
F (a, b) = FX (a) FY (b) para todo a, b
.
No caso discreto, temos p(x , y ) = pX (x ) pY (y ).
Para o caso contı́nuo, vale f (x , y ) = fX (x ) fY (y ).
Provas: Ross, Cap. 2.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
9/22
Variáveis Aleatórias Independentes (cont.)
Proposição 2
Se as VAs X e Y são independentes então para quaisquer funções
g e h:
E [g(X ) h(Y )] = E [g(X )] E [h(Y )] .
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
10/22
Variáveis Aleatórias Independentes (cont.)
Proposição 2
Se as VAs X e Y são independentes então para quaisquer funções
g e h:
E [g(X ) h(Y )] = E [g(X )] E [h(Y )] .
Proposição 3
Se X1 , . . . , Xn são VAs independentes, então:
V
n
X
!
Xi
i=1
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
=
n
X
V (Xi )
.
i=1
10/22
Variáveis Aleatórias Independentes (cont.)
Média Amostral
Se X1 , . . . , Xn são independentes e identicamente distribuı́das,
P
então a VA X̄ = ni=1 Xi/n é chamada de média amostral.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
11/22
Variáveis Aleatórias Independentes (cont.)
Média Amostral
Se X1 , . . . , Xn são independentes e identicamente distribuı́das,
P
então a VA X̄ = ni=1 Xi/n é chamada de média amostral.
Se E [Xi ] = µ e V (Xi ) = σ 2 , então
E [X̄ ] = µ
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
V (X̄ ) = σ2/n
.
11/22
Variáveis Aleatórias Independentes (cont.)
Média Amostral
Se X1 , . . . , Xn são independentes e identicamente distribuı́das,
P
então a VA X̄ = ni=1 Xi/n é chamada de média amostral.
Se E [Xi ] = µ e V (Xi ) = σ 2 , então
E [X̄ ] = µ
V (X̄ ) = σ2/n
.
Exemplo 4
Calcule a variância de uma VA binomial X com parâmetros n e p̂.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
11/22
Variáveis Aleatórias Independentes (cont.)
Média Amostral
Se X1 , . . . , Xn são independentes e identicamente distribuı́das,
P
então a VA X̄ = ni=1 Xi/n é chamada de média amostral.
Se E [Xi ] = µ e V (Xi ) = σ 2 , então
E [X̄ ] = µ
V (X̄ ) = σ2/n
.
Exemplo 4
Calcule a variância de uma VA binomial X com parâmetros n e p̂.
Solução: Temos que X = X1 + . . . + Xn , onde cada Xi é uma VA
de Bernoulli com V (Xi ) = p̂(1 − p̂). Da Proposição 3, vem
V (X ) = V (X1 ) + . . . + V (Xn ) = n p̂(1 − p̂)
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
.
11/22
Teoremas de Limite
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
12/22
Teoremas de Limite
Proposição 4 – Desigualdade de Markov
Seja X uma VA tomada somente para valores não negativos, então
para qualquer a > 0: P(X ≥ a) ≤ E [X ]/a.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
12/22
Teoremas de Limite
Proposição 4 – Desigualdade de Markov
Seja X uma VA tomada somente para valores não negativos, então
para qualquer a > 0: P(X ≥ a) ≤ E [X ]/a.
Prova:
Z ∞
E [X ] =
xf (x )dx
Z0a
=
≥
Z ∞
xf (x )dx +
Z0∞
xf (x )dx
a
xf (x )dx
a
≥
Z ∞
af (x )dx
a
Z ∞
=a
f (x )dx = aP(X ≥ a)
a
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
12/22
Teoremas de Limite (cont.)
Proposição 5 – Desigualdade de Chebyshev
Seja X uma VA com média µ e variância σ 2 , então para qualquer
k > 0:
σ2
P(|X − µ| ≥ k) ≤ 2
k
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
13/22
Teoremas de Limite (cont.)
Proposição 5 – Desigualdade de Chebyshev
Seja X uma VA com média µ e variância σ 2 , então para qualquer
k > 0:
σ2
P(|X − µ| ≥ k) ≤ 2
k
Prova: Como (X − µ)2 é uma VA não-negativa, podemos usar a
desigualdade de Markov (com a = k 2 ) para obter
P((X − µ)2 ≥ k 2 ) ≤
E [(X − µ)2 ]
σ2
=
k2
k2
.
Para se completar a prova basta observar que
(X − µ)2 ≥ k 2 ⇐⇒ |X − µ| ≥ k.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
13/22
Teoremas de Limite (cont.)
Utilidade
As desigualdades de Markov e Chebyshev são importantes pois
permitem estabelecer limites de probabilidades quando
somente a média e/ou variância são conhecidas, isto é, a
distribuição de probabilidade é desconhecida.
Exemplo: Análise estatı́stica de dados.
Se a distribuição for conhecida as probabilidades desejadas
podem ser calculadas de forma exata e não é necessário usar
limites.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
14/22
Teoremas de Limite (cont.)
Exemplo 5
Através de uma análise do histórico de produção de uma fábrica
verificou-se que o número de itens produzidos em uma semana é
uma VA com média 500 e variância 100.
a
O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a produção
dessa semana seja ao menos 1000?
b
O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a produção
dessa semana fique entre 400 e 600?
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
15/22
Teoremas de Limite (cont.)
Exemplo 5 – Solução
X : o número de itens produzidos em uma semana.
a
Pela Desigualdade de Markov:
P(X ≥ 1000) ≤
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
E [X ]
500
1
=
=
1000
1000
2
.
16/22
Teoremas de Limite (cont.)
Exemplo 5 – Solução
X : o número de itens produzidos em uma semana.
a
Pela Desigualdade de Markov:
P(X ≥ 1000) ≤
b
E [X ]
500
1
=
=
1000
1000
2
.
Pela Desigualdade de Chebyshev:
P(|X − 500| ≥ 100) ≤
σ2
1
=
2
100
100
.
Logo,
1
99
=
100
100
e podemos concluir que a probabilidade da produção dessa
semana ficar entre 400 e 600 é ao menos 0.99.
P(|X − 500| < 100) ≥ 1 −
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
16/22
Teoremas de Limite (cont.)
O teorema a seguir é um resultado famoso da teoria de
probabilidade.
Descrição: a média de uma sequência de VAs independentes
com a mesma distribuição converge com probabilidade 1 para
a média da distribuição.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
17/22
Teoremas de Limite (cont.)
O teorema a seguir é um resultado famoso da teoria de
probabilidade.
Descrição: a média de uma sequência de VAs independentes
com a mesma distribuição converge com probabilidade 1 para
a média da distribuição.
Teorema 1 - Lei dos Grandes Números
Sejam X1 , . . . , Xn uma sequência de VAs independentes com uma
distribuição em comum, e seja E [Xi ] = µ. Então, com
probabilidade 1,
X1 + . . . + Xn
→µ
n
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
quando n → ∞ .
17/22
Teoremas de Limite (cont.)
O teorema a seguir fornece um método aproximado para se
calcular a probabilidade da soma de VAs independentes.
Também explica o fato de que as frequências empı́ricas de
muitas populações naturais exibem uma curva normal.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
18/22
Teoremas de Limite (cont.)
O teorema a seguir fornece um método aproximado para se
calcular a probabilidade da soma de VAs independentes.
Também explica o fato de que as frequências empı́ricas de
muitas populações naturais exibem uma curva normal.
Teorema 2 - Teorema do Limite Central
Sejam X1 , . . . , Xn uma sequência de VAs independentes com uma
distribuição em comum, com média µ e variância σ 2 . A
distribuição da VA definida como
X1 + . . . + Xn − nµ
√
σ n
tende para a distribuição normal padrão quando n → ∞. Isto é,
"
#
1
X1 + . . . + Xn − nµ
√
P
≤a → √
σ n
2π
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
Z a
e
− x 2/2
dx
.
−∞
18/22
Teoremas de Limite (cont.)
Observação: o Teorema do Limite Central se aplica para qualquer
distribuição de Xi .
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
19/22
Teoremas de Limite (cont.)
Observação: o Teorema do Limite Central se aplica para qualquer
distribuição de Xi .
Exemplo 6
A vida útil de uma bateria é uma VA com média de 40 horas e
desvio padrão de 20 horas.
Uma bateria é utilizada até falhar quando é então substituı́da
por uma nova.
Assumindo um estoque de 25 baterias, todas com vida útil
independente, calcule uma aproximação para probabilidade de
que mais de 1100 horas de uso sejam obtidas.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
19/22
Teoremas de Limite (cont.)
Exemplo 6 – Solução
Xi : vida útil da i-ésima bateria utilizada.
Busca-se p = P(X1 + . . . + X25 > 1100), que pode ser aproximada
por
"
X1 + . . . + X25 − 1000
1100 − 1000
√
√
>
p=P
20 25
20 25
#
≈ P[N(0, 1) > 1]
= 1 − Φ(1)
≈ 0.1587
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
20/22
Processos Estocásticos
Definição
Um processo estocástico (PE) {X (t), t ∈ T } é uma coleção de
VAs, isto é, para cada t ∈ T , X (t) é uma VA.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
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Processos Estocásticos
Definição
Um processo estocástico (PE) {X (t), t ∈ T } é uma coleção de
VAs, isto é, para cada t ∈ T , X (t) é uma VA.
O ı́ndice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,
X (t) é chamado de estado do processo no tempo t.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
21/22
Processos Estocásticos
Definição
Um processo estocástico (PE) {X (t), t ∈ T } é uma coleção de
VAs, isto é, para cada t ∈ T , X (t) é uma VA.
O ı́ndice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,
X (t) é chamado de estado do processo no tempo t.
Exemplos: X (t) = número total de clientes que entraram em
um supermercado no tempo t; ou o número total de vendas
feitas em uma loja no tempo t, etc.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
21/22
Processos Estocásticos
Definição
Um processo estocástico (PE) {X (t), t ∈ T } é uma coleção de
VAs, isto é, para cada t ∈ T , X (t) é uma VA.
O ı́ndice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,
X (t) é chamado de estado do processo no tempo t.
Exemplos: X (t) = número total de clientes que entraram em
um supermercado no tempo t; ou o número total de vendas
feitas em uma loja no tempo t, etc.
O conjunto T é chamado de conjunto indexador dos processos.
T é contável ⇒ PE de tempo discreto.
T é um intervalo real ⇒ PE de tempo contı́nuo.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
21/22
Processos Estocásticos (cont.)
Exemplos: {Xn , n = 0, 1, . . .} é um PE de tempo discreto
indexado por inteiros não-negativos. {X (t), t ≥ 0} é um PE
de tempo contı́nuo indexado por números não-negativos.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
22/22
Processos Estocásticos (cont.)
Exemplos: {Xn , n = 0, 1, . . .} é um PE de tempo discreto
indexado por inteiros não-negativos. {X (t), t ≥ 0} é um PE
de tempo contı́nuo indexado por números não-negativos.
O conjunto de todos os possı́veis valores que as VAs podem
assumir é chamado de espaço de estados de um processo
estocástico.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
22/22
Processos Estocásticos (cont.)
Exemplos: {Xn , n = 0, 1, . . .} é um PE de tempo discreto
indexado por inteiros não-negativos. {X (t), t ≥ 0} é um PE
de tempo contı́nuo indexado por números não-negativos.
O conjunto de todos os possı́veis valores que as VAs podem
assumir é chamado de espaço de estados de um processo
estocástico.
⇒ um PE é uma famı́lia de VAs que descrevem a evolução no
tempo de algum processo do mundo real.
Variáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite
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