MATEMÁTICA- DEPENDÊNCIA DO 4º BIMESTRE ( Prof KOJI)
ENSINO MÉDIO – 2º ANO
TEOREMA DOS COSSENOS: ( Estabelece uma relação entre as medidas dos lados e dos lados
de um triângulo qualquer)
“Em todo triângulo , o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das
medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo
cosseno do ângulo oposto àquele lado”.
C
a2 = b2 + c2 – 2b.c.cosα
b2 = a2 +c2 -2.a.c.cosβ
δ
c2 = a2 + b2 -2.a.b.cosδ
b
a
α
β
A
c
B
EXERCÍCIOS
1) Aplicando o teorema dos cossenos , obtenha o valor de x:
a)
b)
10
x
x
c)
7
4
60°
30°
x
120°
16
8
Resp: 14
Resp:
d)
e)
3
Resp: 13
x
7
60º
60°
X
Resp 8
Resp: 1
2
2) No triângulo ABC , calcule o valor do cos Â
A
Resp:
4
B
5
C
3) Os lados de um triângulo são : 3 . 4 e 6 . Calcular o valor do cosseno do maior ângulo
interno desse triângulo. ( Lembrete: ao maior lado opõe-se o maior ângulo) R:
4) Calcule o comprimento da diagonal do paralelogramo:
6
d
Resp:
60°
8
5) No triângulo ABC , AB = 5cm ; BC = 16cm e o ângulo ABC mede 60°Calcular a
medida da mediana relativa ao lado BC , em centímetros. ( Lembrete: A mediana de um
triângulo e um segmento de reta , cujos extremos são um vértice e o ponto médio do lado
oposto.
Resp : 7,0 cm
TEOREMA DOS SENOS ( VALE PARA TRIÂNGULO QUALQUER)
“ Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos
opostos e a constante de proporcionalidade é a medida do diâmetro da circunferência
circunscrita a esse triângulo “
A
c
b
β
.
R
B
a
C
EXERCÍCIOS
1) Aplicando o teorema dos senos, calcule o valor de x:
a)
b)
x
60°
45º
x
45°
Resp: 6
75°
Resp:
2) o é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Calcule o valor de x.
a)
b)
2
x
6
x
O
30°
O
60°
Resp:2
Resp:
3) No triângulo ABC , os lados AC e BC medem 8 e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale
30°. Calcular o seno do ângulo B.
Resp:
ENSINO MÉDIO - 3° ANO
PRINCÍPIOS BÁSICOS DE CONTAGEM.
Uma lanchonete oferece 3 tipos de salgados e 2 tipos de refrigerante. De quantos modos uma pessoa
pode se servir comprando:
a) um salgado “ ou “ um refrigerante;
b) um salgado “ e “ um refrigerante .
a) pode-se servir de 3+ 2 = 5 modos. ( Princípio da adição)
b) Pode se servir de 3 2 = 6 modos. ( princípio da multiplicação ou Princípio fundamental da
contagem)
EXERCÍCIOS
1) Duas pessoas entram em um ônibus e constatam que existem 5 lugares vagos. De quantos modos
eles podem se sentar ? Resp :20
2) Quantos números naturais de 2 algarismos podem ser formados com os algarismos ímpares ?
Esp 25
3) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e outra 4 ligando B a C . Uma
pessoa deseja viajar de A até C , passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá
utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha ? Resp 72
4) Para se viajar de uma cidade A até uma outra cidade B, deve-se passar necessariamente pela
cidade C ou pela cidade D. De acordo com as quantidades de caminhos existentes entre essas
cidades, indicados na figura,quantos são os caminhos possíveis entre A e B ? Resp: 18
C
A
B
D
FATORIAL DE NÚMEROS NATURAIS.
Chama-se n – fatorial ou fatorial de n, sendo n número natural e n
números naturais de 1 a n.
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).......3.2.1
Definição especial : 0! = 1 e 1! = 1
Exemplos:
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Examinando os exemplos, podemos escrever :
6! = 6.(5.4.3.2.1) = 6.5!
, o produto de todos os
6! = 6.5.(4.3.2.1) = 6.5.4! ou de forma geral, se n
temos : n! = n.(n-1)!
No estudo da análise combinatória, dois tipos de agrupamentos são de grande importância:
1º tipo: A ordem dos elementos no agrupamento é importante. São chamados de ARRANJOS.
2º tipo: A ordem dos elementos no agrupamento NÃO é importante. São chamados de
COMBINAÇÕES.
Ex. do 1º tipo : Com os algarismos 1, 2 ,3 quantos números de 2 algarismos distintos existem ?
Note que: 12 21 A ordem importa, pois mudando a ordem de dois elementos deu agrupamento
diferente. Portanto, é arranjo.
Fórmula de contagem: A n,p =
No exemplo: A3,2 =
1º algarismo
3 possib.
p
ou , pelo princípio fundamental da contagem :
2º aalgarismo
2 possib.
=6
Ex 2: Com as pessoas A,B e C , quantos grupos de 2 pessoas podemos formar ?
Note que : grupo formado por AB = grupo formado por BA . Logo a ordem NÃO IMPORTA . É
combinação.
Fórmula :
C n,p =
No exemplo : C 6,2 =
É importante notar , que na combinação não pode ser aplicado o princípio fundamental da
contagerm
1ª pessoa 2ª pessoa
3
= 6 que não confere com a fórmula da C n,p = 3 grupos.
PERMUTAÇÃO SIMPLES :É um caso de arranjo simples quando n = p , isto é ,
A n,n = P n =
Exercícios
1) Calcule, usando a fórmula :
A 10,4
; C 7,3
2) Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 6 elementos ? Resp : 15
3) Quantos números naturais e ímpares, de 4 algarismos distintos,podemos formar com os
algarismos: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ? ?Resp :1680
4) Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem no nosso sistema de numeração ?
Resp 648
5) De quantos modos podemos separar 8 pessoas em dois grupos, sendo que um dos grupos tem 6
pessoas ? Resp : 28
6) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas,
em que haja pelo menos um diretor ? Resp : 65
7) Calcule o número de anagramas da palavra SABUGO que possuem as letras S e A, juntas e
nessa ordem ? Resp : 120
8) Considere a palavra EDITORA . Quantos anagramas possuem vogais e consoantes alternadas ?
Resp : 144
9) De quantas maneiras 5 pessoas podem se sentar em um sofá de 5 lugares, se duas delas não
admitem ficar uma ao lado da outra ? Resp : 72