Desconto Composto
GST0054 − MATEMÁTICA FINANCEIRA
Material Didático (pg. 140)
Prof. Antonio Sérgio
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Desconto Composto
 O conceito é o mesmo de desconto
simples: é a quantia a ser abatida do
valor nominal, isto é, a diferença entre
o valor nominal e o valor atual.
 Operações de longo prazo.
 Desconto Composto Comercial e
Desconto Composto Racional.
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Desconto Composto
 Dia de vencimento: é o dia fixado no título para o pagamento (ou
recebimento) da aplicação;
 Valor nominal: é o valor indicado no título (importância a ser
paga no dia do vencimento) – Valor Futuro;
 Valor atual: é o valor líquido pago (ou recebido) antes do
vencimento;
 Tempo ou prazo: é o número de dias compreendido entre o dia
em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o
primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o
primeiro.
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Desconto Composto Racional
• Cálculo do valor atual / Juros compostos
•
•
•
•
N → o valor nominal do título = M
A → o valor atual comercial = P
n → o tempo
i → a taxa de desconto
𝑴 = 𝑷. (𝟏 + 𝒊)𝒏
𝑵 = 𝑨. (𝟏 + 𝒊)𝒏
𝑨 = 𝑵. (𝟏 + 𝒊)−𝒏
Fator de descapitalização
• Valor do Desconto Composto Racional:
𝒅=𝑵−𝑨
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Desconto Composto – EXEMPLO 01
• Determine o valor atual de um título de R$800,00, saldado 4 meses antes
de seu vencimento, à taxa de desconto (composto) de 2% ao mês:
Solução:
Temos:
𝑁 = 800
𝑛 = 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑖 = 2% = 0,02 𝑎. 𝑚
𝐴 = 𝑁. (1 + 𝑖)−𝑛
Logo:
𝐴 = 𝑁. (1 + 𝑖)−𝑛
𝐴 = 800. (1 + 0,02)−4
800
800
800
𝐴=
=
=
(1 + 0,02)4 1,024 1,08243216
𝐴 = 𝑅$739,08
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Desconto Comercial – EXEMPLO 02
• Calcule o valor de um título de valor nominal de R$1.120,00
com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano,
capitalizados semestralmente.
Solução:
Temos:
𝑁 = 1120
𝑛 = 2 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 4 𝑠𝑒𝑚 + 1 𝑠𝑒𝑚 = 5 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
𝑖 = 36%𝑎. 𝑎 = 0,36 𝑎. 𝑎 = 0,18 𝑎. 𝑠.
𝐴 = 𝑁. (1 + 𝑖)−𝑛
Logo:
𝐴 = 1120. (1 + 0,18)−5
1120
1120
1120
𝐴=
=
=
5
5
(1 + 0,18)
1,18
2,287757
𝐴 = 𝑅$489,56
6
Desconto Comercial – EXEMPLO 03
• Qual o desconto composto que um título de R$5.000,00 sofre
ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de
2,5% ao mês?
Solução:
𝑁 = 5000
𝑛 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑖 = 2,5% 𝑎. 𝑚 = 0,025 𝑎. 𝑚
𝐴 = 𝑁. (1 + 𝑖)−𝑛
𝐴 = 5000. (1 + 0,025)−3
5000
5000
5000
𝐴=
=
=
(1 + 0,025)3 1,0253 1,07689
𝐴 = 𝑅$ 4.642,99
𝑑 =𝑁−𝐴
𝑑 = 5000 − 4642,99
𝑑 = 𝑅$ 357,01
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Desconto Comercial – EXEMPLO 04
• Um título no valor nominal de R$1.500,00 foi resgatado 3
meses antes de seu vencimento tendo sido contratado à taxa
de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o
desconto concedido?
Solução:
𝑁 = 1500
𝑛 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
0,3 𝑎.𝑎
𝑖 = 30% 𝑎. 𝑎 =
= 0,025 𝑎. 𝑚
𝐴 = 𝑁. (1 + 𝑖)−𝑛
12
𝐴 = 1500. (1 + 0,025)−3
1500
1500
1500
𝐴=
=
=
3
3
(1 + 0,025)
1,025
1,07689
𝐴 = 𝑅$ 1.392,89
𝑑 =𝑁−𝐴
𝑑 = 1500 − 1392,89
𝑑 = 𝑅$ 107,10
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Desconto Comercial – EXEMPLO 05
• Em uma operação de desconto composto, o portador do título
recebeu R$36.954,00 como valor de resgate. Sabendo que a
antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$3.046,00, qual
foi à taxa de juro mensal adotada?
Solução:
𝐴 = 36954
𝑑 = 3046
𝐴 = 36.954
𝑛 = 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝐴=𝑁−𝑑
𝑁 =𝐴+𝑑
𝑁 = 36954 + 3046 = 40000
𝐴 = 𝑁. (1 + 𝑖)−𝑛
36954 = 40000. (1 + 𝑖)−4
40000
36954 =
(1 + 𝑖)4
40000
(1 + 𝑖)4 =
36954
(1 + 𝑖)4 = 1,08242
4
1 + 𝑖 = 1,08242
1 + 𝑖 = 1,02
𝑖 = 1,02 − 1
𝑖 = 0,02 = 𝟐% 𝒂. 𝒎
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Desconto Comercial – Exercícios
• 1) Desejamos resgatar um título cujo valor nominal é de
R$7.000,00, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento.
Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto é de
3,5% ao mês.
Solução:
𝑵 = 𝟕𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟑 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
𝒊 = 𝟑, 𝟓% 𝒂. 𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 𝒂. 𝒎
𝑨 = 𝑵. (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝑨 = 𝟕𝟎𝟎𝟎. (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟓)−𝟑
𝑨 = 𝟕𝟎𝟎𝟎. (𝟏, 𝟎𝟑𝟓)−𝟑
𝑨 = 𝟕𝟎𝟎𝟎. 𝟎, 𝟗𝟎𝟏𝟗
𝑨 = 𝑹$𝟔. 𝟑𝟏𝟑, 𝟔𝟎
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Desconto Comercial – Exercícios
• 2) Calcule o valor atual de um título de R$40.000,00, resgatado
1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de
desconto de 24% ao ano.
Solução:
𝑵 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏 𝒂𝒏𝒐 𝒆 𝟒 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 = 𝟏𝟐 + 𝟒 = 𝟏𝟔 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
𝒊 = 𝟐𝟒%𝒂. 𝒂 ÷ 𝟏𝟐 = 𝟐%𝒂. 𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟐 𝒂. 𝒎
𝑨 = 𝑵. (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝑨 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎. (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐)−𝟏𝟔
𝑨 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎. (𝟏, 𝟎𝟐)−𝟏𝟔
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎
𝑨=
=
(𝟏, 𝟎𝟐)𝟏𝟔 𝟏, 𝟑𝟕𝟐𝟕𝟖
𝑨 = 𝑹$𝟐𝟗. 𝟏𝟑𝟕, 𝟖𝟑
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Desconto Comercial – Exercícios
• 3) O valor nominal de um título é de R$200.000,00, Seu portador deseja
descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcule o valor de
resgate sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 28% ao ano,
capitalizados trimestralmente.
Solução:
𝑵 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏 𝒂𝒏𝒐 𝒆 𝟑 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 = 𝟏𝟓 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 = 𝟓 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔
𝒊 = 𝟐𝟖% 𝒂. 𝒂 ÷ 𝟒 = 𝟕% 𝒂. 𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟕 𝒂. 𝒕
𝑨 = 𝑵. (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝑨 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕)−𝟓
𝑨 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. (𝟏, 𝟎𝟕)−𝟓
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝑨=
=
(𝟏, 𝟎𝟕)𝟓 𝟏, 𝟒𝟎𝟐𝟓𝟓
𝑨 = 𝑹$𝟏𝟒𝟐. 𝟓𝟗𝟕, 𝟐𝟑
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