Equipe EAD
REITORIA
Profª. Ms. Cristina Nitz da Cruz
COORDENAÇÃO GERAL
Prof. Ms. Leonardo Nunes Evangelista
DESIGN INSTRUCIONAL
Sandra Regina Pinto Pestana
DESIGN GRÁFICO
Etthnã Wholwisk Ramos Martins
João Mário Chaves Júnior
PROGRAMAÇÃO
Luan Pereira Nascimento
Equipe EAD
VIRTUAL
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO À DISTÂNCIA
Prof. Ms. José Carlos Belo Rodrigues Jr.
Equipe EAD
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u NICEUMA
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Apresentação
Olá estudante! Seja bem-vindo (a)
Apresentaçã
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u NICEUMA
Você está iniciando mais uma disciplina do curso de Administração na modalidade a distância. Trata-se da disciplina de Matemática Financeira.
Muitas pessoas crescem lendo as histórias do Tio Patinhas, criação de Walt Disney, desenhista norte americano. Nelas, o personagem do Tio Patinhas “curte” sua
fortuna, guardada a sete chaves em seu cofre.
Tudo isso é feito a partir de um princípio básico: quem empresta dinheiro a alguém espera recebê-lo, depois de certo tempo, acrescido de uma quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro. Essa quantia adicional cobrada a título de aluguel
do dinheiro emprestado é o que chamamos de juro.
Nos estudos de Economia, aprende-se que os recursos (fontes) são limitados, e
as necessidades infinitas. Entre essas necessidades, encontram-se os recursos financeiros, cada vez mais valorizados e disputados entre as empresas e pessoas.
Quem administra esses recursos deve conhecer os mecanismos básicos que a
Matemática Comercial e Financeira coloca à disposição para o trato seguro, transparente e honesto com o cliente.
Portanto, o objetivo deste material é auxiliar o trabalho, permitindo que o aluno
compreenda esses mecanismos de forma reflexiva, prática e crítica.
Vou apresentar conceitos e teorias que envolvem a temática da disciplina, organizando os conteúdos em 7 módulos e da seguinte forma:
Módulo I – Juros e Capitalização simples. Nesse módulo vou apresentar os seguintes conteúdos: Conceitos de Juro, Capital, Prazo e Taxa de Juros; Juro Comercial
e Juro Exato; Capitalização Simples; Montante e Valor Atual.
Módulo II – Capitalização Composta. Nesse módulo vou trabalhar com a Capitalização Composta, abordando o Montante e Valor Atual para Pagamento Único.
Módulo III – O Estudo das Taxas. Nesse módulo vou abordar: Taxa nominal,
taxas promocionais, taxas equivalentes e taxa real de juros.
Módulo IV – Os Descontos. Nesse módulo vou trabalhar com os descontos,
abordando conceitos e tipos de descontos.
Módulo V – Rendas. Nesse módulo vou apresentar os seguintes conteúdos: As
rendas certas, classificação e séries de pagamentos e cálculo de taxas.
Apresentação
No mundo real, no entanto, poucas pessoas estão dispostas a agir como Tio
Patinhas. Longe disso, quem tem dinheiro disponível nem pensa em guardá-lo consigo. Procura alguma maneira de empregá-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na
aquisição de bens, seja no mercado financeiro, ou, simplesmente, emprestando-o à
terceiros.
presentaçã
Módulo VI – Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos. Nesse
módulo vou abordar: Sistema Francês de Amortização, Sistema de Amortização Constante e Sistema de Amortização Americano.
Módulo VII – Análise de projetos e decisões de investimentos. Nesse módulo
vou trabalhar as técnicas para análise de investimentos, período de payback, valor presente líquido e taxa interna de retorno.
A proposta deste material é apresentar um trabalho didático, prático e com conteúdos significativos à sua formação. Ao final de cada módulo você encontrará as atividades de aprendizagem, que consistem em exercícios teóricos e práticos que permite
que você pratique tudo aquilo que foi estudado.
Seja bem-vindo (a) ao processo pela busca do saber, onde você é um sujeito ativo
e o professor um mediador, e que juntos, possamos estabelecer uma cumplicidade valorizada por curiosidade, motivação e exigência, propiciando a finalidade principal do
ensino universitário: o exercício da crítica na pesquisa, no ensino e na extensão.
Apresentação
Lembro que todas as orientações para a formatação e uniformização dos trabalhos acadêmicos estão apresentadas e seguem os critérios da ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas, através das Normas Brasileiras Regulamentadoras - NBR s
6.023 (Referências) e 10.520 (Citações), como aqueles definidos pelo UNICEUMA.
Bons estudos!
Professor Conteudista Kleverton Viana
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Sumário
APRESENTAÇÃO
MÓDULO I - JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
MÓDULO II - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Sumário
1 Conceitos de Juro, Capital, Prazo e Taxa de Juros....................10
1.1 Taxa de Juros................................................................................................10
1.2 Juro Comercial e Juro Exato...........................................................11
1.3 Capitalização Simples............................................................................11
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS......................................................................................................12
1.4 Montante e Valor Atual.....................................................................14
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS......................................................................................................15
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM ...................................................................................17
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES .......................................................................................19
MÓDULO III – O ESTUDO DAS TAXAS
1 Taxa nominal................................................................................................................40
1.1 Taxas Promocionais................................................................................40
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS......................................................................................................41
1.2 Taxas Equivalentes..................................................................................42
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.....................................................................................................43
1.3 Nominal e Efetiva (ou real).............................................................44
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.....................................................................................................45
1.4 Taxa Real de Juros...................................................................................46
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM.....................................................................................47
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES .......................................................................................49
MÓDULO IV – OS DESCONTOS
1. Conceitos.......................................................................................................................54
1.1 Desconto comercial simples .........................................................54
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS....................................................................................................56
1.2 Desconto racional simples...............................................................58
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.....................................................................................................59
1.3 Desconto composto...............................................................................60
1.3.1 Desconto racional composto.............................................................60
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.....................................................................................................62
1.3.2 Desconto comercial composto..........................................................63
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.....................................................................................................64
1.4 Equivalência de Capitais....................................................................65
Sumário
1 Capitalização Composta: Montante e Valor Atual para
Pagamento Único........................................................................................................26
Exercícios Resolvidos....................................................................................................30
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM ...................................................................................31
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES .......................................................................................33
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS....................................................................................................66
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM...................................................................................70
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES .....................................................................................72
MÓDULO V - RENDAS
Sumário
1 Rendas Certas ...........................................................................................................78
1.1 Classificação das Séries de Pagamentos.............................78
1.1.1 Séries Uniformes de Pagamentos....................................................79
1.1.2 Séries Uniformes de Pagamentos Postecipadas............................80
1.1.3 Dada a Prestação (PMT), Achar o valor Presente (PV)..............80
1.1.4 Dado o Valor Presente (PV), Achar a Prestação (PMT).............82
1.2 Dado o Valor Futuro (FV), Achar a Prestação (PMT)...83
1.2.1 Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n)......................84
1.2.2 Dado o Valor Futuro (FV), Calcular o Prazo (n).........................85
1.2.3 Cálculo da Taxa (i).............................................................................86
1.2.4 Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Futuro (FV).............87
1.2.5 Série Uniforme de Pagamentos Antecipados................................88
1.3 Dada a Prestação(PMT), Calcular o Valor Presente
(PV).......................................................................................................................88
1.3.1 Dado o Valor Presente (PV), Calcular a Prestação (PMT).........90
1.3.2 Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n)......................91
1.3.3 Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Futuro (FV).............92
1.3.4 Dado o Valor Futuro (FV), Calcular a Prestação (PMT)............93
1.3.5 Cálculo da Taxa (i).............................................................................94
1.4 Cálculo da Prestação (PMT)...........................................................95
1.4.1 Cálculo do Prazo (n).........................................................................96
1.4.2 Série Uniforme de Pagamento Diferida.........................................97
1.4.3 Cálculo do Valor Presente (PV)......................................................97
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM...................................................................................99
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES ...................................................................................101
Sumário
MÓDULO VI
- SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE
EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
1. Conceitos ..................................................................................................................108
1.1 Sistema Francês de Amortização (Sfa)................................108
1.1.1 Sistema de Amortização Constante (Sac)....................................111
1.1.2 Sistema de Amortização Americano (Saa)...................................112
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM ...............................................................................114
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES ...................................................................................115
MÓDULO VII - ANÁLISE DE PROJETOS E DECISÕES DE
INVESTIMENTOS
1 Técnicas para Análise de Investimentos......................................120
1.1 Período de Payback.............................................................................120
1.2 VPL (Valor Presente Líquido).......................................................121
1.3 Taxa Interna de Retorno (TIR) .................................................123
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM.................................................................................125
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES ...................................................................................126
REFERÊNCIAS.........................................................................................................127
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Módulo
Juros e Capitalização Simples
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Objetivo
Objetivo
Objetivo
Nesse módulo você iniciará os estudos de Matemática Financeira a partir
da análise e reflexão de conceitos básicos visando compreender os juros e a
capitalização simples.
Matemática Financeira
1 Conceitos de Juro, Capital, Prazo e Taxa de Juros
O Juro é a remuneração que o tomado de um empréstimo deve pagar ao dono do capital como compensação pelo uso do dinheiro. Indica-se o juro por (J). Para a determinação do juro envolvido em uma certa
operação financeira, alguns fatores merecem destaque especial.
Quanto ao capital considera-se que em Matemática Financeira, refere-se à qualquer valor expresso em
dinheiro e disponível em uma determinada data. O capital que dá início à uma dada operação financeira é
chamado de capital inicial ou principal. Indicaremos o capital inicial por C.
O prazo é o tempo que decorre desde o início até o final de uma dada operação financeira. O prazo
é contado em períodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre,
semestre, ano, etc.). Indicaremos o prazo por N.
Considera-se que na prática, o prazo pode ser a partir de duas convenções:
• Prazo exato: é aquele que leva em conta o chamado ano civil, no qual os dias são contados pelo
calendário, isto é, o mês pode ter 28 dias (fev.), 29 dias (fev., em anos bissextos, como em 1996,
2000, 2004, etc.), 30 dias (abr., jun., set., nov.) ou 31 dias (jan., mar., mai., jul., ago., out., dez.) ; e
o ano pode ter 365 dias ou 366 dias (anos bissextos).
• Prazo comercial (ou aproximado): é o que leva em conta o chamado ano comercial, isto é,
aquele em que o mês (qualquer que seja ele), é considerado como tendo 30 dias e o ano (qualquer que ele seja), 360 dias.
1.1 Taxa de Juros
É a razão entre o juro obtido no fim do primeiro período financeiro e o capital inicial.
A taxa de juro refere-se sempre à um dado período financeiro: ao dia (ad), ao mês (am), ao bimestre
(ab), ao semestre (as), ao ano (aa) etc.
Indicaremos a taxa de juro por (i).
A taxa de juro (i) costuma apresentar-se, principalmente, de duas maneiras, que são:
• Forma percentual: representa o juro de 100 unidades do capital, no período tomado como
unidade de tempo. São exemplos:
i = 30% am (lê-se: 30 por cento ao mês)
i = 0,5% ad (lê-se: meio por cento ao dia)
• Forma unitária: (ou centesimal) representa o juro de 1 unidade do capital, no período tomado como unidade de tempo. São exemplos:
I = 0,3 am
i = 0,005 ad
10
Curso à Distancia de Graduação em Administração
1.2 Juro Comercial e Juro Exato
Nas operações financeiras em que o prazo é contado em dias, o juro obtido recebe uma denominação
especial, dependendo do tipo de prazo que se considera.
• Juro comercial: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério do prazo
comercial, isto é, considera-se em todos os meses 30 dias.
• Juro exato: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério exato, isto é,
aquele que considera os dias do mês conforme foram concebidos no calendário.
Observação: Nos exercícios desta apostila, a não ser nos casoss indicados, considera-se sempre o juros
comercial simples.
Observação:
Nos exercícios desta apostila, a não ser nos casos indicados, considera-se
sempre o juros comercial simples.
1.3 Capitalização Simples
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial e que
portanto não incide sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em
função do tempo, ou seja, se quiser converter a taxa diária em mensal, basta multiplicá-la por 30; se desejar
uma taxa anual, tendo a mensal, basta multiplicá-la por 12, e assim por diante.
O valor dos juros é obtido através da expressão:
J=c.i.n
em que: J = valor de juros
c = valor do capital inicial ou principal
i = taxa da de juros
n = prazo
• Fórmulas:
Juros: J = c . i . n
Taxa:
Período = Prazo: Capital: 11
Matemática Financeira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00 pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês?
Dados: Solução: c = 10.000,00
i = 3% ao mês
n = 5 meses
J=?
J=c×i×n
J = 10.000,00 × 0,03 × 5 = 1.500,00
2. Um capital de R$ 25.000,00 aplicado durante 7 meses, rende juros de R$ 7.875,00. Determine a taxa correspondente.
Dados: c = 25.000,00
n = 7 meses
J = 7.875,00
i= ?
Solução: J=c×i×n
i=
J
=
c × n
7.875,00
= 0,45 ou 4,5 ao mês
25.000,00 × 7
3. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se:
Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?
Observação:
Dados: Solução: c = 50.000,00
n = 180 dias
J = 8.250,00
i=?
i=
J
cxn
i=
8.250,00
Quando o prazo informado for
em dias, a taxa resultante dos cálculos
será diária; se o prazo for em meses, a
taxa será mensal; se em trimestres, a taxa
será trimestral, e assim sucessivamente.
= 0,00091667, ou 0,091667% ao dia
50.000,00 × 180
4. Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 7.500,00, à taxa de 8% ao
trimestre, pede-se que se calcule o prazo.
Dados: c = 7.500,00
i = 8% ao trimestre
j = 6.000,00
n =?
J=c×i×n→n=
J
Solução: cxn
n=
6.000,00
7.500,00×0,08
12
= 6.000,00 = 10 trimestres, ou 2,5 anos.
600,00
Curso à Distancia de Graduação em Administração
5. Qual o capital que, à taxa de 4% ao mês, rende juros de R$ 9.000,00 em 1 ano ?
Dados: Solução: J = 9.000,00
i = 4% ao mês
n = 1 ano = 12 meses
c=?
J=c×i×n→c=
J
ixn
c = 9.000,00 = 9.000,00 = 18.750,00
0,04×12 0, 48
6. Um empréstimo de 23.000,00 é liquidado por 29.200,00 no final de 152 dias. Calcule a taxa mensal de
juros.
Dados: c = 23.000,00
n = 152 dias
m = 29.200,00 → montante final
i = ? (taxa mensal)
Solução: J=cxixn→i=
cxn
J = m - c = 29.200,00 – 23.000,00 = 6.200
i=
J
6.200,00
= 0,001773
23.000,00 x 152
ou 0,1773% ao dia (porque o prazo está expresso em número de dias)
Taxa mensal = im = 0,1773% x 30 = 5,32%
7. Calcule o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ 20.000,00, feita a uma taxa de 4,94% ao
mês, pelo prazo de 76 dias.
Dados: c = 20.000,00
n = 76 dias
i = 4,94% ao mês
J =?
m =?
Solução: J = c x i x n
J = 20.00,00 x 0,0494 x 76 = 2.502,93
30
m = P + J = 20.000,00 + 2.502,93 = 22.502,93
13
Matemática Financeira
1.4 Montante e Valor Atual
O montante (ou valor futuro), indicado por m, é igual à soma do capital inicial mais os juros referentes ao período da aplicação. Logo:
m=c+J
m = c + c x i x n, visto que J = c x i x n
Fórmulas:
Montante Final: m = c (1 + i. n)
Capital: c=
m
1+ixn
Taxa: m - 1
i=
c i
Período / Prazo: 14
m
i =
c
i
x 100
- 1
Curso à Distancia de Graduação em Administração
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Calcule o montante da aplicação de um capital de R$ 8.000,00, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 3% ao
mês.
Dados: c = 8.000,00
n = 12 meses
i = 3% ao mês
Solução: m =?
m = c (1 + i . n)
m = 8.000,00 (1 +0,03 x 12) = 8.000,00 x 1,36 = 10.880,00
2. Determine o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$ 60.000,00, sabendo que a taxa de juros
é de 5% ao mês e que faltam quatro meses para o seu vencimento.
Dados: m = 60.000,00
n = 4 meses
i = 5% ao mês
c=?
Solução:
3. Um empréstimo de R$ 40.000,00 deverá ser quitado por R$ 80.000,00 no final de 12 meses. Determine as
taxas mensal e anual cobradas nessa operação.
Dados: m = 80.000,00
c = 40.000,00
n = 12 meses
i=?
Solução: m = c (1 + i x n)
80.000,00 = 40.000,00 (1 + i x 12)
2 = 1 + i . 12
i=
1
= 0,0833 ou 8,33% ao mês
12
Taxa anual = 12 x 0,0833 = 1,00 ou 100%
15
Matemática Financeira
4. Em que prazo uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00, considerando-se
uma taxa de 30% ao ano?
Dados: m = 53.375,00
c = 35.000,00
i = 30% ao ano
n =?
Solução: J=m–c
J = 53.375,00 – 35.000,00 = 18.375,00
n=
16
J
c x i
=
18.375,00
35.000,00 x 0,30
= 1,75 ano, ou 21 meses.
Curso à Distancia de Graduação em Administração
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
Prezado estudante, resolva as seguintes atividades sobre juros simples:
1. Determine quanto receberá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano durante sete
meses.
2. Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11.200,00. Determine a taxa
anual.
3. Durante 155 dias foi gerado um montante de R$ 64.200,00. Sabendo que a taxa de juros é de 4% ao mês,
determine o valor do capital aplicado.
4. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00, resultante da aplicação de certo capital à
taxa de 42% a.a., durante 13 meses?
5. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$
125.000,00, sabendo que a taxa de juros é de 27% ao semestre?
6. Em quanto tempo um capital de R$ 800, 00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$
1.000,00?
7. Um capital de R$ 50.00,00 foi aplicado no dia 19-06-91 e resgatado em 20-01-92. Sabendo que a taxa de
juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcule o valor dos juros, considerando o número de dias efetivo entre
as duas datas.
8. Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, produz R$ 18.600,00
de juros?
9. Obteve-se um empréstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 14.675,00 no final de 8 meses e
meio. Qual a taxa de juros anual nessa operação?
10. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor?
11. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a 1/4 do seu valor?
12. Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo que o prazo da aplicação foi de 13 meses
e a taxa de juros de 6% ao mês, calcule o valor do montante.
13. Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzirá juros de R$ 62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao
mês?
14. Determine o capital necessário para produzir um montante de R$ 798.00,00 no final de um ano e meio,
aplicado a taxa de 15% ao trimestre.
17
Matemática Financeira
15. A aplicação de R$ 35.600,00 gerou um montante de R$ 58.028,00 no final de nove meses. Calcule a taxa
anual.
16. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao
mês e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros.
17. Determine o montante correspondente a uma aplicação de R$ 450.000,00 por 225 dias, à taxa de 5,6%
ao mês.
18. Calcule o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante
de R$ 543.840,00.
18
Curso à Distancia de Graduação em Administração
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Na Atividade de nº 1
Resposta: R$ 8.400,00
Um capital de R$ 60.000,00 aplicado à uma taxa de 24% ao ano por um período de sete meses recebe R$
8.400,00 de juros.
Na Atividade de nº 2
Resposta: 60% a.a
A taxa anual de um capital de R$ 28.000,00, que foi aplicado durante 8 meses e que rendeu juros de R$
11.200,00, é de 60% a.a (sessenta por cento ao ano).
Na Atividade de nº 3
Resposta: R$ 53.204,42
O capital aplicado foi de R$ 53.204,42 que com uma taxa de juros mensal de 4% por um período de 155
dias gera um montante de R$ 64.200,00.
Na Atividade de nº 4
Resposta: R$ 31.271,48
O valor dos juros é de R$ 31.271,48.
Na Atividade de nº 5
Resposta: R$ 156.500,00
Um empréstimo de R$ 125.000,00 com uma taxa de juros semestral de 27% por um período de cinco meses
e 18 dias corresponde ao valor de R$ 156.500,00.
Na Atividade de nº 6
Resposta: 250 dias ou 8,333 meses
Um capital de R$ 800, 00 aplicado à uma taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$ 1.000,00 em um
período de 250 dias ou 8,333 meses.
Na Atividade de nº 7
Resposta: R$ 16.722,22
O valor dos juros é de R$ 16.722,22.
19
Matemática Financeira
Na Atividade de nº 8
Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias
O tempo que um capital de R$ 40.000,00, aplicado à uma taxa de 5% ao mês, precisa para produzir R$
18.600,00 de juros é de 9,3 meses ou 279 dias.
Na Atividade de nº 9
Resposta: 66% ao ano
A taxa de juros anual de um empréstimo de R$ 10.000,00, liquidado por R$ 14.675,00 no final de 8 meses e
meio é de 66% ao ano.
Na Atividade de nº 10
Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses
Um capital aplicado à 48% ao ano dobra o seu valor em um período de 2,0833 anos ou 25 meses.
Na Atividade de nº 11
Resposta: 2,5% ao mês
Um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a 1/4 do seu valor com uma taxa de juros de 2,5%
ao mês.
Na Atividade de nº 12
Resposta: R$ 220.720,00
O valor do capital aplicado com uma taxa de juros de 6% ao mês, gerando um juros de R$ 96.720,00 em
treze meses, é de R$ 220.720,00.
Na Atividade de nº 13
Resposta: 128 dias
Um capital de R$ 270.420,00 produz um juros de R$ 62.304,77 à uma taxa mensal de 5,4% em um período
de 128 dias.
Na Atividade de nº 14
Resposta: R$ 420.000,00
O capital necessário para gerar, em um ano e meio, R$ 798.000,00 aplicado à uma taxa de 15% ao trimestre,
é de R$ 420.000,00.
Na Atividade de nº 15
Resposta: 84% ao ano
A taxa anual dessa aplicação é de 84%, para que R$ 35.600,00 gere um montante de R$ 58.028,00 no final
de nove meses.
20
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Na Atividade de nº 16
Resposta: R$ 285,71
O valor dos juros que gera um montante de R$ 1.000,00 em um período de oito meses e com uma taxa
mensal de 5% é de R$ 285,71.
Na Atividade de nº 17
Resposta: R$ 639.000,00
Uma aplicação de R$ 450.000,00 por 225 dias, à uma taxa de 5,6% ao mês corresponde à um valor de R$
639.000,00.
Na Atividade de nº 18
Resposta: R$ 400.000,00
O capital necessário para produzir um montante de R$ 543.840,00 é de R$ 400.000,00, aplicado à uma taxa
mensal de 6,2% e por um período de 174 dias.
21
@
u NICEUMA
VIRTUAL
Módulo
Capitalização Composta
@
u NICEUMA
VIRTUAL
Objetivo
Objetivo
Objetivo
Nesse módulo você ampliará os conhecimentos construídos no módulo
anterior sobre a capitalização simples, com a finalidade de compreender a capitalização composta.
Matemática Financeira
1 Capitalização Composta: Montante e Valor Atual para Pagamento Único
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos
juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização, o valor dos juros cresce em função
do tempo.
O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital
aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida.
taxa.
A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, m indica o montante, c o capital inicial, n o prazo e i a
A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é um pouco mais complexa que aquela
já vista para a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, supõe-se o seguinte problema:
Calcule o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.
Dados: c= 1.000,00
n= 5 meses
i= 4% ao mês
m=?
Como ainda não há uma fórmula para a solução fácil e rápida desse problema, e sabendo que a taxa
de juros para cada período unitário incide sobre o capital inicial mais os juros acumulados, calcula-se o
montante da forma mais primária possível.
Representa-se por mt (t= 1, 2, 3, 4, 5) o valor do montante no final de cada período unitário, que nesse
exemplo é o mês.
O quadro a seguir permite a visualização clara do cálculo do montante, mês a mês.
MÊS CAPITAL NO INICIO
(t)
DO MÊS (Ct)
1
1.000,00
2
1.040,00
3
1.081,60
4
1.124,86
5
1.169,86
JUROS CORRESPONDENTES
AO MÊS (Jt)
1.000,00 x 0,04 = 40,00
1.040,00 x 0,04 = 41,60
1.08,60 x 0,04 = 43,26
1.124,86 x 0,04 = 45,00
1.169,86 x 0,04 = 46,79
MONTANTE NO FINAL
DO MÊS (Mt)
1.040,00
1.081,60
1.124,86
1.169,86
1.216,65
Portanto, o valor do montante no final de cada mês constitui-se no capital inicial do mês seguinte.
Entretanto, essa forma de cálculo é extremamente trabalhosa e demorada. Nesse sentido sugere-se uma
fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior, mas sem que
sejam efetuadas as operações de multiplicação e soma, apenas usando a propriedade distributiva do produto
em relação à soma.
m0 = 1.000,00
m1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00 (1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)1
26
Curso à Distancia de Graduação em Administração
m2 = 1.000,00 (1,04) + 0,04 x 1.000,00 (1,04) = 1.000,00 (1,04) (1,04)
= 1.000,00 (1,04)2
m3 = 1.000,00 (1,04)2 + 0,04 x 1.000,00 (1,04)2 = 1.000,00 (1,04)2 (1,04)
m4 = 1.000,00 (1,04)3 + 0,04 x 1.000,00 (1,04)3 = 1.000,00 (1,04)3 (1,04)
= 1.000,00 (1,04)4
m5 = 1.000,00 (1,04)4 + 0,04 x 1.000,00 (1,04)4 = 1.000,00 (1,04)4 (1,04)
= 1.000,00 (1,04)5
m = C (1+i)n
A expressão (1+i)n é chamada fator de capitalização ou fator de acumulação de capital para pagamento
simples ou único.
Esse fator, que se encontra tabelado para diferentes taxas no Apêndice B, representa o montante para
uma unidade de capital, isto é, para P = 1.
Exemplo: Calcule o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 3%
ao mês.
Dados: c =15. 000,00
N = 6 meses
i = 3% ao mês
m =?
m = c (1+i)n
m= 15.000,00 x (1,03)6 = 17.970,78
OBSERVAÇÃO:
Para quem não possui uma calculadora que contenha a função potência yx, o
valor correspondente à expressão (1,03)6 pode ser obtido no Apêndice B, na tabela
definida para uma taxa de 3%, coluna correspondente ao Fator de Acumulação de
Capital (1 + i)n e na linha n = 6, onde encontra-se o valor 1,19405. A solução neste
caso seria assim obtida:
m = 15.000,00 x 1,19405 = 17.910,75
27
Matemática Financeira
A diferença de R$ 0,03 deve-se à problemas de arredondamento: enquanto a tabela apresenta o Fator
de Acumulação de Capital com cinco casas decimais, as calculadoras normalmente trabalham com um número maior de decimais.
O valor atual (ou valor presente) de um pagamento simples ou único, cuja conceituação é a mesma
já definida para capitalização simples, tem sua fórmula de cálculo deduzida da fórmula do montante, como
segue:
m = c (1 + i)n
c.
m
c = m.x
(1 + i)n
1
(1 + i)n
Em que a expressão
1
é chamada Fator de Valor atual para pagamento simples (ou único).
n
(1 + i)
Esse fator, que também encontra-se tabelado para diferentes taxas no Apêndice B, representa o valor
atual para o montante de uma unidade, isto é, para S = 1.
Exemplo:
No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referente ao valor
de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes à uma taxa de 4% ao mês.
Pergunta-se: Qual o valor emprestado?
Dados: m = 200.000,00
n = 2 anos = 24 meses
i = 4% ao mês
c=?
c=m
1
(1 + i)n
c = 200.000,00 x
1
= 78.024,29
(1, 04)24
OBSERVAÇÃO:
Para quem não possui calculadora com a função yx, o valor correspondente à
expressão 1/(1,04)24 também pode ser obtido no Apêndice B, na tabela correspondente à 4%, coluna correspondente ao Fator de Valor Atual 1/(1 + i)n e na
linha n = 24, onde encontra-se o valor de 0,39012. Neste caso, a solução seria
obtida como segue:
28
c = 200.000,00 x 0,39012 = 78.024,00
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Também neste caso, a diferença de R$ 0,29 deve-se à problemas de arredondamento pelas razões já
explicadas.
Fórmulas: Juros Compostos
Montante: m = C (1 + i)n
Capital Inicial: C=
Taxa: i=
n
m
(1 + i)n
M
C
-1
x 100
Período / Prazo: n = LogC M
Log (1 + i)
Juros: J = C [ (1 + i)n - 1]
29
Matemática Financeira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, para
pagamento em uma única prestação de R$ 22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela
loja?
Dados: m = 22.753,61
c = 16.000,00
n = 8 meses
i=?
8
i=
22753,61 - 1
8
x 100
1,42210 -1
x 100
16.000
i=
1,04499 - 1
x 100
i = 4,49999 %
i = 4,5% am
2. Em que prazo um empréstimo de R$ 30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 51.310,18,
sabendo-se que taxa contratada é de 5% ao mês?
Dados: n=
log 51.310,18
30.000
log (1+0,05)
n = 10,99952 meses
n = 11 meses
30
log 1,71034
=
log (1,05)
0,23308
0,02118
Curso à Distancia de Graduação em Administração
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
Prezado estudante, resolva as seguintes atividades referentes à aplicação de juros compostos.
1. Determine o montante no final de 10 meses, resultante de aplicações de um capital de R$ 100.000,00 à
taxa de 3,75% ao mês.
2. Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. Calcule as taxas
mensal e anual desse empréstimo.
3. Sabendo-se que taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determine
qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20.000,00 será resgatado por R$ 36.018,23.
4. Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter R$ 1.000,000, 00 no final de 19 meses?
5. Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, ao final de dois
anos. Sabendo que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcule o valor pelo qual esse empréstimo deverá
ser quitado.
6. Em que prazo uma aplicação de R$ 374.938,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera um resgate de R$
500.000,00.
7. Um terreno está sendo oferecido por R$ 450.000,00 à vista ou 150.000,00 de entrada e mais uma parcela
de R$ 350.000,00, no final de 6 meses. Sabendo que no mercado a taxa média para aplicação em títulos de
renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de Renda já computado),
determine a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo.
8. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor?
9. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% de seu valor, se aplicado à 3,755% ao
mês?
10. A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00 no final
de 1 ano e 3 meses. Calcule o valor dos juros.
31
Matemática Financeira
11. Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, à juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse
valor, pelo mesmo prazo, à juros simples de 5% ao mês?
12. No final de quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor:
a)No regime de capitalização composta;
b)No regime de capitalização simples;
13. Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580.000,00, à taxa de 175% ao ano, pelo prazo de 213
dias?
14. Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias produz um montante
de R$ 5.000,00?
15. A aplicação de R$ 400.000,00 proporcionou um resgate de R$ 610.461,56 no final de seis meses. Determine
as taxas mensal e anual dessa operação.
16. Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua
aplicação?
32
Curso à Distancia de Graduação em Administração
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Na atividade de nº 1
Resposta: R$ 144.504,39
O montante final de um capital de R$ 100.000,00 aplicado à taxa mensal de 3,75% em um período de 10
meses é de R$ 144.504,39.
Na atividade de nº 2
Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano
Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. A taxa mensal é
de 8% e a anual é de 151,817% .
Na atividade de nº 3
Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses)
O empréstimo será resgatado em um período de 5 trimestres, que corresponde à 15 meses.
Na atividade de nº 4
Resposta: R$ 520.154,96
Para ter R$ 1.000,000, 00 no final de 19 meses é preciso aplicar hoje um capital de R$ 520.154,96 à uma taxa
de 51,107% ao ano.
Na atividade de nº 5
Resposta: R$ 1.708.984,39
Com uma taxa de juros de 25% ao semestre durante dois anos, um empréstimo de R$ 700.000,00 é liquidado,
de uma só vez, pelo valor de R$ 1.708.984,39.
Na atividade de nº 6
Resposta: 9 meses
O prazo necessário para que R$ 374.938,00 aplicado à uma taxa de 3,25% ao mês, gere um resgate de R$
500.000,00, é de 9 meses.
Na atividade de nº 7
Resposta: A melhor opção é comprar à prazo.
33
Matemática Financeira
Na atividade de nº 8
Resposta: 4,162% meses
Para que um capital seja resgatado no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor é necessário que seja aplicado à uma taxa de juros de 4,162% ao mês.
Na atividade de nº 9
Resposta: 11 meses
Um capital produz juros iguais à 50% de seu valor quando aplicado à 3,755% ao mês e por um período de
11 meses.
Na atividade de nº 10
Resposta: R$ 396.288,79
O valor dos juros de um capital aplicado à uma taxa anual de 69,588% e que gerou um montante de R$
820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses é de R$ 396.288,79.
Na atividade de nº 11
Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.
Na atividade de nº 12
Respostas: a) 35,35 meses
b) 75 meses
a) No regime de capitalização composta o tempo necessário para que um capital aplicado à taxa de
4% ao mês, quadruplique seu valor é de 35,35 meses.
b) No regime de capitalização simples o tempo necessário para que um capital aplicado à taxa de 4%
ao mês, quadruplique seu valor é de 75 meses.
Na atividade de nº 13
Resposta: R$ 1.055.277,08
Um capital de R$ 580.000,00 aplicado à uma taxa anual de 175% e pelo prazo de 213 dias gera um montante
de R$ 1.055.277,08.
Na atividade de nº 14
Resposta: R$ 3.584,32
Um capital de R$ 3.584,32 se aplicado à uma taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias irá produzir um
montante de R$ 5.000,00.
34
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Na atividade de nº 15
Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano
Uma aplicação de R$ 400.000,00 proporcionou um resgate de R$ 610.461,56 no final de seis meses. A taxa
mensal é de 7,3% e a anual de 132,91% .
Na atividade de nº 16
Resposta: 308 dias
Se uma aplicação rende 0,225% ao dia, um investidor poderá receber o dobro do capital aplicado em um
período de 308 dias.
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@
u NICEUMA
VIRTUAL
Módulo
O Estudo das Taxas
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u NICEUMA
VIRTUAL
Objetivo
Objetivo
Objetivo
Nesse módulo você terá a oportunidade de estudar os principais conceitos
teóricos relativos às taxas, visando compreendê-las, identificá-las e diferenciá-las.
Matemática Financeira
1. Taxa nominal
No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é empregada de várias
formas, ou seja, vários conceitos são abordados em várias situações. Mostraremos as aplicabilidades das
taxas de juros do ponto de vista da matemática financeira.
É de fundamental importância o conhecimento e a compreensão da existência das taxas nominal e
efetiva.
Denomina-se taxa nominal quando o prazo de formação, ou incorporação, de juros ao capital (capitalizações), não coincide com o prazo a que se refere a taxa.
Neste caso, é comum adotar-se a convenção de que a taxa, por período de capitalização, seja proporcional à taxa nominal.
Em outras palavras, a taxa nominal, não pode ser tomada como referência para decisões na contratação de um empréstimo, ou aplicação de recursos.
Exemplo: Taxa Nominal de 48% a.a.
CAPITALIZAÇÃO
Mensal
Trimestral
Quadrimensal
Semestral
TAXA EFETIVA
48/12 = 4% a.m.
48/4 = 12% a.t.
48/3 = 16% a.q.
48/2 = 24% a.s.
● Para o tomador de empréstimos, a melhor opção é o menor n.°de capitalizações.
● Para o investidor, a melhor opção é o maior n.°de capitalizações.
1.1 Taxas Promocionais
Quando entre duas taxas existe a mesma relação que a dos períodos de tempo a que se referem, elas
são proporcionais. Sua utilização é em juros simples.
Fórmulas: ia = 360. id = 12 . im = 6 . ib = 4 . it = 3 . iq = 2 . is
Anual
Mensal
Diária
40
Trimestral
Bimestral
Semestral
Quadrimestral
Curso à Distancia de Graduação em Administração
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Determine a taxa anual proporcional à 2% ao mês.
Resposta:
ia = 12 . im
ia = 12 . 2%
ia = 24%. aa
2. Determine a taxa trimestral proporcional à 39,46% ao ano.
Resposta:
ie x 4 = ia
ie x 4 = 39,46%
ie = 39,46/4
ie = 9,87% at
41
Matemática Financeira
1.2 Taxas Equivalentes
São aquelas que referindo-se à períodos de tempo diferentes, fazem com que o capital produza um
mesmo montante em um mesmo tempo.
Taxa Equivalente para juros simples (mesmo que proporcional).
Fórmula: ia = 360. id = 12im = 6 . ib = 4 . ie = 3 . iq = 2 .is
Taxa equivalente para juros compostos:
Fórmula: (1+ia) = (1+id)360 = (1+im)¹² = (1+ib)6 = (1+ie)4 = (1+iq)3 = (1 +is)2
42
Curso à Distancia de Graduação em Administração
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Encontre uma taxa anual de juros composto, equivalente à 10% as.
is = 0,1
Resposta: (1 + is)2 = 1 + iA
(1 + 0,1)² = 1+iA
1 + iA = 1,1²
1 + iA = 1,21
iA = 0,21
0,21 aa ou 21% aa.
2. Encontre a taxa mensal de juro composto, equivalente à 9,2727%at.
Resposta:
it = 0,092727
im = ?
(1 + im) ¹² = (1 + it)4
(1 + im) ³ = 1 + 0,092727 (1 + im)³ = 1 + it
(1 + im)³ = 1,092727
Pela tabela financeira, temos: (1 + 0,03)³ = 1.092727
im = 0,03 am ou 3% am
(1 + im)³ = 1 + it
(1 + im)³ = 1 + 0,092727
(1 + im)³ = 1,092727
1 + im =
1 + im = 1,03
im = 0,03
3
1,092727
im = 3% am
43
Matemática Financeira
1.3 Nominal e Efetiva (ou real)
Quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no fim do ano não
correspondem à taxa oferecida, mas é maior. Desta forma, a taxa oferecida é chamada Nominal, enquanto
que a realmente paga é denominada Efetiva.
Exemplo: A CEF oferece dinheiro a 6% ao ano, com capitalização semestral:
• A taxa de 6% ao ano é Nominal.
• A taxa Efetiva é a taxa anual equivalente a 3% a. semestre = 1,03 (E) 2 (yx) 1 – 100
x = 6,09 a a. Cálculo mAq Hp 12 C
Fórmula:
1° Passo → ia = 360 . id = 12 . im = 6.ib = 4t = 3.iq = 2.is
2° Passo → (1 + ia) = (1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + ib)6 = (1+ it)4 = (1+ iq)³
44
Curso à Distancia de Graduação em Administração
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 36% aa, com capitalização mensal?
Resposta:
iA = ? iA = 0,36 aa
k = 12
Encontrando a taxa efetiva mensal: im x 12 = ia
im =
im =
iA
im = (
12
0,36
iA
12
) am
im = 0,03 am
12
Encontrando a taxa anual equivalente:
(i + im)12 = 1 + iA (1 + 0,03)12 = 1+iA
Pela tábua financeira: (1+00,03)12 = 1,425761
(1 + 0,03)12 = 1 + iA iA = 0,426
1,425761 = 1 + iA iA= 0,425761
0,426 aa ou 42,6% aa
2. No Brasil, as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juro à taxa nominal de 6% aa,
com capitalização mensal. Pergunta – se:
a) Qual a taxa efetiva mensal?
b) Qual a taxa efetiva anual?
Resposta:
a) im x 12 = ia
im =
ia
im =
12
b) (1 + im)12 = (1 + iA) 0,06
im = 0,005
12
(1 + 0,005)12 = 1 + iA
iA = (1+0,005)¹² - 1
iA = 0,061678
0,005 am e 0,061678 aa
45
Matemática Financeira
1.4 Taxa Real de Juros
A taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação à uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho
financeiro.
Considera-se que uma determinada aplicação financeira rendeu 10% em um determinado período de
tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto afirmar que o ganho real desta aplicação não foi os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8%
no mesmo período de tempo; desta forma deve-se encontrar qual o verdadeiro ganho em relação à inflação,
ou seja, a Taxa Real de Juros.
Fórmula:
ir =
(1 + i) - 1 x 100
(1 + iinf)
Onde:
i = representa a taxa de juros;
iinf = a taxa de inflação ou custo de oportunidade;
ir = taxa real de juros;
Exemplo:
Uma aplicação durante o ano de 2001 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5,8% ao ano, determine a taxa real de juros.
Dados: ir =?
i = 9,5% ao ano
iinf = 58% ao ano
Solução:
ir = [(1+0,095) / (1+0,058)] – 1 x 100
ir = [(1,095) / (1,058)] – 1 x 100
ir = [1,034972...] – 1 x 100
ir = 0,034972... x 100
ir = 3,5% ao ano
46
Curso à Distancia de Graduação em Administração
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
Prezado estudante, resolva as seguintes atividades referentes à Taxa de Juros.
1. Encontre a taxa de juros efetiva relativa à cada uma das seguintes taxas nominais: juros compostos.
a) 48% aa com capitalização semestral.
b) 100% aa com capitalização bimestral.
2. Encontre a taxa anual de juros compostos, equivalente a:
a) 40% as
b) 30% at
Se um capital de 1.000,00 puder ser aplicado à taxas de juros compostos de 10% ao ano, ou 33,1
ao triênio, qual a melhor opção?
4. Calcule a taxa anual equivalente à 10% ao mês.
5. Calcule a taxa mensal equivalente à 0,5% ao dia.
6. Calcule a taxa semestral equivalente à 12% ao bimestre.
7. Calcule a taxa quadrimestral equivalente a 10% ao trimestre.
8 .Calcular a taxa diária equivalente à 12% ao mês.
9. Calcule a taxa mensal equivalente à 100% ao ano.
10. Calcule a taxa anual equivalente à 25% ao mês.
11. Se a taxa média de inflação para os próximos 12 meses for de 15% ao mês, quais as previsões de inflação
anual?
12. Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 11% ao ano, e no mesmo período a inflação foi de
9% ao ano. Qual a taxa real de juros?
13. Um investimento rendeu 68% em 1 mês, no qual a inflação foi de 40%. O ganho real nesse mês foi de:
47
Matemática Financeira
14. Uma indústria deseja ampliar a capacidade produtiva de sua fábrica. Foi calculado que a taxa de retorno
deste investimento é de 15,00% ao ano. Sabe-se que esta fábrica possui uma rentabilidade real de seus
projetos de 5% ao ano. Qual será a rentabilidade real desse projeto se a taxa de inflação do período for de
12,5% ao ano? Considerando a política de rentabilidade da empresa, este projeto deve ser aceito?
15. Qual a melhor taxa para aplicação: 0,1% ao dia ou 405 ao ano?
48
Curso à Distancia de Graduação em Administração
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Na atividade de nº 1
Resposta: a) 53,76% aa
b) 152,16% aa
a) A taxa de juros efetiva relativa à 48% aa com capitalização semestral é de 53,76% aa .
b) A taxa de juros efetiva relativa à 100% aa com capitalização bimestral é de 152,16% aa.
Na atividade de nº 2
Resposta: a) 96% aa
b) 185,81 aa
a) A taxa anual de juros compostos equivalente à 40% as é de 96% aa.
b) A taxa anual de juros compostos equivalente à 30% at é de 185,81 aa.
Na atividade de nº 3
Resposta: As duas opções são equivalentes.
Na atividade de nº 4
Resposta: 213,84%.
A taxa anual equivalente à 10% ao mês é de 213,84%.
Na atividade de nº 5
Resposta: 16,14%
A taxa mensal equivalente à 0,5% ao dia é de 16,14%.
Na atividade de nº 6
Resposta: 40,49%
A taxa semestral equivalente à 12% ao bimestre é de 40,49%.
Na atividade de nº 7
Resposta: 13,55%
A taxa quadrimestral equivalente a 10% ao trimestre é de 13,55%.
49
Matemática Financeira
Na atividade de nº 8
Resposta: 0,378%
A taxa diária equivalente à 12% ao mês é de 0,378%.
Na atividade de nº 9
Resposta: 5,95%
A taxa mensal equivalente à 100% ao ano é de 5,95%.
Na atividade de nº 10
Resposta: 1355,19%
A taxa anual equivalente à 25% ao mês é de 1355,19%.
Na atividade de nº 11
Resposta: 435,03%
A previsão de inflação anual para uma taxa de 15% ao mês para os próximos 12 meses, é de 435,03%.
Na atividade de nº 12
Resposta: 1,83% ao ano.
Um capital que é aplicado por 1 ano com uma taxa de juros de 11% e no mesmo período a inflação é de 9
% ao ano, tem uma taxa real de juros de 1,83% ao ano.
Na atividade de nº 13
Resposta: 20% ao mês.
Um investimento rendeu 68% em 1 mês, no qual a inflação foi de 40%. O ganho real nesse mês foi de
20%.
Na atividade de nº 14
Resposta: 2,22% ao ano. O projeto não deve ser aceito.
Na atividade de nº 15
Resposta: 0,1% ao dia.
A melhor taxa para aplicação é de 0,1% ao dia.
50
@
u NICEUMA
VIRTUAL
Módulo
Os Descontos
@
u NICEUMA
VIRTUAL
Objetivo
Objetivo
Objetivo
Nesse módulo você estudará os descontos, visando compreendê-los,
através da reflexão, análise e observação de exemplos práticos.
Matemática Financeira
1. Conceitos
Ao se resgatar um título de créditos antes do seu vencimento, ele sofre um abatimento denominado
de desconto. O valor nominal ou valor futuro de um título é o seu valor na data do vencimento. Antes do
vencimento um título pode ser resgatado pelo seu valor presente. Nominalmente, o resgate de um título
é efetuado utilizando o desconto simples. No presente estudo, também serão apresentados os descontos
compostos.
O desconto consiste no abatimento sobre o valor de um título que alguém faz jus por “comprá-lo” em
data anterior à seu vencimento. Indica-se o desconto por d . Nas operações envolvendo um título de crédito,
destaca-se alguns elementos relativos à data de análise do problema, que são:
Valor nominal, ou valor futuro do título Valor atual, ou valor presente do título
É o valor do título em uma data posterior à É o valor do título na data da análise do
da análise do problema, normalmente esta problema. Indica-se o valor atual por A.
data posterior é a data de vencimento do
título. Indica-se o valor nominal por N.
Pode ocorrer, no entanto, de um título ter seu valor definido em data anterior à data de análise. Neste
caso modifica-se a data de análise para a data em que o valor do título foi definido e calcula-se o valor nominal deste título na data em que se deseja.
Exemplo:
No caso de uma pessoa possuidora de uma duplicata de R$20. 000,00 que a “vendeu” à um banco, em
uma data anterior à de seu vencimento, por R$ 15.000,00:
Valor nominal: N = R$ 20.000,00
Valor atual (na data de resgate) A = R$ 15.000,00
Descontos: d = 20 000 – 15 000 → d = R$ 5.000,00
O exemplo dado ilustra as seguintes relações básicas envolvidas em uma operação de desconto:
d=N–A
ou
A=N–d
ou
N=A+d
d = desconto
A = valor atual
N = valor nominal
Na prática, o desconto consiste no juro cobrado pelo comprador do título, a pretexto de “aluguel”
do dinheiro antecipado. Quando esse juro é calculado sobre um único valor do título (nominal ou atual) o
desconto é chamado desconto simples.
54
Curso à Distancia de Graduação em Administração
É claro que o correto é calcular o desconto com base no valor atual, considerando que é uma espécie
de juros e é proporcional ao capital envolvido, e logo deve ser proporcional ao valor atual do título, que
representa o valor do capital naquele momento. No entanto, muitas vezes os descontos são cobrados com
base no valor nominal, por representar maior rentabilidade para o “comprador do título”.
Esse fato gera o aparecimento de dois tipos de descontos simples: o racional (calculado sobre A) e o
comercial (calculado sobre N), conforme apresenta-se a seguir.
1.1 Desconto comercial simples
O desconto comercial simples é também chamado de desconto “por fora”. Esse desconto é aplicado
sobre o valor nominal do título. Indica-se o desconto comercial por dc.
Observação:
Neste módulo o desconto comercial simples é designado apenas por
desconto comercial.
Esse tipo de desconto equivale à uma espécie de juros simples, em que o capital inicial (C ou A) foi
substituído pelo valor nominal do título (N).
Assim, para um título de valor nominal N, descontado em n período de tempo antes de seu vencimento, à uma taxa de desconto comercial ic:
d = Ain
dc = Nicn
A relação entre o valor nominal e o valor atual, sob o critério do desconto comercial, pode ser deduzida da seguinte forma:
Ac = N – dc
Ac = N – Nicn
Ac = N (1 – icn) ou N =
Ac
1 - icn
Em resumo, as relações básicas para o trato do desconto comercial são:
dc = Nicn
dc = desconto comercial
ic = taxa de desconto comercial
n = prazo de antecipação do título
Ac = N(1 – icn)
ou
N=
Ac
1- icn
Ac = valor atual comercial
N = valor nominal
Observação:
ic e n referem-se à um mesmo período de tempo
55
Matemática Financeira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Em 1992 um título com valor nominal de R$ 35.000,00 foi resgatado 40 dias antes de sua data de vencimento, à taxa de 30% ao mês. Qual o desconto comercial concedido?
Resposta:
dc?
N = 35.000
ic = 30% am = 1% ad → ic = 0,01 ad
n = 40 d
Aplicando a relação 48:
dc = Nicn
dc = 35.000 x 0,01 x 40
dc = R$ 14.000,00
2. Em 1992 resolvi quitar uma dívida de R$ 8.500,00, faltando 23 dias para o seu vencimento. Que valor
devo pagar, se meu credor exigiu que a operação se realizasse com base na taxa de desconto comercial de
36% ao mês?
Resposta:
Ac = ?
N = 8.500
ic = 36% am = 1,2% ad → ic = 0,012 ad
n = 23d
Por 49, entende-se:
Ac = N (1 – icn) Ac = 8.500 (1 – 0,012 x 23)
Ac = 8.500 x 0,724
Ac = R$ 6.154,00
3. Por uma duplicata de R$ 20.000,00, um banco pagou o líquido de R$ 19.250,00. Quantos dias ainda faltavam para o vencimento do título, se operação deu-se à taxa comercial de 30% aa?
Resposta:
n=?
Ac = 19.250
Por 49, entende-se:
Ac = N (1 – icn) N = 20.000
ic = 30% aa = 0,3 aa
19.250 = 20.000 (1 – 0,3n)
19.250 = 1 – 0,3n
0,9625 = 1 – 0,3n
20.000
0,3n = 0,0375
56
n = 0,125 ano ou n= (0,125 x 360) dias
n = 45 dias
n = 0,0375
0,3
Curso à Distancia de Graduação em Administração
4. Um banco opera no desconto de título à taxa comercial simples de 20% am. O sacador de uma duplicata
de R$ 3.000,00 deseja “vendê-la” à esse banco 7 meses antes de sua data de vencimento. Vale a pena realizar
essa operação?
Resposta:
Ac =?
N = 3.000
Ac = N (1 – icn) ic = 20% am → ic = 0,2 am
n=7m
Ac = 3.000 (1 – 0, 2 x 7)
Ac = 3.000 x (-0, 4)
Ac = - R$ 1.200,00
Não compensa, pois teoricamente o cliente teria que pagar para descontar o título. Na prática o banco não
aceitaria o título.
5. O quociente entre os descontos comercial e racional de um título é de 1,5. Qual a taxa de desconto
comercial adotada na operação, se ir = 2ic se o período de antecipação foi de 5 meses?
Resposta:
Encontrando o quociente entre dc e d:
dc = Nicn
e
d=
dc= (1+in) ic
1+ in
d
Nin → dc = Nicn
d
Nin
i
1 + in
Como dc= 1,5 e i = 2 ic :
d
(1+in) ic = 1,5 0,5 x (1 + i x 5) = 1,5 →
0,5 x (1 + ic x 10) = 1,5
0,5 + 5 ic = 1,5 ic = 0,2
→
ic = 20% am
57
Matemática Financeira
1.2 Desconto Racional Simples
O desconto racional simples também é chamado de “desconto por dentro” ou desconto real. É o
desconto simples aplicado sobre o valor atual do título. Indica-se o desconto racional por d.
Observação:
Por questões práticas, o desconto racional simples poderá ser
designado, abreviadamente, por desconto racional neste módulo.
Esse tipo de desconto equivalente à uma espécie de juros simples, em que o capital inicial corresponde ao valor atual do título. Assim, para um título descontado em n períodos de tempo antes de sua data de
vencimento, à uma taxa i e com certo valor atual A:
d = Ain
No entanto, na maioria das situações envolvendo descontos, observa-se o conhecimento do valor
nominal e não do valor atual do título. Por esse motivo, faz-se necessária a dedução de uma relação para o
desconto racional, que envolva nominal do título.
Por (43), sabe-se que: A = N – d
d = Ain d = (N – d) in d + din = Nin d (1 + in) = Nin
d = Nin – din
Logo: d = Nin
1 + in
Agora, acompanhe a dedução de uma importante relação para o trato do desconto racional: a relação
entre o valor nominal e um dado atual racional.
A = N – d → A = N – Nin/1+in → A = N(1 = in) – Nin/1 + in
→ A = N + Nin – Nin//1 + in → A = n/1 + in ou N = A(1 + in)
Percebe-se que nada mais é do que a fórmula do montante: M = C (1 + it), adaptada ao desconto.
d = Nin
1 + in
A = N
ou
N = A (1 + in)
1 + in
d = desconto racional
i = taxa de desconto racional
n = prazo de antecipação do título
A = valor atual racional
N = valor nominal
Observação:
i e n referem-se à um mesmo período de tempo.
58
Curso à Distancia de Graduação em Administração
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de R$ 6.462,50, 2 meses antes da data de
vencimento. Qual o desconto a que fará jus se a taxa corrente no mercado é de 60% aa e o critério adotado
foi o desconto racional simples?
Resposta:
d=?
N = 6.462,50
i = 60% aa = 5% am → i = 0,05 am
n=2m
Aplicando 45:
d = Nin
→ d = 6.462,50 x 0, 05 .x 2 1 + in
→
d = 646, 25
1 + 0, 05 x 2
→
d = R$ 587,50
1,1
2. Qual o valor atual de uma nota promissória de R$ 7.500,00, 4meses antes de seu vencimento, à taxa de
60% aa? (Considere o desconto racional simples).
Resposta:
A=?
N = 7 500
i = 60% aa = 5% am → i = 0,05 am
n=4m
Por 46, temos:
A=N
→
A=
1+ in
7.500
→
1 + 0,05 x 4
A = 7.500
→
A = R$ 6.250,00
1,2
3. Uma nota promissória, resgatada 90 dias antes de seu vencimento, foi negociada por R$ 53.409,00, à taxa
de desconto racional de 84% aa. Qual era o valor nominal desse título?
Resposta:
N=?
A = 53.409
i = 84% aa = 7% am → i = 0,07 am
n =3m
Por (46) entende-se:
N = A (1 + in)
N = R$ 53.409 (1 + 0,07x 3) → N = R$ 53.409 x 1,21
N = R$ 64.424,89
59
Matemática Financeira
1.3 Desconto Composto
tos.
O estudo dos descontos será estendido ao sistema de capitalização composta: os descontos compos-
Analogamente ao juro composto, os descontos compostos também são obtidos por cálculos
exponenciais, visto que o desconto composto é, na verdade, uma sucessão de descontos simples, calculados
período a período.
Da mesma maneira que os descontos simples, os descontos compostos podem ser de dois tipos: o
desconto comercial composto e o desconto racional composto. No entanto, o desconto comercial composto
quase não apresenta aplicação prática no Sistema Financeiro brasileiro, razão pela qual é apresentado aqui
de forma sucinta.
A simbologia adotada no trato com o desconto composto é a seguinte:
dc = desconto comercial composto
d = desconto racional composto
N = valor nominal
A = valor atual racional
Ac = valor atual comercial
i = taxa de desconto composto racional
ic = taxa de desconto composto comercial
n = prazo de antecipação
1.3.1 Desconto racional composto
O desconto racional composto, relativo à um dado título de crédito, é a diferença entre o valor nominal
e o valor atual deste, os quais são determinados com base no sistema de capitalização composta.
d=N–A
Como se trata de desconto racional, a fórmula para o valor atual pode ser obtida pela relação do
montante composto (65).
M = C (1 + i)t N = A (1 + i)n ou A = N (1 + i)-n
Onde: d = N – A 60
d = N – N. (1 + i)-n
ou d = N [1 – (1 + i)-n]
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Em resumo:
N = A (1 + i)
A = N (1 + i)-n
d = N [1 – (1 + i)-n]
N = valor nominal
A = valor atual racional
i = taxa de desconto composto
n = prazo de antecipação do título
d = desconto racional composto
Observação:
(1 + i) e (1 + i) encontram-se tabelados.
61
Matemática Financeira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Encontre o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, recebido 2
meses antes seu vencimento, à taxa de 3% am.
Resposta:
d=?
N = 50.000
i = 3% am = 0,03 am
n=2m
Aplicando a relação (75c):
d = N[1 – (1 + i)-n] Consultando a tábua financeira para i =3% e n = 2, encontra-se: (1+ 0,03)² = 0,942596.
Daí: d = 50.000 [1 – 0,942596] d = 50.000 [1 – (1 + 0,03)-2]
d = 50.000 x 0,057404
d = 2.780,2
d = R$ 2.870,20
2. Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, resgatado racionalmente à taxa composta de 4% am, 3
meses antes de seu vencimento?
Resposta:
A=?
N = 100.000
Aplicando a relação (75b):
A = N(1 + i)-n
i = 4% am = 0,04 am n=3m
A = 100.000 (1 + 0,04)-3
Pela tábua financeira, (1 + 0,04)-3 = 0,888996. Então:
A = 100.000 x 0,888996 A = 88.899,6
A = R$ 88.899,60
3. Por ter pago uma dívida de R$ 300.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, uma pessoa obteve um
desconto de R$ 22.846,50. Qual a taxa de desconto racional envolvido nessa operação?
Resposta:
i=?
N = 300.000 d = 22.846,5 Aplicando a relação (75c):
d = N[1 – (1 + i)-n]
22.846,5 = 300.000 [1 – (1 + i)-4]
0,076155 = 1 – (1 + i)4
(1 + i)4 = 0,923845
Pela tábua financeira: i = 2% am ou 0,02 am
62
n=4m
Curso à Distancia de Graduação em Administração
1.3.2 Desconto comercial composto
As fórmulas para o cálculo do desconto comercial composto, relativo à um dado título de crédito, são
obtidas pelas fórmulas do desconto comercial simples, aplicadas período à período.
Chamando de Anc o valor atual comercial do título, em n períodos antes de sua data de vencimento,
observa-se:
Ac1 = N (1 – ic)
Ac2 = Ac1 (1 – ic)
Substituindo Ac1 em Ac2:
Ac2 = N = (1 – ic) x (1 – ic) Ac2 = N (1 – ic)²
Analogamente:
Ac3 = Ac2 (1 – ic) Ac3 = N(1 – ic)² (1 – i) Ac3 = N (1 – ic)³
Generalizando esse processo:
Ac = N (1 – ic)n
Quanto à relação para o desconto comercial composto:
dc = N – Ac dc = N – N (1 – ic) dc = N [1 – (1 – ic)n]
Ac = N (1 – ic) ou N Ac
(1 – ic)n
dc = N [1 – (1 – ic)n ]
Onde:
Ac = valor atual comercial
N = valor nominal
ic = taxa de desconto comercial composto
n = prazo de antecipação
dc = desconto comercial composto
63
Matemática Financeira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Obtenha o desconto comercial composto, concedido no resgate de um título de R$ 50 000,00, 2 meses
antes de seu vencimento, à taxa de 3% am.
Resposta:
N = 50.000 dc = N [1 – (1-ic)] i = 3% am = 0,03
n = 2
dc = ?
dc = 50.000 [1 – (1 – 0,03)²]
dc = 50.000 x 0,0591
dc = R$ 2.955,00
2. Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, considerando-se a taxa
composta de 4% am, sob o critério do desconto comercial?
Resposta:
N = 100.000 64
i = 0,04 am
n = 3 m Ac = N(1 – ic) Ac = 100.000 (1 – 0,04)³
Ac = 100.000 x 0,884736
Ac = R$ 88.473,60
Ac = ?
Curso à Distancia de Graduação em Administração
1.4 Equivalência de Capitais
Dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes são ditos capitais equivalentes quando,
transportados para uma mesma data, à mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.
A data para a qual os capitais serão transportados é chamada data focal. No regime de juros simples,
a escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto significa que definida uma taxa de juro, e a
forma de cálculo (se racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser equivalentes, se transportados para uma certa data, e podem não ser equivalentes, se transportados para uma outra
data, mesmo mantendo-se todas as outras condições do problema.
A fim de fazer o transporte de um capital para a data focal, destaca-se dois casos:
• 1º caso: o capital está localizado em data posterior à data focal.
Nesse caso, deve-se encontrar o valor atual do capital na data focal, fazendo uso da fórmula do valor
atual (racional ou comercial, conforme o caso).
• 2º caso: o capital está localizado em data anterior à data focal.
Nesse caso, deve-se encontrar o valor futuro do capital, fazendo uso da fórmula do valor nominal
(racional ou comercial, conforme o caso).
Na prática, os problemas envolvendo equivalência de capitais surgem, principalmente, quando há a
mudança da data de vencimento de um título.
65
Matemática Financeira
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Verifique se os capitais R$ 6.400, 00, com vencimento para 3 meses, e R$ 10. 000, 00, com vencimento
para 7 meses, são ou não equivalentes pelo critério da taxa comercial simples a 10% am, na data focal 5.
Resposta:
Transportando, pela relação (49), o primeiro capital para a data focal:
N = Ac 1 – icn
N = 6.400
N = 8.000
1 – 0,1 x 2
Transportando, pela relação (49), o segundo capital para a data focal:
Ac = N(1 – icn)
Ac = 10.000 (1 – 0,1 x 2) → Ac = 8.000
Os capitais são equivalentes, pois ambos valem R$ 8.000,00 na data focal 5.
2. Desejo substituir um título de R$ 50.000,00 que vence hoje por outro que vencerá daqui a 3 meses. Para
esse tipo de transação, o banco aplica a taxa comercial simples de 20% am e, para os cálculos, adota a data
focal 3. Qual o valor do novo título?
Resposta: Vamos chamar de N a quantia procurada.
Transportando, pela relação (49), o capital dado para a data focal:
N =
Ac 1 – icn
N = 50.000
1 – 0,2 x 3
N =
50.000
0,4
O novo título com vencimento para três meses terá valor nominal de R$ 125 000,20.
66
Curso à Distancia de Graduação em Administração
3. Uma pessoa trocou um título de R$ 159.500,00, com vencimento para 45 dias, por outro a ele equivalente,
a uma determinada taxa de desconto racional, com vencimento para 10 dias e valor nominal R$ 121.000,00.
Qual o valor dessa taxa racional, considerando-se a data focal zero?
Resposta:
Transportando o título a 45 dias para a data focal:
A = N → A1 = 159 500
1 + in
1 + 45i
Transportando o título a 10 dias para a data focal:
A2 = 121 000
A = N
1 + in
1 + 10i
Para que os dois capitais sejam equivalentes, deve-se ter A1 = A2:
A1 = A2 159.500 = 121.000 1 + 45i
159.500(1 + 10i) = 121.000 (1 + 45i)
1 + 10i
319 (1 + 10i) = 242 (1 + 45i)
319 + 3.190i = 242 + 10.890i
7.700i = 77
i = 0,01 ad ou i = 1% ad
67
Matemática Financeira
4. Uma pessoa deve a um banco os seguintes valores: 30.000,00 com vencimento hoje, R$ 50.000,00 com
vencimento para 30 dias e R$ 70.000,00 com vencimento em 60 dias. No entanto, sentindo que não poderá
pagar essas quantias nas datas previstas, propõe ao seu credor o pagamento total da dívida, em uma só vez,
daqui a 90 dias. Qual o valor desse pagamento único, se foi usada para essa transação a taxa simples racional
de 15% am e a data focal 90?
Resposta:
O valor procurado (N) será a soma dos valores futuros de cada uma das partes da dívida (N1, N2 e N3), em
sua data focal.
Aplicando, em cada caso, a relação 46:
N1 = A1 (1 + in1) → N1 = 30.000 (1 + 0,15 x 3) → N1 = 43.500
N2 = A2 (1 + in2) → N2 = 50.000 (1 + 0,15 x 2) → N2 = 65.000
N3 = A3 (1 + in3) → N3 = 70.000 (1 + 0,15 x1) → N3 = 80.500
Como N = N1 + N2 + N3:
N = 43.500 + 65.000 + 80.500
N = 189.000
O pagamento proposto será de 189.000,00.
5. Uma pessoa deseja substituir um título de valor nominal de R$ 85.000,00, com vencimento daqui a 2
meses, por outro título, com vencimento para 5 meses. Qual o valor nominal do novo título, sabendo-se
que o banco em questão adota, nesse tipo de operação, a taxa composta de 9% am e o critério do desconto
racional?
Resposta:
N=?
A = 85.000
N=3
i = 0,09
N = A (1 + i)
N = 85.000 (1 + 0,09)³
N = 85.000 x 1,295029
N = R$ 110077,46
68
Curso à Distancia de Graduação em Administração
6. Um comerciante deve dois títulos: um de R$ 90.000,00, com vencimento para 5 meses, e outro de R$
140.000,00, com vencimento para 7 meses, e deseja pagá-los hoje. Quanto deverá desembolsar, se a operação
vai se realizar a 4% am, sob o critério do desconto racional composto?
Resposta:
Transportando o título de 5 meses para a data zero:
A = N (1 + i) A = 90.000 (1 + 0,04) -5
A = 90.000 x 0,821927 A = R$ 73.973,43
Transportando o título de 7 meses para a data zero:
A = N (1 + i) A = 140.000 (1 + 0,04) -7
A = 140.000 x 0,759918 A = R$ 106.388,52
O valor procurado (x) será dado pela soma dos valores atuais encontrados:
X = 73.973,43 + 106.388,52 R$ 180.361,95
69
Matemática Financeira
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
Prezado estudante, resolva as seguintes atividades sobre descontos simples e descontos
compostos.
1. Um título com valor nominal de R$ 50.000,00 foi resgatado 15 dias antes de sua data de vencimento, à taxa
de 90% aa, sob o critério do desconto racional. Qual foi o desconto concedido? Por quanto foi negociado
o título?
2. Em 1992, sobre uma dívida paga 18 dias antes de seu vencimento, obteve-se um desconto comercial de
R$ 56.160,00. Qual era o valor dessa dívida, se a taxa de desconto comercial usada na operação foi de 120%
am?
3. Em 1992, o resgate de uma nota promissória de R$ 320.000,00, 1 mês e 15 dias antes de seu vencimento,
foi feito com desconto comercial de R$ 144.00,00. Qual a taxa diária de desconto adotada nessa operação?
4. Qual o prazo de antecipação de um título de R$ 32.000,00, negociado com desconto de R$ 8.064,00, à
taxa comercial de 7% am?
5. Em 1992, por uma duplicata de R$ 50.000,00, um banco pagou, em data anterior à seu vencimento, R$
30.000,00. Encontre o período de antecipação do título, sabendo que a operação se deu sob o critério do
desconto comercial, a 4% ad.
6. Qual o valor líquido de uma nota promissória de valor nominal R$ 70.213,15, resgatada 2 meses antes de
vencimento, a 17% am, pelo critério do desconto racional?
7. Dois títulos (A e B) foram resgatados 3 e 4 meses, respectivamente, antes de suas datas de vencimento
e receberam desconto “por fora”, à taxa de 5% am. A diferença entre os descontos obtidos pelo título B e
pelo título A foi de R$ 4.500,00. Encontre o valor nominal de cada título, sabendo-se que os dois somam
R$ 390.000,00.
8. Uma indústria obteve um empréstimo para ser pago, em um único pagamento de R$ 2.000,000,00, após
1 ano. Decorridos 10 meses, a diretoria resolveu liquidá-lo. Qual o desconto racional a que fez jus se a taxa
adotada na operação foi de 5% am?
70
Curso à Distancia de Graduação em Administração
9. Com base na taxa composta de 10% am, um título foi descontado 3 meses antes do seu vencimento. Qual
o valor atual desse título se o seu valor nominal é de R$ 400.000,00?
10. Um título de R$ 350.000,00, com vencimento em 10/4/98, foi descontado em 10/4/96 em um banco
que cobra 14% aa, capitalização semestralmente. Qual o valor recebido pelo título em 10/4/96?
11. O valor de título, descontado 6 meses antes de seu vencimento, reduziu de R$ 465,85 para R$ 350,00.
Qual a taxa bimestral racional composta, adotada nessa operação?
12. Encontre a taxa de juro composto adotada no desconto racional de um título de R$ 975.000,00, sabendo
que o título sofreu um desconto de R$ 125.344,50 a 4 meses de seu vencimento.
13. Por um título de R$ 1.000,000, 00 paguei R$ 887.971,00. Qual o prazo de antecipação desse título, se o
desconto racional composto deu-se a 2% am?
14. Um automóvel é vendido a vista por R$ 23.000,00. A prazo, o automóvel é vendido em dois pagamentos
de R$ 13.200,00 mensais, sendo o primeiro em 30 dias. Qual a taxa racional de juro adotada nessa operação?
(Dado: data focal zero.)
15. Uma empresa tomou emprestado de um banco o valor de R$ 2.000 000,00, à taxa de juro composto
de 12% am, por 7 meses. No entanto, 15 dias antes da data prevista para o vencimento, a empresa decidiu
liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se nessa data o banco estava operando a 15% am?
71
Matemática Financeira
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Na atividade de nº 1
Resposta: d = R$ 1.807,23
A = R$ 48.1792,77
Um título de R$ 50.000,00, sendo resgatado 15 dias antes de seu vencimento, à uma taxa de 90% aa, sob o
critério do desconto racional, tem um desconto de R$ 1.807,23, sendo negociado por R$ 48.1792,77.
Na atividade de nº 2
Resposta: R$ 7.800,00
O valor de uma dívida, paga 18 dias antes de seu vencimento e que ao ser paga teve um desconto comercial
de R$ 56.160,00 de 120% am, é de R$ 7.800,00.
Na atividade de nº 3
Resposta: 0,01 ou 1%
A taxa diária de desconto foi de 0,01 ou 1%.
Na atividade de nº 4
Resposta: 3 meses ou 18 dias
O prazo de antecipação de um título de R$ 32.000,00, negociado com desconto de R$ 8.064,00, à taxa comercial de 7% am é de 3 meses ou 18 dias.
Na atividade de nº 5
Resposta: 10 dias
O período de antecipação do título é de 10 dias.
Na atividade de nº 6
Resposta: R$ 52.397,87
O valor líquido de uma nota promissória de R$ 70.213,15, resgatada 2 meses antes de seu vencimento, a 17%
am, pelo critério do desconto racional, é de R$ 52.397,87.
Na atividade de nº 7
Resposta: NA = R$ 180.000,00
NB = R$ 210.000,00
Os valores nominais de cada título respectivamente são: título A é no valor de R$ 180.000,00 e o título B no
valor de R$ 210.000,00.
Na atividade de nº 8
Resposta: R$ 185.942,00
O desconto racional do empréstimo foi de R$ 185.942,00.
72
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Na atividade de nº 9
Resposta: R$ 300.526,00
O valor atual do título é de R$ 300.526,00.
Na atividade de nº 10
Resposta: 267.013,25
Um título de R$ 350.000,00, com vencimento em 10/4/98, foi descontado em 10/4/96 em um banco que
cobra 14% aa, com uma capitalização semestral. O valor recebido pelo título em 10/4/96, data em que foi
descontado, é de 267.013,25.
Na atividade de nº 11
Resposta: 10% ab
A taxa bimestral racional composta de um título que foi descontado 6 meses antes de seu vencimento e que
teve seu valor reduzido de R$ 465,85 para R$ 350,00, é de 10% ab.
Na atividade de nº 12
Resposta: 3,5 am
Um título de R$ 975.000,00, que teve um desconto de R$ 125.344,50 à 4 meses de seu vencimento, tem uma
taxa de juro composto de 3,5% ao mês.
Na atividade de nº 13
Resposta: 6 meses
Um título de R$ 1.000,000, 00 pago por R$ 887.971,00, tem um prazo de antecipação de 6 meses, com um
desconto racional composto de 2% ao mês.
Na atividade de nº 14
Resposta: 10% am
Um automóvel que é vendido a vista por R$ 23.000,00 e a prazo em dois pagamentos de R$ 13.200,00
mensais, com o primeiro em 30 dias, tem uma taxa racional de juro de 10% ao mês.
Na atividade de nº 15
Resposta: R$ 4.122. 941,32
Um banco empresta à uma empresa a quantia de R$ 2.000 000,00, à uma taxa de juro composto de 12% ao
mês, durante 7 meses. Entretanto, a empresa liquida a dívida 15 dias antes do vencimento. Como o banco
nessa data opera com uma taxa de 15% ao mês, o valor a ser pago é de R$ 4.122. 941,32.
73
@
u NICEUMA
VIRTUAL
Módulo
Rendas
@
u NICEUMA
VIRTUAL
Objetivo
Objetivo
Objetivo
Nesse módulo você estudará de forma ampla as rendas, visando compreendê-las e identificá-las na resolução de problemas.
Matemática Financeira
1 Rendas Certas
Certamente, você já se deparou com uma das seguintes situações:
• Compra de um bem de consumo a credito;
• Investimento em poupanças programadas;
• Compra de imóvel pelo Sistema Financeiro de Habilitação – SFH.
Considera-se que quando se quer construir um capital, deposita-se, periodicamente, certa quantia em
um banco. Neste caso, efetua-se uma Capitalização. Nos casos em que é pago, periodicamente, certa quantia
para resgatar uma dívida, realiza-se uma Amortização.
Essa sucessão de pagamentos e depósitos recebe o nome de Rendas Certas, que podem ser:
• Temporária: quando o número de termos é finito;
• Periódicas: quando os intervalos que ocorrem entre cada dois pagamentos são iguais;
• Constantes: quando todos os pagamentos são iguais.
As rendas classificam-se em:
Tipos de Rendas
Antecipadas
Postecipada ou Imediata
Diferidas ou Carência
Vencimento do primeiro termo e formas
1ª prestação pagável por ocasião da assinatura do contrato.Ex.: 1 + 3, 1 + 9HP
12C (g) (BEG)
1ª prestação pagável em 30 dias após a assinatura do contrato. Ex.: 0 + 4, 0 +
10HP 12C (g) (END)
1ª prestação pagável em 60 dias, ou mais da assinatura do contrato. Ex.: carência HP 12C – não está programada para cálculo direto nesta modalidade.
Para especificar a modalidade de pagamento:
• Pressione g BEG (BEGin = início) se os pagamentos forem feitos no início dos períodos de
composição;
• Pressione g END (END = fim) se os pagamentos forem feitos ao final dos períodos de composição.
O indicador de estado (anúncio) BEGIN fica aceso quando tal modalidade está em vigor. Se BEGIN
não estiver aceso, a modalidade de pagamentos em vigor será END.
1.1 Classificação das Séries de Pagamentos
a) Quanto ao tempo
• Temporária – quando tem um número limitado de pagamento;
• Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos.
78
Curso à Distancia de Graduação em Administração
b) Quanto a constância ou periodicidade
• Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo iguais;
• Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.
c) Quanto ao valor dos pagamentos
• Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais;
• Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam.
d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento
• Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período de série, ou
seja, ocorrerá em períodos subsequentes.
e) Quanto ao momento dos pagamentos
• Antencipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0” (zero) da série de
pagamentos;
• Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos.
1.1.1 Séries Uniformes de Pagamentos
As Séries Uniformes de Pagamentos são aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais. Para classificar estes conceitos, é necessário interpretar as seguintes
palavras:
• Série – Número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, disposto ou ocorrendo em sucessão espacial ou temporal;
• Uniforme – Que tem uma só forma; que tem a mesma forma igual, idêntico; muito semelhante;
• Pagamento – Cumprimento efetivo da obrigação exigível.
Representa-se graficamente as séries uniformes de pagamentos da seguinte forma:
a) Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos:
Onde: PMT = pagamentos ou prestação ou recebimentos
79
Matemática Financeira
b) Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
Onde: PMT = pagamento ou prestação
• Teclas e Funções Financeiras na calculadora HP – 12C que utilizaremos nos próximos
exemplos:
n
(calcula o prazo);
i
(calcula a taxa);
PV
(calcula o valor presente);
PMT
(calcula a prestação)
FV
(calcula o valor futuro);
CHS (troca um sinal de um número de positivo para negativo ou o contrário, ou
seja, de negativo para positivo);
g
[END] (para cálculos de séries uniformes de pagamentos postecipadas);
g
[BEG] (para cálculos de séries de pagamentos antecipadas);
f
[FIN] (limpa as funções financeiras);
f
[REG] (limpa todas as funções).
1.1.2 Séries Uniformes de Pagamentos Postecipadas
As séries uniformes de pagamentos postecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no
momento 1; este sistema é também chamado de sitema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n).
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação, representada pela sigla “PMT” que vem do
inglês “Payment” e significa pagamento ou recebimento.
1.1.3 Dada a Prestação (PMT), Achar o valor Presente (PV)
Apresenta-se abaixo um diagrama de fluxo de caixa que representa o cálculo do valor presente (PV)
com base na prestação (PMT):
80
Curso à Distancia de Graduação em Administração
A demonstração do conceito de valor presente (PV), em uma série de pagamento uniforme postecipada, consiste em trazer cada um dos termos para focal “zero” e, na sequência, somá-los, obtendo-se o
valor presente da série uniforme de pagamento. Para um maior entendimento deste conceito apresenta-se
as seguintes fórmulas:
PV = ∑ PMT + PMT + ... + PMT
(1 + i)1
PV = PMT
(1 + 1)2
(1 + i)
(1 + i)n -1
(1 + i)n x i
Onde:
PMT = prestação ou pagamento.
Exemplo:
Calcule o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00,
vencendo a primeira parcela 30 dias da libertação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada
na operação.
Dados: Solução 1: algébrica
PV =?
n = 6 meses
PV = 1.500
(1 + 0,035)6 – 1 (1 + 0,035)6 x 0,035
PV = 1.500
(1,035)6 -1
(1,035)6 x 0,035
PV = 1.500
1,22955... -1
(1,229255... x 0,035)
i = 3,5% ao mês
PMT = R$ 1.500,00
PV = 1.500
0,229255...
0,043024...
PV = 1,500 [5,328553...]
PV = R$ 7.992,83
81
Matemática Financeira
Solução 3: HP-12C
Solução 2: algébrica
PV = 1.500
PV = 1.500
1 - (1,035)6
0,035
PV = 1.500
1 – 0,813501..
0,035
PV = 1.500
f (1 + 0,035)6
0,035 [REG]
1.500
CHS
PMT
6
n
3,5
i
PV
0,186799...
0,035
R$ 7.99283
PV = 1.500 [5,328553...]
PV = R$ 7.992,83
1.1.4
Dado o Valor Presente (PV), Achar a Prestação (PMT)
Fórmula: PMT = PV
(1 + i)n x i
(1 + i)n – 1
Fórmula: PMT = PV x i
1 – (1 + i)-n
Exemplo:
Um produto é comercializado a vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros
cobrada pelo comerciante é de 5% ao mês?
Dados: PV = R$ 500,00
I = 5% ao mês
N = 5 meses
PMT = ?
82
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Solução 1: algébrica
PMT = 500
Solução 2: algébrica
(1 + 0,05)5 x 0,05
(1 + 0,05)5 - 1
PMT = 500
PMT = 500 X 0,05
1 – (1 + 0,05)-5
(1,05)5 x 0,05
(1,05)5 -1
PMT =
25
1 – (1,05)-5
PMT = 500 1,276282...X 0,05
1,276282... -1
PMT = 500
PMT =
0,063814...
0,276282...
25
1 – 0,783526...
PMT =
25
0,216474..
PMT = 500 [ 0,230975...]
PV = R$ 115,49
PV = R$ 115,49
Solução 3: HP – 12C
f
[REG]
500
PV
5
n
5 i
PMT
Na verdade, a calculadora HP-12C não está programada para decifrar os fluxos de caixa, ou seja, ela
apenas calcula aquilo que é informado, cabendo ao usuário informar o fluxo com sinal negativo ou positivo.
É importante dizer que para o cálculo da prestação (PMT), em uma série uniforme de pagamento
postecipada, na calculadora HP-12C, não pode constar na parte inferior do visor a palavra “BEGIN”; caso
esteja visível, o usuário deverá pressionar a sequência de teclas g
[END]
.
Lembrando sempre que o nosso objetivo é mostrar as várias alternativas de solução para um mesmo
exemplo.
1.2 Dado o Valor Futuro (FV), Achar a Prestação (PMT)
Fórmula:
PMT = FV
i
(1 + i)n - 1
83
Matemática Financeira
Exemplo:
Determine o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7
meses, produz um montante de R$ 5.000,00, pelo regime de juros composto.
Dados:
Solução 1: algebrica
PMT = 5.000
0,04
(1 + 0,04)7 – 1
PMT = 5.000
0,04
(1,04)7 – 1
PMT = 5.000
0,04
1,315932... -1
PMT = 5.000
0,04
0,315932...
Solução 2: HP – 12C
f
[REG]
5.000 PV
4
i
7 n
PMT
PMT = R$ 633,05
PMT = 5.000 [0,126610...]
PMT = R$ 633,05
1.2.1 Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n)
Fórmula:
Exemplo:
Um produto é comercializado à vista por R$ 1.750,00. Uma outra alternativa seria financiar este
produto à uma taxa de 3% ao mês, gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o comprador
escolha a segunda alternativa, determine a quantidade de prestações deste financiamento.
Dados: PV = R$ 1.750,00
PMT = R$ 175,81
i = 3% ao mês
n =?
84
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Solução 1:Algebrica
n = - LN 1-
1.750
x 0,03
175,81
LN (1 + 0,03) n = - LN [1 – (9,953928...) x 0,03]
LN (1,03)
n = -
Solução 2: HP – 12C
LN [1 – (0,298618...)]
LN (1,03)
f
[REG]
1.750
PV
2
175,81
i
CHS
PMT
n = 12
n = - LN [0,701382...]
LN (1,03)
n=
- 0354702...
0,029559
n = {-12} 1.2.2
Dado o Valor Futuro (FV), Calcular o Prazo (n)
Fórmula: n= LN
FV x i + 1
PMT
LN (1 + i)
Exemplo:
Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança após um determinado
tempo observe-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média de poupança de
0,8% ao mês, determine a quantidade de depósito efetuado por este poupador.
Dados: PMT = R$ 150,00
FV = R$ 30.032,62
i = 0,8% ao mês
n=?
85
Matemática Financeira
Solução 1: algébrica
LN
n = LN
n = 30.032,62 X 0,008 + 1
150
LN (1 + 0,008)
_30.032, 62 X 0,008_ + 1
150
LN (1 + 0,008)
LN
n = Solução 3: HP-12C
f
[REG]
30.032,62 CHS
150,00 PMT
0,8
FV
n
240, 26
+1
150
LN (1 + 0,008)
n = LN [1, 601740… + 1]
LN (0,008)
n=
LN [2,1601740…]
LN (0,008)
n = n = 120
120 meses
0,956180
0,007968
120 meses
1.2.3
Cálculo da Taxa (i)
N = 120 meses
Fórmula: i=
PMT
PV
-
PV
PMT X n2
Exemplo:
Um automóvel é comercializado por R$ 17.800,00 a vista; Sabendo-se que pode ser financiado em 36
parcelas de R$ 1.075,73, determine a taxa de juros da operação.
Dados: PV = R$ 17.800,00
PMT = R$ 1.075,73
n = 36 meses
i=?
86
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Solução 1: algébrica
Solução 2 HP-12C
a) Achando a taxa estimada (ie)
(ie) =
f
1.075,73 _
17.800
17.800
1.075,73 x 36²
(ie) = 0,060434... (ie) = 0,060434... -
[REG]
17.800CHS
PV
1.075,73
17.800
1.075,73 x 1.296
PMT
36
17.800
1.394.146,08
n
i
(ie) = 0,06434... - 0,012768. 5% a.m
(ie) = 0,0476667 ou 4,77% ao mês
1.2.4
Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Futuro (FV)
Fórmula: PV = PMT
(1 + i)n - 1
i
Exemplo:
Uma pessoa realiza depósito mensais no valor R$ 100,00 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado após este período?
Dados:
PMT = R$ 100,00
i = 0,8% ao mês
n = 30 anos ou 360 meses
FV = ?
87
Matemática Financeira
Solução 1: algébrica
Solução 2: HP-12C
FV= 100 [(1 + 0,008)360 – 1]
0,008
f
[REG]
100 FV = 100[(1,008) – 1]
0,008
360
0,08
FV = 100 [17,611306... – 1]
0,008
360 FV = 100 [16,611306...]
0,008
CHS
PMT
i
n
FV
FV = 1.661,13
0,008
FV = R$ 207.641,32
R$ 207. 641,32
1.2.5 Série Uniforme de Pagamentos Antecipados
As séries uniformes de pagamentos antecipados são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na
data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento com entrada (1 + n).
Representa-se graficamente as séries uniformes de pagamentos antecipados de seguinte forma:
1.3 Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Presente (PV)
Fórmula:
88
PV = PMT
(1 + i)n - 1
(1 + i) n – 1 x i
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Exemplo:
Uma mercadoria é comercializada em 4 pagamentos iguais de R$ 185,00; Sabendo-se que a taxa de
financiamento é de 5% ao mês, e que um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preço
a vista desta mercadoria.
Dados:
PV = ?
i = 5% ao mês
PMT = R$ 185,00
n = 4 meses
Solução 1: algébrica
PV= 185
__(1 + 0,05)4 – 1__
(1 + 0,05)4 – 1 X 0,05
Solução 2: HP-12C
f
[REG]
185 PV = 185 _(1,05)4 – 1__
(1,05)3 X 0,05
5
4 PV = 185 __1,215506... -1___
1,157625... X 0,05
CHS
PMT
i
n
FV
PV = 185 __0,215506__
0,057881
PV = 185 [3,723248...]
R$688,80
PV = R$ 688,80
Nota sobre as Funções [BEG] e [END] na HP-12C
Para efetuar os cálculos na calculadora HP-12C de uma série uniforme de pagamento antecipada,
será necessário introduzir no visor da calculadora a função “BEGIN”, que é facilmente obtida através da
sequência de teclas
g
[BEG], ou seja, BEGIN = pagamento no início do período.
Porém, havendo a necessidade de realização de cálculos de uma série uniforme de pagamento
postecipada, basta para tanto pressionar a sequência de teclas g
[END].
89
Matemática Financeira
1.3.1 Dado o Valor Presente (PV), Calcular a Prestação (PMT)
Fórmula:
PMT = PV
(1 + i)n-1 x i
(1 + i)n - 1
Exemplo:
Um automóvel que custa à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; sabendose que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal deste financiamento.
Observação: 1ª Prestação no Ato.
Dados:
PV = R$ 17.800,00
n = 36 meses
i = 1,99% ao mês
PMT =?
Solução 1: algébrica
PMT =
17.8000 (1 + i) 36-1 x 0, 0199
(1 + 0, 0199)36 -1
PMT = 17.800 (1, 0199)35 x 0, 0199
(1, 0199)36 X -1
PMT= 17.800 1, 993039…x 0, 0199
(2, 032700…-1)
PMT = 17.800 0, 039661…
1,032700…
PMT = 17.800 [0, 038405...]
PMT = R$ 683,62
90
Solução 2: HP-12C
f
[REG]
g
BEG
17,800
PV
1,99 i
36
n
PMT
- R$ 683,62
Curso à Distancia de Graduação em Administração
1.3.2 Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n)
Fórmula:
n = -
LN
1-
PV x i
PMT x (1 + i)
LN (1 + i)
Exemplos:
Um produto custa à vista R$ 1.500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$ 170,
72, devendo a primeira ser paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 3% ao
mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento?
Dados: ·
PV = R$ 1.500,00
i = 3% ao mês
PMT = R$ 170,72
n =?
Solução 1: algébrica
LN
n = - 1.500 x 0,03
1170,72 x (1 + 0,03)
LN (1 + 0,03)
45
170,72 x (1 + 0,03)
LN (1,03)
LN
n = - 1-
LN
n = - 45
1175,84
LN (1,03)
LN [0,744028...]
n=LN (1,03)
Solução 2: HP-12C
f
[REG]
g
BEG
1.500
PV
3 i
170,72
CHS
PMT
n
10 meses
n = - - 0,295596...
0,029559...
n = {- 10,000275...}
N = 10 meses
91
Matemática Financeira
1.3.3
Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Futuro (FV)
Fórmula:
FV = PMT
(1 + i)n- -1 x (1 + i)
i
Exemplo:
Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e acredita que,
se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitos mensais de R$
500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em média, uma taxa de 0,8% ao
mês, pergunta-se: o nosso amigo poupador vai conseguir acumular o valor de que precisa?
Dados:
PMT = R$ 500,00
i = 0,8% ao mês
n = 5 anos (60 meses)
FV = ?
Solução 1: algébrica
FV = 500
(1 + 0,008)60 -1 x (1 + 0,008)
0,008
FV = 500
(1,008)60 -1
0,008
x (1,008)
FV = 500 1,612991... -1 x (1,008)
0,008
FV = 500
0,612991...
0,008
x (1,008)
FV = 500 [76,623867...] x (1,008)
FV = 38.311,93 x (1,008)
FV = R$ 38.618,43
92
Solução 2: HP-12C
f
[REG]
g
BEG
500
CHS
0,8 i
60
n
PMT
R$ 38.618,43
FV
Curso à Distancia de Graduação em Administração
1.3.4
Dado o Valor Futuro (FV), Calcular a Prestação (PMT)
Fórmula:
PMT = VF x
i (1 + i)n -1
1
x
(1 + i)
Exemplo:
Considere o nosso poupador do exemplo, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje, para resgatar ao
final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00, deverá resgatar um pouco mais. Considere quanto o mesmo
poupador precisa depositar para que consiga acumular exatamente o valor de R$ 37.500,00.
Dados:
VF = R$ 37.500,00
i = 0,8% ao mês
n = 5 anos (60 meses)
PMT = ?
Solução 1: algébrica
PMT = 37.500
0,008
x
1
60
(1 + 0,008) -1
(1 + 0,008)
0,008
PMT = 37.500 (1 + 0,008)60 -1 x
1
(1,008)
PMT = 37.500
0,008
x
1
1,61991... -1
(1,008)
PMT = 37.500
0,008
x
0,612991... 1
(1,008)
PMT = 37.500
0,008
x
0,612991... 1
(1,008)
Solução 2: HP-12C
f
[REG]
g
BEG
37.500
CHS
0,8 i
60
n
FV
PMT
R$ 485,52
PMT = 37.500[0,013051...] x [0,992063...]
PMT = 489,40 [0,992063...]
PMT = R$ 485,52
93
Matemática Financeira
1.3.5 Cálculo da Taxa (i)
Fórmula:
FV =
(1 + i)n- -1
PMT x
(1 + i)
i
Exemplo:
Uma pessoa deposita mensalmente em conta de poupança a importância de R$ 250,00, após 5 meses
verificou-se que o saldo da conta de poupança era de R$ 1.288,00. Qual a taxa média desta caderneta de
poupança?
Dados:
FV = R$ 1.288,00
PMT: R$ 250,00
n = 5 meses
i=?
Solução 1: algébrica
1.288 =
250
(1 + i)5 -1
i
x
5.152=
(1 + i)5 -1
i
x
Solução 2: HP-12C
(1 + i)
(1 + i)
f
[REG]
g
BEG
1.288
CHS
250 i
60
n
i
1% ao mês
94
PMT
Curso à Distancia de Graduação em Administração
1.4 Cálculo da Prestação (PMT)
Fórmula: PMT = PV x (1 + i)c – 1 x i
1 – (1 + i)-n
Exemplo:
A loja Barrabás vende um determinado produto à vista por R$ 850, 00, em 24 parcelas mensais, devendo a primeira prestação somente ser paga após 4 meses do fechamento da compra. Considerando uma
taxa de 4% ao mês, determine o valor de cada prestação.
Dados:
PV = R$ 850,00
n = 24 meses
c = 4 meses de carência (postecipada)
i = 4% ao mês
PMT = ?
Solução 1: algébrica
Solução 2: HP-12C
850 (1 + 0,04)4 – 1 x 0,04
PMT= 1 – (1 + 0,04)-24
f
3
850(1,04)3 x 0,04
PMT=
1 – (1,04) -24
850 x 1,124864... x 0,04
PMT=
1 – 0,390121...
[REG]
4
850
n
i
CHS
PMT
FV
38,25
PMT= 0,69879...
R$ 956,13
PMT= R$ 62,71
CHS
PV
0
FV
24
n
PMT
R$ 62,71
95
Matemática Financeira
1.4.1 Cálculo do Prazo (n)
Fórmula:
LN
1 -
PV x i x (1 + i)c -1
n = -
PMT
LN (1 + i)
Exemplo:
Um empréstimo de R$ 50.00,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e iguais de R$
2.805,36. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao mês e foi concedido um prazo
de carência de 4 meses para o primeiro pagamento, pergunta-se: Qual a quantidade de prestação do financiamento?
Dados:
PV = R$ 50.00,00
PMT = R$ 2.805,36
i = 2% ao mês
c = 4 meses
n=?
Solução 2: HP-12C
Solução 1: algébrica
LN
n = - n = -
n = -
LN
LN
1-
1 - 50.000 X 0,02 X 1,061208...
2.805,36
0,019803
n=-
- 0,475263
0,019803...
n = - {-24,000017...}
96
n
2
i
50.000
CHS
FV
1.061,2080
2.805,36
0,019803
LN [0,621721…]
0,019803...
[REG]
3
1 -
LN [1- 0,378279...]
n=
0,019803...
n=-
f
50.000 X 0,02 (1 + 0,02)4-1
2.805,36
LN (1 + 0,02)
R$ 53.060,40
CHS
PV
0
FV
2.805,36
PMT
n
24 meses
PMT
Curso à Distancia de Graduação em Administração
1.4.2 Série Uniforme de Pagamento Diferida
As séries de pagamento diferidas são aquelas em que os períodos ou intervalos de tempo entre as prestações (PMT) ocorrem pelo menos a partir do 2º período, ou seja, considera-se um período qualquer como
sendo (n), o período seguinte será (n + 1), o próximo será (n + 2) e assim sucessivamente.
Observa-se o diagrama de fluxo de caixa:
1.4.3 Cálculo do Valor Presente (PV)
Sendo informados de uma taxa (i), uma prestação (PMT), um prazo (n) e um período de carência
(c), serão possíveis calcular o valor presente (PV) em uma série uniforme de pagamento diferida através da
seguinte fórmula:
Fórmula:
1 – (1 + i)-n
PMT X i
PV =
(1 + i) c - 1
Exemplo:
Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 prestações iguais de R$ 150,00;
a loja está oferecendo ainda uma carência de 5 meses para o primeiro pagamento. Determine o valor a vista
desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 3% ao mês.
Dados:
PMT = R$ 150,00
n = 5 meses
c = 5 meses
i = 3% ao mês
PV = ?
97
Matemática Financeira
Solução 1: algébrica
PV =
PV =
PV =
PV =
PV =
PMT X
1 – (1 + 0,03) -5
0,03
(1 + 0,03) 5 – 1
1 – (0,03) -5
0,03
PMT X
(0,03) 4
1 – 0,862609...
0,03
150 X
1,125509...
150 X
0,137391...
0,03
i, 125509...
Solução 2: HP-12C
f
[REG]
150
CHS
g
END
5
n
3 i
PV
150 x [4, 479707…]
1,125509…
PV = 686,96
1,125509…
PV = R$ 610,35
R$ 686,96
CHS
FV
0
PMT
4
n
PV
R$ 610,35
98
PMT
Curso à Distancia de Graduação em Administração
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
Prezado estudante, resolva as seguintes atividades sobre as séries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas.
1. Determine o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.000,00, durante 5 meses, à taxa de 5% ao
mês (série postecipada).
2. Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ 10.000,00, no
final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa de
10% ao ano, no regime de juros compostos.
3. Paulo deseja presentear seu filho Marcos com um carro que hoje custa aproximadamente R$ 13.000,00,
desde que Marcos consiga aprovação no vestibular. Sabemos que a idade de Marcos hoje é de 12 anos e, se
tudo correr bem, com 18 anos ele estará ingressando na faculdade. Quanto Paulo deverá economizar por
mês, considerando uma previsão de inflação de 7% ao ano?
4. (ACE-TCU/98) Um indivíduo deseja obter R$ 100.0000,00 para comprar um apartamento ao fim de um
ano e, para isso, faz um contrato com um banco em que se compromete a depositar mensalmente, durante
um ano, a quantia de R$ 3.523,10, com rendimento acertado de 3% ao mês, iniciando o primeiro depósito
ao fim do primeiro mês. Transcorrido um ano, o banco se compromete a financiar o saldo restante dos R$
100.000,00, à taxa de 4% ao mês, em 12 parcelas mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias. Calcule a prestação mensal desse financiamento.
5. (AFTN/98) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo
devedor financiado em 12 prestações ao fim de um mês, à uma taxa mensal de 4%. Considerando que este
sistema de amortização corresponde à uma anuidade ou rendas certas, com valor correspondente ao saldo
devedor, e com termos correspondes às prestações, calcule a prestação mensal.
6. (FTE-RS/91) Calcule o preço a vista de uma mercadoria que é vendida a prazo em 10 prestações mensais,
pagáveis nos dias primeiro de cada mês de R$ 10.000 cada uma, considerando juros compostos capitalizados
mensalmente à uma taxa de 9% ao mês e sabendo que a primeira prestação será paga 3 meses após a compra.
Despreze os centavos na resposta.
7. (AFTN/96) Uma pessoa paga uma entrada no valor de R$ 23,60 na compra de um equipamento e paga
mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de R$ 14,64 cada uma. A instituição financiadora
cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações, afirma-se que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é?
99
Matemática Financeira
8. Um automóvel foi financiado em 36 parcelas iguais de R$ 537,14 através do Banco da Praça S/A, devendo
a primeira prestação ser paga 30 dias após a data de contratação do financiamento; considerando uma taxa
de 2% ao mês, calcule o valor do financiamento.
9. Um equipamento cujo valor a vista é de R$ 25.000,00 é financiado a juros compostos de 12% ao ano,
capitalizados mensalmente, no prazo de um ano. Determine o valor que deve ser dado de sinal, a título de
entrada, para que o valor das 12 prestações mensais, iguais e sucessivas seja limitado à R$ 1.700,00. Considere que a 1° prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.
10. Um financiamento cujo principal é igual a R$ 10.000,00 deve ser liquidado com 10 prestações mensais,
sucessivas e iguais a R$ 1.075,00. Determine a taxa interna de retorno desse financiamento, no regime de
juros compostos, assumindo que a 1° prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.
11. Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de R$ 2.000,00 numa instituição financeira e verificou
que o saldo a sua disposição, imediatamente após a efetivação de seu último depósito, era de R$ 21.000,00.
Determine a taxa de remuneração mensal desses depósitos no regime de juros compostos.
12. Um aparelho de televisão foi comprado com 10 prestações mensais antecipadas de 100 u.m. sabendo-se
que os juros são de 2% ao mês, qual o preço à vista do televisor?
13. Uma empresa deposita 20.000 u.m. no início de cada semestre, a 20% a.a., durante 5 anos. Qual o
montante?
14. Quanto se deve depositar, no início de cada trimestre, a 20%a.a., durante 3 anos, para no fim desse
período retirar o montante de 100.000 u.m.?
15 Que dívida pode ser amortizada com 20 prestações anuais de R$ 2.000,00 à taxa de 5%a.a., devendo a 1°
prestação ser paga no ato do empréstimo?
100
Curso à Distancia de Graduação em Administração
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Na atividade de nº 1
Resposta: R$ 5.525,63
O valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.000,00, durante 5 meses, à uma taxa de 5% ao mês (série
postecipada) é de R$ 5.525,63.
Na atividade de nº 2
Resposta: R$ 53.349,26
O valor de um investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ 10.000,00, no final de cada
um dos próximos 8 anos, sob uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos é de R$ 53.349,26.
Na atividade de nº 3
Resposta: R$ 220,30
Paulo deverá economizar por mês o valor de R$ 220,30 para poder comprar um carro caso seu filho marcos,
hoje com 12 anos, passe no vestibular com 18 anos.
Na atividade de nº 4
Resposta: R$ 5.327,61
A prestação mensal do financiamento é de R$ 5.327,61.
Na atividade de nº 5
Resposta: R$ 852,42
Uma compra de valor de R$ 10.000,00 paga com uma entrada de 20% e o restante financiado em 12 prestações com uma uma taxa de 4% ao mês, tem uma prestação mensal de R$ 852,42.
Na atividade de nº 6
Resposta: R$ 54.016
O preço à vista da mercadoria é de R$ 54.016.
Na atividade de nº 7
Resposta: R$ 70,00
Na compra de um equipamento, o comprador paga uma entrada no valor de R$ 23,60 e mais 4 prestações
mensais, iguais e sucessivas no valor de R$ 14,64 cada uma. O valor que mais se aproxima do valor à vista do
equipamento adquirido é de R$ 70,00, considerando que a instituição financiadora cobra uma taxa de juros
de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos).
101
Matemática Financeira
Na atividade de nº 8
Resposta: R$ 13.691,08
Considerando que um automóvel foi financiado em 36 parcelas iguais de R$ 537,14, com o pagamento da
primeira prestação em 30 dias depois da data de contratação do financiamento com uma taxa de 2% ao mês,
considera-se que o valor do financiamento é de R$ 13.691,08.
Na atividade de nº 9
Resposta: R$ 5.866,37
O valor dado de sinal na entrada da compra de um equipamento com valor à vista de R$ 25.000,00 e financiado a juros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano, é de R$ 5.866,37.
Dessa forma, o valor das 12 prestações mensais, iguais e sucessivas será limitado à R$ 1.700,00.
Na atividade de nº 10
Resposta: 1,34 a.m
A taxa interna de retorno de um financiamento com principal de R$ 10.000,00 a ser liquidado em 10 prestações mensais, sucessivas e iguais à R$ 1.075,00 em um regime de juros compostos, com a 1° prestação em
30 dias após a liberação dos recursos, é de 1,34% ao mês.
Na atividade de nº 11
Resposta: 1,08% a.m.
Considerando que um investidor efetuou 10 depósitos mensais de R$ 2.000,00 numa instituição financeira,
verificando que após a efetivação de seu último depósito, o saldo disponível era de R$ 21.000,00, considerase que a taxa de remuneração mensal desses depósitos no regime de juros compostos era de 1,08% ao mês.
Na atividade de nº 12
Resposta: 916,22 u.m
O preço a vista de uma televisão comprada em 10 prestações mensais antecipadas de 100 u.m. com juros
de 2% ao mês é de 916,22 u.m.
Na atividade de nº 13
Resposta: 350.623,34 u.m.
Uma empresa que deposita 20.000 u.m. no início de cada semestre a 20% ao ano, ao final de 5 anos tem um
montante de 350.623,34 u.m..
Na atividade de nº 14
Resposta: 4.922,53
Para que ao final 3 anos, seja retirado um montante de 100.000 u.m., é preciso depositar 4.922,53 no início
de cada trimestre e sob uma taxa anual de 20%.
102
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Na atividade de nº 15
Resposta: R$ 26.170,60
Uma dívida de R$ 26.170,60 pode ser amortizada com 20 prestações anuais de R$ 2.000,00 à taxa de 5%a.a.,
com a 1ª prestação paga no ato do empréstimo.
103
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u NICEUMA
VIRTUAL
Módulo
Sistemas de Amortização de
Empréstimos e Financiamentos
@
u NICEUMA
VIRTUAL
Objetivo
Objetivo
Objetivo
Nesse módulo você estudará os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos visando compreender: os conceitos; o Sistema Francês
de Amortização (Sfa); Sistema de Amortização Constante (Sac); Sistema de
Amortização Americano (Saa).
Matemática Financeira
1. Conceitos
Sistemas de amortização são formas de pagamentos de empréstimos onde as prestações pagas correspondem aos juros e mais uma parcela de amortização do capital ou principal.
Nos sistemas de empréstimos ou amortizações que serão estudados, os juros são sempre calculados
sobre o saldo devedor do período anterior à amortização.
Também deve-se atentar ao fato de que uma prestação (P) é, em geral, a composição de dois outros
elementos, quais sejam: a amortização (A) e os juros (J).
Assim:
P=A+J
Uma exceção a essa regra é o sistema americano, no qual os juros são pagos periodicamente e, no
último período, são pagos os juros e todo o capital, logo, não há amortização periódica.
Existem, no mundo afora, diversos sistemas de amortização. No Brasil, por exemplo, há um sistema
que é utilizado pela Caixa Econômica Federal na amortização dos financiamentos da casa própria, chamado
de SACRE, que é uma variante do Sistema de Amortização Constante – SAC. A maioria desses sistemas são
anômalos e variantes dos sistemas originais, contendo complexidades diversas. Assim, por razões óbvias,
ater-se-á ao estudo dos modelos básicos ou clássicos, pois estes são os cobrados nas provas dos concursos.
No financiamento, sempre existirá um bem ou serviço vinculado à liberação dos recursos financeiros,
enquanto no empréstimo exige-se apenas uma garantia de devolução dos recursos financeiros emprestados.
Considere as seguintes nomenclaturas usadas para desenvolver as tabelas ou planilhas de
amortização:
Saldo Devedor – é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou simplesmente o
valor presente (PV) na data focal “0” (zero), que é diminuído da parcela de amortização a cada
período (n).
Amortização – parcela que é reduzida do saldo devedor a cada pagamento.
Juros Compensatórios – é o valor calculado a partir do saldo devedor e posteriormente
somado à parcela de amortização.
Prestação – popularmente entende-se a prestação como sendo o pagamento a cada período de
tempo (n), composto da parcela de amortização mais juros compensatório (j), ou seja, é o valor
que pagamos no caixa do banco, das lojas etc.
1.1 Sistema Francês de Amortização (Sfa)
Este sistema consiste no pagamento de empréstimos ou financiamentos com prestações iguais e com
periodicidade constante. É considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas instituições financeiras
e pelo comércio em geral.
O Sistema Francês de Amortização é assim chamado por ter sido inventado na França, por volta do
século XVIII, pelo matemático inglês Richard Price, daí portanto, a origem da denominação Sistema Price,
também comumente chamado Tabela Price. Na verdade, a Tabela Price é um caso particular derivado do
Sistema Francês de Amortização.
108
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em parcela (PMT) iguais, constituídas da amortização
do principal da dívida + juros compensatório (j), que variam inversamente ao longo do tempo, ou seja, na
medida em que aumenta o valor da parcela de amortização, haverá uma queda dos juros compensatórios, em
função da redução do saldo devedor.
Principais Características
As principais características do Sistema francês de Amortização são:
• A prestação é constante durante todo o período do financiamento;
• A parcela de amortização aumenta a cada período (n);
• Os juros compensatórios diminuem a cada período (n);
Exemplo:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: elabore
a planilha de financiamento.
Dados:
PV = R$ 10.000,00
n = 5 meses
i = 10% ao mês
PMT = ?
1° passo
Cálculo do valor da prestação (PMT) do financiamento.
Usando a fórmula:
PMT = PV
PMT = 10.000
(1 + i)n x i
(1 + i)n-1
(1 + 0,1)5 x 0, 1
(1 + 0,1)5-1
PMT = 10.000
(1,1)5 x 0,1
(1,1)5 – 1
109
Matemática Financeira
2° passo
Cálculo dos juros (J)
Usando a fórmula:
J = pv x ix n
Juros para o 1° período: J1 = 10.000,00 x 0,1 x 1 = R$1.000,00
3° passo
Cálculo da parcela de amortização (PA)
Fórmula:
PAn = PMT – J
Parcela de amortização para o 1° período: PA = 2.637,97 – 1.000,00= R$1. 637,97
4° passo
Cálculo do saldo devedor
Fórmula:
SDn = SD(anterior) - PAn
SD1 = 10.000,00 – 1.637,97 = R$ 8.362,03
Observação: A partir do 4° passo voltamos ao 2° passo e assim até completar a planilha.
Juros para o 2° período: J2 = 8.362,03 x 0,1 x 1 = R$ 836,20
Parcela de amortização para 2° período: PA = 2.637,97 – 836,20 = R$ 1.801,77
SD2 = 8.362,03 – 1.801,77 = R$ 6.560,26
Assim, compõe-se a planilha de financiamento:
n
0
1
2
3
4
5
Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
(PMT)
(J)
(Pan)
(SDn)
0
0
0
10.000,00
2.637,97 1.000,00
1.637,97
8.362,03
2.637,97
836,2
1.801,77
6.560,26
2.637,97
656,03
1.981,94
4.578,32
2.637,97
457,83
2.180,14
2.398,18
2.637,97
239,82
2.398,15
0,03
13.189,85 3.189,88
9.999,97
Observação: A diferença de 0,03 deve-se ao arredondamento
110
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Solução 2: HP-12C
f
(REG)
10.000
CHS
PV
10
i 5
n
PMT
2.637,97
1
f
[AMORT] 1.000,00
x>y
<
1.637,97
RCL
PV -8.362, 03
1
f
[AMORT] 836, 20
x>y
<
1.801,77
RCL PV -6.560, 26
1 f
1 f
[AMORT] 656, 03
x > y
<
1.981,94 RCL
PV -4.578, 32
[AMORT] 457, 83
x>y
<
2.180,14
RCL
PV -2.398, 18
[AMORT] 239, 82
x>y
<
2.398,15
RCL
PV -0, 03
1
f
1.1.1 Sistema de Amortização Constante (Sac)
Como o próprio nome já diz, as parcelas de amortização (An) serão constantes durante o período das
amortizações. Neste sistema de amortização, o financiamento é pago em prestação uniformemente decrescentes, constituídas de duas parcelas: amortização e juros. Enquanto a amortização permanece constante ao
longo dos períodos (n), os juros dos períodos são uniformemente decrescentes.
Exemplo:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 parcelas
mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Pede-se: elabore
a planilha de financiamento.
Dados:
PV = R$ 10.000,00
N = 5 meses
i = 10% ao mês
PMT = ?
1º Passo:
Calculo da parcela de amortização (An)
Fórmula:
An = SD = Na = 10.000
n
5
111
Matemática Financeira
2° passo
Cálculo dos juros (Jn)
Usando a fórmula.
J = PV x ix n
Juros para 1º J1 = 10.00,00 x 0,1 x 1 = R$ 1.000,00
3° passo
Cálculo da prestação (PMTn)
Fórmula: PMTn = PA + Jn
4º passo
Cálculo do Saldo Devedor (SD)
Fórmula:
SDn = SD(anterior) -An
SD1 = 10.000,00 – 2.000,00 = R$ 8.000,00
Assim, compõe-se a planilha de financiamento:
Amortização Juros
(An)
(J)
0,00
0,00
0,00
1
2.000,00 1.000,00
2
2.000,00
800,00
3
2.000,00
600,00
4
2.000,00
400,00
5
2.000,00
200,00
10.000,00 3.000,00
n
Prestação Saldo Devedor
(PMT)
(SDn)
0,00
10.000,00
3.000,00
8.000,00
2.800,00
6.000,00
2.600,00
4.000,00
2.400,00
2.000,00
2.200,00
0,00
13.000,00
1.1.2 Sistema de Amortização Americano (Saa)
Nesse tipo de amortização, o valor principal (VP) do empréstimo ou financiamento é devolvido de
uma única vez, sendo os juros compensatórios (Jn) pagos durante os períodos (n) da carência ou juntamente
com valor principal.
Exemplo:
Um banco empresta a importância de R$ 10.000,00 com taxa de 10% ao mês, para ser pago em
uma única parcela, porém, devendo os juros compensatórios serem pagos mensalmente durante o prazo
da carência, calculados pelo Sistema de Amortização Americano (SAA). Pede-se: elabore a planilha de
financiamento.
112
Curso à Distancia de Graduação em Administração
Dados:
PV = R$ 10.000,00
n = 5 meses
i = 10% ao mês
PMT = ?
a) Cálculo dos juros (Jn)
Juros para o 1° período: J1 = 10.000,00 x 0,1 x 1 = R$ 1.000,00
Juros para o 2° período: J2 = 10.000,00 x 0,1 x 1 = R$ 1.000,00
e assim por diante... para os períodos 3, 4 e 5, devendo no período 5 os juros serem adicionados à
parcela.
Assim, compõe-se a planilha de financiamento:
Amortização
(An)
0,00
--1
1.000,00
2
1.000,00
3
1.000,00
4
1.000,00
5
1.000,00
5.000,00
n
Juros
(J)
----------10.000,00
10.000,00
Prestação Saldo Devedor
(PMT)
(SDn)
--10.000,00
1.000,00
10.000,00
1.000,00
10.000,00
1.000,00
10.000,00
1.000,00
10.000,00
11.000,00
15.000,00
113
Matemática Financeira
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
Prezado estudante, resolva as seguintes atividades sobre o Sistema de Amortização de Empréstimos
e Financiamentos.
1. (AFTN/85) Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de R$ 2.000,00, mas pode ser financiado
com 20% de entrada à uma taxa de juros de 96% a.a., Tabela Price. Sabendo-se que o financiamento deve
ser amortizado em 5 meses, qual o total aproximado de juros pelo comprador?
2 (AFTN/85) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 120.000,00, a uma taxa de juros de 2% a.m., que
deverá ser pago em 10 parcelas iguais. Qual o valor dos juros a serem pagos na 8° parcela?
3. (ISS/SP-98) A fim de expandir os seus negócios, certa pessoa consegue um financiamento de R$
300.000,00, nas seguintes condições:
• Taxa de juros de 8% a.a., com pagamentos semestrais;
• Amortização pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com pagamentos semestrais;
• Prazo de amortização: 3 anos.
Nessas condições, é correto afirmar que os juros a serem pagos no terceiro pagamento importam em?
4. (Fiscal de Santa Catarina/98) Um equipamento é vendido através de um financiamento em 12 prestações
mensais e iguais, sendo que a loja exige 20% sobre o preço à vista como entrada. A Taxa de juros compostos
da loja é de 18% ao ano, Tabela Price. A primeira prestação, no valor de R$ 500,00, vence um mês após a
compra. Qual o valor do equipamento?
5. (Fiscal de Santa Catarina/98) Um empréstimo no valor de 90.000,00 deverá ser pago em prestações mensais
e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro, sem carência. Se o financiamento
foi feito pelo Sistema de Amortização Constante a uma taxa de juros compostos mensal de 6%, então qual
será o saldo devedor após o pagamento da décima quarta prestação?
114
Curso à Distancia de Graduação em Administração
COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Na atividade de nº 1
Resposta: R$ 403.652,00.
O total de juros de uma compra de um microcomputador de preço a vista de R$ 2.000,00 e financiado com
20% de entrada à uma taxa de juros anual de 96% e amortização em 5 meses, é de R$ 403.652,00.
Na atividade de nº 2
Resposta: R$ 770,00
Em um empréstimo de R$ 120.000,00, com uma taxa de juros mensal de 2%, e a ser pago em 10 parcelas
iguais, o valor dos juros a serem pagos na 8° parcela será de R$ 770,00.
Na atividade de nº 3
Resposta: R$ 8.000,00
Uma pessoa faz um financiamento no valor de R$ 300.000,00 com uma taxa anual de juros de 8%, com
pagamentos semestrais e amortização pelo SAC. Nessas condições, os juros a serem pagos no terceiro
pagamento importam em R$ 8.000,00.
Na atividade de nº 4
Resposta: R$ 6.817,00
Um equipamento é vendido por meio de um financiamento em 12 prestações mensais e iguais com uma
taxa de juros compostos de 18% ao ano, Tabela Price. O comprador deu uma entrada de 20% do valor do
equipamento e pagará a primeira prestação um mês após a data da compra, no valor de R$ 500,00. O valor
do equipamento é de R$ 6.817,00.
Na atividade de nº 5
Resposta: R$ 6.000,00
Um empréstimo de R$ 90.000,00 é feito através de financiamento pelo Sistema de Amortização Constante
à uma taxa de juros compostos mensal de 6%. O valor financiado deve ser pago em prestações mensais e
consecutivas, tendo sua primeira prestação em 30 dias após a liberação do dinheiro. Nessas condições o
saldo devedor após o pagamento da décima quarta prestação será de R$ 6.000,00.
115
@
u NICEUMA
VIRTUAL
Módulo
Análise de Projetos e
Decisões de Investimentos
@
u NICEUMA
VIRTUAL
Objetivo
Objetivo
Objetivo
Nesse último módulo você estudará de forma ampla a análise de projetos
e decisões de investimentos, visando reconhecer e compreender que a aplicação
das técnicas certas, possibilita uma avaliação clara e segura dos riscos inerentes
à esses processos.
Matemática Financeira
1 Técnicas para Análise de Investimentos
As técnicas para análise de investimentos podem ser entendidas como metodologia para medir o retorno dos investimentos. Nestes tópicos apresenta-se metodologias de análises que levam em consideração
o valor do dinheiro em função do tempo, com base no prazo, na taxa e no retorno monetário.
1.1 Período de Payback
Payback pode ser entendido como o tempo exato de retorno necessário para se recuperar um investimento inicial.
Critérios de decisão:
Todo projeto deve ter um prazo-limite para retornar os investimentos.
• Se o payback for menor que o período de payback máximo aceitável, aceita-se o projeto;
• Se o payback for maior que o período de payback máximo aceitável, rejeita-se o projeto;
Vantagens do payback:
• A maior vantagem de payback é a facilidade de se fazer o cálculo, pois se consideram apenas
os valores de entradas e saídas de caixa, demonstrados em diagrama de fluxo de caixa, por
exemplo.
Desvantagens do payback:
• A principal deficiência do payback é a de não poder determinar com exatidão o período de
retorno do investimento, pois desconsidera o valor do dinheiro no tempo. Por este motivo, esta
técnica de análise é considerada uma técnica não sofisticada;
• Uma outra deficiência é a de não considerar o fluxo de caixa após o período de payback.
Exemplo:
Uma empresa está considerando a aquisição de um ativo no valor de R$ 10.000,00, que gera entrada de
caixa de R$ 4.000,00 para os próximos 5 anos (vida útil do ativo). Determinar o payback deste projeto.
Dados:
Investimento inicial (PV): R$ 10.000,00
Entradas caixa (PMT): R$ 4.000,00
4.000
4.000
4.000
4.000
3
4
Prazo do projeto (n): 5 anos
Payback (tempo de retorno): ?
0
120
1
2
5
Curso à Distancia de Graduação em Administração
• Considere que cada período é de 12 meses;
• No final do 1° período retorna R$ 4.000,00;
• No final do 2° período retorna R$ 4.000,00;
• O saldo de investimento a retornar após o 2° é de R$ 2.000,00, seja, o payback será de 2 anos
e alguns meses. Teremos, então, que encontrar quantos meses faltam, o que pode ser obtido
facilmente através de uma regra de três. Vamos comprovar.
R$ 4.000,00 – 1 ano (12 meses)
R$ 2.000,00 – x meses
Achando o valor de “x”
x = 12 x 2.000 = 24.000 = 6 meses
4.000
4.000
1.2 VPL (Valor Presente Líquido)
O Valor Presente Líquido (VPL) é uma das técnicas consideradas sofisticadas em análise de projetos
e é obtida calculando-se o valor presente de uma série de fluxos de caixa (pagamento ou recebimento) com
base em uma taxa de custo de oportunidade conhecida ou estimada, e subtraindo-se o investimento inicial.
Genericamente, define-se o VPL como sendo:
VPL = valor presente das entradas ou saída de caixa (-) Investimento inicial
Representa-se o VPL através da seguinte fórmula:
Fórmula:
VPL = ∑ n FCn PV0
j =1 (1 + i)n
Onde:
PV0 = Valor do investimento inicial;
FC0 = Fluxo de caixa para n período.
Uma outra forma de visualizar o conceito do VPL é a seguinte:
Fórmula n°69
VPL = ∑
FC1 +
(1 + i)1
FC2 +
( 1 + i)2
FC3 + ... + FCn – PV0
(1 + i)3
(1 + i)n
121
Matemática Financeira
Critérios de aceitação:
• Se o VPL > 0, o projeto deve ser aceito;
• Se o VPL < 0, o projeto deve ser recusado;
• Se o VPL = 0, o projeto não oferece ganho ou prejuízo;
Exemplo:
Um projeto de investimento de R$ 70.000,00 gera entradas de caixa de R$ 25.000,00 nos próximos
5 anos; em cada ano será necessário um gasto de R$ 5.000,00 para manutenção, considerando um custo de
oportunidade de 8% ao ano. Pede-se: determinar o Valor Presente Liquído desta operação.
Dados:
Investimento inicial (PV0): R$ 70.000,00
Entradas de caixa (FCn): R$ 25.000,00
Despesas com manutenção: R$ 5.000,00 (saída de caixa)
Prazo de oportunidade (i) = 8% ao ano.
VPL = ?
Solução 1: (em mil)
0
1
20
20
20
20
2
3
4
5
70
(Fluxo de caixa convencional)
Observações:
• Cálculo das parcelas anuais: 25 – 5 = 20 (entradas de caixa)
VPL = ∑ 20.000
(1 + 0,08)1
VPL = ∑ 20.000
(1,08)1
+
20.000
(1 + 0,08)2
+
20.000
+
(1 + 0,08)3
20.000
(1 + 0,08)4
+ 20.000 + 20.000 + 20.000 +
(1,08)2
(1,08)3
(1,08)4
VPL = ∑ 20.000 + 20.000 + 20.000 + 20.000
1,08
122
1,1664
1,259712
+
1,360489
20.000
(1 + 0,08)5
20.000 – 70.000
(1,08)5
+ 20.000 – 70.000
469328
- 70.000
Curso à Distancia de Graduação em Administração
VPL = ∑ 18.518,52 + 17.146,78 + 15.876,64 + 14.700,60 + 13.611,66 – 70.000
VPL = 79.854,20 – 70.000
VPL = R$ 9.854,20
VPL > 0, o projeto deve ser aceito.
Solução 2: HP-12C
Na Hp-12C, função NPV, que significa Net Present Value (Valor Presente Liquido), calcula
diretamente o VPL para um conjunto de até 20 fluxo de caixas (excluindo o fluxo de caixas inicial),
desde que cada grupo contenha um máximo de 99 fluxos iguais. Para tanto, vamos trabalhar com
funções de fluxo de caixa.
Principais funções relacionadas com fluxo de caixa:
g
CFo: Cash flow0 = fluxo de caixa inicial
g
CFj: Cash flowj = jésimo fluxo de caixa inicial
g
Nj: Number j – número de fluxos de caixa iguais consecutivos
NPV: Net Present Value = Valor Presente Líquido
IRR: Internal Rate of Return = Taxa Interna de Retorno
f
[REG]
70.000
CHS
20.000
g
[CFj]
5
g
[Nj]
8
i
f
g
[CFo]
[NPV]
R$ 9.854,20
1.3 Taxa Interna de Retorno (TIR)
A taxa interna de Retorno (TIR), exemplo do VPL é uma das técnicas consideradas sofisticadas em
análises de projetos, talvez mais que o próprio VPL.
A TIR pode ser definida como taxa de desconto que iguala os fluxos de caixa ao investimento inicial.
Em outras palavras, é a taxa que faz que o VPL seja igual a “0” (zero), ou seja, satisfaz a equação VPL = 0
Para achar a TIR, pelo método algébrico, deve-se recorrer ao processo de tentativa e erro.
Considera-se a seguinte fórmula:
CF = j = 1
FCj
(1 + i)j
123
Matemática Financeira
Fórmula:
PV0 = FC1
(1 + i)1
+
FC2
+
(1 + i)2
FC3 + ... +
(1 + i)3
FCn
(1 + i)n
Critérios de decisão:
• Se a TIR > Custo de oportunidade, o projeto deve ser aceito;
• Se a TIR < Custo de oportunidade, o projeto deve ser recusado;
• Se a TIR = Custo de oportunidade, o projeto não oferece ganho em relação ao custo de oportunidade.
Exemplo:
Um projeto está sendo oferecido nas seguintes condições: um investimento inicial de R$ 1.000,00,
com entradas de caixa mensais de R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 400,00 consecutivas, sabendo-se que um custo
de oportunidade aceitável é 10% ao mês. Pergunta-se: o projeto deve ser aceito?
Dados:
Investimento inicial (CFo): R$ 1.000,00
Entradas de caixa (CFj): R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 400,00
Custo de oportunidade: 10% ao mês
TIR: ?
Neste caso, apresenta-se apenas as soluções 2 e 3, tendo em vista que o cálculo para a solução 1 é
muito complexo, conforme já demonstrado anteriormente.
Solução 2: HP-12C
f
1.000
[REG]
CHS
g
[CFo]
300
g
[CFj]
500
g
[CFj]
400
g
[CFj]
f [IRR]
9,26%
TIR < Custo de oportunidade (10%), o projeto não deve ser aceito.
124
Curso à Distancia de Graduação em Administração
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
1. Um investimento de 1.200,00 gera 3 entradas de caixa consecutivas de R$ 650,00, R$ 250,00 e R$ 450,00.
Considerando uma taxa de 5% ao mês, determine o Valor Presente Líquido.
2. Um investimento de R$ 6.000,00, efetuado no dia 1/9/01, gera entradas de caixas nos valores de R$
1.200,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.700,00, com vencimento a 35 dias, 55 dias e 120 dias, respectivamente. Calcule
o Valor Presente Liquido da operação, considerando um custo de oportunidade de 6% ao mês.
3. Dois projetos A e B de mesmo valor, correspondente a R$ 45.000,00, são oferecidos a um investidor
com 10 entradas de caixa. O projeto A tem as seguintes entradas: R$ 4.500,00, R$ 5.500,00, R$ 6.500,00,
R$ 7.500,00, R$ 8.500,00, R$ 9.500,00, R$ 10.500,00, R$ 11.500,00, R$ 12.500,00 e R$ 13.500,00. Para o
projeto B, o fluxo é inverso do projeto A; considerando um custo de oportunidade de 13,5% ao ano, calcule
o VPL, a TIR e o payback dos dois projetos.
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COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES
Na atividade de nº 1
Resposta:
VPL = R$ 34,54
VPL > 0, o projeto deve ser aceito.
Na atividade de nº 2
Resposta:
VPL = - 150,76
VPL< 0, o projeto deve ser recusado.
Na atividade de nº 3
Resposta:
TIR
VPL
Projeto A
12,30%
2.537,24
Payback para o prjeto
X = 3,42851... meses
126
Projeto B
TIR
VPL
18,99%
8.288,55
Payback para o projeto
X = 8,571429... meses
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REFERÊNCIAS
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira fundamental. São Paulo: Atlas, 2003.
NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 2006.
TOSI, Armando José. Matemática financeira com ênfase em produtos bancários. São Paulo:
Atlas, 2003.
SOBRINHO, José Dutra Viiera. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2000.
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