MINICURSO ELEMENTAR DE GEOMETRIA ESAF
PROFESSOR: Sérgio Carvalho
AULA 03
Olá, Amigos!
Espero que estejam todos muitíssimo bem!
Chegamos ao nosso último encontro!
Vamos dar sequência ao nosso minicurso de Geometria, retomando de onde
paramos na aula passada!
Passemos a mais uma questão ESAF!
21. (ESAF) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a
zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de
lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta.
Dessa maneira, considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e
de comprimento 5√ cada uma. Sendo A a área desse quadrilátero,
então:
a) A = 25.
b) 25 ≤ A ≤ 50.
c) 5√2 < A ≤ 25.
d) 0 ≤ A ≤ 25.
e) A ≥ 25.
Sol.: Vamos pensar juntos!
Se você ler com calma a questão, é bem provável que seu cérebro o leve a
pensar - por primeiro - na figura de um quadrado. Acertei?
E lhe digo que você não está errado em pensar assim! Senão, vejamos!
Para um quadrado de lado l=5, a diagonal será exatamente igual a 5√.
Confere? (Já vimos isso nesta nosso Curso! É só relembrar!).
Assim, nosso quadrado será:
5√
5
5
E para este quadrado, a área será de 5x5=25.
Beleza, professor! Já posso marcar a alternativa A?
Ainda não!
Vejam que a questão falou em reduzir alguns lados do polígono, até que
fiquem próximos de zero... Assim, é possível, por exemplo, reduzir a altura
deste quadrado, transformando-o em outra figura - um retângulo, neste caso!
E ainda assim, teríamos um quadrilátero, com as mesmas características
previstas pelo enunciado. Imaginemos, só por hipótese, que a altura do
retângulo ficasse reduzida a 1. Como a diagonal precisa valer 5√, então o
desenho agora seria o seguinte:
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5√
1
b
Por Pitágoras, faremos: (5√)2 = b2 + 12 ∴ b2=49 ∴ b=7
Vejam nosso retângulo já dimensionado:
5√
1
7
E a área é quanto? Base vezes altura = 7.
Assim, pelo mero raciocínio, percebemos que esta área, que era máxima na
figura do quadrado (25), pode se reduzir cada vez mais, até quase tender a
zero.
A ESAF considerou como gabarito correto, portanto, a letra D.
Minha única ressalva foi que esta opção admite que a área desta figura seja
igual a zero.
Discordo! Ela pode tender a zero. Ou seja, pode aproximar-se muitíssimo de
zero. Mas área igual a zero, eu confesso que nunca vi! (E olha que eu estou
perto dos 40...)!
Passemos a mais uma questão ESAF!
22. (ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a
cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse
modo, se o lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a 3 / 2 m,
então a área, em metros, do hexágono é igual a:
a) 9 3
4
b)
7
c)
2 3
3
d)
e)
3 3
3
3
Sol.: Esta questão já veio nos ensinando algo! Disse-nos a definição de um
hexágono regular, que nada mais é que a reunião de seis triângulos
equiláteros, unidos em um único vértice!
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Ou seja, para acertar esta questão, não era preciso saber nada de hexágono,
senão apenas conhecer o que é um triângulo equilátero!
E isso nós já sabemos!
O desenho da questão é o seguinte:
Já é fato nosso conhecido que a área do triângulo equilátero é dada por:
l2 3
Área =
4
, onde l é o lado do triângulo!
Assim, como o enunciado nos disse que este lado vale
quanto vale a área de um dos triângulos equiláteros!
3 / 2 , descobriremos
Teremos:
Área do triângulo equilátero =
.√
=
⁄ .√
=
.√
E agora, professor?
Agora, basta multiplicar este resultado por 6, e teremos a área do hexágono!
Teremos:
Área do hexágono regular =
.√
.6 =
.√
(Resposta: Letra A)
E vamos em frente!
Lá pela página 37, aprendemos alguma coisa acerca do círculo e da
circunferência! Lembram-se?
Para refrescar nossa memória, vejam as duas informações mais importantes
que temos que guardar conosco sobre esta figura:
Comprimento da Circunferência = 2.. Área do Círculo =
. Passemos, pois, a
circunferências, Ok?
algumas
questões
ESAF
que
envolvem
círculos
e
Vamos lá!
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23. (ESAF) Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de
50%, então o acréscimo percentual em seu comprimento será igual a:
a) 25%
b) 50%
c) 75%
d) 80%
e) 85%
Sol.: Na hora da prova, tudo é diferente! Seu estado de espírito está alterado.
Há uma grande pressão emocional por conta do tempo, que está correndo
muito rápido... E até questões simples e fáceis podem emperrar...
Para evitar que isso aconteça, devemos buscar sempre o caminho da
simplicidade!
Se a questão fala em aumento percentual de algum valor, o melhor é adotar
100 para ser a referência, ou seja, chamemos o valor base de 100.
O que é que vai aumentar em 50%? É o valor do raio da circunferência. Assim,
adotaremos que o raio original valia 100. Ok?
Assim, originalmente, tínhamos que:
Comprimento = 2..r = 200.
Daí, se o raio original sofrer um aumento de 50%, ele passará a valer 150,
confere?
Para isso adotamos a referência r=100. Se o aumento é de 50%, vira 150; se
o aumento fosse de 35%, viraria 135. E assim por diante!
E se houvesse diminuição percentual, professor, em vez de aumento?
Ora, bastaria fazer a conta de subtrair, em vez de somar!
Por exemplo, se tivesse havido uma redução percentual de 20% no raio
original, este passaria de 100 para 80. Só isso!
Pois bem! Com
circunferência?
o
novo
raio
de
150,
qual
será
o
comprimento
da
Novo comprimento = 2..r = 300.
Agora, você pode fazer uma rápida regra de três, para saber de quanto foi o
aumento percentual deste comprimento:
Comprimento
Percentual
200.
100%
300.
x
Cortamos os dois zeros dos 200 com os dois zeros do 300; cortamos os ,
multiplicamos em cruz, e chegamos a: x=150%.
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Em relação ao cumprimento original, que em termos percentuais representava
100%, houve, portanto, um aumento de 50%. (Resposta: Letra B).
Na verdade, bastaria que olhássemos para a fórmula do comprimento da
circunferência com um pouco de calma...
Comprimento da Circunferência = 2.. ... para percebermos que ele, o comprimento, é diretamente proporcional ao
raio da circunferência!
Vejam que 2 é uma constante, e também é um constante. Assim, sobra na
fórmula apenas o raio r. Qualquer aumento ou redução em seu valor implicará
idêntico aumento ou redução no valor do comprimento da circunferência.
Entendido?
Vamos em frente!
24. (ESAF) As rodas de um automóvel têm 40 cm de raio. Sabendo-se
que cada roda deu 20.000 voltas, então a distância percorrida pelo
automóvel, em quilômetros (Km), foi de:
a) 16 Km
b) 16 π Km
c) 16 π2 Km
d) 1,6 . 103π Km
e) 1,6 . 103π2 Km
Sol.: Se a questão diz que a roda do automóvel tem 40 cm de raio, temos
condições imediatas de calcular o valor do comprimento desta circunferência.
Teremos:
Comprimento = 2..r = 2..40 = (80.) cm.
A grande questão aqui seria você perceber que, a cada vez que a roda gira, ou
seja, a cada volta completa que ela dá, o carro se desloca exatamente do valor
do comprimento desta roda.
Assim, como ela deu 20 mil voltas, e a cada uma delas o carro se deslocou de
(80.)cm, vamos descobrir o quanto o carro avançou ao final.
Faremos:
20.000 x 80π cm = 1.600.000π cm = 16π
π km
Convém ficar atento para esta última transformação de unidade que nós
realizamos, passando a medida de centímetro para quilômetro!
Lembrem-se de que 1km são 1000 metros. E cada metro são 100 centímetros.
Vejam: 1 km = 1000 m e 1m = 100 cm
Daí, saindo da unidade Km, até chegar a cm, quantos zeros apareceram no
caminho? Vamos contar? 1 km = 1000 m e 1m = 100 cm
Foram 5 zeros, professor!
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Exatamente!
Assim, para transformar da unidade quilômetro para a unidade centímetro,
acrescentamos 5 zeros.
E se for o contrário, professor? Se quisermos passar de centímetro para
quilômetro?
Neste caso, retiraremos 5 zeros!
E assim teremos que: 1.600.000π cm = 16π
π km (Resposta: Letra B)
Próxima!
25. (ESAF) O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B.
Desse modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do
que a área do círculo B em:
a) 51%
b) 49%
c) 30%
d) 70%
e) 90%
Sol.: Vamos seguir a dica que passei anteriormente: sempre que a questão
nos falar em aumentos (ou reduções) percentuais, adotaremos o valor de
referência 100 (cem)!
Assim, podemos dizer que o raio do círculo A é 100. Logo, o raio do círculo B,
por ser 30% menor, valerá 70.
Vamos ver em quanto ficam as áreas desses dois círculos:
Área do Círculo A = . = 1002. = 10.000 . Área do Círculo B = . = 702. = 4900 . Agora, para fazermos a comparação entre as duas áreas, podemos usar uma
regra de três simples, a exemplo do que fizemos na resolução da questão 22
(página 76). Vejamos:
Área
Percentual
10.000 100%
4.900 x
Cortamos dois zeros dos 10000 com os dois zeros do 4900; cortamos os ;
multiplicamos em cruz, e chegamos a: x=49%.
Assim, em relação à área original, que em termos percentuais representava
100%, houve, portanto, uma redução de 51%. (Resposta: Letra A).
Passemos à próxima questão!
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26. (ESAF) A área de um círculo localizado no segundo quadrante e
cuja circunferência tangencia os eixos coordenados nos pontos (0,4) e
(-4,0) é dada por
a) 16 π
b)
4π
c)
8π
d)
2π
e) 32 π
Sol.: Esta questão tem uma história em minha vida!
Mesmo, professor?
Sim! Ela esteve presente na segunda prova que eu fiz para a Receita Federal,
lá no ano de 1998.
Eram quase 6 mil inscritos para 10 vagas!
O tempo corria, célere, e eu perdera preciosos minutos na prova de língua
portuguesa... Estava tentando correr atrás do prejuízo. Já havia passado por
esta questão e, num primeiro momento, não conseguira enxergar a solução,
por mais fácil que pudesse ser...
Então, deixei-a para o final da prova, se houvesse tempo!
E houve. Então, voltei a ela, e consegui resolvê-la no último minuto.
Foi marcar o "x" , preencher a bolinha do gabarito, e entregar a prova!
Já se passaram 13 anos, mas o que eu não esqueço, de jeito nenhum, foi a
sensação que tive quando marquei aquela última bolinha no gabarito: uma
alegria indescritível! Alguma coisa me dizia, intimamente, que uma daquelas
10 vagas era minha!
E foi dito e feito!
E a questão era essa, meus amigos! Exatamente essa!
Vamos fazer o desenho:
y
(0,4)
(-4,0)
x
Fica muito fácil reconhecer que o raio deste círculo é igual a 4.
Assim, teremos que a área do círculo será dada por:
π (Resposta: Letra A)
Área = πr2 = π(4)2 = 16π
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Vamos falar rapidamente agora sobre o número de diagonais de um polígono!
Isso já foi questão de prova, e pode voltar a ser novamente!
Trata-se de um ponto imperdível!
Existe uma fórmula para decorar, professor?
Bem, existe uma fórmula. Se é para decorar ou não, aí são outros
quinhentos...
Façamos assim: antes de simplesmente jogar a fórmula, vamos pensar juntos
em como ela seria. Ok?
Depois você decide aí, com seus botões, se prefere decorar ou aprender como
ela se faz...
Pensemos em um quadrado.
A primeira observação que nos interessa é que o número de lados (n) de um
polígono é igual ao número de vértices que ele possui.
Confere?
Basta olhar para o desenho de um quadrado para se lembrar disso: são 4
lados, e 4 vértices. O mesmo se aplica ao triângulo (3 lados e 3 vértices), e a
todos os demais polígonos.
Tomemos agora um dos vértices desse quadrado, o vértice A, e vejamos
quantas diagonais partem dele!
Teremos:
A
Só parte uma diagonal deste vértice, professor?
Ora, se o quadrado possui 4 lados, e se de cada vértice só parte uma diagonal,
podemos - generalizando - concluir que, em um polígono qualquer, o número
de diagonais que partem de cada vértice será dado por:
Número de diagonais que saem de cada vértice = (n-3).
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No caso do quadrado: (n-3)=(4-3)=1 (sai uma diagonal de cada vértice)!
Se fosse um hexágono: (n-3)=(6-3)=3 (saem 3 diagonais de cada vértice!)
Faça o desenho aí do hexágono, para ver se isso é verdade...
Pois bem!
Agora pensem comigo: se (n-3) é o número de diagonais que saem de cada
vértice de um polígono, e se n é o número de vértices de um polígono, então,
para o polígono inteiro, diremos que saem (n-3).n diagonais!
Confere?
Confere, professor! É só isso?
Ainda não!
Voltemos nossos olhos novamente para o quadrado:
Se atentarmos bem, veremos que esta diagonal que parte do vértice A e chega
ao vértice oposto (vamos chamá-lo de B) é a mesmíssima diagonal que
parte do vértice B e chega ao vértice A.
Estão vendo?
B
A
Assim, para que as diagonais não sejam contadas em dobro, temos que dividir
aquele número total de diagonais por 2.
Daí, finalmente diremos, de forma acertadíssima, que o número de diagonais
de um polígono de n lados é dado por:
ú = − !. No caso de um quadrado (n=4), teremos:
" − 3!. " 4 − 3!. 4
=
= 2%&'()"'&*
2
2
No caso de um hexágono (n=6), teremos:
" − 3!. " 6 − 3!. 6
=
= 9%&'()"'&*
2
2
E assim por diante!
Vejamos uma questão ESAF sobre esse assunto!
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27. (ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais
determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de
diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11
b) 12
c) 10
d) 15
e) 18
Sol.: A leitura da questão nos leva a crer que precisamos, por primeiro,
descobrir o número de diagonais de um hexágono!
Acabamos de fazer isso na página passada, professor!
Exatamente! Dissemos que o número de diagonais de um hexágono é:
" − 3!. " 6 − 3!. 6
=
= 9%&'()"'&*
2
2
Agora, tomando a primeira parte da leitura desta nossa questão, vemos que há
um polígono de n lados. E que de cada vértice deste polígono saem 9
diagonais!
(Esse finalzinho fomos nós que descobrimos, calculando o número de diagonais
do hexágono)!
Ora, sabemos calcular o número de diagonais que saem de cada vértice de um
polígono! Está no término da página 80:
Número de diagonais que saem de cada vértice = (n-3).
Assim, teremos que: (n-3)=9
E: n=12 (Resposta: Letra B)
E aí? Tudo certinho?
Vamos em frente!
Falemos agora um pouco sobre ângulos internos e ângulos externos de um
polígono regular!
O que é mesmo um polígono regular, professor?
Polígono Regular é aquele que tem todos os lados de mesmo tamanho!
Tomemos o desenho de um hexágono regular (n=6 lados):
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Vou pedir que você se concentre só nos dois lados destacados no desenho
abaixo:
Quero, com isso, mostrar-lhes exatamente o que é ângulo interno e o que é
ângulo externo.
Vejamos primeiramente o ângulo interno (vamos chamá-lo de ,) existente
neste vértice:
.
Para identificar o ângulo externo, temos que traçar um prolongamento do lado.
Teremos:
.
E eis que surge o ângulo externo, ao qual chamaremos de -:
0
.
Agora vamos ver tudo o que precisamos saber sobre estes dois ângulos
(interno e externo):
1º) A soma deles é igual a 180o: . + 0 = 12
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Essa é fácil de
suplementares!
enxergar,
concordam?
São
ditos,
portanto,
ângulos
2º) Para um polígono regular de n lados, o valor de cada ângulo interno será
dado por:
− !. 12
3̂ =
3º) Para um polígono regular de n lados, o valor de cada ângulo externo será
dado por:
62
5 =
Tem uma dica importante que merece comentário neste momento!
Mas, antes, uma pergunta: olhando as duas fórmulas acima, a do ângulo
interno e a do ângulo externo, qual lhes parece a melhor para fazer contas
mais rapidamente?
É a do ângulo externo, não é, professor?
Exatamente!
Assim, conhecendo a próxima observação, a de nº 4, vocês verão que é
sempre possível transformar uma relação que envolva ângulos internos de dois
polígonos, reescrevendo-a em função dos respectivos ângulos externos!
Vejam aí!
4º) Afirmar que o ângulo interno de um polígono (798 ) é 5o maior que o ângulo
interno de outro polígono (79
: ) é o mesmo que afirmar que o ângulo externo
deste último polígono (;
<: ) é 5o maior que o ângulo externo do primeiro (;<8 ).
o
Vejam: Se 79
8 = 79
: +5
(;
<: )= (;<8 )+ 5o
Obviamente que este valor 5o é meramente ilustrativo. Poderia ser qualquer
outro valor no lugar dele, OK?
Vejam melhor:
60o
120o
55o
125o
Passemos à próxima questão ESAF.
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28. (ESAF)
Dois polígonos regulares, X e Y, possuem,
respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno
do polígono X excede o ângulo interno do polígono Y em 5> (cinco
graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são,
respectivamente, iguais a:
a) 9 e 8
b) 8 e 9
c) 9 e 10
d) 10 e 11
e) 10 e 12
Sol.: Tomando os dois polígonos, X e Y, anotemos as informações que nos
passou o enunciado:
Polígono X:
Polígono Y:
Número de lados: (n+1)
Número de lados: n
Ângulo interno: (79
8)
Ângulo interno: (79
:)
A informação que relaciona os ângulos internos desses dois polígonos é a
o
seguinte: 798 = 79
: +5
Daí, aplicando o que aprendemos na dica 4 da página anterior, podemos
afirmar também que:
<? )= (
<@ )+ 5o
(
Por assim dizer, matamos a questão! (Ao menos, matamos o raciocínio
necessário)!
Como é que se calcula o ângulo externo de um polígono regular? Assim:
62
5 =
Daí, teremos que:
360
360
=
+5
" + 1!
"
Desenvolvendo esta equação, teremos:
360
360
360 360 + 5" + 5
=
+ 5 ∴ =
∴ 360" + 360 = 360" + 5"C + 5"
" + 1!
" + 1!
"
"
E assim, chegamos a uma equação de segundo grau: 5. "C + 5" − 360 = 0
Simplificando (dividindo tudo por 5), teremos:
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"C + " − 72 = 0
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Finalmente, resolvendo a equação, teremos:
"=
−1 ± 1 − 4!. 1!. −72!
2
Daí: n=8
Onde n é o número de lados do polígono Y.
E o número de lados do polígono X, que é dado por (n+1), será igual a 9.
Assim: 9 e 8 (Resposta: Letra A)
Agora vamos falar um pouco acerca de outro conhecidíssimo teorema dentro
da Geometria: o Teorema de Tales!
Todos vocês já ouviram falar dele, certamente!
Tem a ver com retas paralelas e retas transversais, não é professor?
Exatamente!
Comecemos traçando um feixe de retas paralelas:
r1
r2
r3
r4
Agora tracemos duas retas transversais (t1 e t2) àquelas que já estavam no
desenho anterior:
t1 t2
A
B
C
D
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E
r1
F
r2
G
r3
H r4
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Pois bem! O Teorema
proporcionalidade!
de
Tales
é
tão
somente
uma
relação
de
Por Tales, diremos que:
FG IJ
=
GH JK
Podemos dizer ainda que:
GH JK
=
HL KM
Podemos ainda afirmar que:
FH IK
=
HL KM
E ainda que:
FG IJ
=
GL JM
E finalmente que:
FG GH HL FL
=
=
=
IJ JK KM IM
Tales nos diz, portanto, que:
Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer,
segmentos que são proporcionais.
Vejamos isso numa questão de prova da ESAF:
29. (ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta
transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm,
respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre
uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o
segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta
paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos
segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54
b) 6, 34 e 50
c) 10, 30 e 50
d) 14, 26 e 50
e) 14, 20 e 56
Sol.: A questão só tem tamanho... Mas a resolução é quase que imediata!
Façamos o desenho, para compreender melhor:
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A B
r1
2
x
r2
10
y
r3
18
z
r4
Acerca dos valores de x, y e z, sabemos que a soma dos três vale 90cm.
Com isso, é possível estabelecer a relação de proporcionalidade entre os
segmentos correspondentes nas duas retas!
A soma dos segmentos na transversal A é igual a 30, e a soma dos segmentos
na transversal B é 90.
Assim: 90/30=3
Daí, concluímos que cada segmento da reta B será o triplo do segmento
correspondente na reta A.
Só isso, professor?
Só! Mais fácil, impossível!
Teremos, pois, que:
x= 3 . 2 = 6
y= 3 . 10 = 30
Z= 3. 18 = 54
Assim, 6, 30 e 54 (Resposta: Letra A)
Passemos à próxima questão ESAF:
30. (ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90
graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância
cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km
do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do
mesmo cruzamento?
a) 5 km.
b) 4 km.
c) 4√2 km.
d) 3 km.
e) 5√2 km.
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Sol.: O que lhe parece? Uma questão bem fácil, concordam?
Vamos fazer o desenho? Marcaremos com pontos vermelhos a localização de
cada carro. Teremos:
3
x
4
Alguém dirá:
Professor, essa aí deve ser uma questão de prova de nível médio, e que caiu
há uns dez ou quinze anos... Não vem mais questão fácil assim nos concursos
de hoje...
Tem certeza?
Esta questão, meus amigos, caiu no último concurso de Auditor-Fiscal da
Receita Federal do Brasil. Sim! No AFRFB/2009.
Mas aí não basta aplicar o teorema de Pitágoras, professor?
Sim! Só isso! E a hipotenusa é justamente o que a questão está pedindo!
Teremos: x2=32+42 ∴ x2=25
E, desprezando a raiz negativa: x=5 (Resposta: Letra A)
É o que eu sempre digo: nem só de questões difíceis se faz uma prova de
concurso!!!
Também tem as dificílimas e as impossíveis!
Vamos para mais uma fácil? (Depois a gente faz a mais difícil de todas!)...
31. (ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares,
ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que
destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma
reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete
pontos é igual a:
a) 16
b) 28
c) 15
d) 24
e) 32
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Sol.: Para acertar esta daqui, o pré-requisito é um só: saber ler! Não precisava
nem saber que coplanares significa no mesmo plano, pois até isso a questão
explicou!
Ah! Tinha que saber que colineares significa na mesma reta!
Mas isso eu creio que todos sabem, não é mesmo?
Então, o que temos são 7 (sete) pontos, sendo que 4 (quatro) deles são
colineares.
Façamos o desenho:
Pode ser assim? Claro, sem problemas! Vejam que os quatro pontos superiores
estão alinhados, ou seja, são colineares!
Pois bem! O que a questão quer mesmo saber?
Ela quer saber o número de retas que ficam determinadas por estes 7
pontos! Só isso!
Ainda não entendi, professor...
Em palavras mais fáceis: a questão quer saber quantas retas você consegue
traçar, unindo quaisquer desses pontos.
Até de brincadeira você acerta! Vamos lá?
Aí em cima já foram 4.
Vamos para mais 4:
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Continuando, tracemos as retas que partem do ponto mais baixo do desenho:
Com isso, já temos 14 retas traçadas! Ainda dá para traçar mais alguma? Claro
que sim! Teremos agora:
Você pode passar o resto do ano tentando criar uma reta que ainda não esteja
aí, e não vai achar nenhuma...
Quantas foram? Foram 16 retas (Resposta: Letra A)
Essa era a única forma de resolver a questão, professor?
De jeito nenhum! Dava para resolver até por análise combinatória... (Mas eu
preferi usar este caminho aí de cima mesmo, para não ficar parecendo que era
difícil).
Vamos mais uma?
32. (ESAF) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O
segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede
32 centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento
XY, em centímetros, é igual a:
a) 27
b) 48
c) 35
d) 63
e) 72
Sol.: Esta também é bastante recente. É da prova de ATRFB/2010 (Analista
Tributário da Receita Federal do Brasil).
É a típica questão fácil, mas que fica difícil se você estiver com muita pressa...
Vamos anotar os dados principais do enunciado:
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i) XY = 3.YZ
ii) XZ = 32
iii) XY = ?
Ressalte-se que esses 3 pontos (X, Y e Z) são colineares! (Já sabemos o que é
isso).
Se você começar a pensar um pouco, verá que há duas situações possíveis
para a marcação dos pontos X, Y e Z, de sorte a não contrariar as exigências
do enunciado.
Senão, vejamos!
Comecemos definindo as posições de X e Y.
Teremos:
X
Y
Percebam nas divisões que traçamos na reta, que há 3 (três) espaços entre X
e Y. Se quisermos chamar cada espaço destes de a, então haverá uma
distância de 3a entre X e Y.
X
Y
3a
Isso, obviamente, foi proposital, em função da primeira exigência do enunciado
(de que XY = 3.YZ).
Assim, só existem duas posições possíveis para o ponto Z: ou ele ficará à
direita, ou ficará à esquerda de Y.
Em qualquer caso, a distância entre Y e Z será de uma marcação (um espaço)
da nossa reta.
Analisemos no desenho as duas situações possíveis:
Situação 1) O ponto Z está à direita de Y.
X
Y
3a
Z
a
Neste caso, sabendo que XZ=32, diremos que 4a=32, e daí a=8.
Assim, teríamos que XY=3x8=24
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Esta poderia ser a resposta! Mas não é, simplesmente porque não consta nas
alternativas.
Isso nos leva a concluir que a verdadeira posição do ponto Z será à esquerda
de Y.
Teremos:
a
X
Z
Y
3a
Nesta nova situação, enxergamos que XZ=2a=32, donde extraímos que
a=16.
Assim, matamos a questão calculando que:
XY=3a=3x16=48 (Resposta: Letra B)
É, meus amigos, estamos partindo agora para as saideiras...
Para encerrar nosso minicurso, vamos fazer duas questões ESAF recentes, e
das mais belas, Ok?
Vamos juntos!
33. (ESAF) Três esferas rígidas estão imóveis em uma superfície plana
horizontal, sendo que cada esfera está encostada nas outras duas.
Dado que a maior delas tem um raio de 4cm e as outras duas têm raios
de 1cm, os pontos em que as esferas tocam o chão formam um
triângulo cuja área é:
15,75
a)
cm2
2
b) 15,75 cm2
c) 2 6 cm2
d) 15 cm2
e)
6 cm2
Sol.: Estamos diante de uma questão que exigirá de nós toda a perspicácia do
mundo!
Em nível de dificuldade, de zero a dez, esta fica realmente no topo!
Daí, se você acerta uma questão desta na sua prova, passa na frente de um
caminhão lotado de concorrentes...
Vamos tentar juntos?
Só dá para acertar essa questão se você fizer o desenho, e com muito cuidado!
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É mister que façamos, na verdade, dois desenhos iniciais: um com a vista
superior das 3 esferas, e outro com a vista lateral.
Vejamos:
4
4
1
1
4
1
1
1
(1º desenho: vista superior)
(2º desenho: vista lateral)
Neste primeiro desenho, traçamos um triângulo (em vermelho) ligando os
centros das 3 esferas.
A necessidade do segundo desenho, o da vista lateral, é exatamente fazer
você enxergar que este triângulo da vista superior está, na verdade, inclinado
para cima, uma vez que há uma esfera maior que as outras duas.
Estão percebendo isso?
Ocorre que a pergunta da questão é deveras capciosa! Ela quer saber a área
do triângulo cujos vértices são os pontos onde as esferas tocam no chão!
Ou seja, ele não quer a área daquele triângulo inclinado, que une os centros
das esferas!
Aí é que mora toda a malícia da questão! Será preciso projetar para o plano
do chão aquele triângulo inclinado dos desenhos acima!
Para esclarecer melhor, vejam o desenho que se segue:
4
5
5
1
1
2
Vejam que a questão pede de nós a área desse triângulo que está no chão, e
que destacamos em sombreado!
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Para descobrirmos o lado deste triângulo sombreado, usaremos apenas a
lateral do desenho anterior, que se afigura para nós como se fosse um
trapézio! Vejam:
5
4
1
Traçaremos uma linha horizontal de altura 1 cm, conforme mostrado a seguir:
5
4
3
x
1
1
x
Usando Pitágoras, teremos que: 52 = 32 + x2
Daí:
x2 = 25 – 9 ∴
x2 = 16
∴
x=4
Assim, meus amigos, o triângulo sombreado tem as seguintes medidas:
4
4
1
1
2
Sua altura será calculada, novamente, por Pitágoras! Teremos:
42 = h2 + 12
∴
h2 = 16 – 1 = 15
∴
h = 15
Finalmente, recordando que a área do triângulo é dada por (base . altura)/2,
teremos que:
Área =
2 ⋅ 15
= 15 cm2 (Resposta: Letra D)
2
Chegamos à última questão do nosso minicurso! Eu já estou com saudades!
Não posso negar que deu muito trabalho escrevê-lo... (O Word não é a oitava
maravilha para quem escreve matemática)!
Mas também não posso negar a alegria e o prazer imenso de estar de volta!
Vamos para a questão saideira.
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34. (ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de
raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base
de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cms é a distância entre o centro
da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?
a) 5.
b) 7,5.
c) 5 + 5√2 / 2.
d) 5√2 .
e) 10.
Sol.:
O
A
5
5
5
D
P
5
C
B
Aí está nosso desenho!
O cone estava parado, até que veio rolando uma esfera e ficou exatamente
encostada nele!
Só há um ponto de contato (ponto de tangência) entre o cone e a esfera, que
é o ponto D.
Sendo assim, concluímos que o segmento AC é exatamente perpendicular ao
raio OD.
Vemos ainda que o triângulo ABC é isósceles, pois dois de seus lados são
iguais a 5.
Assim, os ângulos BAC e ACB devem ser iguais, e valem, ambos, 45o cada um
deles, haja vista que há neste triângulo um ângulo reto (90o)!
Percebam também que o ângulo OAB é 90º. Assim, como o ângulo BAC vale
45º, também o ângulo OAD será de 45º (=90º–45º).
O ângulo ODA vale 90º, confere? Daí, como o ângulo OAD vale 45º, teremos
que o ângulo AOD também será 45º, a fim de que a soma dos ângulos internos
do triângulo OAD seja 180º.
Como este triângulo OAD possui dois ângulos iguais, logo possuirá dois lados
iguais. Neste caso, AD = OD = 5.
Anotando todos estes resultados no desenho, teremos:
O
A
45º
5
5
45º
5 45º
D
5
45º
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P
C
5
B
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A questão pergunta a medida do segmento PB, o qual tem a mesma medida do
segmento OA.
Para chegarmos à resposta, destacaremos o triângulo retângulo OAD a seguir:
A
O
45º
45º
5
5
D
O segmento OA é a hipotenusa do triângulo e pode ser obtida simplesmente
por Pitágoras. Teremos:
(OA)2 = 52 + 52
Daí, vem que:
(OA)2 = 25 + 25 = 50 ∴ OA = √50 = 5√2 (Resposta: Letra D)
-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞É isso, meus amigos!
Convém esclarecer a todos que este minicurso deve servir apenas para abrir as
portas para o entendimento mais básico da Geometria!
Vejam que tratamos aqui apenas da Geometria Plana, que é, no fim das
contas, a mais cobrada pela ESAF em seus concursos.
Mas também, aqui e ali, você encontra uma questão de Geometria Espacial...
A bem da verdade, o estudo completo da Geometria dá um livro inteiro, de
pelo menos umas 400 páginas...
Para concurso, não sei se vale a pena o custo-benefício de se escrever tanto...
Vou deixar na sequência a relação das trinta e poucas questões ESAF que
resolvemos neste Curso, a fim de que vocês, ao completar esse estudo,
tenham a certeza de seu aprendizado, resolvendo novamente toda a lista!
Precisa mesmo, professor?
Não! Só se você quiser aprender de verdade!
É uma alegria estar aqui novamente!
Espero encontrá-los em breve, nos nossos próximos Cursos Online!
Bons estudos a todos vocês!
E fiquem com Deus!
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LISTA DAS QUESTÕES ESAF TRABALHADAS NESTE MINICURSO
(ou simplesmente "Dever de Casa")
01. (ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y, onde
A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A+X é igual a
45º, segue-se que:
a)
Y = -2 X
b) Y = (31/2)/2 X
c)
Y = 31/2 X
d) Y = X
e) Y = 2 X
Obs.: Resolvida na página 21.
02. (ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, x e (y-2).
Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1,
então o perímetro do triângulo é igual a
a)
2y (x + 1)
b)
y (2 + 2
2)
c) x (2 + 2 )
d) 2 (x + y)
e) x2 + y2
Obs.: Resolvida na página 22.
03. (ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a hipotenusa um ângulo de
45º. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a soma das medidas dos catetos é igual a:
a) 8 cm2
b)16 cm
c)4 cm
d) 16 cm2
e) 8 cm
Obs.: Resolvida na página 24.
04. (ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base.
Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base
medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
Obs.: Resolvida na página 26.
05. (ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60°. O maior ângulo
formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede:
a) 45°
b) 60°
c) 90°
d) 120°
e) 150°
Obs.: Resolvida na página 29.
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06. (ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer ABC mede 76°. Assim, o menor ângulo
formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C deste triângulo vale:
a) 50°
b) 52°
c) 56°
d) 64°
e) 128°
Obs.: Resolvida na página 32.
07. (ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede √2 cm e um outro mede 2 cm.
Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45 , então a área do triângulo é igual a
a) 3NO⁄P
b)2O⁄C
c) 2NO⁄C
d)3√2
e) 1
Obs.: Resolvida na página 35.
08. (ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo equilátero que, por sua vez, está inscrito
em outro círculo. Determine a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor.
a) √3
b) 2
c) 3
d) √2
e) 4
Obs.: Resolvida na página 38.
09. (ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. Calcule o
raio desse círculo.
a) 1,50
b) 1,25
c) 1,00
d) 1,75
e) 2,00
Obs.: Resolvida na página 43.
10. (ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e
a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo é tangenciada pelos lados BC,
AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR,BP e CQ medem
x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual
a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a
a) 18 – c.
b) 18 – x.
c) 36 – a.
d) 36 – c.
e) 36 – x.
Obs.: Resolvida na página 45.
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11. (ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma
circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos
pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo
retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro
será igual a:
a) 40 cm
b) 35 cm
c) 23 cm
d) 42 cm
e) 45 cm
Obs.: Resolvida na página 46.
12. (ESAF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um
segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m. A
área do segundo triângulo será igual a:
a)
6 m2
b) 12 m2
c)
24 m2
d) 48 m2
e) 60 m2
Obs.: Resolvida na página 51.
13. (ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, QO , e QC , é igual a 8. Sabe-se que a
área do triângulo QO é igual a 128 RC . Assim, a área do triângulo QC é igual a:
a) 4 RC .
b) 16 RC .
c) 32 RC .
d) 64 RC .
e) 2 RC .
Obs.: Resolvida na página 53.
14. (ESAF) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede
20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 m. Por
interpolação e extrapolação lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20
metros, na mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia.
a) 45m
b) 35m
c) 20m
d) 50m
e) 65m
Obs.: Resolvida na página 54.
15. (ESAF)
Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2 e vértices A, B, C e D,
sendo que A e C são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal BD a uma
distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo da
distância deste ponto até o vértice C?
a) 30 m
b) 17,32 m
c) 34,64 m
d) 28,28 m
e) 14,14 m
Obs.: Resolvida na página 56.
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16. (ESAF) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão
entre a área do círculo cincurscrito e a área do círculo inscrito?
a) √2
b) 2 √2
c) 2
d) 4
e) 1
Obs.: Resolvida na página 60.
17. (ESAF) Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo que, por sua vez, está
inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais próximo de L.
a) 1,732
b) 1,414
c) 2
d) 1,5
e) 1,667
Obs.: Resolvida na página 61.
18. (ESAF) A e B são os lados de um retângulo I. Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzirse o lado B em 20% obtem-se o retângulo II. Se, ao invés disso, se aumentar o lado B em
20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o retângulo III. Pode-se afirmar que:
a) Os três retângulos tem a mesma área.
b) Os retângulos II e III tem uma área igual, maior que a do retângulo I.
c) O retângulo II tem a maior área.
d) O retângulo III tem a maior área.
e) O retângulo I tem a maior área.
Obs.: Resolvida na página 65.
19. (ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c,
e d, medindo (4 x – 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b
são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a:
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40
e) 50
Obs.: Resolvida na página 67.
20. (ESAF) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base menor igual a 8 cm e
altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela base menor e o
prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é igual a:
a)
10
b) 5
c) 7
d) 17
e) 12
Obs.: Resolvida na página 71.
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21. (ESAF)
Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele degenera
naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo até eventualmente
degenerar em um segmento de reta. Dessa maneira, considere um quadrilátero com duas
diagonais iguais e de comprimento 5√2 cada uma. Sendo A a área desse quadrilátero, então:
a) A = 25.
b) 25 ≤ A ≤ 50.
c) 5√2 < A ≤ 25.
d) 0 ≤ A ≤ 25.
e) A ≥ 25.
Obs.: Resolvida na página 73.
22. (ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices,
obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o lado de um dos triângulos assim
obtidos é igual a 3 / 2 m, então a área, em metros, do hexágono é igual a:
a)
9 3
4
b)
7
d) 3 3
e)
3
3
c)
3
2 3
Obs.: Resolvida na página 74.
23. (ESAF) Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50%, então o acréscimo
percentual em seu comprimento será igual a:
a) 25%
b) 50%
c) 75%
d) 80%
e) 85%
Obs.: Resolvida na página 76.
24. (ESAF) As rodas de um automóvel têm 40 cm de raio. Sabendo-se que cada roda deu
20.000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel, em quilômetros (Km), foi de:
a)
16 Km
b) 16 π Km
c)
16 π2 Km
d) 1,6 . 103π Km
e) 1,6 . 103π2 Km
Obs.: Resolvida na página 77.
25. (ESAF) O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse modo, em
termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área do círculo B em:
a) 51%
b) 49%
c) 30%
d) 70%
e) 90%
Obs.: Resolvida na página 78.
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26. (ESAF) A área de um círculo localizado no segundo quadrante e cuja circunferência
tangencia os eixos coordenados nos pontos (0,4) e (-4,0) é dada por
a)
16 π
b)
4π
c)
8π
d)
2π
e) 32 π
Obs.: Resolvida na página 79.
27. (ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um
de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11
b) 12
c) 10
d) 15
e) 18
Obs.: Resolvida na página 82.
28. (ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados.
Sabe-se que o ângulo interno do polígono X excede o ângulo interno do polígono Y em 5>
(cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, respectivamente,
iguais a:
a) 9 e 8
b) 8 e 9
c) 9 e 10
d) 10 e 11
e) 10 e 12
Obs.: Resolvida na página 85.
29. (ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos
que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas
determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da
transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo,
as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54
b) 6, 34 e 50
c) 10, 30 e 50
d) 14, 26 e 50
e) 14, 20 e 56
Obs.: Resolvida na página 87.
30. (ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90 graus uma com a
outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na
primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do
mesmo cruzamento?
a) 5 km.
b) 4 km.
c) 4√2 km.
d) 3 km.
e) 5√2 km.
Obs.: Resolvida na página 88.
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31. (ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão
localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares,
ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes
sete pontos é igual a:
a) 16
b) 28
c) 15
d) 24
e) 32
Obs.: Resolvida na página 89.
32. (ESAF) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo
do segmento YZ. O segmento XZ mede 32 centímetros. Desse modo, uma das possíveis
medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a:
a) 27
b) 48
c) 35
d) 63
e) 72
Obs.: Resolvida na página 91.
33. (ESAF) Três esferas rígidas estão imóveis em uma superfície plana horizontal, sendo que
cada esfera está encostada nas outras duas. Dado que a maior delas tem um raio de 4cm e as
outras duas têm raios de 1cm, os pontos em que as esferas tocam o chão formam um
triângulo cuja área é:
a)
15,75
2
b)
15,75 cm2
cm2
c) 2 6 cm2
d)
15 cm2
e)
6 cm2
Obs.: Resolvida na página 93.
34. (ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada
em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cms é
a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície?
a) 5.
b) 7,5.
c) 5 + 5√2 / 2.
d) 5√2 .
e) 10.
Obs.: Resolvida na página 96.
Segue o gabarito na página seguinte!
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MINICURSO ELEMENTAR DE GEOMETRIA ESAF
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GABARITO
01
D
02
C
03
E
04
B
05
D
06
B
07
E
08
E
09
A
10
A
11
D
12
A
13
E
14
A
15
A
16
C
17
B
18
E
19
B
20
A
21
D
22
A
23
B
24
B
25
A
26
A
27
B
28
A
29
A
30
A
31
A
32
B
33
D
34
D
Até a próxima!
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