Spin
Momento magnético e spin do elétron
O experimento de Stern-Gerlach demonstra que o elétron possui um momento magnético
intrı́nseco µ
~ , cuja projeção sobre uma direção qualquer pode tomar apenas dois valores. Este
~ chamomento magnético é interpretado como associado a um momentum angular intrı́nseco S,
mado spin, cujas projeções também podem assumir dois valores. Especificamente, podemos
escrever
~
S
(1)
µ
~ = −gS µB .
h̄
Nesta expressão, µB é o magnéton de Bohr, unidade natural de momento magnético atômico
definida como
eh̄
µB =
(2)
,
2m
onde e é o valor absoluto da carga do elétron e m a massa do elétron. O fator adimensional gS
em (1) é chamado “razão giromagética”. Para o momento magnético associado ao movimento
orbital de uma carga, este fator é 1 mas, no caso do spin, a teoria quântica relativı́stica de Dirac
mostra que gS = 2.
Os dois valores possı́veis da projeção do spin numa direção qualquer ~n são ±h̄/2. Por “valor
possı́vel”, entende-se um valor que pode ser obtido como resultado de uma medida :
h̄
~ medida
~n · S
−→ = ± .
2
(3)
Sabemos que, na mecãnica quântica, não podemos em geral atribuir valores bem definidos a
todos os observáveis. Podemos anticipar a mesma limitação no que diz respeito às projeções
do spin. Em geral, poderemos apenas especificar probabilidades de obter numa medição um ou
outro dos possı́veis resultados.
Estados e observáveis de spin
O estado de uma partı́cula sobre uma linha é especificado por uma função complexa da
posição da partı́cula. Ou seja, a cada valor da variável, associa-se um número complexo. Analogamente, no caso de uma variável “discreta”, associa-se um número complexo a cada valor da
variável. No caso de uma componente do spin, digamos Sz , há dois valores possı́veis, e portanto
um estado Ψ é representado por dois números complexos que podem ser convenientemente
arranjados num “vetor coluna” :
a
Ψ=
.
(4)
b
Denotamos por Z± os vetores que representam estados nos quais a componente Sz possui valor
±h̄/2, com probabilidade 100%. Escolhemos por convenção
1
0
Z+ =
; Z− =
.
(5)
0
1
Podemos então escrever o estado geral (4) na forma de uma combinação linear dos estados (5) :
Ψ = aZ+ + bZ− .
(6)
Na mecânica ondulatória de uma partı́cula, um observável é representado por uma operação
atuando sobre a função de onda Ψ(x, t). Por exemplo, a posição é representada pela simples
∂
multiplicação por x. Já o momentum linear é representado pela operação diferencial h̄i ∂x
. Semelhantemente, os observáveis de spin são representados por operações atuando sobre o vetor Ψ.
No caso, a operação adequada é a multiplicação matricial e um observável de spin O é representado por uma matriz :
α β
O=
,
(7)
γ δ
onde α...δ são números complexos.
1
Para enxergar como calcular o valor esperado do observável O, lembramos a receita para o
cálculo do valor esperado do momentum linear de uma partı́cula :1
Z ∞
h̄ ∂
hpi =
Ψ(x)∗
Ψ(x)dx .
(8)
i ∂x
−∞
A expressão análoga para o observável de spin O é
hOi = Ψ† OΨ ,
(9)
Ψ† = (a∗ b∗ ) .
(10)
onde
Nota-se que a integral presente em (8) é substituida pelas somas sobre ı́ndices implicitas nos produtos matriciais. Vê-se também que a operação representada por † envolve, além da conjugação
complexa, a transformação do vetor coluna num vetor linha. Isto é necessário para que o resultado do cálculo seja um simples número.
O valor esperado de uma grandeza fı́sica deve ser um número real :
hOi = hOi∗ .
(11)
hOi∗ = Ψ† O† Ψ ,
(12)
Mas de (9), tem-se que
onde O† é a matriz conjugada de O, dada por
∗
α
†
O =
β∗
γ∗
δ∗
(13)
.
Comparando (12) a (9), vê-se que para que uma matriz represente um observável, ela deve
satisfazer a condição
O† = O ,
(14)
ou ainda
α∗
β∗
γ∗
δ∗
=
α
γ
β
δ
.
Assim, a matriz associada a um observável deve assumir a forma
α β
O=
com α, δ reais.
β∗ δ
(15)
(16)
Para que a receita (8) forneça corretamente o valor médio do momentum, é necessário que a
função de onda satisfaça a condição de normalização
Z ∞
(17)
Ψ(x)∗ Ψ(x)dx = 1 .
−∞
Esta condição apenas expressa o fato que a partı́cula sempre se encontra em algum lugar e
permite calcular probabilidades e valores esperados pela regra de Born. Semelhantemente, para
que a receita (9) seja válida, é necessário que o vetor representando o estado de spin satisfaça
a condição
Ψ† Ψ = 1 ,
(18)
ou seja,
|a|2 + |b|2 = 1 .
(19)
A interpretação desta condição é que, se medirmos Sz , sempre obteremos um dos dois resultados possı́veis e as probabilidades associadas devem somar-se para dar a unidade. Assim,
estamos atribuindo às componentes do vetor ‘Ψ a seguinte interpretação : estando o spin no
estado Ψ, a probabilidade de obter o resultado +h̄/2 numa medida de Sz é |a|2 . A probabilidade
de obter o resultado −h̄/2 nesta medida é |b|2 = 1 − |a|2 .
1 Para
simplificar, omitimos a dependência temporal.
2
Matrizes de Pauli
Na mecânica ondulatória num espaço unidimensional, uma onda plana representa uma partı́cula
cujo momentum é conhecido com precisão. A aplicação do operador momentum linear a tal
função de onda reproduz a própria função, multiplicada pelo valor correspondente do momentum :
h̄ ∂ i(kx−ωt)
(20)
e
= h̄k ei(kx−ωt) = p ei(kx−ωt) .
i ∂x
Semelhantemente, a matriz que representa Sz , quando aplicada aos vetores representando os
estados Z+ e Z− , deve reproduzir estes mesmos vetores, multiplicados por +h̄/2 e −h̄/2, respectivamente :
h̄
h̄
(21)
Sz Z+ = + Z+ ; Sz Z− = − Z− .
2
2
É fácil convencer-se de que a matriz adequada é
h̄
h̄
h̄/2
0
1 0
= σz ,
Sz =
=
0
−h̄/2
0 −1
2
2
(22)
onde σz é a (terceira) matriz de Pauli
σz =
1 0
0 −1
.
(23)
Vale notar que
σz2
=
1
0
0
1
≡I,
(24)
a matriz identidade. Isto era de se esperar, pois o observável Sz2 sempre vale (h̄/2)2 . Um observável que assume o mesmo valor em qualquer estado deve ser representado por uma matriz
proporcional à matriz identidade, pois esta é a matriz que, quando aplicada a qualquer vetor,
reproduz este vetor identicamente. Assim, devemos ter
h̄
Sz2 = ( )2 I .
2
(25)
Isto é consistente com (22) e (24). O mesmo argumento vale para as outras componentes do
spin. Portanto
h̄
Sx2 = Sy2 = ( )2 I .
(26)
2
Procuramos agora as matrizes que representam as outras componentes do spin, Sx e Sy .
Não podemos esperar que estas componentes possuam valores bem definidos nos estados Z± .
Apenas poderemos atribuir probabilidades aos dois valores possı́veis (±h̄/2) e calcular valores
esperados. Em analogia com (22), é conveniente escrever
Sx =
h̄
h̄
σ x ; Sy = σ y ,
2
2
(27)
onde σx e σy são as outras duas matrizes de Pauli, cujas formas vamos estabelecer. De (26), já
sabemos que
σx2 = σy2 = I .
(28)
Pela isotropia do espaço, não haveria porque o valor +h̄/2 ser obtido com mais (ou menos)
freqüência que o valor −h̄/2 numa medida de Sx no estado Z+ . Portanto, o valor médio de Sx
neste estado deve ser nulo, ou seja, aplicando-se a regra (9) :
ou ainda, usando (27)
†
Z+
Sx Z+ = 0 ,
(29)
†
Z+
σx Z+ = 0 .
(30)
Escrevendo σx na forma (16),
σx =
α
β∗
3
β
δ
,
(31)
deduzimos de (30) que α = 0. Pelo mesmo argumento, devemos ter
†
Z−
σx Z− = 0 ,
(32)
o que leva a δ = 0. Assim, (31) reduz-se a
σx =
0
β∗
β
0
.
A condição (28) requer |β|2 = 1. Por simplicidade, escolhemos β = 1 e acabamos com
0 1
σx =
.
1 0
(33)
(34)
Sera útil ter ao nosso dispor os vetores que representam os estados X± nos quais Sx possui
um valor bem definido. Em analogia com (21), estes vetores devem satisfazer as condições
h̄
h̄
Sx X + = + X + ; Sx X − = − X − ,
2
2
(35)
ou ainda,
σ x X+
σ x X−
= + X+ ;
= − X− .
(36)
(37)
Se escrevermos X+ na forma (4)
X+ =
a
b
,
(38)
deduzimos de (36)
√ que b = a. Escolhendo valores reais e impondo a condição (19), acabamos
com a = b = 1/ 2, e
1
1
X+ = √
.
(39)
1
2
Analogamente, se escrevermos X− na forma (4)
a
X− =
,
b
(40)
deduzimos de (37) que b = √
−a. Escolhendo de novo valores reais e impondo a condição (19),
acabamos com a = −b = 1/ 2, e
1
1
√
X− =
.
(41)
−1
2
Passamos agora a considerar o observável Sy , ou equivalentemente, σy . Os argumentos que
levaram à forma (33) para σx valem para σy também, e podemos escrever
0 β
σy =
(42)
,
β∗ 0
com |β|2 = 1. Adicionalmente, o argumento que levou a (30) e (32) pode ser repetido, com σx
substituido por σy e Z+ (respectivamente, Z− ) sustituido por X+ (respectivamente, X− ). Temos
então as condições adicionais
X+† σy X+
=
0,
(43)
X−† σy X−
=
0.
(44)
Cálculos simples utilizando a forma (42) e as expressões (39) e (41) mostram que estas condições
serão satisfeitas desde que β ∗ = −β. Junto com a condição |β|2 = 1, isto nos leva a β = ±i. A
escolha usual é β = −i. Com isto, chegamos a
0 −i
(45)
σy =
.
i 0
4
Para completar esta discussão, ainda vamos construir os vetores que representam os estados
Y± nos quais Sy possui um valor bem definido. Em analogia com (21) e (35), estes vetores devem
satisfazer as condições
h̄
h̄
(46)
Sy Y + = + Y + ; Sy Y − = − Y − ,
2
2
ou ainda,
σy Y+
σy Y−
= + Y+ ;
= − Y− .
(47)
(48)
Se escrevermos Y+ na forma (4)
Y+ =
a
b
,
(49)
deduzimos
de (47)
√
√ que b = ia. Escolhendo a real e impondo a condição (19), acabamos com
a = 1/ 2, b = i/ 2, e
1
1
(50)
Y+ = √
,
i
2
Analogamente, se escrevermos Y− na forma (4)
a
Y− =
,
b
(51)
deduzimos √
de (48) que b√= −ia. Escolhendo de novo a real e impondo a condição (19), acabamos
com a = 1/ 2, b = −i/ 2, e
1
1
Y− = √
(52)
.
−i
2
5
Medida do spin numa direção arbitrária
A componente do spin numa direção arbitrária, especificada pelo vetor unitário ~n, é um observável descrito pela matriz
~ = h̄ ~n · ~σ .
(53)
~n · S
2
com
(54)
~n · ~σ = nx σx + ny σy + nz σz .
Usando as expressões (23), (34) e (45) das matrizes de Pauli, obtemos
0 1
0 −i
1 0
~n · ~σ = nx
+ ny
+ nz
1 0
i 0
0 −1
nz
nx − iny
=
.
nx + iny
−nz
(55)
Usando coordenadas angulares (θ, ϕ) para especificar a direção ~n, ou seja, ~n = (senθ cosϕ, senθ senϕ, cosθ),
podemos re-escrever (55) na forma
cosθ
senθ e−iϕ
~n · ~σ =
.
(56)
senθ eiϕ
−cosθ
Os estados nos quais esta projeção do spin possui um valor bem definido são descritos por
vetores N+ e N− satisfazendo as condições
~ + = + h̄ N+ ; ~n · SN
~ − = − h̄ N− ,
~n · SN
2
2
(57)
ou ainda,
~n · ~σ N+
~n · ~σ N−
= + N+ ;
= − N− .
(58)
(59)
Se escrevermos N+ na forma (4)
N+ =
a
b
,
(60)
= a;
= b.
(61)
(62)
obtemos de (58) as condições
a cosθ + b senθ e−iϕ
a senθ eiϕ − b cosθ
Usando as relações trigonométricas
senθ
1 + cosθ
1 − cosθ
θ
θ
2 sen cos ;
2
2
θ
= 2 cos2 ;
2
θ
= 2 sen2 ,
2
=
(63)
(64)
(65)
verifica-se facilmente que as condições (61) e (62) são ambas equivalentes a
θ
b = a tan eiϕ .
2
(66)
A outra condição a ser satisfeita pelas componentes do vetor é a condição de normalização (19)
que, usando (66), fica
θ
|a|2 (1 + tan2 ) = 1 ,
(67)
2
ou
θ
(68)
|a| = |cos | .
2
6
Dois vetores que diferem apenas por uma fase representam o mesmo estado fı́sico. Portanto, a
fase do número complexo a pode ser escolhida arbitrariamente. É conveniente2 escolher
θ
a = cos e−iϕ/2 .
2
(69)
θ
b = sen eiϕ/2 ,
2
(70)
Temos então, por (66),
e chegamos a
N+ =
cos θ2 e−iϕ/2
sen θ2 eiϕ/2
(71)
.
Semelhantemente, se escrevermos N− na forma (4)
a
N− =
,
b
(72)
obtemos de (59) as condições
a cosθ + b senθ e−iϕ
a senθ eiϕ − b cosθ
= −a ;
= −b .
(73)
(74)
Usando as relações trigonométricas (63)-(65), verifica-se facilmente que as condições (73) e (74)
são ambas equivalentes a
θ
b = − a cotan eiϕ .
(75)
2
Com isto, a condição de normalização (19) fica
θ
|a|2 (1 + cotan2 ) = 1 ,
2
(76)
θ
|a| = |sen | .
2
(77)
θ
a = −sen e−iϕ/2 .
2
(78)
θ
b = cos eiϕ/2 ,
2
(79)
ou
É conveniente2 escolher
Temos então, por (75),
e chegamos a
N− =
2 Esta
−sen θ2 e−iϕ/2
cos θ2 eiϕ/2
escolha leva a expressões bem simétricas, veja (71) e (80)
7
.
(80)
Filtros de spin
Um aparato de Stern-Gerlach cujo gradiente do campo magnético está orientado na direção
~n decompõe um feixe de partı́culas de spin 1/2 em dois. Na saida, cada um dos dois feixes
~ Se, na saida do aparato, colocarmos um absorvedor
corresponde a um valor bem definido de ~n · S.
~ temos um filtro de Stern-Gerlach,
que elimina o feixe que corresponde ao valor negativo de ~n · S,
que representamos esquematicamente como
............................. ~n · S
~
....+
........................
−
Um experimento tı́pico é realizado por uma sucessão de dois filtros, como representado
abaixo :
.....I....0.................... ~n · S
~
1
....+
...................I....2.
....+
..........................I....1....... ~n · S
~
2
−
−
Antes da entrada no primeiro filtro, os átomos estão em estados desconhecidos e em geral diferentes. Por exemplo, se os átomos estão saindo de um forno, todos os estados de spin são
igualmente prováveis. O primeiro filtro “prepara” os átomos num determinado estado, qual seja,
~ possui o valor bem definido +h̄/2. Este filtro é usualmente
o estado no qual o observável ~n1 · S
~ Este
chamado polarizador. O segundo aparato realiza então uma medida do observável ~n2 · S.
aparato é usualmente chamado analisador. Como o estado antes da entrada neste aparato é
conhecido, a mecânica quântica permite calcular as probabilidades associadas aos possı́veis resultados desta medida. Como há apenas dois valores possı́veis e a soma das probabilidades
deve ser 1, há apenas uma probabilidade independente, por exemplo a de obter o resultado
+h̄/2. Se este segundo aparato também atua como filtro, deixando passar apenas os átomos
para os quais o resultado da medida é positivo (como representado na figura), a razão I2 /I1
das intensidades do feixe depois e antes da passagem pelo analisador fornecerá a probabilidade
desejada.
Consideramos a seguir alguns exemplos simples
a)
.....I....0....................
....+
.......................I....1.......
Sx
...
Sz
....+
....................I....2.
−
−
Na saida do polarizador, os átomos estão no estado (39), que pode ser escrito na forma
1
1
1
1
1
0
X+ = √
+√
= √ Z+ + √ Z− .
(81)
0
1
2
2
2
2
A probabilidade de obter o resultado +h̄/2 numa medida de Sz neste estado é dada pelo
módulo quadrado do coeficiente de Z+ na expressão acima [Veja a discussão seguindo a
equação (19)], ou seja
I2
1
1
= | √ |2 = .
(82)
I1
2
2
Evidentemente, este resultado era esperado dada a simetria da situação, que aliás já foi
explorada para montar as matrizes que representam as componentes do spin.
Generalizando este exemplo, podemos estipular o procedimento a ser seguido em geral :
expandir o vetor que representa o estado preparado como uma combinação linear dos vetores associados aos possı́veis resultados da medida. Nesta expansão, o módulo quadrado
do coeficiente que multiplica o vetor que representa o estado selecionado pelo analisador
fornece a probabilidade de passagem do átomo pelo analisador.
8
b)
.....I....0....................
Sx
....+
..........................I....1.......
+
Sz
....−
....................I....2.
−
Este caso é semelhante ao anterior. Na saida do polarizador, os átomos estão no estado (81). A probabilidade de obter o resultado −h̄/2 numa medida de Sz neste estado
é dada pelo módulo quadrado do coeficiente de Z− na expressão (81), ou seja
1
I2
1
= | √ |2 = .
I1
2
2
(83)
De novo, este resultado era esperado.
c)
.....I....0....................
Sz
....+
..........................I....1.......
Sx
....+
....................I....2.
−
−
Este caso difere de (a) apenas pela troca x ⇔ z, portanto também deve levar ao mesmo
resultado. Na saida do polarizador, os átomos estão no estado Z+ [veja (5)]. Para calcular
probabilidades, precisamos expandir este vetor em termos daqueles que descrevem estados com valores bem definidos da quantidade medida pelo analisador. Estes vetores são
X+ e X− . Escrevemos portanto
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Z+ =
=√ ×√
+√ ×√
= √ X+ + √ X − .
(84)
0
1
−1
2
2
2
2
2
2
A probabilidade de obter o resultado +h̄/2 numa medida de Sx neste estado é dada pelo
módulo quadrado do coeficiente de X+ na expressão acima, ou seja
I2
1
1
= | √ |2 = .
I1
2
2
d)
.....I....0....................
Sz
....+
.........................I....1.......
(85)
...
...
..
....+
.......................I....2...........
Sx
...
...
...
..
..
−
+
Sz
....−
...................I....3.
−
Este caso é meramente a combinação dos casos (c) e (b). Portanto, usando os resultados
relativos a estes casos, obtemos
I3
I3
I2
1 1
1
=
×
= × = .
(86)
I1
I2
I1
2 2
4
e)
.....I....0....................
Sz
....+
.........................I....1.......
+
Sz
−
....−
....................I....3.
Este caso difere do anterior pela remoção do filtro intermediário. Na saida do polarizador, os
átomos estão no estado Z+ . Os vetores que descrevem estados com valores bem definidos
da quantidade medida pelo analisador são Z+ e Z− . Escrevemos portanto trivialmente
Z+ = 1 Z+ + 0 Z− .
(87)
A probabilidade de obter o resultado −h̄/2 numa medida de Sz neste estado é dada pelo
módulo quadrado do coeficiente de Z− nesta expressão, o qual é nulo ; portanto
I3
=0.
I1
9
(88)
Assim, a remoção do filtro intermediário não resultou numa maior probabilidade de passagem dos átomos pelo dispositivo. Pelo contrário, na ausência do filtro, a passagem é
impossı́vel, mas com o filtro intermediário adicional, ela se torna possı́vel. Embora este
comportamento contradiz a ideia usual de filtro de partı́culas, ele é semelhante ao dos filtros polaróide utilizados para fabricar óculos de sol. Aliás, a descrição matemática do spin
1/2 é essencialmente idêntica à da polarização da luz.
.....I....0.................... ~n · S
~
f)
....+
..........................I....1.......
+
....+
...................I....2..
−
....−
...................I....2..
Sz
−
Aqui, o analisador não atua como filtro, apenas separa o feixe em duas partes, cada uma
delas correspondendo a um valor bem definido de Sz . Podemos utilizar este dispositivo
para investigar o valor médio de Sz no estado preparado pelo polarizador. Este valor médio
é dado em termos das intensidades medidas por
hSz i = +
h̄ I2−
h̄ I2+
−
.
2 I1
2 I1
(89)
O estado preparado pelo polarizador é N+ , dado por (71), cuja expansão em termos dos
vetores associados à medida realizada pelo analisador é
θ
θ
N+ = cos e−iϕ/2 Z+ + sen eiϕ/2 Z− .
2
2
A regra geral para o cálculo das probabilidades fornece então
I2+
I1
I2−
I1
= |cos θ2 e−iϕ/2 |2
= |sen θ2 eiϕ/2 |2
(90)
θ
;
2
θ
= sen2 ,
2
= cos2
(91)
(92)
e obtemos
h̄
h̄
θ h̄
θ
hSz i = + cos2 − sen2 = cosθ .
(93)
2
2
2
2
2
Um procedimento alternativo seria de utilizar a regra (9) para calcular diretamente o valor
esperado, sem passar pelo cálculo das probabilidades :
1 0
h̄
cos θ2 e−iϕ/2
†
θ iϕ/2
θ −iϕ/2
N + Sz N + =
cos 2 e
sen 2 e
0 −1
sen θ2 eiϕ/2
2
h̄
cos θ2 e−iϕ/2
=
cos θ2 eiϕ/2 sen θ2 e−iϕ/2
−sen θ2 eiϕ/2
2
h̄
h̄
θ
θ
=
(cos2 − sen2 ) = cosθ .
(94)
2
2
2
2
Os valores esperados das outras componentes do spin podem ser analisadas de maneira
análoga. Explicitamente :
0 1
h̄
cos θ2 e−iϕ/2
†
θ iϕ/2
θ −iϕ/2
N + Sx N + =
cos 2 e
sen 2 e
1 0
sen θ2 eiϕ/2
2
h̄
sen θ2 eiϕ/2
=
cos θ2 eiϕ/2 sen θ2 e−iϕ/2
cos θ2 e−iϕ/2
2
h̄
θ
θ
h̄
=
sen cos (eiϕ + e−iϕ ) = sinθ cosϕ .
(95)
2
2
2
2
N+† Sy N+
=
=
=
cos θ2 e−iϕ/2
e
e
sen θ2 eiϕ/2
−i sen θ eiϕ/2
h̄
θ iϕ/2
θ −iϕ/2
2
cos 2 e
sen 2 e
i cos θ2 e−iϕ/2
2
θ
θ
h̄
h̄
sen cos (−ieiϕ + ie−iϕ ) = sinθ senϕ .
2
2
2
2
h̄
2
cos θ2
iϕ/2
sen θ2
10
−iϕ/2
0 −i
i 0
(96)
Vê-se de (95), (96) e (94) que os valores médios das componentes do spin no estado no
qual a projeção do spin sobre a direção ~n possui o valor bem definido +h̄/2 são iguais às
componentes de um vetor de módulo h̄/2 orientado na direção ~n.
Evolução do estado de um spin
Como sabemos, a evolução da função de onda de uma partı́cula obedece à equação de
Schrödinger dependente do tempo que, no caso de uma partı́cula num potencial V (x), num
espaço unidimensional, pode ser escrita na forma
ih̄
∂
Ψ(x, t) = HΨ(x, t) ,
∂t
(97)
onde
h̄2 ∂ 2
+ V (x)
(98)
2m ∂x2
é a representação operatorial da energia total. Este observável é usualmente chamado “Hamiltoniano”, reservando-se a palavra “energia” para um possı́vel valor numérico obtido como resultado
da sua medida.
Na verdade, a equação de Schrödinger dependente do tempo descreve a evolução temporal
do estado de qualquer sistema quântico, bastando adaptar o modo de especificar o estado Ψ e
o Hamiltoniano H ao caso particular considerado. No caso de um spin 1/2, o estado Ψ é especificado por um vetor coluna de dois elementos e o Hamiltoniano H por uma matriz Hermitiana
2 × 2. A equação pode ser escrita
d
(99)
ih̄ Ψ = HΨ ,
dt
onde a operação presente do lado direito é a multiplicação matricial. Não há necessidade de
utilizar uma derivada parcial, já que o tempo é a única variável contı́nua na equação. Como a
equação de evolução é uma equação diferencial de primeira ordem no tempo, bastará especificar o vetor de estado num instante dado (por exemplo, t = 0) para poder calcular o estado do
sistema em qualquer tempo ulterior (ou anterior). Vale ressaltar que a equação de Schrödinger
descreve a evolução dinâmica do sistema entre medidas. Tipicamente, uma medida será realizada para preparar o sistema num determinado estado inicial Ψ(0). A equação de Schrödinger
será então integrada para obter o estado Ψ(t) num instante t qualquer. Este estado será utilizado
para calcular probabilidades de obter cada um dos possı́veis valores numa medida de um dado
observável, realizada no instante t.
~ uniComo ilustração, consideraremos a evolução de um spin 1/2 num campo magnético B
~
forme e constante. Como vimos, ao spin S está associado um momento magnético µ
~ pela relação
H=−
~,
µ
~ = γS
(100)
onde o fator γ depende do tipo de partı́cula considerada. Para o elétron,
γe = −2
µB
.
h̄
(101)
Para o próton, o sinal é positivo e o magnéton de Bohr é sustituido pelo magnéton nuclear,
µN =
eh̄
,
2mp
(102)
onde mp é a massa do próton. Além disto, há um fator extra devido ao fato de o próton não ser
uma partı́cula elementar. Este fator deve ser determinado fenomenologicamente, ou deduzido de
algum modelo da estrutura do próton (tal como o modelo de quarks). Contudo,
γp = 2
µN
× 2, 793 .
h̄
(103)
Apesar de não possuir carga elétrica, o nêutron também possui momento magético oriundo da
sua estrutura interna. No caso,
µN
γn = −2
× 1, 913 .
(104)
h̄
11
A energia de interação de um momento magnético com um campo uniforme e constante é
dada por
~ .
(105)
E = −~
µ·B
O Hamiltoniano quântico é obtido desta expressão substituindo-se o momento magnético clássico
por seu homólogo quântico. Usando (100), temos então
~ ·B
~ .
H = −γ S
(106)
É conveniente escolher o eixo Oz alinhado com o campo magnético, de maneira que
H = −γ B Sz = ω Sz ,
(107)
onde B é o módulo do campo e introduzimos
ω = −γ B .
(108)
Vale notar que esta quantidade possui unidade de inverso de tempo, ou seja, freqüência.
Escrevendo o vetor de estado na forma (4), com a e b funções do tempo, e usando (107)
e (22), a equação (99) toma a forma
h̄ω
h̄ω
d
0
a
a
a
2
2
ih̄
=
.
=
(109)
b
b
0 − h̄ω
− h̄ω
dt
2
2 b
Isto resulta em duas equações separadas, uma para cada componente do vetor :
d
h̄ω
a =
a;
dt
2
d
h̄ω
ih̄ b = − b .
dt
2
(110)
ih̄
(111)
A integração é imediata :
a = a0 e−iωt/2 ;
b = b0 eiωt/2 ,
(112)
(113)
onde as constantes de integração a0 , b0 são as componentes do vetor de estado inicial :
a0
Ψ(0) =
.
b0
(114)
Chegamos então a
Ψ(t) =
a0 e−iωt/2
b0 eiωt/2
.
(115)
Inserindo as soluções (112)-(113) na expansão geral (6), podemos também escrever no vetor de
estado no instante t na forma
Ψ(t) = a0 e−iωt/2 Z+ + b0 eiωt/2 Z− .
(116)
Desta expressão, vê-se que se Ψ(0) = Z+ , então
Ψ(t) = e−iE+ t/h̄ Z+ ,
(117)
com E+ = h̄ω/2. Semelhantemente, se Ψ(0) = Z− , então
Ψ(t) = e−iE− t/h̄ Z− ,
(118)
com E− = −h̄ω/2. Por analogia com a discussão das soluções da equação de Schrödinger para
o movimento de uma partı́cula no espaço unidimensional, vê-se que (117) e (118) são os estados
estacionários do sistema, com E+ e E− os dois possı́veis valores da energia, que são iguais aos
possı́veis valores de Sz , multiplicados por ω. Dada a forma (107) do observável associado à
energia, isto era de se esperar.
12
A preparação do estado inicial pode ser realizada utilizando-se um polarizador com o gradiente do seu campo orientado numa direção ~n. Se o polarizador atua como filtro, selecionando
o valor +h̄/2, o estado inicial é
cos θ2 e−iϕ/2
(119)
,
Ψ(0) = N+ =
sen θ2 eiϕ/2
e, por (115), o estado no istante t é
Ψ(t) =
cos θ2 e−i(ϕ+ωt)/2
sen θ2 ei(ϕ+ωt)/2
(120)
.
Este estado difere do estado inicial pela substituição ϕ → ϕ + ωt. Fazendo a mesma substituição
em (95), (96) e (94), podemos escrever os valores médios das componentes do spin neste estado
na forma
hSx i =
hSy i =
hSz i =
h̄
senθ cos(ϕ + ωt) ;
2
h̄
senθ sen(ϕ + ωt) ;
2
h̄
cosθ .
2
(121)
(122)
(123)
Vê-se que o valor médio do spin realiza um movimento de precessão em torno da direção do
campo magnético – escolhida com eixo Oz – com velocidade angular ω. Isto é a realização
quântica da precessão de Larmor, bem conhecida na eletrodinâmica clássica.
Um processo quântico tı́pico envolve basicamente três etapas :
1. a preparação do sistema num determinado estado inicial ;
2. a evolução do sistema sob a sua dinâmica própria ;
3. a medida de um observável.
A mecânica quântica permite calcular as probabilidades de obter cada um dos resultados possı́veis
na medida final.
Como ilustração, consideramos o sistema representado abaixo.
.....I....0...................
v
Sy
....+
...............................I....1.............
......................
−
B
Sx
....+
....................I....2.
−
L
Supomos que os átomos do feixe possuem velocidade v. Na região entre o polarizador e o
analisador, há um campo uniforme e constante orientado paralelamente ao feixe, cuja direção de
propagação escolhemos como eixo Oz. O polarizador está orientado na direção Oy e seleciona
átomos com Sy = h̄/2. O analisador está orientado na direção Ox e também atua como filtro,
deixando passar os átomos com Sx = h̄/2. A distância entre o polarizador e o analisador é L.
Escolhemos como t = 0 o instante de saida do átomo do polarizador. Temos então [veja (50)]
1
1
Ψ(0) = Y+ = √
.
(124)
i
2
Seja t o instante de entrada do átomo no analisador, dado por t = L/v. Por (115), com o estado
inicial dado por (124), o estado em t é
−iωt/2 1
e
Ψ(t) = √
.
(125)
ieiωt/2
2
Precisamos expandir este vetor em termos dos vetores associados aos possı́veis resultados da
medida realizada pelo analisador, quais sejam X+ e X− , dados por (39) e (41), respectivamente.
É facil verificar que
1 −iωt/2
1
1
1
1
1
(e
+ ieiωt/2 ) √
+ (e−iωt/2 − ieiωt/2 ) √
Ψ(t) =
1
−1
2
2
2
2
1 −iωt/2
1
=
(e
+ ieiωt/2 )X+ + (e−iωt/2 − ieiωt/2 )X− .
(126)
2
2
13
A probabilidade de passagem do átomo pelo analisador é dada pelo módulo quadrado do coeficiente de X+ nesta espansão ; portanto
1
1
I2
= | (e−iωt/2 + ieiωt/2 )|2 = ( 1 − senωt ) .
I1
2
2
(127)
Lembramos que
γBL
.
(128)
v
Do resultado (127), podemos ver que haverá transmissão completa do feixe pelo analisador se
os parâmetros do sistema forem tais que
ωt = −
γBL
π
= + 2πn, com n inteiro .
v
2
(129)
O feixe será inteiramente cortado pelo analisador caso
γBL
3π
=
+ 2πn, com n inteiro .
v
2
14
(130)