MATEMÁTICA FINANCEIRA
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UNIDADE XI – RENDAS
Capitalização e Amortização Compostas (Séries de Pagamentos ou Rendas)
Elementos ou Classificação:
- Rendas: Sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferentes, destinados a formar um capital ou pagar
uma dívida.
- Termos da renda: sucessão de depósitos ou de prestações.
- Período da renda: intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos.
a) Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos
valores podem ser prefixados (você conhece as parcelas). Exemplo: Compra de bens a prazo.
b) Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser previamente
determinado. Exemplo: Pagamento de um seguro de vida (o número de termos é indeterminado).
Quanto à data do vencimento do primeiro termo, uma renda certa pode ser:
IMEDIATA (Postecipada, Sem Entrada, End, 0 + n),
ANTECIPADA (Com Entrada, Begin, 1 + n) ou
DIFERIDA (Com Carência, n + 1).
a) Imediata: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da data zero,
isto é, da data da assinatura do contrato. Assim, o vencimento do último termo (Tn) ocorre no fim do período n.
Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a
assinatura do contrato. (30/60/...)
b) Antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero. O vencimento do último termo
ocorre no início do período n. Exemplo: Depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança,
durante um prazo determinado. (0/30/60/...)
c) Diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, a
contar da data zero. O vencimento do último termo ocorre no fim de m + n períodos. Exemplo: compra de um bem
a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação no fim de um determinado número de meses.
RENDA IMEDIATA OU POSTECIPADA
(SEM ENTRADA 0/30/60/... FUNÇÃO “END” NA HP-12C)
Algumas fórmulas para o cálculo algébrico (Branco, A.C.C., 2005):
 (1 + i )n − 1 
PV = PMT . 

n
 (1 + i ) . i 
 (1 + i )n . i 
PMT = PV . 

n
 (1 + i ) − 1 
ou
ou
 1 − (1 + i ) − n 
PV = PMT . 

i


PMT =
PV .i
1 − (1 + i ) − n
Onde:
FV = Valor Futuro
PMT = Valor da Prestação
i = Taxa
n = Prazo da prestação
c = Prazo de carência
Ln = Logaritmo Neperiano
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

i
PMT = FV . 

n
 (1 + i ) − 1 
 (1 + i )n − 1 
FV = PMT . 

i


 FV . i

LN . 
+ 1
 PMT

n =
LN ( 1 + i )
PV .i 

LN .  1 −
PMT 

n = −
LN ( 1 + i )
2
ie =
PMT
PV
−
PV
PMT .n 2
Exercícios com Renda Imediata (0 + n):
01) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule
o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.
Resposta:
n=5
PMT = - 100
i = 2% a.m.
FV = ? R$ 520,40
02) Um automóvel é comercializado por R$ 17.800,00 à vista; sabendo-se que pode ser financiado em 36 parcelas
mensais de R$ 1.075,73, determinar a taxa de juros de operação.
Resposta:
n = 36
PMT = - 1.075,73
PV = R$ 17.800,00
i=?
5% am.
03) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800,00, a 0,5% ao mês. Quanto
terei no fim de 1 ano?
Resposta:
n = 12 meses
PMT = - 800
i = 0,5% am.
FV = ? R$ 9.868,45
04) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto
possuirá em 2 anos e meio?
Resposta:
n = 30 meses
PMT = - 680
i = 1,5% am.
FV = ? R$ 25.526,30
05) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano,
capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ 400.000,00?
Resposta:
n = 10
FV = - 400.000,00
i = 6% aa.
PMT=? R$ 30.347,18
06) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00, à taxa de 25% ao ano.
Resposta:
n=6
FV = - 200.000,00
i = 25% aa.
PMT=? R$ 17.763,90
07) A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00, forma um capital de R$
135.000,00 ao fazer o décimo quinto depósito?
Resposta:
n = 15
PMT = - 8.093,00
FV = 135.000,00
i=?
1,5% am.
08) Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se
constituir o montante de R$ 6.706,00?
Resposta:
FV = 6.706,00
PMT = - 500
i = 2% am.
n=?
12 meses
09) Desejamos fazer aplicações mensais imediatas de R$ 12.000,00 de modo que na data do décimo depósito
constituamos o montante de R$ 125.547,00. A que taxa devemos aplicar aquelas importâncias?
Resposta:
n = 10
PMT = - 12.000
FV = 125.547,00
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i=?
1% am.
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RENDA ANTECIPADA:
As séries uniformes de pagamentos antecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data
focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n),
ou seja, a renda antecipada ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero e o vencimento do
último termo ocorre no início do período n.
Esquemas de Fluxo de Caixa:
a) Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos:
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
*....*
0
1
2
3
4
5
n
Onde: PMT = pagamentos ou prestação
b) Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos:
0
1
2
3
4
5
n
*....*
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
Onde: PMT = pagamentos ou prestação
CÁLCULO ATRAVÉS DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C
Para efetuarmos os cálculos na calculadora HP-12C de uma série uniforme de pagamento antecipada, será
necessário introduzir no visor da calculadora a função “BEGIN”, que é facilmente obtida através da seqüência de
teclas “g” [BEG], ou seja, BEGIN = pagamento no início do período.
RENDA ANTECIPADA (COM ENTRADA - FUNÇÃO “BEGIN” NA HP-12C)
Algumas fórmulas para o cálculo algébrico (Branco, A.C.C., 2005):
 (1 + i )n − 1 
PV = PMT . 

n −1
 (1 + i ) . i 
ou
 1 − (1 + i ) − n 
PV = PMT . 
 .( 1 + i )
i


 (1 + i )n −1 . i 
PMT = PV . 

n
 (1 + i ) − 1 
ou
PMT =
PV .i
[1 − (1 + i ) − n ].( 1 + i )
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

PV .i
LN .  1 −
PMT .( 1 + i ) 

n = −
LN ( 1 + i )
4
 (1 + i )n − 1 
FV = PMT . 
 .(1 + i )
i


 (1 + i ) n − 1 
FV
= 
 .( 1 + i )
PMT
i


FV .i
PMT =
[( 1 + i ) n − 1].( 1 + i )
Exercícios com Renda Antecipada (1 + n):
01) Um automóvel que custa à vista R$ 17.800,00 (PV) pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; com o
primeiro pagamento no ato da compra, sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor
da prestação mensal deste financiamento (PMT).
Resposta:
PMT = R$ 683,62
02) Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00 (PMT).
Calcule o montante (FV) da renda, sabendo que essa financeira paga juro de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.
Resposta:
FV = R$ 530,81
03) Qual é o montante (FV) de uma renda antecipada de 10 termos mensais de R$ 500,00 (PMT) à taxa de 1,5% ao
mês?
Resposta:
FV = R$ 5.431,63
04) Uma pessoa realizou 10 depósitos bimestrais antecipados de R$ 10.000,00 (PMT) e obteve o montante de R$
128.412,00 (FV). Qual foi a taxa de juro?
Resposta:
i = 4,5% ao bimestre.
Obs.: Não esqueça de entrar com o valor do PMT negativo (CHS).
05) A que taxa se deve depositar em uma instituição financeira, no início de cada trimestre, a importância de
R$ 16.756,00 (PMT), para no fim de 4 anos possuir o montante (FV) de R$ 500.000,00?
Resposta:
i = 7% ao trimestre
Obs.: Não esqueça de entrar com o valor do PMT negativo (CHS).
06) Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos iguais de R$ 185,00 (PMT); sabendo-se que a taxa
de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preço à vista
desta mercadoria (PV).
Resposta:
PV = R$ 688,80
RENDA DIFERIDA OU SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS DIFERIDA
São aquelas em que os períodos ou intervalos de tempo entre as prestações (PMT) ocorrem pelo menos a
partir do 2º período, ou seja, se considerarmos um período qualquer como sendo (n), o período seguinte será (n+1),
o próximo será (n+2) e assim sucessivamente. Podemos dizer também que são aquelas em que o primeiro termo é
exigível a partir de um certo período de carência.
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Observe o diagrama de fluxo de caixa.
PMT
Carência
0
1
n
n+1
n+2
n+3
n+4
n+n
RENDA DIFERIDA (COM PRAZO DE CARÊNCIA - FUNÇÃO “END “ OU “BEGIN” NA HP-12C)
Algumas fórmulas para o cálculo algébrico (Branco, A.C.C., 2005):
 1 − (1 + i ) − n 
PMT . 

i


PV =
c −1
(1 + i )

 LN

n = −


PV .(1 + i ) c −1 .i
PMT =
1 − (1 + i ) − n

PV .i .( 1 + i ) c −1  
1
−


PMT



LN (1 + i )


Exemplo: Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 (cinco) prestações iguais de
R$ 150,00; a loja está oferecendo ainda uma carência de 3 meses para o primeiro pagamento. Determine o valor à
vista desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 3% ao mês.
Dados:
PMT = 150,00
-
VALOR DA PARCELA
n = 5 meses
-
PRESTAÇÕES
c = 3 meses
-
3 Usar o modo [BEGIN] na HP 12C
3 – 1 = 2 Usar o modo [END] na HP 12C
i = 3% ao mês
-
TAXA MENSAL
PV = ?
-
VALOR À VISTA DA MERCADORIA
1ª Resolução: MODO [BEGIN] NA HP12C UTILIZANDO CARÊNCIA = 3 MESES:
f
g
150
5
3
PV
CHS
0
3
PV
7
[REG]
BEGIN
PMT
n
i
707,56
FV
PMT
n
647,52
-
LIMPAR REGISTROS
SÉRIE DE PAGAMENTO ANTECIPADA
ENTRANDO COM O VALOR DA PARCELA
PRAZO
JUROS
1º VALOR PRESENTE DA MERCADORIA
1º VALOR DA MERCADORIA VIRA VALOR FUTURO
VALOR DA PARCELA DA CARÊNCIA
PERÍODO DE CARÊNCIA PARA O MODO [BEGIN]
VALOR À VISTA DA MERCADORIA
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2ª Resolução: MODO [END] NA HP12C UTILIZANDO CARÊNCIA 3 MESES – 1 MÊS = 2 MESES:
f
[REG]
-
LIMPAR REGISTROS
END
-
SÉRIE DE PAGAMENTO POSTECIPADA
150
PMT
-
ENTRANDO COM O VALOR DA PARCELA
5
n
-
PRAZO
3
i
-
JUROS
PV
686,96
-
1º VALOR PRESENTE DA MERCADORIA
CHS
FV
-
1º VALOR DA MERCADORIA VIRA VALOR FUTURO
0
PMT
-
VALOR DA PARCELA DA CARÊNCIA
2
n
-
PERÍODO DE CARÊNCIA PARA O MODO [END]
PV
647,52
-
VALOR À VISTA DA MERCADORIA
g
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Exercícios com Renda Diferida (c + n):
01) Calcule o valor atual de uma dívida que pode ser amortizada com 10 prestações mensais de R$ 500,00, sendo de
2% a taxa de juro e devendo a primeira prestação a ser paga 3 meses depois de realizado o empréstimo.
Resposta:
PV = R$ 4.316,89
02) Calcule a dívida assumida por uma pessoa que pagou 10 prestações mensais de R$ 500,00, a juros de 3% ao mês,
e devendo a primeira prestação a ser paga 7 meses depois de realizado a dívida.
Resposta:
PV = R$ 3.571,96
03) Que dívida pode ser amortizada com 8 prestações bimestrais de R$ 1.000,00, sendo de 7% ao bimestre a taxa de
juro e devendo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois de realizado o empréstimo?
Resposta:
PV = R$ 5.215,56
04) Um determinado produto é vendido em 24 parcelas mensais de R$ 62,71, sendo que a primeira prestação
somente será paga após 4 meses do fechamento da compra. Considerando uma taxa de 4% ao mês, determine o
valor à vista deste produto.
Resposta:
PV = R$ 850,00
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA:
BRANCO, A.C.C., Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP-12C, Microsoft Excel®. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2002.
GIMENEZ, C.M., Matemática Financeira com HP12C e Excel, São Paulo, PEARSON, 2006.
SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 4ª Edição, São Paulo, PEARSON, 2007.
SCIPIONE, J.T., Matemática Financeira, São Paulo, PEARSON, 1998.
VERAS, L.L., Matemática Financeira: Uso de Calculadoras Financeiras Aplicações ao Mercado Financeiro. 4. ed. São
Paulo: Atlas, 2001.
Prof.Ms.Carlos Henrique – Email: [email protected]