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Prof. Daniel Almeida
Matemática(Parte 03)
FUNÇÕES E GRÁFICOS
Introdução
Par ordenado
Par ordenado dentro das funções será o par formado pelo
representante do conjunto domínio com seu respectivo
elemento do conjunto imagem. Veja no exemplo.
f : R em R
Repare que no gráfico acima (f(x) = 5) , a função fica
paralela ao eixo x ( das abscissas). A essa função que
independente do valor x, o valor de y ou f(x) não se altera
damos o nome de função constante.
Podemos definir uma função constante como sendo :
f:R
R / f (x) = p ou y = p
Exemplos
p =5
f (x)
f (x) = 0
f ( x) = - 63
Função do 1º grau.
Temos os seguintes pares ordenados:
(3 , 4)
(7 , -6)
(-1 , 2)
(0,2 , 3)
Ao conjunto de todos os pares ordenados de um conjunto
X em Y damos o nome de produto cartesiano de X em
Y.
Observe que nos gráficos anteriores todos formam uma
reta. Sempre quando a função apresentar esse
comportamento a ela damos o nome de função de 1º
grau ou afim.
Uma função f de A em B é uma função polinomial do 1º
grau se for definida por
f:R
(a,b  IR)
R / f (x) = a x + b ou y = a x + b
Confira alguns exemplos:
Exemplo:
A quantidade de demanda de um
determinado produto (q) está
relacionada com seu preço (p).
Na economia, surgem muitos
casos em que a quantidade de
demanda de um certo produto e
seu preço são relacionados por
uma função do 1º grau (também
chamada de função afim) , ou seja , a relação é
graficamente representada por uma reta, obedecidas
certas condições.
Como por exemplo, a quantidade de chapéus fabricada
por uma certa industria a quantidade de demanda é dada
pela equação q = 8 – 2p.
Vamos representar graficamente q em função de q em
função de p. Observe que tanto p quanto q terão
somente valores maiores que zero.
f (x)p = 2x -1
f ( x) 
 2x
1
5
f (x) = x + 6
a = 2 b = -1
a
2
b 1
5
a=1 b= 6
Exercícios resolvidos:
01. Dada a função f: R em R definida por y = f(x) = 2x + 9
obtenha:
a) f(0)
b) f(-1)
c) f(3)
d) f(1/2)
e) o valor de x quando f(x) = -1
Basta substituir o valor de x na função dada e encontra y.
a) f(0) = 2.0 +9 = 9
b) f(-1) = 2.-1+9= -2 + 9= 7
c) f(3) = 2.3 + 9 = 6 + 9 = 15
d) f(1/2)= 2. ½ + 9 =1 + 9= 10
Na letra e substitui f(x) por -1, isola-se x e encontra o seu
valor.
Função constante
-1 = 2x + 9
-9-1 =2x
-10 = x
2
x=-5
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y  3x  1 ou
02. Se uma função passa pelos pontos A (4 , -2) e B (
12, 6). Determine os valores de a e b na função que
obedece a lei de formação y= a x + b.
Vamos construí o Gráfico da função
1º Passo substitui os valores de de x e y na lei de
formação
Usa-se uma tabela para auxiliar nos pares ordenados
Para cada elemento de x escolhido aleatoriamente.
Calcula-se o seu f(x).
f ( x)  3 x  1
y = a. x + b
Logo temos.
x
y
-2 = a. 4 + b
e
6 = a. 12+b
0
1
-1
-1
2
-4
Agora resolve o sistema
-2 = a. 4 + b
6 = a. 12+b
Traçando no Plano cartesiano
Isola uma incógnita
b = -4a – 2
E substitui na outra equação
6 = 12 a -4a -2
Então temos a = 1
Voltando a equação inicial temos.
-2 = 4a + b
Agora
-2 = 4.1 + b
Função Crescente e Função decrescente
Logo b = - 6
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Todo gráfico de uma função do 1º grau será sempre uma
reta inclinada. Porque temos f ( x)  ax  b , com a ≠ 0.
È importante ressaltar que a reta formada pela função é
infinita, e por ela ser obliqua em relação aos eixos das
abscissas e das coordenadas, sempre ela vai cortar o
eixo x e o eixo y.
Toda função Polinomial do 1º grau será ou crescente ou
decrescente. Pois ela nunca será paralela ao eixo x.
Para uma função ser denominada crescente a medida
que o x aumenta o f(x) ou y tende a assumir valores cada
vez maiores. E a função decrescente pelo contrario a
medida que o seu x se aumenta o y tende a assumir
valores menores.
Observe o gráfico das duas funções a seguir.
f(x) = 2x +1
Construção
f(x)= -2x+1
Conforme um dos postulados de Euclides basta traçar
dois pontos distintos, que por eles passarão uma única
reta. Porém para maior garantia sugere-se que encontre
no mínimo três pontos da reta para que possamos traçar
a reta com absoluta certeza.
Exemplo 1:
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Note que a única diferença entre as duas funções é o
sinal de a, enquanto na primeira o a assume valor de +2
na segunda o a passa a valer -2. E a diferença gráfica
entre as funções é que a primeira é crescente e a
segunda é decrescente.
Observe alguns exemplos.
Com isso podemos concluir uma importante ferramenta,
não só para a representação do gráfico de determinadas
funções como a sua compressão. Observe.
2x - 5 = 0
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x – 5
f(x) = 0
x
5
2
Se a > 0 então a função polinomial do 1º será crescente.
Se a < 0 então a função polinomial do 1º será
decrescente.
COEFICIENTE ANGULAR E COEFICIENTE LINEAR
Raiz de uma função do 1º grau
Conforme visto anteriormente o sinal do a na função
polinomial de 1º determina se a mesma é crescente ou
decrescente. Pois bem, agora veremos o que define a
inclinação da reta e a sua posição em relação ao eixo x.
Em uma cidade do interior do Rio Grande do Sul todo dia
a partir das 21h a temperatura cai drasticamente até as 5
horas da manhã do dia seguinte.
Após vários dias alguns moradores que a temperatura
diminuía de acordo com o passar das horas. Usando T(x)
como sendo a temperatura representada em graus
Celsius e x como sendo as horas a partir das 21 horas.
A função que eles acharam é: T(x)=-2x+8
Observe o gráfico das seguintes funções
Assim ficou fácil de perceber à que horas a temperatura
ultrapassava a casa do zero grau. È só substituir o T(x)
por zero (temperatura a ser investigada).
T ( x)  2 x  8
0  2 x  8
2x  8
x
8
4
2
Ou seja a temperatura fica igual a zero graus 4 horas
depois das 21 horas, ou seja 1 hora da madrugada do
outro dia.
Analisando isso graficamente.
Note que a única diferença entre as funções e o valor que
a assume. E graficamente as funções tem inclinação
diferente. Por isso denominamos a coeficiente angular.
Que também pode ser calculado como tangente do
ângulo.
Tg α = Cateto Oposto
Cateto Adjacente
A esse ponto onde y ou f(x) quando se igual a zero, é que
denominamos de raiz da função. Portando raiz de uma
função é o valor de x que torna o valor da função nula.
Importante observar também que a raiz de uma função é
exatamente quando o eixo das abscissas é interceptado
pelo gráfico da função.
Agora vamos observar outras funções
f(x)= x - 2
Podemos encontrar a raiz de uma função:
f(x) = 0
ax + b = 0
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que o preço a ser vendido é de R$ 8,00. O proprietário
deseja saber
após quantos metros vendidos ele
começara a obter lucro.
Note que o isso recai num calculo que é (receita –
despesa), isso em função vira
f(x)= 8.x - 480
Graficamente temos
h(x)= x + 1
Note que o que difere as funções é o valor de b, e isso
faz com que o gráfico da função tenha a mesma
inclinação, porém em “alturas” distintas. Por isso
chamamos b de coeficiente linear.
Quando temos um feixe de funções variando apenas o
seu coeficiente linear. Dizemos que temo uma função
linear.
Exercícios resolvidos.
01. Determine os valores de m de modo que a função
real f(x)= (2 – m)x + 7 seja crescente.
Lembrar que para ser crescente temos q ter a > 0.
Tendo r como raiz da função.
Calculando r se obtém:
0=8x – 480
x = 60
Ou seja, 60 metros é onde a função se anula.
Mas o que é realmente importante destacar é que
somente após 60 metros de fio vendido que o
comerciante passou a ter lucro.
Matematicamente podemos afirmar que:
y = 0 quando x = 60
y < 0 quando x < 60
y > 0 quando x > 60.
Logo 2-m >0
De uma maneira geral podemos dividir o estudo de
sinais em duas partes:
m>2
Então se, e somente se, m for maior que 2 teremos uma
função crescente, com m  R.
1º) a > 0 (a função é crescente)
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores
que a raiz; y é negativo para valores de x menores
que a raiz
RESUMO:
SINAL DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Dentro do estudo das funções as vezes será necessário
observar não somente o que ocorre no primeiro
quadrante. È sim no que ocorre na função como um todo.
Observe o seguinte exemplo.
2º) a < 0 (a função é decrescente)
Conclusão: y é positivo para valores de x menores
que a raiz; y é negativo para valores de x maiores
que a raiz.
Um dono de materiais para construção adquiriu um rolo
de fio por R$ 480,00 para vender em sua loja. Sabendo
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02. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b .
Assinale a alternativa correta:
y
x
0
Exercício resolvido
01. Estude o sinal da função f(x)= -x -3
Primeiro vamos descobrir qual o zero da função:
f(x) = -x -3
0 = -x - 3
x = -3
Em um esboço podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
a=0;b=0
a>0;b>0
a<0;b>0
a>0;b=0
a>0;b<0
03. (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem teste de
Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com
velocidade constante. A distância (d) que cada um
percorre é mostrada no gráfico abaixo.
d(m)
Logo:
Se x = -3 temos f(x) =0
Se x < -3 temos f(x) >0
Se x > -3 temos f(x) < 0
B
A
500
400
300
200
100
0 10 20 30
x
t(min)
Com base no gráfico, a alternativa correta é:
TESTES:
01. Assinale a alternativa que corresponde a função de
acordo com o gráfico:
y
2
x
0
a)
b)
c)
d)
e)
f(x)= -x+2
f(x) = -x/2 + 1
f(x)= -x/2 + 2
f(x)=4x
f(x)= -x
4
a)
b)
c)
d)
e)
A é mais veloz que B, pois percorre 600m em 20 min.
B percorre 1km em 20 min.
B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min.
A e B correm na mesma velocidade.
A percorre 400m em 30 min.
04. (Acafe-SC) Um táxi começa uma corrida com o
taxímetro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro rodado
custa R$ 1,50. Se, ao final de uma corrida, o passageiro
pagou R$ 37,00, a quantidade de quilômetros percorridos
foi:
a) 22
b) 11
c) 33
d) 26
e) 32
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05. (BOMB-2004) Qual das histórias melhor se adapta ao
gráfico abaixo?
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Incompletas
1º caso: b=0
Isola-se o valor de x
Ex.
x2  4  0
x2  4
a) Saí de casa calmamente, mas quando vi que poderia
me atrasar, comecei a caminhar mais rápido.
b) Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a
sensação de ter esquecido as chaves do escritório. Parei
para procurá-las na minha mala, mas não as encontrei.
Voltei para buscá-las e depois pude seguir para o
escritório.
c) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou.
Como meu carro estava sem estepe, precisei ficar horas
esperando pelo borracheiro. Ele veio, consertou o pneu, e
eu pude seguir viagem.
d) Logo que saí de casa encontrei um amigo que não via
há muito tempo. Parei para conversar um pouco e depois
segui para o escritório.
e) Saí de casa sem destino, dei uma volta na quadra e
resolvi voltar para casa. O tempo estava para chuva e
resolvi não sair mais de casa.
GABARITO:
0
0
1
C
x 4
x  4
2º caso: c=0
Fatora-se a variável x, assim temos que uma das raízes
ficará igualada a zero; a segunda raiz é determinada a
partir da equação do primeiro grau do produto igualandoa a zero.
Ex.
x 2  2x  0
x( x  2)  0
x` 0
Então:
2
E
3
B
4
A
5
B
6
7
8
9
x20
x`` 2
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Uma equação do segundo grau é escrita da seguinte
forma:
ax 2  bx  c  0
Onde a, b e c representam números reais.
Caso os termos b ou c sejam iguais a zero, a equação se
tornará incompleta. O termo a não poderá ser nulo para
que a equação continue com grau dois.
Exemplos de equações incompletas.
a) x
2
S = {-2,0}
Completas
Para resolver uma equação completa do 2º grau aplicase a fórmula de Bháskara:
Fórmula
  b 2  4ac
x
b 
2a
40
Esta expressão permite calcular equações completas e
incompletas do 2º grau.
b) x  2 x  0
2
Ex. Dê a solução da equação
x 2  6x  8  0
Solução de uma equação do 2º grau
Como estamos diante de uma equação de grau dois, ela
apresentará até duas raízes.
Solução
x 2  6x  8  0
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  (6) 2  4.1.8
Matemática(Parte 03)
4
03. As raízes da equação
 (6)  4
2.1
62
x
2
x` 4
são:
x
x  2 2 x  1 5x  2


3x
2
6
a) -1 e 3
b) -1 e 4
c) 1 e -4
d) 1 e -3
e) n.d.a.
x`` 2
Propriedades das raízes
Discussão das raízes do 2º grau
Verificamos que o número de raízes reais de uma
equação do 2º grau depende do valor do discriminante
da fórmula de Bháskara, chamado delta. Logo, para
saber antecipadamente o comportamento das raízes de
uma equação do 2º grau, discutiremos a seguir o valor
do delta.
04. (Bomb -2005) Um grupo de amigos resolveu alugar
um ônibus e fazer uma excursão para a Serra Gaúcha,
dividindo igualmente o valor do aluguel entre eles. A
empresa de ônibus contratada fixou em R$ 2.400,00 o
valor dessa viagem, independentemente do número de
passageiros que o grupo quisesse levar. Depois que 5
amigos desistiram de viajar, cada um dos amigos
restantes concordou em pagar mais R$ 16,00 para que a
excursão fosse realizada. Quantos amigos viajaram para
a Serra Gaúcha?
Curiosidade:
a) 20
b) 22
c) 23
d) 25
e) 27

05. Vinte amigos resolveram alugar um campo de futebol
por R$ 200, valor este, que seria dividido igualmente
entre todos. Sabendo que no dia do jogo alguns
desistiram e, por este motivo, cada jogador teve que
pagar R$ 15,00 a mais, temos que o número de
jogadores que não apareceram no dia do jogo é:
- Se os coeficientes a e c tem mesmo sinal os sinais das
raízes também serão iguais. Isso não implica que os
sinais das raízes e dos coeficientes sejam iguais.
- Se os coeficientes a e c tem sinais diferentes, os sinais
das raízes também serão deferentes.
a) 11
b) 10
c) 13
d) 12
e) 14
Se   0 , a equação possui duas raízes reais e
diferentes.
Se
  0 , a equação possui duas raízes reais e iguais.
Se 
Reais.
 0,
a equação não possui raiz nos números
GABARITO:
TESTES:
0
01. A equação
soluções:
x  10 x  25  0
2
tem as seguintes
a) somente 5
b) somente 10
c) -5
d) 5 e 10
e) n.d.a.
02. As raízes da equação
a) 1 e 5
b) 2 e 3
c) -1 e 5
d) -1 e -5
e) n.d.a.
0
1
A
2
C
3
B
4
D
5
D
6
7
8
9
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
Observe os quadrados a seguir, cuja a medida do lado
varia conforme está indicado
2 x 2  10  8x  0
Calculando a área de cada quadrado obtemos.
2
1x1 =1 mt
2
2x2 = 4 mt
2
3x3 = 9 mt
2
4x4 = 16 mt
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Usando uma tabela para auxiliar. Onde L para a medida
do lado do quadrado e A para sua área:
L
A
1 mt
1 mt
2 mt
3 mt
4 mt
2
9 mt
4 mt
16 mt
Matemática(Parte 03)
Na arquitetura.
2
2
2
Analisando em um gráfico a variação da área de um
quadrado em relação a seu lado, temos:
Entre outras.
Definição
Uma função f: de R em R é denominada de função
quadrática quando, existem números reais a, b e c, com
a ≠ 0, tais que:
2
y= f(x) = a x + b x + c
Com a, b, c, e x Є R.
Exemplo de função quadrática:
2
I- y= 2x + 4x -3
Logo percebemos que o único jeito de traçar este gráfico
é utilizando uma curva. Pois os pontos encontrados não
estão alinhados, diferentemente do que acontecia na s
funções polinomiais do 1º grau.
Isso ocorre por que antes trabalhávamos com a seguinte
equação: f(x)= ax + b, e neste caso especifico das áreas,
2
temos como lei de formação f(x)= x . E é exatamente
esse x elevado ao quadrado que passará a ser usado nas
funções que nos estaremos estudando na seqüência.
A esse modelo matemático usado no caso para a área do
quadrado que chamamos de função quadrática ou
função do segundo grau.
E a essa “curva” realizada pelas funções que estaremos
estudando chamaremos de parábola.
Existem inúmeros exemplos de parábolas encontradas
em nosso dia a dia, aqui estão alguns:
Antenas Parabólicas
a
2
b
4
c
-3
II - f(x) = -2x + x
a
b
-2
1
c
0
2
2
III - y= 9x -21
a
b
9
0
C
-21
Gráfico de uma função quadrática
Ex:
2
f(x) = x + x
Um arremesso de uma bola em um jogo de basquete
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SIMETRIA E CONCAVIDADE
Note que agora dois ou três pontos ainda não definem de
maneira clara a parábola. Por isso na construção de
gráficos de função polinomial de 2º grau, deve-se traçar
vários pontos para poder visualizar a parábola. Porém
existem algumas características que são similares em
toda parábola. Agora estaremos estudando duas dessas
propriedades das funções quadráticas.
Matemática(Parte 03)
Para achar a y podemos substituir 2 no lugar de x para se
encontrar a outra coordenada.
Ou aplicar a formula para a coordenada y.
Em resumo basta usar estas equações para
encontrar o vértice da parábola.
CONCAVIDADE.
Facilmente percebemos que todas as parábolas possuem
uma concavidade. O que influencia ou o que altera a
concavidade de uma parábola é o valor de a. Observe a
seguir:
Máximos e mínimos
O vértice além de ser o ponto de intersecção entre o eixo
de simetria e a parábola da função, é também uma
importante ferramenta no estudo de máximos e mínimos.
Pois se tivermos uma função com concavidade para
cima, logo teremos o vértice como o seu ponto extremo
inferior(mínimo).
E com uma parábola tendo concavidade para baixo, o
vértice será o ponto superior extremo dessa parábola.
Conforme a figura.
Logo concluímos que:
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada
para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada
para baixo
VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA
Conforme estudado até agora, vimos que para
construção de uma parábola de uma função polinomial do
2º grau. O principal ponto para auxiliar nessa construção
e o que chamamos de vértice da parábola.
Porém para encontrar este ponto existe uma maneira
mais pratica do que ficar tentando valores aleatoriamente.
Para encontrar o par ordenado que determina o vértice
da parábola V(Xv,Yv). Precisamos encontrar Xv e Yv.
Para a coordenada Xv do vértice basta calcular
xv 
b
2a
E para a coordenada Yv do vértice calcular
yv 

4a
RAIZ DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Como foi visto em funções polinomiais do 1º grau, raiz ou
zero de uma função é quando o eixo x é interceptado
pelo gráfico da função. O conceito permanece o mesmo,
ou seja, raiz de uma função continuará sendo quando a
função se anula, a diferença é que antes em toda a
função do 1º grau havia uma, só uma raiz.
Agora na função do 2º, nem sempre haverá raiz.
Podemos dividir as raízes de uma função quadrática em
três tipos. Discriminante igual a zero, menor que zero e
maior que zero.
Obs. Discriminante é o valor que se obtém calculando o Δ
de uma equação de Bháskara.
2
Δ= b – 4 a c
A formula de Bhaskara para resolução de equação do 2º
grau é:
Veja no exemplo:
Determine as coordenada do vértice da parábola y=x² 4x + 3
Discriminante igual à zero (uma raiz)
Quando isso acontecer parábola terá apenas uma raiz.
Que será exatamente o vértice da parábola.
Temos: a=1, b=-4 e c=3
2
0=Δ= b – 4 a c
Observe o exemplo.
Logo, a coordenada x será igual a 2.
y=f(x)=x²+2x+1
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Matemática(Parte 03)
2
x²+2x+1=0
0<Δ=b –4ac
Calculando o discriminante
No exemplo:
y = f(x) = x²-x+2
x²-x+2=0
No gráfico fica
Graficamente.
Discriminante maior que zero ( duas raízes)
Se o valor do discriminante assumir valor positivo, o
gráfico da função terá duas raízes.
2
0<Δ=b –4ac
Acompanhe o exemplo:
Exercício Resolvido.01. Determine o número de raízes,
se existir, da seguinte função.
y = f(x) = x²-4x+3
a) x²+5x+6= f(x)
x²-4x+3=0
Primeiro devemos calcular o discriminante.
2
Δ = b – 4 a c sendo a função x²+5x+6= f(x)
2
Δ= 5 – 4 .1. 6
Δ= 25 – 24
Δ= 1 >0
Logo essa função tem duas raízes.
b- Calculando o discriminante.
2
Δ = b – 4 a c sendo a função f(x) = x²
2
Δ = 0 – 4 .1. 0
Δ=0
Logo essa função tem apenas uma raiz.
x`=1 e x``=3
Graficamente:
TESTES:
2
01. O gráfico de y = x - 8x corta o eixo 0x nos pontos de
abscissa:
a) -2 e 6
b) -1 e -7
c) 0 e -8
d) 0 e 8
e) 1 e 7
02. O número de pontos de intersecção das duas
2
2
parábolas y=x e y=2x -1 é:
Discriminante menor que zero ( nenhuma raiz)
Quando isso acontecer a função não terá nenhuma raiz
real, ou seja, o eixo das abscissas não será cortado pela
parábola da função.
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
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03. A função real f, de variável real, dada por
2
f(x)=-x +12x+20, tem um valor
b) y = 7
x
c) y = 13
a) mínimo, igual a -16, para x = 6
b) mínimo, igual a 16, para x = -12
c) máximo, igual a 56, para x = 6
d) máximo, igual a 72, para x = 12
e) máximo, igual a 240, para x = 20
Matemática(Parte 03)
x
Gráficos:
Vamos
observar
os
gráficos
das
funções
exponenciais, com base maior ou menor que 1.
04. Um ônibus de 54 lugares foi fretado para uma
excursão. A empresa cobrou de cada passageiro a
quantia de R$ 55,00 e mais R$ 2,50 por lugar vago. O
número de passageiros que dá à empresa rentabilidade
máxima é:
1) f: R  R, sendo f (x) = 2
x
a) 16
b) 24
c) 38
d) 49
e) 54
05. (UEPI-PI) O lucro mensal de uma fábrica é dado por
2
L(x) = –x + 60x – 10 onde x é a quantidade mensal de
unidades fabricadas e vendidas de um certo bem,
produzido por esta empresa e L é expresso em Reais
(Obs.: Real  unidade monetária).
Quando a  1 , a função y = ax é CRESCENTE.
2) f: R  R, sendo f (x) = 1/2
x
O maior lucro mensal possível que a empresa poderá ter
é dado por:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 890,00
R$ 910,00
R$ 980,00
R$ 1.080,00
R$ 1.180,00
06. (EsPCEX) Um curral retangular será construído
aproveitando-se um muro pré-existente no terreno, por
medida de economia. Para cercar os outros três lados,
serão utilizados 600 metros de tela de arame. Para que a
área do curral seja a maior possível, a razão entre as
suas menor e maior dimensões será:
Quando 0  a  1 , a função y = ax é DECRESCENTE.
RESUMINDO
a) 0,25
b) 0,50
c) 0,75
d) 1,00
e) 1,25
a > 1 – Curva crescente
GABARITO:
0
1
D
0
2
C
3
C
4
C
5
A
6
B
7
8
9
FUNÇÃO EXPONENCIAL
É uma função do tipo y = a , sendo a  IR , a  0 , a  o.
x
Exemplos:
a) y = 2
x
0 < a < 1 – Curva decrescente
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TESTES:
06. (BOMB-2004) Experiências feitas com um certo tipo
de bactéria mostraram que o número de indivíduos numa
cultura, em função do tempo, pode ser aproximado pela
0,4.t
expressão F(t) = 50.2 , sendo t o tempo medido em
horas. Após quantas horas essa cultura terá 800
indivíduos?
01. Suponha que o crescimento de uma cultura de
bactérias obedece à lei
N (t )  m.2
t
2
na qual N representa o número de bactérias no momento
t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura
tinha 200 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era
a) 3 600
b) 3 200
c) 3 000
d) 2 700
e) 1 800
02. Uma população de bactérias começa com 100 e
dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias
após t horas é dado pela função
n(t )  100.2
t
3
a) 10 horas
b) 12 horas
c) 15 horas
d) 18 horas
e) 24 horas
GABARITO:
0
0
1
b
2
a
3
c
4
a
a) 1 dia e 3 horas.
b) 1 dia e 9 horas.
c) 1 dia e 14 horas.
d) 1 dia e 19 horas.
6
a
7
8
9
LOGARITMOS
Dados os números reais a
Nessas condições, pode-se afirmar que a população será
de 51.200 bactérias depois de:
5
e
e b, ambos positivos com b
 1, existe sempre um único real x tal que b = x .
Este expoente x , que deve ser colocado na base b para
que o resultado seja a , recebe o nome de logaritmo de a
na base b.
a
Exemplos:
2 = 8  log28 = 3
3
03. (Unifor CE/Janeiro/1998) Suponha que, após t dias
de observação, a população de uma cultura de
0,05 t
a)
b)
c)
d)
e)
bactérias é dada pela expressão P ( t)  Po . 2
,
na qual Po é a população inicial da cultura (instante
t = 0). Quantos dias serão necessários para que a
população dessa cultura seja o quádruplo da inicial?
20
30
40
50
60
04. (PUC RS/Julho/2004) Os gráficos das funções
x–1
x
definidas por f (x) = 2
e g (x) = 4 se encontram no
ponto de coordenadas:
a)
b)
c)
d)
e)
1
(1, )
4
1
(1, )
2
(–1, 2)
(0, 1)
(2, 4)
2 = 5  log2 5 = x
x
Propriedades
1) Logc (A.B) = Logc A + Logc B
2) Logc (A/B) = Logc A - Logc B
3) Logc (An) = n.Logc A
Função logarítmica
Vamos considerar a função logarítmica
f (x) = log2 x
05. (UFOP MG/Julho/1998) O valor de x que satisfaz a
x
x
equação seguinte é um número: 4 – 15 . 2 – 16 = 0
a)
b)
c)
d)
e)
ímpar
irracional
negativo
primo
par
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07. (UFSCar SP/1ªFase/2001) A altura média do tronco
de certa espécie de árvore, que se destina à
produção de madeira, evolui, desde que é plantada,
segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 +
log3(t+1), com h(t) em metros e t em anos. Se uma
dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu
3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do
momento da plantação até o do corte foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
TESTES:
01. Se log(3x+23) - log(2x-3) = log4, encontrar x.
a) 4
b) 3
c) 7
d) 6
e) 5
9.
8.
5.
4.
2.
08. (UFLA MG/2005) Uma população de insetos diminui
em conseqüência da aplicação de um inseticida segundo
02. Admitindo-se que log5 2=0,43 e log5 3=0,68, obtém-se
para log512 o valor
a) 1,6843
b) 1,68
c) 1,54
d) 1,11
e) 0,2924
03. (UFMG) O valor da expressão log2 128 – log3 243 é
igual a:
a função P(t) 300 (10) t , em que P(t) é o número de
insetos no tempo t, medido em semanas, sendo t  0 o
tempo em que o inseticida foi aplicado.
O tempo para que a população atinja 20% do tamanho
inicial é de, aproximadamente,
(Dado: log105  0,7)
a) 15 dias
b) 1 mês
c) 5 dias
d) 1 dia
e) 20 dias
09. (UEL-2008) Se 2 log(x) = log(2x − 5) + log(5), então
x deve ser
a) 3
b) 1
c) 0
d) 4
e) 2
04. (FATEC) Trabalhando com log10 3 = 0,477 e log10 2 =
0,301 assinale a opção cujo valor mais se aproxima de
log10 15:
a) 2,079
b) 1,255
c) 1,556
d) 1,176
e) 1,886
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
GABARITO:
0
0
1
c
2
c
3
e
4
d
5
a
6
c
7
b
8
c
9
d
TESTES FUNÇÕES CESGRANRIO
05. (PUCPR) Se log (3x + 23) – log (2x-3) = log 4,
encontrar x:
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
01. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) A população P
de certa cidade cresce de acordo com a função P(t)
t
56.000 (1,01) , onde t significa o tempo, em anos. O
gráfico que melhor representa essa função é
a)
b)
c)
d)
06. (U. Santa Ursula – RJ) A solução da equação log 2
(x-5) + log 2 (x-2) = 2 :
a) {1,6}
b) {1}
c) {6}
d) {3,4}
e) N.d.a.
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Um fazendeiro investiu U$50.000,00 na montagem de
uma fazenda marinha, mais U$9.000,00 em sementes de
vieira. Se todas as vieiras cultivadas forem vendidas,
todos os custos serão cobertos e o fazendeiro lucrará, em
dólares,
(A) 40.250,00
(B) 82.250,00
(C) 97.500,00
(D) 128.500,00
(E) 137.500,00
e)
02. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) No Brasil, um
motorista não pode dirigir se o nível de álcool no seu
sangue for superior a 0,2 g por litro. Considere que o
nível N de álcool por litro de sangue de um homem
adulto, em gramas, decresça de acordo com a função
t
N(t) = N0.(1/2) , onde t representa o tempo, em horas, e
N0 representa o nível inicial de álcool por litro de sangue.
Certo homem, adulto, ingeriu grande quantidade de
bebida alcoólica e o nível de álcool em seu sangue
chegou a 2 g por litro (N0 = 2). Quanto tempo ele terá
que esperar para poder dirigir?
(Use log 2 = 0,3).
(A) 3h e 20 minutos.
(B) 3h e 33 minutos.
(C) 4h e 40 minutos.
(D) 5h e 22 minutos.
(E) 6h e 30 minutos.
03. (CESGRANRIO-PETROBRAS-2008) O Programa de
Fazendas Marinhas da Ilha Grande oferece treinamento
para o cultivo de moluscos no litoral sul do Rio de
Janeiro. Os gráficos abaixo apresentam o custo da
semente e o preço de venda, depois do cultivo, de
vieiras, um molusco dotado de grande valor comercial.
04.
(CESGRANRIO-PETROBRAS-2008)
Em
um
laboratório de pesquisas científicas, um cientista
observou que a população de certa colônia de bactérias
dobrava a cada hora. Se, após t horas, essa população
de bactérias correspondia a dez vezes a população
inicial, pode-se afirmar que t é um número que pertence
ao intervalo
(A) ] 1; 2 [
(B) ] 2; 3 [
(C) ] 3; 4 [
(D) ] 4; 5 [
(E) ] 5; 6 [
2
05. (CESGRANRIO -2007) Sejam f(x) = – x + x + 6 e
g(x) = x + 2 funções reais de variáveis reais. Essas
funções assumem valores, exclusivamente, no intervalo
[0,3]. Seja P(a,b) o ponto em que f e g se intersectam.
Nessas condições, a + b vale:
(A) 6
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(E) 1
06. (CESGRANRIO -2007) Um copo está vazio, e nele
são colocadas bolas de vidro idênticas, sucessivamente,
uma a uma. O gráfico que melhor representa a função
que associa ao número de bolinhas o peso do conjunto
composto por copo e bolas é:
a)
b)
c)
d)
e)
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de irmãos, dizemos que elas são quantitativas,
pois seus possíveis valores são números.
•
07. (CESGRANRIO) As funções y = 2x + k e y = x + (2
k) se interceptam no
ponto P, de abscissa 4. Pode-se concluir que k é igual a
(A) 3
(B) 1
(C) +3
(D) +5
(E) +7
As variáveis quantitativas podem ser discretas,
quando se trata de contagem (números inteiros),
ou contínuas, quando se trata de medida
(números reais). Veja:
• “Número de irmãos” é uma variável quantitativa discreta,
pois podemos contar (0, 1, 2 etc.).
• “Altura” é uma variável quantitativa contínua, uma vez
que pode ser medida (l,55 m, l,80 m, l,73 m etc.).
• “A idade em anos exatos” pode ser considerada variável
quantitativa discreta (8, 10, 17 etc.).
b) Variável qualitativa
GABARITO:
0
0
1
B
2
A
3
D
4
C
5
A
6
C
7
E
8
9
•
São aquelas variáveis que procuram passar
uma certa característica do dado que está sendo
analisado, como, por exemplo: cor do cabelo,
cor da pele, feio ou bonito, alegre ou triste e
assim por diante.
•
Obs.: Essas variáveis podem ser de dois tipos:
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
Introdução: A Estatística talvez seja a parte da
Matemática que mais se preocupa com o comportamento
social, visto que tal conteúdo é repleto de coletas de
dados, para que se possa então fazer a análise deles.
A Estatística envolve um conjunto de métodos
desenvolvidos para a coleta, classificação, apresentação,
análise e interpretação de dados quantitativos(ou
qualitativos) e a utilização desses dados para a tomada
de decisões.
Por exemplo, podemos pensar no caso de duas
turmas que, em um determinado teste de matemática,
tenham ambas obtido média aritmética 6 nas notas, pois
é possível que, em uma turma, todos tenham tirado notas
muito próximas de 6 e na outra turma a variação de notas
tenha sido muito discrepante, daí a importância da
Estatística, pois através dela traçaremos parâmetros para
que possamos diferenciar e personalizar as coletas
analisadas.
POPULAÇÃO E AMOSTRA
População é um conjunto de elementos que têm pelo
menos uma característica (variável) comum objeto de
estudo.
Qualitativas Nominais (atributos)
Qualitativas Ordinais (ordem)
Freqüências
a) Freqüência absoluta:
•
É aquela que indica o número de elementos
coletados da variável analisada.
b) Freqüência relativa:
•
É aquela que representa a proporção entre a
variável analisada e o todo, e que, por isso,
pode ser representada por uma fração, por uma
porcentagem ou por uma dízima.
Fr 
Fabs
N
População Finita: Limitada em tamanho
Tabela de freqüências
População Infinita: Ilimitada em tamanho. Consiste num
processo que gera itens.
Tabela sem intervalo de classe:
A tabela abaixo relaciona a preferência pelo time de
futebol em relação a 560 pessoas entrevistadas, em que,
para cada time, podemos utilizar a proporção entre a
freqüência relativa e o setor do gráfico.
Nomenclatura Básica
Tipos de variáveis
a) Variável quantitativa
•
Quando as variáveis de uma pesquisa são, por
exemplo, altura, peso, idade em anos e número
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Qual foi a média de livros vendidos durante essa
semana?
Para resolver esse problema, devemos fazer:
22  23  22  27  25  13 132

 22
6
6
Esse número é chamado de média aritmética dos
números 22, 23, 22, 27, 25 e 13
Média
aritmética
x1  x2  x3  ....  xn
(x)
dos
valores
é o quociente entre a soma
desse valores e seu número total n.
x
Tabela com intervalo de classe:
x1  x2  x3  ....  xn
n
2 – Média ponderada
Quando alguns valores se repetem, torna-se mais fácil o
cálculo da média aritmética.
Vejamos:
Calcular
a
média
aritmética
dos
valores
27,27,30,30,30,30,32,32 e 32.
OBS.: As classes são intervalos fechados no início e
abertos no final.
a  b  [a, b[
Quando for necessário podemos representar cada classe
pelo seu elemento central.
Nesse caso, observamos que:
- o valor 27 se repete 2 vezes;
- o valor 30 se repete 5 vezes;
- o valor 32 se repete 3 vezes;
Assim, a média pode ser calculada de uma forma mais
simples:
x
27.2  30.5  32.3 54  150  96 300


 30
253
10
10
A média aritmética é 30.
Medidas de Centralidade (MÉDIAS)
A medida de centralidade é um número que está
representando todo o conjunto de dados; nas pesquisas
tal número é conhecido como medida de tendência
central, que pode ser encontrado a partir da média
aritmética, da moda ou da mediana, e o uso de cada
uma delas é mais conveniente de acordo com o nível
de mensuração, o aspecto ou forma da distribuição
de dados e o objetivo da pesquisa.
Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de
literatura durante certa semana:
Terça
23
Quarta
22
3 – Média Moda
A moda é o elemento da seqüência de dados que possui
a maior freqüência, em que ela será localizada. Para ficar
mais fácil de você lembrar, associe o fato de que aquilo
que está na moda é o que as pessoas mais usam.
A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com
definição, procurar o valor que mais se repete.
1 – Média Aritmética:
Seg
22
O número de vezes que o valor se repete chama-se
peso, e à média assim calculada dá-se o nome de
média ponderada.
Quinta
27
Sexta
25
Sábado
13
Ex: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é
igual a 10.
Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas
quais nenhum valor apareça mais vezes que outros.
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Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é
amodal.
Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de
concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou
mais valores modais.
Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 }
apresenta duas modas: 4 e 7
A série é bimodal.
4 – Média Mediana
A mediana representa o elemento que se encontra no
centro da distribuição, quando a seqüência de dados se
apresenta ordenada de forma crescente ou decrescente,
cortando, assim, a distribuição em duas partes com o
mesmo número de elementos.
Dada uma série de valores como, por exemplo:
{ 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo
a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente)
dos valores:
{ 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é
igual a 9, logo a Md = 9.
Matemática(Parte 03)
poderemos com tais medidas determinar as turmas que
tiveram um comportamento homogêneo, em que os
alunos tiraram notas próximas de 6,0, como também
determinar as turmas que tiveram um comportamento
heterogêneo em relação à nota 6,0, ou seja, por mais que
a média tenha sido 6,0, as notas não foram próximas de
6,0.
Desvio Absoluto Médio
Como a palavra desvio está associada à diferença, temos
que, o desvio deve ser empregado com a diferença do
elemento analisado em relação à média, ou seja, o
quanto o elemento se afasta da média da seqüência. Daí,
é importante perceber que essa diferença deve ser
necessariamente trabalhada em módulo, pois não tem
sentido a distância negativa. E o desvio médio, então,
passa a ser encontrado a partir da média aritmética de
todos os desvios.
Daí, temos:
N
DM 
| x
Em que
i 1
i
x|
N
xi
são os valores tomados, x é a média
aritmética desses valores e N é a quantidade de valores.
Exemplo
Medidas de Dispersão
Vimos que a moda, a mediana e a média aritmética
possuem a função de representar, a partir de um único
número, a seqüência a ser analisada. Porém, tal método
ainda é muito incompleto para que nós possamos tirar
alguma conclusão sobre o trabalho. É necessário que
possamos enxergar algo mais nessa seqüência que
estamos analisando, como, por exemplo, uma certa
“personalidade” da seqüência.
Então, na tabela acima, temos que:
Observe a seguinte situação: quatro turmas do 3º ano do
Ensino Médio fizeram uma prova de estatística e quando
o professor verificou a média das notas de cada turma,
constatou que, em cada uma das quatro turmas, a média
dos alunos foi igual a 6,0. E aí? Será que podemos
concluir que o desempenho das quatro turmas foi o
mesmo? Será que todos os alunos, de todas as turmas,
tiraram nota 6,0 na prova? É óbvio que, nesse momento,
o bom senso fala mais alto e podemos, no mínimo,
desconfiar de que não.
Pois é exatamente aí que reside a tal “personalidade” que
podemos atribuir a cada turma em relação ao
comportamento das notas.
O que quero dizer é que, com as medidas de dispersão,
seremos capazes de verificar que, por mais que a média
das turmas na prova de estatística tenha sido 6,0,
Variância
A variância é uma medida de dispersão muito parecida
com o desvio médio, a única diferença em relação a este
é que, na variância, ao invés de trabalharmos em módulo
as diferenças entre cada elemento e a média, tomamos
os quadrados das diferenças. Isso se dá pelo fato de que,
elevando cada diferença ao quadrado, continuamos
trabalhando com números não negativos, como também
pelo fato de que, em procedimentos estatísticos mais
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avançados, tal método facilita futuras manipulações
algébricas.
N
Var 
 (x
i
i 1
Em que
 x) 2
N
xi
são os valores tomados, x é a média
Matemática(Parte 03)
TESTES:
01. (UEPB PB/2006) A média aritmética das alturas de
cinco edifícios é de 85 metros. Se for acrescentado a
apenas um dos edifícios mais um andar de 3 metros
de altura, a média entre eles passará a ser:
a) 85,6 m
b) 86 m
c) 85,5 m
d) 86,6 m
e) 86,5 m
aritmética desses valores e N é a quantidade de valores.
02. (UFMS MS/2005) A média aritmética das notas dos
alunos de uma classe de 40 alunos é 7,2 . Se a média
aritmética das notas das meninas é 7,6 e a dos meninos
é 6,6 , então o número de meninas na classe é
a) 20.
b) 18.
c) 22.
d) 24.
e) 25.
Exemplo
03. (ESPP-MPP-PR-2010) Num escritório de engenharia
há 20 engenheiros ganhando cada um R$ 2000 de
salário, e 10 engenheiros ganhando cada um R$ 5000 de
salário. O salário médio dos 30 engenheiros é igual a:
Ainda tomando como exemplo a situação anterior,
teremos:
a) R$ 2500
b) R$ 2750
c) R$ 3500
d) R$ 3250
e) R$ 3000
04. (UFPel RS/2005) Na busca de solução para o
problema da gravidez na adolescência, uma equipe de
orientadores educacionais de uma instituição de ensino
pesquisou um grupo de adolescentes de uma
comunidade próxima a essa escola e obteve os seguintes
dados:
Desvio-padrão
Para entendermos o procedimento para o cálculo do
desvio-padrão, é interessante percebermos que, no
cálculo da variância, cometemos um “erro técnico” que
será corrigido pelo desvio-padrão, ou seja, no momento
em que elevamos ao quadrado as dispersões
(diferenças) de cada elemento em relação à média,
automaticamente alteramos a unidade de trabalho. Por
exemplo: se estivermos trabalhando com a coleta das
alturas, em metro, das pessoas de uma determinada
comunidade, a unidade da variância encontrada será o
m² (metro quadrado), que representa áreas. E é aí que
entra o desvio-padrão, ou seja, extraindo a raiz quadrada
da variância.
Desvio padrão 
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é
correto afirmar, em relação às idades das adolescentes
grávidas, que
a)
b)
c)
d)
e)
a média é 15 anos.
a mediana é 15,3 anos.
a mediana 16,1 anos.
a moda é 16 anos.
a média é 15,3 anos.
  var
Então, se no exemplo do item anterior a variância
encontrada foi 345,57, temos que o desvio-padrão foi de
345,57  18,58
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Prof. Daniel Almeida
Matemática(Parte 03)
05. (UFPR-2008) Uma determinada região apresentou, nos
últimos cinco meses, os seguintes valores (fornecidos em
mm) para a precipitação pluviométrica média:
03. (CESGRANRIO-ANP-2008) Pedro fez três avaliações
de Matemática e obteve notas 6,7, 5,8 e 7,6. Ele fará
mais uma avaliação e sua média final será a média
aritmética dessas quatro notas. Qual é a nota mínima que
Pedro deverá obter na quarta prova para que sua média
final seja igual ou superior a 7,0?
A média, a mediana e a variância do conjunto de valores
acima são, respectivamente:
a) 30, 27 e 6,8.
b) 27, 30 e 2,4.
c) 30, 29 e 6,8.
d) 29, 30 e 7,0.
e) 30, 29 e 7,0.
(A) 7,3
(B) 7,5
(C) 7,7
(D) 7,9
(E) 8,1
GABARITO:
0
0
1
a
2
d
3
d
4
e
5
c
6
7
8
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TESTES ESTATÍSTICA - CESGRANRIO
Para responder às questões de nos 1 e 2, utilize os
dados da tabela abaixo, que apresenta as freqüências
acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20
anos.
04. (CESGRANRIO-ANP-2008) O gerente do restaurante
de certa empresa fez uma pesquisa e concluiu que os
funcionários homens consumiam, em média, 540g por
refeição e as mulheres, 450g. Se 60% dos funcionários
dessa empresa são homens, qual é, em gramas, o
consumo médio, por funcionário, em cada refeição?
(A) 485
(B) 495
(C) 504
(D) 514
(E) 525
O enunciado abaixo refere-se às questões de nos 05
e 06.
Uma pesquisa foi feita com 40 mulheres a respeito da
quantidade de filhos de cada uma delas e das idades
desses filhos. Abaixo, vêem-se:
- um gráfico de barras com a distribuição das 40
mulheres conforme a quantidade de filhos;
- uma tabela com as quantidades de filhos de 1, 2, 3 e 4
anos dessas 40 mulheres.
01.(CESGRANRIO-CEF-2008) Um desses jovens será
escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem
escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse
jovem terá 16 anos ou mais?
a)
b)
c)
d)
e)
8/14
8/16
8/20
3/14
3/16
02. (CESGRANRIO-CEF-2008) Uma das medidas de
dispersão é a variância populacional, que é calculada por
05. (CESGRANRIO-INEP-2007) Analisando-se os dados
em relação ao conjunto desses filhos, conclui-se
corretamente que
Sabendo-se que m é a média aritmética dessas idades,
qual a variância das idades na população formada pelos
20 jovens?
(A) 0,15
(B) 0,20
(C) 1,78
(D) 3,20
(E) 3,35
(A) há, ao todo, 32 filhos.
(B) há exatamente 8 filhos que não possuem qualquer
irmão.
(C) há exatamente 10 filhos que possuem um único
irmão.
(D) há mais de 30 filhos que possuem mais de um irmão.
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(E) o número de filhos que não possuem qualquer irmão
é maior do que o número de filhos que possuem pelo
menos um irmão.
06. (CESGRANRIO-INEP-2007) Analisando-se os dados
em relação ao conjunto desses filhos, conclui-se
corretamente que há crianças
(A) com menos de 1 ano.
(B) de 1 ano que possuem irmão.
(C) de 2 anos que possuem irmão.
(D) de 3 anos que possuem mais de um irmão.
(E) com menos de 3 anos que possuem mais de um
irmão.
Matemática(Parte 03)
(E) 2,7
10. (CESGRANRIO -2007) Quantas questões foram
acertadas por mais de 60% dos alunos?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
GABARITO:
0
0
1
1
B
2
D
3
D
4
C
5
D
6
C
7
C
8
A
9
D
B
O enunciado abaixo refere-se às questões de nos 07
e 08.
Um grupo é formado por 10 pessoas, cujas idades são:
17 19 19 20 20 20 20 21 22 22
07. (CESGRANRIO-BNDES-2007) Seja 𝜇 a média
aritmética das idades e seu 𝜎 desvio padrão. O número
de pessoas desse grupo cujas idades pertencem ao
intervalo 𝜇 − 𝜎, 𝜇 + 𝜎 é:
(Considere 2 = 1,4
(A) 9
(B) 8
(C) 7
(D) 6
(E) 5
08. (CESGRANRIO-BNDES-2007) Escolhendo-se,
aleatoriamente, uma pessoa do grupo, qual a
probabilidade de que sua idade seja maior do que a
moda?
(A) 30%
(B) 25%
(C) 20%
(D) 15%
(E) 10%
O enunciado abaixo refere-se às questões de nos 09
e 10.
Vinte alunos foram submetidos a uma prova de 5
questões. O gráfico mostra, para cada uma das questões,
a porcentagem dos alunos que acertaram a tal questão.
09. (CESGRANRIO -2007) Se cada uma das questões
valia 1 ponto, qual a média de pontos da turma?
(A) 3,1
(B) 3,0
(C) 2,9
(D) 2,8
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