Provinha 8 (16/06/2010)
1) Um carrinho preso a uma parede por uma mola é afastado 10 cm de sua posição de repouso e
liberado no instante t = 0, oscilando então durante 4 s. Sua posição no instante t é dada por
s = 10cos π t . (a) Qual é a velocidade máxima do carrinho? Quando o carrinho se desloca com essa
velocidade? Onde exatamente isso ocorre? Qual é a magnitude de sua aceleração nesse momento?
(b) Onde o carrinho se encontra quando a magnitude da aceleração é a maior possível? Qual é a
velocidade do carrinho nesse momento?
ds
a) s = 10cos (π t ) ⇒ v =
= −10π sen (π t ) ⇒ v = −10π sen ( π t ) = 10π sen (π t )
dt
⇒ a velocidade máxima é 10π ≈ 31,42 cm/seg (quando sen (π t ) = 1 )
O carro se desloca com essa velocidade quando t = 0,5 seg ; t = 1,5 seg ; t = 2,5 seg e ; t = 3,5 seg
π 
(valores de t quando sen (π t ) = 1 ). Para esses valores de t, a distância é s = 10cos   = 0 cm e
2
a = −10π 2 cos (π t ) ⇒ a = 10π 2 cos (π t ) ⇒ a = 0 cm/seg2.
b) a = 10π 2 cos (π t ) é máxima quando cos (π t ) = 1 , ou seja, quando t = 0 seg ; t = 1 seg ; t = 2 seg ;
t = 3 seg e t = 4 seg.
Nesses instantes, a posição do carro é s = 10 cm da posição inicial e a velocidade é 0 cm/seg.
2) (a) Determine o domínio da função f ( x ) =
x
x
. (b) Demonstre que a função f ( x ) =
é crescente em
x +1
x +1
cada intervalo do seu domínio. (c) Demonstre que a função f ( x ) = x 3 + 2 x não possui valores máximos ou
mínimos locais.
(a) f ( x ) =
1( x + 1) − x (1)
x
1
⇒ f '( x ) =
=
> 0 para todo x no domínio da função dada.
2
x +1
( x + 1)
( x + 1)2
⇒ a função é sempre crescente
f ( x ) = x3 + 2 x ⇒
(b)
f ' ( x ) = 3 x 2 + 2 > 0, para todo x
⇒ o gráfico de f é sempre crescente e,
portanto, não existe nenhum extremo local.
3) Calcule a primeira derivada das funções f ( x ) =
x2
2
x +1
e g ( x) =
−1
2
x +1
. O que você pode concluir sobre
os gráficos dessas funções?
f '( x ) =
(
)
2 x x2 + 1 − x2 ( 2 x )
(x
2
)
+1
2
=
2x
(x
2
⇒ f '( x ) = g '( x ) ⇒
)
+1
2
e g '( x ) =
(
)
0 x 2 + 1 − ( −1) 2 x
(x
2
)
+1
2
=
2x
(x
2
)
+1
2
f ( x) = g ( x) + C
⇒ os gráficos diferem por um deslocamento vertical.
Profa. Lena Bizelli