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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CARLOS ANTÔNIO SERAFIM
CONTRIBUIÇÕES DA UTILIZAÇÃO DE SEQUÊNCIAS COM PADRÕES
GEOMÉTRICOS NA INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU
SINOP-MT
2013
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CARLOS ANTÔNIO SERAFIM
CONTRIBUIÇÕES DA UTILIZAÇÃO DE SEQUÊNCIAS COM PADRÕES
GEOMÉTRICOS NA INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à
Banca Examinadora do Departamento de
Matemática – UNEMAT, Campus Universitário de
Sinop-MT, como requisito parcial para a obtenção
do título de Licenciado em Matemática.
Orientadora:
Prof.ª: Ma. Chiara Maria Seidel Luciano Dias.
SINOP-MT
2013
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CARLOS ANTÔNIO SERAFIM
CONTRIBUIÇÕES DA UTILIZAÇÃO DE SEQUÊNCIAS COM PADRÕES
GEOMÉTRICOS NA INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à
Banca Avaliadora do Departamento de
Matemática – UNEMAT, Campus Universitário
de Sinop, como requisito parcial para a
obtenção do título de Licenciado em
Matemática.
BANCA EXAMINADORA:
Profª.: Ma. Chiara Maria Seidel Luciano Dias
Professora Orientadora
UNEMAT – Campus Universitário de Sinop
Prof. Esp. Eloidi Falchetti
Professor Avaliador
UNEMAT – Campus Universitário de Sinop
Profª.: Dra. Darci Peron
Professora Avaliadora
UNEMAT - Campus Universitário de Sinop
Aprovado em ______/______/______
4
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
deste trabalho, por processo de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: ______________________________________local e data _____/______/______
5
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho aos meus familiares, por toda ajuda e compreensão e paciência.
Aos meus professores e colegas, por todo o incentivo,
força e colaboração nesta etapa de minha vida.
Carlos
6
AGRADECIMENTOS
Agradeço em primeiro lugar a Deus, pelo dom da vida e por todas as benções
derramadas sobre nós. Agradeço em especial a os meus familiares pela paciência e
compreensão e a amigos pelo apoio nas horas difíceis durante esta caminhada.
Agradeço a todos os professores que de uma forma ou outra estiveram juntos nesta
jornada, mas em especial ao professor Eloidi Falchetti, o qual colaborou, incentivou e me
ajudou nas horas que mais precisei.
A todos os meus colegas que estiveram juntos durante este processo pelo esforço,
ajuda e compreensão e colaboração. Agradeço em especial a minha orientadora, Chiara Maria
Seidel Luciano Dias, por todo o incentivo, e principalmente pela paciência e atenção na
elaboração deste trabalho, e por ter acreditado em mim, e ter sido mais que uma professora e
orientadora, e sim uma verdadeira amiga.
Também agradeço louvo a deus por colocar todos estas pessoas em meu caminho, e
todas as outras que de uma forma ou outra participara ou estiveram presentes e colaboram e
contribuíram de qualquer forma para mais esta conquista em minha vida.
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“Dê-me Senhor, a perseverança das ondas do mar, que fazem de cada recuo, um ponto de
partida para um novo avançar”.
Cecília Meirelles
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RESUMO
SERAFIM, C. A, Contribuições da Utilização de Sequências com Padrões Geométricos na
Introdução às Equações de Primeiro Grau. Sinop, 2013. 76 f. Trabalho de conclusão de Curso
(Curso de Licenciatura Plena em Matemática) – Universidade do Estado de Mato Grosso –
UNEMAT – Campus Universitário de Sinop/MT.
Dentre as particularidades do ensino de Matemática para o terceiro ciclo do Ensino
Fundamental destaca-se o desenvolvimento do pensamento algébrico, que propicia o
reconhecimento de representações algébricas que expressem generalizações baseadas nas
operações aritméticas. Nossa pesquisa configura-se em um estudo de caso com o objetivo
principal de investigar possíveis contribuições da utilização de sequências com padrões
geométricos, para a introdução das equações do primeiro grau. Sendo assim, estabelecemos
como sujeitos da pesquisa alunos de uma turma de sétimo ano do Ensino Fundamental do
Centro Educacional “Lindolfo José Trierweiller”. Nosso referencial teórico está
fundamentado em autores como COXFORD (1996) e nos Parâmetros Curriculares Nacionais
para o Ensino Fundamental PCN’s (2006). Metodologicamente, a investigação baseou-se na
observação e descrição do processo de experimentação fundamentado na aplicação de
atividades centradas em sequências com padrões geométricos. Dentre os autores que
nortearam os procedimentos metodológicos, citamos FONSECA (2002) e BARBOSA (2008).
As atividades propostas possibilitaram o desenvolvimento de habilidades como identificação
de padrões, utilização de raciocínios indutivos e dedutivos; elaboração e validação de
conjecturas e finalmente o desenvolvimento da capacidade de argumentação. Ao final,
analisamos o que cada atividade representou aos alunos e sistematizamos graficamente
algumas situações vivenciadas, além de perceber dificuldades em relação às quatro operações
fundamentais, o que dificulta o processo de aprendizagem e introdução do pensamento
algébrico.
Palavras-chave: Pensamento Algébrico, Ensino Fundamental, Padrões Geométricos.
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ABSTRACT
SERAFIM, C. A. The contributions of the use of patterned Sequences in introduction to
Equations of first degree. Sinop, 2013. 76 f. Work of conclusion of course (course Full
licensure in mathematics)- Universidade do Estado de Mato Grosso UNEMAT-University
Campus of Sinop/MT.
One of the particularities of the teaching of Mathematics for the third cycle of elementary
school stands the development of algebraic thinking, which provides recognition of algebraic
representations that express generalizations based on arithmetic operations. Our research is configured
in a case study with the main objective to investigate possible contributions of the use of sequences
with geometric patterns, for the introduction of equations of first degree. Therefore, we have
established as subjects of research students from a class of seventh grade of primary school of
Educational Centre "Lindolfo José Trierweiller". Our theoretical framework is based on authors such
as COXFORD (1996), PIRES and GOMES (2009) and in the national curriculum Parameters for
primary education NCPS ' s (2006). Methodologically, the investigation was based on the observation
and description of the process of experimentation based on the application of focused activities in
sequences with geometric patterns. Among the authors that guided the methodological procedures, we
cite FONSECA (2002) and BARBOSA (2008). The proposed activities have enabled the development
of skills such as identifying patterns, use of inductive reasoning and deductive; preparation and
validation of conjecture and finally the capacity development of argument. At the end, we analyze
what each activity represented students and have systematized graphically some situations
experienced, in addition to perceive difficulties in relation to the four fundamental operations, what
hinders the learning process and introduction of algebraic thinking.
Keywords for this page: Algebraic Thinking, Elementary, Geometric Patterns.
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SUMÁRIO
ÍNDICE DE FIGURAS MISTAS ................................................................................. 12
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 13
I – REFERENCIAL TEÓRICO .................................................................................... 15
1.1 Aspectos históricos e culturais do pensamento algébrico: ........................ 15
1.2 Ensino de Matemática e o Pensamento Algébrico: ................................... 16
II - METODOLOGIA ................................................................................................... 21
2.1 Objetivos da Pesquisa ................................................................................ 23
2.2 Opção Metodológica: Estudo de Caso. ..................................................... 23
2.3 A Observação ............................................................................................ 24
III – EXPERIMENTAÇÃO, OBSERVAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS............. 26
3.1 Caracterização dos Objetivos e Sujeitos da Pesquisa:............................... 26
3.2 Desenvolvimento das Atividades: ............................................................. 26
3.2.1 Atividade 1: .................................................................................................. 27
3.2.2 Atividade 2. .................................................................................................. 30
3.2.3 Atividade 3 ................................................................................................... 32
3.2.4 Atividade 4. .................................................................................................. 34
3.2.5 Atividade 5. .................................................................................................. 36
3.2.6 Atividade 6. .................................................................................................. 39
3.2.7 Atividade 7 ................................................................................................... 41
3.3 Análise Geral do Desenvolvimento das Atividades. ................................. 44
IV - CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................ 46
REFERÊNCIAIS .......................................................................................................... 47
APÊNDICE I ................................................................................................................ 50
APÊNDICE II ............................................................................................................... 53
11
ÍNDICE DE TABELAS E FIGURAS
Figura 1 – álgebra no ensino fundamental .................................................................... 19
Figura 2– Atividade 1. .................................................................................................. 27
Figura 3– Resolução da Atividade 1. ............................................................................ 28
Figura 4 – Resolução da Atividade 1. ........................................................................... 29
Figura 5 – atividade 2. .................................................................................................. 30
Figura 6 – Resolução da atividade 2. ............................................................................ 31
Figura 7- Atividade 3. ................................................................................................... 32
Figura 8- Resolução da atividade 3. ............................................................................. 33
Figura 9 - Atividade 4. .................................................................................................. 34
Figura 10 - Resolução da atividade 4. .......................................................................... 35
Figura 11 - Atividade 5. ................................................................................................ 37
Figura 12 - Resolução da atividade 5. .......................................................................... 38
Figura 13 - Atividade 6. ................................................................................................ 39
Figura 14 - Resolução da atividade 6. .......................................................................... 40
Figura 15 - Atividade 7. ................................................................................................ 41
Figura 16 - Resolução da atividade 7. .......................................................................... 42
12
ÍNDICE DE FIGURAS MISTAS
Figura 1 - Atividade 1. .............................................................................. 29
Figura 2 - Atividade 2. .............................................................................. 32
Figura 3 - Atividade 3. .............................................................................. 34
Figura 4 - Atividade 4. .............................................................................. 36
Figura 5 - Atividade 5. .............................................................................. 38
Figura 6 - Atividade 6. .............................................................................. 40
Figura 7 – Atividade 7. ............................................................................. 43
13
INTRODUÇÃO
A introdução à linguagem algébrica no Ensino Fundamental é por muitas vezes um
processo de mudança, pois o aluno que está de certo modo familiarizado com as bases da
aritmética inicia uma abordagem matemática que traz em si linguagem e simbolismo próprios.
No que se refere ao cálculo algébrico, é necessário que o aluno saiba manipular as operações
numéricas, bem como, suas propriedades, para estabelecer resoluções. Sendo assim, é
necessário que se estruture adequadamente atividades de ensino que contribuam para a
construção destes conceitos.
Nosso trabalho apresenta resultados de uma investigação com alunos de uma turma de
sétimo ano do Ensino Fundamental, que objetivou responder a seguinte questão: Quais as
contribuições da utilização de sequências de padrões geométricos para a introdução das
equações do primeiro grau?
Neste contexto, entendemos como sequência uma lista ordenada de números, objetos
ou eventos, que seguem determinada ordem, em um procedimento que se utiliza de figuras ou
formas geométricas, regulares em um modelo, o qual é denominado de padrão geométrico. É
claro que este padrão geométrico nos permite identificar o próximo elemento da sequência,
formalizando tal situação algebricamente.
Nosso trabalho está organizado em três capítulos. No primeiro apresentamos os
fundamentos teóricos baseados nas finalidades do ensino de Matemática para o Ensino
Fundamental. No segundo capítulo apresentamos nossos procedimentos metodológicos e por
fim, no terceiro capítulo apresentamos as análises decorrentes da observação e aplicação das
atividades.
É interessante observar que em virtude da escolha pela pesquisa qualitativa, em
particular, pelo estudo de caso, não almejamos um resultado final, mas sim buscamos
interpretar situações vivenciadas durante a investigação, além de descrevê-las com a
preocupação de estabelecer significados.
Percebemos dificuldades provenientes das quatro operações fundamentais, o que
dificulta o processo de introdução ao pensamento algébrico, mas também observamos que as
atividades propostas podem sim contribuir, desde que pensadas estrategicamente, ou seja,
desde que estejam de fato sendo apresentadas como formas para introduzir gradativamente a
14
mudança do pensamento numérico para o pensamento algébrico, sem desassociá-los e com
significados bem estabelecidos.
15
I – REFERENCIAL TEÓRICO
1.1 Aspectos históricos e culturais do pensamento algébrico:
Historicamente, existem relatos diversos sobre a possível “origem” da Álgebra, dentre
os aspectos históricos mais relevantes, destacamos o Papiro de Ahmes ou também conhecido
como Papiro de Rhind, datado de aproximadamente 1800 anos a. C., cujo nome fora dado em
honra ao escriba que o copiou por volta de 1650 a. C. Neste documento apresentavam-se
problemas com técnicas aritméticas mais elaboradas e formalizadas.
Segundo Boyer (2010), outra possível iniciação ao pensamento algébrico pode ser
dada a uma tabela que era muito útil aos babilônios, a qual continha uma tabulação dos
valores
para valores inteiros de
. Tal tabela era essencial na álgebra babilônia
alcançando níveis mais altos na Mesopotâmia e no Egito, onde muitos textos babilônicos
antigos nos mostram que não havia dificuldades entres eles para a resolução da equação
quadrática1 completa, pois haviam desenvolvido um sistema de cálculo com operações
algébricas.
Com registros históricos mais evidentes, temos como o precursor e também chamado
por muitos como o “pai da álgebra”, o matemático árabe Al-Khwarizmi, que viveu em Bagdá,
no século IX a. C. Alguns estudos defendem que a palavra “álgebra” originou-se de uma obra
de Al-Khwarizmi, considerado o tratado de Álgebra mais antigo, cujo título envolve a palavra
“al-jabr”.
Todavia, ainda vale ressaltar as contribuições deixadas pelo matemático grego
Diofante de Alexandria, que viveu no século III a. C. Diofante introduziu símbolos para
facilitar a escrita e os cálculos matemáticos. No entanto, tendo em vista que Diofante viveu
em uma época tumultuada por guerras que destruíram muitos centros de estudos, sua
simbologia não avançou do estágio inicial, sendo retomada somente após a ascensão do
império árabe, aproximadamente no ano de 650 d. C. no século VI da nossa era.
Na sequência da história da matemática, ainda destacamos René Descartes (1596 –
1650), d. C., que apresentou a álgebra relacionada a questões geométricas determinadas.
1 Definição de uma Função Quadrática completa é aquela que tem sua lei de formação dada por f(x) =
ax2 + bx + c, onde b e c são números reais e a ≠ 0
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Sobre o trabalho de Descartes, Boyer (2006) destaca: “Descartes insistia em que na solução
geométrica de uma equação deviam ser usados apenas os meios mais simples apropriados ao
grau da equação. Para equações quadráticas, retas e círculos bastam; para cúbicas e
quadráticas, secções cônicas.”
Sobre a geometria cartesiana, Du Sautoy (2007) destaca: “A geometria podia ser
reduzida à aritmética pelo uso de equações que descreviam as retas e pontos, e os pontos
podiam ser convertidos em números pela descrição de suas coordenadas no espaço.”
A ideia de equacionar lugares geométricos, impulsionada por Descartes, nos
demonstra a necessidade dos matemáticos em descobrir padrões, estabelecer regularidades,
para enfim encontrar e explicar regras anteriores à natureza dos elementos matemáticos
envolvidos.
“Desde então, técnicas de Álgebra puderam ser aplicadas na resolução de
problemas de geometria, e vice-versa, o que melhorou a compreensão e
facilitou o desenvolvimento desses dois ramos da Matemática.” (SBPC,
2003, p.33)
A partir disso, o formalismo algébrico desenvolveu-se até finalmente tratar de
estruturas mais elaboradas que estão amparadas na generalização de conjuntos e propriedades.
E embora, os estudos algébricos mais avançados não sejam objetos de estudo na educação
básica, a sua essência formalista faz parte da abstração, que deve ser incentivada junto com o
raciocínio lógico.
1.2 Ensino de Matemática e o Pensamento Algébrico:
A matemática é uma ciência que provém da construção humana, na qual seus
conceitos surgiram de acordo com as necessidades da sociedade em diferentes épocas e
situações. Sendo assim, o raciocínio matemático faz parte da nossa forma de se comunicar.
Por isso, o ideal é que a aprendizagem matemática esteja ao alcance de todos,
independentemente do contexto sociocultural, pois ela é parte integrante de nosso cotidiano.
“A linguagem, os símbolos e os padrões matemáticos bem assimilados e
utilizados sistematicamente em outras esferas da atividade e na ciência são
ferramentas de comunicação e sistematização fundamentais. Enriquecem a
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capacidade de transmissão, simplificam modos de pensar, ajudam a chegar
diretamente ao cerne dos problemas. Mais ainda, o bom manejo desses
elementos na linguagem oral clarifica a apresentação de ideias complicadas e
evita circunlóquios e rodeios na descrição de situações”.(MARKARIAN,
2004. P. 6)
Em particular, ao tratarmos a linguagem matemática no contexto escolar deparamonos com uma série de dificuldades de aprendizagem e temos consciência de que o
desempenho dos alunos é fruto de uma ação conjunta de diversos fatores. Sobre os objetivos
do Ensino de Matemática para o Ensino Fundamental, mais propriamente para o terceiro
ciclo, podemos destacar o desenvolvimento do pensamento numérico, algébrico e geométrico.
“Ao longo do ensino fundamental o conhecimento sobre os números é
construído e assimilado pelo aluno num processo em tais números aparecem
como instrumento eficaz para resolver determinados problemas, e também
como objeto de estudo em si mesmos, considerando-se, nesta dimensão, suas
propriedades, suas inter-relações e o modo como historicamente foram
constituídos.” (GIOVANI JR. E CASTRUCCI, 2005 p.45)
À medida que o raciocínio matemático vai sendo mais elaborados outros tipos de
situações-problema surgem, as quais necessitam de outros conceitos para serem resolvidas. O
pensamento numérico já não é mais suficiente para tratar de generalizações, surgindo assim, o
pensamento algébrico.
Diferentemente da Aritmética que visa encontrar uma solução numérica em
particular, a Álgebra volta-se para a dedução de procedimentos e relações, procurando
expressá-los de forma mais geral e simplificada.
No que diz respeito ao desenvolvimento do pensamento algébrico os Parâmetros
Curriculares Nacionais - PCN’s (2006) destacam que as situações de aprendizagem devem
levar o aluno a:
- Reconhecer que representações algébricas permitia expressar generalizações sobre
propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis
soluções;
- Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e
vice-versa, generalizando regularidades e identificar os significados das letras;
- Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para
construir estratégias de cálculo algébrico.
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De modo mais amplo, Bicudo (1999) destaca que a abstração matemática, o rigor do
raciocínio e a precisão dos conceitos favorecem a generalização e que podem ampliar as
possibilidades do saber matemático.
A mesma autora também aponta que o caráter abstrato surpreende os alunos, logo nos
primeiros contatos, pois traz um mundo de ideias cheio de representações, diferentes das
formas que estão acostumados pelas coisas materiais. Sendo que a matemática faz parte da
vida diária, as ideias e os procedimentos parecem muito diferentes, com relações lógicas
expressas em equações.
“Nas situações voltadas para a construção do saber matemático, o aluno é
solicitado a pensar – fazer inferências sobre o que observa, a formular
hipóteses -, não, necessariamente, a encontrar uma resposta correta.”
(BICUDO, 1999, p. 165).
Bicudo (1999) também comenta sobre a integração entre o saber cientifico e o
contexto pedagógico, apontando dificuldades de aprendizagem vinculadas ao rigor do
raciocínio matemático e a especificidade de sua linguagem.
Em relação às diferentes concepções do ensino de Álgebra, Coxford (1995) nos
apresenta a dificuldade dos alunos ao iniciar o estudo dos conceitos algébricos, os erros
cometidos sobre a linguagem matemática, principalmente na hora de fazer a leitura, ou de
organizar as ideias e reflexões algébricas.
Esses erros e dificuldades que os alunos
apresentam podem surgir da diferença entre a álgebra e a aritmética generalizada.
O mesmo autor julga que é preciso que haja uma compreensão do aluno nos
procedimentos e contextos aritméticos para depois ser reconhecido nas concepções algébricas.
Caso isso não aconteça o seu desempenho poderá ser afetado e a aprendizagem torna-se mais
difícil. Além disso, destaca que as dificuldades apresentadas pelos alunos não são da álgebra
propriamente dita, mais sim de problemas adquiridos já nos conceitos da aritmética.
Em geral, conceitos e conteúdos algébricos começam a ser introduzidos no 7º ano do
Ensino Fundamental e os PCN’S para o Ensino Fundamental destacam estes conteúdos como
um espaço significativo para o desenvolvimento de generalizações que visam a contribuir
com o desenvolvimento do aluno em relação à solução de problemas. Além disso, enfatiza a
importância da abstração para o desenvolvimento do aluno, contribuindo de forma
significativa no modo de pensar e expressar e concluir as resoluções de forma abstrata.
19
“O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno
desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a
aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas.” (BRASIL 1998, p.115).
Reportando-nos ao ato de resolver problemas, destacamos que em diversas situaçõesproblemas é possível encontrar um padrão de resposta. Mesmo que o resultado seja numérico,
seu processo de resolução manifestará a compreensão que o aluno teve do problema.
Neste contexto Brasil (1998), observa que é preciso existir um razoável consenso de
que para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico o aluno deve estar
necessariamente engajado em atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da
álgebra. Tais concepções podem ser sintetizadas, de forma simplificada conforme nos mostra
o quadro abaixo, bem como as diferentes interpretações da álgebra escolar e as diferentes
funções das letras:
Álgebra no ensino fundamental
Dimensões
Da álgebra
Uso das
letras
Aritmética
generalizada
Funcional
Equações
Estrutural
Letras como
Letras como
generalizações
variáveis para
Letras
Letras como
do modelo
expressar
Como
Símbolos
aritmético
relações e
Incógnitas
Abstrato
funções
conteúdos
(conceitos
eprocedimentos)
Propriedade
Calculo
das operações
Variação
Resoluções
algébrica
generalizadas
de
de
obtenção de
de padrões
Grandezas
Equações
expressões
aritméticos
equivalentes
Fonte BRASIL (1998), p. 116
Figura 1 – álgebra no ensino fundamental
20
Tal sistematização nos leva a observar que as primeiras noções algébricas podem
apresentar maior significado quando articuladas com a aritmética, neste sentido, Brasil (1998)
orientam:
“As atividades algébricas propostas no ensino fundamental devem
possibilitar que os alunos construam seu conhecimento a partir de
situações-problema que confiram significados à linguagem, aos conceitos e
procedimentos referentes a esse tema, favorecendo o avanço do aluno
quanto às diferentes interpretações das letras. Os contextos dos problemas
deverão ser diversificados para que eles tenham oportunidade de construir a
sintaxe. Das representações algébricas, traduzir as situações por meio de
equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis), e construir as
regras para resolução de equações”. (BRASIL 1998, p.122).
Ao considerarmos todas estas recomendações propostas, observamos que é necessário
promover a aprendizagem de modo significativo. Neste sentido, Moreira (2010) defende:
“Quando se fala em aprendizagem significativa podemos relacionar um novo conteúdo ou
ideia com um conjunto de informações já existente no conhecimento estrutural conjuntivo do
aluno.”
Neste sentido, é necessário que as atividades de ensino valorizem a apresentação de
propriedades matemáticas, desde que relacionadas a situações que levem o aluno a deduzir e
argumentar sobre suas resoluções. E isso será possível se o aluno conseguir identificar o
problema em questão com conceitos já adquiridos por ele, ou seja, a transição do pensamento
numérico para o pensamento algébrico deve ser planejada para que não haja descontinuidade
no processo de compreensão e apreensão de conceitos e conteúdos.
A partir disso, julgamos que a utilização de representações algébricas pode ser melhor
desenvolvida por intermédio de sequências de modo geral, neste caso, em particular, de
sequências de padrões geométricos.
Desta forma, é possível refletirmos sobre as contribuições que tais sequências podem
apresentar para a introdução do pensamento algébrico, mas especificamente, para a introdução
das equações do primeiro grau, pois acreditarmos que as sequências são problematizadoras,
ou seja, instigam o aluno a buscar abordagens de resolução, sendo assim, nosso objeto de
estudo.
21
II - METODOLOGIA
Nossa pesquisa tem como ideia central estudar as possíveis contribuições da utilização
de sequências com padrões geométricos na introdução do estudo das equações, em uma turma
de sétimo ano do ensino fundamental, sentimo-nos impelidos a realizá-la considerando o
pressuposto apontado por Pádua:
“Pesquisa é toda atividade voltada para a solução de problemas; como
atividade de busca, indagação, investigação, inquirição da realidade, é a
atividade que vai nos permitir, no âmbito da ciência, elaborar um
conhecimento, ou um conjunto de conhecimentos, que nos auxilie na
compreensão desta realidade, para nos orientar em nossas ações”.
(PADUA, 2004, p.31).
Com a intenção de elaborar o conhecimento na perspectiva apontada por Pádua,
norteamos nosso trabalho nos moldes da pesquisa qualitativa, cujas Características, são
elencadas Bogdan (in apud Triviños, 1987, p.128), e no contexto desta pesquisa destacamos
as seguintes:

A pesquisa qualitativa é descritiva

Os pesquisadores qualitativos estão preocupados com o processo e não
simplesmente com os resultados e o produto.

O significado é a preocupação essencial na abordagem qualitativa.
Para Kauark et. al (2010), uma pesquisa de cunho qualitativo estabelece uma relação
dinâmica entre o mundo real e o sujeito, que isto não é, um vinculo indissociável estabelecido
entre o mundo objetivo e a subjetividade do sujeito, que isto não pode ser traduzido em
números. Para eles a interpretação dos fenômenos e a atribuição de significados são básicas
para o processo de pesquisa qualitativa. Que isto não requer qualquer método estatístico, o
ambiente deve ser natural com a fonte direta para a coleta de dados, onde o pesquisador é o
instrumento-chave, sendo descritiva, onde ele analisa seus dados de forma indutivamente;
com o processo e seu significado sendo o foco principal de abordagem, justificando assim os
caminhos metodológicos que trilhamos nesta investigação, conforme detalharemos adiante.
No mesmo sentido Fonseca (2002), compreende que a pesquisa qualitativa tem uma
preocupação com os aspectos da realidade que não podem ser quantificados, o qual tem uma
centralização na compreensão e explicação voltadas a dinâmica das relações social, e seu
principal contra pontos voltados a o campo de atuação nas áreas da psicologia e da educação.
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Pelo exposto, entendemos assim que a pesquisa qualitativa objetiva também observar
um fenômeno e tentar explicá-lo, sendo valorizada neste processo a observação, descrição,
compreensão e finalmente, a construção de significados. Como existem diversas abordagens
de pesquisa qualitativa, optamos pelo Estudo de Caso, pois este apresenta características e
significados que nos possibilitam alcançar os objetivos propostos.
Em procedimentos investigativos, com atividades que inter-relacionem os diferentes
aspectos da álgebra, e aplicação de atividades, os quais têm por finalidade não apenas
encontrar um valor numérico da expressão algébrica, mas também propor situações em que o
aluno possa identificar padrões com representações geométricas, para que assim possa descrêla de um modo pratico e simbólico.
A ideia principal aqui contida para uma investigação através de sequências é estimular
o aluno no desenvolvimento da atividade a um pensamento puramente algébrico, onde as
respostas se darão de forma espontânea a partir da necessidade do próprio aluno. Nesta
generalização as incógnitas ou letras se apresente primeiramente como uma variável, para
promover no aluno o raciocino que os possibilitem resolverem as atividades propostas.
A aplicação metodológica foi por uma exposição do conteúdo no quadro, e durante a
explicação foi uma interação com os alunos para formulações de conceitos, na sequência
apresentaremos alguns exercícios que serão resolvidos em conjunto com os alunos que
serviram como exemplo, e após estes procedimentos foram expostos alguns exercícios para a
resolução, os quais serão resolvidos no quadro pelos próprios alunos.
Estes procedimentos metodológicos serão utilizados para trabalhar noções e
conceitos, também usamos o tangram, 2para criar no aluno noções espaciais através de figuras
geométricas, e desta forma fortalecer e levar conhecimento para identificação dos padrões.
Para concluir todo o processo investigativo, seguimos com aplicação das atividades,
que foram desenvolvidas com o intuito de interagir com o conhecimento adquirido. Estes
procedimentos são de suma importância para o desenvolvimento desta pesquisa, onde
buscamos observar o comportamento, os procedimentos e o raciocínio do aluno na construção
do conhecimento.
2
Tangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1
paralelogramo) Com essas peças podemos formar várias figuras, utilizando todas elas sem sobrepô-las.
Segundo a Enciclopédia do Tangram é possível montar mais de 1700 figuras com as 7 peças.
23
2.1 Objetivos da Pesquisa
Os objetivos específicos apresentados inicialmente sugerem que sejam selecionadas
sequências de padrões geométricos, abordadas em diversos livros didáticos para uma
introdução ao pensamento algébrico, também identificar como tal sequências pode contribuir
para a compreensão do conhecimento algébrico serem analisados através destes livros e
desenvolver algumas atividades de ensino, baseada nestas sequências, para ser analisar através
de suas aplicações, para relatarmos as possíveis contribuições de aprendizagem em uma turma
de sétimo ano do ensino fundamental.
Os livros didáticos o qual utilizamos para aplicação destes conteúdos e uma
abordagem que possibilite a construção de um conhecimento foram eles;

DANTE, (2005) “TUDO É MATEMÁTICA”

IEZZI et al, (2005) “MATEMÁTICA NA VIDA E NA ESCOLA”
Estes Livros nos apresentam algumas atividades voltadas à utilização de sequências
com padrões geométricos, que estimula um aprendizado do aluno, que em vez de usar uma
incógnita para representar o abstrato, se utiliza de formas geométricas. Com a utilização
destes livros, formulamos algumas atividades em forma de exercícios voltadas a utilização de
sequências com padrões, estes conteúdos foram expostos no quadro, explicados e
exemplificados de forma didática aos alunos.
Os métodos e procedimentos descritos tem como intenção a validação das hipóteses
iniciais, onde estas sequências didáticas elaboradas em forma de atividades nos levam ao
procedimento experimental, para estudo, observação, e aplicação de uma análise conclusiva.
2.2 Opção Metodológica: Estudo de Caso.
Destacamos que esta pesquisa se caracteriza como um Estudo de Caso, opção
metodológica eleita por enfatizar que o mesmo não pode ficar reduzido a uma hipótese ou
avaliar por um modelo teórico preconcebido, o qual decorre antes de tudo de um processo de
indução que se vai definindo e se delimitando na exploração dos contextos sociais, culturais,
intelectuais e políticos, onde se realiza o processo de pesquisa.
24
Robert K. Yin nos traz duas maneiras e uma definição técnica de estudo de caso,
sendo a primeira que o estudo de caso é uma investigação empírica, que investiga um
fenômeno contemporâneo em profundidade e em seu contexto de vida real, especialmente
quando os limites entre o fenômeno e o contexto não são claramente evidentes. O segundo a
maneira da investigação do estudo de caso, enfrentar a situação tecnicamente diferenciada em
que existirão muito mais variáveis de interesse, do que pontos de dados, e como resultado,
conta com múltiplas fontes de evidencias, com os dados precisando convergir de maneira
triangular, e como outro resultado, benefício do desenvolvimento anterior das proposições
teóricas para orientar a coleta e a analise de dados.
“A essência de um estudo de caso, a tendência central entre todos os tipos de
estudo de caso, é que ele tenta iluminar uma decisão ou um conjunto de
decisões: por que elas são tomadas, como elas são implementadas e com que
resultado.” (SCHRAMM, 1971. p. 32)
Nossa intenção com essa opção metodológica é compreender a problemática
apresentada á luz dos pressupostos de Scharamm expostos acima.
Os dados foram coletados em observações, relatórios e questionários em forma de
atividades, e em seguida buscaremos interpretações de acordo com os referenciais teóricos e
embasamento metodológico a qual são parte estrutural e fundamental deste instrumento de
pesquisa.
2.3 A Observação
Para observar o desenvolvimento das atividades pelos alunos tomamos como principio
norteador as ideias de Barbosa, et. al, (2008), que concebem a observação como uma técnica
de coleta de onde o pesquisador precisa ter clareza dos tipos das situações as quais merecem
registro, bem como também estar preparado para o registro de outros fenômenos que possam
surgir durante a observação, os quais não eram esperados no seu planejamento.
Conforme descrevem Gerhardt e Silveira (2009), a observação é uma técnica onde se
usa os sentidos que quando realizado em determinados aspectos se obtém a apreensão da
realidade. Desta forma podemos descrever um fenômeno ou fato investigado:
“Ela consiste em ver, ouvir e examinar os fatos, os fenômenos que se
pretende investigar. A técnica da observação desempenha importante papel
no contexto da descoberta e obriga o investigador a ter um contato mais
próximo com o objeto de estudo”. (GERHARDT E SILVEIRA 2009 p. 74).
25
Para as autoras a técnica de observação tem suma importância no entendimento dos
fatos, pois ela ocorre pelo contato direto entre o pesquisador e objeto pesquisado, o qual
obtém as informações observando a realidade dos fatos em seu âmbito social e físico no qual
ela acontece. No caso desta pesquisa a Observação configurou-se como um instrumento
importante para a realização da mesma.
Conceitualmente Kuark et. al, (2010), nos diz que a pesquisa é mesmo que a busca ou
a procura, portando procurar uma resposta para alguma coisa, desta forma quando se trata de
ciência, o resultado da pesquisa é a solução de um problema que alguém queira saber ou
encontrar a resposta. Logo não se deve dizer que se faz ciência, mas sim que a produz através
de uma pesquisa, onde a pesquisa é o caminho para se chegar à ciência, ou ao conhecimento.
26
III – EXPERIMENTAÇÃO, OBSERVAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS.
Neste capítulo apresentaremos a descrição das atividades desenvolvidas em nossa
investigação, bem como, nossas análises oriundas deste processo. Para isso, inicialmente,
descreveremos nosso ambiente e sujeitos da pesquisa.
3.1 Caracterização dos Objetivos e Sujeitos da Pesquisa:
O processo de experimentação para compor e validar esta pesquisa foi realizado no
Centro Educacional “Lindolfo José Trierweiller”; localizado à Avenida dos Ingás, 3001,
centro, na cidade de Sinop-MT, com alunos do sétimo ano da turma “A”. Este trabalho foi
realizado em dois dias, iniciando-se no dia 13 de agosto de 2013, às 13h com término às 15h;
e no dia 14 de agosto de 2013, com inicio às 15h e término às 17h. No primeiro dia estavam
em sala de aula 24 alunos, e no segundo dia 25 alunos; com 2 alunos especiais, o qual se fez
necessário que permanecesse na sala de aula a professora intérprete que auxilia estes alunos
na realização de suas atividades.
Como já mencionado anteriormente, nossa pesquisa buscou investigar quais as
contribuições da utilização de sequências de padrões geométricos para a introdução das
equações do primeiro grau, ressaltando que não é nosso objetivo trabalharmos explicitamente
com tais equações, mas tão somente, analisar o processo da aquisição de significados e
procurar avaliá-los.
O procedimento de investigação fundamentou-se na aplicação de sete atividades que
visaram contribuir no desenvolvimento de habilidades como generalização de propriedades
aritméticas e noções de regularidades baseadas nos padrões geométricos.
A seguir descreveremos as atividades propostas.
3.2 Desenvolvimento das Atividades:
A princípio apresentamos nossa proposta aos alunos e no processo de aplicação das
sete atividades a qual foi aplicada no segundo dia, onde estavam presentes 25 (vinte e cinco)
alunos, que a resolveram de forma individual, sem interferência do pesquisador.
27
3.2.1 Atividade 1:
A presente atividade deve então proporcionar ao aluno a percepção de uma quantidade
de pontos presentes na figura com uma suposta regra de formação (padrão). A partir do
momento em que o aluno puder perceber esta relação, tinha-se então o objetivo de levá-lo a
prever para qualquer posição o número de pontos que a mesma possuiria, construindo assim, a
ideia de regularidade e padronização.
Além disso, reconhecida a lei de formação, estaríamos conduzindo o aluno a praticar a
linguagem algébrica, facilitando a transição do pensamento numérico para o pensamento
algébrico.
1 -) Na sequência abaixo vamos observar e relacionar a posição com a quantidade de pontos
que ele apresenta:
Posição 1
Posição 2
Posição 3
Posição 4
a) Registre a sequência, utilizando uma tabela do tipo abaixo.
Posição
Quantidade de pontos
nº1
3
nº2
6
nº3
9
b) Qual será o número de pontos da posição 8,
nº4
nº5
Tente descobrir sem completar a
sequência. E qual é o da posição 10?
c) Escreva uma expressão e uma frase que representem o número de pontos de um
cartão numa posição n qualquer.
Figura 2– Atividade 1.
Ao analisarmos as respostas apresentamos à seguinte:
28
.
Figura 3– Resolução da Atividade 1.
A figura acima retrata a resposta considerada correta para tal atividade. No entanto, apenas7
(sete) alunos a concluíram de forma correta, e os demais apresentaram certa dificuldade própria da
aritmética, com erros de cálculos de multiplicação.
A sequência apresentada na atividade tem uma regra de formação representada por
(3n), ou seja, 3 vezes a posição da figura. Na observação durante a realização das atividades,
pôde-se perceber que muitos dos alunos apresentam dificuldades em multiplicar, e por esse
motivo a assimilação dos conceitos de generalização de regularidade ficaram comprometidos.
Podemos observar as dificuldades e os erros cometidos na execução de cálculos
aritméticos através da resposta de um aluno na figura abaixo, onde suas respostas não
obedecem nenhum critério de procedimento operatório matemático.
29
Figura 4 – Resolução da Atividade 1.
Estas dificuldades são próprias dos alunos, os quais admitem não se interessar em
cálculos matemáticos, embora o professor regente trabalhe essas dificuldades, elas ainda
continuam entre eles, os quais estão mais preocupados com as diversões, brincadeiras e
celulares, e outros atrativos, e acabam deixando os estudos de lado.
Assim como este modelo de resposta, encontramos também situações nas quais os
alunos não desenvolveram corretamente todos os cálculos ou descreveram a lei de formação
de modo adequado, caracterizando assim, questões parcialmente corretas. A partir disso,
sistematizamos os modelos de resolução apresentados como segue.
Acertos
4
3
2
1
0
Total
Quantidade
Alunos
Porcentagem
07
28 %
03
12 %
09
36%
06
24 %
00
00 %
25
100 %
Atividade com 4 Soluções
Figura 1 - Atividade 1.
0%
24%
36%
28%
12%
30
Para melhor entender os resultados apresentados nesta atividade, trazemos esta
demonstração gráfica, que a observarmos podemos ver que, conforme já apresentamos
anteriormente temos uma pequena quantidade de alunos, sendo 28 % os que resolveram a
questão corretamente de acordo com os conceitos algébricos. Onde podemos concluir que é
preciso muito mais que aplicar uma sequencia com padrões geométricos para que haja um
entendimento e aprendizado significativo.
Em primeiro lugar é preciso sanar as dificuldades destes alunos com a aritmética, para
depois trabalhar e extrair um resultado significativo através destes conceitos. As figuras
geométricas despertaram o interesse a curiosidade dos alunos a formularam conceitos, mas
não foi suficiente na hora de desenvolver a atividade, que apresentava formas e padrões em
uma regra simples de multiplicação.
3.2.2 Atividade 2.
Com o intuito de provocar um espirito de observação despertar o interesse em
expressões algébricas, esta atividade faz com que o aluno use o raciocínio, e formule ideias,
consiga expressar e desenvolver as questões de generalização.
2-) Identifique a figura construída por retângulos que não pertence à sequência da série
dada.
1
2
3
4
5
a) Quantos retângulos possuirá a próxima figura da série?
b) Qual será a quantidade de retângulos que deveria conter a figura 4?
c) Quantos retângulos possuem a figura que contém 3 retângulos em sua base?
Figura 5 – atividade 2.
Esta atividade busca em seu desenvolvimento, extrair do aluno os conceitos adquiridos
e uma percepção, e a variação entre o interesse e a observação. Quando perguntamos qual a
figura não pertence à sequência desta série, temos a intenção de despertar um espirito
conclusivo e o raciocínio logico, pois uma figura diferente entre outras figuras é muito fácil
31
de encontrar. Só por si não resolve a questão, é preciso que o aluno desenvolva um raciocínio
para descrever a regra de formação, que possa descrever toda sequencia em seu padrão.
Este tipo de atividade busca uma resposta simples, mas que para o aluno que ainda não
teve contato com expressões algébricas, não é assim tão fácil. Pois a generalização não faz
parte de seus conhecimentos é preciso adquiri-lo, é para isso uma introdução com expressões
através de sequencias pode ajudá-los no entendimento e no desenvolvimento de seu raciocino
para o entendimento destes tipos de problemas.
Um modelo para resposta satisfatória a questão é apresentado na figura abaixo.
Figura 6 – Resolução da atividade 2.
Para a resolução deste exercício, os alunos pareciam estar mais familiarizados com o
assunto e até mesmo associavam as figuras à construção de um muro com tijolos. Desta forma
o objetivo da atividade foi atingido e estimulou o senso de observação dos alunos, que
acabaram se superando em suas outras dificuldades matemática. Os resultados alcançados
nesta atividade foram satisfatórios, com 12 (doze) alunos resolvendo corretamente, e os
demais alunos com muito poucos erros de interpretação.
Ao identificarem na sequência qual a figura que não pertencia a ela, os alunos
conseguiram entender o mecanismo de construção da série e com isto formular novos
conceitos que lhes ajudaram na resolução da atividade. Outro fator determinante para o bom
resultado foi ter trabalhado com os elementos visíveis da sequência.
Com relação às demais respostas, destacamos a seguinte análise.
32
Quantidade
Alunos
Porcentagem
Acertos
4
3
2
1
0
Total
4%
12
48 %
07
28 %
05
20 %
01
04 %
00
00 %
25
100 %
Atividade com 4 Soluções
0%
20%
48%
28%
Figura 2 - Atividade 2.
A atividade promoveu o desenvolvimento do pensamento algébrico, e também
podemos percebermos que ela despertou o espírito de observação e o raciocínio logico,
sendo isto essencial para as conclusões e formulações dos conceitos matemáticos que a
atividade necessitava.
3.2.3 Atividade 3
A próxima atividade gera uma sequência numérica formada por quadrados perfeitos,
por meio de uma aglomeração de triângulos. Nesta atividade o aluno era estimulado a
completá-la, diferentemente da atividade anterior que o estimulava a identificar o elemento
não pertencente à sequência.
3-) Observe a sequência de triângulos e construa a que está faltando que completa a série da
sequência. A seguir responda as questões apresentadas.
1
2
3
4
5
a) Qual será o número de triângulos da próxima figura da série dada?
b) Quantos triângulos possuem a figura 4 da série da sequência acima?
c) Dê sua opinião, se em vez de usar triângulos seria melhor usar outro símbolo para
melhor compreender a sequência desta atividade.
Figura 7- Atividade 3.
Tendo em vista que falta um elemento da sequência, procuramos investigar o modo de
observação dos alunos para que individualmente e indutivamente possam construir a regra
33
que descreve a sequência. Além disso, a partir deste entendimento, os questionamos sobre
outra escolha de figura geométrica.
Nesta atividade, buscamos fortalecer o conhecimento já adquirido pelo aluno, através
de uma construção espacial, por isso apresentamos círculos em uma sequencia par, que
envolve a aritmética, e a geometria e os conhecimentos já adquiridos pelo aluno, em sala ou
pela própria percepção da realidade. Esta atividade tem a intenção de fortalecer seus conceitos
e estimulá-lo a adquirir um pensamento algébrico.
Figura 8- Resolução da atividade 3.
Embora a atividade não questione a regra de formação da sequência, ela sugere a regra
. Somente oito alunos conseguiram resolver e expressar suas ideias de forma correta e
satisfatória nesta atividade.
Notamos que em algumas situações os alunos multiplicaram por três o números 4
obtendo 12 triângulos. Julgamos que tal procedimento esteja associado a figura triangular.
Além disso, destacamos que no item C não encontramos respostas que nos trouxessem
material para análise. Em verdade, buscávamos que por ventura pudessem estabelecer
algumas comparações, como por exemplo, se considerássemos quadriculados ao invés de
formas triangulares.
Com isso, apresentamos os resultados da atividade.
34
Quantidade
Acertos
Alunos
Porcentagem
4
08
32 %
3
05
20 %
2
06
24 %
1
05
20 %
0
01
04 %
Total
25
100 %
Atividade com 3 Soluções
4%
20%
32%
24%
20%
Figura 3 - Atividade 3.
Com uma observação gráfica, percebemos uma média de acerto interessante e
aceitável, por outro lado gostaríamos de destacar que estes alunos ainda não tiverem nenhum
contato se quer com expressões algébricas, desta forma esse resultado pode ser considerado
razoável, é que essa atividade contribuiu de certa forma para esse desenvolvimento, através
das formulações dos conceitos e das expressões e suas generalizações.
3.2.4 Atividade 4.
A construção e elaboração desta atividade esta voltada a sequências com padrões
geométricos circulares, os quais se associam aos conceitos já adquiridos anteriormente pelos
alunos de formação numeral de números pares e impares.
Ao pedirmos a construção de uma sequência com padrões geométricos em forma de
círculos, temos a intenção de fazer com que os conceitos espaciais adquiridos por eles se
manifestem em suas conclusões e respostas.
4 - ) Construa uma série de números pares de 2 a 10 com círculos.
a) Quantos círculos possuirá a sequência se continuasse ao atingir a sexta sequência
desta série?
b) Se a sequência fosse ímpar quantos círculos possuiria o terceiro elemento da série?
c) Descreva o que você conseguiu entender nesta atividade.
Figura 9 - Atividade 4.
Quando falamos em uma sequência composta por figuras em forma de círculos,
buscamos estimular o aluno a relacionar o desconhecido com algo já conhecido por ele, neste
35
caso o círculo, objetivando o entendimento do processo sequencial por padrões geométricos,
os quais serão apresentados através da construção da série, e estimular estes alunos para uma
descrição de toda a sequência, a qual ele mesmo a construiu.
Ao colocar a possibilidade do próprio aluno construir uma série, damos a ele a
oportunidade de descrever todo o conhecimento adquirido dentro do processo, onde em seu
desenvolvimento ele nos fornecera o grau de conhecimento adquirido por ele, e como estes
conceitos se estabelecem no desenvolvimento dos pensamentos algébricos.
Figura 10 - Resolução da atividade 4.
Em uma análise detalhada desta atividade, obtivemos 15 alunos que a desenvolveram
de forma clara e correta, os quais conseguiram se expressar de acordo com rigores e
condições que esperávamos para esta atividade.
Também podemos perceber que estes alunos possuem um conhecimento em relação
aos conceitos numéricos, os quais sabem diferenciar os números pares dos números ímpares.
Em suas manipulações e procedimentos descreveram o processo de forma satisfatória,
pertinentes a um entendimento sequencial os quais são necessários para o desenvolvimento e
aprendizado.
A regularidade nesta atividade apareceu de forma natural através do entendimento do
próprio aluno, o qual a construiu através da uma regra de formação representada por (n+2),
onde encontramos em suas descrições e respostas, as noções de percepção necessárias a
construção dos conhecimentos algébricos.
36
Quantidade
Acertos
Alunos
Porcentagem
4
15
60 %
3
06
24 %
2
02
08 %
1
01
04 %
0
01
04 %
Total
25
100 %
Atividade com 4 Soluções
8%
4% 4%
60%
24%
Figura 4 - Atividade 4.
O gráfico dessa atividade nos remete a uma analise já descrita anteriormente; que
esta atividade atingiu seu objetivo, por ser mais simples e com conceitos e conhecimento já
adquirido pelos alunos.
Onde houve um entendimento quase generalizado pelos alunos dos procedimentos e
métodos adequados para descrever e construir a série de acordo com o esperado, percebemos
em suas formulações e generalizações, que as variáveis se apresentaram através da construção
prática adquirida e um raciocínio lógico.
3.2.5 Atividade 5.
Nesta atividade as manipulações algébricas se apresentam em forma de
agrupamentos de quadros, objetivando formular opiniões a extrair o conhecimento adquirido
em busca da construção do saber algébrico.
As formas geométricas agrupadas para formar outra forma, provoca uma ilusão
visual no aluno, o qual se depara com uma realidade, onde tudo se transforma, e esta
transformação provoca um conhecimento, onde a percepção e observação se apresentam, o
qual ajuda a construir novos conceitos e estimular a curiosidade e apresentar uma solução.
37
5 - )Na série a seguir identifique qual é a sua sequência.
1
2
3
4
a) Quantos quadrados fazem parte do sexto elemento da série?
b) Construa o próximo elemento pertencente à sequência de serie acima.
c) Escreva com suas palavras o que você entendeu de sequência e séries.
Figura 11 - Atividade 5.
A generalização surge para auxiliar no reconhecimento de padrões, esta atividade
exploratória tem com finalidade de fazer com que o aluno identifique através do raciocínio as
propriedades das relações que estão contidas nela, para formular conceitos de
proporcionalidade, sendo este aspecto essencial no desenvolvimento do pensamento
algébrico.
A identificação se faz presente nas relações praticas onde o aluno descreve através de
um conhecimento o entendimento relacionado a algo que o estimula, desta forma esta
sequencia pretende provocar no aluno um sentido de organização, adaptando os conceitos a o
qual ele já possui a novos adquiridos.
Para fortalecer e dar sustentação a pratica desta atividade aqui proposta nos baseou em
uma visão conclusiva e descrita conforme segue:
Nesta atividade buscamos trabalhar novamente um conceito diferenciado de percepção
de cunho algébrico de generalização e observação, igualmente a já trabalhada na atividade 2,
consideramos esta atividade bem mais difícil que as demais aplicadas.
38
Figura 12 - Resolução da atividade 5.
O objetivo de criar uma dificuldade maior para os alunos, através desta atividade faz
com que nos possibilite um melhor entendimento de como se da à construção dos
conhecimentos nestes alunos.
Apresentamos algo que parece fácil mais que tem uma lei de formação bem mais
elaborada de difícil percepção, principalmente para estes alunos que se quer ainda trabalharam
estes conceitos e procedimentos, que tem uma lei de formação sequencial dada por, (
).
Nesta atividade cinco alunos nos surpreenderam a o responder de forma satisfatória
devido a grande grau de dificuldade que esta atividade possui. Além disto, podemos dizer que
muitos não conseguiram resolver de forma correta, sendo este resultado o qual nos mostra que
realmente houve um entendimento por partes dos alunos do que é uma sequência com padrões
geométricos.
Podemos destacar que esta atividade fez com que o aluno estimulasse o seu
pensamento para chegar a uma resposta, independentemente da qual ela seja, assim
concluímos que ela atingiu o objetivo inicial do pesquisador, que e de estimular o aluno a
pensar para construir um conhecimento.
Acertos
3
2
1
0
Total
Quantidade
Alunos
Porcentagem
05
20 %
06
24 %
09
36 %
05
20 %
25
100 %
Atividade com 3 soluções
Figura 5 - Atividade 5.
0%
0
20%
20%
3
24%
1
36%
2
39
Claramente este gráfico nos remete a situação criada ao elaborar esta atividade, um
grau de dificuldade maior, mais com um resultado significativo para o entendimento e
conclusão desta pesquisa.
Poucos alunos não conseguiram desenvolver a atividade, com uma grande parte
desenvolvendo de forma adequada aos conceitos algébricos. Alguns resultados apareceram de
formal natural, os conceitos apresentados foram conclusivos para este pesquisador poder
afirmar que houve a aquisição de um conhecimento através deste procedimento metodológico,
o qual pode ser ainda mais expressivo quando aliado a aprendizagem dos conceitos aritmética.
3.2.6 Atividade 6.
A proposta inicial desta atividade de buscar conhecimento do aluno um senso crítico e
de noções espaciais, aliados as os conceitos geométricos, apresentado através de um
agrupamento de círculos formando um quadrado.
Para levá-lo a um relacionamento organizacional na construção de conceitos e
procedimentos matemáticos formulados para a obtenção dos resultados de cunho algébrico.
.
6 - ) Ordene esta sequência corretamente.
1
2
3
4
5
a) Quantos círculos possui o terceiro elemento da série, depois de ordenada
corretamente?
b) Podemos observar e responder se esta série é uma série de quadrados perfeitos,
apesar de ela ser construída com círculos?
c) O que são sequência de números naturais, dê um exemplo de sequência dos números
naturais escreva-os até o número 12.
Figura 13 - Atividade 6.
40
Intencionalmente estimulamos o aluno a encontrar uma resposta, para que desta forma
possamos entender os efeitos prévios adquiridos, as razões e proporções de conhecimento que
a atividade promoveu dentro de um entendimento abstrato e matemático.
Figura 14 - Resolução da atividade 6.
As noções de espaço e lógica numérica formularam os conceitos proposto na série,
onde os conhecimentos geométricos se fizeram necessários para a construção e formular uma
resposta. Sendo que 11 (onze) alunos conseguiram realizá-la de forma correta, e as demais
respostas se aproximaram de uma solução razoável para a atividade.
Como inicialmente esperávamos esta atividade apresentou e extraiu destes alunos os
conceitos de generalização que a série desejava, e realizou o entendimento dos conceitos
algébricos. E estimulou-os na busca de uma solução, onde estes alunos conseguiram na sua
maioria entender os procedimentos e o mecanismo de resolução ocultos na atividade.
Acertos
4
3
2
1
0
Total
Quantidade
Alunos
Porcentagem
11
44 %
03
12 %
06
24 %
01
04 %
04
16 %
25
100 %
Atividade com 4 Soluções
Figura 6 - Atividade 6.
16%
4%
44%
24%
12%
41
Em um olhar mais observador podemos afirmar que esta atividade faz com que o
aluno desenvolva o raciocínio logico, e desta forma contribuiu na aquisição de novos
conhecimentos para o aluno. E surtiu efeitos desejado, onde tivemos um bom percentual de
acertos, com 11 (onze) alunos resolvendo de acordo com o esperado. Ao destacar que estes
resultados são satisfatórios, afirmamos também que esta atividade promoveu uma construção
proporcional considerável nos conhecimentos destes alunos, e estes conceitos adquiridos os
levam a uma visão critica de cunho algébrico.
Destacamos que este tipo de atividade apresenta um significado, que realmente pode
ser trabalhada em sala de aula, para que os alunos adquiram um conhecimento voltado aos
conceitos algébrico necessário para construir as noções de generalizações próprias, para a
introdução das equações de primeiro grau.
3.2.7 Atividade 7
Ao formularmos esta questão, pretendemos extrair e saber o que realmente os alunos
entenderam sobre sequências com padrões geométricos. Tal atividade induz o aluno a
construir uma série.
7 - ) Construa uma série de sequência com máximo de 8 elementos com padrões geométricos
de sua escolha.
a) O que você entende por padrão Geométrico?
b) Para você o que é uma sequência? Descreva de acordo com o seu entendimento.
c) O que você achou destas atividades, é mais fácil usar objetos geométricos de que
símbolos e letras para entender o pensamento algébrico.
Figura 15 - Atividade 7.
De acordo com as características e procedimentos didáticos elaboramos esta atividade,
visando uma solução que seja construída pelo próprio aluno, o qual construirá e se expressará
de acordo com o aprendizado adquirido dentro de todo o processo investigativo.
42
Figura 16 - Resolução da atividade 7.
Podemos aqui confirmar o que havíamos observado anteriormente que a figura
geométrica preferida pelos alunos e o círculo, ou seja, bolinhas, a maioria descreveu a serie
com este padrão, mas poucos atingiram objetivo de resolver e se expressar corretamente, onde
apenas 5 (cinco) alunos conseguiram chegar a uma resposta adequada para o que se pedia na
atividade.
A atividade lógica tem o objetivo de contribuir para a formação do individuo, desta
forma estimula o individuo a criar ferramentas e mecanismos indispensáveis na resolução de
problemas.
É claro que a variação de respostas está ligada a diferenças de aprendizagem de cada
individuo, sua construção de conhecimento, seu tempo de aprendizagem, e isto faz com que
cada um adquira uma organização diferenciada nos seus pensamentos e ideias, para os
conceitos e assimilações de fórmulas das expressões que envolvem a aritmética e a álgebra e
suas generalizações.
As respostas dos alunos para esta atividade, quando perguntamos a eles o que eles
entendiam por padrões geométricos, nos confirmam a forma de pensamentos distintos de cada
um deles, pois tivemos algumas respostas bem simples como são padrões de figuras, ou ainda
de formas geométricas, ou círculos e outras formas geométricas, ou apenas figura. Assim
43
quando analisamos podemos perceber que até as respostas que se semelhantes contém alguma
coisa que as diferenciam das outras.
Para eles o entendimento de sequência, é alguma coisa que vem depois da outra, ou
um numero após o outro que segue uma regra de formação, também encontramos algumas
respostas bem sem sentidos como apenas números e letras, e outros que se quer escreveram
algo sobre o que entende como sequência.
Quando perguntamos o que eles acharam deste tipo de atividade, se para eles era mais
fácil o entendimento através de sequências com padrões geométricos, obtemos algumas
respostas bem contraditórias, para uns era mais fácil e para outro muito difícil e outros apenas
escreveram que sim, sem dar uma opinião palpável sobre os que lhe foi pedido.
Quantidade
Acertos
Alunos
Porcentagem
4
05
20 %
3
10
40 %
2
05
20 %
1
01
04 %
0
04
16 %
Total
25
100 %
Atividade com 4 Soluções
16%
4%
20%
20%
40%
Figura 7 – Atividade 7.
O gráfico nos mostra que existe um aprendizado, o qual não é total, mas sim parcial,
que este tipo de atividade promove e estimula para um aprendizado, e construído de forma
clara pela observação. Ou ainda na organização de suas ideias para formular os conceitos e
procedimentos, adquiridos pela pratica e relacionado a o espaço e a realidade a qual pertence,
entre o concreto e o abstrato.
Para fortalecer e dar sustentação as bases algébricas, onde o desenvolvimento destas
atividades esta voltada para a construção do conhecimento, com a percepção das variáveis e a
abstração matemática, as atividades aqui proposta tem o objetivo de formular uma visão
conclusiva e descrita conforme segue:
44
Temos Lopes, et. al. (2006), o estimulo da aprendizagem se encontram em quatro
estágios diferenciados, sendo eles: a capacidade, a lei do exercício ou da pratica, motivação e
similaridade entre problemas resolvidos.

Capacidade - esta teoria supõe que o comportamento do homem siga os
princípios gerais do comportamento operante, isto é, da associação
condicionada entre Estímulo e Resposta.

Lei do exercício ou da prática – Os exercícios e a prática reforçam a
aprendizagem.

Motivação – A recompensa aumenta o estímulo à aprendizagem ao passo que a
punição não tem nenhuma força enfraquecedora correspondente.

A similaridade entre os problemas resolvidos - onde repetições favorecem o
intuitivo e absorver com a transferência da aprendizagem.
3.3 Análise Geral do Desenvolvimento das Atividades.
Em um analise geral podemos dizer que esta pesquisa atingiu os seus objetivos, que
este tipo de atividade promove e desenvolve o senso critico e o raciocínio lógico, e faz com
que o aluno adquira um conhecimento. Assim podemos concluir que quando forem sanados
os problemas apresentados pelos alunos no desenvolvimento de cálculos aritméticos,
especificamente os de divisão e multiplicação, os resultados poderão ser bem mais
expressivos e significativos dos que os que aqui descrevemos e apresentamos.
Deste modo podemos dizer que às vezes nem todos os alunos conseguiram dar uma
resposta imediata, devido à falta de percepção as regularidades, ou mesmo das generalizações,
por terem poucas oportunidades de trabalharem com estes tipos de conteúdos. Mas este é um
dos mais importantes aspectos para o aprendizado, e desta forma provoca a curiosidade e
estimula, promovendo o desenvolvimento do pensamento a um raciocínio lógico e algébrico.
Concluímos que este tipo de atividade estimula o a aluno, o qual constrói as noções de
espaços e faz com que haja uma reorganização em suas ideias, para novos procedimentos
estruturais da realidade, e isto faz com que construa um conhecimento que os permitem a
resolver problemas que estão inseridos em seu cotidiano.
45
O pensamento algébrico quando trabalhado desta forma, trás uma contribuição
significativa ao conhecimento, onde o aluno esta conectado diretamente com a realidade e o
espaço físico e social a qual pertence.
Segundo Dante (1996), para avaliar a capacidade de raciocínio matemático do aluno,
“é preciso verificar se ele identifica padrões, formula hipóteses e faz conjecturas. Por
exemplo, peça que ele descubra como começaram e como continuam as sequências: É
preciso verificar ainda se ele analisa situações para identificar propriedades comuns; e
também se ele utiliza o raciocínio espacial ou proporcional para resolver problemas”.
Conforme descreve Dante (1996), a essência do conhecimento matemático são os
conceitos, desta forma os alunos só poderão dar um significado á matemática se
compreenderem tais conceitos e seus significados. Para uma melhor avaliação deste
conhecimento através dos conceitos e suas compreensões é preciso que seja descritas pelos
próprios alunos.
Também podemos avaliar seus conhecimentos ao identificar se são capazes de
visualizá-los e defini-los, e se conseguem identificar e produzir exemplos e contra exemplos,
através de um modelo, com diagramas e símbolos, ou ainda representar seus conceitos;
passando de uma forma de representação para outra, e reconhecer seus vários significados e
suas interpretações para depois integrá-los.
“A avaliação do conhecimento de procedimentos dos alunos deve indicar se
são capazes de executar uma atividade matemática com confiança e
eficiência; de justificar os passos de um procedimento, reconhecer se ele é
adequado ou não a determinada situação e se funciona ou não; e,
sobretudo, se são capazes de criar novos procedimentos corretos e simples”.
(DANTE 1996 p.21).
Gostariamos de destacar que os resultados aqui apresentados não foram o esperado
inicialmente, mais que foram capazes de ciar novos procedimentos. E por outro lado destacar
que também atingimos o objetivo principal, de promover e desenvolver o pensamento
algébrico em uma turma do sétimo ano do ensino fundamental, e os resultados aqui
apresentados nos fortalece para que possamos formular novos conceitos, e se expressar de
uma forma critica, pelas observações e a pratica pedagógica. Criando noções de espaço nestes
alunos, promovendo e incentivado a um desenvolvimento algébrico que lhes possibilitará o
entendimento das equações de primeiro grau através desta introdução de sequências
apresentada neste trabalho.
46
IV - CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após a realização e observação dos dados extraídos durante as aulas e na aplicação das
atividades propostas aos alunos do 7º ano A do Centro Educacional “Lindolfo José
Trierweiller”, podemos afirmar que foi de grande valia e que promoveu o entendimento e
despertou a potencialidade dos alunos, durante as atividades onde o raciocínio lógico e
geométrico, despertam a criatividade e o raciocínio, com tal objetivo, estes elementos são de
suma importância para o processo de aprendizagem e resolução de problemas matemáticos de
cunho algébricos; que envolve padrões e sequências que se fazem presentes no cotidiano de
cada um destes alunos.
Também percebemos que os alunos gostam de mudanças e forma diversificadas de
metodologia para participarem da aula; no início da aula parecia que seria impossível
controlá-los, onde todos faziam brincadeiras uns com outros estavam distraídos e
desinteressados; mas aos pouco de acordo com a apresentação do conteúdo e no
desenvolvimento da matéria, a participação foi melhorando e os alunos começaram a
participar e a interagir, formulando perguntas e dando ideias e apresentando soluções mesmo
antes de serem questionados.
Ao analisar as atividades podemos dizer que foi muito gratificante participar desta
atividade em sala de aula, vivenciar uma realidade de um professor no seu dia a dia. Pois
além de ter um contato direto com os alunos, nesta sala havia dois alunos com deficiência;
este fato possibilitou um grande aprendizado a este futuro professor, que adquiriu uma
experiência, de como se entender e trabalhar com estes alunos, bem como também apresentar
um resultado de analise de dados através da observação e das atividades.
Quando passamos por essa experiência, nos deparamos com uma realidade da escola e
do próprio aluno, suas dificuldades e necessidades do dia a dia, que nos faz refletir sobre as
questões de ensino é aprendizagem qual será o caminho, assim nos perguntamos: algum dia
seremos nós capazes de superar essas adversidades, quem vai conquistar este mundo cheio de
diferenças e modificações a qual vive a educação, de que forma isto pode acontecer; qual será
o nosso futuro como professor e educador, em que o resultado desta pesquisa que realizamos
pode contribuir com a educação, qual a melhor forma metodológica para que a educação não
seja apenas um sonho, mas sim que ela se torne uma possível realidade.
47
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50
APÊNDICE I
ATIVIDADES DE APLICAÇÃO DO PROJETO DE PESQUISA
Acadêmico. Carlos Antônio Serafim.
Orientadora. Prof.ª: Ma. Chiara Maria Seidel Luciano Dias
1 - ) Na sequência abaixo vamos observar e relacionar a posição com quantidade de pontos
que ele apresenta:
POSIÇÃO 1
POSIÇÃO 2
POSIÇÃO 3
a) Registre a sequência, utilizando uma tabela do tipo abaixo.
Posição
nº 1
nº 2
nº 3
Quantidade de pontos
3
6
9
POSIÇÃO 4
nº 4
nº 5
b) Qual será o número de pontos da posição 8. Tente descobrir sem completar a sequência. E
qual é o da posição 10.
c) Escreva uma expressão e uma frase que representem o número de pontos de um cartão numa
posição n qualquer.
2 - ) Identifique a figura construída por retângulos que não pertence à sequência da série dada.
1
2
3
4
a) Quantos retângulos possuirá a próxima figura da série.
5
b) Qual será a quantidade de retângulos que deveria conter a figura 4.
c) Quantos retângulos possui a figura que contém 3 retângulos em sua base.
51
3 - ) Observe a sequência de triângulos e construa a que esta faltando que completa a série da
sequência.
1
2
3
4
a) Qual será o numero de triângulos da próxima figura da série dada.
5
b) Quantos triângulos possuem a figura 4 da série da sequencia acima.
c) De sua opinião, se em vez de usar triângulos seria melhor usar outro símbolo para
melhor compreender a sequência desta atividade.
4 - ) Construa uma série de números pares de 2 a 10 com círculos.
a) Quanto círculo possuirá a sequencia se continuasse ao atingir a sexta sequencia desta
série.
b) Se a sequência fosse impar quantos circulo possuiria o terceiro elemento da série.
c) Descreva o que você conseguiu entender nesta atividade.
5 - ) Na série a seguir identifique qual é a sua sequência.
1
2
3
4
a) Quantos quadrados fazem parte do sexto elemento da série.
b) Construa o próximo elemento pertencente a sequência de série acima.
c) Escreva com suas palavras o que você entendeu de sequência e séries.
52
6-) Ordene esta sequência corretamente.
1
2
3
4
5
a) Quantos círculos possuem o terceiro elemento da série, depois de ordenada
corretamente.
b) Podemos observar e responder se esta série é uma serie de quadrados perfeitos, apesar
de ela ser construída com círculos.
c) O que são sequências de números naturais, de um exemplo de sequência dos números
naturais escreva-os até o número 12.
7 - ) Construa uma série de sequência com máximo de 8 elementos com padrões geométricos
de sua escolha.
a) O que você entende por padrão Geométrico.
b) Para você o que é uma sequência. Descreva de acordo com o seu entendimento.
c) O que você achou destas atividades, é mais fácil usar objetos geométricos de que
símbolos e letras para entender o pensamento algébrico.
53
APÊNDICE II
FICHA DE OBSERVAÇÃO DOS ALUNOS
-
TURMA 7º ANO “A”
1) Qual o comportamento dos alunos em relação à formação da sequência da atividade 1
houve discussão sobre a regra de formação desta atividade.
( ) sim
( ) não
Observações:
2) Eles Relacionaram as figuras em forma de bolinha de acordo com a regra
estabelecidas na formação das mesmas?
( ) sim
( ) não
Observações:
3) Como eles se comportaram com a atividade 2, eles conseguiram identificar
rapidamente qual figura não pertencia a sequencia?
( ) sim
( ) não
Observações:
4) Utilizaram os conceitos de formação para encontrar os valores pedidos na atividade?
( ) sim
( ) não
Observações:
5) Eles perceberam que a formação da sequencia embora seja de triangulas é uma
formação de quadrados perfeitos?
( ) sim
( ) não
Observações:
6) Houve discussão na hora de formarem a sua opinião para saber qual seria a melhor
formação de figura geométrica?
( ) sim
( ) não
Observações:
7) Na atividade 4, qual o comportamento dos alunos teve muita dificuldade para
formarem a sequencia de números pares de 2 a 10 com círculos?
( ) sim
( ) não
Observações:
8) Esta atividade atingiu o objetivo principal que era de despertar a curiosidade dos
alunos ao trocar a sequencia de impar para par?
( ) sim
( ) não
Observações:
9) Utilizaram os conceitos para resolver a atividade 5, para responderem o que eles
entenderam dela?
( ) sim
( ) não
Observações:
10) Perceberam qual a relação de dependência entra a posição que cada figura ocupa na
sequencia para colocá-las em ordem?
( ) sim
( ) não
Observações:
54
11) Quanto ao conceito de números naturais, como eles realizaram a tarefa, houve
dificuldades para realizá-la?
( ) sim
( ) não
Observações:
12) Na hora da escolha da figura geométrica para compor a serie que eles criaram, houve
influencias dos colegas para a escolha?
( ) sim
( ) não
Observações:
13) Os conceitos de padrões geométricos apresentados por eles correspondem foi
satisfatória?
( ) sim
( ) não
Observações:
14) De acordo com as suas respostas individuas, é possível dizer que houve um
aprendizado?
( ) sim
( ) não
Observações:
15) Como ocorreu o aprendizado, foi de forma natural de acordo com a sequência e séries
dos padrões geométricos?
( ) sim
( ) não
Observações: