Prismas, Cubos e Paralelepípedos - 2
1. (Fgv 2013) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou
seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade.
Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?
2. (Ufpr 2013) Um tanque possui a forma de um prisma reto, com as dimensões indicadas pela
figura. Com base nisso, faça o que se pede:
a) Quando estiver completamente cheio, quantos litros esse tanque comportará?
b) Obtenha uma função que expresse o volume V de água no tanque como função da altura x.
3. (Uem 2013) Considere dois prismas retos de mesma altura, h  6cm, e com bases sendo
hexágonos regulares, de modo que um seja inscrito no outro. Os vértices do prisma inscrito são
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os pontos médios das arestas das bases do outro prisma, e as arestas da base do prisma
inscrito medem 2cm. Com relação a esses prismas, assinale o que for correto.
4
01) As arestas das bases do prisma maior medem
3 cm.
3
02) A área lateral do prisma maior mede 48 3 cm2 .
04) O volume do prisma menor é
36
3 cm3 .
3
08) A diferença entre os volumes dos prismas é de 12 3 cm3 .
16) O quociente entre os volumes do prisma maior e do menor é
4
3.
3
4. (Fgvrj 2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal,
com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um
quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares,
conforme sugere a figura a seguir:
O volume, em dm3 , da caixa assim obtida é
a) 80x  36x2  4x3
b) 80x  36x2  4x3
c) 80x  18x2  x3
d) 80x  18x2  x3
e) 20x  9x2  x3
5. (Uepb 2013) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede 2 3 m, tem
capacidade igual a:
a) 4.000 litros
b) 6.000 litros
c) 8.000 litros
d) 2.000 litros
e) 1.000 litros
6. (Unicamp 2013) Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão
em progressão geométrica de razão q > 1.
a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de
menor área.
b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = 2 e a área total do paralelepípedo igual a
252 m2.
7. (Pucrj 2013) De uma folha de papelão de lados de medidas 23 e 14 foram retirados, dos
quatro cantos, quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando
o papelão nas linhas pontilhadas.
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a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos.
b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos.
c) Determine o volume da caixa formada.
8. (Pucrs 2013) Uma piscina na forma retangular tem 12 metros de comprimento, 6 metros de
largura e 2 metros de profundidade. Bombeia-se água para a piscina até atingir 75% de sua
altura. A quantidade de água para encher esta piscina até a altura indicada é de ________
litros.
a) 54
b) 108
c) 54000
d) 108000
e) 192000
9. (G1 - ifsp 2013) ABCDEFG é um cubo de aresta 4 cm. Unindo-se os pontos médios das
arestas AD, AE, EF, FG, CG e CD, obtém-se um polígono cujo perímetro, em centímetros,
é igual a
a) 6 2.
b) 9 2.
c) 12 2.
d) 15 2.
e) 18 2.
10. (Ufsm 2013) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos
danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar
a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na
fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças.
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com
10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm3, dessa embalagem?
a) 150 3.
b) 1.500.
c) 900 3.
d) 1.800.
e) 1.800 3.
11. (Upe 2013) Para pintar completamente o cubo representado abaixo, são necessários 300
mililitros de tinta.
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Mantendo o mesmo rendimento de pintura, quantos litros seriam necessários para pintar
completamente a peça representada abaixo, formada por 13 desses cubos, sabendo-se que
não há cubos escondidos?
a) 0,7 litro
b) 1,9 litros
c) 2,1 litros
d) 3,0 litros
e) 4,2 litros
12. (Ufrgs 2013) Considere as seguintes proposições de modelos de planificação de um cubo.
Entre essas proposições de modelos de planificação, quais podem resultar em um cubo?
a) I, II e V.
b) III, IV e V.
c) II, III e IV.
d) II, IV e V.
e) I, III e V.
13. (Ufpa 2013) Uma indústria de cerâmica localizada no município de São Miguel do Guamá
no estado do Pará fabrica tijolos de argila (barro) destinados à construção civil. Os tijolos de 6
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furos possuem medidas externas: 9  14  19 centímetros e espessura uniforme de 8
milímetros, conforme a figura abaixo.
Utilizando 1 metro cúbico de argila, o número de tijolos inteiros que podem ser fabricados é,
aproximadamente:
a) 740
b) 960
c) 1020
d) 1090
e) 1280
14. (Uern 2012) Uma livraria recebeu caixas cúbicas contendo duas pilhas de livros cada, que
preenchem totalmente o espaço no seu interior. Se o total de caixas é igual a 45 e cada livro
possui 12 cm de largura e 3 cm de espessura, então o total de livros recebidos é
a) 540.
b) 450.
c) 810.
d) 720.
15. (Unicamp 2012) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm
x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo
que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma
face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o
número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a
a) 360.
b) 344.
c) 324.
d) 368.
16. (Enem PPL 2012) Em um terreno, deseja-se instalar uma piscina com formato de um bloco
retangular de altura 1 m e base de dimensões 20m  10m. Nas faces laterais e no fundo desta
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piscina será aplicado um líquido para a impermeabilização. Esse líquido deve ser aplicado na
razão de 1 L para cada 1 m2 de área a ser impermeabilizada. O fornecedor A vende cada lata
de impermeabilizante de 10 L por R$ 100,00, e o B vende cada lata de 15 L por R$ 145,00.
Determine a quantidade de latas de impermeabilizante que deve ser comprada e o fornecedor
a ser escolhido, de modo a se obter o menor custo.
a) Fabricante A, 26 latas.
b) Fabricante A, 46 latas.
c) Fabricante B, 17 latas.
d) Fabricante B, 18 latas.
e) Fabricante B, 31 latas.
17. (G1 - ifsp 2012) Fernando pretende abrir um aquário para visitação pública. Para tanto,
pretende construí-lo com a forma de um bloco retangular com 3 m de comprimento, 1,5 m de
largura e 2 m de altura. Assim sendo, o volume desse aquário será de
a) 6,5 m3 .
b) 7,0 m3 .
c) 8,5 m3 .
d) 9,0 m3 .
e) 10 m3 .
18. (G1 - ifsp 2012) Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A4 com 1 m. O papel
A4 tem a forma retangular com 21 cm de largura por 30 cm de comprimento. Assim sendo, o
volume ocupado pela pilha de papel é de
a) 630 cm3 .
b) 51 cm3 .
c) 151 cm3 .
d) 51 000 cm3 .
e) 63 000 cm3 .
19. (G1 - ifpe 2012) Lúcia pediu a seu pai, o Sr. Paulo, para montar um aquário em seu quarto.
Os dois foram a uma loja especializada e compraram os equipamentos necessários. As
dimensões do aquário eram: 1,2 metros de largura, 0,6 metros de comprimento e 0,65 metros
de altura. Depois que o aquário estava com água, o Sr. Paulo percebeu que tinha se esquecido
de colocar um castelo de pedra para enfeite. Com cuidado, ele colocou o castelo dentro do
aquário e percebeu que o nível da água subiu 15 cm. Lembrando-se de suas aulas de
matemática, ele resolveu calcular o volume do castelo. Depois de efetuados os cálculos, ele
percebeu que o volume do castelo era, em dm3,:
a) 1,08
b) 10,8
c) 108
d) 1.080
e) 10.800
20. (Enem 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um
processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento,
como mostrado na figura.
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O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume
fosse de 2 400 cm3?
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
21. (Ufjf 2012) Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura
mede 10 cm e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões
20 cm por 10 cm, extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de
catetos de medida 1cm.
a) Calcule o volume da embalagem.
1
(um quinto) quando passa
5
do estado líquido para o estado sólido, qual deve ser o volume máximo ocupado por esse
sorvete no estado líquido, nessa embalagem, para que, ao congelar, o sorvete não
transborde?
b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete aumenta em
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para
colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade
entre Engenharia e Matemática.
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22. (Pucrs 2012) A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o
custo da construção. Quer-se construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na
figura abaixo.
A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 20 cm necessárias para fazer esse telhado é
a) 104
b) 105
c) 5.103
d) 5.104
e) 25.104
23. (Ueg 2011) Considere um cubo com 3 cm de aresta, subdividido em cubos menores, cada
um com 1cm de aresta. Dele foram retirados cubos menores dos centros de cada face e um
cubo menor do seu centro. A figura I mostra o que restou do cubo maior, enquanto a figura II
mostra o que foi retirado do cubo.
a) Calcule o volume da figura I.
b) Calcule a área da superfície da figura II.
24. (Unicamp simulado 2011) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada
entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura abaixo.
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Supondo que AB = 6m e AC = 1,5m, podem ser armazenados na caixa
a) 1728 litros de água.
b) 1440 litros de água.
c) 1000 litros de água.
d) 572 litros de água.
25. (Uel 2011) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a
seguir.
A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois
hexágonos regulares, conforme a figura.
Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça?
a) 640 3 cm3
b) 1280 3 cm3
c) 2560 3 cm3
d) 320 3 cm3
e) 1920 3 cm3
26. (G1 - ccampos 2011) A figura abaixo mostra como Vicente envolveu, com fitas, três caixas
de 10 cm de comprimento, 4cm de largura e 3cm de altura. Sabendo que Vicente gastou o
mínimo de fita nessa tarefa, em qual das três caixas (A, B ou C) Vicente gastou menos fita?
Justifique sua resposta.
27. (Pucpr 2010) A figura mostrada a seguir representa uma embalagem de papelão em
perspectiva, construída pelo processo de corte, vinco e cola.
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Determine a quantidade de material para fabricar 500 embalagens, sabendo que a aresta da
base mede 10 cm, a altura mede 30 cm e que serão necessários 20% a mais de papelão em
virtude dos vincos.

3  1,7

a) 138,6 m2
b) 123,30 m2
c) 115,5 m2
d) 11.550 m2
e) 1.386 m2
28. (G1 - cftsc 2010) Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas com as medidas da figura
abaixo.
Desprezando as abas, aproximadamente, quantos m2 de papelão serão necessários para a
confecção das caixas?
a) 0,328 m2
b) 1120 m2
c) 112 m2
d) 3280 m2
e) 1640 m2
29. (Ufpb 2010) O reservatório de água de certo edifício tem a forma de um paralelepípedo
reto retangular com base de dimensões internas 3m × 4m, conforme a figura a seguir.
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De acordo com as condições do edifício, por medida de segurança, recomenda-se que, no
reservatório, deve ficar retida uma quantidade de água correspondente a 18m3, para combater
incêndio. Para atender essa recomendação, o ponto de saída da água, destinada ao consumo
diário dos moradores e do condomínio, deve ficar a uma determinada altura ( h ) do fundo do
reservatório, de modo que a água acumulada no reservatório até essa altura seja destinada
para combate a incêndio.
Nessas condições, a altura ( h ) da saída da água para consumo diário deve ser, pelo menos,
de:
a) 1m
b) 1,5m
c) 2m
d) 2,5m
e) 3m
30. (Enem 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o
modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a
do cubo menor, que e interno, mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de
a) 12 cm3.
b) 64 cm3.
c) 96 cm3.
d) 1 216 cm3.
e) 1 728 cm3.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões
0,9cm  3cm  7,2cm; e um prisma triangular reto de altura 7,2cm, com uma das arestas da
base medindo 3cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é
dada por
0,9  3  7,2 
3  0,6
 7,2  25,92cm3 .
2
Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 1cm3  106 m3 , segue que a medida real da
capacidade do depósito é
25,92  5003
6
 3240 m3 .
10
Resposta da questão 2:
a) V 
5.2.3
 15m3 .
2
x y
5x
 y
.
2 5
2
Calculando agora o volume VL do líquido, temos:
b) ΔADE ~ ΔABC 
x.y.3
VL 

2
x.
5x
.3
15x 2
2

 0  x  2.
2
4
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Resposta da questão 3:
01 + 02 + 08 = 11.
[01] Correto. Seja a medida do lado do hexágono maior. Sabendo que os ângulos internos
de um hexágono regular medem 120, pela Lei dos Cossenos, vem
2
2
2 
 
 
2 2
1
22        2    cos120  4 
 2  
2
2
2
2
4
4
2
 
 


16
 2
3
 
4 3
cm.
3
[02] Correto. A área lateral do prisma maior mede
6 h  6
4 3
 6  48 3 cm2 .
3
[04] Incorreto. O volume do prisma menor é dado por
3  22  3
36
 6  36 3 cm3 
3 cm3 .
2
3
[08] Correto. O volume do prisma maior é igual a
2
4 3
  3
3
 3 


 6  48 3 cm3 .
2
Portanto, a diferença entre os volumes dos prismas é
48 3  36 3  12 3 cm3 .
[16] Incorreto. De [04] e [08], vem
48 3
36 3

4 4

3.
3 3
Resposta da questão 4:
[A]
O volume da caixa é dado por
x  (8  2x)  (10  2x)  x  (80  16x  20x  4x 2 )
 80x  36x2  4x3 .
Resposta da questão 5:
[C]
Seja a a aresta do cubo.
Sabendo que a diagonal do cubo é igual a a 3, temos a  2. Portanto, como o volume do
cubo é igual a 23  8 m3 , segue que a sua capacidade é de 8  1000  8.000 litros.
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Resposta da questão 6:
a)
Perímetro do quadrado de maior área: P1
Perímetro do quadrado de menor área: P2
P1 2x.q2  2.x.q 2x.q(q  1)


q
P2
2x  2.x.q
2x(1  q)
b) Se q = 2, as dimensões do paralelepípedo são: x, 2x e 4x, e sua área total será dada por:
2.  x.2x  x.4x  2x.4x   252
28x 2  252
x2  9
x  3
Portanto, as dimensões do paralelepípedo são 3, 6 e 12, e seu volume V será dado por:
V = 3.6.12 = 156 m3.
Resposta da questão 7:
a) O perímetro da folha após a retirada dos quatro cantos é
2  [(23  6)  (14  6)]  8  3  74 u.c.
Note que o perímetro da folha antes da retirada dos quatro cantos também mede 74 u.c.
b) A área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos é dada por
23  14  4  32  322  36
 286 u.a.
c) A caixa formada tem dimensões 17  8  3. Portanto, seu volume é igual a
17  8  3  408 u.v.
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Resposta da questão 8:
[D]
O volume da piscina é igual a 12  6  2  144 m3 . Logo, a quantidade de água a ser bombeada,
em litros, para que o nível da piscina atinja 75% de sua altura, é
75
 144  1000  108.000.
100
Resposta da questão 9:
[C]
O polígono formado é um hexágono regular de lado a.
a2  22  22
a 8
a2 2
Portanto o perímetro do hexágono regular é:
P  6.2 2
P  12 2
Resposta da questão 10:
[C]
O volume da embalagem é dado por
3  102  3
 6  900 3 cm3 .
2
Resposta da questão 11:
[C]
Considerando que a peça é formada por 14 cubos (nove no 1º nível, quatro no 2º e um no 3º),
segue que o número de faces a serem pintadas, após a peça estar montada, é
3  4  3  3  2  2  1 3  3  2 
1º nível
2º nível
5
 42.
3º nível
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300
 50mL de tinta, concluímos que o número de litros
6
42  50
necessários para pintar completamente a peça é igual a
 2,1.
1000
Portanto, como cada face consome
Resposta da questão 12:
[E]
Na planificação [II] existem duas faces que ficarão sobrepostas e a planificação [IV] apresenta
um vértice no qual concorrem quatro arestas.
Resposta da questão 13:
[B]
Supondo que os furos sejam idênticos e que suas dimensões sejam a e b, temos que
2a  3  0,8  9  a  3,3cm
e
3b  4  0,8  14  b  3,6cm.
A quantidade de argila, em cm3 , necessária para fabricar um tijolo é igual ao volume do
paralelepípedo retângulo de dimensões 9cm  14cm  19cm subtraído do sêxtuplo do volume
do paralelepípedo de dimensões 3,3cm  3,6cm  19cm, ou seja,
19  (9  14  6  3,3  3,6)  19  (126  71,28)
 1040cm3 .
Portanto, o número de tijolos que poderão ser fabricados com 1m3  1000000 cm3 de argila é,
aproximadamente, igual a
1000000
 961.
1040
Resposta da questão 14:
[D]
Sabendo que cada livro possui 12 cm de largura, e que as caixas terão duas pilhas de livros,
segue que as arestas das caixas medem 2  12  24cm. Logo, como a espessura de cada livro
24
 8 livros e, portanto, cada caixa conterá 2  8  16
é 3 cm, temos que cada pilha terá
3
livros. Desse modo, o número de livros recebidos pela livraria é 45  16  720.
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Resposta da questão 15:
[A]
Total de cubos com casca em apenas uma face será dado por:
2. 6.18 (superior e inferior) + 2.18.3 (frente e fundo) + 2.6.3 (laterais) = 360.
Resposta da questão 16:
[A]
Área a ser impermeabilizada: A  20  10  2  20  1  2  10  1  260m2, onde serão usados 260 L
de impermeabilizante.
Valor gasto com o fornecedor A:
Número de ladas necessárias: 260 : 10  26 latas.
Valor das latas: 100  26  2600 reais.
Valor gasto com o fornecedor B:
Número de latas necessárias: 260 : 15  17,3333..., ou seja, serão necessárias 18 latas.
Valor das 19 latas: 145  18  2610 reais.
Resposta da questão 17:
[D]
V  3  1,5  2  9 m3 .
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Resposta da questão 18:
[E]
V = 30  21  100 = 63 000 cm3.
Resposta da questão 19:
[C]
Na figura, aparece destacado apenas o volume de água deslocado depois que o castelo foi
colocado no aquário.
Portanto, o volume v do castelo é igual ao volume de água deslocado.
V =1,2. 0,6.0,15 = 0,108m3 = 108dm3.
Resposta da questão 20:
[C]
O nível da água subiria
2400
 2cm, fazendo a água ficar com 25  5  2  22cm de altura.
40  30
Resposta da questão 21:
a) Área da base (área do retângulo menos 4 vezes a área do triângulo):
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A  20  10  4 
1 1
2
A  198cm2
Portanto, seu volume será:
V  198  10  1980cm3
b) x = volume inicial do sorvete líquido
Portanto,
x
x   1980
5
6
 x  1980  x  1650cm3
5
Resposta da questão 22:
[A]
Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que a  5 m.
Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5 m  30 m serão cobertas por telhas,
segue que o resultado pedido é dado por
2  5  30
3  102
 104.
Resposta da questão 23:
a) O volume de um cubo de aresta 3cm é igual a 33  27cm3 , e o volume de um cubo de
aresta 1cm é 13  1cm3 . Logo, como foram retirados 7 cubos do cubo maior, o resultado
pedido é 27  7  20cm3 .
b) A área da superfície do sólido corresponde à área da face de um cubo de aresta 1cm
multiplicada por 6  5  30, ou seja, 12  30  30cm2 .
Resposta da questão 24:
[A]
CDE  CAB
1,5  x x
  1,5x  9  6 x  7,5 x  9  x  1,2m
1,5
6
Logo V = (1,2)3 = 1,728m3 = 1728L
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Resposta da questão 25:
[E]
V  Vmaior  Vmenor
V=
6.122 3.10 6.42. 3.10

 1920 3
4
4
Resposta da questão 26:
Caixa A = 4.4 + 2.3 + 2.10 = 42 cm;
Caixa B = 4.10 + 2.4 + 2.3 = 54 cm;
Caixa C = 4.3 + 2.10 + 2.4 = 40 cm.
Vicente gastou menos fita na caixa C, pois 40 < 42 < 54.
Resposta da questão 27:
[A]
2.6.10 2. 3
 2310 (consideran do
4
Área do prisma com acréscimo de 20% = 1,2.2310 = 2772
Material para 500 embalagens = 500.2772=1386000cm2 = 138,6m2
Área total do prisma = AL + 2.Ab = 6.10.30 
3  1,7)
Resposta da questão 28:
[D]
Área de uma caixa em cm2; A = 2.(14.20 + 14.40 + 20.40) = 3280 cm2
Área de uma caixa em m2; A = 328 m2
Área total = 0,328 . 10.000 = 3280 m2
Resposta da questão 29:
[B]
3.4.h = 18
h = 1,5m.
Resposta da questão 30:
[D]
V = volume do cubo maior – volume do cubo menor
V = 123 - 83
V = 1728 – 512
V = 1216
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