UNIVERSIDADE DE AVEIRO
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA TELECOMUNICAÇÕES E INFORMÀTICA
Sistemas e Controlo I – Aulas Práticas (2015/16)
Trabalho prático nº 7
Objectivos: Determinar o modelo matemático simplificado de um sistema térmico linear. Analise dos
sistemas no domínio do tempo. Resposta no tempo de um sistema de 1ª ordem. Componente transitória e
componente estacionaria (permanente) da resposta.
Ex. 1 Considere uma caldeirada de aquecimento de líquidos (Fig.1). Assume-se que o tanque se encontra
bem isolado e assim as perdas de calor para o ar são insignificativas. A acumulação de calor no isolamento e
nas paredes do tanque é desprezável e o líquido se encontra bem misturado estando assim a uma
temperatura uniforme. Considere que a temperatura do líquido da entrada do tanque é constante Ti . No
momento t=0 foi ligado o aquecedor que fornece calor q e o líquido na saída do tanque atinge a
temperatura Tout > Ti . Assim a variação da temperatura no tanque é ´Tq (t ) = Tout (t ) − Ti .
a) Determine a função de transferência Tq (s) / Q(s) .
b) Determine analiticamente a resposta do sistema ( Tq ) quando for aplicado um degrau de calor q.
Determine a componente transitória e a componente estacionaria (permanente) da resposta.
c) Determine a quantidade de calor constante que deve ser fornecido para manter a temperatura na
saída do tanque Tout = 80 [ºC], quando Ti =20 [ºC]. Considere Rt =2 [ºC/W], C t =10 [J/ºC].
d) Implemente a função de transferência do sistema num script em Matlab e confirme o resultado da
alínea anterior.
e) Agora considere que no momento inicial t=0 foi aplicado um fluxo de calor constante q, e registou se
a variação da temperatura Tq representada na Fig. 2. Sabe-se que C t =10 [J/ºC]. Determine a
resistência térmica Rt do líquido.
f) Obtenha o circuito equivalente eléctrico do sistema térmico.
Temp of heating tanque
60
50
Temp [ºC]
40
30
20
10
0
Fig. 1 Tanque de aquecimento de líquidos
0
20
40
60
80
100
Time (seconds)
120
140
Fig. 2 Medição da temperatura
160
180
Appendix: Sistemas térmicos - leis de termodinâmica
Os sistemas térmicos são em geral sistemas de parâmetros distribuídos, consequentemente, os modelos
matemáticos utilizam equações diferenciais não lineares com derivadas parciais. Equações diferenciais
lineares descrevem modelos muito simplificados de sistemas térmicos. A condição principal para garantir
linearidade é que a temperatura no sistema térmico é uniforme e que o líquido é homogeneizado, que em
muito casos práticos não se verifica. Linearidade é tanto mais válida quanto menor for a dimensão do
sistema.
Exemplos de sistemas térmicos: forno, frigorífico, sistema de refrigeração de um automóvel, sistema de
aquecimento de água, termómetro de mercúrio, etc.
O calor q é a energia térmica que flui por unidade de tempo em resultado de uma diferença de
temperatura. Mede-se em calorias por segundo 1 cal/seg=4.1868 W.
1. 1ª lei da termodinâmica (lei de conservação da energia térmica):
Calor fornecido num sistema= calor armazenado + calor dissipado
2. 2ª lei da termodinâmica - a transferência de calor acontece de um corpo (liquido) mais quente para um
mais frio.
3. O calor armazenado (a energia térmica armazenada) num sistema pode se medir a partir de
t
T (t ) =
1
q armazenado (τ )dτ + T (0)
C t ∫0
q armazenado (t ) = C t
dT
,
dt
C t - capacidade térmica, T(t) –variação da temperatura do corpo
4. O calor dissipado (a energia térmica dissipada) num sistema é
q dissipado (t ) =
Tout (t ) − Ti (t )
Rt
, Tout (t ) > Ti (t )
Rt - Resistência térmica ao fluxo de calor [ºK (Kelvin) /W], K = ºC+273.15.