Matemática − Trigonometria
Circunferência e arcos
TRIGONOMETRIA
1. CIRCUNFERÊNCIA
E ARCOS
Texto e contexto
Consideremos os seguintes problemas:
P1: Às 12:15 da manhã, qual o ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio
analógico? E às 8:30 da noite?
P2: Estas figuras mostram o esboço de uma pista de Kart (Fig. 1) e o modelo matemático do traçado central
dessa pista (Fig. 2).
O traçado citado é composto por quatro semicircunferências, como mostra o modelo matemático, no qual
cada centímetro no desenho representa 200 m na realidade.
Nessas condições, qual é o comprimento total do traçado central dessa pista? (Use π = 3,15)
P3: Um sistema de transmissão de movimento é constituído de duas polias acopladas a uma correia (Fig. 1).
O modelo matemático desse sistema apresenta duas circunferências cujos centros distam 60 cm um do outro
e de uma correia (Fig. 2).
Os raios dessas polias medem 45 cm e 15 cm. Suponha que essa correia deverá ser trocada e, numa
determinada loja, o seu preço atual é de R$ 0,30 por centímetro linear. Usando as aproximações π = 3,15 e
3 = 1,8, calcule o preço atual dessa correia, na loja citada.
Problemas como esses poderão ser resolvidos com a teoria que estudaremos neste capítulo.
1.1 Circunferência
Dado um ponto C e uma distância r (Fig. 1),
chamamos de circunferência de centro C e raio r a
figura plana cujos pontos distam r de C (Fig. 2).
91
Matemática − Trigonometria
92
Circunferência e arcos
1.2 Arcos de circunferência
Consideremos uma circunferência com dois de
)
seus pontos, A e B, dividindo-a em duas partes.
Cada uma dessas partes é denominada arco da
circunferência, conforme estas figuras.
Neste texto, vamos considerar, sempre, o menor
dos arcos AB (a menos que se mencione algo em
contrário).
1.3 Medida de um arco
)
Para cada arco AB (Fig. 1) existe um ângulo AO^ B correspondente (Fig. 2), sendo O o centro da
circunferência.
Esse ângulo é chamado ângulo central.
É possível estabelecer uma relação entre esse
ângulo e aquele arco, de modo a concluir que tenham
a mesma medida. Em outras palavras, a medida do
ângulo central é igual à medida angular do arco
correspondente, ou seja:
)
^
AOB = α ⇒ AB = α
)
É importante notarmos que:
• se os pontos A e B co1incidirem, poderemos ter que AB é um arco nulo, cuja medida é 0° (Fig. 1), ou
que é um arco de uma volta (circunferência), cuja medida é 360° (Fig. 2).
Exemplos:
• Se os pontos A e B de uma circunferência
determinam um arco AB que mede 48° (Fig. 1),
então o ângulo central correspondente também
mede 48° (Fig. 2).
)
• se os pontos A e B são extremidades de um
diâmetro, ou seja, estão alinhados com o centro,
então eles determinam dois arcos de meia volta
(semicircunferência), cada um medindo 180°.
∴
^
AOB = 48°
Matemática − Trigonometria
Circunferência e arcos
• No instante em que um relógio analógico marca 10 horas da manhã, o menor ângulo entre os seus
ponteiros (das horas e dos minutos) mede 60°, pois
as trajetórias dos ponteiros de um relógio analógico
são arcos de 360°. Considerando as doze divisões,
cada uma medirá 30° (Fig. 1). Às 10 horas, o menor
dos ângulos equivale a duas divisões (Fig. 2).
∴ O menor ângulo mede 60°
• Vamos resolver o problema P1 proposto na introdução (pág. 91).
Sabemos que o visor de um relógio é dividido em 12 partes iguais. Assim, cada arco relativo a
5 minutos tem medida igual a 30°.
1o caso: (12:15)
Às 12h, os dois ponteiros estão sobrepostos
(Fig. 1). Daí até 12h 15min, o ponteiro dos minutos
percorreu 90°, e o das horas percorreu um arco
de medida α (Fig. 2).
^
Assim, o ângulo procurado irá medir θ = (AOB – α).
^
Como AOB = 90°, temos que θ = 90° – α.
1o modo:
Em 1h = 60min, o ponteiro das horas desloca-se 30°. Vejamos quanto ele se desloca em 15min, fazendo
esta regra de três:
60 . α = 15 . 30o ⇒ α = 450°
60
60min
30°
α = (7,5)° ⇒ α = 7°30’
15min
α
∴ O ângulo formado mede 82°30’
θ = 90° – 7°30’ ⇒ θ = 82°30’
2o modo:
Enquanto o ponteiro dos minutos percorre 360°, o ponteiro das horas percorre 30°. Das 12:00 até as
12:15, o ponteiro dos minutos percorreu 90°, enquanto que o das horas percorreu α. Assim, para obter
α, podemos proceder como se segue:
360° . α = 30° . 90° ⇒ α = 2 700°
360°
α = (7,5)° ⇒ α = 7°30’
θ = 90° – 7°30’ ⇒ θ = 82°30’
∴ O ângulo formado mede 82°30’
2o caso: (8:30)
Notemos as posições dos ponteiros às 8h
(Fig. 3) e às 8h 30min (Fig. 4), sendo que θ
é o ângulo procurado, e α é o ângulo descrito
pelo ponteiro das horas nesse intervalo de
30min.
93
Matemática − Trigonometria
94
Circunferência e arcos
É fácil notar que θ = 60° + α. Para o cálculo de α, temos:
1o modo:
60 . α = 30 . 30° ⇒ α = 15°
60min
30°
30min
α
θ = 60° + 15° ⇒ θ = 75
∴ O menor ângulo mede 75°
2o modo:
Das 8:00 até as 8:30, o ponteiro dos minutos percorreu 180°, enquanto o das horas percorreu α. Assim:
360° . α = 180° . 30° ⇒ α = 15°
θ = 60° + 15° ⇒ θ = 75°
∴ O menor ângulo mede 75°
1.4 Comprimento da circunferência
J
á sabemos que a medida angular de uma circunferência é 360°. No entanto, ainda não sabemos obter
seu comprimento, que é sua medida linear, assunto que abordaremos neste tópico.
Inicialmente, imaginemos que seja possível “cortar” uma circunferência em um de seus pontos
e, depois, manipulá-la convenientemente até obter
um segmento de reta. Esse segmento teria um
comprimento igual ao da circunferência, conforme
mostram estas figuras ao lado:
O processo que consiste em obter um segmento
cujo comprimento é igual ao de uma curva é
denominado retificação (tornar reto) dessa curva.
Experimentalmente, se tomarmos um
pedaço de cordão e, com ele, fizermos uma
circunferência, o comprimento desse cordão será igual ao da circunferência construída.
Se dividirmos esse comprimento pelo diâmetro da circunferência, obteremos um valor
aproximadamente igual a 3,14.
Se repetirmos esse procedimento com qualquer pedaço de cordão, diferente do anterior,
vamos obter um valor, também, próximo de 3,14.
Esse fato intrigou muitos matemáticos do passado, os quais, na busca de um valor exato para
esse quociente, obtiveram aproximações com várias casas decimais. Hoje em dia, com o uso de
computadores, podemos obter milhões de casas decimais.
Nesse sentido, é possível demonstrar, com recursos da Geometria Plana, que a razão entre o
comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é constante e igual a um número irracional,
cujo valor aproximado até a 10a casa decimal é 3,1415926535. Esse número é, convencionalmente,
chamado de π (lê-se pi).
Consideremos, nessas condições, as circunferências λ1, λ2, ... λn, destas figuras, as quais têm
comprimento C1, C2, ... Cn, diâmetros d1, d2, ... dn
e raios R1, R2 ... Rn, respectivamente:
De acordo com o exposto na teoria, temos:
C1 = C2 = ... = Cn = π ⇒ C1 = C2 = ... = Cn = π
d1 d2
dn
2R1 2R1
2Rn
Matemática − Trigonometria
95
Circunferência e arcos
Desse modo, considerando uma circunferência genérica, de comprimento C e raio R, temos:
C = π ⇒ C = 2πR
2R
Exemplos:
• Uma circunferência cujo comprimento é 40π, tem um diâmetro de 40 cm, pois o comprimento da
circunferência de raio r é C = 2πr e o diâmetro d mede 2r. Assim:
2πr = 40π ⇒ r = 20
d = 2 . r ⇒ d = 40
∴ O diâmetro mede 40 cm
• Vamos resolver o problema P2 proposto na introdução (pág. 91).
Usando uma régua para medir os raios O1A, O2B e O3C, obteremos, respectivamente, 1 cm, 0,6 cm
e 0,4 cm.
 , BC
 , CD
 e AD
.
O comprimento L da pista é obtido pela soma das semicircunferências AB
Desse modo, temos:
 + BC
 + CD
 + AD

L = AB
 = 1 . 2π . O A ⇒ AB
 =π.1
AB
1
2
 = 3,15 . (200) ⇒ AB
 = 630 m
AB
 = 1 . 2π . O C ⇒ CD
 = π . 0,4
CD
3
 = 1 . 2π . O B ⇒ BC
 = π . 0,6
BC
2
2
 = 3,15 . (120) ⇒ BC
 = 378 m
BC
 = 1 . 2π . BD
 =π.2
 ⇒ AD
AD
2
 = 3,15 . (80) ⇒ CD
 = 252 m
CD
2
 = 3,15 . (400) ⇒ AD
 = 1 260 m
AD
L = 630 + 378 + 252 + 1 260 m ⇒ L = 2 520 m
∴
O comprimento total é de 2 520 m
1.5 Comprimento de um arco de uma circunferência
Imaginemos que seja possível cortar uma circunferência em dois de seus pontos (A e B), obtendo dois
 dessa circunferência.
arcos AB
)
Se retificarmos um desses arcos, obteremos um
segmento de reta. O comprimento desse segmento
será igual ao comprimento daquele arco.
Como já vimos, a medida angular de um arco AB
não representa a medida do comprimento desse arco.
Isso é fácil de ser percebido nestas ao lado figuras:
)
)
Observando essas figuras, notamos que os arcos
)
)
AB e CD têm a mesma medida angular, que é igual
à do ângulo central α. No entanto, é visível que o
comprimento de AB é menor do que o de CD.
Matemática − Trigonometria
96
)
Circunferência e arcos
)
Formalmente, define-se comprimento de um arco AB como sendo a medida linear desse arco, que
equivale à distância, tomada sobre a circunferência, entre
)
os pontos A e B. Particularmente, quando um arco AB
de uma circunferência de raio r tem comprimento
igual a r (Fig. 1), dizemos que a medida desse arco é
de 1 radiano (1 rad) (Fig. 2).
Existe uma proporção direta entre o comprimento do
arco e o raio da circunferência e entre o comprimento
do arco e sua medida angular.
Desse modo, o comprimento de um arco AB qualquer de uma circunferência de raio r pode ser
calculado com a seguinte regra de três simples e direta:
L
)
∴
AB
=α.r
Exemplos:
• Um arco de 3π rad de uma circunferência de raio
4
2 cm tem comprimento aproximado de 4,71 cm,
como segue; usando π = 3,14:
 B) é
A medida do arco (ou do ângulo central AO
de 3π rad (Fig. 1). Então, o comprimento L AB

4
desse arco é proporcional a essa medida (Fig. 2).
Montemos, então, a seguinte regra de três:
Larco = 3π . 2 ⇒ Larco = 3π cm
4
2
Usando π = 3,14 temos:
Larco = 3 . (3,14) ⇒ Larco ≅ 4,71 cm
2
∴
O comprimento aproximado do arco é de 4,71 cm
1.6 Conversão de unidades
Já
sabemos que o comprimento C de uma circunferência de raio r é igual a 2πr, sendo
π = 3,14159... . Isso significa que, se o comprimento de um arco de uma volta (360°) é 2πr e um arco de
1 rad tem comprimento r, então o arco de uma volta (360°) equivale a um arco de 2π rad, ou seja:
2π rad = 360° ⇒ π rad = 180°
Exemplos:
• Um arco de 50° equivale a um arco de 5π rad, enquanto um arco de π rad equivale a um de 36°.
5
18
2o caso:
1o caso:
π rad
180°
π rad
180°
50°
α
π rad
α
5
50°
π
180° . α = 50° . π ⇒ α =
π . α = π . 180° ⇒ α = 36°
180°
5
5
π
∴ 50° equivalem a
∴ π rad equivale a 36°
18
5
Matemática − Trigonometria
97
Circunferência e arcos
• Vamos resolver o problema P3 proposto na introdução (pág. 91)
Primeiramente, tracemos por O1 um reta paralela
à parte reta da correia.
Observando a figura, notamos que o comprimento
da correia é composto pelos comprimentos dos arcos
 de 120° e pelas partes retilíneas
 de 240°, AD
BC
AB e CD. Assim:
Lcorreia = L  + L  + 2AB
BC
AD
No triângulo destacado, temos:
sen 60° = x ⇒ 3 = x ⇒ x = 60 3 ⇒ x = 30 3 ⇒ x ≅ 30(1,8) ⇒ x ≅ 54 cm
2
2
60
60
Agora façamos as conversões:
 180° 
→ π 
 = 2π rad

 ⇒ AD
3

→ AD
 120° 
 180° 
→ π 
 = 4π rad

 ⇒ BC
3

→ BC
 240° 
2π . 15 ⇒ L = 10π
L AD

 =
AD
3
4π . 45 ⇒ L = 60π
L BC
 =

BC
3
L  ≅ 60 . 3,15 ⇒ L  ≅ 189 cm
L AD
 ≅ 10 . 3,15 ⇒ L AD
 ≅ 31,5 cm
BC
BC
Lcorreia = 189 + 31,5 + 2 . (54) ⇒ Lcorreia = 328,5 m
Preço = 328,5 . 0,30 ⇒ Preço = 98,55
∴
O preço da correia é de R$ 98,55
Saiba mais
O que é o número π?
Artigo de Elon Lages Lima – RPM 06
A maneira mais rápida de responder a esta pergunta é dizer que π é a área de um círculo de raio 1.
(Por exemplo, se o raio do círculo mede 1 cm, sua área mede π cm2). Podemos também dizer que π é o
comprimento de uma circunferência de diâmetro igual a 1.
Desde há muito tempo (cerca de 4 000 anos!) notou-se que o número de vezes em que o diâmetro está
contido na circunferência é sempre o mesmo, seja qual for o tamanho dessa circunferência. Dito de outro
modo, se o diâmetro mede um centímetro, um metro ou um côvado, a circunferência medirá respectivamente
π centímetros, π metros ou π côvados. Ainda de outra maneira: se uma circunferência tem comprimento C e
C’
C
diâmetro D, enquanto outra tem comprimento C’ diâmetro D’, então
=
. Este valor constante da razão
D’
D
C
é um número aproximadamente igual a 3,141592, o qual se apresenta pela letra grega π.
D
Os babilônios já tinham observado que o valor de π se situa entre 3 1 e 3 1 , ou seja 25 < π < 22 . Em
8
7
8
7
frações decimais, isto dá 3,125 < π < 3,142.
O conhecimento que as pessoas têm sobre o valor de π nem sempre melhorou com o tempo.
Por exemplo, o Velho Testamento, que foi escrito cerca de 500 anos a.C. (embora baseado em tradições
judaicas bem mais antigas), contém um trecho segundo o qual π = 3. (Primeiro Livro dos Reis, VII:23).
É natural que os redatores do Velho Testamento, mais preocupados com assuntos divinos do que com
detalhes terrenos, não estivessem a par do que seus vizinhos babilônios já sabiam há mais de um milênio.
Mas, em 1931, um cidadão americano de Cleveland, Ohio, publicou um livro segundo no qual o valor
exato de π seria 256 , ou seja 3,16. O livro em si, apesar de todas as heresias que contém, não causa
81
admiração, pois o número π sempre provocou irresistível atração aos amadores, pelos séculos afora.
98
Matemática − Trigonometria
Circunferência e arcos
O curioso é que o valor 256 é o mesmo que foi obtido pelo escriba egípcio Ahmes, autor do famoso papiro
81
de Rhind, escrito 2 mil anos antes de Cristo. Desde Arquimedes, que obteve o valor π = 3,1416, matemáticos
têm se ocupado em calcular π com precisão cada vez maior. O inglês Willian Shanks calculou π com 707
algarismos decimais exatos, em 1873. Em 1947, descobriu-se que o cálculo de Shanks errava no 527°
algarismo (e, portanto, nos seguintes). Com auxílio de uma maquininha manual, o valor de π foi, então,
calculado com 808 algarismos decimais exatos. Depois vieram os computadores. Com seu auxílio, em 1967,
na França, calculou-se π com 500.000 algarismos decimais exatos e, em 1984, nos Estados Unidos, com
mais de dez milhões (precisamente 10.013.395) algarismos exatos!
Esses cálculos de π com um número cada vez maior de algarismos decimais sugerem duas perguntas.
A mais inocente seria: quantos algarismos serão necessários para se ter o valor de π? Ora, sabe-se que π é
um número irracional. Isto significa que nenhuma fração ordinária (e, consequentemente, nenhuma fração
decimal finita ou periódica) pode exprimir exatamente o seu valor. Portanto, não importa quantos algarismos
decimais tomemos, jamais obteremos o valor exato de π nem chegaremos a uma periodicidade (embora o
erro cometido ao se substituir π por uma tal fração seja cada vez menor).
Outra pergunta que se pode fazer é: por que, então, tanto esforço para calcular π com centenas ou milhares
de algarismos decimais? (O computador francês levou 28 horas e 10 minutos. Deus sabe quantos meses ou
anos levou William Shanks). Uma resposta é que esses cálculos existem pelo mesmo motivo que existe o
Livro dos Recordes de Guinness. Uma razão mais prática poderia ser a seguinte. Um computador, como toda
máquina, precisa ser testado contra possíveis defeitos, antes de começar a funcionar. Uma maneira de fazer
isso é mandá-lo calcular alguns milhares de dígitos de π e fazê-lo comparar o resultado obtido com o que já
se conhecia.
Mas, voltando às origens de π: desde quando tal número é representado por essa letra grega, equivalente
ao nosso “ π”? Nos tempos antigos, não havia uma notação padronizada para representar a razão entre
a circunferência e o diâmetro. Euler, a princípio, usava π ou c, mas, a partir de 1737, passou a adotar
sistematicamente o símbolo π. Desde então, todo o mundo o seguiu. A verdade é que, alguns anos antes, o
matemático inglês Willian Jones propusera a mesma notação, sem muito êxito. Questão de prestígio.
O número π surge inesperadamente em várias situações. Por exemplo, Leibniz notou que
1 – 1 + 1 – 1 + ... = π e Euler provou que a soma dos inversos dos quadrados de todos os números
3
5
7
4
2
naturais é igual a π . A área da região compreendida entre o eixo das abscissas e o gráfico da função
6
y = e – x2 é igual a π . Inúmeros outros exemplos poderiam ser mencionados, como o seguinte: a probabilidade
para que dois números naturais, escolhidos ao acaso, sejam primos entre si é de 6 .
π2
Desde que ficou clara a ideia de número irracional, começou-se a suspeitar que π era um deles.
Euler acreditava na irracionalidade de π, mas quem a provou foi seu contemporâneo Lambert, em 1761.
Pouco depois, Euler conjeturou que π seria transcendente, isto é, não poderia ser raiz de uma equação
algébrica com coeficientes inteiros (por exemplo: é impossível encontrar inteiros a, b, c tais que aπ2 + bπ + c = 0).
Este fato foi demonstrado em 1882 por Lindemann, 99 anos depois da morte de Euler.
Da transcendência de π resulta que o antigo problema grego da quadratura do círculo não têm solução.
Para a resolução desse problema, seria necessário que se construísse, com auxílio de régua e
compasso, um quadrado cuja área fosse igual à de um círculo dado.
Tomando o raio do círculo como unidade de comprimento, isto equivale a pedir que se construa, com
auxílio de régua e compasso, um segmento de comprimento igual a π (lado do quadrado de área π).
Vamos dizer “construir o número x” para significar “construir, com régua e compasso, a partir de um
segmento dado, tomado como unidade, outro segmento de comprimento igual a x”.
O problema da quadratura do círculo pede que se construa o número π . Isto sugere a questão mais
geral: quais os números reais que se podem construir?
Ora, as construções geométricas feitas com régua e compasso consistem em repetir, um número finito de
vezes, as seguintes operações básicas:
1) Traçar a reta que une dois pontos dados;
2) Traçar a circunferência com centro e raio de dados. Um ponto, nessas construções só pode ser obtido
como interseção de duas retas, de duas circunferências ou de uma reta com uma circunferência.
Considerando-se no plano um sistema de coordenadas cartesianas, uma reta é representada por uma
equação do 1o grau y = ax + b e uma circunferência por uma equação do 2o grau (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Assim,
um número que se pode construir é sempre obtido como solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas
cujos graus são < 2. Prova-se, a partir daí, que se o número real x pode ser construído, então x é o resultado
de um número finito de operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz quadrada,
efetuadas a partir de números inteiros.
Matemática − Trigonometria
Circunferência e arcos
Em particular, todo número x que pode ser construído (com régua e compasso) é algébrico, isto é, pode ser
expresso como raiz de uma equação algébrica com coeficientes inteiros. Como π é transcendente, π também é.
Segue-se que a quadratura do círculo não pode ser feita com régua e compasso apenas. Isto encerra a questão.
Infelizmente, nem todas as pessoas que gostam de Geometria, e que se interessam por construções
com régua e compasso, sabem disso. E, pensando que o problema da quadratura do círculo ainda está em
aberto, imaginam soluções engenhosas, que submetem a revistas e a instituições onde se faz Matemática.
Tais soluções são basicamente de 3 tipos:
1o) As que contêm erros devidos a raciocínios defeituosos;
2o) As que apresentam apenas uma solução aproximada para o problema;
3o) As que não se restringem ao uso de régua e compasso. (Por exemplo, empregando certas curvas cuja
construção não pode ser efetuada apenas com esses dois instrumentos.)
Desde 1775, a Academia Real Francesa decidiu não mais aceitar para análise inúmeras propostas de quadratura
para elas enviadas. Mas, em todas as partes do mundo, parece não desaparecerem nunca os quadradores.
Quando eu era estudante, na Universidade de Chicago, havia no Departamento de Matemática uma carta
mimeografada que dizia mais ou menos o seguinte: “Prezado Senhor: Recebemos seu trabalho sobre a
quadratura do círculo. Infelizmente estamos muito atarefados para examiná-lo. Caso o Sr. nos envie a quantia
de 10 dólares, poderemos encarregar um dos nossos estudantes de pós-graduação de analisar seu trabalho
e localizar os erros eventualmente nele contidos. Atenciosamente ...” Por causa desta carta padrão, vários
colegas meus daquela época abocanharam alguns dólares sem fazer muita força.
Exercícios de sala
1
Qual é a medida do menor ângulo formado
pelos ponteiros, das horas e dos minutos de um
relógio quando este marcar:
a) 12h 15min?
b) 15h 10min?
99
Matemática − Trigonometria
100
Circunferência e arcos
2
3
Converta em graus a medida dada em radianos
e vice-versa.
a) 150°
b) 2π rad
c) 315°
d) 5π rad
3
4
4
(PUC-MG_Adapt.) Os moradores de certa cidade
costumam fazer caminhada em torno de duas
de suas praças. A pista que contorna uma
dessas praças é um quadrado de lado L e tem
640 m de extensão; a pista que contorna a
outra praça é um círculo de raio R e tem 628 m
de extensão. Nessas condições, qual o valor da
R
razão
(Use π = 3,14).
L
5
(UNIFESP_Adapt.) A figura mostra duas roldanas
circulares ligadas por uma correia. A roldana
maior, com raio 12 cm, gira fazendo 100 rotações
por minuto, e a função da correia é fazer a
roldana menor girar. Admita que a correia não
escorregue.
Qual o comprimento de um arco de 120° em
uma circunferência de raio 10 cm?
Para que a roldana menor faça 150 rotações
por minuto, qual deve ser a medida do seu raio
em centímetros?
Matemática − Trigonometria
101
Circunferência e arcos
6
(UFAL_Adapt.) Considere que:
• Os raios de Sol incidem paralelamente sobre
a Terra.
• O planeta Terra é uma esfera cuja linha do
Equador tem 40 000 km de perímetro.
Na figura a seguir são representados os raios
solares incidindo nos pontos P e Q da linha do
Equador do planeta Terra e são indicadas as
medidas dos ângulos que esses raios formam
com as normais à superfície terrestre nesses
pontos.
9
 de circunferência de raio 50 cm têm
O arco AB
um comprimento de 30π cm. Qual é, em graus,
a medida desse arco?
10 Uma circunferência de centro O tem raio
medindo 10 cm. Nessa circunferência, considere
dois pontos A e B. Qual é o comprimento do
 nos casos em que:
arco menor AB
 B = π rad
a)AO
4
 B = 240°
b) AO
11 (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente
ao meio-dia. Determine as horas e minutos que
estará marcando esse relógio após o ponteiro
menor ter percorrido um ângulo de 42°.
Qual o comprimento do arco PQ, que
corresponde à menor distância de P a Q, em
quilômetros, tomada sobre o Equador?
12 (UFJF) Testes efetuados em um pneu de corrida
constataram que, a partir de 185 600 voltas, ele
passa a se deteriorar, podendo causar riscos à
segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro
do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem
riscos para o piloto, aproximadamente:
a) 93 km.
c) 366 km.
e) 291 km.
b) 196 km.
d) 592 km.
13 (UFRN) No protótipo antigo de uma bicicleta,
conforme figura a seguir, a roda maior tem
55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio.
O número mínimo de voltas completas da roda
maior para que a roda menor gire um número
inteiro de vezes é
a) 5 voltas. b) 7 voltas. c) 9 voltas. d) 11 voltas.
Exercícios propostos
7
8
Calcule a medida do menor ângulo formado
pelos ponteiros das horas e dos minutos
quando são:
a) 12h 50min.
b) 3h 55min.
Converta as medidas dadas em graus para
radianos e vice-versa:
a) 5π rad.
e) 288°.
4
b) 300°.
f) 2π rad.
5
2
4
c) rad.
g) π rad.
5
3
d) 85°.
14 (UFPB) Um ciclista, para vencer uma competição,
percorreu 1 885 m em uma bicicleta com rodas
de raio 30 cm (incluindo o pneu). O número de
voltas completas que cada roda da bicicleta deu,
para percorrer essa distância, foi: (Use: π = 3,14).
a) 900 b) 1 000 c) 1 040 d) 1 250 e) 1 500
15 (PUC-MG) A roda de uma bicicleta tem 90
cm de diâmetro. Então, a distância percorrida
por um ciclista nessa bicicleta em movimento,
quando a roda dá 2 000 voltas completas sem
deslizar: (Considere π = 3,14).
a) é inferior a 3 quilômetros.
b) está entre 3 e 4 quilômetros.
c) está entre 4 e 5 quilômetros.
d) é superior a 5 quilômetros.
Matemática − Trigonometria
102
Circunferência e arcos
16 (PUC-MG) Para percorrer certa distância,
uma roda de raio R dá três voltas completas,
enquanto que uma roda de raio r dá 10 voltas.
r
Então, a razão entre os raios dessas rodas,
,
R
é igual a:
a) 0,20
b) 0,25
c) 0,30
d) 0,35
17 (UFC) A figura a seguir mostra quatro rodas
circulares, tangentes duas a duas, todas de
mesmo raio r e circundadas por uma correia
ajustada.
Determine o comprimento da correia, em
termos de r. (Obs.: despreze a espessura da
correia).
18 (UFAL) Se a medida de um arco, em graus, é
igual a 128, sua medida em radianos é igual a
a) π – 17
4
64
π
b)
15
c) 64 π
45
d) 16 π
25
e) 32 π
45
19 (UF-LAVRAS) Às 11 horas e 15 minutos, o
ângulo α (figura a seguir)
formado pelos ponteiros de
um relógio mede
a) 90°
b) 112° 30’
c) 82° 30’
d) 120°
e) 127° 30’
20 (UFSM) No último pleito, o horário de encerramento
das votações, segundo determinação do TSE
para todo o Estado do Rio Grande do Sul, foi às
17 horas. Passados 5 minutos do encerramento,
o menor ângulo entre os ponteiros do relógio era de
a) 123°
c) 122°
e) 120°
b) 122°30’
d) 120°30’
21 (UFG) O mostrador do relógio de uma torre é
dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma
das quais é subdividida em outras 5 partes
iguais (minutos).
Se o ponteiro das
horas (OB) mede 70 cm
e o ponteiro dos minutos
(OA) mede 1 m, qual
será a distância AB, em
função do ângulo entre
os ponteiros, quando o
relógio marcar 1 hora e
12 minutos?
22 (UEG) Duas importantes cidades estão localizadas
sobre a linha do Equador: uma é a capital
do Amapá e a outra é a capital do Equador,
ambas na América do Sul. Suas longitudes
são, respectivamente, 78° Oeste e 52° Oeste.
Considerando que a Terra é uma esfera de raio
6 400 km, qual é a distância entre essas duas
cidades?
23 (UEL) Os primeiros relógios baseavam-se no
aparente movimento do Sol na abóboda celeste
e no deslocamento da sombra projetada sobre
a superfície de um corpo iluminado pelo astro.
Considere que: a Terra é esférica e seu período
de rotação é de 24 horas no sentido oesteleste; o tempo gasto a cada 15° de rotação é
de 1 hora; o triângulo Brasília/Centro da Terra/
Luzaka (Zâmbia) forma, em seu vértice central,
um ângulo de 75°.
A hora marcada
em Luzaka, num
relógio solar, quando
o sol está a pino em
Brasília é:
a) 5 horas.
b) 9 horas.
c) 12 horas.
d) 17 horas.
e) 21 horas.
24 (UERJ) A Terra pode ser representada por uma
esfera cujo raio mede 6 400 km.
Na representação a seguir, está indicado
o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C,
passando por B.
Matemática − Trigonometria
103
Circunferência e arcos
Qualquer ponto da superfície da Terra tem
coordenadas (x; y), em que x representa a
longitude e y, a latitude. As coordenadas dos
pontos A, B e C estão indicadas na tabela a
seguir.
Considerando π igual a 3, a distância mínima,
em km, a ser percorrida pelo navio no trajeto
ABC é igual a:
a) 11 200 b) 10 800 c) 8 800 d) 5 600
25 (UFRS) Os ponteiros de um relógio marcam
duas horas e vinte minutos. O menor ângulo
entre os ponteiros é
a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65°
26 (UFRS) Dentre os desenhos a seguir, aquele
que representa o ângulo que tem medida mais
próxima de 1 radiano é:
a)
d)
27 (UNESP) Em um jogo eletrônico, o “monstro”
tem a forma de um setor
circular de raio 1 cm,
como mostra a figura.
A parte que falta no
círculo é a boca do
“monstro”, e o ângulo de
abertura mede 1 radiano.
O perímetro do “monstro”,
em cm, é:
a) π – 1.
c) 2π – 1.
b) π + 1.
d) 2π.
e) 2π + 1.
28 (UFSCAR) Uma pizza circular será fatiada, a
partir do seu centro,
em setores circulares.
Se o arco de cada
setor medir 0,8 radiano,
obtém-se um número
máximo N de fatias
idênticas, sobrando, no
final, uma fatia menor,
que é indicada na figura
por fatia N + 1.
Considerando π = 3,14, o arco da fatia N + 1,
em radiano, é
a) 0,74.
b) 0,72.
29 (UEL) Considere
c) 0,68.
o
d) 0,56.
sistema
de
e) 0,34.
roldanas
circulares, de centros A e B, respectivamente,
e as medidas dadas no esquema a seguir.
b)
c)
e)
Dados: AD = 13 cm, CB = 3 cm e AB = 20 cm.
As roldanas estão envolvidas pela correia
CDEFC, bem ajustada, que transmite o
movimento de uma roldana para outra.
O comprimento dessa correia, em centímetros, é
a) 54π + 10 3
d) 58π + 20 3
3
3
52
π
59
π + 24 3
b)
+ 16 3
e)
3
3
c) 52π + 20 3
3
Matemática − Trigonometria
104
Circunferência e arcos
30 (UFSCAR) A sequência de figuras mostra um único giro do ponto A, marcado em uma roda circular,
quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada pelos segmentos RQ e QP.
Além do que indicam as figuras, sabe-se que o raio da roda mede 3 cm, e que ela gira sobre a rampa
sem deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento RQ + QP da rampa, em cm, é igual a
c) 6π + 3 .
e) 8π – 3 5.
a) 5π + 2 3 .
d) 7π – 3 .
b) 4π + 3 5.
31 (ENEM) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra
uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas
do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de
circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor
estaria sendo beneficiado?
a) 1
b) 4
c) 5
d) 7
e) 8
32 (ENEM) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os
antigos egípcios ao construírem as pirâmides.
BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento
horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é
a) y = R.
c) y = πR.
b) y = 2R.
d) y = 2πR.
e) y = 4πR.
Matemática − Trigonometria
105
Circunferência trigonométrica
2. CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA
2.1 Introdução
A Trigonometria é o estudo das medidas envolvidas no triângulo. Já conhecemos as razões trigonométricas,
ou seja, as relações entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo. Para triângulos quaisquer, já
usamos as leis do seno e do cosseno.
A partir daqui, vamos estender esses conceitos para ângulos de medidas quaisquer. Esses ângulos serão
associados a arcos de uma circunferência centrada na origem de um sistema ortogonal, definida como
circunferência trigonométrica.
Além disso, iremos dar maior ênfase aos arcos medidos em radianos.
2.2 Definições e elementos
C
ircunferência trigonométrica é definida como sendo aquela que tem centro na origem de um sistema
cartesiano ortogonal e tem raio unitário (Fig. 1). Estruturalmente essa circunferência e os eixos coordenados
estão dispostos de modo que:
• Os eixos coordenados dividem-na (por meio dos pontos A, B, C e D) em quatro regiões congruentes
denominadas quadrantes (I Q., II Q., III Q., IV Q.), numerados no sentido anti-horário (Fig. 2);
• O ponto A é a origem dos arcos trigonométricos. O sentido positivo desses arcos é o anti-horário e,
como consequência, o sentido horário é negativo. (Fig. 3);
• Aos pontos A, B, C e D são associados, respectivamente, as medidas dos arcos 0° = 0 rad, 90° = π rad,
2
180° = π rad e 270° = 3π rad (Fig. 4).
2
É importante notarmos que ao ponto A associa-se, também, o arco de 2π rad = 360o.
Fig. 1
B
Fig. 2
y
II Q.
r=1
C
O
B
A
x
C
y
Fig. 3
D
y
+
I Q.
O
III Q.
B
A
x
C
O
IV Q.
D
D
A
–
Fig. 4
x π
C
y π
B 2
A0x
2π
O
D 3π
2
2.3 Arcos trigonométricos
na qual os arcos têm origem no ponto A e extremidade no ponto M.
Consideremos a circunferência trigonométrica

Desse modo, dizemos que o arco AM pertence a um certo quadrante quando M pertencer a esse quadrante.
Exemplos:
 = – π rad pertence ao IV Q. e o
 = 4π rad pertence ao I Q. e o arco
• O arco AM
• O arco AM
3
1
9
6

π
 = 13 rad pertence ao II Q.
arco AM 4 = – 3π rad pertence ao III Q.
AM
2
4
18
∴
� 1 ∈ I Q. e AM
� 2 ∈ II Q.
AM
∴
� 3 ∈ IV Q. e AM
� 4 ∈ III Q.
AM
Prezado leitor,
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