CADERNO DE MATEMÁTICA
NOVO ENEM (II)
•Conhecimentos geométricos: características das figuras geométricas planas e espaciais;grandezas, unidades de
medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos;posições de retas; simetrias de figuras planas ou
espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos;
circunferências;trigonometria do ângulo agudo.
I. ÂNGULOS
1.
Definição
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto.
A
O
^
Indica-se: AOB
ou


B
Em que:


OA
e OB
são os lados do ângulo.
O é o vértice do ângulo.
 Ângulos importantes
medida
ângulo
figura
graus
radianos
90º

2
180º

360º
2
B
reto
O
A
raso
A
de uma
volta
Observação:
O
B
B
O
A
1º = 60' (1 grau = 60 minutos)
1' = 60'' (1 minuto = 60 segundos)
2.
Ângulo agudo
É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto.

1
3.
Ângulo obtuso
É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso.

4.
Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

 +   90º

5.
Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.
 +   180º


6.
Ângulos opostos pelo vértice
São aqueles cujos lados de um são semi-retas opostas dos lados do outro.


 e  são opostos pelo vértice.


7.
 e  são opostos pelo vértice.
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo  é uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos
congruentes.

bissetriz


2
8.
Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal
Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados:
t
b
a
r
c
d



s

Ângulos correspondentes:
a e , b e , c e , d e 
Ângulos alternos internos:
c e , d e 
Ângulos alternos externos:
a e , b e 
Ângulos colaterais internos:
c e , d e 
Ângulos colaterais externos:
a e , b e 
Propriedades:
Ângulos alternos internos são congruentes.
Ângulos alternos externos são congruentes.
Ângulos correspondentes são congruentes.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Determine:
a) o ângulo que somado ao dobro do seu complemento vale 140º.
b) o ângulo que somado à quarta parte do seu suplemento vale 90º.
2. A soma de dois ângulos é 126º e um deles vale o dobro do complemento do outro. Determine esses dois
ângulos.
3. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 80º. Calcule esses dois ângulos sabendo que
3
a medida de um deles é igual a 5 da medida do outro.


4. Na figura, sabendo que AB
// DE
, determine a medida do ângulo x.
A
B
25º
C
120º
x
E
D
5. (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento desse ângulo. Esse ângulo
mede:
7
a) 8 rad
5
b) 16 rad
7
c) 4 rad
7
d) 16 rad
5
e) 8 rad
6. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10º e x + 50º. Um deles mede:
a) 20º
b) 70º
c) 30º
d) 80º
e) 50º
^
7. (UFMG) Na figura, OM é a bissetriz do ângulo AOB , ON é a bissetriz do
^
^
^
^
ângulo BOC e OP é a bissetriz do ângulo COD . A soma POD + MON éN igual
a:
C
B

a) 2 rad

b) 4 rad

c) 6 rad

d) 3 rad
e)  rad
P
D
M
O
A
3
8. (FGV-SP) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano,
com r // u. O valor, em graus, de (2x + 3y) é:
a) 64º
b) 500º
c) 520º
d) 660º
t
e) 580º
r
y
120º
20º
u
x
s
9. (EPCAR) Na figura, considere que r // s. Com relação ao número que expressa a medida do ângulo x, pode-se
afirmar que é um
a)
b)
c)
d)
e)
número ímpar.
divisor de 30.
múltiplo de 7.
múltiplo comum de 4 e 16.
número primo maior que 18.
r
68  x
4x
2x + 90º
s
10. (UFES) Se as retas r e s da figura são paralelas, então 3 +  vale:
a) 225º
15º
r
b) 195º

c) 215º
90º
d) 175º
e) 185º
s

120º
11. (MACK-SP) Na figura, AB
¯¯ é paralelo a CD
¯¯ . O valor de sen x é:
a)
A
2
2
B
45º
d) 1
3
3
1
c) 2
b)
75º
x
C
e) 0
D
II. TEOREMA DE TALES
Um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais.
t1
t2
A
D
B
r1
E
C
Hipótese:
 r1 // r2 // r3

 t1 e t2 são transversais
r2
F
r3
 Consequência
B
¯¯
 AB
DE
¯¯
¯¯ EF
¯¯
 BC
Tese:C 
A
=
A
A
4
M
B
N
B
C
M
N
M
C
N
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
12. (CESGRANRIO-RJ) As retas r1, r2 e r3 são paralelas e ox comprimentos dos
segmentos de transversais são indicados na figura. então x é igual a:
1
a) 4 5
15
b) 2
c) 5
8
d) 5
r1
e) 6
1
15
x
r2
15
3
r3
13. (MACK-SP) Na figura abaixo, temos a // b // c.
3
4x + 1
r
2
a
s
3x
c
b
O valor de x é:
3
a) 2
4
c) 3
b) 3
d) 2
e) 1
14. (U.F. Uberlândia-MG) Do ponto P partem duas semi-retas que encontram as paralelas r e t nos pontos indicados
na figura. Sabendo-se que MR  6 cm, os valores dos segmentos PM, OS e QS são, respectivamente:
P
a)
b)
c)
d)
e)
9 cm; 15 cm; 10 cm
15 cm; 10 cm; 9 cm
10 cm; 15 cm; 9 cm
10 cm; 9 cm; 15 cm
9 cm; 10 cm; 15 cm
M
R
S
r
Q
t
III. POLÍGONOS
1.
Nomenclatura
Seja o polígono da figura.
A
D
Em que:
B
C
A, B, C e D são os vértices do polígono.
AB
¯¯ , BC
¯¯ , CD
¯¯ e DA
¯¯ são os lados do
5
Quando todo e qualquer par de pontos R e S, tomados na região poligonal, determinar um segmento RS
¯¯
completamente interno à região, o polígono é convexo. Caso contrário o polígono é não-convexo ou côncavo.
Tipos de polígonos convexos:
—
—
—
—
—
—
triângulo
quadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
2.
eneágono
—
decágono
—
undecágono —
dodecágono —
pentadecágono —
icoságono
—
3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
7 lados
8 lados
Número de diagonais de um polígono
O número de diagonais d de um polígono de n lados é dado por:
A
F
B
E
d=
C
3.
9 lados
10 lados
11 lados
12 lados
15 lados
20 lados
n(n  3)
2
D
Soma das medidas dos ângulos internos e externos
Considere o polígono de n lados da figura.
An
en
e1
A1
in
i1
e2
i4
i2
e4
A2
i3
e3
Si  i1 + i2 + … + in 
2Si
Se  e1 + e2 + … + en 
Observações:
1.
A4
A3
2
 (n  2)  180º
2Se
 360º
2
Se o polígono for regular, ele tem todos os lados e ângulos congruentes, logo:
ae
ae
ai
ai
ai
ae
ae
Si2
2n
Ângulo externo  ae =
Se
2n
ae
ae
ai
 ai =
Ângulo interno
ai
ai
ai
ai
ae
=
360º2
n
ae
6
2. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
15. (PUC-SP) Cada ângulo interno de um decágono regular mede:
a) 36º
b) 60º
c) 72º
d) 120º
e) 144º
16. (FEI-SP) O ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede de 3 o número de lados é:
a) 60º
b) 72º
c) 108º
d) 150º
e) 120º
17. (ITA-SP) A soma das medidas dos ângulo internos de um polígono regular é 2 160º. Então o número de diagonais
desse polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é:
a) 50
b) 60
c) 70
d) 80
e) 90
7
18. (MACK-SP) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é 2 do seu ângulo externo é:
a) icoságono.
b) dodecágono.
c) decágono.
d) eneágono.
e) octógono.
19. (FGV-SP) A soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono é:
a) 900º
b) 1080º
c) 1260º
d) 1800º
e) 2340º
20. (MACK-SP) O número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 1440º, é:
a) 20
b) 27
c) 35
d) 44
e) n.r.a.
RESPOSTAS
1- 40º e 60º
2- 540 e 72º
3- 60º e 100º
4- x=85º
5-D
6-A
7-A
8-B
9-B
10-B
11-C
12-E
13-D
14-C
15-E
16-E
17-C
18-D
19-C
20-C
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Ângulo Central
É o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.
B
O

2
⁀
= AB
2
A
A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que ele enxerga.
4. Ângulo Inscrito
É o ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os seus lados são cordas.
7
B
⁀
AB
= 2

V
2
A
A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que ele enxerga.
Observação:
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
A
B
C
O
 ABC é retângulo.
5. Ângulo de Vértice Interno
B
C
V

A
O
⁀ + CD
⁀
AB
=
2
2
D
A medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos
seus lados.
6. Ângulo de Vértice Externo
B
C
V
⁀  CD
⁀
AB
=
2

2
D
A
A medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos
seus lados.
7. Ângulo de Segmento
É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência sendo um de seus lados secante e o outro, tangente à
circunferência.
B

A
O
8
⁀
AB
= 2
2
A medida de um ângulo de segmento é igual à metade da medida do arco por ele determinado.
RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO
1.
Relação entre duas cordas
Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo, o produto das medidas dos dois segmentos
determinados sobre essas cordas é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados sobre a outra.
D
A
P
PA  PB  PC  PD
B
O
C
2.
Relação métrica das secantes.
Quando duas secantes se cortam externamente a um círculo, o produto da medida da secante inteira pela
medida de sua parte externa é igual ao produto da medida da outra secante pela medida de sua parte inteira.
A
B
P
PA  PB  PC  PD
O
D
C
3.
Relação métrica entre secante e tangente.
Quando, de um ponto exterior, traçamos uma tangente e uma secante a um círculo, a medida da tangente é a
média proporcional entre a medida da secante inteira e a medida de sua parte externa.
t
A
R
P
O
(PA)2  PB  PC
B
C
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01-(UFSC) No teste abaixo, dê o somatório das afirmações corretas.
Dada a circunferência de centro O, onde AB
¯¯ é uma corda e t é uma tangente no ponto B, então, com base na
figura abaixo, é correto afirmar:
V
01. OB
¯¯ é perpendicular a t.
^
^
02. O ângulo ABC () é um ângulo de segmento, e o ângulo AVB () é um
ângulo inscrito.
04.  +   90º
08.   
16.   1 
2

t
O

A


C
B
9
32.     1 
2
^
02- (FGV-SP) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é:
a) 125º
C
D
b) 110º
c) 120º
35º
A
B
O
d) 100º
e) 135º
03-(UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada na figura abaixo. A medida  do ângulo assinalado é:
a) 30º
b) 40º
100º
c) 50º
O
d) 60º

20º
e) 70º
04-(Unissantos-SP) Na figura abaixo, o valor de x é:
B
a) 31º
b) 38º
c) 48º
3
A
x
P
O
d) 50º
raio = 3
e) 60º
05-(MACK-SP) O quadrilátero ABCD da figura é inscritível. O valor de x é:
A
a) 36º
b) 48º
B
128º
c) 50º
D
O
d) 52º
x
e) 54º
C
⁀ mede 130º, o ângulo
06-(CESGRANRIO-RJ) Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo . Se o arco AMB
 mede:
a)
b)
c)
d)
e)
25º
30º
40º
45º
50º
O
A
B
M
07-(UCBA) A medida do ângulo x, representado na figura, é:
a) 10º
b) 15º
c) 20º
x
80º
d) 25º
10
e) 30º
08-(UFES) Na figura, a medida de , em graus, é:
B
a) 50º
A
O
b) 52º
E
c) 54º
D
C
d) 56º
e) 58º
M

09-(FATEC-SP) Na figura ao lado, os pontos A, B e C pertencem à circunferência
de centro O. Se   150º e   50º, então  é igual a:
B
a) 30º
b) 45º
c) 35º

O
d) 15º

e) 20º
A
10-(PUC-SP) No círculo, O é o centro, AB
¯¯  2 e AC
¯¯ 
a)
b)
c)
d)
e)
C
3. Então  vale:
C
75º
60º
45º
30º
15º

O
A
B
11-(ITA-SP) Considere uma circunferência de centro O e diâmetro AB. Tome um segmento BC
¯¯ tangente à
^
circunferência de modo que o ângulo ABC meça 30º. Seja D o ponto de encontro da circunferência com o
segmento AC
¯¯ e DE
¯¯ o segmento paralelo a AB
¯¯, com extremidade sobre a circunferência. A medida do segmento
DE
¯¯ será igual a:
a) metade da medida de AB
¯¯.
b) um terço da medida de AB
¯¯.
c) metade da medida de BC
¯¯ .
d)
e)
dois terços da medida de AB
¯¯.
metade da medida de AE
¯¯ .
12-(VUNESP-SP) Sejam A, B, C pontos distintos no interior de um círculo, sendo C o centro do mesmo. Se
construirmos um triângulo, inscrito no círculo, com um lado passando por A, outro por B e outro por C, podemos
afirmar que este triângulo:
a) é acutângulo.
b) é retângulo.
c)
d)
é obtusângulo.
não é isósceles.
e) pode ser eqüilátero.
13-(UFES) Inscreve-se um triângulo numa semicircunferência cujo diâmetro coincide com um dos lados do
triângulo. Os outros lados do triângulo medem 5 cm e 12 cm. O raio da circunferência mede:
13
a) 2 cm
b) 13 cm
15
c) 2 cm
d) 5 cm
e) faltam dados para
calcular tal raio.
14-(FUVEST-SP) O valor de x na figura é:
20
3
3
b) 5
c) 1
a)
x
2
3
10
11
d) 4
e) 5
AE
15-(UEFS-BA) Na figura, são dados ¯¯ = 1 , BE
¯¯ = 8 cm e ED
¯¯  6 cm.O comprimento de AC
¯¯ , em cm, é:
EC
¯¯ 3
a)
b)
c)
d)
e)
10
12
16
18
20
C
B
E
A
D
16-(EPCAR-SP) De um ponto P, traça-se uma tangente e uma secante a um círculo. Se o segmento PT
¯¯ da
2
tangente mede 8 cm de o segmento PB
¯¯ da secante mede 16 cm, qual deve ser, em m , a área do círculo, se a
secante contém o diâmetro do mesmo?
a) 12
T
P
b) 18
c) 24
A
O
d) 30
e) 36
B
f)
17-(MACK-SP) Na figura, AB
¯¯  7 m, AD
¯¯  6 m e DE
¯¯  4 m. Então BC
¯¯ é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
A
24
7 m
5m
1
12 m1
11 m
1
n.r.a. 1
B
D
E
C
18-(PUC-SP) Na circunferência da figura, de centro O e raio igual a 9 m, sabe-se que a tangente PB
¯¯  2  PA
¯¯ . A
distância do ponto P à circunferência é:
B
12 m
24 m
6m
3m
n.r.a.
C
P
A
O
RESPOSTAS
Questões
01
Alternativas
a)
b)
c)
d)
e)
02
03
04
05

A
06
07
08
09


63
D

11
12

B
C
10


13
14
15
16
17
18






12

E



Área das Principais Figuras Planas
d
A tabela a seguir mostra as fórmulas usadas para
calcular a área das principais figuras planas. Elas
serão muito utilizadas em Geometria métrica espacial.
D
S=
Retângulo
Dd
2
ATIVIDADES DE SALA
01.Ache a área total da figura a seguir.
b
80cm
a
S = ab
80cm
30cm
Quadrado
140cm
a
02.Ache a área de um retângulo, sabendo que a diagonal mede
10m e o perímetro é igual a 28m.
a
S = a2
03.(Cesgranrio) Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de
largura e 2,80m de altura, as portas e janelas ocupam uma
área de 4m2. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro
aconselha a compra de 10% a mais de metragem a ladrilhar.
Calcule a metragem de ladrilhos que se deve comprar.
Paralelogramo
h
a
04.(UFPE) Na figura abaixo, P é o ponto médio do segmento AD
do paralelogramo ABCD. Calcule a área, em metros
quadrados, do triângulo APB sabendo-se que a área do
paralelogramo é 136m2.
S =ah
D
Trapézio
C
P
b
A
B
h
B
(B + b)h
S =
2
Losango
05.A área do trapézio da figura é igual a 22m 2. Calcule x.
A
X
B
3
m
D
9
m
C
13
c)
5 latas mais 1 de lata
4
d)
5 latas e meia
e)
Entre 5 latas e meia e 6 latas
06.Veja as medidas de um terreno pentagonal, na figura.
40 m
30 m
10.A área do trapézio retângulo, representado na figura, é igual a
3  1,7
Obs: utilize
5 cm
30 m
40 m
6 cm
a)
Determine a área da superfície desse terreno.
b)
Calcule o preço do terreno se o metro quadrado custa R$
30,00.
07.Um losango é interno a uma circunferência de 6cm de raio, de
maneira que a diagonal maior do losango coincide com o
diâmetro da circunferência. Sabendo que um dos ângulos
internos do losango tem 60°, calcule a área desse losango.
08.Seu José possui um terreno retangular e pretende dividi-lo entre
seus quatro filhos de maneira que cada um deles receba um
terreno também retangular, de acordo com a figura abaixo. Se
as áreas de três desses terrenos são 125,6 m, 109,9 m2 e 105
m2 , determine, em m2, a metade da área do quarto terreno.
60º
a)
19,50 cm2
b)
25,50 cm2
c)
33,15 cm2
d)
39,00 cm2
e)
40,80 cm2
Triângulo qualquer
2
A
h
2
bh
2
b
Triângulo eqüilátero
2
09.As três paredes (duas laterais e uma no fundo) de uma banca de
jornais serão pintadas com tinta esmalte. Algumas dimensões da
banca aparecem na figura abaixo.
a
a2 3
A
4
2
a
2,5 m
3,0 m
a
Triângulo escaleno
b
a
4,0 m
m
2,5
c
2
A parede do fundo é retangular e as outras duas são trapézios
retângulos congruentes. Cada lata da tinta usada permite pintar
4m2. Nessas condições, a quantidade de tinta necessária para
executar a tarefa é
a)
4 latas e meia
b)
5 latas
2A
 p( p  a)(p  b)(p  c)
p
a+b+c
(semi-perímetro)
2
14
Triângulo qualquer dado um ângulo
C
A
^
ab sen C
2
A
bc sen A
2
b
a
B
05.Calcule a área do hexágono regular da figura.
20 cm
^
A
C
F
A
c
D
E
^
ac sen B
2
B
A
ATIVIDADES DE SALA
01.Ache a área de um triângulo eqüilátero cujo
perímetro é igual a 45dm.
06.Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 cm. A área
do triângulo BCE, em cm2, é:
02.(Vunesp-SP) A área de um triângulo retângulo é 12dm 2. Se um
dos catetos é
2
3
do outro, calcule a medida da hipotenusa desse
triângulo.
03.(FGV-SP) Na figura,
AD
é perpendicular a
AB , A D̂ B
=
30°, A Ĉ B = 60° e DC = 10cm. Calcule a área do triângulo DCB.
B
30°
10cm
D
60°
C
a)
2
3
b)
3
2
c)
3 2
d)
2 3
e)
3
A
04.A área de um triângulo pode ser calculada em função das medidas a,
b e c de seus lados. Basta usar a fórmula, atribuída ao matemático
grego Herão (séc. I d.c.).
07. Observe estas figuras:
S=
p . (p - a) . (p - b) . (p - c) , onde p =
abc
.
2
30
Calcule a área do triângulo ABC da figura, onde as medidas
indicadas estão em centímetros.
90
A
9
40
Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e lateral de
uma casa de madeira para um cachorrinho, com todas as medidas
indicadas em centímetros. Observe que o telhado avança 12cm na
parte da frente da casa.
8
7
B
40
C
Considerando-se os dados dessas figuras, a área total do telhado
dessa casa é de:
a)
0,72 m2
15
b)
0,96 m2
c)
1,22 m2
d)
1,44 m2
08. Na figura abaixo vemos uma “malha” composta de 55 retângulos
iguais. Em três dos nós da malha são marcados os pontos A, B e C,
vértices de um triângulo.
A
B
E
D
C
A área do triângulo BCE é:
Considerando-se a área S de cada retângulo, a área do triângulo
ABC pode ser expressa por:
a)
24 S
b)
18 S
c)
12 S
d)
6S
e)
4S
a)
8
b)
4 3
c)
2
d)
2 2
e)
4 3
3
09. Na figura ao lado, cada quadradinho da malha tem lado 1. A
área do quadrilátero ABCD é:
RelaçõesTrigonométricas no Triângulo Retângulo
C
a
b
A
a)
18
b)
19
c)
20
d)
21
e)
22
10. Internamente ao quadrado ABCD foram construídos dois
triângulos eqüiláteros de lados iguais a 4, conforme figura.
B
c
seno 
cat. oposto
hipot.
co-seno 
cat. adjac.
hipot.
tangente 
cat. oposto
cat. adjac.
ATIVIDADES DE SALA
16
01. (FUVEST-SP) Um móvel parte de A e segue numa direção que
A
forma com a reta AB um ângulo de 30°. Sabendo-se que o
móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h.
após 3 horas de percurso, a distância a que o móvel se
encontra de AB é de:
a)
75 km
b)
75
3 km
c)
50
3 km
d)
75
2 km
e)
50 km
B
C
2 3
m
3
2
m
3
3
m
6
3
m
2
3
m
3
a)
02. (PUC-RS) De um ponto A, no solo, visando a base B e o topo
C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina,
sob ângulos de 30° e 45°, respectivamente. Se o bastão mede
4 m de comprimento, a altura da colina, em metros, é igual a:
b)
c)
C
d)
B
e)
45°
A 30°
GABARITO
a)
b) 2
c) 2
3
01-A
02-D
03-D
04-E
3
d) 2(
3 +1)
Relações num Triângulo Qualquer
e) 2(
3 +3)
I.
03. (UNIFOR-CE) Um coqueiro tem 6 m de altura e seu topo é
visto dos pontos A e B, sob ângulo de 45° e 30°, como
representa a figura a seguir.
Lei dos Senos
As medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos
opostos e a constante de proporcionalidade é a medida do diâmetro
da circunferência circunscrita.
a
b
c


 2R
sen A sen B sen C
6
4
5
°
A
3
0
°
A
B
Se esses pontos estão alinhados com base do coqueiro, quantos
metros, aproximadamente, A dista de B? (para seus cálculos,
suponha que
a)
b)
c)
d)
e)
2 = 1,4 e 3 = 1,7)
9,5
9,6
12
16,4
18,9
04. (VUNESP) A figura representa o perfil de uma escada cujos
degraus têm todos a mesma extensão e a mesma altura. Se
AB = 2m e BĈA mede 30°, então a medida da extensão de
cada degrau é:
R
c
O
B
a
b
C
II. Lei dos Cossenos
O quadrado de um lado, é a soma dos quadrados dos lados
restantes, menos o duplo produto desses dois lados pelo co-seno
do ângulo que eles formam.
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c cos A
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c cos B
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C
17
D
30
ATIVIDADES DE SALA
01- (UNIFOR-CE) Na figura abaixo os ângulos têm as medidas
indicadas em graus e os segmentos têm as medidas indicadas em
centímetros.
2
105°
135°
30
45°
30°
a) 450 . (
c) 450 . (
e) 450
valor de x é:
a)
c)
e)
B
A
1
2 .( 3  1)
2
5
2
5
b)
d)
3 2
2
C
3 + 1)
b) 450 . (
2 + 1)
3 - 1)
06. (MACK-SP) A área do triângulo OPQ assinalada na figura é:
__
4
3 2
Q
1
O
x
02-(CENTEC-BA) Considere-se um triângulo ABC, de lados a, b e c,
opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. Se a = 3 cm, b = 1
cm e C = 120°, então o perímetro desse triângulo mede:
a)
b)
(4- 13 ) cm
4 cm
c)
(4 +
d)
e)
(4 + 13 ) cm
17 cm
7 ) cm
03-(UNIP-SP) Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo
medir 20x cm e a soma dos senos de seus ângulos internos for igual
a x, então a área do círculo, em cm 2, será igual a:
a) 50
d) 125
b) 75
15
4
b)
15
8
c)
d)
e)
2
3
4
07. (CESGRANRIO) Um dos ângulos internos de um
paralelogramo de lados 3 e 4 mede 120°. A maior diagonal
desse paralelogramo mede:
a)
b)
c) 100
04-(FATEC-SP) Dada a figura:
a)
5
6
c)
40
d)
e)
37
6,5
08. (FGV-SP) Qual é a área do triângulo da figura abaixo:
0
5
°
8 1
3
0
°
onde o ângulo AĈD =  e o comprimento de AC = 3:
a)
b)
BC = 3 sen 
BC = -3 cos 
c)
BC =
d)
e)
1
tg 
3
BC = -3 sen 
BC = 3 cos 
e) 150
a)
4
b)
(
c)
d)
e)
01-A
05-B
42
4
5
°
2 +1)
8 ( 3 +1)
2 ( 2 +1)
( 3 +1)
GABARITO
02-D
06-B
03-C
07-D
04-B
08-C
05. (VUNESP-SP) O quadrilátero abaixo representa a planta de um
terreno plano. Seus ângulos internos B e C medem,
B, B
C, C
Dtêm
respectivamente, 90° e 135° e os lados A
o mesmo comprimento, igual a 30 m. Nestas condições, a área
do terreno vale, em m2:
Círculo
18
02.Ache a área da região hachurada da figura.
R
Dados: R1 = 3m, R2 = 5m.
C
S =
R2
R
R2
1
Setor Circular
R
C
03.Uma praça é formada de um retângulo de comprimento 100m e
largura 40m e dois semi-círculos com o diâmetro coincidindo como lado
menor do retângulo.
Em radianos
R2
S =
2
Em graus
R2
S =
360
3
m
1
0
0
m
4
0
m
Coroa Circular
3
m
R
Em torno da praça será construída uma calçada de 3m de largura,
cujo preço por metro quadrado é de R$ 50,00. Calcule o custo total
desse projeto.
r C
S =
(R 2 - r 2 )
04.Calcule a área de um setor circular de amplitude 120°, num
círculo de diâmetro 30cm.
05.Dois círculos concêntricos têm raios iguais a 50cm e 40cm,
conforme indica a figura.
Segmento Circular
C
R
30°
E m radianos
R 2 ( - sen )
S =
2
ATIVIDADES DE SALA
01.Sabendo que r = 10cm, calcule a área da região hachurada na
figura.
Calcule a área da superfície rachurada.
06.Calcule a área do segmento circular da figura abaixo. Use  =
3,14 e
r
3
= 1,73.
r
r
r
19
bolinhas de gude de tamanhos diferentes. Primeiro, colocou a bola
menor num recipiente cilíndrico graduado e observou que o nível da
água se elevou 1,5 mm e, logo em seguida, colocando a bola maior,
observou que o nível da água subiu 12,0 mm.
6o°
C
6 cm
30cm
07. O comprimento da curva representada pela figura é:
120º
18
cm
18
cm
12
12cm
30cm
180º
cm
150º
a)
53
b)
60
c)
120
d)
43
e)
96
O professor concluiu que a razão entre o diâmetro da bola maior e o
diâmetro da bola menor é igual a:
a)
2
b)
3
c)
6
d)
8
10. Se todos os círculos da figura são de raio igual a 5 metros, o
comprimento do caminho de A até B que passa pelos centros dos
círculos é
08. Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo
com o esquema abaixo.
Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus
centros é 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do
comprimento da correia?
a)
122,8 cm
b)
102,4 cm
c)
92,8 cm
d)
50 cm
e)
32,4 cm
a)
100 2 m
b)
11 2 m
c)
110m
d)
10 10  2 m
e)
igual à metade do perímetro do retângulo.


11. Na figura, ABCD é um quadrado e o arco AP tem centro em D.
Se a área assinalada mede
4 
, o perímetro do quadrado é
8
igual a:
09. No final de um curso de Geometria, o professor fez um
experimento para saber a razão entre os diâmetros de duas
20
A
B
A1B1 , A 2 B2 , … A n Bn são segmentos côngruos e
paralelos chamados arestas laterais.
P
Os segmentos
A1A 2 , A 2A3 , … A n 1A n , A n A1 ,
B1B2 , B2B3 , … Bn 1Bn , Bn B1 são chamados arestas
D
das bases.
C
A1A2B2B1, A2A3B3B2, … são paralelogramos chamados
faces laterais.
a)
2
b)
4 2
c)
4
Classificação
Prisma reto é todo prisma cujas arestas laterais são
perpendiculares aos planos que contém as bases.
Prisma oblíquo é todo prisma cujas arestas laterais são
oblíquas aos planos que contém as bases.
Prisma regular é todo prisma reto cuja base é um
polígono regular.
4.
Nomenclatura
2
d)
e)
3.
8
12. Na figura abaixo têm-se dois círculos concêntricos, de raios
iguais a 4 cm e 8 cm, e a medida de um ângulo central, em radianos
0

10
A área da superficie sombreada, em centímetros quadrados, é igual
a
r
a)
16
5
b)
3
c)
12
5
d)
9
5
e)
4
5
AS
Ar
A4
A1
A
A3
A2
h
Bh
Bs
B
B1
B4
B2
B3
PRISMA
1.
Os prismas são chamados triangulares, quadrangulares,
pentagonais, etc, conforme as bases sejam triângulos,
quadriláteros, pentágonos, etc.
Definição de prisma
Sejam  e  dois planos paralelos distintos.
Consideremos uma região poligonal com n lados contida em 
e uma reta r que intercepta os planos  e  nos pontos A e
B respectivamente. Chama-se prisma, a união de todos os
segmentos paralelos ao segmento de reta AB , com uma
extremidade na região poligonal e a outra extremidade em .
2.
Elementos
A1A2A3…An e B1B2B3…Bn são polígonos côngruos e
paralelos chamados de bases.
Triangular
5.
Quadrangular
Pentagonal
Áreas
21
Área de uma face lateral é a área de um dos polígonos
que constitui uma face lateral do prisma.
Se o prisma for regular, todas as faces laterais terão
mesma área.
Área lateral é a soma das áreas de todas as faces
laterais de um prisma.
Área total é a soma das áreas de todas as faces do
prisma.
Assim, sendo AL a área lateral de um prisma, AB a área
de uma das bases e AT a área total, temos:
No paralelepípedo reto-retângulo da figura, de dimensões a, b
e c, temos:
AABCD = AEFGH = a . b
ABFGC = AAEHD = a . c
AABFE = ADCGH = b . c
Assim, sendo AT a área total do paralelepípedo, temos:
AT = 2 . (ab + ac + bc)
AT = 2 . A B + AL
4.
Volume
Sendo V o volume de um paralelepípedo reto-retângulo de
dimensões a, b e c, e considerando um dos retângulos cujos
lados medem a e b, por exemplo, como base, temos:
V = AB . h = (a . b) . c

h
V=a.b.c
AB
c h
A
B
6.
b
a
Volume
Definição
5.
Diagonal
Volume de um sólido é um número, associado a ele, que exprime a
razão existente entre o espaço por ele ocupado e o espaço
ocupado por um cubo de aresta unitária.
Sejam D a medida da diagonal AG do paralelepípedo retoretângulo de dimensões a, b e c da figura e d a medida da
Volume dos primas
diagonal
EG da face EFGH.
O volume V de um prisma com área da base AB e altura h, é
dado por:
No triângulo retângulo EFG temos:
V = AB . h
(EG)2 = (FG)2 + (EF)2  d2 = a2 + b2
No triângulo retângulo AEG temos:
PARALELEPÍPEDO E CUBO
1.
(AG)2 = (EG)2 + (AE)2  D2 = d2 + c2
Paralelepípedo
Assim,
Paralelepípedo
paralelogramos.
é
todo
prisma
cujas
bases
são
D2 = a2 + b2 + c2

D=
a 2  b2  c2
D
A
PARALELEPÍPEDO
RETO
PARALELEPÍPEDO
OBLÍQUO
c
B
C
E
H
b
2.
Paralelepípedo reto-retângulo
Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo é
todo paralelepípedo reto cujas bases são retângulos.
3.
Área total
D
A
F
6.
a
G
Cubo
Cubo é todo paralelepípedo reto-retângulo cujas seis faces
são quadradas, ou seja, a = b = c.
Num cubo de aresta a, sendo AT a área total, D a medida da
diagonal e V o volume do cubo, temos:
c
B
C
E
H
At = 6a2
, D=a
3 e
V = a3
b
F
a
G
22
C
a
F
D
A
a
D
a
B
ATIVIDADES (PRISMAS)
E
Se o volume desse prisma é 120 cm³, a sua área total, em
centímetros quadrados, é
01)
Considere caixas iguais com a forma de um prisma
retangular como a representada na figura.
a)
144
b)
156
c)
160
d)
168
e)
172
03)
20 cm
Considere o paralelepípedo reto retângulo, cujas arestas
medem 5, 1 e 3 , como mostra a figura. Um plano passando
por uma aresta forma com a base um ângulo de 60º e divide o
paralelepípedo em dois sólidos. O volume do sólido que
5 cm
12 cm
contém
PQ é:
Uma certa quantidade dessas caixas é reunida para se ter um
pacote com a forma de um prisma retangular, como se vê na
figura abaixo.
Q
3
60º
P
1
5
a)
14 3
O volume do pacote, usando o metro cúbico como unidade,
a)
é igual a 19 m3.
b)
9 3/2
b)
está entre 0,5 m3 e 0,8 m3.
c)
7 3/2
c)
é igual a 1,9 m3.
d)
3/2
d)
está entre 0,1 m3 e 0,3 m3.
e)
3 /3
e)
é inferior a 0,02 m3.
04)
02)
Na figura abaixo tem-se o prisma reto ABCDEF, no qual DE
= 6 cm, EF = 8 cm e
DE  EF .
Suponha que o bolo mostrado na tira abaixo apóie-se sobre
um suporte circular feito de chocolate que, por sua vez,
encontra-se sobre uma mesa de madeira de tampo retangular,
cujas dimensões são 0,90 m de comprimento, 0,80 m de
largura e 0,02 m de espessura. Assim, a parte dura que o
Cebolinha mordeu diz respeito apenas a um pedaço do tampo
da mesa.
23
Fonte: Jornal O Estado de S. Paulo – 13/10/01
V
Se o pedaço de madeira na fatia tem a forma de um prisma
regular triangular, cuja aresta da base mede 6 cm, o volume de
madeira do pedaço equivale a que porcentagem do volume do
tampo da mesa?
g
h
3  1,7 )
(Use
a)
0,2125%
b)
0,425%
c)
D
C
E
B
O
R
2,125%
F
a
M
A
d)
4,25%
Na pirâmide regular da figura, temos:
e)
21,25%
a)
b)
c)
GABARITO 01-E
02-D
03-B
04-A
d)
e)
4.
OA = R é o raio da circunferência circunscrita à base e é
denominado simplesmente raio da base;
OM = a é denominado apótema da base;
VM = g é denominado apótema da pirâmide (altura de
uma face lateral);
g2 = a2 + h2
(VA)2 = R2 + h2
Cálculo de áreas e volumes
PIRÂMIDES
Para qualquer pirâmide, tem-se:
1.
Definição e elementos

Dados um plano , um ponto V, tais que V   e uma região
poligonal S do plano , chama-se pirâmide à união de todos os
É a soma das áreas das faces laterais da pirâmide.
Assim:
A1 = A1 + A2 + A3 … , + An, onde
A1, A2, A3, …, An são as áreas das faces laterais.
segmentos VP onde P  S.
O ponto V é denominado vértice e a região poligonal S é
denominada base da pirâmide.

V
F
S A
P
C B
Área total (A1)
É a soma da área lateral e a área da base
Assim:
V
E
Área lateral (A1)
At = Al + Ab
h
D
Volume (V)
F
D
É a Terça parte do volume de um prisma de mesma base
e mesma altura.
Assim:
A
C B
Na pirâmide da figura temos:


Arestas laterais: VA, VB, VC,
Faces laterais:  VAB,  VBC,  VCD, …


Arestas da base: AB, BC, CD,
Altura da pirâmide: h (distância de V a )
1
Ab  h
3
V=
TETRAEDRO REGULAR E TRONCOS DE PIRÂMIDES
1.
Tetraedro regular
É a pirâmide triangular que possui as seis arestas
congruentes entre si.
a
2.
Natureza
a
a
As pirâmides são triangulares, quadrangulares, pentagonais,
hexagonais, … etc, conforme suas bases sejam triângulos,
quadriláteros, pentágonos, hexágonos, … etc.
3.
Pirâmide Reta e Pirâmide Regular
Uma pirâmide é RETA quando a projeção ortogonal do
vértice sobre o plano  é o centro do polígono da base.
Uma pirâmide é denominada REGULAR quando é reta e
o polígono da base é regular.
a
a
A altura, a área total e o volume de um tetraedro regular
de aresta a são dados, respectivamente, por:
24
h=
2.
a 6
3
At=
a2 3
V=
a3 2
12
Secção Paralela à base de uma pirâmide
Secção
H
C’
B’
A’
C
A
a)
3.
b)
4.
c)
5.
d)
6.
e)
7.
B
Quando interceptamos todas as arestas laterais da
pirâmide por um plano paralelo à base, que não contém esta e
nem o vértice, obtemos uma secção poligonal tal que:
1)
02)
As arestas laterais e a altura ficam divididas na mesma
razão:
VA ' VB' VC'
h



VA
VB
VC
H
2)
A secção obtida e a base são polígonos semelhantes.
3)
A razão entre as áreas da secção (As) e da base (Ab) é
igual ao quadrado da razão entre suas distâncias ao
vértice.
As  h 
 
Ab  H 
4)
a)
20%
b)
16%
c)
15%
d)
12%
e)
10%
2
A razão entre o volume da pirâmide menor (v), que foi
formada pela intersecção do plano  e o volume da
pirâmide maior (V) é igual ao cubo da razão entre suas
alturas.
v h
 
V H
5)
Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado
de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a
base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de
12cm e apótema da base medindo 5cm. Após se ter concluído
essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício
de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel
corresponde a:
03)
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura
abaixo. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m 3,
então, o volume do cubo, em m3, é igual a:
3
A “parte” (região) da pirâmide compreendida entre a base
e a citada secção é denominada TRONCO DE
PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS.
ATIVIDADES (PIRÂMIDES)
01) Uma pirâmide de base quadrada e altura h é cortada por um
plano  paralelo à base, a uma altura h/2, conforme a figura. A
razão entre o volume do tronco da pirâmide abaixo de  e o volume
da pirâmide menor formada acima de  é:
04)
a)
9
b)
12
c)
15
d)
18
e)
21
O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à
prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado
sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto
maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da
base da pirâmide terá 3m e que a altura da pirâmide será de
4m, o volume de concreto (em m3) necessário para a
construção da pirâmide será
25
h é altura do cilindro (distância entre a e b)
S é base do cilindro
AA' é geratriz g
2.
Cilindro circular reto (cilindro de revolução)

Definição e Elementos
a)
36.
b)
27.
c)
18.
d)
12.
BC é o eixo do cilindro
e)
4.
AD é a geratriz da superfície lateral
Cilindro Circular Reto ou Cilindro de Revolução é o sólido
gerado por uma rotação completa de uma região de
retângulo em torno de um de seus lados.
05-Considere uma pirâmide regular de base quadrada, cujo
comprimento da aresta da base é igual a 2cm. Efetuando-se um
corte, na pirâmide, paralelo a essa base na altura de 1cm, o tronco
dessa pirâmide, assim obtido, tem valor igual a 5 cm3 . Dessa
3
forma, a altura da pirâmide é igual a
AB = DC = R é o raio da base
A
B
4 2 2
cm
5
a)
D
b)
2 2 1
cm
7
c)
4 2
cm
7
d)
4 2 5
cm
3
C
R
Secção Meridiana
É a intersecção do cilindro com um plano que contém o
seu eixo ( BC na figura anterior).
2 2 6
cm
7
e)
GABARITO 01-E
02-E
03-D
A
B
D
C
E
04-D 05-E
CILINDROS
1.
Definição e elementos
Sejam  e  planos paralelos (distintos), r uma reta
interceptando os planos  e  e S uma região circular contida
em a, que não tem ponto em comum com r.
F
O retângulo AEFD é uma secção meridiana do cilindro
circular reto da figura.
Chama-se cilindro de base circular a união de todos os
segmentos
QQ' paralelos a r, com Q   e Q’  .
Cálculo de Áreas e Volumes

S
É a área de um círculo de raio R.
Assim:
A
Q
Ab = R2
h
Q’
A’
Área da Base (Ab)

Área Lateral (Al)
A superfície lateral é equivalente a um retângulo de
dimensões 2R (comprimento da circunferência da
base) e h
Assim:
Al = 2  R h
26
01)
R
Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado
líquido, em recipientes, como mostram as figuras abaixo.
h
Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada
coube em cinco recipientes cilíndricos e em dois recipientes em
forma de paralelepípedo, como representado na figura acima,
a quantidade preparada, em litros, foi de:
2R
CORTE
Use  = 3,14
h
2R
02)

Área Total (At)
É a soma das áreas das bases com a área lateral.
Assim:
At = Al + 2 . Ab

a)
1,95
b)
1,64
c)
1,58
d)
1,19
e)
1,01
Em uma caixa de papelão são colocados 12 copos, como
mostra a figura a seguir. Entre um copo e outro, existe uma
divisória de papelão com 1cm de espessura. Cada copo tem o
formato de um cilindro circular reto, com altura de 14cm e
volume de 126  cm3. Com base nesses dados, pode-se dizer
que o comprimento interno da caixa de papelão, em cm, será
igual a: (use =3,14).
Volume (V)
Todo cilindro é equivalente a um prisma de mesma altura
e mesma área da base.
V = Ab . h
3.
Cilindro eqüilátero
É todo cilindro de base circular cuja secção meridiana é
um quadrado.
A
A’
h
03)
R
B’
R
B
a)
36
b)
41
c)
12
d)
17
e)
48
Um recipiente cilíndrico de 60cm de altura e base com 20cm
de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém
água até a altura de 40cm, conforme indicado na figura.
20cm
A secção meridiana A’ABB’ é um quadrado.
Assim:
h = 2R
60cm
40cm
ATIVIDADES (CILINDRO)
Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível
da água sobre 25%.
27
Considerando  igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo
colocado na água é igual a:
a)
10 2
b)
103 2
São os segmentos com uma extremidade em V e a
outra nos pontos da circunferência da base.
-
É o raio do círculo g citado na definição.
2.
04)
c)
10 12
d)
103 12
Raio da base
Cone reto

Carlos é um rapaz viciado em beber refrigerante diet. Um dia,
voltando do trabalho, ele passou em frente a uma companhia
de gás, onde viu um enorme reservatório cilíndrico de 3 metros
de altura com uma base de 2 metros de diâmetro e pensou...
“Em quanto tempo eu beberia aquele reservatório inteiro, se
ele estivesse cheio de refrigerante diet?” Considerando  =
3,14 e sabendo-se que Carlos bebe 3 litros de refrigerante diet
por dia, pose-se afirmar que ele consumirá o líquido do
reservatório em um período de:
a)
86 dias.
b)
86 meses.
c)
86 anos.
Definição e Elementos
Um cone circular é dito reto quando a projeção ortogonal
do vértice sobre o plano da base é o centro da base.
O cone circular reto é também chamado cone de
revolução, pois pode ser gerado pela rotação de um
triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Na figura, temos:
VO = h é altura do cone
OB = R é o raio da base.
VB = g é a geratriz
g2 = h2 + R2
V
g
h
d)
8,6 anos.
e)
860 meses.
B
0
GABARITO 01-B
02-B
03-D
04-D

CONES
1.
R
Secção Meridiana
É a intersecção do cone reto com um plano que contém a
Definição e elementos
Seja um plano , um ponto V   e um círculo  contido
em . Chama-se cone circular a reunião de todos os
segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos
pontos do círculo  considerado.
reta
VO (eixo de rotação).
A secção meridiana de um cone circular reto é um
triângulo isósceles, cuja área é dada por:
ASM = R . h
V
V
h
h
g
B
g
0
A
No cone circular da figura têm-se os seguintes elementos:
-
Vértices:
É o ponto V citado na definição.
-
Base
-
É o círculo  citado na definição
Altura
É a distância (h) do vértice ao plano da base.
-
O triângulo isósceles VAB é uma secção meridiana do
cone circular reto da figura.
Desenvolvimento das Superfícies Lateral e Total de um Cone
Reto
A superfície lateral de um cone circular de raio da base R
e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g, cujo arco
tem comprimento 2  R.
Geratrizes:
28
r
SETOR
H
2 R
R
R
BASE
g
Sendo R e r os raios das bases e h a altura do tronco de
cone de bases paralelas, tem-se que a sua área total e o seu
volume são dados respectivamente por:
R
Al = g . (R + r)
e
H
Assim, sendo Ab a área da base, Al a área lateral e At a
área total desse cone circular reto, temos:
V=
(R2 + r2 + R . r)
3
Ab =  R2
ATIVIDADES (CONE)
Al =
g  2R
2
At = Al + Ab

Al =  R g

At =  R (g + R)
01)
Volume do Cone
Todo cone é equivalente a uma pirâmide de base
equivalente e de mesma altura.
V=
Ab  h
3
ou
V=
R 2 h
3
Na rotação triângulo ABC da figura abaixo em torno da reta
r, o lado AB descreve um ângulo de 270°. Desta forma, o
sólido obtido tem volume:
r
C
4
3.
Cone eqüilátero
Um cone circular reto é dito eqüilátero quando a sua
secção meridiana é um triângulo eqüilátero:
A
.
6
B
V
g
A
g
h
48 
b)
144 
c)
108 
d)
72 
e) 36 
B
R
R
a)
02) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto
retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão
No cone eqüilátero da figura, tem-se AB = AV = BV.
Assim:
b
3
entre as dimensões do paralelepípedo é
e o volume do
a
2
cone é . Então, o comprimento g da geratriz do cone é
g=2R
e
h=R
3
TRONCO DO CONE
1.
Tronco de cone de bases paralelas
Seccionando-se um cone por um plano paralelo à base
do mesmo, obtêm-se dois sólidos: um novo cone e um tronco
de cone de bases paralelas.
29
05-O volume do sólido gerado pela rotação completa da figura a
seguir, em torno do eixo e, é, em cm3:
a)
5
e
2 cm
b)
6
c)
7
d)
10
e)
11
6 cm
3 cm
3 cm
03)
Um abajur em formato de cone eqüilátero está sobre uma
escrivaninha, de modo que, quando aceso, projeta sobre esta um
círculo de luz (veja figura abaixo). Se a altura do abajur, em relação
à mesa, for H = 27 cm, a área do círculo iluminado, em cm2, será
igual a
a)
38
b)
54 
c)
92 
d)
112 
e)
128 
06-Um depósito de água, de 2m de altura, tem forma de um
“pedaço” de um cone. Os segmentos de reta contidos nas laterais
com extremidades nas retas de mesma direção que contêm os
diâmetros dos círculos da base e superior, quando prolongados,
interceptam-se no ponto V, que dista 6m do centro do círculo da
base. Dado que o raio do círculo superior mede 2m e o do círculo da
base mede 1,5m, o volume do depósito é igual a:
a)
243.
b)
270.
c)
250.
d)
225.
a)
04) Uma tulipa de chopp tem a forma cônica, como mostra a figura
abaixo. Sabendo-se que sua capacidade é de 100  ml, a
altura h é igual a:
b)
37 3
m
6
c)
40 3
m
3
10cm
h
8 m3
d)
37 m3
e)
25 m3
GABARITO 01-E
02-D
a)
20 cm
b)
16 cm
ESFERAS E PARTES
c)
12 cm
1.
d)
8 cm
e)
4 cm
03-A
04-C 05-E 06-B
Superfície esférica
É a superfície gerada pela revolução completa de uma
semicircunferência. (ABA’) em torno de seu diâmetro (AA’),
como mostra a figura.
30
A área de uma superfície esférica de raio R é dada por:
ASE = 4 R2
48
b)
54
c)
64
d)
70
02) Na famosa cidade de Sucupira, foi eleito um monumento de
concreto com pedestal em forma de uma esfera de raio igual a
5m, em homenagem ao anti-herói “Zeca Diabo”. O cidadão
“Nézinho do Jegue” foi informado de que, apesar de o preço do
metro cúbico do concreto ser 260 reais, o custo total do
concreto do pedestal, feito com dinheiro público, foi de 500 mil
reais. Nézinho do Jegue verificou, então, que houve um
superfaturamento
O volume de uma esfera de raio R é dado por:
4 3
R
3
Vesf =
a)
Fuso esférico
a)
menor que 50 mil reais.
b)
entre 50 e 200 mil reais.
c)
entre 200 e 300 mil reais.
d)
entre 300 e 400 mil reais.
e)
acima de 400 mil reais.
Obs.: Considere  = 3,14
Af =
03) A Medicina Alternativa tem conquistado importantes vitórias no
combate às enfermidades modernas, graças ao idealismo de alguns
médicos, nutricionistas, biólogos e naturistas que, ao redor do
mundo, pesquisam o valor medicinal das frutas, dos legumes, das
ervas, da argila e da água. Um tratamento sugerido por esses
estudos indica a ingestão diária do suco de 1 limão no primeiro dia,
dois limões no segundo dia, e assim sucessivamente, até o décimo
dia, quando, então, se deve fazer a regressão para o suco de um
limão por dia. Suponha que uma pessoa tenha resolvido fazer esse
tratamento. No quinto dia, essa pessoa colocou o suco em uma taça
cônica, de altura 120 mm e volume Vt. O suco ocupou um volume
Vs, atingindo a altura de 90 mm. Considerando que cada limão tinha
R 2 o
90o

Cunha esférica
5,4 ml de suco, é correto afirmar que a razão
Vc =
R 3 o
270
a)
3
4
b)
9
64
c)
16
27
d)
27
64
e)
9
16
o
ATIVIDADES (ESFERA)
Vs
Vt
é
04)Observe esta figura:
B
01)
Uma fábrica de sucos estima que necessita de 27 laranjas de
8cm de diâmetro cada, para produzir um litro de suco
concentrado. Para efeito dessa estimativa, a empresa assume
que as laranjas são esferas. Contudo, devido às entressafra,
as únicas laranjas disponíveis no mercado apresentam
diâmetro de 6cm. Nessas condições, o número mínimo de
laranjas necessárias para a produção de um litro de suco
concentrado sra igual a
D
A
E
F
C
31
Nessa figura, ABC é um quadrante de círculo de raio 3cm e ADEF é
um quadrado, cujo lado mede 1cm.Considere o sólido gerado pela
rotação de 360º, em torno da reta AB, da região hachurada na
figura: Sabe-se que o volume de uma esfera de raio r é igual a
4 πr 3 .
3
Assim sendo, esse sólido tem um volume de
a)
14 cm3
b)
15 cm3
c)
16 cm3
d)
3
17 cm
05)Internamente, a cúpula do teto de um teatro tem a forma da
superfície de uma semi-esfera , cujo raio mede 4 m . Se um galão
de tinta é suficiente para pintar 21m2, o número necessário de
galões para realizar todo o serviço de pintura interna da cúpula é ,
aproximadamente...
a)
2
b)
3
c)
4
d)
5
e)
6
a)
20  m2.
b)
15  m2.
c)
10  m2.
d)
5  m2.
e)
 m2.
GABARITO 01-C 02-D 03-D 4-D 5-D 6-B 7-E 8-A
06)Quatro esferas de raio 3m foram colocadas num plano e são
tangentes duas a duas. Nestes pontos de contato foi aplicado um
adesivo de modo que seus centros tornam-se vértices de um
quadrado. Uma quinta esfera de mesmo volume foi colocada sobre
as anteriores (tangente a elas). O volume da pirâmide cujos vértices
são os centros das cinco esferas é, em m3, igual a:
REVISÃO DE GEOMETRIA
Observe nas questões 1 e 2 o que foi feito para colocar
bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro numa
caixa cúbica com 10 cm de aresta.
a)
24 2 .
b)
36 2 .
c)
48 2 .
d)
60 2 .
e)
72 2 .
07)Uma caixa cúbica de aresta 1m está vazia. No seu interior são
colocadas 1 000 esferas maciças, cada uma delas com diâmetro de
10cm. Os espaços vazios são preenchidos com x litros de água. Em
seguida, a caixa é esvaziada. Colocam-se agora no seu interior
1.000.000 de esferas maciças, cada uma delas com diâmetro de 1
cm. Os espaços vazios são preenchidos com y litros de água. É
correto afirmar que a relação entre x e y é:
01- (ENEM) Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas
superpostas iguais, tendo assim empregado:
(A) 100 bolinhas.
a)
x = 10y
b)
y = 10x
c)
x = 100y
d)
y = 100x
e)
x=y
(B) 300 bolinhas.
(C) 1000 bolinhas.
(D) 2000 bolinhas.
(E) 10000 bolinhas.
08)Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê
o arco AB sob um ângulo 
significa que a área do fuso esférico determinado por  é:
02-(ENEM) Uma segunda pessoa procurou encontrar outra maneira
de arrumar as bolas na caixa achando que seria uma boa idéia
organizá-las em camadas alternadas, onde cada bolinha de uma
camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior, como mostra
a figura. Deste modo, ela conseguiu fazer 12 camadas. Portanto, ela
conseguiu colocar
32
na caixa:
(A) 729 bolinhas.
(A) 1,2 m
(B) 984 bolinhas.
(B) 2,4 m
(C) 1000 bolinhas.
(C) 7,2 m
(D) 1086 bolinhas.
(D) 14,4 m
(E) 1200 bolinhas.
(E) 48,0 m
As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa
dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa
localizada no eixo da roda traseira, como mostra a figura.O
número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada
depende do tamanho relativo destas coroas.
05-(ENEM) Com relação ao funcionamento de uma bicicleta de
marchas, onde cada marcha é uma combinação de uma das coroas
dianteiras com uma das coroas traseiras, são formuladas as
seguintes afirmativas:
I. numa bicicleta que tenha duas coroas dianteiras e cinco traseiras,
temos um total de dez marchas possíveis onde cada marcha
representa a associação de uma das coroas dianteiras com uma
das traseiras.
II. em alta velocidade, convém acionar a coroa dianteira de maior
raio com a coroa traseira de maior raio também.
III. em uma subida íngreme, convém acionar a coroa dianteira de
menor raio e a coroa traseira de maior raio.
03-(ENEM) Em que opção abaixo a roda traseira dá o maior
número de voltas por pedalada?
Entre as afirmações acima, estão corretas:
(A) I e III apenas.
(B) I, II e III.
(C) I e II apenas.
(D) II apenas.
(E) III apenas.
Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que
ocupa quase completamente seu corpo, conforme mostra a
figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha
apenas de uma régua milimetrada.
04-(ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta ao lado (isto
é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa),
qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se
que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2R, onde
=3?
06-(ENEM) Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o
número mínimo de medições a serem realizadas é:
33
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
07-(ENEM) Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando
que você pode virá-la, o número mínimo de medições a serem
realizadas é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
08-(ENEM) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um
torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação
de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo
em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que
estão na coluna da direita.
10-(ENEM) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade,
copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e
pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em seguida,
recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100 m
x 100m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08g. Com
esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros
quadrados, é de, aproximadamente:
(A) 800.
(B) 10000.
(C) 320000.
A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de
revolução obtidos é:
(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E.
(D) 400000.
(E) 5000000
(B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.
11-(ENEM) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume
de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma
prática dessas regiões:
(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.
I - Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.
(D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.
(E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.
09-(ENEM) Uma empresa de transporte armazena seu combustível
em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu
conteúdo é medido com uma vara graduada em vinte intervalos, de
modo que a distância entre duas graduações consecutivas
representa sempre o mesmo volume.
II - O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu
comprimento é medido com fita métrica.
A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações
na vara é:
1ª
dobra
2ª dobra
34
III - O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e
depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume
estimado de madeira.
Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do
tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas
medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no
processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que essas
perdas são da ordem de:
(A) 30%.
(B) 22%.
(C) 15%.
(D) 12%.
(E) 5%.
12-(ENEM) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma
caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa
por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação
da caixa, com as medidas dadas em centímetros.
Figura 1: Ladrilhos retangulares
pavimentando o plano
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam
o plano (há falhas ou superposição)
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as
respectivas medidas de seus ângulos internos.
Os sólidos são fabricados nas formas de
I. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm.
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos
diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um
II. um cubo de aresta 2 cm.
deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um:
III. uma esfera de raio 1,5 cm.
(A) triângulo.
(E) eneágono.
(B) quadrado.
(C) pentágono.
(D) hexágono .
IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4
cm.
V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm.
O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura
dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos
(A) I, II e III.
14-(ENEM) Um terreno com o formato mostrado na figura foi
herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de
mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para
que fossem analisadas pelos demais herdeiros. Dos esquemas
abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único
em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma
área é:
(B) I, II e V.
(C) I, II, IV e V.
(D) II, III, IV e V.
(E) III, IV e V.
13-(ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização de
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento
de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de
polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem
que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as
figuras:
35
15-(ENEM) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira,
precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram
numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma
leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
As sobras de material da produção diária das tampas grandes,
médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a
três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A
partir dessas informações, pode-se concluir que
(A) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
(B) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
(C) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista
deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira
para encher os vinte copinhos pela metade. Para que
isso ocorra, Dona Maria deverá:
A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
(D) as entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a
entidade III.
(E) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
18-(ENEM) Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por
pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão
representado ao lado, que vai ser repetido em toda a extensão do
pátio. As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro
quadrado e as de cor preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado
do revestimento será de:
16-(ENEM) Na literatura de cordel, os textos são impressos, em
geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm x 15,5 cm.
As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à
forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor
aproveitamento possível do papel disponível.
Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8
páginas (4 folhas):
(A) R$ 8,20.
9,00.
Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar
de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto
possível de material, utilizando uma única folha de
(B) R$ 8,40.
(C) R$ 8,60.
(D) R$ 8,80.
(E) R$
19-(ENEM) Os três recipientes da figura têm formas diferentes,mas
a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca.
(A) 84 cm x 62 cm
(B) 84 cm x 124 cm
Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme
indicado nas figuras. Representando por V1, V2 e V3 o volume de
líquido em cada um dos recipientes, tem-se :
(C) 42 cm x 31 cm
(D) 42 cm x 62 cm
(E) 21 cm x 31 cm
17-(ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio
para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros
de lado,conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz
4 tampas médias e 16 tampas pequenas.
(A)V1 = V2 = V3
(D) V3 < V1 < V2
(B)V1 < V3 < V2
(E) V1 < V2 = V3
(C) V1 = V3 < V2
20-(ENEM) Uma artesa confecciona dois diferentes tipos de vela
ornamental a partir de moldes feitos com cartoes de papel
retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras
36
abaixo). Unindo dois lados opostos do cartao, de duas maneiras, a
artesa forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente
com parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente
proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do
tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será:
(A) o triplo.
(B) o dobro.
(C) igual.
(D) a metade.
(E) a terca parte.
Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas figuras
supostamente desenhadas por Escher e deseje construir uma delas
com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual
dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo
tridimensional real?
21-(ENEM)
A)
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5
degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão e igual
a:
B)
(A) 1,8 m.
(B) 1,9 m.
(C) 2,0 m.
(D)2,1 m.
(E) 2,2 m.
22-(ENEM) Representar objetostridimensionais em uma folha de
papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês Escher (18981972) explorou essa dificuldade criando várias figuras planas
impossíveis de serem construídas como objetos tridimensionais, a
exemplo da litografia Belvedere, reproduzida ao abaixo.
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D) 14 cm².
E) 16 cm².
24-(ENEM) A figura ao abaixo mostra um reservatório de água na
forma de um cilindro circular reto, com 6 m de altura. Quando está
completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por
um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de
água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de
conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas
abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no
consumo de água.
C)
D)
Nessa situação,
A )a quantidade de água economizada foi de 4,5 m³.
B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do
dia, foi igual a 60 cm.
E)
C) a quantidade de água economizada seria suficiente para
abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450
litros.
D ) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00,
se o custo de 1 m³ de água para o consumidor fosse igual a R$
2,50.
23-(ENEM) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de
quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos
retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças
são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema
da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível
representar uma grande diversidade de formas, como as
exemplificadas nas figuras 2 e 3.
E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base
10% menor que o representado, teria água suficiente para
abastecer todas as casas.
25-(ENEM) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto
que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o
objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as
propriedades e o comportamento dos fractais — objetos
geométricos formados por repetições de padrões similares. O
triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria
fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do
tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;
3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um
vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois
triângulos, conforme ilustra a figura 2;
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a
área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a:
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos
triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
A) 4 cm².
B) 8 cm².
C) 12 cm².
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27-(ENEM) O governo cedeu terrenos para que famílias
construíssem suas residências com a condição de que no mínimo
94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação
ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que
AB=BC/2, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para
a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual
AE=AB/5 é lado do quadrado.
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da seqüência
apresentada acima é:
A)
B)
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o
limite determinado pela condição se ele
A) duplicasse a medida do lado do quadrado.
B )triplicasse a medida do lado do quadrado.
C )triplicasse a área do quadrado.
C)
D)
D )ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
E) ampliasse a área do quadrado em 4%.
28-(ENEM) As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra
cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são
quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no
tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B
e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de
modo a completar os desenhos.
E)
FIGURA A
26-(ENEM) O mapa abaixo representa um bairro de determinada
cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego.
Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra
representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200
metros.
FIGURA B
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em
minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h,
partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y?
A ) 25 min.
D) 1,5 min.
B )15 min.
E) 0,15 min.
C )2,5 min.
Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009.
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É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no
tabuleiro da figura A colocando a peça:
A )1 após girá-la 90° no sentido horário.
B )1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.
C )2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.
D )2 após girá-la 180° no sentido horário.
E )2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.
GABARITO
1-C
8-D
15-A
22-E
2-D
9-A
16-D
23-B
3-A
10-E
17-E
24-B
4-C
11-B
18-B
25-C
5-A
12-C
19-B
26-D
6-B
13-B
20-B
27-C
7-C
14-E
21-D
28-C
40