PROGRAMA TSOLO
Métodos de Cálculo
© 2010 Pedro Roncada Borges
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Maio 2010
Pedro Roncada Borges
FOLHA
PROGRAMA TSOLO – MÉTODOS DE CÁLCULO
1
REV.
00
ÍNDICE
ITEM
DESCRIÇÃO
1.0
OBJETIVO
2
2.0
DESCRIÇÃO DA TEMPERATURA AMBIENTE
2
3.0
TEMPERATURA DO SOLO NA PROFUNDIDADE DO DUTO
3
4.0
DISTRIBUIÇÃO DA TEMPERATURA DO SOLO AO REDOR DE UM DUTO
7
5.0
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
12
6.0
PROGRAMA TSOLO E EXEMPLOS DE ENTRADAS E SAÍDAS
12
PÁGINA
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PROGRAMA TSOLO – MÉTODOS DE CÁLCULO
2
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00
1.0
OBJETIVO
Este documento tem por objetivo mostrar os métodos utilizados no programa TSOLO para o
cálculo da temperatura do solo não perturbado a partir da temperatura ambiente em função da
profundidade, bem como para o cálculo da distribuição de temperaturas ao redor de um duto
aquecido ou resfriado e do calor trocado entre o duto e o solo.
2.0
DESCRIÇÃO DA TEMPERATURA AMBIENTE
Quando se dispõe somente das temperaturas máxima (Tmax) e mínima (Tmin) anual do
ambiente, as principais características das variações de temperatura do ambiente em um ciclo
anual podem ser descritas de forma aproximada por uma equação do tipo:
 2 t 
Tt  T0  A  cos

 8760 
[1]
onde:
Tt
T0
t
A
Tmax
Tmin
=
=
=
=
=
=
Temperatura do ambiente no tempo t, °C
Temperatura média do ambiente = (Tmax+Tmin)/2, °C
Tempo, h
Amplitude =(Tmax-Tmin)/2, °C
Temperatura máxima anual do ambiente, °C
Temperatura mínima anual do ambiente, °C
Quando se dispõe de uma série de 2n valores da temperatura T (0 a 2n-1) do ambiente ao
longo de um ciclo anual, as principais características das variações cíclicas de temperatura do
ambiente podem ser descritas com maior precisão por uma equação do tipo:
 2 t 
 2  t  n 1
Tt  T0   A k  cos k 
 [2]
   Bk  sin  k 
8760
8760




k 1
k 1
n
onde:
Tt
T0
t
A
B
n
=
=
=
=
=
=
Temperatura do ambiente no tempo t, °C
Temperatura média do ambiente, °C
Tempo, h
n coeficientes do coseno, °C
n-1 coeficientes do seno, °C
Metade do número de medições de temperatura, adimensional
Segundo Sokolnikoff 1, o valor de T0, os n coeficientes A e os n-1 coeficientes B da equação [2]
podem ser determinados por:
2 n 1
T0 
2 n 1
Aj 
i 0
i 0
2n
 i  j  

n 
n
 T  cos
i
T
i
[3]
j  1, 2, .... , n  1 [4]
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PROGRAMA TSOLO – MÉTODOS DE CÁLCULO
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00
2 n 1
An 
2 n 1
Bj 
3.0
 Ti cos i 
i 0
 i  j  

n 
n
 T  sin
i 0
i
[5]
2n
j  1, 2, .... , n  1 [6]
TEMPERATURA DO SOLO NA PROFUNDIDADE DO DUTO
A temperatura da superfície do solo normalmente está em fase com a temperatura do
ambiente. A amplitude de variação da temperatura da superfície do solo é praticamente igual à
que ocorre no ambiente, sofrendo alguma atenuação em climas frios.
À medida que a profundidade do solo cresce ocorre uma atenuação exponencial da amplitude
de variação da temperatura do solo e abaixo de 5 a 6 metros a temperatura do solo é
praticamente constante ao longo do ano. Observa-se também um atraso nos extremos de
temperatura do solo em relação aos extremos de temperatura ambiente, que vai aumentando
com a profundidade.
Entretanto, a temperatura média anual do solo é praticamente constante com a profundidade,
crescendo cerca de 1 °C para cada 50 m de profundidade devido ao fluxo de calor geotérmico
do centro da Terra para a superfície. Em climas quentes e moderados a temperatura média
anual do solo é praticamente igual à temperatura média anual do ambiente. Em climas frios,
com inverno rigoroso e com precipitação de neve, a temperatura média anual do ambiente
pode ser até 5°C menor que a temperatura média anual do solo, principalmente pela
característica de isolamento térmico da camada de neve.
Williams 2 cita que as propriedades do solo que determinam sua resposta às variações de
temperatura na superfície são a massa específica, o calor específico e a condutividade térmica,
que combinadas dão a difusividade térmica, que é importante no cálculo do fluxo de calor no
interior do solo:
αs 
onde:
s
ks
s
cs
=
=
=
=
ks
ρs  c s
[7]
Difusividade térmica do solo, m2/h
Condutividade térmica do solo, kcal / h.m.°K
Massa específica do solo, kg/m3
Calor específico do solo, kcal / kg.°K
Observa-se que quanto maior o teor de umidade do solo maior a difusividade térmica pela
influência que tem nestas três propriedades e, portanto os solos úmidos tendem a apresentar
temperaturas maiores que os solos secos na mesma profundidade.
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A tabela abaixo mostra valores típicos para a difusividade térmica:
Difusividade Térmica
Terreno
Rocha
Argila molhada
Areia molhada
Argila seca
Areia seca
2
m /s
m2/h
2,0 x10-6
1,5 x10-6
1,0 x10-6
0,2 x10-6
0,1 x10-6
0,0072
0,0054
0,0036
0,00072
0,00036
Em climas quentes e moderados, a temperatura induzida em um solo com propriedades
térmicas constantes por uma variação cíclica anual de temperatura em sua superfície pode ser
estimada 2 por um modelo unidimensional condutivo em meio homogêneo, deduzido a partir da
equação [1]:
T(h, t)  T0  A  e
h

8760 αs
 2 t

 cos
h
8760 αs
 8760

 [8]


onde:
T(h,t)
T0
A
h
s
t
Tmax
Tmin
=
=
=
=
=
=
=
=
Temperatura do solo na profundidade h e no tempo t, °C
Temperatura média do ambiente = (Tmax+Tmin)/2, °C
Amplitude =(Tmax-Tmin)/2, °C
Profundidade, m (considerada positiva)
Difusividade térmica do solo, m2/h
Tempo, h
Temperatura máxima anual do ambiente, °C
Temperatura mínima anual do ambiente, °C
A figura a seguir mostra, para um período de 1 ano, a temperatura ambiente calculada pela
equação [1] a partir das temperaturas máxima e mínima anual e a temperatura do solo
calculada pela equação [8] correspondente a uma profundidade de cerca de 1,73 m:
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Smerdon et al. 3 analisaram dados diários obtidos ao longo de 7 a 8 anos em 4 diferentes
locações com características diferentes de condições meteorológicas e de tipo de solo, em
profundidades de até 3 m em duas delas e até 8 m nas outras duas, com o objetivo de
examinar o transporte de calor sub-superficial no solo.
Verificaram que os sinais anuais de temperatura sub-superficial no solo das 4 locações exibiam
características dependentes da profundidade que são descritas de forma simples e efetiva pelo
uso do modelo unidimensional condutivo em meio homogêneo dado pela equação [8].
As temperaturas máxima e mínima anuais do solo em uma profundidade h são dadas por:
Ts max  T0  A  e
h
Ts min  T0  A  e
h

8760 α s
[9]

8760 α s
[10]
onde:
Ts max
Ts min
=
=
Temperatura anual máxima do solo, °C
Temperatura anual mínima do solo, °C
A figura a seguir mostra, em função da profundidade, as temperaturas máxima e mínima do
solo calculadas pelas equações [9] e [10]:
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00
Quando a temperatura ambiente é descrita pela equação [2] a temperatura induzida na
profundidade h de um solo com propriedades térmicas constantes por uma variação cíclica
anual de temperatura em sua superfície pode ser estimada por:
n
T(h, t)  T0   A k e
k 1
 Lk
n 1
 cosk  w  t  Lk    Bk e  Lk  sin k  w  t  Lk  [11]
k 1
onde:
w
2
8760
Lk  h k 
T(h,t)
T0
A
B
h
s
t
=
=
=
=
=
=
=

8760 αs
Temperatura do solo na profundidade h e no tempo t, °C
Temperatura média do ambiente, °C (equação [3])
n coeficientes, °C (equações [4] e [5])
n – 1 coeficientes, °C (equação [6])
Profundidade, m (considerada positiva)
Difusividade térmica do solo, m2/h
Tempo, h
A figura a seguir mostra, para um período de 1 ano, a temperatura ambiente calculada pela
equação [2] a partir de valores mensais da temperatura ambiente e a temperatura do solo
calculada pela equação [11] correspondente a uma profundidade de cerca de 1,73 m:
As temperaturas máxima e mínima anuais do solo em uma profundidade h são calculadas pela
equação [11] considerando-se o tempo de ocorrência das temperaturas máxima e mínima do
ambiente.
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REV.
00
A figura a seguir mostra, em função da profundidade, as temperaturas máxima e mínima do
solo calculadas pela equação [11] considerando-se o tempo de ocorrência das temperaturas
máxima e mínima do ambiente:
4.0
DISTRIBUIÇÃO DA TEMPERATURA DO SOLO AO REDOR DE UM DUTO
As equações anteriores permitem estimar a temperatura do solo em um terreno “não
perturbado”, ou seja, sem outras fontes de calor no seu interior, tais como uma linha aquecida
na descarga de uma estação de compressão ou uma linha resfriada a uma temperatura menor
que a do solo pelo efeito Joule-Thomson, por exemplo.
King 4, utiliza nesses casos, para a análise da distribuição de temperatura e das linhas de fluxo
de calor, o modelo da imagem especular de Carslaw 5 que considera o fluxo de calor em
regime permanente de uma fonte quente pontual para uma fonte fria pontual. Nesse modelo as
isotermas são círculos com centro no plano vertical que passa pelo centro do duto e as linhas
de fluxo equipotenciais são círculos ortogonais às isotermas, com centro no plano horizontal da
superfície do solo, conforme ilustrado na figura a seguir:
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Ao inserir-se no solo não perturbado um duto de raio R, com temperatura de parede Tp em toda
a circunferência, cujo centro está a uma profundidade h abaixo da superfície do solo, em um
meio condutor infinito de condutividade ks e com uma temperatura Ts, o fluxo de calor e
distribuição de temperatura no solo são associados aos que ocorrem ao redor de uma fonte
quente de intensidade  (em z= -ib) enterrada a uma profundidade b abaixo da superfície do
solo e de uma fonte fria de intensidade - (em z= +ib) situada a uma distância b acima da
superfície do solo que são dados pela seguinte equação complexa:
 z  ib 
T  iφ  θ ln
  Ts
z
ib



onde:
T
i
[12]
= Temperatura do solo no ponto (x,y), °C
=
1
= Função potencial do fluxo de calor, conjugada de T no plano complexo xy
com valor entre 0 e 2
= Intensidade da fonte pontual, °C
= Variável complexa x + iy
= Distância ao plano vertical que contem as fontes, m
= Distância ao plano horizontal da superfície do solo, m
= Distância vertical entre as fontes e a superfície do solo, m
= Temperatura do solo não perturbado, °C


z
x
y
b
Ts
A partir da equação [12] e da condição de contorno da temperatura da parede do duto pode-se
deduzir as equações da intensidade da fonte pontual e de sua distância à superfície do solo
que garantam a temperatura Tp em toda a circunferência do duto:
θ
Tp Ts
h
cosh1  
R

Tp Ts
h
h2 
ln 
1
 R R2 


b  h2  R 2
[13]
[14]
onde:

Tp
Ts
b
h
R
=
=
=
=
=
=
Intensidade da fonte pontual, °C
Temperatura da parede do duto, °C
Temperatura do solo não perturbado, °C
Distância vertical entre as fontes e a superfície do solo, m
Distância vertical entre o centro do duto e a superfície do solo, m
Raio do duto, m
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00
Com os valores de  e b e a parte real da equação [12] pode-se deduzir que o raio rt e a
locação do centro (xt , yt) das isotermas circulares com uma determinada temperatura t são
dados por:
rt 
2 b ea
1- e 2a
y t  1-e 2a 
- b 1 e 2a
xt  0
[15]
onde:
a
=
=
=
=
=
=
=
rt
b
xt
yt
t
Ts

t - Ts
θ
Raio da isoterma, m
Distância vertical entre as fontes e a superfície do solo, m
Distância do centro da isoterma ao plano vertical que contem as fontes, m
Distância do centro da isoterma ao plano horizontal da superfície do solo, m
Temperatura da isoterma, °C
Temperatura do solo não perturbado, °C
Intensidade da fonte pontual, °C
Com os valores de  e b e a parte imaginária da equação [12] pode-se deduzir que o raio r e a
locação do centro (x , y) das linhas de fluxo equipotenciais circulares com um determinado
potencial , entre 0 e 2, são dados por:
rφ 
b
sen φ
xφ 
b
tan φ
yφ  0
[16]
onde:
r
b

x
y
= Raio da equipotencial, m
= Distância vertical entre as fontes e a superfície do solo, m
= Função potencial do fluxo de calor entre 0 e 2
= Distância do centro da equipotencial ao plano vertical que contem as
fontes, m
= Distância do centro da equipotencial ao plano horizontal da superfície do
solo, m
O calor trocado pelo duto e o solo, por unidade de comprimento do duto e por unidade de
tempo, é dado por:
Q  2 π θ ks
[17]
onde:
Q

ks
= Calor cedido oupelo duto, kcal / h.m
= Intensidade da fonte pontual, °C
= Condutividade térmica do solo, kcal / (h.m.°C)
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REV.
00
As figuras a seguir mostram algumas isotermas e linhas de fluxo térmico escolhidas, bem como
o calor cedido por um duto de 18 pol de diâmetro, temperatura de parede de 50°C, enterrado a
1,5 m de profundidade (topo) em um solo não perturbado com temperaturas de 16,4°C e 27°C:
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00
As figuras a seguir mostram algumas isotermas e linhas de fluxo térmico escolhidas, bem como
o calor recebido por um duto de 18 pol de diâmetro, temperatura de parede de 10°C, enterrado
a 1,5 m de profundidade (topo) em um solo não perturbado com temperaturas de 16,4°C e
27°C:
Notar que as isotermas apresentadas nas quatro figuras anteriores apresentam a mesma
localização em todas as figuras porque as temperaturas escolhidas em cada figura foram
calculadas com a mesma proporção da diferença entre a temperatura do duto e a temperatura
do solo em todos os casos.
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00
5.0
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1
Sokolnikoff, I.S. e Redheffer, R.M., “Mathematics of Physics and Modern Engineering”,
McGraw-Hill, New York, 1966, pgs 680 a 682.
2
Williams, G.P. e Gold, L.W., “Ground Temperatures”, Canadian Building Digest CBD-180,
Julho 1976.
3
Smerdon, J. E. et al., “Air-Ground Temperature Coupling and Subsurface Propagation of
Annual Temperature Signals”, Relatório de Pesquisa, University of Michigan, Ann Arbor,
Mi, USA, 27 Agosto 2004.
4
King, G.G., “Equation Predicts Buried Pipelines Temperatures”, Oil & Gas Journal, 16
Março 1981.
5
Carslaw, H.S., Jaeger, J. C., “Conduction of Heat in Solids”, 2ª Edição, Oxford, 1959.
6.0
PROGRAMA TSOLO E EXEMPLOS DE ENTRADAS E SAÍDAS
O Programa TSOLO foi desenvolvido em Visual Basic do EXCEL 2003. As macros utilizadas
estão protegidas por senha contra visualização e alterações. Todas as guias e gráficos da
planilha são protegidos por senha para evitar alterações.
Na guia de entrada IN para o cálculo da temperatura do solo não perturbado as células
marcadas em azul permitem alteração dos dados e as opções de cálculo estão identificadas
pelo texto dos botões de comando. O valor da opção é colocado automaticamente e a guia é
alterada conforme a opção escolhida.
Os resultados do cálculo são mostrados na guia OUT e nos gráficos das guias T x t e T x h.
Na guia de entrada Dist para o cálculo da distribuição de temperaturas do solo ao redor do duto
as células marcadas em azul permitem alteração dos dados e as opções de cópia automática
de valores da guia OUT estão identificadas pelo texto dos botões de comando. Por coerência
entre os dois cálculos o único valor que deve ser alterado manualmente é o da temperatura da
parede do duto. Para este cálculo tem-se como resultado apenas o gráfico mostrado na guia
Txy.
Existem 2 guias ocultas na planilha para registro dos valores calculados para a geração dos
gráficos.
As páginas a seguir mostram exemplos de entradas e saídas do programa. A identificação no
topo da página mostra a guia da planilha correspondente.
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IN
TSOLO - Cálculo da Temperatura do Solo Não Perturbado na Profundidade do Duto
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Dados:
Título
Gasoduto Hipotético
SubTítulo
Temperatura em Campinas
Duto:
Diâmetro Nominal do Duto, pol
Profundidade do Topo do Duto, m
Solo:
Condutividade Térmica do Solo (kcal/h.m2.°C/m)
Calor Específico do Solo (kcal/kg.°C)
Massa Específica do Solo (kg/m3)
Temperatura Ambiente:
Opção (1=Máxima e Mínima, 2=Série Anual)
Temperatura Ambiente Máxima Absoluta (°C)
Temperatura Ambiente Mínima Absoluta (°C)
Opção
Temperaturas
Ambientes
Máxima e Mínima
Opção
Série Anual de
Temperatura Ambiente
Calcular
18
1,5
1,39
0,25
1500
1
31
12
OUT
TSOLO - Cálculo da Temperatura do Solo Não Perturbado na Profundidade do Duto
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Gasoduto Hipotético
Temperatura em Campinas
Dados:
Condutividade Térmica do Solo, kcal/h.m2.°C/m
Calor Específico do Solo, kcal/kg.°C
Massa Específica do Solo, kg/m3
Diâmetro Nominal do Duto, in
Profundidade do Topo do Duto, m
Temperatura Ambiente Máxima Absoluta, °C
Temperatura Ambiente Mínima Absoluta, °C
Resultados:
Difusividade Térmica do Solo, m2/h
Profundidade do Eixo do Duto, m
Temperatura Máxima Absoluta do Solo, °C
Temperatura Mínima Absoluta do Solo, °C
1,39
0,25
1500
18
1,5
31
12
0,003707
1,7286
27,05
15,95
Txt
Gasoduto Hipotético
Temperatura em Campinas
35
30
Temperatura. °C
25
20
15
10
5
0
0
730
1460
2190
2920
3650
4380
5110
5840
6570
Tempo, h
Ambiente Calculada
Ambiente Dada
Solo Calculada
TSOLO - Cálculo da Temperatura do Solo Não Perturbado na Profundidade do Duto
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7300
8030
8760
Txh
Gasoduto Hipotético
Temperatura em Campinas
0,0
5
10
15
20
25
-0,5
Profundidade do Eixo do Duto, m
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
-3,0
-3,5
-4,0
-4,5
-5,0
Temperatura do Solo, °C
Mínima
Média
Máxima
Eixo do Duto
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30
35
IN
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Dados:
Título
Gasoduto Hipotético
SubTítulo
Temperatura em Campinas
Duto:
Diâmetro Nominal do Duto, pol
Profundidade do Topo do Duto, m
Solo:
Condutividade Térmica do Solo (kcal/h.m2.°C/m)
Calor Específico do Solo (kcal/kg.°C)
Massa Específica do Solo (kg/m3)
Temperatura Ambiente:
Opção (1=Máxima e Mínima, 2=Série Anual)
Opção
Temperaturas
Ambientes
Máxima e Mínima
Opção
Série Anual de
Temperatura Ambiente
Calcular
18
1,5
1,39
0,25
1500
2
Mês
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
°C
30
31
29
25
22
18
15
12
15
18
20
25
OUT
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Gasoduto Hipotético
Temperatura em Campinas
Dados:
Condutividade Térmica do Solo, kcal/h.m2.°C/m
Calor Específico do Solo, kcal/kg.°C
Massa Específica do Solo, kg/m3
Diâmetro Nominal do Duto, in
Profundidade do Topo do Duto, m
Resultados:
Difusividade Térmica do Solo, m2/h
Profundidade do Eixo do Duto, m
Temperatura Máxima Absoluta do Solo, °C
Temperatura Mínima Absoluta do Solo, °C
Temperatura,°C
1,39
0,25
1500
18
1,5
0,003707
10
26,95
16,43
Mes
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Ambiente
30
31
29
25
22
18
15
12
15
18
20
25
Solo
24,00
26,32
26,93
25,75
24,06
21,91
19,67
17,32
16,53
17,80
18,87
20,83
Txt
Gasoduto Hipotético
Temperatura em Campinas
35
30
Temperatura. °C
25
20
15
10
5
0
0
730
1460
2190
2920
3650
4380
5110
5840
6570
Tempo, h
Ambiente Calculada
Ambiente Dada
Solo Calculada
TSOLO - Cálculo da Temperatura do Solo Não Perturbado na Profundidade do Duto
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7300
8030
8760
Txh
Gasoduto Hipotético
Temperatura em Campinas
0,0
5
10
15
20
25
-0,5
Profundidade do Eixo do Duto, m
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
-3,0
-3,5
-4,0
-4,5
-5,0
Temperatura do Solo, °C
Mínima
Média
Máxima
Eixo do Duto
TSOLO - Cálculo da Temperatura do Solo Não Perturbado na Profundidade do Duto
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30
35
Dist
TSOLO - Cálculo da Temperatura do Solo ao Redor do Duto
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Duto:
Profundidade do Topo, m
Diâmetro Nominal, in
Temperatura Externa, °C
Solo:
Cond. Térmica, kcal/h.m.°C
Temperatura, °C
1,5
18
50
1,39
16,0
Copiar Dados e
Temperatura do Solo
Mínima
Calcular
Copiar Dados e
Temperatura do Solo
Máxima
Txy
Gasoduto Hipotético
Temperatura em Campinas
0,0
16 °C
Duto
Profundidade do Topo, m
Duto
-0,5
1,5
Calor Cedido, kcal / h.m
24,5 °C
Diâmetro Nominal, in
109,5
-1,0
18
33 °C
Temperatura Externa, °C
Profundidade, m
50
41,5 °C
-1,5
50 °C
-2,0
-2,5
Solo
Cond. Térmica, kcal/h.m.°C
1,39
-3,0
Duto
Isóterma
Isoterma
-3,5
Temperatura, °C
16,0
-4,0
-2,0
Linha de Fluxo
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
Distância ao plano vertical central, m
TSOLO - Cálculo da Temperatura do Solo ao Redor do Duto
© 2010 by Pedro Roncada Borges
2,0