Notas de Aula - FIS32
Lara Kuhl Teles
21 de julho de 2008
2
Sumário
0 Tópicos matemáticos
9
0.1
Teoremas e propriedades de Cálculo Vatorial . . . . . . . . . .
0.2
Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente . . . . . . 10
1 Introdução
9
11
1.1
Forças elétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2
Propriedades da carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Lei de Coulomb
15
2.1
A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2
Princı́pio de Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Campo Elétrico
19
3.1
O Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2
Distribuições Contı́nuas de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1
Tipos de Distribuições: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3
Linhas de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4
Fluxo
3.5
Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Aplicando A Lei De Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6
Aplicações da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7
Divergência de um vetor e Equação de Poisson . . . . . . . . . 38
3.8
Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss . . . . 44
3
4
SUMÁRIO
4 Potencial Eletrostático
4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1
4.2
Cálculo do pontencial eletrostático gerado por uma
carga pontual q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Cálculo do Campo a partir do potencial
4.3.1
4.4
Recordação da Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Definição do Potencial eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1
4.3
51
. . . . . . . . . . . . 54
Equipontenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Potencial de uma distribuição de cargas . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1
Anel isolante uniformemente carregado . . . . . . . . . 56
4.4.2
Disco uniformemente carregado: a uma distância z do
centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.3
Disco uniformemente carregado: Cálculo no Bordo . . . 58
4.4.4
Casca esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5
Dipolo elétrico e expansão multipolar dos campos elétricos . . 60
4.6
Circulação do campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Equações da Eletrostática e Energia
69
5.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2
Equações de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3
Resumo das equações da eletrostática . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4
Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5
5.4.1
Relação entre campos logo acima e abaixo de uma superfı́cie carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.2
Relação entre os potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.3
Alguns outros comentários . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exemplos de aplicação das Equações de Poisson e Laplace . . 74
5.5.1
5.6
Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Energia Potencial Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6.1
Energia Potencial Eletrostática de uma distribuição de
cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
SUMÁRIO
5
5.6.2
Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6.3
Relação entre Energia e Campo Elétrico . . . . . . . . 80
5.6.4
Princı́pio da Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Condutores
85
6.1
Breve Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2
Propriedades dos Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3
Carga Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.1
6.4
O campo numa cavidade de um condutor . . . . . . . . 87
Método das Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.1
Carga e o Plano Condutor Aterrado . . . . . . . . . . . 92
6.4.2
Densidade De Carga Induzida Na Superfı́cie Do Plano
93
6.5
Poder das Pontas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6
Carga Na Superfı́cie e Força Em Um Condutor . . . . . . . . . 96
7 Capacitores
97
7.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2
Energia de um capacitor carregado . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3
Cálculos de Capacitâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4
7.3.1
Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3.2
Capacitor Cilı́ndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.3
Capacitor Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Associação de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4.1
Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4.2
Capacitores em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8 Dielétricos
109
8.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2
Campo no interior de um dielétrico . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2.1
moléculas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.2
moléculas apolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6
SUMÁRIO
8.3
8.4
8.5
8.6
Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.1
Definição do vetor Polarização . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.2
Susceptibilidade Elétrica e constante dielétrica . . . . 113
Lei de Gauss e vetor deslocamento elétrico . . . . . . . . . . . 114
Energia eletrostática em dielétricos
. . . . . . . . . . . . . . 116
Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9 Corrente elétrica e Resistência
9.1
Transporte de Carga e Densidade de Corrente . . . . . . . . . 121
9.1.1
9.2
9.5
. . . . . . . . . . 121
Caso De Corrente Estacionária . . . . . . . . . . . . . 126
Condutividade Elétrica e a Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . 127
9.3.1
9.4
Conceito De Densidade De Corrente
Equação da Continuidade da Carga elétrica . . . . . . . . . . 124
9.2.1
9.3
121
Um Modelo Para a Condução Elétrica . . . . . . . . . 127
Associação de Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4.1
Associação em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4.2
Associação em Série
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Força Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5.1
Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.5.2
Potência Máxima Transmitida . . . . . . . . . . . . . . 138
9.6
Leis de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.7
Circuito R-C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.1
Carregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.2
Descarregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . 144
10 Magnetostática
149
10.1 Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Força magnética em fios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.3 Torque em espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.4 O Movimento Cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.5 A Ausência de monopolos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . 159
SUMÁRIO
7
10.6 O Efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.7 A Lei de Biot Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.7.2 Formas Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.7.3 Aspectos Interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.7.4 Aplicações da Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . 166
10.8 A Lei Circuital de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampère . . . . . . . . . . 174
10.8.3 Aplicações da Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . 175
10.9 Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.10Condições de Contorno na Magnetostática . . . . . . . . . . . 189
10.10.1 Componente perpendicular à superfı́cie . . . . . . . . . 190
10.10.2 Componente paralela à superfı́cie e paralela à direção
da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.10.3 Componente paralela à superfı́cie e perpendicular à
direção da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.11Expansão em multipólos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11 Lei da Indução
195
11.1 O Fluxo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.2 A Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.3 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.4 Efeitos Mecânicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.4.1 As correntes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.4.2 Atrito Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.4.3 Canhão Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.5 Indutância Mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.6 Auto-Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11.7 Associação de Indutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.7.1 Dois indutores em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8
SUMÁRIO
11.7.2 Dois indutores em paralelo
11.8 Circuito R-L . . . . . . . . . . . .
11.9 Circuito L-C . . . . . . . . . . . .
11.10Analogia com sistema mecânico .
11.11Circuito R-L-C . . . . . . . . . .
11.11.1 Subcrı́tico . . . . . . . . .
11.11.2 Crı́tico . . . . . . . . . . .
11.11.3 Supercrı́tico . . . . . . . .
11.12Energia em Campos Magnéticos .
12 Equações de Maxwell
12.1 Introdução . . . . . . . . . . .
12.2 Modificação na lei de Ampère
12.3 Equações de Maxwell . . . . .
12.3.1 Forma diferencial . . .
12.3.2 Forma integral . . . .
12.4 Equações de Onda . . . . . .
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13 Materiais Magnéticos
13.1 Propriedades Magnéticas da Matéria . . .
13.2 Momentos magnéticos e Momento angular
13.3 Materiais Diamagnéticos . . . . . . . . . .
13.4 Materiais Paramagnéticos . . . . . . . . .
~ . . . . . . . .
13.5 Magnetização e o campo H
13.6 Materiais Magnéticos Lineares . . . . . . .
13.7 Materiais Ferromagnéticos . . . . . . . . .
13.8 Energia em meios magnéticos . . . . . . .
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215
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218
221
222
224
224
224
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231
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. 237
. 237
. 238
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241
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. 248
. 249
. 253
. 254
. 257
Capı́tulo 0
Tópicos matemáticos
0.1
Teoremas e propriedades de Cálculo Vatorial
Teorema 1 (Teorema de Stokes). Seja S uma superfı́cie de bordo γ = ∂S e
seja F~ um campo de classe C 1 . Então:
I
F~ d~l =
ZZ
~ × F~ dS
~
∇
(1)
S
γ=∂S
Demonstração. Encontrada em qualquer referência de Cálculo Vetorial
Teorema 2 (Teorema da Divergência ou de Gauss). Seja R uma região do
espaço de bordo γ = ∂R e seja F~ um campo de classe C 1 . Então:
ZZZ
ZZ
→→
∇F dv =
R
~
F~ dS
(2)
∂R
Demonstração. Encontrada em qualquer referência de Cálculo Vetorial
Tais Teoremas são de extrema importância pois facilitam em determinadas situações o cálculo de um dos membros das equações por meio do ou9
10
CAPÍTULO 0. TÓPICOS MATEMÁTICOS
tro, que pode ser obtido por um método de integração mais rápido e menos
propı́cio a erros.
0.2
Propriedades de Divergente, Rotacional
e Gradiente
1) o divergente de um rotacional vale sempre zero, quaisquer que sejam os
vetores associados.
2) o rotacional de um gradiente vale sempre zero, qualquer que seja o
campo escalar associado.
Capı́tulo 1
Introdução
1.1
Forças elétricas
Consideremos uma força análoga à gravitação que varie com o inverso do
quadrado da distância, mas que seja bilhões de bilhões de bilhões de vezes
mais intensa. E com outra diferença: que haja duas classes de ”matéria”que
poderı́amos chamar de positiva e negativa. Se são da mesma classe se repelem
e se são de classes distintas se atraem, diferentemente de gravitação que é só
atrativa.
Um conjunto de elementos positivos se repelem com uma força enorme,
o mesmo ocorrendo com um conjunto de elementos negativos. Os elementos
opostos são mantidos juntos por uma força enorme de atração. Estas terrı́veis
forças se equilibrarão perfeitamente e formarão uma mescla de elementos
positivos e negativos intimamente mesclados entre si de tal modo que duas
porções separadas não sentirão nem atração nem repulsão entre elas.
Uma força como esta existe e é chamada de força elétrica. E toda a
matéria é uma mescla de prótons positivos e elétrons negativos que estão
se atraindo e repelindo com uma grande força. Mas, há um equilı́brio tão
perfeito que com relação ao conjunto não se sente nenhuma força resultante.
Atualmente, sabemos que as forças elétricas determinam em grande parte,
11
12
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
as propriedades fı́sicas e quı́micas da matéria em toda a faixa que vai desde
o átomo até a célula viva. Temos de agradecer por este conhecimento dos
cientistas do século XIX: Ampère, Faraday, Maxwell e muitos outros que
descobriram a natureza do eletromagnetismo; bem como fı́sicos e quı́micos
do século XX que revelaram a estrutura atômica da matéria.
O eletromagnetismo clássico estuda as cargas e correntes elétricas e suas
ações mútuas, como se todas as grandezas envolvidas pudessem ser medidas independentemente, com precisão limitada. Nem a revolução da fı́sica
quântica, nem o desenvolvimento da relatividade especial deslustraram as
equações do campo eletromagnético que Maxwell estabeleceu há mais de cem
anos atrás. Evidentemente, a teoria estava solidamente baseada na experimentação, e por causa disso era muito segura dentro dos limites do seu campo
de aplicação original. No entanto, mesmo um êxito tão grande não garante
a validade num outro domı́nio, por exemplo, no interior de uma molécula.
Dois fatos ajudam a explicar importância contı́nua da teoria clássica do
eletromagnetismo na fı́sica moderna. Primeiro, a relatividade restrita não
exigiu nenhuma revisão do eletromagnetismo clássico. Cronologicamente, a
relatividade especial nasceu do eletromagnetismo clássico e das experiências
inspiradas por ele. As equações de Maxwell, deduzidas muito antes dos trabalhos de Lorentz e Einstein revelaram-se inteiramente compatı́vel com a
relatividade. Em segundo lugar, as modificações quânticas das forças eletromagnéticas revelaram-se sem importância até distâncias da ordem de 10−10
cm, cem vezes menores que o átomo. Podemos descrever a repulsão e atração
de partı́culas no átomo utilizando as mesmas leis que se aplicam ás falhas
de um eletroscópio, embora necessitemos da mecânica quântica para prever
o comportamento sob ação dessas forças.
Segundos relatos históricos, já ao tempo da Grécia Antiga se tinha conhecimento de que o âmbar (uma espécie de resina denominada de elétron na
lı́ngua grega), uma vez friccionado com lã, adquiria a propriedade de atrair
pequenos fragmentos de papel, fiapos de tecidos, etc. Nenhum progresso
1.2. PROPRIEDADES DA CARGA ELÉTRICA
13
substancial ocorreu todavia nesse assunto até o século XVIII, quando se descobriu que o vidro friccionado com um pano de seda também apresentava
propriedades semelhantes a do âmbar. Estas observações levaram a admitir
duas espécies de eletricidade: a vı́trea e a resinosa.
Ainda dessas observações decorram as leis elementares da eletrostática, a
saber: a) Eletricidades de mesmo nome se repelem b) Eletricidades de nomes
diferentes se atraem.
Benjamin Franklin foi o primeiro a falar em eletricidade positiva (a vı́trea)
e eletricidade negativa (a resinosa).
Hoje sabemos que esses efeitos são devidos à existência do que chamamos
de carga elétrica. Embora a carga elétrica não seja definida sabemos que ela
é uma caracterı́stica das partı́culas fundamentais que constituem os átomos.
1.2
Propriedades da carga elétrica
Uma propriedade fundamental da carga elétrica é a sua existência nas duas
espécies que há muito tempo foram chamadas de positivas e negativas. Observouse o fato de que todas as partı́culas eletrizadas podem ser divididas em duas
classes, de tal forma que todos os componentes de uma classe se repelem
entre si, a o passo que atraem is componentes de outra classe.
Se A e B repelem-se e A atrai um terceiro corpo eletrizado C, então B
atraiu C.
Não podemos dizer com certeza, porque prevalece esta lei universal. Mas
hoje os fı́sicos tendem a considerar as cargas positivas e negativas, fundamentalmente como manifestações opostas de uma qualidade assim como direito
e esquerdo, manifestações opostas de lado.
O que nós chamamos de carga negativa poderia ter sido chamada de
positiva e vice-versa. A escolha foi um acidente histórico.
A segunda propriedade é um dos princı́pios fundamentais da Fı́sica: O
Princı́pio da conservação da carga elétrica. Esse princı́pio é equivalente ao
14
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
POSTULADO DA TEORIA.
A carga total, num sistema isolado, nunca varia. (sistema isolado =
nenhuma matéria atravessa os limites do sistema).
Observação 1.1. Podemos ter a criação de pares de cargas positivas e negativas, mas uma carga positiva e negativa, mas uma carga positiva ou negativa
não pode simplesmente desaparecer ou aparecer por si só.
A terceira propriedade está relacionada com a quantidade da carga.
A experiência da gota de óleo de Millikan, e diversas outras, demonstram
que a carga elétrica aparece a natureza em múltiplos de um único valor
unitário. Essa intensidade é representada por e 1 , a carga eletrônica.
Experiências mostram que a carga do próton e do elétron são iguais com
uma precisão de 1 para 10−20 . De acordo com as odeias atuais, o elétron e
o próton e o próton são tão diferentes entre si como o podem ser quaisquer
outras partı́culas elementares. Ninguém entende ainda porque suas cargas
devam ser iguais até um grau tão fantástico de precisão.
Evidentemente a quantização da carga é uma lei profunda e universal da
natureza. Todas as partı́culas elementares eletrizadas, até o ponto em que
podemos determinar, têm cargas de magnitudes rigorosamente iguais.
Observação 1.2. Nada na eletrodinâmica requer que as cargas sejam quantizadas este é um fato.
Observação 1.3. Prótons e nêutrons são compostos de três quarks, cada qual
com cargas fracionadas ± 32 e e ± 13 e . No entanto, quarks livres parecem
não existir na natureza, de qualquer forma isto não alteraria o fato da carga
ser quantizada, só reduziria o módulo da unidade básica.
Observação 1.4. Por outro lado, a não-conservação da carga (Propriedade
2) seria totalmente incompatı́vel com a estrutura da teoria eletromagnética
atual.
1
e= 1, 6.10−19 C
Capı́tulo 2
Lei de Coulomb
2.1
A Lei de Coulomb
Você provavelmente já sabe que a interação de cargas elétricas em repouso é
regida pela lei de Coulomb, que nos diz que entre duas cargas em repouso
há uma força diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente
proporcional ao quadrado da distância que as separa. A força se dá na direção
da reta que une as duas cargas.
→
F1 =
→
1 q1 q2
r̂1,2 = − F2
2
4πo r1,2
(2.1)
→
F1 = força que age sobre a partı́cula 1
r̂1,2 = versor na direção de q1 e q2
r1,2 = distância entre q1 e q2
No sistema CGS ou MES: k0 vale aproximadamente um (1)
h →i
F = dina
1C = 2, 998.109 MES
Quando temos mais de duas cargas devemos complementar a lei de Coulomb com outro jeito da natureza: o princı́pio da superposição.
15
16
CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB
Figura 2.1: Força elétrica entre duas cargas
2.2
Princı́pio de Superposição
Considere o sistema constituı́do de n cargas puntiformes q0 , q1 , q2 ....qn . Podemos calcular a força elétrica resultante sobre qualquer uma das cargas
aplicando o Princı́pio da Superposição. Suponha que desejamos calcular o
vetor força elétrica resultante sobre a carga q0 . Para isso, determinaremos a
força que cada uma das cargas exerce sobre q0 e em seguida somamos todas
as contribuições.
A força resultante sobre q0 será:
→
→
→
→
F0 =F0,1 + F0,2 +....+ F0,n
(2.2)
→
Sendo F0,n a força devido a qn
O Princı́pio da Superposição estabelece que a interação entre quaisquer
duas cargas não é afetada pela presença das outras.
Assim,
n
X
qi
F 0 = K0 q0
r̂
2 0,i
r
0,i
i=1
→
Reescrevendo:
(2.3)
2.2. PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO
→
F0 = K0 q0
n
X
i=1
qi
|
→
ri
−
17
→
(ri
→
3
r0 |
→
− r 0)
(2.4)
18
CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB
Capı́tulo 3
Campo Elétrico
3.1
O Campo Elétrico
Suponhamos uma distribuição de cargas q1 , q2 ,..., qn fixas no espaço, e vejamos não as forças que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que
produzem sobre alguma outra carga q0 que seja trazida às suas proximidades.
Sabemos que a força sobre q0 é:
F~o = Ko
n
X
qo qi
i=1
2
ro,i
r̂o,i
→
Assim, se dividirmos F 0 por q0 teremos:
n
X
F~o
qi
= Ko
r̂
2 o,i
qo
r
o,i
i=1
(3.1)
uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema original de cargas q1 , q2 ,..., qn e da posição do ponto (x,y,z). Chamamos essa
função vetorial de x,y e z de campo elétrico criado por q1 , q2 ,..., qn e usa→
mos o sı́mbolo E . As cargas são chamadas fontes do campo. Desta forma
19
20
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
definimos o campo elétrico de uma distribuição de cargas no ponto (x,y,z):
~
E(x,
y, z) = Ko
n
X
qi
r̂
2 o,i
r
o,i
i=1
(3.2)
~
F~o = qo E
(3.3)
Note que utilizamos como condição que as cargas fontes do campo estavam fixas, ou seja, que colocar a carga q0 no espaço não perturbará as
posições ou movimento de todas as outras cargas responsáveis pelos campos.
Muitas pessoas, às vezes, definem o campo impondo à q0 a condição de
→
~
ser uma carga infinitesimal e tomando E como: lim qFo
qo →0
Cuidado! Na realidade este rigor matemático é falso. Lembre-se que no
mundo real não há carga menor que e!
→
Se considerarmos a Equação 3.2 como definição de E , sem referência
a uma carga de prova, não surge problema algum e as fontes não precisam
ser fixas. Casa a introdução de uma nova carga cause deslocamento das
cargas fontes, então ela realmente produzirá modificações no campo elétrico
e se quisermos prever a força sobre a nova carga, devemos utilizar o campo
elétrico para calculá-la.
Conceito de campo: um campo é qualquer quantidade fı́sica que possue valores diferentes em pontos diferentes no espaço. Temperatura, por
exemplo, é um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual nós escrevemos
como T(x,y,z). A temperatura poderia também variar com o tempo, e nós
poderı́amos dizer que a temperatura é um campo dependente do tempo e
escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo é o campo de velocidade de um lı́quido
→
fluindo. Nós escrevemos v =(x,y,z,t) para a velocidade do lı́quido para cada
ponto no espaço no tempo t. esse é um campo vetorial. Existem várias idéias
criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos.
A mais correta é também a mais abstrata: nós simplesmente considerarmos
os campos como funções matemáticas da posição e tempo.
3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
O campo é uma grandeza vetorial e na unidade no SI é
Se tivermos somente uma carga:
21
N
(Newton/Coulumb).
C
~ = Ko q r̂
E
r2
Observação 3.1. Campo elétrico é radial e cai com a distância ao quadrado
O Princı́pio da superposição também é aplicado para os campos elétricos,
ou seja, o campo elétrico resultante em um ponto P qualquer será a soma
dos campos elétricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto.
~ =E
~1 + E
~ 2 + ... + E
~n
E
3.2
Distribuições Contı́nuas de Carga
Figura 3.1: Distribuições contı́nuas de carga
~ =
Usando o Princı́pio da Superposição: E
3.2.1
R
~ =Ko
dE
R
dq
r̂
r2
Tipos de Distribuições:
a) linear: carga distribuı́da ao longo de um comprimento (ex: fio, barra,
anel).
dq
Densidade linear de carga = λ =
dl
dq = λdl
22
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
~ = Ko
E
R
λdl
r̂
r2
b) superficial: carga distribuı́da ao longo de uma superfı́cie(ex: disco,placa).
dq
Densidade superficial de carga = σ =
ds
dq = λds
R
~ = Ko σds
E
2 r̂
r
c) volumétrica: carga distribuı́da no interior de um volume(ex: esfera,
cubo, cilindro).
dq
Densidade volumétrica de carga = ρ =
dv
dq = ρdv
R
~ = Ko ρdv
E
2 r̂
r
Exercı́cio 3.1. Determinar o campo elétrico no ponto P.
Figura 3.2: Determinação do campo no ponto P
~ Resolução. Se tomarmos limite quando b>>L temos: E
P =
= carga pontual
Ko λL
b2
=
Ko Q N
b2 C
3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
23
Colocando uma carga q no ponto P, a força é dada por:
~ P = qKo λL îN
F~ = q E
b(b − L)
Quando lim b >> L temos:
qQ
F~ = Ko 2 î = força de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q
b
Observação 3.2. Só funciona para matérias isolantes. Com os metais terı́amos
uma redistribuição de carga no condutor quando a presença da carga q.
Exercı́cio 3.2. Determinar o campo elétrico no ponto P.
Figura 3.3: Determinação do campo no ponto P
24
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Exercı́cio 3.3. Calcular o campo elétrico a uma distância z de um anel de
raio R
Figura 3.4: Anel de raio R
Resolução.
k~rk = z 2 + R2
dEz = dE cos α =
dl = Rdθ
λRdθ
z
√
2
2
z + R z 2 + R2
Por simetria só teremos componente na direção z.
Z2π
z
λRdθ
~ = k0 zRλ2π 3 k̂
k̂ ⇒ E
2
2
2
+R z +R
(z 2 + R2 ) 2
0
Qzλ
2πk0 λRz
N
~
E=
=
3 k̂
3 k̂
C
(z 2 + R2 ) 2
(z 2 + R2 ) 2
~ = k0
E
√
z2
Analisando os limites R → ∞ e z >> R:
3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
25
2πλRk0 z
k0 Q
= 2 = carga puntual
3
z
z
1
R → ∞:E → 0, com 3 se Q for fixa
R
1
com 3 se λ constante
R
z >> R : E =
Exercı́cio 3.4. Calcular o campo elétrico a uma distância z de um disco
com densidade de carga σ.
Figura 3.5: Anel de raio R
Resolução. Pela simetria só temos componente na direção z.
26
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
ds = rdθdr
z
dEz = dE cos α = dE √
r2 + z 2
ZR
Z2π ZR
rdr
zσrdθdr
√
= k0 zσ2π
Ez = k0
3
2
2
2
2
r + z (r + z )
(r2 + z 2 ) 2
0
2
0
0
2
r +z =u
du = 2rdr
2 +z 2
RZ
2 2
−1 R +z
u 2 Ez = k0 zσ2π
3 = k0 zσπ
− 21 2
2
(u)
z
z2
1
1
z
z
Ez = −k0 zσ2π √
−
= 2πk0 σ
−√
|z|
R2 + z 2 |z|
R2 + z 2
du
Analisando os limites:
z << R :
Ez =
σ z
2ε0 |z|
 σ

, z>0

~ = 2ε0
E
σ

−
, z<0
2ε0
z >> R :
− 12
z
R2
1 R2
1 R2
1− √
=1+ 1+ 2
=1− 1−
+
...
≈
z
2 z2
2 z2
z 2 + R2
σ R2
σπR2
Q
⇒ Ez =
=
=
2
2
2ε0 2z
4πε0 z
4πε0 z 2
3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA

σ
z


, z>0
 2ε 1 − √ 2
z + R2
0
Ez =

z
σ


−1 − √
, z<0
2ε0
z 2 + R2
Fazendo os gráficos:
z << R
Figura 3.6: Gráfico para z << R
z >> R
Figura 3.7: Gráfico para z >> R
27
28
3.3
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Linhas de Forças
Os esquemas mais utilizados para a representação e visualização de um campo
elétrico são:
a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espaço
Figura 3.8: Linhas de força-vetores
Quando q > 0 o campo é divergente.
Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distância.
b) Desenhar as linhas de campo:
Linhas de força de um campo, ou simplesmente linhas de campo são retas
ou curvas imaginárias desenhadas numa região do espaço, de tal modo que, a
tangente em cada ponto fornece a direção e o sentido do vetor campo elétrico
resultante naquele ponto.
As linhas de campo fornecem a direção e o sentido, mas não o módulo. No
entanto, é possı́vel ter uma idéia qualitativa do módulo analisando as linhas.
A magnitude do campo é indicada pela densidade de linhas de campo.
Exemplo 3.1. carga puntual +q
Atenção: o desenho está definido em duas dimensões, mas na realidade
representa as três dimensões.
3.3. LINHAS DE FORÇAS
29
Figura 3.9: Linhas de força de um campo
Figura 3.10: Carga pontual + q
Se considerássemos duas dimensões, a densidade de linhas que passam
através de uma circunferência seria igual a
n
2πr
, o que faria com que
E∝
1
r
Caso 3D a densidade seria igual a
n
4πr2
e
E∝
1
r2
30
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
, o que é correto.
Existem algumas regras para desenhar as linhas:
1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contrário, terı́amos dois
sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto não faz sentido pois
o campo que elas significam é sempre o resultante.
2) As linhas de campo começam na carga positiva e terminam na carga
negativa, ou no infinito.
3) O número de linhas é proporcional ao módulo das cargas.
Q1
n1
=
Q2
n2
Figura 3.11: Linhas de Campo
Exemplo 3.2.
3.4
Fluxo
Consideremos uma região no espaço, onde existe um campo elétrico como na
figura abaixo:
Uma superfı́cie de área A perpendicular a direção de E.
O fluxo através desta superfı́cie é: f = EA
3.4. FLUXO
31
Figura 3.12: Fluxo na área A
Se esta superfı́cie estiver na mesma direção de
~
~
E ~a⊥E
Figura 3.13: Fluxo na área A
Se esta superfı́cie estiver inclinada em relação as linhas de campo em um
ângulo θ
Considere agora, uma superfı́cie fechada qualquer. Divida a superfı́cie em
pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor
32
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.14: Fluxo na área A
campo não varie apreciavelmente sobre um trecho.
Não deixe que a superfı́cie seja muito rugosa nem que essa passe por uma
singularidade. (ex: carga puntiforme)
Figura 3.15: Superfı́cie
A área de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente
uma direção e sentido, a normal à superfı́cie orientada para fora. Para cada
→
trecho, temos um vetor a j que define sua área e orientação.
3.5. LEI DE GAUSS
33
→
→
O fluxo através desse pedaço de superfı́cie é dado por: Φ =E j . a j
E o fluxo através de toda a superfı́cie: Φ =
P
→
→
Ej . a j
j
Tornando os trechos menores, temos: Φ =
3.5
R
→
→
E .d a em toda a superfı́cie
Lei de Gauss
Tomemos o caso mais simples possı́vel: o campo de uma única carga puntiforme. Qual é o fluxo Φ através de uma esfera de raio r centrada em q?
Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme
34
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
~ = k0 q r̂
E
r2
d~a = r2 senθdθdϕr̂
I
ZZ
~ · d~a = k0 q r2 senθdθdϕr̂
Φ= E
r2
s
s
Zπ Z2π
senθdθdϕ =
= k0 q
0
0
= 4πk0 q =
4πq
q
=
4πε0
ε0
Ou simplesmente:
E × area total = k0
q
q
4πr2 =
2
r
ε0
Portanto o fluxo não depende do tamanho da superfı́cie gaussiana.
Agora imagine uma segunda superfı́cie, ou balão, mas não esférica envolvendo a superfı́cie anterior. O fluxo através desta superfı́cie é o mesmo do
que através da esfera.
Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme
3.5. LEI DE GAUSS
35
Para ver isto podemos considerar a definição de linhas de campo:
O número de linhas que atravessam as duas superfı́cies é o mesmo.
Ou então podemos considerar um cone com vértice em q.
Figura 3.18: Comparação de fluxos
O fluxo de um campo elétrico através de qualquer superfı́cie que envolve
q
uma carga puntiforme é
εo
Corolário 3.1. Fluxo através de uma superfı́cie fechada é nulo quando a carga
é externa à superfı́cie.
O fluxo através de uma superfı́cie fechada deve ser independente do seu
tamanho e forma se a carga interna não variar.
Superposição:
Considere um certo número de fontes q1 , q2 , ..., qn e os campos de cada
uma
~ 1, E
~ 2 , ..., E
~n
E
O fluxo Φ , através de uma superfı́cie fechada S, do campo total pode ser
escrito:
36
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
I
Φ=
I
~ · d~s =
E
S
I
~1 + E
~ 2 + ... + E
~ n )·d~s
(E
S
~ i · d~s = qi ⇒ Φ = q1 + q2 + ... + qn = qint
E
ε0
ε0
ε0
S
LEI DE GAUSS:
→
O fluxo do campo elétrico E através de qualquer superfı́cie fechada é igual
à carga interna dividida por 0 .
I
~ i · d~s = qint
E
ε0
S
Pergunta: A lei de Gauss seria válida se
1
~
E ∝ 3
r
?
Não, pois:
~ ·A
~ = EAtotal = k0
Φ=E
q
q
2
4πr
=
r3
ε0 r
Por meio da lei de Gauss é possı́vel calcular a carga existente numa região
dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, porém limitados
a sistemas que possuem alta simetria.
3.5.1
Aplicando A Lei De Gauss:
1) Identifique as regiões para as quais E deve ser calculado.
2) Escolha superfı́cies gaussianas observando a simetria do problema,
→
preferencialmente com E perpendicular e constante ou E paralelo.
3) Calcule
I
Φ=
S
~ i · d~s
E
3.6. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS
37
4) Calcule qint
→
5) Aplique a Lei de Gauss para obter E
Figura 3.19: Simetrias mais comuns
3.6
Aplicações da Lei de Gauss
É essencial que a distribuição tenha elemento de simetria (plana, axial,
esférica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo através de uma
superfı́cie gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a simetria, em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta
superfı́cie.
Plano Uniformemente Carregado
Fio Cilı́ndrico de densidade linear λ
Casca Esférica
O campo elétrico externo à camada é o mesmo que se toda a carga da
esfera estivesse concentrada no seu centro.
CAMPO ELÉTRICO NA SUPERFÍCIE DE UM CONDUTOR
A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor.
No equilı́brio não pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas
se deslocariam sob a ação do campo, rompendo o equilı́brio estático. Só é
possı́vel ter componente do campo normal à superfı́cie.
38
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado
Figura 3.21: Fio Cilı́ndrico de densidade linear λ
3.7
Divergência de um vetor e Equação de
Poisson
A lei de Gauss é um indicador global de presença de cargas:
I
Φ=
S
~ · d~s = qint
E
ε0
3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON
39
Figura 3.22: Casca esférica
Queremos agora achar um indicador local que analise a presença de fontes
num ponto P.
Considere um ponto P:
Vamos colocar uma gaussiana ∆Σ de volume infinitesimal ∆V, a carga
dentro deste volume é ρ∆V, então:
I
Φ∆Σ =
∆Σ
~ s = qint =
E.d~
ε0
Z
ρ∆V
1
⇒
ε0
∆V
I
~ s= 1
E.d~
∆V
V
1
lim
∆V →0 ∆V
Z
ρ∆V
ε0
V
I
~ s = ρ(P )
E.d~
ε0
(3.4)
∆Σ
Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P independe de ∆Σ e é uma caracterı́stica local do campo.
Para um vetor qualquer, definimos a divergência como sendo:
1
∆V →0 ∆V
~ v = lim
div~v (P ) = ∇.~
I
~v .d~s
→
onde ∆V é um volume arbitrário que envolve o ponto P e d s (elemento
orientado de superfı́cie).
De acordo com a Equação 3.4
40
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.23: Esquema para aplicação da Lei de Gauss
3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON
41
Figura 3.24: Continuação
Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal
~ E
~ = ρ
∇.
εo
Equação de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss
→
→
O divergente de E num ponto P é o fluxo para fora de E por unidade de
volume nas vizinhanças do ponto P.
Mas sempre que for calcular o divergente nós temos que calcular pela
definição?
42
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.26: Paralelepı́pedo infinitesimal
~ v = lim 1
∇.~
∆V →0 ∆V
I
~v .d~s
Não. Vamos ver a forma do
~ v
∇.~
em coordenadas cartesianas:
Segundo a definição ∆V é qualquer. Vamos considerar um paralelepı́pedo
de lados ∆x, ∆y e ∆z centrado no ponto P (x,y,z).
→
Vamos calcular o fluxo de v na face 2:
vx (2).∆y.∆z
3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON
43
→
Fluxo v na face 1:
−vx (1).∆y.∆z
Observe que vx (2) 6= vx (1)
1
1 ∂vx
vx (2) = vx (x + ∆x, y, z) = vx (x + y + z) +
∆x
2
2 ∂x
1
1 ∂vx
vx (1) = vx (x − ∆x, y, z) = vx (x + y + z) −
∆x
2
2 ∂x
Fluxo sobre 1 e 2:
X
f luxos =
∂vx
∆x∆y∆z
∂x
Da mesma forma se considerarmos as outras faces:
∂vy
∂vx
∂vz
Φtotal = ∂x + ∂y + ∂z ∆x∆y∆z
∂vy
∂vz
x
+
+
∆V
Φtotal = ∂v
∂x
∂y
∂z
H
∂vy
∂vz
x
Φtotal = ∂ ~v • d~s = ∂v
∆V
+
+
∂x
∂y
∂z
Superfı́cie infinitesimal = ∆Σ
~ v = ∂vx + ∂vy + ∂vz
∇~
∂x
∂y
∂z
Por outro lado se somarmos para todos os elementos:
~ v ∆V =
∇~
Z
~ v dV
∇~
V
Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contribuições às superfı́cies internas são iguais a zero.
44
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
X I
i
Z
∆
P
I
~v d~s =
~v d~s
S
i
~ v dV =
∇~
V
I
~v d~s
S
Vimos que a definição de divergente é:
~ v = lim 1
div~v (P ) = ∇.~
∆Vi →0 Vi
I
~v .d~si
Si
→
sendo v um campo vetorial qualquer, Vi é o volume que inclui o ponto
em questão e Si a superfı́cie que envolve este volume Vi .
→
→
Significado de ∇ . v :
a) Fluxo por unidade de volume que sai de Vi no caso limite de Vi infinitésimo;
b) Densidade de fluxo desse valor através da região;
c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto.
3.8
Teorema de Gauss e forma diferencial da
Lei de Gauss
F~ d~si
H
I
Φ=
F~ d~s =
n I
X
F~ d~si =
i=1 S
i
S
n
X
i=1
∆Vi
Si
∆Vi
Fazendo lim e Vi −→ 0
N →∞
I
S
F~ d~s =
Z
~ F~ dV
∇
V
Teorema de Gauss ou Teorema de Divergência
Já tı́nhamos visto a equação de Poisson:
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45
~ E
~ = ρ
∇.
εo
Vamos usar o teorema da divergência para chegar neste resultado:
R
I
~ s=
Ed~
ρdV
V
ε0
s
Pelo teorema da divergência:
I
s
~ s=
Ed~
Z
1
~ EdV
~
∇
=
ε0
V
Z
ρdV
V
Como o volume é qualquer, temos:
~ E
~ = ρ
∇.
εo
sendo a relação local entre densidade de carga e campo elétrico
O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS:
Figura 3.27: Divergente
46
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
F~ = Fx î + Fy ĵ + Fz k̂
~ F~ = lim 1
∇
Vi →0 Vi
I
F~ d~si
si
→
→
Queremos saber o ∇ . F no ponto P
Sabemos que:
Fy (x, y + ∆y, z) − Fy (x, y, z)
∂Fy
=
∂y
∆y
Fy (x, y + ∆y/2, z) = Fy (x, y, z) +
∂Fy ∆y
∂y 2
Fluxo por 2:
∂F
∆y
y
~ = Fy (x, y + ∆y/2, z)∆x∆z = Fy (x, y, z) +
F~ A
∆x∆z
∂y 2
Fluxo por 1:
∂Fy ∆y
~
~
∆x∆z
F A = −Fy (x, y − ∆y/2, z)∆x∆z = − Fy (x, y, z) −
∂y 2
Somando fluxo 1 + fluxo 2:
∂Fy
∆x∆y∆
∂y
Somando fluxo 3 + fluxo 4:
∂Fx
∆x∆y∆z
∂x
Somando fluxo 5 + fluxo 6:
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS47
∂Fz
∆x∆y∆z
∂z
Figura 3.28: Superfı́cies consideradas
Fluxo total que sai do volume Vi
~ F~ = lim 1
∇
∆Vi →0 ∆Vi
∂Fx ∂Fy ∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
∂Fx ∂Fy ∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
∆x∆y∆z
∆Vi =
∂Fx ∂Fy ∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
F~ = Fx î + Fy ĵ + Fz k̂
~ = ∂ î + ∂ ĵ + ∂ k̂
Operador nabla: ∇
∂x
∂y
∂z
Em coordenadas esféricas: (r,θ,ϕ):
~ F~ = 1 ∂ (r2 Fr ) + 1 ∂ (senθFθ ) + 1 ∂Fϕ
∇
r2 ∂r
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂ϕ
Em coordenadas cilı́ndricas: (r,ϕ,z):
~ F~ = 1 ∂ (rFr ) + 1 ∂Fϕ + ∂Fz
∇
r ∂r
ρ ∂ϕ
∂z
48
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volumétrica de cargas positivas uniforme.
Figura 3.29: Cilindro com densidade volumétrica de cargas uniforme
Resolução.
E2πrL =
ρπr2 L
ρπa2 L
↔ E2πrL =
ε0
ε0
→
−
ρr
ρπa2 L
E =
r̂ (r < a) ↔ E2πrL =
2ε0
ε0
~E
~ (r < a) = 1 ∂ (rEr ) = 1 ∂
∇
r ∂r
r ∂r
ρr
r
2ε0
~E
~ = ρ
∇
ε0
~E
~ (r > a) = 1 ∂ (rEr ) = 1 ∂
∇
r ∂r
r ∂r
~E
~ =0
∇
ρa2
r
2ε0 r
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS49
O divergente do campo só é diferente de zero onde há carga!
CARGA PONTIFORME
~ =
E
~E
~ =
∇
1 q
r̂
4πε0 r2
q 1 ∂ 2
(r Er ) = 0 , r 6= 0
4πε0 r2 ∂r
Não faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), já que
ela gera o campo.
50
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Capı́tulo 4
Potencial Eletrostático
4.1
Introdução
A utilização do campo elétrico, como visto no capı́tulo anterior, para resolução de problemas pode ser bastante complexa, principalmente devido ao
fato de o campo elétrico ser um campo vetorial. Dessa forma, o potencial
elétrico entra como uma excelente forma de simplificar os cálculos a serem
realizados e possibilitar a resolução de problemas ainda mais omplexos de
eletrostática.
Inicialmente, porém, relembremos alguns conceitos básicos:
4.1.1
Recordação da Mecânica
Sendo P1 e P2 pontos e c um caminho que liga P1 a P2. O trabalho realizado
por uma força ao longo deste caminho de P1 a P2 é:
(c)
WP1 →P2
ZP2
=
F~ ·d~l
P1 (c)
Dessa forma, pelo teorema do trabalho-energia cinética temos:
51
52
CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
(c)
∆T = WP1 →P2
(c)
T2 − T1 = WP1 →P2
Ou seja, o trabalho é igual à variação da energia cinética entre os pontos.
Assim temos que, se a força F~ for conservativa, pela conservação da energia
mecânica temos:
∆V + ∆T = cte = ∆Emec = 0
WP1 →P2 = −∆U
ZP2
∆U = −
F~ ·d~l
P1
Que só depende dos pontos inicial e final.
4.2
Definição do Potencial eletrostático
Logo, assim como associamos à força Peso um campo escalar U da energia
potencial gravitacional, podemos associar à força eletrostática um campo
escalar V, pois esse se trata também de um campo conservativo, da seguinte
forma:
ZB
W =
F~ele · d~l
A
ZB
∆U = −
A
~ · d~l
qE
(4.1)
4.2. DEFINIÇÃO DO POTENCIAL ELETROSTÁTICO
53
O que nos leva à
∆U
∆V =
=−−
q
ZB
~ · d~l
E
(4.2)
A
Ou seja
Potencial =
EnergiaPotencialEletrostatica
carga
Porém a escolha do nı́vel o qual o potêncial é nulo é arbitrário, sendo
normalmente escolhido o infinito, assim, é conveniente escolher V (∞) = 0.
Exemplo:
4.2.1
Cálculo do pontencial eletrostático gerado por
uma carga pontual q
Sabe-se que:
~ =
E
1 q
r̂
4πε0 r2
Logo:
ZP2
V (r2 ) − V (r1 ) = −
P1
ZP2
~ ~l = −
E·d
q
1 q
dr =
2
4πε0 r
4πε0
P1
Então, estabelecendo r1 → ∞ e V (∞) = 0 temos que:
V (r) =
q 1
4πε0 r
1
1
−
r2 r1
54
CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
4.3
Cálculo do Campo a partir do potencial
Como vimos, definimos o potencial eletrostático através do campo elétrico,
mas, dado o potencial é possı́vel obter o campo elétrico?
A resposta é sim, da seguinte forma:
Sabe-se pelo teorema do gradiente que:
ZP2
∆V = −
~ ·d~l
∇V
P1
Mas:
ZP2
∆V = −
~ ~l
E·d
P1
Logo, como a igualdade é verdadeira para quaisquer pontos P1 e P2 ,
temos:
~ = −∇V
~
E
(4.3)
que nos dá o vetor campo elétrico a partir do campo escalar V. Vale notar
que isso só é possı́vel devido ao fato de o campo elétrico ser conservativo.
4.3.1
Equipontenciais
Nesse momento, faz-se necessário introduzir o conceito de equipontenciais.
Basicamente, as equipotenciais são regiões com o mesmo potencial eletrostático.
~ · d~l implica que, se E⊥d
~ ~l:
Além disso, deve-se notar que a equação dV = E
dV = 0 ⇒ V = cte
Logo, as equipotenciais são perpendiculares ao campo.
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS
4.4
55
Potencial de uma distribuição de cargas
O cálculo do potencial é, muitas vezes, menos trabalhoso que o cálculo do
campo elétrico. Dessa forma, veremos a seguir diversas formas de calcular
o potencial elétrostático e alguns exemplos de aplicação. Sempre lembrando
~ = −∇V
~
que E
Sabe-se, como o princı́pio da superposição é válido para o campo elétrico,
o mesmo acontece para o campo eletrostático, assim temos que:
Figura 4.1: Esquema
V (P ) =
n
X
i=1
qi
4πε0 ri
Logo:
1
V (P ) =
4πε0
Z
dq
r
Que, Para uma distribuição:
Volumétrica: dq = ρdv
Superficial: dq = σdS
Linear: dq = λdl
Agora, vejamos alguns exemplos de aplicação:
(4.4)
56
CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
4.4.1
Anel isolante uniformemente carregado
Figura 4.2: Anel isolante carregado com densidade linear λ
Assim:
1
V (P ) =
4πε0
Z2π
0
V (P ) =
λρdθ
(ρ2 + z 2 )1/2
Q
4πε0 (ρ2 + z 2 )1/2
~ = −∇V
~ , então:
Assim, como E
~ =
E
4.4.2
Qz
4πε0 (ρ2 + z 2 )3/2
ẑ
Disco uniformemente carregado: a uma distância
z do centro
Como dq = σds = σr0 dr0 dθ e r = (z2 + r02 )1/2 então:
1
V =
4πε0
Z2π ZR
0
0
σr0 dr0 dθ
πσ
=
2
02
1/2
(z + r )
4πε0
ZR
0
2r0 dr0
(z 2 + r02 )1/2
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS
57
Figura 4.3: disco isolante carregado com densidade superficial σ
i
σ h√ 2
σ 2
02 1/2 R
2
2(z + r )
=
V =
z + R − |z|
0
4ε0
2ε0
Vale notar que, se lim |z| >> R então:
√
z 2 + R2 = |z| 1 +
2 !1/2
R
1 R2
= |z| 1 +
+ ...
z
2 z2
Logo:
V ≈
σ R2
1 Q
=
2ε0 z |z|
4πε0 |z|
Ou seja, caso observemos o disco de muito longe, ele irá se comportar
~
cada vez mais com uma carga pontual. Além disso podemos obter E:
∂
σ
z
z
~
E=− V =
−√
∂z
2ε0 |z|
R2 + z 2
Desse exemplo nós podemos tirar algumas conclusões:
58
CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
⇒ Normalmente é mais difı́cil achar o potencial em outros pontos fora do
eixo de simetria, pois a integral não é tão simples apesar de bem conhecida
e tabelada (integrais elı́pticas).
⇒ O campo, assim como o potêncial, pode ser difı́cil de calcular caso não
haja simetria. Além disso, ambos o potencial e o campo elétrico se aproximam daqueles gerados por cargas pontuais com o aumento da distância.
Calculemos agora o exemplo do potencial no bordo do disco:
4.4.3
Disco uniformemente carregado: Cálculo no Bordo
Figura 4.4: disco isolante carregado com densidade superficial σ
Assim:
dq = σr(2θ)dr
Z
1
dq
V =
4πε0
r
1
V =
4πε0
Z
σ(2θ)dr
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS
59
Porém, pela geometria do triângulo:
r = 2R cos θ
dr = −2Rsenθdθ
Logo:
1
V =
4πε0
Z0
Rσ
σ2θ(−2Rsenθ)dθ =
πε0
Zπ/2
Rσ
θsenθdθ =
[senθ − θ cos θ]π/2
0
πε0
0
π/2
Vborda =
4.4.4
Rσ
πε0
Casca esférica
Temos:
r2 = z 2 + R2 − 2zR cos θ
dq = σds = σR2 senθdθdφ
Assim:
1
V (z) =
4πε0
Z2π Zπ
0
σR2 senθdθdφ
(z 2 + R2 − 2zR cos θ)1/2
0
π
2πσR2 2 2
(z + R2 − 2zR cos θ)1/2 0
4πε0 2zR
i
i
p
√
σR h√ 2
σR hp
V (z) =
z + R2 + 2zR − z 2 + R2 − 2zR =
(z + R)2 − (z − R)2
ε0 2z
ε0 2z
p
σR2
sez > R ⇒ z − R > 0 ⇒ (z − R)2 = z − R ⇒ V (z) =
ε0 z
p
σR
σR
sez < R ⇒ z−R < 0 ⇒ (z − R)2 = −(z−R) ⇒ V (z) =
[z + R − (R − z)] =
2ε0 z
ε0
V (z) =
60
CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Figura 4.5: disco isolante carregado com densidade superficial σ
O potencial
da esfera é constante.(Assim temos:
( dentro
Q
Q
σR2
= 4πεo z ,r > R
,r > R
εo z
4πεo z 2
e
E(z)
=
V (z) =
Q
σR
= 4πεo R ,r < R
0,r < R
εo
Podemos então, construir os gráficos de E e V em função de r obtendo
assim:
4.5
Dipolo elétrico e expansão multipolar dos
campos elétricos
Por definição, um dipolo elétrico está relacionado com o potencial elétrico
gerado por um sistema de duas cargas.
Exemplo: Encontre o potencial elétrico em um ponto arbitrário no eixo
x.
4.5. DIPOLO ELÉTRICO E EXPANSÃO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELÉTRICOS61
Figura 4.6: gráfico de E e V por r
Figura 4.7: Esquema
Assim:
1
q
1 (−q)
q
1
1
+
=
−
V (x) =
4πε0 |x − a| 4πε0 |x − a|
4πε0 |x − a| |x − a|
Que, sendo V0 =
q
4πε0 a
então:
V (x)
1
1
− x
= x
V0
−1
− 1
a
a
Assim pode-se construir o gráfico:
62
CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Figura 4.8: Gráfico de V/V0 em função de x
Que diverge no local onde as cargas se encontram.
Agora, iremos analisar o caso anterior, mas com a posição de referência
sendo em qualquer ponto do plano. Assim temos:
Figura 4.9: Esquema
q
1
1
V =
−
4πε0 r+ r−
2
Mas r±
= r2 + a2 ∓ 2ra cos θ. Considerando uma posição na qual r >> a
4.5. DIPOLO ELÉTRICO E EXPANSÃO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELÉTRICOS63
temos:
−1/
2
a 2
1
1
a
1
− /2


= r2 + a2 ∓ 2ra cos θ
= 1 +
∓ 2 cos θ
r±
r
|r
{z r
}

x
1
mas se x << 1 então (1 + x)− /2 ' 1 − 12 x, e como
1
1
=
r±
r
a
r
<< 1 então:
1 a 2 a
1−
± cos θ
2 r
r
Logo:
*
q
1 a 2 a
1 a 2 a
q2a cos θ
p cos θ
p·r̂
V ≈
1−
=
=
+ cos θ − 1 +
+ cos θ ≈
4πε0 r
2 r
r
2 r
r
4πε0 r2
4πε0 r2
4πε0 r2
*
Na qual p = 2aq k̂ é o momento dipolo elétrico.
Vale notar também que V cai com r2 e não com r, o que é razoável, que
V decresça mais rápido que o potencial de uma única carga, pois conforme
estamos mais e mais longe do dipolo, este parece mais e mais com uma
pequena unidade de carga zero.
Calculando o campo, sabendo que o gradiente em coordenadas esféricas
é dado por:
∂
~ = ∂ r̂ + 1 ∂ θ̂ + 1
ϕ̂
∇
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
Então:
Er = −
∂V
p cos θ
1 ∂V
1 p sin θ
p sin θ
=+
, Eθ = −
=+
=+
3
2
∂r
2πε0 r
r ∂θ
r 4πε0 r
4πε0 r3
64
CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
~ = p cos θ r̂ + p sin θ θ̂
E
2πε0 r3
4πε0 r3
A seguir faremos uma análise mais aprofundada do assunto, aplicando o
mesmo raciocı́nio anterior, poderemos deduzir que:
Em monopolo V cai com 1/r
Em um dipolo V cai com 1/r2
Em um quadripolo V cai com 1/r3
E assim sucessivamente...
Consideremos agora uma distribuição de cargas na vizinhança na origem do sistema de coordenadas, finita, e pode ser totalmente encenada por
uma esfera de raio a que é pequeno comparado à distância até o ponto de
observação. Assim temos que:
Figura 4.10: Esquema
Na qual ρ = ρ(r0 ). Logo:
1
V (r) =
4πε0
Z
V
Mas,se r >> r0
ρ(r0 )
dv 0
|~r − ~r0 |
4.5. DIPOLO ELÉTRICO E EXPANSÃO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELÉTRICOS65
−1
|~r − ~r0 |
0 −1
|~r − ~r |
1
≈
r
1
1
= (r2 − 2~r.~r0 + r02 )− /2 =
r
1
~r.~r0 r02
1−
−2 2 + 2
≈
2
r
r
0 2 !−1/2
~r.~r
r
1−2 2 +
r
r
0
1
r
|{z}
Potencialdemonopolo
+
~r.~r0
r3
|{z}
+...
Potencialdedipolo,sendo~
p=~
r0 q→ p~.r̂
2
r
Logo, O potencial devido à uma distribuição de carga arbitrária pode
sempre ser expresso em termos de uma expansão de multipólos. Assim, pela
Lei dos Cossenos:
2

|~r0 − ~r| = r2 + r02 − 2rr0 cos θ0
| {z }
r
Note que foram definidos duas distâncias, uma r e outra r não se confunda!
r2 = r2
!
0 2
r
r0
1+
− 2 cos θ0
r
r
!1/
0 2
2
r
r0
r=r 1+
− 2 cos θ0
r
r
1
r = r (1+ ∈) /2 , ∈=
0 2
r
r0
− 2 cos θ0
r
r
Logo:
1
1
1
1
3 2 5 3
−1/2
= (1+ ∈)
=
1 − ∈ + ∈ − ∈ +...
r
r
r
2
8
16
66
CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
"
#
2
4
2
3
1 r0
3 r0
1
r0
3 r0
3 r0
0
2 0
0
1−
=
+ cos θ +
+
cos θ −
cos θ + ...
r
2 r
r
8 r
2 r
2 r
"
#
0 2
2 0
r0
r
(3
cos
θ
−
1)
1
1 + cos θ0 +
+ ...
=
r
r
r
2
Que, utilizando então os polinômios de Legendre:
1
Pl (x) = l
2 l!
d
dx
l
l
x2 − 1
Podemos escrever:
∞
1X
1
=
Pn (cos θ0 )
r
r n=0
0 n
r
r
Logo:
1
V (r) =
4πε0
Z
0 n
∞
ρ(r0 )dv 0 X
r
0
Pn (cos θ )
r
r
n=0
Z
∞
1 X 1
n
V (r) =
(r0 ) Pn (cos θ0 ) ρ(r0 )dv 0
n+1
4πε0 n=0 r
Note que temos agora a expansão multipolar do potencial em termos de
1/r, na qual: n = 0, contribuição de monopólo
n = 1, dipolo
n = 2, quadrupolo
Com o menor termo não nulo da expansão nos dá aproximadamente o
potencial a grandes distâncias, e os termos sucessivos aumentam a precisão
do resultado.
Nota-se também que o termo de dipolo é dado por:
Vdip
1 1
r̂ ·
=
4πεo r2
Z
~r0 ρ (r0 ) dr0
|
{z
}
p
~=momentode
dipolodadistribuicao
4.6. CIRCULAÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO
67
pois r0 cos θ = ~r0 · r̂
4.6
Circulação do campo elétrico
Como visto no capı́tulo zero sabemos que:
I
~
~
~c.dl = ∇x~c .n̂∆S
Γi
Onde ~c é um campo vetorial qualquer.
Dessa forma, como sabemos que
I
~ ~l = 0, ∀Γ
E.d
Γ
Então:
Z ~ E
~ .d~s = 0, ∀S
∇x
S
~ E
~ =0
∇x
Essa equação resume basicamente toda a eletrostática, visto que, ela mostra que o campo elétrico é conservativo (na eletrostática) e permite que o
~ ∇V
~ =0
campo elétrico seja o gradiente de uma função potencial, visto que ∇x
(o rotacional de um gradiente é sempre nulo).
68
CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Capı́tulo 5
Equações da Eletrostática e
Energia
5.1
Introdução
Neste momento, já foram vistas praticamente todas as equações e fórmulas
referentes à eletrostática. Dessa forma, nesse capı́tulo estudaremos algumas
das relações entre o potêncial eletrostático, o campo elétrico e as densidades
de carga dos corpos. Além disso, serão abordadas as equações de Laplace
e Poisson, que oferecem mais uma forma de efetuar cálculos, as condições
de contorno da eletrostática e as equações que fornecem a energia potencial
eletrostática de um configuração de cargas
5.2
Equações de Laplace e Poisson
Como já vimos:
~ ×E
~ =0
∇
~ E
~ = ρ
∇·
ε0
69
(5.1)
(5.2)
70
CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA
Além disso, vimos que:
~ ×E
~ = 0 P ermite
~ = −∇V
~
∇
→ E
(5.3)
Assim, substituindo 5.3 em 5.2, obtemos:
~ ∇V
~ =−ρ
∇·
ε0
~ 2V = − ρ
∇
ε0
(5.4)
A equação acima é chamada equação de Poisson e relaciona o potencial
eletrostático com a densidade de carga pontual. Com ela é possı́vel calcular,
em cada ponto, o potencial eletrostático, desde que se conheçam as condições
de contorno do problema, de forma a resolver as equações diferenciais que
serão obtidas.
A equação de Laplace vem diretamente da equação de Poisson, quando
ρ = 0. Assim:
~ 2V = 0
∇
5.3
(5.5)
Resumo das equações da eletrostática
A partir de duas observações experimentais, notadamente o princı́pio da
superposição e a Lei de Coulomb, foi possı́vel depreender todas as outras
fórmulas da eletrostática. Abaixo, segue um resumo de todas as equações
vistas até aqui:
5.4
Condições de Contorno
Definidas as equações de Laplace e Poisson, devemos agora verificar de que
forma as grandezas involvidas se comportam. Vale ressaltar que algumas
5.4. CONDIÇÕES DE CONTORNO
71
Figura 5.1: Equações da eletrostática
dessas formas já foram comentadas.
5.4.1
Relação entre campos logo acima e abaixo de
uma superfı́cie carregada
Nós notamos estudando alguns exemplos que o campo elétrico apresenta em
alguns casos uma descontinuidade. Isto ocorre quando temos uma superfı́cie
carregada. Imagine uma superfı́cie arbitrária
Considere a gaussiana desenhada com área A extremamente pequena e
espessura . Assim, pela lei de Gauss temos:
I
~ S
~ = qint = σA
E·d
ε0
ε0
S
Os lados não contribuem para o fluxo, somente o topo e o fundo. De
forma que quando ε → 0:
Em particular, quando não há uma superfı́cie carregada E ⊥ é contı́nua,
72
CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA
Figura 5.2: Esquema de uma superfı́cie carregada com uma gaussiana
~ é descontı́nua
Figura 5.3: A componente normal de E
exemplo: esfera sólida uniformemente carregada.
Consideremos agora a circulação de E na mesma superfı́cie:
I
~ ~l = 0
E·d
quando ε → 0. Assim:
~
~
~k
~k
E
acima ·dl1 + Eabaixo ·dl2 = 0
5.4. CONDIÇÕES DE CONTORNO
73
~k
~k
d~l1 = −d~l2 → E
acima = Eabaixo
Logo a componente paralela do campo é contı́nua, então:
σ
~
~
n̂
E
acima −Eabaixo =
ε0
(5.6)
onde n̂ é o vetor unitário perpendicular à superfı́cie de cima para baixo.
5.4.2
Relação entre os potenciais
Ao contrário do que acontece com o campo, o potencial é contı́nuo, pois:
Zb
∆V = −
~ ~l
E·d
a
Zb
Vb − Va = −
~ ~l
E·d
a
E quando ε → 0 então
Rb
~ ~l → 0, Logo
E·d
a
Vb = Va → Vabaixo = Vacima
5.4.3
(5.7)
Alguns outros comentários
Além das condições já mencionadas, vale lembrar também de alguns pontos:
* Já vimos que, na maioria dos casos V (∞) = 0 * Quando há distribuição
de cargas não pontual V 6= ∞
74
CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA
5.5
Exemplos de aplicação das Equações de
Poisson e Laplace
Com as condições de contorno em mãos, somos capazes de aplicar as equações
de Poisson e Laplace para alguns exemplos.
5.5.1
Exemplo 1
Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0
e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V0 e em x = L igual
a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas considerando duas
situações: Densidade de carga entre as placas igual à zero; Densidade de
carga entre as placas é contante igual à ρ.
Figura 5.4: Esquema
No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equação de Laplace:
∇2 V =
d2 V
=0
dx2
Logo:
V = ax + b
Assim, pelas condições do problema, como para x = 0, V = V0 , então:
5.5. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE75
b=V
Além disso, como para x = L, V = 0, então
a=−
V0
L
Logo:
V (x) = −
V0
+V
L
Podemos calcular também o campo, assim:
~ =− d
E
dx
V0
V0
− x + V0 î = î
L
L
No segundo caso temos ρ = ρ0 , assim, pela equação de Poisson:
∇2 V = −
ρ0
d2 V
ρ0
→
=−
2
ε0
dx
ε0
Logo:
V =−
ρ 0 x2
+ ax + b
2ε0
Aplicando as condições de contorno:
(
V (0) = V0 → b = V0
V (L) = 0 → a = − VL0 +
ρ0 L
2ε0
Logo:
ρ0 x2
V0 ρ0 L
V (x) = −
+ − +
x + V0
2ε0
L
2ε0
Também podemos calcular o potencial, assim:
76
CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA
~ =− d
E
dx
5.6
ρ0 x 2
V0 ρ0 L
V0 ρ0 L
ρ0
−
+ − +
x + V0 î =
x+
−
î
2ε0
L
2ε0
2ε0
L
2ε0
Energia Potencial Eletrostática
Nós vimos que U = qV para uma carga q num ponto de um campo préestabelecido de potencial V. Mas e para uma distribuição qualquer de cargas?
5.6.1
Energia Potencial Eletrostática de uma distribuição de cargas
Vamos imaginar um conjunto de cargas no infinito e vamos trazer as cargas uma a uma do infinito (considera-se V (∞) = 0 para as suas posições,
formando uma configuração escolhida, assim:
Para trazer a primeira carga q1 , W = 0
Para trazer a segunda carga, como:
Zr
V =−
~ ~l =
E·d
∞
temos; W =
1 q
4πε0 r
1 q1 q2
4πε0 r12
Para a terceira temos:W =
q3
4πε0
q1
r13
+
q2
r23
Assim sucessivamente...
Logo, obtemos a energia potencial da configuração qualquer de cargas
pontuais:
U=
1 X q i qj
1 1 X X qi q j
=
4πε0 i<j rij
4πε0 2 i j6=i rij
(5.8)
Na qual o 1/2 surge para compensar o fato de que, no somatório duplo,
temos os termos qi qj e qj qi que são contados duas vezes.
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA
77
Percebe-se pela fórmula 5.8 porém, que:
X 1 qj
4πε0 rij
j6=i
Representa o potêncial de todas as outras cargas na posição da carga i.
Assim:
U=
1X
qi V i
2 i
representa a energia potencial eletrostática na posição i. Logo, caso tenhamos uma distribuição contı́nua, podemos extender o somatório para:
1
U=
2
5.6.2
Z
ρV dv
(5.9)
Exemplo
Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga ρ(r) = kr (onde k é
uma constante). Ache a energia da configuração.
Para calcular a energia, devemos inicialmente obter o potencial. Esse
Rr
~ ~l ou pelas
pode ser obtido de duas formas, ou seja, utilizando V (r) = − E·d
∞
equações de Poisson e Laplace.
Rr
~ ~l temos:
Resolvendo por V (r) = − E·d
∞
Z
~ S
~ = qint
E·d
ε0
S
1
E4πr =
ε0
2
ZR
kr4πr2 dr
0
Ef ora =
k R4
r̂
ε0 4r2
78
CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA
Além disso;
E=
k r4
kr2
r̂
→
E
=
dentro
ε0 4r2
4ε0
Precisamos de V para valores de r < R, assim:
Zr
V (r) = −
~ ~l = −
E·d
∞
ZR
V (r) = −
∞
ZR
~ f ora ·d~l −
E
∞
kR4
dr −
4ε0 r2
Zr
Zr
~ entre ·d~l
E
R
kr2
k
dr =
(4R3 − r3 )
4ε0
12ε0
R
Com o potencial em mãos, podemos aplicar a equação 5.9, assim:
1
U=
2
1
U=
2
ZR Z2π Zπ
0
0
Z
ρV dv
krV (r)r2 sin θdθdϕdr
(5.10)
0
Logo:
1
U=
2
ZR
4π
k2 r3
πk 2 7
(4R3 − r3 )dr =
R
12ε0
7ε0
0
Caso quisessemos calcular pelas equações de Laplace e Poisson, temos:
Para r < R:
∇2 V = −
ρ
ε0
Para r > R:
∇2 V = 0
Para o primeiro caso r < R temos:
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA
V = V (r) →
79
∂V
∂V
=
=0
∂θ
∂ϕ
Mas o termo em r do operador ∇2 em coordenadas esféricas, com a consideração acima, é dado por:
1 ∂
∇V = 2
r ∂r
2
r
2 ∂V
∂r
Logo:
1 d
∇V = 2
r dr
2
r
2 dV
dr
=−
ρ
ε0
Assim, temos que:
1 d
r2 dr
r2
kr
d
kr3
2 dV
2 dV
r
=− →
r
=−
dr
ε0
dr
dr
ε0
kr4
kr2
dV
A
dV
=−
=−
+A→
+ 2
dr
4ε0
dr
4ε0 r
Logo:
Vdentro (r) = −
kr3
A
− +B
12ε0
r
Para r > R, temos que:
∇2 V = 0
1 d
2 dV
2 dV
r
=
0
→
r
=C
r2 dr
dr
dr
Vf ora (r) = −
C
+D
r
Aplicando as condições de contorno:
(
Vf ora (∞) = 0
Vf ora (R) = Vdentro (R)
80
CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA
Além disso, como se trata de uma distribuição volumética:
(
0
Ef ora (R) = Edentro (R) ⇒ Vf0ora (R) = Vdentro
(R)
V (0) 6= ∞
Assim:
Vf ora (∞) = 0 → D = 0
Vdentro (0) 6= ∞ → A = 0
Vdentro (R) = Vf ora (R) → −
kr2 4ε0 =
r=R
C
r2 r=R
4
→ C = − kr
4ε0
Logo:
B=
kR3
kR3
kR4
+
=
4ε0 R 12ε0
3ε0
Dessa forma:
Vdentro (r) = −
kr3
kR3
k
+
=
(4R3 − r3 )
12ε0
3ε0
12ε0
Vf ora (r) =
kR4
4ε0 r
Para o cálculo de U procede-se da mesma forma que no caso 5.10, encontrandose o mesmo resultado
5.6.3
Relação entre Energia e Campo Elétrico
Uma pergunta interessante de se fazer é onde está localizada a energia eletrostática?
Também poderı́amos perguntar: e o que importa? Qual o significado
de uma pergunta como essa? Se temos um par de cargas interagindo, a
combinação tem certa energia. É necessário dizermos que a energia está
localizada em uma das cargas ou na outra, ou em ambas, ou no meio? Pode
ser que estas perguntas não façam sentido, porque realmente só sabemos que a
energia se conserva. A idéia de que a energia está localizada em alguma parte
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA
81
não é necessária também pode aparecer. Mas será mesmo que a pergunta
não tem nenhuma utilidade?
Vamos supor que tenha sentido dizer, em geral, que a energia está localizada em certo lugar, como ocorre com a energia térmica. Então poderı́amos
estender o princı́pio da conservação da energia com a idéia de que se a energia contida dentro de um volume dado varia, poderı́amos explicar a variação
mediante o fluxo de energia que entra ou sai deste volume. Poderı́amos chamar de princı́pio de conservação local de energia. Esse princı́pio diria que a
energia dentro de qualquer volume varia unicamente da quantidade que flui
para fora ou para dentro deste volume. Terı́amos, portanto, uma lei muito
mais detalhada que o simples enunciado da conservação de energia total.
Também há uma causa f̈ı́sicap̈ara que possamos decidir onde está localizada a energia. De acordo com a teoria da gravitação, toda massa é uma fonte
de atração gravitacional. Também sabemos que se E=mc2, então massa e
energia são equivalentes. Toda energia é uma fonte de força gravitacional. Se
não pudéssemos localizar todas as massas não poderı́amos dizer onde estão
localizadas as fontes de campo gravitacional, a teoria da gravitação estaria
incompleta. Se nos restringimos à eletrostática, não há maneira de decidir
onde está a energia se na carga ou no campo.
Porém, com o atual conhecimento, não somos ainda capazes de responder
a esses questionamentos, as equações de Maxwell para a eletrodinâmica são
necessárias para nos dar mais informações. Por enquanto ficaremos somente
com esta resposta:
A energia está localizada no espaço onde está o campo elétrico. O que
é razoável, pois quando as cargas aceleram elas irradiam campos elétricos.
Quando a luz ou as ondas de rádio viajam de um ponto a outro, transportam sua energia com elas. Mas não há carga nas ondas. Desta forma, é
interessante localizar a energia no campo eletromagnético e não nas cargas.
Dessa forma, torna-se conveniente encontrar a energia eletrostática em
função do campo elétrico, assim, como:
82
CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA
∇2 V = −
então:
1
U=
2
Z
ρ
ε0
ε0
ρV dv = −
2
Z
V ∇2 V dv
Mas, matematicamente temos:
2
2
2
V ∇2 V = V ∂∂xV2 + ∂∂yV2 + ∂∂zV2 =
2
∂
∂V 2
∂
∂V
= ∂x
+
V
− ∂V
+
V ∂V
−
∂x
∂x
∂y
∂y
∂y
~
~ ) − (∇V
~ )·(∇V
~ )
= ∇·(V
∇V
∂
∂z
V
∂V
∂z
−
∂V
∂z
2
=
Logo;
ε0
U=
2
Z
~ )·(∇V
~ )dv − ε0
(∇V
2
Z
~
~ )dv
∇·(V
∇V
Mas, pelo teorema da divergência, temos:
Z
~
~ )dv =
∇·(V
∇V
v
I
~ )·d~s
(V ∇V
s
Agora, devemos fazer uma rápida análise. Para uma distribuição finita
de cargas, sabemos que: V ∝ 1/r na melhor das hipóteses (Se a carga total
for zero, V ∝ 1/r2 ou mais...). Além disso, ∇V ∝ 1/r2 e ds ∝ r2 portanto a
integral:
ε0
−
2
Z
~
~ )dv
∇·(V
∇V
é proporcional à 1/r, assim, caso integremos no espaço, teremos que essa
integral se anula e:
ε0
U=
2
Z
R3
~ )·(∇V
~ )dv
(∇V
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA
83
~ então:
Logo, como ∇V = E,
ε0
U=
2
Z
~ Edv
~
E·
(5.11)
R3
Nos dá a energia potencial eletrostática da configuração em função do
Campo elétrico. Vale notar também que devemos integrar em todo o espaço,
e não só na região que contém
5.6.4
Princı́pio da Superposição
Vimos que campo e potencial obedecem o chamado princı́pio da superposição,
porém, devido ao fato da energia ser quadrática nos campos, ela não obedece o princı́pio da superposição, temos, pois, que:
Wtotal
ε0
=
2
Z
ε0
E dv =
2
2
Z
~1 + E
~ 2 )2 dv
(E
(5.12)
Vejamos um exemplo:
Considere duas cascas esféricas concêntricas de raio a e b. Suponha que a
interna possui uma carga q e a externa -q ambas uniformemente distribuı́das
na superfı́cie. Calcule a energia desta configuração. Assim:
ε0
U=
2
Z
E 2 dv
R3
Mas


 0, r < a
q 1
E=
,a < r < b
4πε0 r2


0, r > b
Logo:
84
CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA
ε0
U=
2
Zb
a
q2 1 2
q2
r
4πdr
→
U
=
16π 2 ε20 r4
8πε0
Percebe-se contudo que, se calcularmos: U1 =
ε0
2
R
R3
1 1
−
a b
E12 dv e U2 =
ε0
2
R
R3
U 6= U1 + U2
Como era de se esperar, o princı́pio da superposição não foi válido.
E22 dv
Capı́tulo 6
Condutores
6.1
Breve Introdução
Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada elétron está preso a um
particular átomo. Num condutor metálico, de forma diferente, um ou mais
elétrons por átomo não possuem restrições quanto a movimentação através
do material. Eles estão livres para estar na parte do condutor que desejarem.
( Em condutores lı́quidos, como a água com cloreto de sódio, água com sal
de cozinha, são os ı́ons que fazem esse movimento.
Um condutor perfeito poderia ser um material que possuı́sse a propriedade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, não existem
condutores perfeitos, mas muitas substâncias estão muito próximas de ser.
A partir dessa pequena definição, pode-se descobrir algumas propriedades
eletrostáticas de condutores ideais. Elas serão listadas logo abaixo.
6.2
Propriedades dos Condutores
Essas propriedades estão relacionadas com condutores em equilı́brio eletrostático, ou seja, quando não há movimento ordenado de cargas elétricas
no seu interior e na sua superfı́cie. Seus elétrons livres encontram-se em
85
86
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
movimento aleatório.
Propriedade 1 (Propriedade Básica). Um condutor é um sólido que possui
muitos elétrons livres. Os elétrons podem se deslocar no interior da matéria,
mas não deixar a superfı́cie.
Propriedade 2. O Campo elétrico dentro do condutor em equilı́brio
eletrostático é nulo. ( E = 0 dentro do condutor )
Se tivesse campo dentro do condutor os elétrons iriam se mover e não estariam na situação eletrostática. Quando colocamos um condutor na presença
de um campo externo as cargas dentro do condutor tenderão a se distribuir
de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo.
Figura 6.1
Propriedade 3. A densidade volumétrica de carga dentro do condutor é zero.( ρ = 0 dentro do condutor )
~ ·E
~ = ρ , se E
~ = 0 → ρ = 0, no interior do condutor não há cargas.
∇
ε0
Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superfı́cie do condutor.
Propriedade 5. O condutor é uma equipotencial.
~ = 0 dentro do condutor, então E
~ = −∇V
~
Se E
~ é perpendicular à superfı́cie.
Propriedade 6. E
Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0,
H
~
E · d~l = 0 → Va = Vb .
6.3. CARGA INDUZIDA
87
Figura 6.2
Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era ?/?0. Como
Edentro = 0, então o campo imediatamente fora é proporcional
à densidade de carga local.
~ = σ n̂
E
ε0
Em termos de potencial: σ = ε0 − ∂V
∂n
Observação 6.1. Esta equação permite calcular a densidade de carga superficial de um condutor.
6.3
Carga Induzida
Um condutor é um sólido que possui muitos elétrons livres. Os elétrons
podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga elétrica de
um condutor carregado eletricamente, devido as fenômenos de atração e repulsão eletrostáticas, observa-se uma nova distribuição das cargas elétricas
no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo:
6.3.1
O campo numa cavidade de um condutor
Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitrária.
Consideremos uma superfı́cie gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E
= 0 (campo dentro do condutor = 0). Então o fluxo através de S = 0, logo
a carga total dentro de S é zero.
88
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
Figura 6.3
Figura 6.4
Mas se a carga total é igual a zero, poderı́amos dizer que há igual quantidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presença de um
H
~ · d~l 6= 0, o que não pode
campo elétrico. Se tivéssemos esta situação, E
Γ
ser. Portanto, não pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na
superfı́cie interna.
Nenhuma distribuição estática de cargas externas pode produzir campo
no interior do condutor.
Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela.
Teremos cargas induzidas na superfı́cie interna, afim de cancelar o campo
dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Traçando uma gaussiana S que
contém a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana é zero, porém,
6.3. CARGA INDUZIDA
89
Figura 6.5
Figura 6.6
traçando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo
na cavidade não é zero.
Fato Importante:
Campo dentro do condutor é zero!
A cavidade e seu conteúdo estão eletricamente isolados do mundo externo ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele será
cancelado pela carga induzida na superfı́cie externa ( da mesma forma que a
cavidade vazia ). A cavidade está isolada do mundo externo ao condutor.
Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma
cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade há uma carga q. Qual
é o campo fora?
Haverá dependência com a forma da cavidade?
Resolução. A carga +q induzida, por sua vez, na superfı́cie externa irá se
90
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
Figura 6.7
distribuir uniformemente na superfı́cie da esfera. (a influência assimétrica da
carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superfı́cie interna).
O campo externo será igual ao produzido pela superfı́cie esférica carregada
com carga +q.
~ =
E
q
r̂
4πε0 r2
O condutor, dessa forma, cria uma barreira, não deixando passar nenhuma informação sobre como é a cavidade, revelando somente a carga total
que a mesma possui.
6.4
Método das Imagens
Suponha uma carga q a uma distância d de um plano condutor aterrado.
Pergunta:
Qual é o potencial na região acima do plano?
Não é só 4πεq 0 r , pois haverá carga induzida no plano condutor e não
sabemos quanta carga é induzida e como ela está distribuı́da.
Outra situaç~
ao: : Carga e uma esfera condutora.
6.4. MÉTODO DAS IMAGENS
91
Figura 6.8
Figura 6.9
Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito
mais simples que já estudamos: duas cargas +q e -q; e A e B superfı́cies
equipotenciais.
Figura 6.10
Considere a superfı́cie equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha
fina de metal da forma desta superfı́cie. Se a colocarmos exatamente no
lugar da superfı́cie equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor
92
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
apropriado de forma que nada mudasse, nós não darı́amos conta de que a
superfı́cie metálica estaria ali.
Terı́amos a solução do novo problema:
Figura 6.11
O campo no exterior ao condutor é exatamente o mesmo campo de duas
cargas pontuais!
~ =0eE
~ é perpendicular à superfı́cie.
Dentro E
Então, para calcularmos os campos das situações discutidas, basta calcular o campo devido à uma carga q e uma carga -q imaginária localizada em
um ponto apropriado.
Caso mais simples:
6.4.1
Carga e o Plano Condutor Aterrado
Figura 6.12

V (x, y, z) =

1 
q
q

1 −
21
2
2
4πεo
2
2
2
2
2
x + (y − d) + z
x + (y + d) + z
6.4. MÉTODO DAS IMAGENS
93
Figura 6.13
, para y ≥ 0.
Condição de contorno
V (x, 0, z) = 0
V → 0parar̃ → ∞
6.4.2
Densidade De Carga Induzida Na Superfı́cie Do
Plano
∂V ∂V
= −εo
σ = −εo
∂n
∂y y=0

εo q ∂ 
1
1

σ (x, y, z) = −
−
1
1
4πεo ∂y
x2 + (y − d)2 + z 2 2
x2 + (y + d)2 + z 2 2 y=0


2 (y − d)
2 (y + d)
q 

σ (x, y, z) = −
3 −
3
2
2
4π
2
2
x2 + (y − d) + z 2
x2 + (y + d) + z 2
y=0

− 21
σ (x, y, z) = −
d
q
2π (x2 + d2 + z 2 ) 32
− 12
94
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
⇒ σ é negativa como esperado.
A carga total induzida
Z
Qinduzida =
Z
σds = −ε0 k2qd
ds
3
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
x2 + z 2 = d 2
ds = rdθdr
Z∞ Z2π
Qinduzida = −ε0 k2qd
3
0
Z∞
Qinduzida = −ε0 kqd2π
d2
rdθdr
0
(r2 + d2 ) 2
−ε0 kqd
2π
3 =
4πε0
(u) 2
du
2
= −q
d
r 2 + d2 = u
du = 2rdr
A carga q é atraı́da pelo plano, pois há carga negativa induzida.
2
Força de atração F~ = − 4πε q(2d)2 ĵ
o
Nós assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem
tudo é igual.
A energia:
1
U=
2
Z
E 2 dv
Uduascargas = −
1 q2
4πεo 2d
6.5. PODER DAS PONTAS
95
2
1 q
Ucargaeplanocondutor = − 8πε
que é a metade. Por que?
o 2d
Somente a região de y¿0 possui E 6= 0
R∞
R∞ 2
A integral U = 21 E 2 dv = 12 12
E dv
0
−∞
Tudo isso foi possı́vel, pois:
Dado uma configuração de condições de contorno, a solução da equação de
Laplace é única, de modo que, se alguém obtiver uma solução V (x, y, z) por
qualquer meio e se este V satisfizer todas as condições de contorno, ter-se-á
encontrado então uma solução completa do problema.
6.5
Poder das Pontas
Figura 6.14
Figura 6.15
VA α
Q0A
RA
VB α
Q0B
RB
96
CAPÍTULO 6. CONDUTORES
VA = VB ⇒
Q0A
Q0
= B
RA
RB
2 0
2 0
Q0A
4πRA
4πRB
σA
σB
=
=
RA
RA
RB
⇒
RA σA0 = RB σB0
⇒
RB
σA0
=
0
σB
RA
⇒
σA0 =
6.6
RB 0
σ
RA B
Carga Na Superfı́cie e Força Em Um Condutor
~ = σ n̂ (Campo externo ) e vimos que σ = −εo ∂V .
Já vimos que E
εo
∂n
Na presença de um campo elétrico, uma superfı́cie carregada irá sentir
uma força.
~
⇒ Força por unidade de área f~ = σ E.
Mas temos um problema: o campo é descontı́nuo na superfı́cie. Qual devo
~ acima , E
~ abaixo
usar: E
Resposta: Você deve usar a média dos dois:
~ media = 1 σ E
~ acima + E
~ abaixo
f~ = σ E
2
Capı́tulo 7
Capacitores
7.1
Introdução
Capacitor é um dispositivo que armazena energia potencial.
Capacitores variam em forma e tamanho, mas a configuração básica consiste de dois condutores de cargas opostas.
O exemplo mais simples de um capacitor consiste de dois condutores
planos de área A paralelos entre si e separados por uma distância d.
Figura 7.1
A experiência mostra que a quantidade de carga Q num capacitor é linearmente proporcional à diferença de potencial entre as placas.
Q ∝ |∆V |
Q = C |∆V |
97
98
CAPÍTULO 7. CAPACITORES
em que
C - constante de proporcionalidade chamada capacitância
[C] = F (Farad)
Fisicamente, capacitância é a medida da capacidade de armazenar carga
elétrica para uma diferença de potencial ∆V .
Observação 7.1. Lembremos que se chama de carga de um capacitor a carga
de uma de suas placas em valor absoluto, pois a carga total é zero.
Observação 7.2. 1F é uma unidade muito grande como veremos adiante nos
exemplos.
Figura 7.2
Observação 7.3. Se considerarmos o encerramento completo de um condutor
pelo outro, teremos a capacitância independente de qualquer fator externo.
Se tivéssemos, ao invés disso, diante de duas placas assimétricas não encerradas uma na outra, como mostra a figura acima, poderı́amos estar intrigados
com a seguinte questão;
qual é a carga que faz o papel de Q, em função da qual se deve
definir a capacitância?
A resposta é: a carga que deveria ser transferida do condutor 1 ao
condutor 2 para igualar seus potenciais.
7.2. ENERGIA DE UM CAPACITOR CARREGADO
7.2
99
Energia de um capacitor carregado
Considere um capacitor de placas paralelas, inicialmente descarregado. Paulatinamente, este capacitor está sendo carregado, por meio da transferência
de cargas de uma placa para a outra.
Seja, q a quantidade de carga transferida até um instante qualquer t.
Neste instante a capacitância é dada por: C =
de potencial entre as placas.
q
∆V
, sendo ∆V a diferença
Num instante posterior o trabalho necessário para a transferência de uma
carga dq é:
dW = ∆V dq =
q
dq
C
O trabalho total realizado na transferência de uma carga Q será:
ZQ
W =
1 Q2
q
dq =
C
2C
0
1
W = CV 2
2
em que
W - trabalho realizado para carregar o capacitor de uma carga Q.
É igual a energia que o capacitor possui quando tem uma carga Q.
V - Diferença de potencial final entra as placas.
7.3
Cálculos de Capacitâncias
7.3.1
Capacitor de placas paralelas
C=
Q
|∆V |
100
CAPÍTULO 7. CAPACITORES
Figura 7.3
Q = σA
∆V = Ed =
C=
σd
εo
Q
σAεo
=
|∆V |
σd
C=
Aεo
d
Só depende de fatores geométricos!!
⇒ Capacitância aumenta com a área A ⇒ quanto maior for a área, maior
armazenamento de carga
⇒ Capacitância inversamente proporcional à distância d.
C = 1F, d = 1mm, A =?
A ≈ 100Km2
Energia:
ε0
U=
2
Z
E 2 dv =
Como : C =
ε0 A
d
ε0 E 2
ε0 σ 2
V =
Ad
2
2 ε20
e
1
U = CV 2
2
V2 =
σ 2 d2
ε20
7.3. CÁLCULOS DE CAPACITÂNCIAS
7.3.2
101
Capacitor Cilı́ndrico
Figura 7.4
L >> b − a
C =?
Zb
∆V = −
~ · d~l
E
a
~ =?
E
Figura 7.5
I
E2πrL =
~ s = Qint
E.d~
ε0
Q
~ = Q 1 r̂
⇒E
εo
2πεo L r
Q
Q
∆V = −
ln (r)|ba = −
ln
2πεo L
2πεo L
b
a
102
CAPÍTULO 7. CAPACITORES
Q
|∆V | =
ln
2πεo L
b
a
Q
2πεo L
=
|∆V |
ln ab
Sendo b = d + a ⇒ ln ab = ln ad + 1 ≈ ad
C=
C=
7.3.3
2πεo La
εo A
=
d
d
Capacitor Esférico
Figura 7.6
Zb
∆V = −
~ · d~l
E
a
I
E4πr2 =
~ s = Qint
E.d~
ε0
Q
~ = 1 Q r̂
⇒E
εo
4πεo r2
b
Q 1 Q (a − b)
Q (b − a)
=
⇒ |∆V | =
∆V = −
4πεo r a 4πεo ab
4πεo ab
7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
C=
4πεo ab
(b − a)
limites
b − a = d << a
7.4
7.4.1
Associação de Capacitores
Capacitores em Paralelo
Figura 7.7
Mesmo potencial:
Q1 = C1 V
Q2 = C2 V
Q3 = C3 V
Q1 + Q2 + Q3 = (C1 + C2 + C3 ) V
Q = Ceq V
103
104
CAPÍTULO 7. CAPACITORES
Ceq = C1 + C2 + C3
Para n capacitores em paralelo:
Ceq =
n
X
Ci
i=1
7.4.2
Capacitores em Série
Figura 7.8
V = V1 + V2
Q = Ceq V = Ceq (V1 + V2 ) = Ceq
Q1 Q2
+
C1
C2
Mas:
Q1 + Q2 = Q ⇒
Q
Q
Q
=
+
Ceq
C1 C2
1
1
1
=
+
Ceq
C1 C2
Para n capacitores em série :
7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
105
n
X 1
1
=
Ceq
Ci
i=1
Exercı́cio 7.1. Um capacitor tem placas quadradas de lado a, que formam
um ângulo θ entre si. Mostrar que para θ pequeno, a capacitância é dada
por
ε o a2
d
aθ
1−
2d
Figura 7.9
Suponha que o capacitor em questão é o capacitor equivalente de uma
associação de capacitores em paralelo.
Figura 7.10
≡
106
CAPÍTULO 7. CAPACITORES
Figura 7.11
Figura 7.12
Ci =
εo adx
εo A
=
di
di
sendo
di = d + xtgθ
Ceq =
X
i
Za
C i = εo a
dx
εo a
=
ln (d + xtgθ)|a0
d + xtgθ
tgθ
0
εo a
Ceq =
ln
tgθ
d + atgθ
d
7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
107
θpequeno ⇒ tgθ ≈ θ
εo a
aθ
C=
ln 1 +
θ
d
Mas
aθ
d
é pequeno e ln (1 + x) = x −
εo a
C=
θ
aθ a2 θ2
−
d
2d2
x2
2
+
x3
3
ε o a2
=
d
+ ...−1 ≤ x ≤ 1
aθ
1−
2d
Se θ = 0 voltamos ao resultado inicial para capacitores de placas paralelas:
C=
ε o a2
d
108
CAPÍTULO 7. CAPACITORES
Capı́tulo 8
Dielétricos
8.1
Introdução
Até agora, só discutimos campos elétricos no vácuo ou na presença de con~ = 0. Porém, o que acontece se trabalharmos
dutores, dentro dos quais E
com isolantes?
Cavendish, em 1773, e Faraday, independentemente, em 1837 1 descobriram que a capacitância de um capacitor aumenta caso seja colocado um
isolante entre as placas, a capacitância aumenta por um fator que depende
tão somente do tipo de material colocado. Mas por qual motivo isso ocorre?
Nesse capı́tulo estudaremos mais profundamente as propriedades desses
materiais dielétricos, e a sua aplicação na construção de capacitores, além de
estudar alguns dos fenomenos relacionados, como a polarização.
8.2
Campo no interior de um dielétrico
Nessa seção veremos mais a fundo o motivo que leva a esse aumento da
capacitancia, dessa forma, devemos considerar dois tipos de materiais, os
compostos por moléculas polares e os apolares:
1
Nussenzveig, Herch Moysés, Curso de Fı́sica básica - Volume 3, 1a Edição, pág 86
109
110
8.2.1
CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS
moléculas polares
As moléculas polares são aquelas que apresentam um momento de dipolo
permanente p~. Esse dipolo, quando colocado na presença de um campo
elétrico tende a se alinhar com este devido a um torque resultante, que pode
ser observado na figura abaixo:
Figura 8.1: Dipolo molecular imerso em um campo
O alinhamento das moléculas do material na direção do campo elétrico
externo é chamado de polarização elétrica.
8.2.2
moléculas apolares
Essas moléculas não apresentam momento dipolo permanente, porém, também
estão sujeitas à uma polarização, devido ao surgimento de um dipolo induzido:
8.3. POLARIZAÇÃO
111
Figura 8.2: Ao ser imersa em um campo, surge um dipolo induzido na
molécula
8.3
Polarização
Com o que vimos na Seção 8.2 existem dois tipos de dipolo, um induzido (no
caso das moléculas apolares), ou um permanente (caso das moléculas polares,
como a água). Esses dipolos podem ser então polarizados pela presença de
um campo elétrico, como percebe-se na figura abaixo:
Figura 8.3: Material polarizado
Assumimos aqui que todos os dipolos estão alinhados com o eixo do cilindro, o que nem sempre é verdade. Dessa forma, precisamos descobrir a
influência desses dipolos no campo elétrico resultante.
8.3.1
Definição do vetor Polarização
Definimos o vetor polarização como sendo:
112
CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS
N
→
−
1 X
P =
p~i
V i=1
(8.1)
Na qual p~i são os dipolos, induzidos ou permanentes, presentes nos materiais. Perceba que P~ possui sentido que aponta das cargas negativas para
as positivas.
No caso do cilindro apresentado, considerando N dipolos orientados p~
podemos dizer que:
N
→
−
1 X
P =
p~i
V i=1
Dessa forma, no total, terı́amos que as cargas de cada dipolo iriam se anular dentro do cilindro, restando somente as cargas externas. Assim terı́amos:
Figura 8.4: Esquema
Mas como podemos calcular Qp , ou seja, a carga polarizada?
Considerando um grande momento dipolo igual à soma de todos os vetors
dipolo menores N p. Assim, pela definição de vetor dipolo: Qp h = N p. Mas
Qp = σp A. Dessa forma, podemos dizer que, no caso das placas paralelas:
σp = P~
(8.2)
Caso as placas não sejam paralelas, sendo A0 a nova área e A a área do
8.3. POLARIZAÇÃO
113
caso paralelo, considerando o vetor n̂ perpendicular à superfı́cie e o ângulo θ
que este faz com o vetor hatk, temos:
A0 cosθ = A ⇒ σp =
Qp cosθ
= P~ cosθ = P~ · n̂
A
(8.3)
~ = −P~ /ε0 podemos dizer que:
Além disso, pela lei de Gauss, como E
I
Qp = −
P~ · d~s
(8.4)
Que, pelo teorema da divergência:
∇ · P~ = −ρp
(8.5)
Dessa forma, precebe-se a importância do vetor polarizaçào, visto que
ele permite o cálculo da densidade superficial de carga polarizada, sem a
necessidade do conhecimento dos dipolos moleculares. Além disso, podemos
dizer que:
~
~p = − P
E
(8.6)
εo
~ é dado por:
Dessa forma, o campo total E
~
~ =E
~ externo − P → E
~ <E
~ externo
E
εo
(8.7)
O que mostra que a polarização diminui o campo elétrico final, causando
assim, o efeito observado por Cavendish (vide Seção 8.1).
8.3.2
Susceptibilidade Elétrica e constante dielétrica
Agora, sabemos que o vetor polarização pode nos ajudar a descobrir alguns
dos efeitos macroscópicos causados pelo uso de dielétricos. Como já dito,
foi observado que a capacitância variava por um valor que dependia basicamente da natureza do material estudado. Assim, pode-se montar a seguinte
114
CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS
equação:
~
P~ = χE
(8.8)
Além disso, foi observado que χ é normalmente linear, sendo denominado
susceptibilidade elétrica. Com isso, pela equação 8.7, chamando Eexterno de
E0 temos:
~
χ
P
~ 1+
~o = E
~+
=E
E
εo
ε
| {z o }
(8.9)
K
Dessa forma, temos a relação entre a susceptibilidade elétrica e a constante dielétrica, definida a partir da razão entre as diferentes capacitâncias
observadas com e sem dielétricos nos capacitores, ou seja:
k=
→ = 0 + χ
0
(8.10)
Onde é chamada a permissividade elétrica do meio.
Observação: Há vários livros que definem:
~
P~ = εo χe E
Logo, temos que: χ = χe εo
e, nesse caso:
ε = εo (1 + χe )
| {z }
(8.11)
K
8.4
Lei de Gauss e vetor deslocamento elétrico
Como o campo não se mantém o mesmo na presença de um dielétrico, como
é possı́vel equacioná-la?
Primeiramente relembremos a lei de Gauss:
8.4. LEI DE GAUSS E VETOR DESLOCAMENTO ELÉTRICO
I
~ s = Qint
E·d~
εo
115
(8.12)
Mas a carga elétrica é composta pela carga livre inicial mais a carga
polarizada, assim:
I
~ s = Q + Qp
E·d~
εo
(8.13)
Aplicando no caso especı́fico de um capacitor temos:
EA =
Q + Qp
εo
⇒E=
σ + σp
εo
Mas, já vimos que:
σ
σ
Eo
=
=
K
εo K
ε
E=
p
= σε , então:
Logo, como : σ+σ
εo
I
~ · d~s = Qlivre
εE
(8.14)
~ = εE
~ obtemos:
Difinindo o vetor deslocamento elétrico como sendo D
I
~ · d~s = Qlivre
D
(8.15)
Além disso, sabemos que:
~ = εE
~ = εo K E
~ = εo (1 + χe ) E
~ = εo E
~ + P~
D
Logo:
~ = εo E
~ + P~
D
(8.16)
Além disso, pelo teorema da divergência, podemos obter que:
~ ·D
~ = ρlivre
∇
(8.17)
116
CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS
Outra forma de chegarmos à mesma resposta seria, partindo da equação
8.13, e sabendo da equação 8.4 obtemos que:
I ~ + P~ · d~s = Qlivre
εo E
(8.18)
~ = Eε
~ + P~ obteremos a equação 8.15
Assim, definindo D
Vale notar também que o vetor deslocamento elétrico é igual ao vetor
~ 0 , ou seja, o campo externo vezes a permissividade do vácuo. Logo, D
~
ε0 E
depende tão somente das cargas externas e não da natureza do material, fornecendo assim, uma excelente ferramenta de cálculo para os casos envolvendo
~ e E,
~ nos dá condições,
dielétricos. Além disso, a relação existente entre D
conhecida a permissividade elétrica do meio ε, de descobrir tanto o próprio
~ quanto o vetor polarização, podendo assim, obter as cargas polaricampo E
zadas e as finais. Um outro fator interessante é que as equações que utilizam o
vetor deslocamento podem ser utilizadas mesmo que não haja meio dielétrico,
mas elas cairão nas equações já vistas em capı́tulos anteriores.
8.5
Energia eletrostática em dielétricos
Analisaremos agora qual o comportamento da energia elétrostática armazenada no campo caso exista um dielétrico no meio. Assim, sabemos que:
1
U=
2
Z
ρe V dv
v
→
− →
−
Mas ρe = ∇. D
Assim, temos que:
1
U=
2
Z
→
− →
−
( ∇. D )V dv
→
− →
−
→
− →
−
→
− →
−
Mas ∇.( D V ) = ( ∇. D )V + D . ∇V Logo:
(8.19)
8.6. CONDIÇÕES DE CONTORNO
1
U=
2
Z
→
− →
−
1
( ∇. D )V dv =
2
Z
117
→
− →
−
1
∇.( D V )dv −
2
Z
→
− →
−
D . ∇V dv
→
−
→
−
Porém E = − ∇V . Assim, como fizemos no caso da energia eletrostática
sem dielétricos, podemos fazer v → ∞. Assim:
1
U=
2
Z
→
− →
−
D . E dv
(8.20)
R3
8.6
Condições de Contorno
Da mesma forma que definimos algumas condições de contorno para problemas de eletrostática, devemos agora rever essas condições para o caso da
presença de um dielétrico. Assim, recordando:
Figura 8.5: Esquema
Vimos que:
⊥
⊥
Eacima
− Eabaixo
=
σ
ε0
Era obtido a partir da Lei de Gauss. Assim, com a Lei reescrita, podemos
obter:
118
CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS
Figura 8.6: Esquema 2
⊥
⊥
Dacima
A − Dabaixo
A = σl A
Logo:
⊥
⊥
Dacima
− Dabaixo
= σl
(8.21)
Porém, pela circulação, obtemos:
//
//
Eacima = Eabaixo
Mas, como:
→
−
→
−
→
−
P
D
−
E =
ε0
ε0
Então, obtem-se:
//
//
⊥
⊥
Dacima
A − Dabaixo
A = Pacima − Pabaixo
(8.22)
Dessa forma, temos agora todas as ferramentas necessárias para realizar
o estudo de muitos dos problemas de eletrostática, inclusive os que envolvem dielétricos, principalmente, aqueles que envolvem o cálculo de capa-
8.6. CONDIÇÕES DE CONTORNO
119
citâncias de diversos capacitores, totalmente ou parcialmente preenchidos
com dielétricos.
120
CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS
Capı́tulo 9
Corrente elétrica e Resistência
9.1
Transporte de Carga e Densidade de Corrente
As correntes elétricas são causadas pelo movimento de portadores de carga.
A corrente elétrica num fio é a medida da quantidade de carga que passa por
um ponto do fio por unidade de tempo.
I=
dq
dt
[I] = A (Ampere)
9.1.1
Conceito De Densidade De Corrente
Consideremos uma área a.
Perguntamos: Quantas partı́culas carregadas passam por unidade de
tempo?
Consideremos inicialmente que cada partı́cula possui carga q e velocidade
~u e temos n partı́culas por m3 .
121
122
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.1
Para o intervalo de tempo ∆t temos que a resposta será:
todas as partı́culas dentro de um volume de prisma.
V olume = base × altura
V olume =~a · ~u∆t = au∆t cos θ
Densidade de partı́culas = n, então o número de partı́culas,∆N , que
passa pela área a no intervalo ∆t é:
∆N = n~a · ~u∆t
Considerando que cada partı́cula possui carga q:
∆Q = nq~a · ~u∆t
corrente =
Caso geral:
∆Q
= nq~a · ~u = I (a)
∆t
9.1. TRANSPORTE DE CARGA E DENSIDADE DE CORRENTE
123
Consideremos que há partı́culas diferentes com cargas diferentes, velocidades diferentes em número diferente. Então a corrente será dada por:
I (a) = n1 q1~a · ~u1 + n2 q2~a · ~u2 + ... + nN qN ~a · ~uN
I (a) =
N
X
ni qi~a · ~ui =
i=1
I (a) = ~a ·
N
X
ni qi~ui
i=1
Chamamos
N
P
~
ni qi~ui de densidade de corrente J.
i=1
N
X
ni qi~ui = Densidade de corrente
i=1
J~ =
N
X
ni qi~ui
i=1
h i
A
J~ = 2
m
I (a) = ~a · J~
Examinemos agora a contribuição da densidade de corrente para o caso
de elétrons que podem ter diferentes velocidades.
qi = −e
J~ = −e
N
X
ni~ui
i=1
A velocidade média dos elétrons é dada por:
124
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
h~ue i =
1 X
ni~ui
Ne i
Ne = N umero de eletrons por unidade de volume
J~e = −eNe h~ue i
A corrente de elétrons que passará através da área a dependerá somente
da velocidade média dos portadores (lembrando que esta de trata de
uma média vetorial).
A corrente I que atravessa qualquer superfı́cie S é exatamente igual à
integral de superfı́cie:
Z
I=
J~ · d~s
S
I é o ”fluxo”associado ao vetor J~
9.2
Equação da Continuidade da Carga elétrica
Figura 9.2
Consideremos uma superfı́cie fechada qualquer S, que delimita um volume
V.
Dentro do volume V temos uma quantidade de carga total igual a:
9.2. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DA CARGA ELÉTRICA
125
Z
ρdv
V
Como
H
J~ · d~s é igual à vazão instantânea de carga para fora do volume.
S
I
d
J~ · d~s = −
dt
S
Z
ρdv
V
Usando o Teorema de Gauss temos:
I
~ · Jdv
~ =−d
∇
dt
V
Z
ρdv
V
Mas como ρ = ρ (x, y, z, t) e a superfı́cie que limita o volume permanece
no mesmo lugar:
d
dt
Z
Z
∂ρ
dv
∂t
ρdv =
Então:
Z
~ · Jdv
~ =
∇
V
Z ∂ρ
−
∂t
dv
V
Como a equação é válida para qualquer V :
~ · J~ = − ∂ρ
∇
∂t
Equaç~
ao da Continuidade da carga
Portanto, O Princı́pio da Conservação da Carga é traduzidos pelas
equações:
I
S
d
J~ · d~s = −
dt
Z
ρdv
V
(9.1)
126
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
e
~ · J~ = − ∂ρ
∇
∂t
9.2.1
(9.2)
Caso De Corrente Estacionária
Corrente não varia com o tempo!!!
Figura 9.3
Suponha que temos um fio por onde passa uma corrente estacionária (não
varia com o tempo). Se considerarmos o volume V, a quantidade de carga
∆Q que entra num intervalo de tempo ∆t deve ser igual à que sai no mesmo
intervalo.
∆Q
dentro do volume = 0 ⇒ ∂ρ
=0
∆t
∂t
~ · J~ = 0
∇
Esta equação nada mais é do que a 1a Lei de Kirchoff , também conhecida como Lei dos Nós, da teoria de circuitos elétricos.
Figura 9.4
9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM
127
Figura 9.5
9.3
Condutividade Elétrica e a Lei de Ohm
Consideremos que a corrente elétrica é produzida pela presença de um campo
elétrico.
~ produz uma força no portador de carga → se movimenta ⇒ corrente
E
elétrica
Se há corrente elétrica ou não, depende da natureza fı́sica do sistema em
que o campo atua, ou seja, o meio.
Uma das mais antigas descobertas experimentais sobre a corrente elétrica
na matéria foi feita por G. S. Ohm, em um trabalho publicado em 1827
intitulado: ”Die Galvanische Ketle Mattematisch Bearbeitet”, e é expressa
através da Lei de Ohm:
V = RI
Observação 9.1. ( OBSERVAÇÃO IMPORTANTE )
Esta equação provém da observação experimental do comportamento de
muitas substâncias familiares, nós não a deduzimos das leis fundamentais do
eletromagnetismo.
9.3.1
Um Modelo Para a Condução Elétrica
⇒ Modelo De Drude = Modelo Clássico
Linha do tempo:
128
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
1827 - Ohm 1897 - J.J. Thompson → descoberta do elétron.
Impacto imediato nas teorias da estrutura da matéria e sugeriu um mecanismo para a condução em metais.
1900 - Drude construiu sua teoria para a condutividade elétrica utilizando
a teoria cinética dos gases para um metal, considerando um gás de elétrons
livres.
(Annalen der Phynik 1, 566 (1900) e Annalen der Phynik 3, 369 (1900))
Suposições:
Figura 9.6
Cada átomo contribui com z elétrons para a condução → carga = -ez
Na ausência de campo elétrico os elétrons se movem em todas as direções,
ao acaso, com velocidades que são determinadas pela temperatura.
O elétron deverá se mover em linha reta até que sofra uma colisão.
As colisões no modelo de Drude, como na teoria cinética, são eventos
instantâneos que alteram abruptamente a velocidade do elétron.
Não há relação (tanto em módulo quanto em direção e sentido) entre a
velocidade ~u do elétron em t = 0 e sua velocidade depois da passagem de um
certo intervalo de tempo.
Isto corresponde a dizer que após um tempo t o vetor velocidade do
9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM
129
elétron poderá ser encontrado apontando em qualquer direção independente
da direção que tinha em t = 0.
A probabilidade de um elétron sofrer uma colisão em um intervalo de
tempo dt é dt
, onde τ = tempo médio entre as colisões.
τ
~ ao sistema.
Agora vamos aplicar um campo elétrico uniforme E
Com a presença de um campo elétrico, o elétron ficará sujeito a uma força
elétrica.
Figura 9.7
Seja:
~u = velocidade imediatamente após a colisão.
Após um determinado t, o elétron sofre um incremento de momento igual
a:
~
p~t = −eEt
Momento original logo após a colisão era:
p~o = me~u
me = massa do elétron
Então, momento total após um determinado tempo t deve ser:
130
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
~
p~ = me~u − eEt
Com isso, o momento total do sistema será:
X
p~ =
X
me~ui +
i
X
~ ti
−eE
i
O momento médio de todos os elétrons:
h~pi =
h~pi =
h~pi = me
Mas:
P
1
Ne
1 X
p~
Ne
1 X
~ i
me~ui − eEt
Ne i
1 X
~ui
Ne i
!
~
− eE
1 X
ti
Ne i
!
~ui = velocidade média dos elétrons imediatamente após a colisão
i
→ deve ser igual a zero, pois ~ui tem as direções distribuı́das totalmente ao
acaso e, portanto, tem contribuição nula para a média.
P
1
ti = tempo médio entre as colisões = τ
Ne
i
~
h~pi = −eEτ
eτ ~
h~ui = − m
E = velocidade média = velocidade de drift ou de ”arrasto”.
e
Já vimos que a densidade de corrente pode ser escrita como:
J~ = −Ne e h~ui
Ne e2 τ ~
J~ =
E
me
Seja:
9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM
σ=
Então:
e2 Ne τ
me
Lei de Ohm
~
J~ = σ E
onde σ = condutividade elétrica.
~ é equivalente a escrever V = RI.
Vejamos que escrever J~ = σ E
Consideremos um fio de secção transversal A:
Figura 9.8
V = El
e
I = JA
J = σE = σ
V
l
I
V
l
=σ ⇒V =
I
A
l
σA
|{z}
R
Então:
131
132
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
V = Ri
Definimos resistividade como sendo o inverso da condutividade:
ρ=
1
σ
R=
ρl
A
Temos:
⇒ De fato a resistência deve ser diretamente proporcional a l e inversamente proporcional a A.
R=
comprimento × resistividade
areadasecaotransversal
Na realidade a resistividade de um material varia com a temperatura T.
ρ = ρo [1 + α (T − To )]
α = coeficiente de temperatura da resistividade
α > 0 para metais
α < 0 para semicondutores
Figura 9.9
9.4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
9.4
9.4.1
Associação de Resistores
Associação em Paralelo
Figura 9.10
V = Req Ieq
Req =
V
I1 + I2 + I3
1
I1 I2 I3
1
1
1
=
+ +
=
+
+
Req
V
V
V
R1 R2 R3
N
X 1
1
=
Req
Ri
i=1
9.4.2
Associação em Série
V = V1 + V2 = R1 I + R2 I
V = (R1 + R2 ) I
Req = (R1 + R2 )
133
134
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.11
Req =
N
X
Ri
i=1
Exercı́cio 9.1. Um material condutor possui condutividade dada por:
σ(x) = σa +
(σb − σa )
x
l
onde σa e σb são constantes.
O condutor possui comprimento l e área de secção transversal constante.
Determine a resistência entre as faces A e B do condutor.
Figura 9.12
R=
ρl
l
⇒ R(x) =
A
σ(x)A
9.4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
135
Figura 9.13
Zl
n
Req = Σ Ri ⇒ R =
i=1
dx
1
=
σ(x)A
A
0
Zl
0
dx
σa +
σb −σa
l
x
⇒
σb
l
ln
R=
A(σb − σa )
σa
Exercı́cio 9.2. Um material condutor é moldado na forma de um tronco de
cone. O raio da base menor é a e o raio da base maior é b. O comprimento
é l e a resistividade é uniforme. Determine a resistência entre as bases.
Figura 9.14
R=
ρ
R=
π
Zl
0
R
dR ⇒dR =
dx
ρdx
πr2 (x)
⇒ r (x) = a +
ρ
⇒R=
2
π
a + b−a
x
l
R=
ρl
se
πab
l
b−a
a=b ⇒R=
b−a
x
l
1 1
− +
⇒
b a
ρl
πa2
136
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Exercı́cio 9.3. Um material é moldado na forma de uma cunha, como ilustra a figura abaixo. O material possui uma resistividade ρR . Determine a
resistência entre as faces A e B
Figura 9.15
Z
R=
ρ
R=
w
Zl
0
se
b → a,
dR
ρdx
a+
(b−a)
x
l
w
ρ
l
⇒R=
ln
b−a
w (b − a)
a+ l x
dx
(b − a) → 0 ⇒ ln
⇒R=
9.5
dR = b
a
= ln
b−a
a
b
a
+1 ≈
b−a
a
ρl
(b − a)
ρl
=
w (b − a) a
aw
Força Eletromotriz
É necessário se gastar energia elétrica para manter uma corrente constante
em um circuito fechado. A fonte de energia é chamada de fonte de força
eletromotriz (fem - sı́mbolo ε ).
Exemplos: baterias, células solares, etc
Matematicamente: ε ≡
dw
dq
Ou seja, o trabalho para mover uma unidade de carga na direção do
potencial mais alto.
9.5. FORÇA ELETROMOTRIZ
137
[ε] = V (volt)
Considere o circuito:
Figura 9.16
Assumindo que a bateria não possui resistência interna, então a diferença
de potencial VA − VB = V = ε
Corrente: I =
ε
R
No entanto, uma bateria real sempre possui um resistência interna r.
Neste caso, a diferença de potencial nos terminais da bateria é:
Vc − Va = ∆V = ε − rI
Figura 9.17
No circuito todo:
ε − rI − RI = 0 ⇒ I =
ε
r+R
138
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.18
. Voltagem cai ao passar por cada resistor.
. Nos fios é constante.
9.5.1
Potência
A potência é dada por:
dq
dW
=V
dt
dt
Taxa de Transferência de Energia
Como P = V I é sempre válido:
Usando a Lei de Ohm:
→ P = I 2R
A potência gasta pela bateria:
P = Iε = I (IR + Ir) = I 2 R + I 2 r
Potência da fonte é igual a Potência dissipada em R + Potência
dissipada em r.
9.5.2
Potência Máxima Transmitida
P = RI 2
9.6. LEIS DE KIRCHOFF
139
Figura 9.19
I=
P =
ε
R+r
Rε2
(R + r)2
dP
ε2
2Rε2
dP
=0→
=
−
=0
dR
dR
(R + r)2 (R + r)3
⇒ R + r = 2R
R=r
9.6
Leis de Kirchoff
As leis de Kirchoff:
1- Dos nós: ΣIentram = ΣIsaem
2- Das malhas:
Σ
∆V = 0
circuito
fechado
Nos circuitos temos:
Va > Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = −RI
140
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.20
Figura 9.21
Va < Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = +ε
Exercı́cio 9.4. Qual o valor de I1 , I2 e I3 ?
Figura 9.22
Consideremos que o sentido das correntes são como mostrados na figura.
Pela lei das malhas:
Começando em A:
V1 − R1 I1 − R3 I1 + R3 I2 = 0
Começando em B:
−R3 I2 + R3 I1 − R2 I2 + V2 = 0
9.7. CIRCUITO R-C
141
Temos duas equações e duas incógnitas, I1 e I2
I3 = I1 − I2
Se I1 der negativo, então o sentido da corrente é oposto ao que supomos
inicialmente, o mesmo para I2 .
9.7
9.7.1
Circuito R-C
Carregando um capacitor
Considere o circuito abaixo:
Figura 9.23
Bateria com uma fem ε constante e resistência interna nula.
Inicialmente o capacitor está completamente descarregado q( t=0 ) = 0
e a chave passa para a posição (1).
A corrente começa a circular: I (0) =
ε
R
A medida que o tempo passa ( t ¿ 0 ), o capacitor vai carregando até
atingir a carga máxima ( t = tf ) Q = Cε
Analisemos o que ocorre entre os dois instantes ( 0 ¡ t ¡ tf ).
Pela Lei da Malhas: ε − I (t) R −
q(t)
C
=0
Podemos resolver a equação em termos da corrente ou da carga.
Escolhendo a carga:
142
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.24
ε − RI (t) −
I (t) =
q (t)
=0
C
dq (t)
dq
q
⇒ε−R − =0
dt
dt C
dq
1
q
dq
dt
⇒
=
ε−
⇒
=
dt
R
C
εC − q
RC
Integrando ambos os lados, temos:
Zq
1
dq
=−
q − εC
RC
0
Zt
dt ⇒ ln
q − εC
−εC
=−
t
RC
0
t
−( RC
)
q − εC = −εC e
⇒ q (t) = εC 1 − e
t
−( RC
)
t
q (t) = Q 1 − e− RC
Onde Q é a carga máxima armazenada no capacitor.
I (t) =
dq
dt
I (t) =
−t
q (t) = Q 1 − e RC
εC −t
Q −t
e RC =
e RC
RC
RC
9.7. CIRCUITO R-C
143
Figura 9.25
I (t) =
ε −t
e RC
R
Figura 9.26
τ = RC é uma medida do tempo de decaimento da função exponencial.
Depois de t = τ a corrente cai de um fator de 1e = 0, 368.
Tensão no Capacitor
Vc (t) =
t
t
q (t)
Q
=
1 − e− RC = ε 1 − e− RC
C
C


 q (t → ∞) = Cε = Q
t→∞⇒
Vc (t → ∞) = ε


I (t → ∞) = 0
144
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.27
Depois de um tempo t = τ a diferença de potencial entre os capacitores
aumenta de um valor igual a (1 − e−1 ) = 0, 632 do seu valor final.
Vc (τ ) = 0, 632ε
9.7.2
Descarregando um capacitor
Considerando que a chave permaneceu por um longo tempo na posição (1),
vamos mudar a chave para a posição (2).
Figura 9.28
Podemos prever que a corrente terá o mesmo comportamento que o processo anterior, com a diferença que mudará de sentido.
t
ε
Idescarga (t) = −Icarga (t) = − e− RC
R
Montando a equação:
9.7. CIRCUITO R-C
145
q (t)
− RI (t) = 0
C
I (t) = −
dq
dt
q (t)
dq (t)
−R
=0
C
dt
q (t)
dq
dt
dq (t)
=−
⇒
=−
⇒
dt
RC
q
RC
Zq
dq
=−
q
Q
q
t
ln
=−
⇒
Q
RC
t
q (t) = Qe− RC
Vc (t) =
t
t
Q
q (t)
= e− RC = εe− RC
C
C
I (t) = −
t
ε
dq
= e− RC
dt
R
Figura 9.29
Zt
0
dt
RC
146
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Figura 9.30
Figura 9.31
Figura 9.32
t < 0 ⇒ Req = R1 + R2
9.7. CIRCUITO R-C
147
τ = Req C = (R1 + R2 ) C
t
q (t) = εC 1 − e−( τ )
Figura 9.33
Figura 9.34
τ 0 = R2 C
t
q 0 (t) = εCe− τ 0
Corrente entre A e B como função do tempo depois que o circuito é
fechado.
148
CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
ε = R1 I1 ⇒ I1 =
ε
R1
q (t)
− R2 I2 (t) = 0
C
q (t)
dq2 (t)
+ R2
=0
C
dt
Figura 9.35
dq2(t)
dt
− t
⇒ q2 (t) = εCe R2 C
=−
q2
R2 C
I2 (t) = −
I = I1 + I2 =
ε − R tC
e 2
R2
ε
ε − R tC
+
e 2
R1 R2
Capı́tulo 10
Magnetostática
10.1
Campo Magnético
Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam influências de outra força, fora aquela resultante da ação do campo elétrico.
Tal força dependia não só da posição da partı́cula mas também da velocidade
de seu movimento, e ela recebeu o nome de força magnética.
Portanto, Em todo ponto do espaço temos duas quantidades vetoriais que
determinam a força resultante que atua sobre uma carga:
• A primeira delas é a força elétrica, a qual fornece uma componente
da força independente do movimento da carga. É possı́vel descrevê-la,
como já foi visto, em termos do campo elétrico.
• A segunda quantidade é uma componente adicional à força denominada
força magnética, que será apresentada a seguir.
Foi visto que o campo elétrico pode ser definido como a força elétrica por
unidade de carga:
~
~ = Fe
E
q
149
(10.1)
150
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Isso pôde ser feito devido à existência de monopólos elétricos. Porém o
ser humano não observou, até hoje, monopolos magnéticos: Todos os corpos
magnetizados possuem um pólo Norte e um pólo Sul. Por causa disso, o
campo magnético deve ser definido de outra maneira.
Observando o movimento de cargas elétricas em campos magnéticos,
notou-se que:
• A força magnética é proporcional à carga da partı́cula:
Fm ∝ q
• A força magnética é sempre perpendicular ao sentido de deslocamento
da partı́cula:
F~m · ~v = 0
• Se o deslocamento da partı́cula é paralelo à uma direção fixa, a força
magnética é nula. Caso contrário, a força magnética é proporcional
à componente da velocidade que é perpendicular à essa direção. Em
sı́ntese: sendo θ o ângulo entre o vetor velocidade (~v ) e essa direção
fixa:
Fm ∝ v sin θ
(10.2)
Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definição do vetor
~ 1 , cuja direção especifica simultaneamente a direção fixa
campo magnético B
mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga.
~
F~m = q ~v × B
(10.3)
Utilizando as equações 10.1 e 10.3, demonstra-se que a força resultante
1
h i
~ = T (tesla). 1T = 104 G (gauss)= wb (weber)
Unidade do campo magnético: B
m2
10.2. FORÇA MAGNÉTICA EM FIOS
151
aplicada sobre uma carga elétrica é dada por:
F~ = F~e + F~m
(10.4)
~
~
~
F = q E + ~v × B
(10.5)
A equação 10.5 representa a Força de Lorentz, um dos axiomas da teoria
eletromagnética. Sua importância advém do fato dela ser a ponte entre a
dinâmica e o eletromagnetismo.
Observação: A força magnética NÃO realiza trabalho, pois ela é sempre
perpendicular ao deslocamento da partı́cula.
~
~
~
dW = Fm · dl = q ~v × B · ~v dt = 0
Segue que a força magnética não pode alterar apenas a direção da velocidade da carga (~v ). Fica então a pergunta: Como um ı́mã pode mover outro?
Veremos isso mais adiante.
10.2
Força magnética em fios
Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente elétrica I,
~ Pode-se dizer que a quantidade de carga
imerso em um campo magnético B.
que passa pela secção transversal do fio em um tempo dt é:
dq = I dt
(10.6)
De acordo com a equação 10.3, a força magnética aplicada nesse elemento
de carga é:
~
dF~m = dq ~v × B
Substituı́ndo 10.6 em 10.7, temos:
(10.7)
152
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
~
dF~m = I dt ~v × B
~
~
dFm = I ~v dt × B
~
dF~m = I d~l × B
(10.8)
~ possui a mesma direção e sentido da corrente. Então integrando
Onde dl
a equação 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a força aplicada
nesse corpo:
Z ~
F~m = I d~l × B
(10.9)
Γ
Figura 10.1: Fio imerso em campo magnético
Como exemplo, façamos uma análise para o caso no qual a corrente e o
campo são constantes.
~ não variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte
Como I e B
maneira:

F~m = I 
Z 
~
d~l × B
(10.10)
Γ
Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d~l) de um
fio, obtemos como resultado o vetor ~l, que liga as duas extremidades desse
10.3. TORQUE EM ESPIRAS
153
objeto. Portanto, a equação 10.10 torna-se:
~
~
~
Fm = I l × B
(10.11)
Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor ~l é nulo, portanto a força
magnética resultante é zero.
Figura 10.2: Força resultante na espira fechada é nula
Observação: A força magnética resultante é nula, mas o torque não o é!
10.3
Torque em espiras
~ de tal
Considere uma espira retangular imersa em um campo magnético B
forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado
na figura 10.3. Vamos calcular a força em cada lado da espira:
Figura 10.3: Espira retangular
154
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Lado 1:
~ =0
F~1 = I ~l1 × B
Lado 2:
~ = IBa −î × ĵ
F~2 = I ~l2 × B
F~2 = −IBak̂
Lado 3:
~ =0
F~3 = I ~l3 × B
Lado 4:
~ = IBa î × ĵ
F~4 = I ~l4 × B
F~4 = IBak̂
Agora é possı́vel calcular o torque das forças F~2 e F~4 em relação ao eixo que
passa pelo centro da espira e é perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado
na Figura 10.4.
Figura 10.4: Cálculo do torque
Lado 2:
b
~
τ~2 = ~r2 × F2 = − ĵ × −IBak̂
2
τ~2 =
Lado 4:
τ~4 = ~r4 × F~4 =
IBab
î
2
b
ĵ
2
× IBak̂
10.3. TORQUE EM ESPIRAS
155
τ~4 = −
IBab
î
2
Então, o torque total é:
~τ = τ~2 + τ~4 = IBabî
Nota-se que o produto ab é a área da própria espira. Pode-se estender
o resultado acima para uma espira qualquer de área A percorrida por uma
~ um vetor normal à superfı́cie da espira com módulo igual
corrente I. Sendo A
à A, o torque nesse objeto é dado por:
~×B
~
~τ = I A
(10.12)
Para uma espira com N voltas, temos:
~×B
~
~τ = N I A
(10.13)
Observando-se a importância do primeiro fator do membro direito da
equação 10.13 , define-se o momento de dipolo magnético µ
~ como sendo:
~
µ
~ = N IA
(10.14)
Logo a equação 10.13 pode ser escrita como2 :
~
~τ = µ
~ ×B
(10.15)
Exercı́cio 10.1. Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N
~ apresentou uma aceleração angular
voltas imersa em um campo magnético B
de rotação igual à α. Sendo I seu momento de inércia, calcule a área da
bobina. Considere θ como sendo o ângulo entre o plano da bobina e o vetor
~
B
Podemos calcular o torque de duas maneiras:
2
analogia com a equação do momento de dipolo para a eletrostática
156
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.5: Espira imersa no campo magnético
τ = Iα
~
~τ = µ
~ ×B
Logo:
~
Iα = µ
~ ×B
(10.16)
Calculando o momento de dipolo magnético:
~ = N iA~n
µ = iA
Substituı́ndo 10.17 em 10.16 :
Iα = N iAB ~n × ~j Iα = N iAB cos θ
Então a área é:
A=
Iα
N iB cos θ
(10.17)
10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON
10.4
157
O Movimento Cyclotron
Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de partı́culas emprega campos
magnéticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores
são conhecidos como Cyclotrons.
~ com uma velocidade ~v
Uma partı́cula lançada em um campo magnético B
~ como mostrado na Figura 10.6, realizará esse tipo de moperpendicular à B,
vimento, no qual a força magnética desempenha o papel de força centrı́peta.
Pode-se dizer então que:
Figura 10.6: Movimento de uma partı́cula no Cyclotron
Fm = qvB =
mv 2
R
(10.18)
Os aceleradores de partı́culas permitem a obtenção de certas caracterı́sticas
importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendo p = mv o momento linear de uma partı́cula, pode-se manipular a equação 10.18 e chegar
ao seguinte resultado:
p = qBR
(10.19)
Desse modo, basta lançar a partı́cula no campo e medir o raio de seu
158
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
movimento para medir o seu momento linear.
Sabe-se que a freqüência angular do movimento circular é ω = v/R.
Manipulando a equação 10.18, também é possı́vel determinar a freqüência
cyclotron:
qB
(10.20)
m
Outro aspecto interessante relativo à esse movimento e que, caso a partı́cula
apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magnético, ela
descreverá uma trajetória helicoidal.
ω=
Figura 10.7: Movimento helicoidal
Exercı́cio 10.2. Um feixe de partı́culas transitando por uma região com
~ e campo elétrico E
~ não sofre acelerações. Depois,
campo magnético B
retirou-se o campo magnético, então as partı́culas passaram a executar um
movimento circular uniforme de raio R. Dê a relação carga/massa dessas
partı́culas
No primeiro caso, as forças elétricas e magnéticas devem equilibrar-se
para que não haja acelerações. Ou seja, a Força de Lorentz deve ser nula:
~ + ~v × B
~ =0
F~ = q E
~ + ~v × B
~ =0
E
E = vB
E
v=
(10.21)
B
Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com
10.5. A AUSÊNCIA DE MONOPOLOS MAGNÉTICOS
159
a equação que fornece o momento linear das partı́culas nesse movimento,
temos:
mv = qBR
q
v
=
m
BR
(10.22)
Encontramos a relação carga/massa por meio da substituição de 10.21
em 10.22:
E
q
= 2
m
B R
Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o elétron estudando
o comportamento de raios catódicos, em 1897.
10.5
A Ausência de monopolos magnéticos
Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magnéticos, e
tal fenômeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagnética. Isso
pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superfı́cie
fechada e V o volume delimitado por essa superfı́cie:
I
~ · dS
~=0
B
S
Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que:
I
S
~ · dS
~=
B
Z
~ ·B
~ dV = 0
∇
V
~ ·B
~ =0
∇
(10.23)
A equação 10.23 pertence às equações de Maxwell. Os principais significados contidos nessa equação são:
160
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
• Ausência de monopólos magnéticos
• As linhas do campo magnético sempre são fechadas
~ ·E
~ = ρ . Conclui-se que não há análogo
Na eletrostática, vimos que ∇
0
magnético para a carga elétrica. Não há cargas magnéticas por onde o campo
magnético possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele só
surge na presença de correntes elétricas. Observa-se também que as linhas
de campo magnético são sempre fechadas. Além disso, pelo fato de o fluxo
através de uma superfı́cie fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram
nessa superfı́cie devem sair. As linhas nunca começam ou terminam em algum
lugar.
10.6
O Efeito Hall
Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resistência de um fio aumentava
quando este estava na presença de um campo magnético, uma vez que os
portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar
tal fenômeno por meio da experiência ilustrada na Figura 10.8.
Figura 10.8: Efeito Hall
Considere um condutor no qual o sentido da corrente é perpendicular ao
campo magnético. Os portadores de carga negativa acumular-se-ão em uma
das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentará uma
~ H no
carga positiva, o que resultará no surgimento de um campo elétrico E
interior do condutor. Os elétrons serão deslocados até que as forças elétricas
e magnéticas entrem em equilı́brio, ou seja:
10.6. O EFEITO HALL
161
F~e = F~m
Aplicando as equações 10.1 e 10.3, temos:
~ H = −e ~v × B
~
−eE
~ H = ~v × B
~
E
(10.24)
Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir
a diferença de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall,
como sendo:
H = EH d
(10.25)
Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal à corrente.
É possı́vel utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores
de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que
podemos prever como as cargas devem se comportar sob ação de campos
magnéticos.
Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa
162
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva
10.7
A Lei de Biot Savart
10.7.1
Introdução
Na eletrostática, a Lei de Coulomb permite analisar como se dá a relação
entre o campo elétrico e as cargas elétricas. Será que existe uma lei correspondente para a magnetostática? A resposta é sim, e ela é conhecida como
a Lei de Biot-Savart, que será discutida a seguir.
Como foi visto anteriormente, definimos o campo magnético por meio da
força magnética. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que é a
corrente elétrica.
Figura 10.11: Movimento da carga em relação à um ponto P
Observe a Figura 10.11. Experimentalmente, pode-se constatar que:
B∝
qv
r2
~ v
B⊥~
~ r
B⊥~
10.7. A LEI DE BIOT SAVART
163
Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magnético produzido por um elemento de de carga em movimento obedece à seguinte relação:
~v × r̂
r2
~
~ ∝ dq dl × r̂
dB
dt r2
~
~ ∝ dq dl × r̂
dB
dt r2
~
~ ∝ I dl × r̂
dB
r2
~
~ = µ0 I dl × r̂
dB
4π
r2
Z
µ0
d~l × r̂
~
B=
I
4π
r2
~ ∝ dq
dB
(10.26)
(10.27)
A equação 10.27 é denominada lei de Biot-Savart.
A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar
os cálculos subseqüentes. No sistema MKS:
µ0
N
= 10−7 2
4π
A
Onde µ0 é a permeabilidade magnética do vácuo.
10.7.2
Formas Alternativas
A Lei de Biot-Savart também pode ser escrita em termos da distribuição de
corrente. Sabendo que I = j dS, a equação 10.27 fica da seguinte maneira:
~ = µ0
B
4π
Z
jdS
d~l × r̂
r2
(10.28)
Vamos aplicar a equação 10.28 para a situação ilustrada na Figura ???x.
Neste caso, o sistema Oxyz é um referencial fixo, enquanto o sistema Ox0 y 0 z 0
164
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
~ = ~r − r~0 .
estão situados no elemento de carga em estudo. Observe que R
Como ~j e d~l possuem a mesma direção, podemos dizer que j d~l = ~j dl. Além
disso, sabendo que dl dS = dV , pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica
da seguinte maneira:
Z ~j r~0 × R̂
~ (~r) = µ0
B
dv 0
4π
R2
Vamos aplicar o divergente em relação ao sistema Oxyz:
~ ·B
~ (~r) = µ0
∇
4π
Z
 
~j r~0 × R̂
~ ·
 dv 0
∇
R2
(10.29)
Aplicando a regra do divergente do produto vetorial3 ao divergente presente no membro direito da equação 10.29 :
 
~j r~0 × R̂
~ ·
~ ×
 = −~j r~0 · ∇
∇
R2
R̂
R2
!
+
R̂ ~ ~ ~0 ·∇×j r
R2
!
R̂
= 0 pois o rotacional do
R2
~ × ~j r~0 = 0 pois o rotacional está
gradiente é sempre nulo. Além disso ∇
aplicado em Oxyz enquanto ~j refere-se ao sistema Ox0 y 0 z 0 . Obtemos então
1
R̂
~
~ ×
Nota-se que 2 = ∇ −
. Logo ∇
R
R
que:
~ ·B
~ =0
∇
Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart.
~×B
~ = −A
~· ∇
~ ×B
~ +B
~· ∇
~ ×A
~
∇· A
3~
10.7. A LEI DE BIOT SAVART
10.7.3
165
Aspectos Interessantes
Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart
com a equação 10.3 na seguinte situação: imagine uma carga q1 movendo-se
com velocidade ~v1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com
velocidade ~v . Qual a força magnética que q imprimirá em q1 ?
A análise inicia-se por meio da integração da equação 10.26, empregando,
antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos então que:
~ = µ0 q ~v × r̂
B
4π r2
(10.30)
Substituı́ndo a equação 10.30 na equação 10.3 aplicada para a carga q1 :
~ = q1~v1 ×
F~m = q1~v1 × B
µ0 ~v × r̂
q
4π r2
Multiplicando e dividindo o membro direito por µ0 :
qq
r̂
1
F~m = µ0 0~v1 × ~v ×
4π0 r2
Mas, pela Lei de Coulomb:
qq1 r̂
F~e =
4π0 r2
−1
Além disso, sabendo que c2 = µ−1
0 0 , temos:
~v1
F~m =
×
c
~v
× F~e
c
Se considerarmos v << c, encontramos que:
vv1
F~m ≤ 2 F~e
c
(10.31)
A equação 10.31 diz que para velocidades pequenas comparadas com a
velocidade da luz, a interação magnética será muito menor que a interação
166
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
elétrica. Como Fm << Fe , pode parecer, à primeira vista, que a força
magnética poderia ser desprezada em comparação com a força elétrica, porém
existem sistemas de partı́culas onde isso não é assim. De fato, numa corrente
de condução, onde estão presentes cargas positivas e negativas em iguais densidades, o campo elétrico macroscópico é nulo, porém o campo magnético das
cargas em movimento não o é.
Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de BiotSavart é uma relação entre o campo elétrico e o campo magnético gerado
por uma mesma partı́cula. Multiplicando o numerador e o denominador da
equação 10.30 por 0 :
~ = µ0 0 q ~v × r̂
B
4π0 r2
~
~ = ~v × E
B
c2
10.7.4
Aplicações da Lei de Biot-Savart
Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart:
Exercı́cio 10.3. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo elétrico
nas vizinhanças de um fio reto.
Figura 10.12: Campo gerado por um fio reto
10.7. A LEI DE BIOT SAVART
167
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
~ = µ0
B
4π
Z
Z
d~l × r̂
µ0
d~l × ~r
I 2 =
I 3
r
4π
r
Para o fio reto, vale:
d~l = dxî
~r = −xî + dĵ
Então, fazendo as devidas substituições:
l
Z/2 dxî × r −xî + dĵ
~ = µ0
I
B
3
4π
(x2 + d2 ) /2
−l/
2
~ = µ0
B
4π
l
Z/2
ddx
I
−l/
2
(x2
+
3
d2 ) /2
k̂
l
2
µ0 Id 1
x
~
B=
2
1
4π d
(x2 + d2 ) /2 −l
2
Logo o campo é:
~ = µ0 I
B
4πd l
2
l
+ d2
4
1/
2
k̂
Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo
será:
168
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
~ = µ0 I k̂
B
2πd
Exercı́cio 10.4. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo elétrico
no eixo de uma espira circular.
Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
~ = µ0
B
4π
Z
Z
d~l × r̂
µ0
d~l × ~r
I 2 =
I 3
r
4π
r
Para a espira, vale:
d~l = a dθθ̂
~r = −aî + z ĵ
Pela simetria do problema, só teremos campo paralelo ao eixo da espira.
Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada
elemento de corrente:
~ = dB
~ 1 cos α
dB
10.7. A LEI DE BIOT SAVART
169
Onde:
cos α = √
a
a2 + z 2
Então, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento
de campo):
µ0 d~l × ~r
I
cos α
4π
r3
Fazendo as devidas substituições:
~ =
dB
~ =
dB
µ0
4π
Ia
(z 2
3
a2 ) /2
+
adθk̂
Integrando de 0 a 2π para cobrir toda a espira, encontramos o campo
desejado:
µ0 Ia2
~ =
B
2 (a2
+
3
z 2 ) /2
k̂
Exercı́cio 10.5. Para criar regiões com campos magnéticos constantes em
laboratório, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Figura 10.14.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto
no qual o campo é magnético é maximo :
O campo gerado por uma espira circular é:
~ (z) =
B
µ0 Ia2
2 (a2
+
3
z 2 ) /2
k̂
Então, usando o princı́pio da superposição para as duas espiras, o campo
ao longo do eixo é:

2
~ (z) = µ0 Ia 
B

2

1
3
(a2 + z 2 ) /2
+
1

 k̂
3/2
2
a2 + (2b − z)
170
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz
Para calcular o ponto no qual o campo magnético apresenta valor máximo,
basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da função acima se anula:


~ (z)
dB
µ0 Ia2  3
=
−
dz
2
2
2z
5
(a2 + z 2 ) /2
−
3
2
2 (2b − z) (−1) 
 k̂
5/2
2
a2 + (2b − z)
Vemos que:
~ (z)
dB
=0⇒z=b
dz
Agora veremos a condição para que o campo nesse ponto seja aproximadamente constante. Derivando mais uma vez a função do campo magnético:
~ (z) d2 B
dz 2 = 0 ⇒ a2 − 4b2 = 0 ⇒ 2b = a
z=b
A condição é que a separação das bobinas seja igual ao raio.
Fazendo a expansão em séries de Taylor, é possı́vel calcular o quão próximo
esse campo está de um campo constante:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
171
Sabendo que B 00 (a/2) = B 000 (a/2) = 0, a expansão fica:
4 ∂ 4 B 1
a
~ (z) ≈ B
B
+
z−
+ ...
2
24
2
∂z 4 z= a
2#
"
a
a/ 4
z
−
144
2
~ (z) = B
1−
B
2
125
a
a
A partir desse resultado, é possı́vel inferir que, para |z − a/2| < a/10 ⇒
B (z) 6= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil.
10.8
A Lei Circuital de Ampère
10.8.1
Introdução
As experiências de Oersted, além de comprovarem que correntes elétricas
geram campos magnéticos ao seu redor, motivou a comunidade cientı́fica a
compreeender a relação entre fenômenos elétricos e magnéticos. Após tais
experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse
a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde à Lei
de Coulomb, a Lei de Ampère faz a vez da Lei de Gauss na magnetostática.
Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado
na Figura 10.15. Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo
gerado nesse caso é dado por:
Figura 10.15: Fio infinito
172
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
~ = µ0 I θ̂
B
2πr
Calcularemos a circulação do campo magnético por meio de vários caminhos ao redor do fio.
Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um cı́rculo:
Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação
I
~ · d~l = µ0 I 2πr = µ0 I
B
2πr
Γ
Vamos calcular a circulação pora outro caminho:
Figura 10.17: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação
I
Γ
~ · d~l =
B
I
Γ1
~ · d~l +
B
I
Γ2
~ · d~l +
B
I
Γ3
~ · d~l +
B
I
~ · d~l
B
Γ4
~ e d~l são paralelos para os fios 2 e 4, as integrais para
Como os vetores B
Γ2 e Γ4 são nulas. Logo temos o seguinte resultado:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
I
173
~ · d~l = µ0 I πr1 + 0 + µ0 I πr2 = µ0 I
B
2πr1
2πr2
Γ
Mais um caminho para calcular:
Figura 10.18: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação
I
~ · d~l =
B
Γ
I
Γ1
~ · d~l +
B
I
Γ2
~ · d~l +
B
I
Γ3
~ · d~l +
B
I
~ · d~l
B
Γ4
A mesma observação feita para os fios 2 e 4 anteriormente valem para
esse caso. Então temos:
I
~ · d~l = µ0 I θr1 + 0 + µ0 I (2π − θ) r2 = µ0 I
B
2πr1
2πr2
Γ
Obsevou a semelhança dos resultados? Então vamos generalizá-los para
um caminho qualquer.
Figura 10.19: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação
174
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Em coordenadas cilı́ndricas:
d~l = drr̂ + r dθθ̂ + dz k̂
~ = B θ̂, encontramos que:
Sabendo que B
~ · d~l = Br dθ = µ0 I r dθ = µ0 I dθ
B
2πr
2π
Fazendo a integral ao redor do fio:
I
~ · d~l =
B
Γ
I
µ0 I
dθ =
2π
Z2π
µ0 I
µ0 I
dθ =
2π
2π
2π
0
Γ
Disso resulta a Lei de Ampère:
I
~ · d~l = µ0 Iint
B
(10.32)
Γ
Observação: Na Lei de Coulomb, utilizávamos SUPERFÍCIES que envolviam as cargas para fazer o cálculo do campo elétrico, mas na Lei de
Ampère, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de
calcular o campo magnético.
Assim como a Lei de Coulomb, a Lei de Ampère sempre é válida. No
entanto sua maior utilidade se dá em casos nos quais é possı́vel notar simetria
no campo magnético, como será mostrado no exercı́cios mais adiante.
10.8.2
A forma diferencial da Lei de Ampère
Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equação 10.32:
I
Γ
~ · d~l =
B
Z Z ~ ×B
~ · dS
~
∇
S
Analisando o membro direito da equação 10.32:
(10.33)
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Z Z
µ0 I = µ0
175
~
~j · dS
(10.34)
S
Pela própria Lei de Ampère, podemos igualar 10.33 e 10.34, encontrando
que:
Z Z ~ ×B
~ · dS
~ = µ0
∇
S
Z Z
~
~j · dS
S
Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampère:
~ ×B
~ = µ0~j
∇
(10.35)
Se aplicarmos o divergente na equação 10.35
~ · ∇
~ ×B
~ = µ0 ∇
~ · ~j
∇
~ · ~j = 0
∇
Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampère é
válida apenas para correntes estacionárias4
10.8.3
Aplicações da Lei de Ampère
Seguem alguns exemplos nos quais é fundamental a aplicação da Lei de
Ampère para a resolução dos problemas:
Exercı́cio 10.6. Calcule o campo magnético, em todo o espaço, gerado por
um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I.
Devido à simetria cilı́ndrica do problema, podemos escolher amperianas
circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo
magnético será constante ao longo de toda a curva, facilitando a integração.
4
corrente estacionária:
dρ
=0
dt
176
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.20: Cilindro condutor
• Para r > R (Figura 10.21):
Figura 10.21: Amperiana fora do cilindro
H
Γ1
~ · d~l = µ0 I → B2πr = µ0 I
B
~ = µ0 I θ̂
B
2πr
• Para r < R (Figura 10.22):
H
2
~ · d~l = µ0 Iint → B2πr = µ0 I πr
B
Γ2
πR2
µ
Ir
0
~ =
B
θ̂
2πR2
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
177
Figura 10.22: Amperiana dentro do cilindro
Sintetizando os resultados na forma de um gráfico:
Figura 10.23: Campo magnético gerado por um cilindro infinito
Exercı́cio 10.7. Calcule o campo magnético, em todo o espaço, gerado por
um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sentidos opostos em cada face.
Vamos dividir o espaço em 4 regiões e aplicar a Lei de Ampère para cada
uma delas:
• Para r < a:
Para determinar a corrente interna à amperiana, vamos considerar que
178
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.24: Cabo coaxial
a densidade de corrente ao longo do cabo é constante e igual à j, logo
sendo πr2 a área delimintada pela amperiana:
j=
I
Iint
=
πr2
πa2
Iint =
r2
a2
Aplicando a Lei de Ampère:
B2πr = µ0 I
r2
~ = µ0 Ir θ̂
→B
2
a
2πa2
• Para a < r < b:
A corrente interna à amperiana será sempre a corrente total que passa
pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampère:
~ = µ0 I θ̂
B2πr = µ0 I → B
2πr
• Para b < r < c:
A corrente interna à amperiana será a corrente total que passa pelo
cabo interno menos a corrente que passa pela porção do cabo externo
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
179
delimitada pela curva. Considerando também a densidade de corrente
constante no cabo externo:
Iint = I −
r 2 − b2
c 2 − b2
Aplicando a Lei de Ampère:
µ0 Iπ (r2 − b2 )
~ = µ0 I
θ̂ → B
B2πr = µ0 I −
2
2
π (c − b ) 2πr
2
2
c
−
r
~ = µ0 I
B
θ̂
c 2 − b2
r 2 − b2
θ̂
1− 2
c − b2
• Para r > c:
A corrente interna à amperiana será a soma das correntes que passam
pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem
a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre será
nula. Então, pela Lei de Ampère:
~ =0
B
Exercı́cio 10.8. Considere dois solenóides infinitos concêntricos de raios a
e b. Calcule o campo magnético em todo o espaço. As correntes de cada
solenóide possuem mesma intensidade mas têm sentidos contrários.
Primeiro vamos analisar o campo gerado por um solenóide para depois
empregar o princı́pio da superposição
Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.26) depende do número de espiras englobadas:
Iint = N I
Aplicando então a Lei de Ampère:
180
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Figura 10.25: Solenóides
Figura 10.26: Amperiana no interior do solenóide
Z
Γ
~ · d~l =
B
Z
~ · d~l +
B
Z
~ · d~l +
B
Γ1
Γ2
| {z }
| {z }
~
=0poisB=0
~ d~l
=0poisB⊥
Z
Γ3
~ · d~l +
B
Z
~ · d~l
B
Γ4
| {z }
~ d~l
=0poisB⊥
Logo:
Z
~ · d~l = µ0 I → Bdentro l = µ0 N I → Bdentro = µ0 N I = µ0 nI
B
l
Γ
N
indica a densidade de espiras do solenóide
l
Agora, façamos uma amperiana para calcular o campo fora do solenóide
onde n =
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
181
(Figura: 10.27) :
Figura 10.27: Amperiana externa ao solenóide
Note que, neste caso, a corrente interna à curva é zero. Portanto o campo
magnético fora do solenóide infinite é nulo:
Bf ora = 0
Agora, vamos usar o princı́pio da superposição para calcular o campo
para os dois solenóides.
• Para r < a :
Neste caso, temos a influência dos campos dos dois solenóides. Sendo
~ 1 o campo gerado pelo solenóide interno e B
~ 2 o campo gerado pelo
B
solenóide externo:
~ =B
~1 − B
~ 2 = µ0 In1 − µ0 In2
B
~ = µo I (n1 − n2 )
B
• Para a < r < b :
Aqui, temos influência apenas do solenóide externo
182
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
~ = −µ0 In2
B
(10.36)
• Para r > b :
Como estamos fora de ambos os solenóides, o campo neste caso é nulo
~ =0
B
Exercı́cio 10.9. Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cilı́ndrica
de raio b. A distância entre os centros dos cilindros é d. Sendo j a densidade
de corrente no condutor, qual é o campo magnético no interior da cavidade?
Figura 10.28: Condutor com cavidade
Considere como sendo ~x a posição do ponto em questão em relação ao
eixo do condutor e ~y como sendo a posição do ponto em relação ao eixo da
cavidade:
Para resolver esse exercı́cio, será necessária a utilização do princı́pio da
superposição. Observe que a configuração final do sistema pode ser obtida se
somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado
na Figura 10.30 :
Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um
ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE
Figura 10.29: Posicionamento do ponto
Figura 10.30: Princı́pio da superposição
menor em um ponto que dista y de seu centro.
• Cilindro maior
Figura 10.31: Lei de Ampère para cilindro maior
183
184
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
H→
−
− →
B · d l = µ0 Iint
Γ
B1 2πx = µ0 jπx2
−
~ 1 = µ0 jx →
B
θ
2
− →
~ x = µ0 →
j ×−
x
B
2
• Cilindro menor
Figura 10.32: Lei de Ampère para cilindro menor
H→
−
− →
B · d l = µ0 Iint
Γ
B2 2πy = µ0 jπy 2
−
~ 2 = µ0 jy →
B
ϕ
2
→
µ
−
−
~2 = 0 j × →
B
y
2
Como os sentidos das correntes são opostos, o campo resutante será:
→
−
→
−
→
−
B = B1 − B 2
→
−
µ0 →
µ0 →
− →
− →
B =
j ×−
x −
j ×−
y
2
→
−2 µ0 →
−
→
−
−
B =
j ×(x −→
y)
2
Mas a seguinte relação sempre é válida: ~x − ~y = d~ . Portanto o campo
no interior da cavidade é constante e igual à:
−
→
−
µ0 →
− →
B =
j × d
2
10.9. POTENCIAL VETOR
185
Exercı́cio 10.10. Calcule o campo no centro da seção circular de um toróide
de N espiras.
Figura 10.33: Toróide
Vamos passar uma amperiana no interior do toróide
Figura 10.34: Amperiana no toróide
Temos que a corrente interna à amperiana será Iint = N I. Logo
Z
10.9
~ · d~l = µ0 Iint → B2πr = µ0 N I → B
~ = µ0 N I θ̂
B
2πr
Potencial Vetor
As 4 equações que sintetizam a teoria eletromagnética vistas até agora são:
ELETROSTÁTICA
~ ·E
~ = ρ0
∇
0
(10.37)
~ ×E
~ =0
∇
(10.38)
186
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
MAGNETOSTÁTICA
~ ·B
~ =0
∇
(10.39)
~ ×B
~ = µ0~j
∇
(10.40)
Para a eletrostática, devido à equação 10.38, percebe-se que o campo
elétrico é um campo conservativo. Logo foi possı́vel definir o potencial elétrico
da seguinte forma:
~ ×E
~ =0⇒E
~ = −∇V
~
∇
Aplicando esse resultado à equação 10.38:
~ ·E
~ =∇
~ · −∇V
~
∇
= −∇2 V
Segue que:
∇2 V = −
ρ0
0
Será que é possı́vel definir um potencial análogo para o campo magnético?
~ ·B
~ = 0. A partir disso, pode-se inferir que B
~ é um campo
Sabe-se que ∇
rotacional. Em outras palavras, é possı́vel encontrar um campo vetorial tal
que seu rotacionalresulta
no campo magnético. Esse campo é denominado
~ , que é definido do seguinte modo:
potencial vetorial A
~
~
~
~
~
∇·B =0⇒B = ∇×A
(10.41)
Aplicando esse resultado à equação 10.40:
~
~ ×B
~ =∇
~ × ∇
~ ×A
~ =∇
~ ∇
~ ·A
~ − ∇2 A
∇
Como pode-se determinar mais de um campo que satisfaça a equação
~ tal que ∇
~ ·A
~ = 05 .
10.41, é permitido escolher adequadamente um campo A
5
Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge
10.9. POTENCIAL VETOR
187
Segue então que:
~ ×B
~ = −∇2 A
~
∇
~ = −µ0~j
∇2 A
(10.42)
~ não é o operador Laplaciano, pois está sendo aplicado
Observação: ∇2 A
a um campo vetorial. Na verdade, temos que:
~=∇
~ ∇
~ ·A
~ −∇
~ × ∇
~ ×A
~
∇2 A
Particularmente, para coordenadas cartesianas:
∇2 Ax = −µ0 jx
∇2 Ay = −µ0 jy
∇2 Az = −µ0 jz
Outras formas de expressar o potencial vetor em função das densidades
de corrente6 são:
• Densidade volumétrica
Z ~j r~0 dv 0
~ (~r) = µ0
A
4π
0
~
~r − r (10.43)
Z ~k r~0 ds0
~ (~r) = µ0
A
4π
~r − r~0 (10.44)
• Densidade superficial
~r:posição do ponto em relação ao referencial fixo. r~0 : posição do ponto em relação a
um elemento de carga. (ver Figura 10.11)
6
188
• Densidade linear
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Z I~ r~0 dl0
~ (~r) = µ0
A
4π
~r − r~0 (10.45)
Façamos alguns exemplos:
Exercı́cio 10.11. Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por
uma corrente I.
Figura 10.35: Fio finito
Vamos aplicar a equação que fornece o potencial vetor em função da
densidade linear de carga (equação 10.45 ):
√
R ~
~ = µ0 Idz k̂ , comr = z 2 + s2
A
4π
r
√
R
µ
I
dz
µ
I
~= 0
~ = 0 ln z + z 2 + s2 z2 k̂ → A
~ = µ0 I ln
√
A
k̂ → A
z
1
4π
4π
4π
z 2 + s2
z2 +
p
z22 + s2
z1 +
p
z12 + s2
~
Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor B:
!
k̂
10.10. CONDIÇÕES DE CONTORNO NA MAGNETOSTÁTICA
189
∂A
∂A
s
z
~ ×A
~=
∇
−
θ̂.Assim,
∂z " ∂s
!#
p
2
2
+
s
z
+
z
∂A
∂
µ
I
2
z
0
2
~ =∇
~ ×A
~=−
p
B
θ̂ = −
ln
θ̂
∂s
∂s 4π
z1 + z12 + s2
~
B
Exercı́cio 10.12. (Griffths, pág , ex: 5.23) Qual densidade de corrente proˆ em coordenadas cilı́ndricas (k é cons~ = k phi,
duziria um vetor potencial A
tante)?
~ para
Para resolver esse exercı́cio, primeiro aplicaramos o rotacional em A
~ para
determinar o campo magnético. Depois aplicaremos o rotacional em B
determinar a densidade de corrente, de acordo com as equações da magnetostática.
Observação: aplicar o rotacional em coordendadas cilı́ndricas
~ = Bz k̂
~ =∇
~ ×A
~ = 1 ∂ (ρAρ) k̂ = Aφk̂ = k k̂ B
Aφ = k ⇒ B
ρ ∂ρ
ρ
ρ
1 ~
1
k
∂Bz
~
~
~
~
~
∇ × B = µ0 J ⇒ j =
∇×B =
φ̂ = +
φ̂
−
µ0
µ0
∂ρ
µ0 ρ 2
10.10
Condições de Contorno na Magnetostática
Vimos que existe uma descontinuidade no campo elétrico em de superfı́cies
carregadas, no sentido perpendicular à essa superfı́cie. Da mesma forma, o
campo magnético também é descontı́nuo numa superfı́cie de corrente. Para
facilitar a análise desse fenômemo, vamos dividı́-lo em 3 etapas, uma para
cada componente do campo magnético7 :
7
//
//corrente
//
//superficie
B ⊥ = B ⊥superf icie , B// = B//corrente , B⊥ = B⊥corrente
190
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
10.10.1
Componente perpendicular à superfı́cie
Considere uma superfı́cie percorrida por uma corrente I, cuja densidade superficial é ~k. Vamos envolver uma porção dessa superfı́cie por um retângulo
cujas faces possuem área A, como mostrado na Figura 10.36.
Figura 10.36: Superfı́cie fechada para cálculo do fluxo de B ⊥
Como não há monopólos magnéticos:
I
~ · dS
~=0
B
S
Considerando apenas a componente do campo perpendicular à superfı́cie,
teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retângulo, portanto:
I
~ · dS
~ = B⊥ A − B⊥ A = 0
B
acima
abaixo
S
⊥
⊥
Bacima
= Babaixo
Logo essa componente é contı́nua.
10.10.2
Componente paralela à superfı́cie e paralela à
direção da corrente
Para a mesma superfı́cie descrita anteriormente, vamos traçar uma amperiana da forma como está apresentada na Figura 10.37 .
10.10. CONDIÇÕES DE CONTORNO NA MAGNETOSTÁTICA
191
//
Figura 10.37: Amperiana para cálculo de B//
Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana é nula. Então,
aplicando a Lei de Ampère (10.32):
I
//
~ · d~l = B //
B
//acima l − B//abaixo l = 0
Γ
//
//
B//acima = B//abaixo
Logo essa componente também é contı́nua.
10.10.3
Componente paralela à superfı́cie e perpendicular à direção da corrente
Agora, ainda na mesma superfı́cie, traçaremos uma outra amperiana, desta
vez em outra direção, como mostrado na Figura 10.38 .
⊥
Figura 10.38: Amperiana para cálculo de B//
A corrente que passa pelo interor da amperiana é Iint = kl. Aplicando a
192
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Lei de Ampère (10.32) encontramos que:
I
//
~ · d~l = B //
B
⊥acima l − B⊥abaixo l = µ0 Iint
Γ
//
//
B⊥acima l − B⊥abaixo l = µ0 kl
//
//
B⊥acima − B⊥abaixo = µ0 k
//
//
~
~
~
B⊥acima − B⊥abaixo = µ0 k × ~n
Conclui-se que o campo magnético, na direção paralela à superfı́cie e
perpendicular ao sentido da corrente, é descontı́nuo.
10.11
Expansão em multipólos
Assim como foi feito para o campo elétrico, buscaremos uma forma de expres1
sar o potencial vetorial em uma série de potências de , onde r é a distância
r
do multipolo até o ponto em questão. A idéia é que esta equação seja útil
para analisar o comportamento do campo magnétic à grandes distâncias.
Considere a espira apresentada na Figura 10.39 .
Figura 10.39: Posição do ponto P em relação à espira
Vimos na Seção 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, é
dado por:
10.11. EXPANSÃO EM MULTIPÓLOS
193
I I~ r~0 dl0
~ (~r) = µ0
A
4π
~r − r~0 (10.46)
Γ
Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira:
∞
1
1X
1
√
=
=
→
−
→
r n=0
r2 + r02 − 2rr0 cos θ0
r − r0 −
0 n
r
pn cos θ0
r
(10.47)
Onde pn é o Polinômio de Legendre8 . Considerando a corrente constante e substituı́ndo 10.47 em 10.46 , encontramos a expressão de multipólos
magnéticos:
I
∞
µ0 I X 1
n
~
A (~r) =
(r0 ) pn cos (θ0 ) d~l0
n+1
4π n=0 r
Γ
É interessante notar que o termo correspondente ao monopólo (n=0) é
1 H ~0
dl = 0, o que está de acordo com os observações. Então, o termo mais
r Γ
importante da sequência corresponde ao dipolo magnético (n=1):
~ dipolo = µ0 I
A
4πr2
I µ0
r̂ · r~0 d~l0 =
µ
~ × r̂
4πr2
Γ
Onde µ é o momento de dipolo magnético definido na equação 10.14.
8
Pn (x) =
1
n
2 n!
d
dx
n
n
x2 − 1
194
CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA
Capı́tulo 11
Lei da Indução
Com as experiências de Oersted, viu-se que correntes elétricas geram campos
magnéticos. Ficou então a seguinte dúvida: Pode o campo magnético gerar
corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores fı́sicos experimentais, interessou-se em descobrir e estudar essa relação.
Em 1831, Faraday montou dois solenóides, com 70 metros de fio de cobre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado à um gerador,
enquanto o outro foi conectado a um galvanômetro, como mostrado na Figura 11.1 .
Figura 11.1: Solenóides concatenados
195
196
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Notou-se quando uma corrente contı́nua passava pelo solenóide 1, o galvanômetro não acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a
chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso levou Faraday a supor que a força eletromotriz no circuito 2 resultava de uma
variação do campo magnético no interior dos solenóides. Continuando seus
experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2 .
Figura 11.2: Experimento de Faraday
Quando um ı́mã era aproximado ou afastado do solenóide, observava-se
uma deflexão do galvanômetro. Se o ı́mã permanecesse imóvel em relação ao
circuito, a deflexão era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a
área dos solenóides também influenciava na força eletromotriz induzida.
Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matemáticos da seguinte maneira:
ind ∝
dB
dt
ind ∝ A
Para melhor compreender esse fenômeno, precisamos definir o que é fluxo
magnético.
11.1
O Fluxo Magnético
Vimos que a força eletromotriz depende tanto da variação do campo magnético
~ e a área
quanto da área dos solenóides. A grandeza que relaciona o vetor B
11.2. A LEI DE LENZ
197
S permeada por esse campo é denominada de fluxo magnético , e é definida
como:
~ ·S
~ = BS cos θ
φB = B
(11.1)
Até agora, tendo em vista as constatações de Faraday, podemos dizer que:
|ind | =
dφB
dt
(11.2)
Substituı́ndo 11.1 em 11.2 :
dA
dθ
dB
A cos θ + B
− BA sen θ
(11.3)
dt
dt
dt
Percebe-se então que é possı́vel induzir corrente em uma espira imersa em
um campo magnético por meio dos seguintes métodos:
|ind | =
• variando a intensidade do campo.
• variando a área como tempo
~eB
~ com o tempo
• variando o ângulo entre os vetores A
Ainda podemos analisar o fenômeno da indução levando em conta a corrente induzida. Sabe-se que ind = RIind , logo:
Iind
11.2
1 dφB = R dt A Lei de Lenz
Vimos que a variação do fluxo magnético gera corrente elétrica em condutores. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso é explicado
pela Lei de Lenz:
A corrente induzida produz um campo magnético que tende
se opôr à variação do fluxo magnético que a gerou
198
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ı́mã aproxima-se da espira, o
fluxo magnético no interior desta aumentará, então deve surgir uma corrente
no sentido anti-horário para reduzir o fluxo. Caso o ı́ma afaste-se da espira, o
fluxo no interior desta diminuirá, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente
no sentido horário.
Figura 11.3: Deflexão do galvanômetro
Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2 , teremos a Lei de Faraday:
ind = −
dφB
dt
(11.4)
O sinal negativo representa a resistência que o circuito apresenta à variação do fluxo magnético
É interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo elétrico
na espira, teremos:
I
~ · d~l = ind
E
(11.5)
Γ
Ora, vimos na eletrostática que essa integral de linha deveria ser nula
sempre! Qual será a inconsistência?
Na verdade, não há inconsistência. Ocorre que o campo elétrico estudado
na eletrostática tem natureza diferente do campo elétrico induzido.
O campo elétrico oriundo de cargas elétricas sempre é conservativo, por
isso a integral de linha em um circuito fachado é nula. Mas, devido à equação
11.5, nota-se que o campo elétrico induzido pela variação de fluxo magnético
11.2. A LEI DE LENZ
199
não é conservativo. Por isso, é importante distinguir os dois tipos campos
elétricos.
Seguem alguns exemplos da aplicação da Lei de Lenz:
Exercı́cio 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre
um trilho condutor, em meio a um campo magnético perpendicular ao plano
dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4 . Calcule: a força eletromotriz
induzida, a corrente induzida a força magnética e a velocidade da barra em
função do tempo.
Figura 11.4: Trilho magnético
• Força eletromotriz
Temos que o fluxo magnético na barra é dado por:
φB = BA = Blx
portanto a força eletromotriz é:
|ind | =
dφB
dx
= Bl
= Blv
dt
dt
• Corrente induzida:
Iind =
ind
Blv
=
R
R
• Força magnética:
Temos que a força em fios é dada por:
200
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
2 2
~ = Iind Bl = B l v − î
F~ = I~l × B
R
(11.6)
• Velocidade do fio:
Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equação 11.6 :
m
dv
B 2 l2 v
=
dt
R
Resolvendo essa equação diferencial separável:
R v(t) dv
R t B 2 l2
v(t)
B 2 l2
=
−
dt
→
ln
t
=
−
v0
0
v
Rm
v0
Rm
B 2 l2 t/
Rm
v(t) = v0 e−
Vemos então que a força tende à frear à barra.
Exercı́cio 11.2. Considere um campo magnético uniforme que aponta pra
dentro da folha e está confinado numa região circular de raio R. Suponha que
~ aumenta com o tempo. Calcule o campo elétrico induzido
a magnitude de B
em todo o espaço:
Figura 11.5: Campo magnético
Vimos que o campo elétrico induzido pode ser calculado por:
I
Γ
~ ind · d~l = ind = − dφB
E
dt
11.2. A LEI DE LENZ
201
Então precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo elétrico
induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunferências de raio r.
• Para r < R :
Figura 11.6: Curva para cálculo do campo induzido
Como a circunferência aborda apenas uma porção do campo, a variação
fluxo no seu interior será:
φB = Bπr2 →
dB 2
dφB
=
πr
dt
dt
Logo:
I
~ ind · d~l = dB πr2
E
dt
Γ
Eind 2πr =
dB 2
dB r
πr → Eind =
dt
dt 2
• Para r > R :
Como a circunferência aborda todo o campo, a variação fluxo no seu
interior será:
φB = BπR2 →
Logo:
dφB
dB 2
=
πR
dt
dt
202
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.7: Curva para cálculo do campo induzido
I
~ ind · d~l = dB πR2
E
dt
Γ
Eind 2πr =
dB 2
dB R2
πR → Eind =
dt
dt 2r
Sintetizando os resultados na forma de um gráfico;
Figura 11.8: Campo induzido vs distância
11.3
Geradores
As experiências de Faraday lançaram os princı́pios de funcionamento de motores elétricos e geradores de eletricidade.
~ rotacionando
Considere uma espira imersa em um campo magnético B
θ
com uma velocidade angular constante ω = . Substiuı́ndo θ na equação
t
11.3 , temos que:
11.4. EFEITOS MECÂNICOS
203
|ind | = ωBA sen ωt
Em termos de corrente induzida:
Iind =
ωBA
sen ωt
R
Calculando a potência gerada para N espiras:
P = I|εind | =
(N BAω sin(ωt))2
R
Observa-se que a bobina gerará corrente alternada. Para evitar isso,
empregam-se comutadores no circuito.
Isso que foi visto é o princı́pio de funcionamento de vários tipos de usinas
de geração de energia, como as hidrelétricas, termoelétricas, eólicas e nucleares. Todas elas envolvem a transferência de energia mecânica de um fluido
(água, vento) para a bobina, fazendo-a girar.
11.4
Efeitos Mecânicos
A indução magnética, quando aliada a outros fenômenos fı́sicos, pode resultar
em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos
11.4.1
As correntes de Foucault
Considere uma chapa metálica e um pente metálico, inicialmente em movimento uniforme, entrando em cum campo magnético, conforme esquematizado na Figura 11.9 .
Experimentalmente, observa-se que o chapa metálica sobre uma redução
de velocidade mais acentuada que o pente. Por quê?
Isso ocorre pois, durante a imersão no campo magnético, a variação do
fluxo magnético no interior da chapa é maior do que no pente. Logo a corrente
204
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magnético
induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa é superior. Mas a ação
do campo magnético sobre a corrente induzida gera uma força que tende a
frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior redução de velocidade.
Figura 11.10: Correntes de Foucault
Pode-se dizer também que as correntes de Foucault resultam em uma
maior dissipação por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um
campo magnético.
11.4.2
Atrito Magnético
Se uma espira condutora é solta em queda livre sobre um imã permanente, a
corrente induzida criará um dipolo magnético que tende a ser repelido pelo
imã, produzindo uma força de freamento da espira análoga a uma força de
atrito viscoso (ver Figura 11.11) .
11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA
205
Figura 11.11: Comportamento da espira em queda
11.4.3
Canhão Magnético
Considere um solenóide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse
mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo
do campo magnético no interior da espira será alterado. A corrente induzida
fará com que a espira seja lançada no sentido oposto ao do solenóide.
Figura 11.12: Canhào Magnético
11.5
Indutância Mútua
Induntância mútua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um
circuito em função da passagem de corrente elétrica em um outro circuito.
Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I1 na
dφ21
espira 1, ocorrerá uma variação do fluxo de campo magnético
na espira
dt
2, surgindo então uma força eletromotriz induzida 2 dada por:
206
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.13: Exemplo de indutância mútua
2 = −
dφ21
dt
Mas a variação do fluxo do campo magnético depende de uma variação
de corrente na espira 1:
dφ21
dI1
∝
dt
dt
Então podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por
meio da definição da constante de indução mútua M21 1 :
dφ21
dI1
= M21
dt
dt
M21 =
dφ21
dI1
(11.7)
(11.8)
Experimentalmente, observa-se que a constante de indução mútua depende apenas da geometria das espiras e também da distância entre elas.
Neumann deduziu uma fórmula que permite determinar essa constante.
Temos que o fluxo do campo magnético pode ser calculado por:
1
[M21 ] = H(henry) =
T m2
A
11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA
Z Z
φ21 =
207
Z Z ~ · dS
~2 =
B
S2
~ ×A
~ 1 · dS
~2
∇
S2
Aplicando o Teorema de Stokes:
φ21 =
Z Z ~ ×A
~ 1 · dS
~2 =
∇
S2
I
~ 1 · d~l2
A
Γ2
Pela equação 10.45 :
φ21
µ0
=
I1
4π
µ0
φ21
=
dt
4π
I I
I I
d~l1 · d~l2
r
d~l1 · d~l2 dI1
r
dt
(11.9)
Comparando as equações 11.9 e 11.7 encontramos a Fórmula de Neumann:
M21
µ0
=
4π
I I
d~l1 · d~l2
r
(11.10)
Como podemos comutar os fatores da fórmula, conclui-se que:
M12 = M21 = M
Isso indica que, independentemente das formas e posições das espiras, o
fluxo através de 2 quando uma corrente I passa em 1 é idêntico ao fluxo
através de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2.
No entanto, ainda é mais interessante calcular M por meio da equação
11.8 do que pela Fórmula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir.
Exercı́cio 11.3. Calcule a indutância mútua entre duas espirar coplanares
e concêntricas de raios R1 e R2 , com R1 >> R2 .
Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre
a variação de corrente em uma espira e a variação do fluxo magnético na
208
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.14: Espiras coplanares e concêntricas
outra espira.
Sabemos que a campo magnético no centro de uma espira circular é B =
µ0 I
. Como R1 >> R2 , pode-se considerar que o campo no interior da espira
2R1
2 é constante, logo o fluxo no seu interior será:
φ21 = BA =
µ0 I
πR2
2R1 2
Então temos que:
µ0
dφ21
=
πR2
dI
2R1 2
Logo a indutância mútua é:
M=
µ0
πR22
2R1
Exercı́cio 11.4. Calcule a indutância mútua entre dois solenóides concêntricos
de desnsidades de espiras n1 e n2 .
Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre
a variação de corrente em um solenóide e a variação do fluxo magnético no
outro.
Sabemos que a campo magnético no interior do solenóide 1 é B = µ0 In1 .
Como o campo no interior do solenóide 2 é constante, o fluxo no seu interior
será:
11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA
209
Figura 11.15: Solenóides concêntricos
φ21 = BAn2 l = µ0 In1 n2 lπR22
Então temos que:
dφ21
= µ0 n1 n2 lπR22
dI
Logo a indutância mútua é:
M = µ0 n1 n2 lπR22
Exercı́cio 11.5. Calcule a indutância mútua entre dois toróides concatenados com N1 e N2 enrolamentos.
Figura 11.16: Toróides concatenados
Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre
a variação de corrente em um toróide e a variação do fluxo magnético no
outro.
210
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
µ0 N1 I
Sabemos que a campo magnético no interior do toróide 1 é B =
.
2πr
Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilı́ndrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
Figura 11.17: Elemento de área na seção do toróide
φ21 = N2
φ21 =
R
~ 1 · d~s2 = N2
B
µ0 N1 N2 I1
b
h ln( )I
2π
a
Rb µ0 N1 I1
hdr
2πr
a
Então temos que:
dφ21
µ0 N1 N2
b
=
h ln( )
dI
2π
a
Logo a indutância mútua é:
M=
11.6
µ0 N1 N2
b
h ln( )
2π
a
Auto-Indutância
Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente
I. Se ocorre alguma alteração na corrente, o fluxo através da espira varia
11.6. AUTO-INDUTÂNCIA
211
com o tempo, então, de acordo com a lei de Faraday, uma força eletromotriz
induzida surgirá para gerar um campo no sentido oposto à variação do fluxo
~ inicial. Então podemos dizer que o próprio campo opõe-se a qualquer
de B
mudança da corrente, e assim temos o fenômeno da auto-indutância.
Figura 11.18: Efeitos da auto-indutância
Definimos matematicamente a auto-indutância L2 da seguinte maneira:
dφB dI
dI
dφB
=
=L
dt
dI dt
dt
dφB
L=
(11.11)
dI
Do mesmo modo que a indutância mútua, a auto indutância depende
apenas de fatores geométricos da espira em questão.
Exercı́cio 11.6. Calcule a auto-indutância de um solenóide.
Figura 11.19: Solenóide
Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação
2
[L] = H(henry)
212
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
de corrente no solenóide varia o fluxo magnético no interior do próprio solenóide.
Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B = µ0 In.
Como o campo no interior do solenóide é constante, o fluxo no seu interior
será:
φB = BAnl = µ0 In2 lπR2
Então temos que:
dφB
= µ0 n2 lπR2
dI
Logo a auto-indutância é:
L = µ0 n2 lπR2
Exercı́cio 11.7. Calcule a auto-indutância de um toróide de seção retangular.
Figura 11.20: Toróide
Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação
de corrente no toróide varia o fluxo magnético no interior do próprio toróide.
µ0 N I
Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B =
.
2πr
Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilı́ndrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
213
Figura 11.21: Elemento de área na seção do toróide
Z
φB = N
~ · d~s =
B
Zb
µ0 N 2 I
µ0 N 2 I
b
hdr =
h ln( )
2πr
2π
a
a
Então temos que:
µ0 N 2
b
dφ21
=
h ln( )
dI
2π
a
Logo a auto-indutância é:
L=
11.7
µ0 N 2
b
h ln( )
2π
a
Associação de Indutores
Indutores são componentes eletrônicos que apresentam elevada indutância.
Devido à Lei de Lenz, tais elementos evitam variações bruscas de corrente,
sendo essa uma das principais funções desempenhadas pelos indutores em
circuitos eletrônicos. Sabe-se que a diferença de potencial nos terminais de
um indutor tem a mesma magnitude da força eletromotriz induzida nele, ou
214
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
seja:
V =L
dI
dt
(11.12)
Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, é possı́vel
substituı́-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros
cálculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutância equivalente, devemos levar em conta tanto os efeitos de auto-indução quanto de indutância
mútua entre os componentes da associação.
Faremos, como exemplo, a associação de dois indutores em série e dois
indutores em paralelo.
11.7.1
Dois indutores em série
Figura 11.22: Exemplo de indutância mútua
Em uma associação em série, a corrente é a mesma em todos os indutores.
L
dI
dI
dI
dI
dI
dI
= L1 + M
+ L2 + M
= (L1 + L2 + 2M )
dt
dt
dt
dt
dt
dt
11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
215
Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se às auto-indutâncias
de 1 e 2, respectivamente, já o segundo e o quarto termo referem-se às indutâncias mútuas. Segue então que:
L = L1 + L2 + 2M
11.7.2
(11.13)
Dois indutores em paralelo
Figura 11.23: Exemplo de indutância mútua
Em uma associação em paralelo, a diferença de potencial é a mesma para
todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo:
dI2
dI1
+M
(11.14)
dt
dt
dI2
dI1
V 2 = L2
+M
(11.15)
dt
dt
Multiplicando as duas equações pela constante de indutância mútua:
V 1 = L1
dI1
dI2
+ M2
dt
dt
dI2
dI1
V2 M = L2 M
+ M2
dt
dt
Multiplicando agora a equação 11.14 por L2 e a 11.15 por L1 :
V1 M = L1 M
(11.16)
(11.17)
216
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
dI1
dI2
+ M L2
dt
dt
dI1
dI2
+ M L1
V2 L1 = L2 L1
dt
dt
V1 L2 = L1 L2
(11.18)
(11.19)
Mas, da associação em paralelo, temos que:
V = V1 = V2
I = I1 + I2
Logo, subtraı́ndo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que:
dI2
− M2
dt
dI1
V (L2 − M ) = L1 L2
− M2
dt
V (L1 − M ) = L1 L2
dI2
dt
dI1
dt
(11.20)
(11.21)
Somando as equações 11.20 e 11.21:
V (L1 + L2 − 2M ) = L1 L2 − M 2
L=
dI
dt
L1 L2 − M 2
L1 + L2 − 2M
(11.22)
Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutância mútua, a associação de indutores é idêntica à associação de resistores.
11.8
Circuito R-L
Considere o circuito da Figura 11.24, com as condições iniciais:
11.8. CIRCUITO R-L
217
Figura 11.24: Circuito R-L
t = 0 , I(t) = 0
V
t = ∞ , I(t) =
R
A equação do circuito é:
V − RI − L
dI
=0
dt
(11.23)
V
L dI
−I =
R
R dt
t
Z
ZI(t)
R
dI
− dt =
L
I − VR
0
0
I(t)
V
R
= − t
ln I −
R 0
L
R
V −Lt
V
I(t) −
= −
R
R
218
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
I(t) =
R
V 1 − e− L t
R
(11.24)
Quanto maior for a indutância L do indutor no circuito, maior será o
tempo para a corrente se aproximar da máxima Imax = V /R.
Figura 11.25: Gráfico de corrente de um circuito R-L
11.9
Circuito L-C
Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado
com uma carga Q0 , ou seja, as condições iniciais:
t = 0 , Q(t = 0) = Q0
t = 0 , I(t = 0) = 0
A equação do circuito é:
dI
Q
−L
=0
C
dt
Como o capacitor está descarregando, I = −dQ/dt, e portanto:
(11.25)
11.9. CIRCUITO L-C
219
Figura 11.26: Circuito L-C
d2 Q
1
+
Q=0
dt2
LC
(11.26)
Que é a equação de um oscilador harmônico, cuja solução é:
Q(t) = Q0 cos(ωt)
Onde:
ω2 =
I(t) = −
Análise de energia:
1
LC
dQ
= ωQ0 sen(ωt)
dt
I0 = Q0 ω
(11.27)
220
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.27: Gráfico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C
1
Q2
UE = Ucapacitor = CV 2 =
2
2C
2
Q
cos2 (ωt)
UE =
2C
1
L
Q2
LQ20 ω 2
UB = Uindutor = LI 2 = I02 sin2 (ωt) =
sen2 (ωt) = 0 sen2 (ωt)
2
2
2
2C
Q2
U = UE + UC =
2C
Figura 11.28: Energia em um circuito L-C
11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECÂNICO
11.10
Analogia com sistema mecânico
Analogia com sistema mecânico massa-mola:
d2 x K
+ x=0
dt2
M
1 2 K 2
U = mv + x
2
2
1
d2 Q
+
Q=0
2
dt
LC
1 2
1
Q
U = LI 2 +
2
2C
Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecânico.
m
L
1/k
C
x
Q
v = ẋ
I = Q̇
2
mv /2
LI 2 /2
kx2
2
Q2
2C
221
222
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
d2 x
= −kx + mg
dt2
x(t) = h + A cos(ω0 t)
x(0) = h + A
ẋ(0) = 0
dI Q
+ =V
dt C
q(t) = q1 + (q0 − q1 ) cos(ω0 t)
q(0) = q0
q̇(0) = 0
Molas em série
Capacitores em paralelo
m
x = x 1 + x2 = F
1
K1
+
1
K2
L
Molas em paralelo
11.11
q = ε(C1 + C2 )
Capacitores em série
Circuito R-L-C
Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga
Q0 . A equação do circuito é:
Q
dI
− RI − L = 0
C
dt
11.11. CIRCUITO R-L-C
223
Figura 11.30: Circuito R-L-C
:
Fazendo I = − dQ
dt
Q
d2 Q R dQ
+
+
=0
2
dt
L dt
LC
(11.28)
Com a condição inicial: Q(0) = Q0
O análogo mecânico à este circuito é o oscilador amortecido:
d2 x
dx
+
2β
+ ω02 x = 0
dt2
dt
(11.29)
Cuja solução é dada por:
−βt
x(t) = e
q
q
2
2
2
2
A1 exp( β − ω0 t) + A2 exp(− β − ω0 t)
A análise deve ser dividida em três casos:
• ω02 > β: subcrı́tico
• ω02 = β: crı́tico
• ω02 < β: supercrı́tico
(11.30)
224
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido.
11.11.1
Subcrı́tico
ω12 = ω02 − β 2 , ω12 > 0
Q(t) = e−βt [A1 exp(iω1 t) + A2 exp(−iω1 t)]
A solução pode ser reescrita como:
Q(t) = Ae−βt cos(ω1 t − δ)
Que corresponde a uma oscilação de freqüência angular ω1 , com uma
amplitude decrescente com o tempo de um fator e−βt .
11.11.2
Crı́tico
Q(t) = (A + Bt)e−βt
11.11.3
Supercrı́tico
Q(t) = e−βt [A1 exp(ω2 t) + A2 exp(−ω2 t)]
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS
225
Figura 11.32: Oscilador amortecido subcrı́tico.
11.12
Energia em Campos Magnéticos
Vimos anteriormente que a energia elétrica podia ser escrita em termos do
campo elétrico, o que nos fornecia a interpretação da energia armazenada no
campo. Agora vejamos como seria a energia magnética em termos do campo.
Sabemos que:
φB = LI
Por outro lado:
Z
φB =
~ · d~s =
B
S
Aplicando o Teorema de Stokes:
Z
S
~ × A)
~ · d~s
(∇
226
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Z
~ × A)
~ · d~s =
(∇
S
I
~ · d~l
A
Γ
I
φB =
~ · d~l = LI
A
Γ
A energia magnética é dada por:
1
I
U = LI 2 =
2
2
I
~ · d~l
A
Γ
~
Sabendo que Id~l = Jdv:
I
U=
2
Z
~ · J)dv
~
(A
V
~ ×B
~ = µ0 J,
~ então:
Mas ∇
1
U=
2µ0
Z
~ · (∇
~ × B)dv
~
A
V
Utilizando a identidade:
~ · (A
~ × B)
~ = B
~ · (∇
~ × A)
~ −A
~ · (∇
~ × B)
~
∇
~ · (∇
~ × B)
~ = B
~ · (∇
~ × A)
~ −∇
~ · (A
~ × B)
~ =B
~ ·B
~ −∇
~ · (A
~ × B)
~
A
Temos:

U=
1 
2µ0

Z
V
~ ·B
~−
B
Z
V
~ · (A
~ × B)dv
~

∇
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS
227
Aplicando o teorema da divergência:
1
U=
2µ0
Z
~ ·B
~− 1
B
2µ0
V
Z
~ × B)d~
~ s
(A
S
Fazendo V → todo espaço, o segundo termo tende a zero, portanto:
1
UB =
2µ0
Z
B 2 dv
(11.31)
R3
A densidade de energia do campo magnético é dado por:
uB =
B2
2µ0
(11.32)
Note a similaridade das energias dos campos elétrico e magnético:
1
2
UE =
Z
ρV dv
ε
=
2
Z
E 2 dv
3
Z V
Z
1
1
~
~
A · J dv =
UB = 2
B 2 dv
2µ0
V
3
Exemplo 11.1. Cabo coaxial.
Calcular a energia armazenada em uma seção de comprimento l.
Resolução. Pela lei de Ampère, o campo magnético no cabo é dado por:
228
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
I
~ · d~l = µ0 I
B
B2πr = µ0 I
µ0 I
B =
2πr

 µ0 I θ̂
B = 2πr
0
,a < r < b
, r < a ou r > b
A densidade de energia é dada por:
u=
B2
µ20 I 2
µ0 I 2
=
=
2µ0
2µ0 4π 2 r2
8π 2 r2
A energia armazenada em um trecho será:


 0 ≤ θ ≤ 2π
ZZZ

µ0 I 2
U =
rdθdrdz, a ≤ r ≤ b

8µ0 π 2 r2


0≤z≤l
Zb
µ0 I 2
b
1
µ0 I 2
U =
2πl
dr =
l ln
2
8π
r
4π
a
a
Pelo método anterior, terı́amos que, primeiro, calcular a auto-indutância:
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS
Z
φ =
~ · d~s =
B
ZZ
µ0 I
drdz,
2πr
(
b
µ0 I
l ln
φ =
2π
a
dφ
µ0 l
b
L =
=
ln
dI
2π
a
A energia armazenada será então:
LI 2
2
b
µ0 I 2
l ln
U =
4π
a
U =
229
a≤r≤b
o≤z≤l
230
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Capı́tulo 12
Equações de Maxwell
12.1
Introdução
Até Faraday, o campo elétrico e o campo magnético eram tratados independentemente. Com a Lei da indução de Faraday, vimos que a variação do
campo magnético com o tempo gera campo elétrico.
I
~ · d~l = − d
E
dt
Z
~ · d~s
B
S
Γ
O campo elétrico e magnético não são mais tratados independentemente,
sendo assim chamado de campo eletromagnético. Em aproximadamente 1860
J.C. Maxwell constatou uma inconsistência entre as equações até então e na
equação da continuidade.
As equações que conhecemos até agora, na forma diferencial, são:
231
232
CAPÍTULO 12. EQUAÇÕES DE MAXWELL
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~
∇ × B = µ0 J~
~ ·E
~ = ρ
∇
ε0
~ ·B
~ = 0
∇
E a equação da continuidade (Equação 9.2):
~ · J~ + ∂ρ = 0
∇
∂t
Se aplicarmos o divergente na lei de Ampère, temos:
~ · (∇
~ × B)
~ = µ0 ∇
~ · J~
∇
~ · J~ = 0
∇
Ou seja, a lei de Ampère, na forma atual, não é sempre válida, mas
somente para corrente estacionária.
É possı́vel também verificar a inconsistência a partir da forma integral da
lei de Ampère.
12.2. MODIFICAÇÃO NA LEI DE AMPÈRE
233
Considere o carregamento do capacitor na figura.Vamos aplicar a Lei de
Ampère, mas vamos considerar duas superfı́cies abertas e distintas, ambas
delimitadas pela mesma curva γ:
(a)
H
~ · d~l = µ0 I~
B
(b)
H
~ · d~l = 0
B
Figura 12.1: Duas superfı́cies possı́veis para aplicar a lei de Ampère.
As duas integrais deveriam ter o mesmo valor, pois tem o mesmo bordo!
Assim, há uma inconsistência na lei de Ampère, que requer uma modificação
feita por Maxwell.
12.2
Modificação na lei de Ampère
Podemos encontrar essa modificação de duas formas.
Primeira Forma
Retomando o exemplo anterior, vimos que:
I
S1
J~ · d~s1 −
I
J~ · d~s2 6= 0
S2
~ 1 e dS
~2 e que S1 e S2 juntas formam
Então, considerando o sentido de dS
uma superfı́cie fechada, utilizando a equação da continuidade:
234
CAPÍTULO 12. EQUAÇÕES DE MAXWELL
(a)
H
~ · d~l = µ0 I~
B
(b)
H
~ · d~l = 0
B
Figura 12.2: Duas superfı́cies possı́veis para aplicar a lei de Ampère.
I
d
J~ · d~s = −
dt
Z
ρdv 6= 0
S
A corrente de transporte, ou de condução, não se anula, pois a carga está
se acumulando no capacitor, ou seja ∂ρ
6= 0.
∂t
A lei de Ampère original implica em ∇·J~ = 0, mas nesse caso, ∇·J~ = − ∂ρ .
∂t
Então algo dever ser adicionado à lei de Ampère para torná-la consistente
com a conservação da carga neste caso.
Podemos calcular ρ da lei de Gauss:
12.2. MODIFICAÇÃO NA LEI DE AMPÈRE
235
~ ·E
~ = ρ ⇒ ρ = ε0 ∇
~ ·E
~
∇
ε0
~
~ · J~ = −ε0 ∂ ∇
~ ·E
~ =∇
~ · −ε0 ∂ E
∇
∂t
∂t
!
~
~ · J~ + ε0 ∂ E = 0
∇
∂t
!
~
Maxwell então substituiu J~ da Lei de Ampère por J~0 = J~ + ε0 ∂∂tE . Então,
chegamos na lei de Ampère-Maxwell:
~
~ ×B
~ = µ0 J~ + µ0 ε0 ∂ E
∇
∂t
(12.1)
Ou, na forma integral:
I
~ · d~l = µ0 I + µ0 ε0 ∂
B
∂t
Z
~ · d~s
E
(12.2)
Então:
I
~ · d~l = µ0 I + µ0 ε0 dφE
B
dt
O termo adicional µ0 ε0 dφdtE , Maxwell chamou de corrente de deslocamento, apesar dela não significar corrente no sentido que conhecemos.
Significado: A variação de campo elétrico, mesmo na ausência de corrente, gera campo magnético
Segunda Forma
Novamente considerando S1 e S2 , no caso de um capacitor de placas paralelas.
236
CAPÍTULO 12. EQUAÇÕES DE MAXWELL
C=
A
Q
= ε0 ⇒ ε0 A = Q Vd ⇒ ε0 E =
V
d
dE
dQ
= ε0 A
dt
dt
1 dQ
dE
J~D =
= ε0
A dt
dt
Q
A
Enquanto o capacitor está carregando o campo elétrico varia no tempo.
~ por S2 varia no tempo:
O fluxo de E
12.3. EQUAÇÕES DE MAXWELL
237
~ ×B
~ = µ0 (J+?)
~
~ ×B
~ = µ0 (J~ + J~D )
∇
⇒∇
~
~ ×B
~ = µ0 J~ + µ0 ε0 ∂ E
∇
∂t
Desta forma, Maxwell construiu uma teoria unificada e consistente. Ao
conjunto formado pela Lei de Ampère modificada e as outras 3 já conhecidas,
dá-se o nome de Equações de Maxwell.
12.3
Equações de Maxwell
As equações de Maxwell no vácuo são:
12.3.1
Forma diferencial
ρ
ε0
~
~
∇·B = 0
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·E
~ =
∇
~
~ ×B
~ = µ0 J~ + µ0 ε0 ∂ E
∇
∂t
238
12.3.2
CAPÍTULO 12. EQUAÇÕES DE MAXWELL
Forma integral
I
~ · d~s = Qint
E
ε0
I
~ · d~s = 0
B
I
~ · d~l = − d
E
dt
Z
~ · d~s
B
S
I
~ · d~l = µ0 I + µ0 ε0 ∂
B
∂t
Z
~ · d~s
E
Estas equações formam a base de todos os fenômenos eletromagnéticos
e em conjunto com a equação da força de Lorentz e a 2a lei de Newton
descrevem de forma completa a dinâmica clássica da interação de partı́culas
carregadas e seus campos eletromagnéticos.
12.4
Equações de Onda
As equações de Maxwell, para ρ = 0 e J~ = ~0 são:
~ ·E
~ =
∇
~ ·B
~ =
∇
0
(I)
0
(II)
~
∂B
(III)
∂t
~
~ ×B
~ = µ0 ε0 ∂ E (IV)
∇
∂t
~ ×E
~ =
∇
−
Aplicando o rotacional em III, temos:
12.4. EQUAÇÕES DE ONDA
239
~ ×∇
~ ×E
~ =−∂∇
~ ×B
~
∇
∂t
~ ×∇
~ ×E
~ =∇
~ · (∇
~ · E)
~ −∇
~ 2E
~ ⇒ −∇
~ 2E
~ =−∂
∇
∂t
!
~
~ 2E
~ − ∂ µ 0 ε0 ∂ E = 0
∇
∂t
∂t
~
∂E
µ 0 ε0
∂t
!
Que é a equação de onda para o campo elétrico:
1
=c
µ 0 ε0
2~
~ − 1 ∂ E =0
~ 2E
∇
c2 ∂t2
v=√
2~
~ 2E
~ − 1 ∂ E =0
∇
c2 ∂t2
(12.3)
O campo eletromagnético no vácuo se propaga à velocidade da luz, o
que foi uma das principais evidências para se concluir que a luz é uma onda
eletromagnética.
~ basta aplicar o rotacional em IV:
Para B,
~ ×∇
~ ×B
~ =∇
~ ·∇
~ ·B
~ −∇
~ 2B
~
∇
~ ×E
~
~ 2B
~ = µ 0 ε0 ∂ ∇
−∇
∂t
2~
~ 2B
~ − µ 0 ε0 ∂ B = 0
∇
∂t2
240
CAPÍTULO 12. EQUAÇÕES DE MAXWELL
~
1 ∂ 2B
2~
~
∇ B− 2 2 =0
(12.4)
c ∂t
O campo magnético se propaga no vácuo com velocidade c.
Isso mostra que a luz é uma onda eletromagnética, caracterizando assim
a natureza ondulatória da luz. Maxwell fez a unificação de dois campos da
fı́sica até então distintos, o Eletromagnetismo e na Óptica. Sem Maxwell não
entenderı́amos radiação eletromagnética. A relatividade restrita originou-se
dos Equações de Maxwell.
Capı́tulo 13
Materiais Magnéticos
13.1
Propriedades Magnéticas da Matéria
Apresentaremos neste tópico uma discussão qualitativa tentando não usar a
mecânica quântica. No entanto, devemos ter em mente que:
Não é possı́vel compreender os efeitos magnéticos da matéria
do ponto de vista da fı́sica clássica! As propriedades magnéticas dos
materiais são fenômenos completamente quânticos.
Apesar disso, faremos uso de descrições clássicas, embora erradas, para
termos uma visão, ainda que muito limitada, do que está acontecendo.
Inicialmente, vamos pressupor já conhecidos alguns conceitos:
1. Átomo: núcleo no centro e elétrons orbitando ao seu redor;
2. Elétron é negativamente carregado
3. O elétron possui um momento angular intrı́nseco que é denominado
spin.
Vejamos então inicialmente:
241
242
CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS
Figura 13.1: Produção de campo magnético pelo elétron.
Efeitos devido às órbitas dos elétrons
- Elétrons nos átomos produzem campos magnéticos.
Os elétrons giram ao redor do núcleo em órbitas, o que é o mesmo se
tivéssemos espiras de corrente. Por outro lado, correntes produzem campo
magnético.
Normalmente, no entanto, este é um efeito pequeno, pois no total há um
cancelamento, visto que as órbitas estão aleatoriamente orientadas.
- O que acontece então se colocarmos o material na presença de um campo
~ Pelo que já estudamos sabemos que, pela lei de Lenz, teremos
externo B?
correntes induzidas, de sentido tal a se opor ao aumento do campo. Desta
forma, os momentos magnéticos induzidos nos átomos são opostos ao campo
magnético.
Desta forma o efeito resultante é: o campo magnético total resultante é
menor.
13.2. MOMENTOS MAGNÉTICOS E MOMENTO ANGULAR
13.2
243
Momentos magnéticos e Momento angular
Consideremos uma carga q se movendo numa órbita circular.
Figura 13.2: Carga em órbita circular.
O momento angular clássico orbital é:
~ = ~r × p~
L
~ = mvr
|L|
Por outro lado, sabemos que a corrente é:
I=
qv
q
carga
= 2πr =
tempo
2πr
v
Sabemos também que o momento magnético é:
µ = IA = Iπr2 =
qv 2 qvr
πr =
2πr
2
Das equações acima, temos:
µ
~=
No caso do elétron, temos:
~
qL
2m
(13.1)
244
CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS
Figura 13.3: Momento magnético da órbita do elétron.
µ
~ =−
~
eL
2me
(13.2)
Isto é o que se espera classicamente e como milagre também vale quanticamente.
Além do momento angular orbital, elétrons possuem um momento angular
intrı́nseco (spin), que associado a este há um momento magnético:
µ
~s = −
e ~
S
me
(13.3)
Algumas propriedades:
• Lei de Lenz não se aplica, pois este campo está associado ao elétron
por si mesmo.
~ não pode ser medido. Entretanto, sua componente ao
• O próprio S
longo de qualquer eixo pode ser medida.
~ é quantizada.
• Uma componente medida de S
Quantização de Sz :
13.2. MOMENTOS MAGNÉTICOS E MOMENTO ANGULAR
245
S z = ms ~
1
ms = ±
2
h
~ =
2π
Sendo h a constante de Plank, cujo valor é de 6, 63 × 10−34 J.s.
Portanto, o momento magnético de spin será dado por:
e~
ems ~
=±
= ±µB
me
2me
e~
eh
J
=
=
= 9, 27 × 10−24
2me
4πme
T
µs,z = −
µB
A constante µB é chamada magnéton de Bohr. Momentos magnéticos de
spins de elétrons e de outras partı́culas são então expressos em termos de µB .
~ não pode ser
Da mesma forma que o spin, o momento angular orbital L
medido, apenas a sua componente ao longo de qualquer eixo.
L = ml ~
ml = 0, ±1, ±2, · · ·
Onde ml é o número quântico magnético orbital.
µ=−
eL
eml ~
=−
= −ml µB
2me
2me
Vimos durante o nosso curso que se colocássemos uma espira passando
corrente num campo magnético, esta sentia uma força, e observamos a tendência
~
do alinhamento do momento magnético µ
~ com B.
246
CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS
Figura 13.4: Torque causado por um campo magnético em uma espira.
~
~τ = µ
~ ×B
Desta forma, se colocarmos um material composto por átomos que possuem um momento magnético permanente, inicialmente orientado em direções
distribuı́das ao acaso, na presença de um campo magnético, esses momentos
magnéticos se orientarão na direção do campo, resultando em uma magnetização diferente de zero. Então como resultado teremos que o campo
magnético resultante será maior que o original.
A grandeza magnetização é definida como o dipolo magnético por unidade de volume:
1 X
d~µ
µ
~i =
∆v→0 ∆v
dv
i
~ = lim
M
O que implica em:
Z
µ
~ total =
v
Análise dimensional:
~ dv
M
(13.4)
13.3. MATERIAIS DIAMAGNÉTICOS
247
h i
~
B
h i momento magné tico
corrente x á rea
A
~ =
=
=
=
M
volume
comprimento
m
µ0
(13.5)
Perceba que esta grandeza é análoga à polarização de materiais dielétricos.
Resumo até então
• Lei de Lenz nas órbitas dos elétrons se opõe ao aumento do campo no
material. Isto pode ser pensado como se o elétron fosse acelerado ou
retardado em sua órbita.
• Torque magnético agindo em elétrons individualmente aumentando o
campo magnético no material.
Ou seja, temos dois comportamentos opostos. Qual deles é mais importante? Isto dependerá das propriedades do material (estrutura quı́mica, se
há elétrons livres, etc). Podemos, no entanto notar que é muito mais custoso
mudar as órbitas dos elétrons que seus spins.
A este respeito, podemos separar os materiais em três categoriais:
1. Materiais diamagnéticos;
2. Materiais paramagnéticos;
3. Materiais ferromagnéticos.
13.3
Materiais Diamagnéticos
São materiais que apresentam uma magnetização oposta ao campo magnético.
• O campo magnético no interior do material é menos intenso que o
externo.
248
CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS
Figura 13.5: Substâncias diamagnéticas são repelidas do campo magnético,
deslocando-se para a região de campo magnético menos intenso.
• Lei de Lenz ganha do efeito do spin.
O diamagnetismo é muito fraco e difı́cil de se ver.
A Lei de Lenz sempre está presente em todos os materiais. O efeito do
spin, se estiver presente, será sempre mais forte. Logo, os materiais diamagnéticos são aqueles onde não há o efeito do spin.
Exemplos de materiais diamagnéticos:
• Orbitais que possuem os elétrons emparelhados ⇒ não há momento
magnético resultante.
13.4
Materiais Paramagnéticos
São materiais nos quais a magnetização aumenta na presença de um campo
externo.
• O campo magnético no interior do material é mais intenso que o externo.
• Efeito de spin ganha da Lei de Lenz.
Os átomos possuem um momento magnético resultante e permanente
µ
~ . Na ausência de campo externo estes momentos estão orientados de forma
~
13.5. MAGNETIZAÇÃO E O CAMPO H
249
Figura 13.6: Substâncias paramagnéticas são atraı́das para região de campo
magnético mais intenso.
aleatória, e o momento de dipolo magnético resultante do material é nulo. Entretanto, se uma amostra do material for colocada em um campo magnético
externo, os momentos tendem a se alinhar com o campo, o que dá um mo~ ext .
mento magnético total µ
~ total não nulo na direção do campo externo B
13.5
~
Magnetização e o campo H
Relembrando a definição de magnetização (Equação 13.4):
~ = d~µ = momento de dipolo magné tico
M
dv
unidade de volume
~ , tal que:
Definimos um novo campo magnético H
~ = µ0 H
~ +M
~
B
(13.6)
~
~ ≡ B −M
~
H
µ0
(13.7)
~ campo magnético total = indução magnética
• B:
~ campo magnético devido às correntes externas
• H:
250
CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS
~ : magnetização, componente de B
~ devido às propriedades do mate• M
rial.
~ caiu do céu?
Você pode estar se perguntando, mas esta formula de H
Podemos chegar nela da seguinte forma:
Como um dos exercı́cios da lista, você deve ter obtido que o potencial
vetor de um único dipolo é dado por:
~ × R̂
~ (~r) = µ0 µ
A
4π R̂
Se pensarmos num material, então cada elemento de volume possui um
~ dv, logo:
momento de dipolo magnético M
~ (~r) = µ0
A
4π
Z ~ 0
M (~r ) × R̂ 0
dv
R2
Utilizando a identidade:
R̂
1
~
= 2
∇
R
R
0
Temos:
~ (~r) = µo
A
4π
Z ~ (~r0 ) × ∇
~0
M
1
dv 0
R
Utilizando a identidade:
~ × fM
~
~ ×M
~ −M
~ × ∇f
~
∇
= f ∇
~ × ∇f
~
~ ×M
~ −∇
~ × fM
~
⇒M
= f ∇
Ficamos com:
~
13.5. MAGNETIZAÇÃO E O CAMPO H
251

! 
Z
Z


0
~
1 ~0
~ (~r) = µ0
~ (~r0 ) dv 0 − ∇
~ 0 × M (~r ) dv 0
A
∇ ×M

4π  R
R
Z ~0
I ~ 0
~ (~r0 )
µ0
µ0
∇ ×M
M (~r ) × n̂0 0
0
~
A (~r) =
dv +
ds
4π
R
4π
R
Relembrando, tı́nhamos escrito:
~ (~r) = µ0
A
4π
Z ~ 0
J (~r ) 0
ds
R
Desta forma, podemos identificar dois termos:
~ (~r) = µ0
A
4π
Z ~
I
JM (~r0 ) 0 µ0
~κM (~r0 ) 0
dv +
dv
R
4π
R
~0×M
~ (~r0 ): Densidade de corrente de magnetização;
• J~M (~r0 ) = ∇
~ (~r0 ) × n̂0 : Densidade superficial de corrente de magne• ~κM (~r0 ) = M
tização.
Similar a:
~ · P~
ρp = −∇
σp = p~ · n̂
Havendo corrente de magnetização e, simultaneamente, correntes livres
(que não podemos controlar), o campo de indução magnética tem a sua
origem em ambas:
252
CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS
~ ×B
~ = µ0
∇
J~livre + J~M
{z
}
|
densidade de corrente total
~ ×B
~ = µ0 J~livre + ∇
~ ×M
~
∇
~ ×B
~ −∇
~ × µ0 M
~ = µ0 J~livre
∇
~ × B
~ − µ0 M
~
= µ0 J~livre
∇
{z
}
|
~
µ0 H
~ × µ0 H
~ = µ0 J~livre
∇
~ = J~livre
~ ×H
∇
(13.8)
Então agora a nomenclatura ficou:
~ campo de indução magnética;
• B:
~ campo magnético proveniente da contribuição devida às correntes
• H:
livres;
~ : magnetização devido às corrente de magnetização.
• M
Podemos determinar um campo a partir de seu gradiente e de seu rotacional. Já obtemos o rotacional, e podemos determinar seu gradiente a partir
de sua definição (Equação 13.7):
~
B
~
−M
µ0
~
~ = ÷B − ÷ M
~
÷H
µ0
~ = −÷M
~
÷H
~ =
H
13.6. MATERIAIS MAGNÉTICOS LINEARES
253
~
Observação 13.1. Deve-se tomar cuidado com a analogia entre os campos H
~ Apesar da similaridade entre as expressões de seus rotacionais, devee B.
mos lembrar que um campo não é determinado somente pelo seu rotacional.
Em especial, mesmo que não haja nenhuma corrente livre, na presença de
~ pode ser não nulo.
materiais magnéticos, o campo H
13.6
Materiais Magnéticos Homogêneos, Lineares e Isotrópicos
~ do material varia linearmente com o campo
Neste caso, a magnetização M
~
magnético H:
~ = χM H
~
M
Onde χM é a susceptibilidade magnética do meio, que é uma grandeza
adimensional.
Assim:
~ +M
~
~ = µo H
B
~
~
= µo H + χ M H
~
= µo (1 + χM ) H
~
= µo µr H
~ = µH
~
B
Cuidado com a notação: Aqui, µ é a permeabilidade magnética do meio
(não confundir com o momento magnético).
O sinal de χM depende do tipo de material:
~ = µo (1 + χM ) H
~
B
254
CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS
• Em materiais diamagnéticos, B < H, e portanto:
χM < 0
• Em materiais paramagnéticos, B > H, e portanto:
χM > 0
13.7
Materiais Ferromagnéticos
~ eH
~ o distingue do paramagnetismo. Em materiais
A não linearidade entre M
~ eH
~ não possuem uma relação simples. A magnetização
ferromagnéticos, M
permanece mesmo após o campo magnético ser desligado.
Razão: Mecânica Quântica ⇒ termo de troca ⇒ interação dos spins de
átomos.
A interação de troca produz um forte alinhamento de dipolo atômico adjacente em um material ferromagnético. Os momentos magnéticos de muitos
átomos tendem a se alinhar em pequenas regiões iguais a domı́nios ( 0.1mm),
no entanto estes domı́nios, se nenhum campo magnético externo for aplicado,
estão alinhados aleatoriamente orientados, resultando numa magnetização do
material nula. Por isso que o ferro não atrai nenhum metal a princı́pio.
F e: sólido policristalino
Se magnetizarmos uma amostra de F e colocando-a em um campo magnético
externo de intimidade gradualmente crescente, haverá um crescimento em tamanho dos domı́nios que estão orientados ao longo do campo externos.
A curva que descreve a relação entre H e B para um material ferromagnético é chamada de histerese ou ciclo de histerese.
De a até b mostra o comportamento da amostra se magnetizando. Após
H1 diminui-se H até H = 0 (ponto c): valor de B diminui conforme b → c
muito mais lentamente do que inicialmente tinha aumentado. Em c, há uma
13.7. MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
~ =0
(a) Antes: M
255
~ =
(b) Após: M
6 0
Figura 13.7: Orientação dos domı́nios de um material ferromagnético na
presença de campo magnético.
Figura 13.8: Alinhamento dos domı́nios do material na presença de campo
magnético externo.
magnetização remanescente B 6= 0. Para se conseguir B = 0 aplica-se um
~ com sentido inverso. Se aumentar H
~ em módulo atinge-se o ponto
campo H
~ novamente, B diminui em módulo de acordo com d → e, e
d. Se zerar H
mesmo em e, B 6= 0.
Temperatura de Curie
A temperatura de Curie TC é a temperatura acima da qual o material ferromagnético perde a sua magnetização.
• T > TC : fase desordenada paramagnética
256
CAPÍTULO 13. MATERIAIS MAGNÉTICOS
Figura 13.9: Ciclo de histerese de materiais ferromagnéticos.
• T < TC : fase ordenada ferromagnético
A transição de fase é abrupta.
Para T > TC , o movimento aleatório dos momentos magnéticos se torna
tão forte que eles não conseguem mais se alinhar para formar os domı́nios.
Para o Fe, TC = 770o C. A Tabela 13.1 mostra a temperatura de Curie para
outros materiais ferromagnéticos.
Material
Co
Fe
MnBi
Ni
MnSb
CrO2
MnAs
Gd
Temperatura de Curie (K)
1388
1043
630
627
587
386
318
292
Tabela 13.1: Temperatura de Curie de materiais ferromagnéticos
13.8. ENERGIA EM MEIOS MAGNÉTICOS
13.8
257
Energia armazenada no campo magnético
na presença de meios magnéticos
Vimos que:
1
Um =
2
Z
~
J~livre · Adv
V
~ × H,
~ então:
Mas J~l = ∇
1
Um =
2
Z ~ ×H
~ · Adv
~
∇
V
Aplicando a identidade:
~ · A
~×H
~ = ∇
~ ×A
~ ·H
~ − ∇
~ ×H
~ ·A
~
∇
Chegamos em:
Um
1
=
2
Z Z
1
~
~
~
~ · A
~×H
~ dv
∇ × A · Hdv −
∇
2
V
Um
1
=
2
Z
V
~ · Hdv
~ −1
B
2
V
Z
~
~
~
∇ · A × H dv
V
Fazendo V → todo espaço, o segundo termo tende a zero, portanto:
1
UB =
2
Z
R3
~ · Hdv
~
B
(13.9)
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Notas de Aula - FIS32

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As equações de lorenz na ferrohidrodinâmica

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