X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS E SUA RELAÇÃO COM SITUAÇÕESPROBLEMA DE MATEMÁTICA
Diná da Silva Correia
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia
[email protected]
Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia
[email protected]
Alexis Martins Teixeira
Colégio General Osório
[email protected]
Resumo: O presente estudo tem como objetivo fazer uma análise dos diferentes tipos de
situações-problema aditivas elaboradas por professores dos anos iniciais, de escolas públicas do
Sul da Bahia. Este estudo é um recorte da pesquisa intitulada: “Um estudo sobre o domínio
sobre as Estruturas Aditivas nas séries iniciais do Ensino Fundamental do Estado da Bahia –
(PEA)”. Os sujeitos desta pesquisa foram 40 (quarenta) professores do 2º ao 5º ano, das 11
(onze) escolas envolvidas na pesquisa. Foi solicitado aos professores que elaborassem sem o
auxilio de livros, seis situações-problema de adição e/ou subtração. Foram elaboradas 240
situações-problema. Deste total, dez situações eram compostas de duas perguntas, assim perfaz
um total de 250 situações-problema elaboradas. A análise nos mostrou que os professores se
utilizam em sua maioria, 56,8% do total das questões formuladas, situações problemas do tipo
Protótipo. Este tipo de caracterização de situação problema, bem como outros tipos, estão
sendo definidos através da Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, teoria esta que
norteia o Projeto PEA.
Palavras-chave: Estruturas Aditivas; Situações-problema; Professor dos anos iniciais.
INTRODUÇÃO
Uma das funções do professor consiste em desenvolver e utilizar estratégias de
aprendizagens que facilite a compreensão dos conceitos pelos seus alunos. A aplicação de
situações-problema na abordagem do ensino de matemática é defendida pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) como uma destas estratégias. Entre elas, encontram-se as que
apontam as situações aditivas como um ponto inicial a ser trabalhado na escola,
concomitantemente ao trabalho de construção do significado dos números naturais.
O primeiro ciclo tem, portanto, como característica geral o trabalho com
atividades que aproximem o aluno das operações, dos números, das medidas,
das formas e espaço e da organização de informações, pelo estabelecimento de
vínculos com os conhecimentos com que ele chega à escola. Nesse trabalho, é
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
1
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
fundamental que o aluno adquira confiança em sua própria capacidade para
aprender Matemática e explore um bom repertório de problemas que lhe
permitam avançar no processo de formação de conceitos (BRASIL,1997,
p.50).
Situações comumente observadas em sala de aula nos anos iniciais, quando o professor
formula um problema matemático para a turma do tipo:
1) Luiz tinha 12 carrinhos e ganhou 5. Com quantos ficou?
Perguntas e comentários da turma: - É de mais ou de menos? Se ele ganhou, só pode
ser de mais!
2) Cássia tinha 5 bonecas. Sua família mudou de casa. Nesta mudança, 3 dessas bonecas
sumiram. Com quantas bonecas ela ficou?
Perguntas e comentários da turma: - Esse é de menos, porque ela perdeu as bonecas que
tinha.
Diante desta constatação, e a partir do olhar na elaboração de situações-problema
aditivas, e ainda seguindo a classificação dada por Vergnaud (1982, 1996) com a releitura de
Santana (em fase de elaboração)1, é que realizamos uma análise das situações–problema
elaboradas pelos professores dos anos iniciais do Sul da Bahia.
O PEA
O Projeto de Pesquisa “Um estudo sobre o domínio sobre as Estruturas Aditivas nas
séries iniciais do Ensino Fundamental do Estado da Bahia – (PEA)”, tem como objetivo
principal a interação dos professores da Escola Básica e pesquisadores das universidades, na
construção de propostas possíveis de serem implementadas na sala de aula, buscando sanar
dificuldades no ensino e na aprendizagem de Matemática.
Essa pesquisa é financiada pela Fundação de Amparo a Pesquisa no Estado da Bahia –
(FAPESB) e está sendo desenvolvida, em nove regiões do Estado da Bahia, pelos Núcleos da
Sociedade Brasileira de Matemática – Regional Bahia, SBEM/BA, sob a coordenação geral do
1
Estruturas Aditivas: o suporte didático influencia na aprendizagem do estudante? De autoria de
Eurivalda Santana, a ser defendida em maio de 2010 na PUC/SP.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
2
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Grupo de Pesquisa em Educação Matemática Estatística e em Ciências – (GPEMEC), com . Os
nove Núcleos e suas respectivas regiões estão distribuídos no Quadro 1 abaixo:
Quadro 1. Núcleos do PEA por Instituição e por Região do Estado da Bahia.
Núcleo
Núcleo de Amargosa
Universidade/Educação Básica
Universidade Federal do Recôncavo
da Bahia – UFRB
Universidade Federal da Bahia –
UFBA
Universidade Estadual de Feira de
Santana – UEFS e Professores da
Educação Básica
Região da Bahia
Recôncavo Baiano
Núcleo de Ilhéus com o Grupo
de Pesquisa em Educação
Matemática Estatística e em
Ciências – GPEMEC
Núcleo
de
Produção
e
Divulgação do Conhecimento
em Educação Matemática –
NPDCED
Núcleo de Paulo Afonso
Universidade Estadual de Santa Cruz –
UESC
Região Sul
Universidade Estadual do Sudoeste da
Bahia – UESB
Região Sudoeste Jequié
com sede em Jequié
Universidade do Estado da Bahia –
UNEB. Campus VIII
Região Sertão de Paulo
Afonso e região Norte com
sede em Paulo Afonso
Núcleo EMFoco
Professores da Educação Básica
Núcleo de Senhor do Bonfim
Universidade do Estado da Bahia –
UNEB. Campus VII
Universidade Estadual do Sudoeste da
Bahia – UESB
Região Metropolitana com
sede em Salvador
Região Norte
Núcleo de Barreiras
Núcleo de Estudos em Educação
Matemática de Feira de Santana
– NEEMFS
Núcleo de Conquista na UESBGEEM - Grupo de Estudo em
Educação Matemática
Região Oeste
Região Nordeste –Estrada
do Feijão com sede em
Feira de Santana
Na
Região
Sudoeste
Planalto da Conquista
O PEA é composto por dois estudos. O primeiro, desenvolvido em 2009, tratou de uma
pesquisa do tipo diagnóstica e teve como objetivo principal mapear os estágios de
desenvolvimento do Campo Aditivo de estudantes e seus respectivos professores, dos anos
iniciais do Ensino Fundamental, de escolas públicas urbanas do Estado da Bahia. O segundo
será uma pesquisa colaborativa de formação de professores, em serviço, e busca investigar sua
prática, propiciando a reflexão da ação, a fim de promover o desenvolvimento de estratégias de
ensino que possibilitem a expansão e apropriação deste Campo Conceitual pelos seus
estudantes.
NÚCLEO - REGIÃO SUL
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
3
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
O Núcleo da Região Sul está localizado na UESC e suas ações são desenvolvidas pelo
Núcleo da Região Sul GPEMEC. As cidades que fazem parte da pesquisa são Almadina,
Buerarema, Camacan, Coaraci, Ilhéus, Itabuna, Itajuípe, Itapé, Salobrinho e São José da
Vitória.
O delineamento da amostra seguiu critérios, e partiu do pressuposto do Núcleo colher
dados em dez escolas sendo: três no município sede do Núcleo; quatro em municípios num raio
de até 60 km da sede; e três em municípios distantes da sede de 60 km a 120 km. Os
municípios, com exceção da sede foram listados e sorteados aleatoriamente respeitando as
distâncias citadas. Dentro de cada município foi escolhida a escola de maior porte e a primeira
turma de cada ano. Em cada escola foi pesquisada uma turma de 2º, 3º, 4º e 5º ano. Sendo
escolhida a primeira turma de cada ano escolar.
Numa das cidades da Região Sul as escolas não tinha todos os anos numa só escola.
Dessa maneira, nessa cidade participaram da pesquisa duas escolas. O que justifica o número
de 11 escolas para essa Região.
Definidos os municípios e as escolas os instrumentos de pesquisa foram aplicados
conforme a disponibilidade das escolas e da equipe do PEA.
A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
O enfoque na análise desta pesquisa é através da abordagem da Teoria dos Campos
Conceituais, de Gérard Vergnaud.
A Teoria dos Campos Conceituais considera que existe uma série de fatores que
influenciam e interferem na formação e no desenvolvimento dos conceitos e o que o
conhecimento conceitual deve emergir dentro de situações-problema (MAGINA et al., 2008).
E segundo o próprio Vergnaud (1991), a Teoria dos Campos Conceituais não é
específica da matemática, mas começou ser elaborada a fim de explicar o processo de
conceitualização progressiva das estruturas aditivas, das estruturas multiplicativas, das relações
número-espaço, da álgebra.
Algumas das situações aditivas podem ser exploradas entre estudantes dos anos iniciais
em contextos simples como comprar balas, contar pessoas, distribuir figurinhas. Segundo
Vergnaud (1991), situações-problema que envolve esse tipo de contexto são, para uma criança
de 6 anos, favoráveis ao desenvolvimento dos conceitos matemáticos relativos ao número, à
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
4
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
comparação, à adição e à subtração. O autor também afirma que “nas situações habituais da
vida, os dados pertinentes encontram-se imersos num conjunto de informações pouco ou nada
pertinentes, sem que as questões que são possíveis colocar sejam sempre claramente
expressas.” (VERGNAUD, 1991, p. 171 e 172)
As relações apresentadas por Vergnaud (1991) são seis:
I)
A composição de duas medidas numa terceira.
II)
A transformação (quantificada) de uma medida inicial numa medida final.
III)
A relação (quantificada) de comparação entre duas medidas.
IV)
A composição de duas transformações.
V)
A transformação de uma relação.
VI)
A composição de duas relações.
Essa classificação apresentada por Vergnaud (1982, 1991) se baseia em relações
ternárias, aquelas que relacionam apenas três elementos. Contudo, Santana (em fase de
elaboração)2,em seus estudos de tese apresenta uma releitura dessa classificação ampliando a
possibilidade de relações além das ternárias. Baseados nessa releitura adotamos a seguinte
classificação:
Composição: são situações que se têm partes e um todo. Transformação: são situações
que têm um estado inicial, uma transformação e um estado final. Comparação: são situações
nas quais é estabelecida uma relação entre duas quantidades, uma denominada de referente e a
outra de referido. Composição de várias transformações: são situações nas quais são dadas
transformações e se busca uma nova transformação a partir da composição das transformações
dadas. Transformação de uma relação: são situações nas quais é dada uma relação estática, e se
busca uma nova, que é gerada a partir da transformação da relação estática dada.
As situações-problema classificadas nas três primeiras categorias apresentadas
anteriormente (composição, transformação e comparação) segundo Magina et al. (2008),
podem ser subdivididas em extensões conforme os conceitos aditivos que estejam abordando.
Podem ser: protótipos, 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª extensões.
Protótipos são situações de menor complexidade e podem ser de composição, quando
são dadas as partes e se pede o todo, ou de transformação, quando é dado o estado inicial e a
2
Estruturas Aditivas: o suporte didático influencia na aprendizagem do estudante? De autoria de
Eurivalda Santana, a ser defendida em maio de 2010 na PUC/SP.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
5
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
transformação, e se pede o estado final. Segundo Magina et al (2008), são situações que a
maior parte das crianças, antes de entrar nos anos iniciais do Ensino Fundamental,
não
apresentam dificuldades para resolver.
As situações de 1ª extensão podem ser de composição, quando é dada uma parte (ou
mais) e o todo, e se busca outra parte, ou de transformação, quando é dado o estado inicial e o
final, e se pede a transformação.
Já situações de 2ª e 3ª extensão são apenas de comparação. De 2ª quando é dado o
referente e a relação, e se busca o referido. Na 3ª extensão são dados o valor do referente e do
referido, e se busca a relação entre eles. Para as situações de 4ª extensão podem ser de
comparação, quando é dado o referido e a relação, e se busca o referente, ou as de
transformação, quando é dado a transformação e o estado final, e se busca o estado inicial.
AS ESTRUTURAS ADITIVAS EM SALA DE AULA
As Estruturas Aditivas ajudam a organizar as práticas em sala de aula nos problemas
propostos pelo professor. As crianças percebem que diferentes situações podem ser resolvidas
pelo uso de uma mesma operação. A aplicação das Estruturas Aditivas em sala de aula
promove a aprendizagem significativa através do diálogo entre o professor e o aluno. As
estratégias encontradas por eles, afirma Costa (2009), a maneira como defendem ou validam o
que fizeram e a comparação com as soluções dos colegas da classe têm tanto ou mais valor que
o resultado certo para o aprendizado.
O PROCEDIMENTO METODOLÓGICO
Em cada visita as 11 (onze) escolas envolvidas no PEA para aplicação dos instrumentos
aos estudantes, também foi solicitado aos professores desses estudantes, no total de 40
(quarenta), para que eles elaborassem em formulário já pronto, 06 (seis) questões (situações)
relacionadas a adição e/ou subtração. Separados os professores por ano escolar (2º ao 5º ano),
cada situação-problema elaborada foi digitada e, em grupo e individualmente, os componentes
do Núcleo de Ilhéus no PEA, analisaram e classificaram cada uma das situações-problema.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
6
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Participaram 11 escolas públicas distribuídas em nove cidades da Região Sul da Bahia e
40 professores. Sendo 36 professores de nove escolas (quatro em cada uma), e os outros quatro
distribuídos entre duas escolas.
Do total de 240 situações elaboradas pelos professores, dez eram compostas de duas
perguntas, para efeito de classificação computamos o total de 250 situações. Utilizamos apenas
a análise quantitativa, para os cálculos dos percentuais contamos com o auxílio da Planilha
Excel.
ANÁLISE DOS RESULTADOS
Após as classificações, o resultado da análise das situações- problema elaboradas pelos
professores estão descritos nas Figuras 01 e 02 abaixo:
Figura 01: Classificação das Situações – Problemas quanto a Categoria
O que percebemos na análise é que das 250 situações problemas elaboradas,
encontramos 89 (35,6%) situações do tipo Composição, fato que é compreensível, por se tratar
de situações considerada por Magina et.al (2008) tipos de problemas que a criança domina, a
idéia de juntar partes, cujas valores são conhecidos são de fácil assimilação por crianças entre
cinco e seis anos. Seguindo a análise, verificamos que, 78 (31,2%) situações do tipo
Transformação. Mais uma vez, é percebida certa coerência na escolha das situações problemas
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
7
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
pelos professores, pois palavras como perder, ganhar, mudar o estado inicial ou estado final de
uma situação, mesmo sem ter envolvimento com a Teoria dos Campos Conceituais, é
perceptível esse entendimento nas situações – problema propostas. O tipo comparação segue
em um percentual um pouco menor, 22 (8,8%) apenas. Quanto as outras classificações,
percebemos que a necessidade de se explorar o algoritmo das operações (contas) fica evidente
na elaboração dos problemas. Os tipos Comparação de várias Transformações, Transformação
de Duas Relações Estáticas, era de se esperar ser um número bem reduzido, pela complexidade
que esses tipos de situações apresentam. O tipo Inconsistente aparece como tipo de problema
que não se encaixa em nenhum perfil já abordado, aparentemente confusos e sem condição de
se obter respostas, nem mesmo pelo professor.
Figura 02: Classificação das Situações – Problemas quanto a Extensão
Como já prevíamos, o tipo Protótipo das situações problemas quanto a sua extensão foi
o mais explorado pelos professores. Das 250 situações – problema sejam elas do tipo
Composição e Transformação, 142 (56,8%) apresentam esta extensão, considerada a mais
simples pela teoria abordada. O restante dos problemas apresentou em sua classificação as
outras extensões (1ª a 4ª extensão).
CONSIDERAÇÕES
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
8
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Os problemas mais complexos de adição e subtração envolvem a coordenação entre os
diferentes esquemas de ação relacionados ao raciocínio aditivo; essa coordenação é essencial à
construção do conceito operatório de adição e subtração. Portanto entendemos que, o professor
para trabalhar com seus alunos estas situações- problema é necessário que ele conheça os
mecanismos de resolver problemas simples, e gradativamente, problemas que envolvam outras
classificações, inclusive as mais complexas. E para que isso venha a acontecer, é importante
refletir na necessidade de inclusão do estudo das Estruturas Aditivas, no currículo do curso de
Pedagogia, por acreditarmos que a estratégia de resolução de situações – problemas é favorável
ao aprendizado dos conceitos matemáticos dos alunos, e que os professores em exercício da
Região Sul da Bahia, precisa conhecer as pesquisas que vem sendo desenvolvidas nos anos
iniciais do Ensino Fundamental, no que se refere as operações de adição e/ou subtração.
Dessa forma, a equipe do PEA está implementando em 2010, nas nove regiões baianas,
a segunda fase da pesquisa, na qual visamos trabalhar diretamente com a escola e com o
professor, objetivando envolver a todos, Universidade e Escola em um esforço comum para que
se efetivem ações que levem a reflexões sobre a prática deste profissional, buscando a melhoria
do ensino em todo o seu contexto.
8 REFERÊNCIAS
BRASIL.MEC/SEF. Parâmetros Curriculares Nacionais : matemática. Secretaria de Educação
Fundamental. Brasília : 1997.
BRASIL.MEC/CNE. Diretrizes Curriculares Nacionais para o Curso de Pedagogia. PARECER
CNE/CP Nº 05/2005. Ministério da Educação/Conselho Nacional de Educação, 13/12/2005.
COSTA, Carolina . Teoria do campo aditivo considera a adição e subtração como
complementares. In Revista Nova escola, Especial Matemática, 2009.
MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da Teoria dos Campos
Conceituais. São Paulo: PROEM, 3. ed. 2008.
VERGNAUD, G. A Classification of Cognitive Tasks and Operations of Thought Involved in
Addition and Subtraction Problems. In. Addition and Subtraction: a cognitive Perspective. New
Jerssey: Lawrense Erlbaun, 1982. p. 39-59.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
9
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
___________. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des
Mathématiques, Grenoble, v. 10, n. 23, p. 133-170, 1990.
____________A Teoria dos Campos Conceptuais. In Recherches em didactique des
mathématiques, vol 10/23, 133-170. Grenoble, La Pensée Sauvage editions, 1991.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
10