4º lista de Fundamentos de Cálculo
Algumas identidades muito úteis:
cos2 (a) + sen2 (a) = 1
tg2 (a) + 1 = sec2 (a)
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b)
1. Um triângulo retângulo com hipotenusa de medida 8 cm possui um ângulo interno de 30◦ .
Encontre as medidas dos outros dois ângulos e dos outros dois lados.
2. Um avião voando em linha reta e em rota horizontal está a uma altura de 10 km do solo
quando passa exatamente sobre um observador P, que está na solo. No instante t1 , o avião
é visto sob um ângulo de 60◦ e no instante t2 , sob um ângulo de 30◦ . Qual é a distância
percorrida pelo avião do instante t1 ao instante t2 ?
3. Nos itens abaixo, se o ângulo for dado em graus transforme-o para radianos, se for dado em
radianos transforme-o para graus.
(a) 15◦
(e)
(b) 300◦
(f)
(c) 72◦
(g)
(d) 1rad
(h)
3π
rad
5
−4π
rad
6
π
rad
18
7π
rad
3
(i) 2, 3rad
(j) 1◦
(k) 170◦
(l) 188◦
4. Considerando-se a representação do ângulo θ no cı́rculo trigonométrico, a que quadrante
pode pertencer θ, se:
√
√
(c) tg(θ) = 7 3.
(a) sen(θ) = − 14 .
(b) cos(θ) = − 33 .
5. Verifique que as seguintes identidades são verdadeiras, além disso um exemplo para cada
uma delas.
(a) sen(x + 2π) = sen(x)
(e) sen(x + π2 ) = cos(x)
(b) cos(x + 2π) = cos(x)
(f) sen(x + π) = − sen(x)
(c) sen(x +
(d) cos(x +
π
)
2
π
)
2
= cos(x)
(g) cos(x + π) = − cos(x)
= − sen(x)
(h) tg(x + π) = tg(x)
6. Calcule, sem usar calculadora, seno cosseno e tangente dos ângulos
(a) 240◦ .
(d) 105◦ .
(g)
(b) 210◦ .
(e) 75◦
(h)
(c) 135◦ .
(f)
7π
6
(i)
−3π
4
π
12
π
6
7. Para que valores de α, 0 ≤ α ≤ 2π, se tem:
√
(a) sen(α) = 12 .
(c) cos(α) = −
(b) sen(α + π) = 12 .
(d) tg(α) = −1.
2
.
2
(e) cos(α) = 2.
(f) sen(α) = −3.
8. Prove as seguintes identidades
(a) cos2 (x) =
1 + cos(2x)
.
2
(b) sen2 (x) =
1 − cos(2x)
.
2
9. Sabendo que cos(x) =
−4
5
e que
π
2
< x < π, calcule sen(x) e tg(x).
10. Sabendo que cos(x) =
−4
5
e que
π
2
< x < π, calcule sen(x) e tg(x).
11. Dado que sen(x) =
3
5
e cos(y) =
12. Sabendo que sec(x) = 2 e que
13. Usando que sen(x) =
1
3
5
,
13
3π
2
π
2
e
3π
2
< y < 2π.
< y < 2π, calcule cossec(x).
5
4
e sec(y) =
(a) sen(x + y)
calcule cos(x + y) sabendo que 0 < x <
e x, y ∈ (0, π2 ), calcule:
(b) cos(x − y)
(c) sen(2x)
14. Determine o domı́nio e o perı́odo de cada uma das seguintes funções trigonométricas, além
disso esboce o gráfico de cada uma.
(a) y = tg(x − π/4).
(e) y = sen(x) + 1.
(i) y = sec(3x).
(b) y = sen(2x).
(f) y = sen(x + π2 ).
(j) y = cotg( x2 ).
(c) y = sen( x2 ).
(g) y = cos(πx).
(k) y = 2 sen(4x).
(d) y = 3 sen(x).
(h) y = tg( π2 x).
(l) y = 4 cos(2x).
15. Dê o domı́nio de cada uma das funções:
p
1 − log5 (x)
(a) log3 (4 + x)
(c)
7x
log12 (1−x2 )
(e)
(b) log6 (6 − x)
(d)
p
1 − log4 (x)
10
(f) 4log4 (x )
16. Resolva as inequações:
(a) 2x − 32 ≤ 4
(c) ln2 x+lnx ≥ 0
(e) ln|x − 2| +ln|x + 1| ≥ 1
(b) (2x − 2) (1/4x − 1) < 0
(d) lnx2 +lnx ≥ 0
(f) logx5 − logx25 ≥ 2
17. Encontre as soluções das equações:
(a) ex + e−x = 16
(c) ln(1 − x2 ) = 1/2
(b) ln(1 + x2 ) = −1/2
(d) ex − e−x = 4