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modelos de probabilidades, modelos discretos
1.
Um treinador de andebol tem à sua disposição 20 jogadores dos quais deve selecionar 10
para formar uma equipa para um jogo. 12 dos jogadores são atacantes e os restantes saõ
defesas.
1.1.
Se o selecionador escolher ao acaso uma equipa, diga qual a distribuição (e respetivos
parâmetros) da v.a. X “número de atacantes escolhidos para a equipa de 10 jogadores”?
1.2.
Calcule a probabilidade de, uma equipa escolhida ao acaso ser formada por 6 atacantes.
2.
De 200 declarações de IVA, sabe-se que 8 apresentam erros.
2.1.
Se um fiscal selecionar 5 declarações, ao acaso, qual a probabilidade de vir a encontrar
duas ou mais, que contenham erros?
2.2.
Se selecionar ao acaso 5 declarações, qual a probabilidade de que pelo menos uma contenha
erros?
3.
Sabe-se que 20% dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Considere
que esse tratamento foi aplicado a 20 animais e se X é “número de sobreviventes”.
3.1.
Qual a distribuição da v.a. X?
3.2.
Calcule a P 16  X  18  e a P  X  18  ?
3.3.
Diga qual é o número médio e a variância dos animais que sobrevivem?
4.
Um exame consta de 10 perguntas, cada uma com duas respostas possíveis. Para um aluno
que responde ao acaso, qual a probabilidade de acertar pelo menos 5 das respostas?
5.
Uma firma compra lâmpadas às centenas. Examina sempre uma amostra de 5 lâmpadas para
verificar a qualidade das mesmas. Sabe-se que uma centena inclui 12 lâmpadas queimadas,
qual a probabilidade aproximada de se escolher uma amostra:
5.1.
com duas lâmpadas queimadas?
5.2.
com pelo menos uma lâmpada queimada?
6.
Se X é uma v.a. de distribuição binomial, com parâmetros n e p. Sabe-se que o valor médio
dessa variável é 4 e a sua variância é igual a
7.
8
. Determine o valor dos parâmetros da v.a.
3
Numa caixa com 10 lâmpadas, duas estão fundidas. Se retirarmos dessa caixa uma amostra
de 4 lâmpadas, determine a probabilidade de:
7.1.
nenhuma ser defeituosa.
7.2.
haver uma defeituosa.
7.3.
no máximo uma ser defeituosa.
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8.
A produção de camisas de uma fábrica é classificada em duas classes. A classe A, formada
pelas camisas defeituosas, representando 5% do total e a classe B, das camisas boas,
constituída por 95% do total. As camisas são armazenadas em caixas de 12 unidades.~
Calcule a probabilidade de uma caixa conter:
8.1.
duas camisas defeituosas.
8.2.
pelo menos 4 camisas defeituosas.
8.3.
entre duas e 5 camisas defeituosas, incluindo os extremos.
9.
Num baralho de 52 cartas extraem-se 13 com reposição. Qual a probabilidade de saírem 3
ases?
10. Num lote de 8 peças existem 3 defeituosas. Se desse lote forem retiradas aleatoriamente com
reposição 3 peças, qual a probabilidade de nelas se encontrarem 0, 1, 2 ou 3 peças
defeituosas?
11. Suponha que, em cada 120 candidatos a um emprego numa empresa de telecomunicações,
só 80 têm as classificações pretendidas. Determine a probabilidade de que apenas 2 tenham
as qualificações pretendidas num grupo de 5 candidatos para uma entrevista piloto.
2
3
12. Suponha que X é uma v.a. com distribuição de Poisson, Se P  X  18  P  X  1 , calcule
a P  X  0  e a P  X  3 .
13. O número de nascimentos, por hora, numa certa maternidade é uma v.a. com distribuição de
Poisson.
Sabendo que a probabilidade de não haver nascimentos durante uma hora é de 0,368,
determine a probabilidade de ocorrerem pelo menos 3 nascimentos, numa hora.
Qual o número médio de nascimentos por hora nesta maternidade? E o desvio padrão?
14. Registos históricos sobre o número de abalos sísmicos numa determinada região permitemnos dizer que o número anual de abalos sísmicos (com intensidade mínima de 3 na escala de
Richter) tem distribuição de Poisson de parâmetro 2.
14.1. Determine a probabilidade de não ocorrerem abalos sísmicos num ano.
14.2. Qual o número médio anual de abalos sísmicos?
14.3. Nos próximos dois anos, qual a probabilidade de ocorrerem 4 abalos sísmicos nesta região?
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15. O serviço de mailing de uma empresa está encarregue de manter e desenvolver uma extensa
lista de moradas de clientes. O serviço afirma que a probabilidade de qualquer dado da sua
lista se encontrar desatualizado, dando assim origem a extravio da correspondência é de 0,05.
15.1. Calcule o risco de mais de duas cartas se extraviarem, caso seja expedida uma remessa de
15 cartas.
15.2. Qual a probabilidade de, em duas remessas de 15 cartas, se extraviarem duas cartas?
15.3. Indique o número médio de cartas extraviadas em 100 cartas expedidas e, para estas,
determine aproximadamente a probabilidade de se extraviarem 3 ou 4 cartas.
16. O número médio anual de casos de intoxicação num grande complexo petroquímico segue
uma distribuição de Poisson, de valor médio 5.
16.1. Qual o número médio de pessoas intoxicadas num período de seis meses?
16.2. Qual a probabilidade de que, num ano, apareçam menos de 4 pessoas intoxicadas?
16.3. Qual a probabilidade de aparecerem, em sei meses, entre 5 e 8 pessoas intoxicadas?
16.4. Qual a probabilidade de, num período de 10 anos, aparecerem 60 pacientes?
17. O número de telefonemas, num aparelho, em certo período de tempo segue uma distribuição
de Poisson, cujo desvio padrão é 2. Qual a probabilidade de que não haja mais do que uma
chamada nesse intervalo de tempo?
18. O número de automóveis que atravessam uma ponte durante um determinado período de
tempo é uma v.a. com distribuição de Poisson. Admita que é 0,22 a probabilidade de não
passar nenhum automóvel em 10 minutos?
18.1. Qual a probabilidade de não passar nenhum automóvel em 10 minutos?
18.2. Qual a probabilidade de, numa hora, atravessarem a ponte menos de 4 automóveis?
19. Sabe-se que uma bactéria, após atacar um organismo, se distribui homogeneamente pelos
seus tecidos, havendo, em média, 16 bactérias por 1 cm3 de sangue desse organismo. Sabendo
que um ensaio clínico necessita encontrar numa amostra de sangue pelo menos 6 bactérias
para que a doença possa ser detetada, determine a probabilidade de uma amostra de 0,5 cm 3
não ser adequada para identificar a doença em causa.
20. Sabe-se que dois por cento parafusos produzidos por uma máquina automática são
defeituosos. Se se armazenarem em caixas de 100 parafusos. Qual é a probabilidade de que
uma caixa contenha 3 ou 4 ou 5 parafusos defeituosos?
21. Um jogo que consiste no lançamento de um dado equilibrado é vencedor o jogador que lançar
o menor número de vezes até ocorrer o número 6. Qual a probabilidade de um jogador obter
seis apenas na 5 tentativa?
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22. A probabilidade de existir uma falha num lançamento de uma nave espacial é de 10%. Qual
a probabilidade de que para lançar a nave seja necessário:
22.1. 2 tentativas?
22.2. no máximo 3 tentativas?
22.3. Calcule o número esperado de tentativas de lançamento da nave espacial. Calcule também
a variância e o desvio padrão do número de tentativas de lançamento.
23. Em determinada localidade, a probabilidade de ocorrência de chuva forte em algum dia nos
meses de dezembro e janeiro é igual a 0,1. Admitindo que existe independência de um dia
para o outro, qual a probabilidade da ocorrência da primeira chuva no dia 3 de janeiro?
24. A probabilidade de que uma droga apresente reação positiva é 0,4. Qual a probabilidade de
que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva?
25. Seja X o número de jogadas de uma dado equilibrado até que se observe um 3. Suponha que
o dado já foi lançado 5 vezes sem sair um número 3. Qual a probabilidade de que sejam
necessárias mais de duas jogadas adicionais?
26. Suponha que a probabilidade de um componente de computador ser defeituoso é de um em
cinco. Numa mesa de testes, uma caixa destes componentes é colocada à prova.
Determine a probabilidade do primeiro componente com defeito encontrado ocorrer apenas
no sétimo componente testado.
27. Um investigador está a realizar experiências químicas independentes e sabe que a
probabilidade de que cada experiência apresente uma reação positiva 0,3. Qual é a
probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva?
28. Considere a experiência em que uma moeda viciada é lançada sucessivas vezes, até que
ocorra a primeira face nacional. Seja X a variável aleatória que conta o número de faces
europeias obtidas na experiência (ou seja, a quantidade de lançamentos anteriores a obtenção
da primeira face nacional). Sabendo que a probabilidade de sair face nacional é de 0,4,
calcule as seguintes probabilidades e interprete o significado no contexto do problema.
28.1. P  2  X  4 
28.2. P  X  1| X  2 
28.3. P  X  1
Bom trabalho!!
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Principais soluções
16.2.
P  X  4 
1.
1.1.
Distribuição Binomial: n  10 , p 
1.2.
2.
2.1.
2.2.
3.
3.1.
0,25
3.2.
0,6630
0,9222
Distribuição Binomial: n  20 , p  0,8
P 16  X  18  0,3423
P  X  18  0, 2061
3.3.
E  X   np  16
V  X   np 1  p   3, 2
4. 0,623
5.
5.1.
5.2. 0,999997
6.
7.
7.1.
7.2.
7.3.
8.
8.1.
8.2.
8.3.
9.
10.
11.
12.
3
5
n  12 , p 
1
3
0,4096
0,4096
0,8192
16.3.
16.4. 0,9207
17. P  X  1  5e4
18.
18.1. 0,0498
71
18.2. P  X  4   e 9
3
19. 0,1912
20.
21.
22.
22.1.
22.2.
22.3.
23.
24.
25.
26. 0,0524
27. 0,8319
28.
28.1. P  2  X  4   0, 2304
28.2.
P  X  1 | X  2 

0,0988
0,0022
0,1183
P  X  2
P  X  0   P  X  1  P  X  2 
 0,1837
28.3.
P  X  0  e
118 5
e
3

P  X  1  1  P  X  0   0, 6
4
3
32  34
e
81
3
P  X  3   1  e 1
2
EX  1
P  X  3 
13.
X 1
14.
14.1.
14.2.
14.3.
15.
15.1.
15.2.
15.3.
16.
16.1.
e2
EX   2
0,1954
0,0363
0,2586
0,3177
E  X   2,5  3
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