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Distribuições Teóricas Discretas
Exercício 2.1 Seja X ∼ B (n, p) e Y ∼ B (n, 1 − p), verifique que
P (X = r) = P (Y = n − r).
Interprete o resultado em termos de provas de Bernoulli.
Exercício 2.2 Utilizando as tabelas da distribuição Binomial:
1. Calcule as seguintes probabilidades:
(a) P [X ≤ 5] com X ∼ B (10, 0.5) .
(b) P [3 ≤ X ≤ 8] com X ∼ B (8, 0.4) .
(c) P [X = 7] com X ∼ B (10, 0.7) .
(d) P [X ≤ 5] com X ∼ B (8, 0.7) .
(e) P [X ≤ 5] com X ∼ B (5, p) .
2. Indique quais os valores de n e p, tais que:
(a) X ∼ B (10, p) e P [X ≤ 5] = 0.8338 .
(b) X ∼ B (n, 0.2) e P [2 ≤ X ≤ n] = 0.5638 .
(c) X ∼ B (n, 0.1) e P [X = 4] = 0.0046 .
Exercício 2.3 Numa população de milhares de bovinos há 20% contaminados com o vírus W . Escolhendo 6 bovinos ao acaso, qual a probabilidade de
que:
1. Nenhum esteja contaminado.
2. Todos estejam contaminados, sabendo-se que pelo menos um deles está.
3. Metade ou mais esteja contaminado.
Exercício 2.4 Qual a probabilidade de tirar, em 10 lançamentos de um dado
numerado de 1 a 6:
1. Exactamente três resultados ”face 5”?
2. Pelo menos três resultados ”face 5”?
3. Quanto muito três resultados ”face 5”?
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Exercício 2.5 Considere X a v.a. que representa o “número de rapazes em
famílias com 6 filhos”.
1. Construa a função de probabilidade de X.
2. Sabendo que numa família com 6 filhos, pelo menos 3 deles são rapazes,
calcule a probabilidade de não existirem raparigas.
3. Se numa cidade há 800 famílias com 6 filhos, quantas podemos esperar
que tenham pelo menos 2 rapazes?
Exercício 2.6 Um indivíduo que pratica tiro ao alvo, acerta na “mouche”
em média, dois em cada três tiros. Supondo que faz dez tiros, qual a probabilidade de:
1. Acertar na “mouche” exactamente 6 vezes.
2. Acertar na “mouche” pelo menos 1 vez.
3. Acertar na “mouche” quanto muito 2 vezes.
Exercício 2.7 Numa experiência biológica, para a qual a escolha das cobaias é bastante dispendiosa, verifica-se que a experiência é bem sucedida
em 40% dos casos. Suponha que cada vez que se repete a experiência uma
cobaia diferente é analisada e cada repetição só usa uma cobaia.
1. Se o investigador tiver 10 cobaias à sua disposição, qual a probabilidade
de se verificarem pelo menos 2 experiências bem sucedidas?
2. Quantas cobaias são necessárias para que o número esperado de sucessos seja 24? Justifique.
3. Quantas cobaias serão necessárias para garantir que a probabilidade de
obter pelo menos uma experiência com sucesso seja inferior a 0.95?
Exercício 2.8 No processo de destilação do petróleo, a temperatura de destilação X (medida em graus centígrados) é decisiva para a determinação da
qualidade do produto final. Admita que X é uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo [150, 300], isto é, a sua função densidade de probabilidade
é dada por:
½ 1
, 150 ≤ x ≤ 300
150
f (x) =
0 , x < 150 ou x > 300
Se o petróleo for destilado a uma temperatura inferior a 200o , o produto
resultante é nafta que se vende a 40 unidades monetárias (u.m.) por litro.
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Se a temperatura for igual ou superior a 200o , obtém-se petróleo refinado que
se vende a 50 u.m. por litro. O custo de destilação de um litro de petróleo
(incluindo a matéria-prima) é de 24 u.m. por litro.
1. Calcule a probabilidade de um dado lote de destilação resultar em nafta.
2. Determine o lucro líquido esperado, por lote de destilação, sendo cada
lote de 10000 litros.
3. Em 10 lotes de destilação, calcule a probabilidade de apenas 1 lote
resultar em nafta.
Exercício 2.9 A remuneração mensal (em milhares de unidades monetárias)
dos trabalhadores juvenis é uma v.a. X, com a seguinte função densidade de
probabilidade:
⎧ 1 2
⎨ 7000 x , 10 < x ≤ 20
k
, 20 < x < 30
f (x) =
⎩
0
, caso contrário
1. Qual o valor de k?
2. Determine a função de distribuição de X.
3. Escolhe-se aleatoriamente um trabalhador de entre os que ganham mais
de 20000 unidades monetárias. Qual a probabilidade de ele ganhar
menos de 25000 unidades monetárias?
4. Seleccionaram-se ao acaso e com reposição, cinco trabalhadores. Calcule a probabilidade de nenhum deles ganhar mais de 20000 unidades
monetárias.
Exercício 2.10 Seja X uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade dada por:
⎧
ax
, 0<x≤1
⎪
⎪
⎨
a
, 1<x≤2
f (x) =
−ax
+
3a
, 2<x<3
⎪
⎪
⎩
0
, caso contrário
1. Determine a.
2. Determine F (x) e esboce o seu gráfico.
3. Determine a esperança matemática e a variância.
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4. Se X1 , X2 e X3 forem 3 observações independentes de X, qual será a
probabilidade de exactamente um desses números ser maior que 1, 5?
Exercício 2.11 Seja X uma v.a. contínua cuja função de distribuição é
dada por:
⎧
⎨ 0 ,x≤0
x2 , 0 < x < 1
F (x) =
⎩
1 ,x≥1
1. Determine a probabilidade de X tomar um valor entre
1
3
e 12 .
2. Calcule E[X] e V [X].
3. Determine a probabilidade de, em 4 valores assumidos independentemente pela v.a. X, pelo menos 3 estarem compreendidos entre 0.25 e
0.75.
Exercício 2.12 Utilizando as tabelas da distribuição Poisson:
1. Calcule as seguintes probabilidades:
(a) P [X ≤ 5] com X ∼ P (7) .
(b) P [X ≥ 3] com X ∼ P (2.1) .
(c) P [X = 1] com X ∼ P (0.2) .
(d) P [X = 5] com X ∼ P (4.4) .
(e) P [2 ≤ X ≤ 6] com X ∼ P (3.3) .
2. Sabendo que X ∼ P (λ) indique qual o valor de λ, tal que:
(a) P [X = 8] = 0.1321.
(b) P [X ≤ 4] = 0.7442.
(c) P [X ≥ 6] = 0.631.
Exercício 2.13 Entre as 14 e as 16 horas, o número médio de chamadas
telefónicas por minuto, atendidas no centro de comunicações de uma empresa
é 2.5. Sabendo que o número de chamadas sugere uma distribuição Poisson,
calcule a probabilidade de, durante um determinado minuto haver:
1. 0 chamadas telefónicas.
2. 2 chamadas telefónicas.
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3. 4 ou menos chamadas telefónicas.
4. Mais de 6 chamadas telefónicas.
Exercício 2.14 O número diário de visitantes de uma feira (em milhares de
pessoas) segue uma distribuição Poisson com média igual a 3.
1. Determine o número esperado de visitantes na feira.
2. Determine a probabilidade do número de visitantes não ser inferior a
4000.
Exercício 2.15 O número de petroleiros que chega a uma certa refinaria,
em cada dia, é uma v.a. com distribuição Poisson de parâmetro λ = 2. As
actuais instalações portuárias da refinaria podem servir até 3 petroleiros por
dia. Se mais de 3 petroleiros chegam num dia, os petroleiros em excesso são
enviados para outro porto.
1. Qual a probabilidade de, num dia, se ter de recusar serviço a petroleiros?
2. Qual deverá ser a capacidade de atendimento da refinaria para permitir
o acolhimento de todos os petroleiros que chegam em cerca de 95% dos
dias?
3. Qual o número esperado de petroleiros chegados por dia?
4. Qual o número mais provável de petroleiros chegados num dia?
5. Qual o número esperado de petroleiros atendidos num dia?
6. Qual o número esperado de petroleiros recusados num dia?
Exercício 2.16 O número de clientes diários de um cabeleireiro é uma v.a.
com distribuição Poisson de média 15. O horário de funcionamento vai das
10 às 16 horas, não fechando para almoço. Sabe-se ainda que, devido a
limitações de pessoal se atendem no máximo 25 clientes por dia.
1. Qual a probabilidade de entre as 10 e as 12 horas chegarem menos de
5 clientes?
2. Qual a probabilidade de num dia ficarem clientes por atender?
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Exercício 2.17 Uma estrada secundária junta-se a uma auto-estrada no
ponto A. Os veículos provenientes da auto-estrada chegam a A, a uma taxa
média de 10 por minuto, e os provenientes da estrada secundária a uma taxa
média de 4 por minuto. Supondo que em ambos os casos a distribuição
Poisson é aplicável e que o número de veículos que passam por A vindos da
auto-estrada é independente do número de veículos que passam em A vindos
da estrada secundária, calcule:
1. A probabilidade de o número de veículos que passam em A durante um
minuto, vindos da auto-estrada, ser superior a 12.
2. A probabilidade de passarem por A, exactamente 7 veículos durante
um minuto, provenientes da estrada secundária.
3. A probabilidade de durante um minuto não passar por A qualquer
veículo.
Exercício 2.18 Seja X o número de avarias que ocorre por hora num certo
dispositivo, com distribuição Poisson tal que P (X = 1) = P (X = 2).
1. Determine o número médio de avarias que ocorrem por hora de funcionamento no dispositivo referido.
2. Qual a probabilidade de que ocorram quanto muito 4 avarias em meia
hora?
3. Admita que para a montagem de um determinado aparelho são necessários
5 dispositivos dos referidos no enunciado. Qual a probabilidade de que
nenhum deles se avarie num período de 15 minutos?
Exercício 2.19 Seja X uma v.a. com distribuição Poisson que representa
o número de carros pedidos diariamente a uma empresa que possui 3 para
alugar. A percentagem de dias em que a procura é nula é 13.53.
1. Determine a probabilidade do número de carros procurados diariamente ser superior à média.
2. Para um período de 100 dias, determine o número esperado de dias em
que ficam encomendas por satisfazer.
Exercício 2.20 O número de pessoas que semanalmente apresenta um pedido de emprego no Centro de Emprego de Setúbal é uma variável aleatória
que segue uma distribuição Poisson com E[X] = 9. Cerca de 80% das pessoas
pretendem trabalhar no sector dos serviços.
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1. Qual a probabilidade de em determinada semana não aparecerem mais
de 4 pedidos no centro de emprego?
2. Tendo seleccionado 12 dos pedidos recepcionados, qual a probabilidade
de se encontrarem mais de 7 dirigidos a sectores que não o de serviços?
Exercício 2.21 Um contentor contém 10000 partículas. A probabilidade
de, num certo intervalo de tempo uma dessas partículas sair do contentor é
0.0004. Assumindo que o comportamento de cada partícula é independente
do comportamento das restantes, qual a probabilidade de exactamente 5
dessas partículas escaparem do contentor, nesse intervalo de tempo?
Exercício 2.22 Numa cidade existe uma capacidade hoteleira de 400 quartos. A probabilidade de uma pessoa procurar um quarto de hotel nessa
1
cidade, durante a época considerada baixa, é de 200
. Calcule o número máximo de quartos necessários durante um fim de semana (2 dias) da época
considerada baixa para albergar todas as pessoas que o desejem com uma
probabilidade de 0.95.
Exercício 2.23 A probabilidade de uma pessoa morrer de uma certa doença
respiratória é 0.002.
1. Determine a distribuição da v.a. que representa o número de doentes
que morrem em 2000 infectados por essa doença.
2. Em 2000 infectados qual o número esperado de doentes que irão morrer?
3. Calcule a probabilidade de morrerem 5 doentes dos próximos 2000 infectados.
Exercício 2.24 Estatísticas realizadas no campo da saúde revelam que uma
doença de tratamento dispendioso afecta 1 em cada 5000 pessoas. Baseada
nestas estatísticas, uma seguradora decidiu criar um seguro para cobrir as
despesas desse tratamento. Num certo ano a seguradora tem em carteira
3000 apólices deste tipo.
1. Determine a probabilidade de nenhuma das pessoas seguradas contrair
a doença nesse ano.
2. Sabendo que nesse ano já foi registada pelo menos uma participação
à seguradora, calcule a probabilidade de não se verificarem mais de 3
participações até ao final do ano.
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Exercício 2.25 Sabe-se que 3% das lâmpadas eléctricas fabricadas por uma
companhia são defeituosas. Designe por X a v.a. que representa o número
de lâmpadas com defeito existentes numa amostra de 100.
1. Diga, justificando, qual a distribuição de X.
2. Calcule:
(a) P (X = 5).
(b) P (1 < X < 3).
(c) P (X ≥ 5).
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Soluções
2.1: −.
2.2.1a: 0.623. 2.2.1b: 0.6846. 2.2.1c: 0.2668. 2.2.1d: 0.4482. 2.2.1e: 1.
2.2.2a: 0.4. 2.2.2b: 9. 2.2.2c: 8.
2.3.1: 0.2621. 2.3.2: 0.0001355. 2.3.3: 0.0989.
2.4.1: 0.1550 (usando p ≈ 0.15 tem-se 0.1298). 2.4.2: 0.2248 (usando
p ≈ 0.15 tem-se 0.1798). 2.4.3: 0.9303 (usando p ≈ 0.15 tem-se 0.95).
2.5.1: −. 2.5.2: 0.0238. 2.5.3: 713.
2.6.1: 0.2276 (usando p ≈ 0.35 tem-se 0.2377). 2.6.2: 0.999983 (usando
p ≈ 0.35 tem-se 0, 9999). 2.6.3: 0.0034 (usando p ≈ 0.35 tem-se 0.0048).
2.7.1: 0.9536. 2.7.2: 60. 2.7.3: n ≤ 5.
2.8.1: 13 . 2.8.2: 226667 unidades monetárias. 2.8.3: 0.0867 (usando
p ≈ 0.35 tem-se 0.0725).
1
2.9.1: 15
. 2.9.2: −. 2.9.3: 12 . 2.9.4: 0.0041 (usando p ≈ 0.35 tem-se
0.0053).
5
2.10.1: 12 . 2.10.2: −. 2.10.3: E[X] = 32 , V [X] = 12
. 2.10.4: 0.375.
5
2
1
2.11.1: 36 . 2.11.2: E[X] = 3 , V [X] = 18 . 2.11.3: 0.3125.
2.12.1a: 0.3007. 2.12.1b: 0.3504. 2.12.1c: 0.1637. 2.12.1d: 0.1687.
2.12.1e: 0.7904. 2.12.2a: 7.1. 2.12.2b: 3.4. 2.12.2c: 6.5.
2.13.1: 0.0821. 2.13.2: 0.2565. 2.13.3: 0.8912. 2.13.4: 0.0142.
2.14.1: 3000. 2.14.2: 0.3528.
2.15.1: 0.1429. 2.15.2: 4. 2.15.3: 2. 2.15.4: 1 ou 2. 2.15.5: 1.782.
2.15.6: 0.2177.
2.16.1: 0.4405. 2.16.2: 0.0062.
2.17.1: 0.2084. 2.17.2: 0.0595. 2.17.3: 0.
2.18.1: 2. 2.18.2: 0.9963. 2.18.3: 0.0821 (usando p ≈ 0.4 tem-se 0, 0778).
2.19.1: 0.3233. 2.19.2: 14.29.
2.20.1: 0.0550. 2.20.2: 0.0006.
2.21: 0.1563.
2.22: 7.
2.23.1: X ∼ B (2000, 0.002). 2.23.2: 4. 2.23.3: 0.1563.
2.24.1: 0.5488. 2.24.2: 0.9925.
2.25.1: X ∼ B (100, 0.03). 2.25.2a: 0.1008. 2.25.2b: 0.2240.
2.25.2c: 0.1847.
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