APOSTILA 2015
DESENHO GEOMÉTRICO
PROFESSOR: DENYS YOSHIDA
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
1
Sumário
1.Pirâmide............................................................................................................3
1.1 Elementos de uma pirâmide..........................................................................3
1.2 Classificação da pirâmide...............................................................................3
1.3 Pirâmide regular.............................................................................................4
1.4 Áreas e Volumes............................................................................................4
1.5 Tetraedro regular............................................................................................6
1.6 Tronco de pirâmide.........................................................................................9
1.7 Tronco de pirâmide regular ...........................................................................9
2. Cilindro...........................................................................................................11
2.1 Cilindro circular reto....................................................................................11
2.2 Cilindro circular equilátero...........................................................................12
2.3 Áreas e volumes..........................................................................................12
3. Cone..............................................................................................................15
3.1 Elementos de cone......................................................................................15
3.2 Classificação do cone..................................................................................15
3.3 Áreas e Volumes..........................................................................................16
3.4 Tronco de cone............................................................................................19
3.5 Elementos do tronco....................................................................................20
3.6 Áreas e Volume do tronco...........................................................................20
4.Esfera..............................................................................................................22
4.1 Área da superfície esférica (S)....................................................................22
4.2 Volume da esfera (V)...................................................................................22
Referências bibliográficas..................................................................................26
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
2
1. Pirâmide
Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto
V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma
extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de
vértice da pirâmide.
Pirâmide é um poliedro que tem por base um polígono qualquer, e por faces laterais triângulos
que têm um vértice comum. Este ponto é o vértice da pirâmide.
1.1 Elementos de uma pirâmide
Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou
regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por
dois vértices consecutivos da base.
Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo
num vértice do polígono situado no plano da base.
Apótema: É a altura de cada face lateral.
Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.
1.2 Classificação da pirâmide
As pirâmides podem ser classificadas de acordo com o polígono da base.
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
3
Base: triângulo
Base: quadrado
Base: pentágono
1.3 Pirâmide regular
A pirâmide regular é aquela cuja base é um polígono regular e cujas arestas laterais são
congruentes entre si.
Uma pirâmide regular tem as seguintes características:

A projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é centro da base;

As faces laterais são triângulos isósceles congruentes;

O apótema da pirâmide regular é a altura de uma face lateral, relativa à aresta da base.
1.4 Áreas e Volumes
Área da Base ( AB ) – a área da base depende da base de cada pirâmide, logo:
AB = área do polígono da base da pirâmide
Área lateral ( AL )
AL = soma das áreas das faces laterais
Área total ( AT )
AT  AL  AB
Volume (V)
1
V  . AB .h
3
Exemplos:
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
4
1- Uma pirâmide hexagonal regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 3m. Calcule a
área da base, a área lateral e o volume da pirâmide.
A pirâmide hexagonal regular possui como base um hexágono regular que é formado por seis
triângulos equiláteros cujos lados possuem a mesma medida do lado do hexágono. O apótema
da base (m) é a altura de um dos triângulos equiláteros de lado 3m.
 l2 3 
 32 3  27 3 2




I) AB  6
 4   3 2   2 m




2
3 3
27
91
91
  16 
g  4  



4
4
2
 2 
II)
  91  9 91 2
 b.g 
 
AL  6
m
  33.

2
 2 
  2 
2
 27 3


.4 
 A .h 
  18 3m3
III) V   B    2


3
 3 




2- Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 8 cm. Sabendo que a altura
da pirâmide é 3 cm, calcular a área lateral e a área total dessa pirâmide.
Como a base da pirâmide é um quadrado, temos:
m
l 8
  m  4cm
2 2
AB  l 2  8 2  AB  64cm 2
g 2  h 2  m 2  32  4 2  9  16  25  g  5cm
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
5
AFACE 
l.g 8.5 40


 AFACE  20cm 2
2
2
2
AL  4. A FACE  4.20  AL  80cm 2
AT  AB  AL  64  80  AT  144cm 2
1.5 Tetraedro regular
O sólido que possui, no total, quatro faces é chamado tetraedro. O tetraedro é, pois, uma
pirâmide de base triangular. Quando todas as faces do tetraedro são triângulos
equiláteros, ele se diz regular.
Fórmulas do tetraedro regular
Apótema:
Altura:
g
h
Área total:
a 3
2
a 6
3
AT  a 2 3
Exemplo
A aresta de um tetraedro regular mede 12 cm. Calcular a altura e a área total desse
tetraedro.
h
a 6 12 6

 h  4 6cm
3
3
AT  a 2 3  12 2 3  At  144 3cm 2
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
6
Exercícios Propostos
1- Considere uma pirâmide regular de base quadrada. Sabendo que o lado da base mede 12
cm e a altura da pirâmide mede 8 cm, calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
a área da base
o apótema da base
o apótema da pirâmide
a área lateral
a área total
2- Uma pirâmide quadrangular regular possui a aresta da base medindo 12 cm e a altura
medindo 4 cm. Calcule:
a)
b)
c)
d)
a medida do apótema da base
a medida do apótema da pirâmide
a medida da área lateral
a área total da pirâmide
3- Uma pirâmide quadrangular regular tem apótema igual a 9 cm. Sendo o lado da base de 4
cm, calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
a área da base
a área de cada face lateral
a altura da pirâmide
a área lateral da pirâmide
a área total da pirâmide
4- Numa pirâmide regular de base quadrangular, a medida do perímetro da base é 40 cm.
Sabendo que a altura da pirâmide é 12 cm, calcule a área lateral dessa pirâmide.
5- A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 m e de área da base 64
m2 vale em m2:
a) 128
b) 64
c) 135
2
d) 60 5
e) N.D.A
6- Uma pirâmide hexagonal regular possui a aresta da base medindo 8 cm e a altura medindo
6 cm. Calcule:
a)
b)
c)
d)
o apótema da base
o apótema da pirâmide
a área lateral
a área total da pirâmide
7- (ITA-SP) Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 cm e área
da base
64cm 2 .
8- (UnB) Uma pirâmide regular, cuja base é um quadrado de
é igual a
6 6cm de diagonal e cuja altura
2
do lado da base, tem área total igual a:
3
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
7
a) 96 3cm
2
252cm 2
2
c) 288cm
2
d) 84 3cm
2
e) 576cm
b)
9- A base de uma pirâmide de 5 cm de altura é um quadrado de
volume dessa pirâmide.
3cm de lado. Calcule o
10- Numa pirâmide de base quadrada, a altura mede 8 cm e o volume é
medida da aresta da base dessa pirâmide.
200cm 3 . Calcule a
11- Qual é o volume de uma pirâmide quadrangular regular, cuja base está inscrita numa
circunferência de raio 4 cm e cuja altura mede 6 cm. Dado:
l r 2.
12- A pirâmide de Quéops, conhecida como a Grande Pirâmide, tem cerca de 230 m de aresta
na base e altura aproximada de 147m. Seu volume é:
a)
b)
c)
d)
e)
2.590.000 m
2.500.100 m³
2.600.100 m³
2.592.100 m³
N.D.A
13- A aresta de um tetraedro regular mede 2 cm. Calcule:
a) a altura do tetraedro
b) o apótema do tetraedro
c) a área total do tetraedro
14- Um tetraedro regular tem 15 cm de perímetro na base. Determine a medida do apótema e
a área total do tetraedro.
15- Num tetraedro regular, a altura mede
h  2 6cm . Calcule a área total desse tetraedro.
2
16- A área total de um tetraedro regular é 25 3cm . Calcule a medida da altura desse
tetraedro.
17- Num tetraedro regular, a soma das medidas de todas as restas vale 36 cm. Sabendo que
um tetraedro possui 6 arestas congruentes, calcule a altura e área total desse tetraedro.
18- Sabendo que o apótema de um tetraedro regular mede 4 3cm , calcule:
a) a medida da aresta do tetraedro.
b) a altura do tetraedro
c) a área total do tetraedro.
19- Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta 6 cm.
2
20- A base de um tetraedro regular tem área de 3 3cm . Calcule o volume do tetraedro.
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
8
1.6 Tronco de pirâmide
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como
mostra a figura:
O tronco da pirâmide é a parte da figura que foi retirada ao lado.
Base maior do tronco: é a base da pirâmide “original ”ou “primitiva”.
Base menor do tronco: é a seção determinada pelo plano que intercepta a pirâmide. Essa
seção é um polígono semelhante ao da base da pirâmide.
Altura do tronco: É a distância entre os planos das bases.
Faces laterais do tronco: são as regiões limitadas por trapézios.
1.7 Tronco de pirâmide regular
O tronco de bases paralelas obtidos de uma pirâmide regular é denominado tronco
de pirâmide regular.
Num tronco de pirâmide regular:

As arestas laterais são congruentes entre si.

As bases são polígonos regulares semelhantes.
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
9

As faces laterais são trapézios isósceles congruentes entre si.

A altura de qualquer face lateral chama-se apótema do tronco.
O seu volume é dado por:

h
V  . AB  AB  Ab  Ab
3
Onde
AB
= área da base maior e
Ab

= área da base menor.
Exercícios Propostos
21- Um tronco de pirâmide tem como base dois quadrados de lados 4 cm e 10 cm,
respectivamente. A altura do tronco é 6 cm. Calcular o volume desse tronco.
2
2
22- As bases de um tronco de pirâmide têm área de 25m e 16m , respectivamente.
Sabendo que a altura do tronco é 20 m, calcule o volume do tronco.
23- Num tronco de pirâmide, as bases são quadrados de lados 4 cm e 10 cm. A altura do
tronco mede 4 cm e a altura de uma face lateral mede 5 cm. Calcule a área lateral, a área
total e o volume do tronco.
24- É dado um tronco de pirâmide cujas bases são quadrados de lados 16 m e 6 m. A altura de
uma face lateral do tronco mede 13 m. Calcular o volume, a área lateral e a área total
desse tronco.
25- Em São Paulo, no parque do Ibirapuera, há um monumento de concreto chamado
Obelisco, uma homenagem aos heróis de 1932. Esse monumento tem a forma de um
tronco de pirâmide. Suas bases são quadrados de arestas 9 m e 6 m, e a altura é de 72 m.
Qual o volume de concreto usado na construção desse monumento?
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
10
2 Cilindro
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C
de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo
que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a
β.
A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular, limitado
de bases C e C’ ou simplesmente cilindro circular.
2.1 Cilindro circular reto
No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro
circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.
DESENHO GEOMÉTRICO – 3° ANO – ENSINO MÉDIO - 2015
11
O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela
revolução de 360º de uma região retangular em torno de um eixo.
2.2 Cilindro circular equilátero
O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro equilátero. No
cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.
2.3 Áreas e Volumes
Área da Base ( AB )
AB   .r 2
Área lateral ( AL )
AL  2 .r.h
Área total ( AT )
AT  2. AB  AL
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
12
Volume (V)
V  AB .h
Exemplo de Aplicação
Calcular a área e o volume do cilindro equilátero de altura 10 cm.
Num cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base. Temos, então:
h  10cm  2r  10cm  r  5cm
Área lateral
AL  2. .r.h  2 .5.10  AL  100 cm 2
Área total
AT  AL  2 AB  100  2.25  AT  150 cm2
Volume
V  AB .h  25 .10  V  250 cm3
150 cm 2
e o volume é de
250 cm 2 .
Relação entre metros cúbicos e litros:
1m 3  1000l .
A área é de
Exercícios Propostos
26- O raio das bases de um cilindro reto mede 2 cm. Sabendo que a altura mede 10 cm, calcule
a área lateral e a área total do cilindro.
27- O diâmetro da base de um cilindro reto é 12 cm e a altura é 5 cm. Calcule sua área total.
28- A área lateral de um cilindro é
da altura desse cilindro.
20cm 2 . Se o raio da base mede 5 cm, calcule a medida h
29- Qual a altura do cilindro, sendo r = 120m e 800 m2 sua área lateral?
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
13
30- Qual a altura do cilindro, sendo r = 150m e 900 m2 sua área lateral?
31- Sabe-se que a área da base de um cilindro reto é
Calcule a área lateral e a área total desse cilindro.
16cm 2 . A altura desse cilindro é 15 cm.
32- Constrói-se um depósito em forma cilíndrica de 8m de altura e 2m de diâmetro. Determinar a
superfície total do depósito.
2
33- Determine, aproximadamente, quantos cm de alumínio são necessários para fabricar uma
lata de cerveja de forma cilíndrica, com 6,5 cm de diâmetro nas bases e 11,5 cm de altura.
Adote   3,14 .
34- Num cilindro reto, a área lateral é
r do raio das bases. Calcule h e r.
36cm 2 . A medida h da altura é igual ao dobro da medida
35- Determine a área da superfície total de um cilindro equilátero cujo raio das bases mede 8
dm.
36- A circunferência da base de um cilindro mede
24cm e a altura é
1
do diâmetro. Calcule a
6
área da superfície total do cilindro.
37- Calcule o volume de um cilindro circular reto que tem 10 cm de raio e 20 cm de altura.
38- Um cilindro equilátero tem 10 cm de raio. Qual é o seu volume?
39- Um cilindro reto tem
altura do cilindro.
48cm 3 de volume. Se o raio da base é 4 cm, calcule a medida da
40- Quantos metros cúbicos de terra foram escavados para a construção de um poço que tem
10m de diâmetro e 15m de profundidade?
41- Quantos litros comportam, aproximadamente, uma caixa-d’água cilíndrica com 2m de
diâmetro e 70 cm de altura?
42- Um reservatório para álcool tem a forma de um cilindro reto com 11m de altura e 6m de
diâmetro da base. Qual a capacidade, em litros, do reservatório?
43- Consideremos um tanque cilíndrico com 1,6 m de diâmetro e 5 m de altura feito para
armazenar azeite. Se apenas 60% do seu volume está ocupado por azeite, qual a
quantidade de litros de azeite que há no tanque?
44- Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 8 cm de diâmetro e 15 cm de altura.
Quantos ml de cerveja cabem nessa lata?
45- O reservatório, “tubinho de tinta”, de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10
cm de comprimento. Se você gasta
de sua esferográfica durará.
5mm3 de tinta por dia, determine quantos dias a tinta
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
14
3. Cone
Ao estudarmos Geometria nos deparamos com várias situações geométricas,
alguns sólidos possuem origem e fundamentos na sua formação, um deles é o
cone, figura presente no cotidiano.
Dado um círculo de centro O e raio R no plano B, e um ponto P fora do plano. O cone será
formado por segmentos de reta unindo o ponto P aos pontos do círculo.
Outra forma de construir o cone é através da revolução do triângulo retângulo sobre um eixo
vertical.
3.1 Elementos de cone
g: geratriz do cone
h: altura do cone
r: raio da base
v: vértice
3.2 Classificação do cone
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
15
No cone reto podemos aplicar a relação de Pitágoras para o cálculo da geratriz (g), do raio da
base (r) e da altura (h), pois vimos que o cone pode ser formado através da revolução do
triângulo retângulo. Comparando os elementos do cone aos do triângulo retângulo temos:
Geratriz no cone, hipotenusa no triângulo.
Altura no cone, cateto no triângulo.
Raio da base no cone, cateto no triângulo.
Uma importante relação no cone é dada por:
r 2  h2  g 2 , observe a figura abaixo.
3.3 Áreas e Volumes
Área da Base ( AB )
AB   .r 2
Área lateral ( AL )
AL   .r.g
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
16
Área total ( AT )
AT  AB  AL
Volume (V)
V
1
AB .h
3
Exemplo de Aplicação
Calcular a área lateral, área total e o volume do cone equilátero de altura 30 mm.
h  r 3  30  r  10 3
g  2.r  g  20 3
Num cone equilátero, a secção meridiana é um triângulo. Sendo h = 30 mm, decorre que
r  10 3 mm e g  20 3 mm .
Área lateral
AL   .r.g  AL   .10 3.20 3  AT  600 mm2
Área da base


2
AB   .r 2  AB   . 10 3  AB  300 mm2
Área total
AT  AL  AB  AT  600  300  AT  900 mm2
Volume
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
17
1
1
V  . AB .h  V  .300 .30  V  3000 mm3
3
3
Exercícios Propostos
46- A geratriz de um cone circular mede
do raio da base.
5 2 cm. Se a altura do cone é 7 cm, calcule a medida
47- Num cone circular reto, a medida h da altura é igual ao dobro da medida r do raio da base.
Calcule a medida g da geratriz desse cone.
48- Seja um cone circular de raio 18 cm e de altura 24 cm. Calcule a medida da geratriz, a área
lateral e a área total do cone.
49- Um cone circular reto tem 1 m de raio e 3 m de altura. Calcule a área lateral e a área total
do cone. (Use
10  3,1) .
50- Calcule a área lateral e a área total de um cone equilátero de raio 4 cm. (Um cone se diz
equilátero quando g  2.r ).
51- A área lateral de um cone circular reto é
do raio do cone.
15m 2 e a área total é 24m 2 . Calcule a medida
52- Um cone possui diâmetro da base medindo 24 cm, geratriz 20 cm e altura igual a 16 cm.
Determine sua área total.
53- (UFPa) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a área total vale:
a)
b)
c)
d)
e)
52
36
20
16
12
54- Um cone circular reto tem 12 cm de altura e 13 cm de geratriz. Calcule o volume desse
cone.
55- No cone reto a seguir, a geratriz (g) mede 20 cm e a altura mede 16 cm. Determine seu
volume.
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
18
56- Calcule o volume de um cone circular reto em que a altura é igual ao triplo do raio da base.
57- Qual é o volume de sorvete que cabe dentro de um copinho de forma cônica (casquinha),
sabendo que o diâmetro do copinho é 6 cm e sua altura 10 cm.
58- Um copo de caldo de cana, no formato de um cone, tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de
altura. Qual a capacidade desse copo?
59- O volume de um cone circular reto é
Quanto mede a altura desse cone?
18cm 3 . A altura do cone é igual ao diâmetro da base.
60- (Acafe-SC) O volume de um cone circular reto é de
base é:
a)
b)
c)
d)
e)
27dm 3 e a altura é de 9dm . O raio da
4 dm
9 dm
2 dm
5 dm
3 dm
61- (ITA-SEP) Qual o volume de um cone circular reto, se a área de sua superfície lateral é de
24cm 2 e o raio de sua base mede 4 cm?
3.4 Tronco de cone
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada
altura, teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de
Cone.
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
19
Observe que, diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que
uma delas é maior que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o
volume do tronco envolverão a medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral
do cone, também está presente na composição do tronco de cone.
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua
lateral (geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo
de 90º. No caso da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso.
3.5 Elementos do tronco
Base maior do tronco: é a base do cone “original ”ou “primitiva”.
Base menor do tronco: é a seção determinada pelo plano ao interceptar o cone. Essa seção é
um círculo e corresponde a base do novo cone.
Altura do tronco: É a distância entre os planos das bases.
Geratriz do tronco: é um segmento contido em uma geratriz do cone (original), cujas
extremidades são pontos das circunferências das bases.
3.6 Áreas e Volume do tronco
Área da Base Maior ( AB )
AB   .R 2
Área da Base Menor ( Ab )
AB   .r 2
Área lateral ( AL )
AL   .g.R  r 
Área total ( AT )
AT  AB  Ab  AL
Volume (V)
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
20
V
 .h
3

. r 2  r.R  R 2

Exercícios Propostos
62- Defina:
a) tronco de cone
b) altura do tronco
63- Determine o volume de um tronco de cone reto, sabendo que a medida de sua geratriz é 29
cm e que os raios das bases medem 10 cm e 30 cm, respectivamente.
64- Determine a área lateral e a área total de um tronco de cone de raios 1 m e 5 m, e geratriz
medindo 5m.
65- Os raios das bases de um tronco de cone circular reto são 9 cm e 5 cm. Sabendo que a
altura é 5 cm, determine o volume do tronco.
66- Um cone de 10 cm de altura é interceptado, a 4 cm de seu vértice, por um plano paralelo à
sua base, determinando um seção de área 36  m². Determine a razão entre as geratrizes do
cone original e do cone obtido na seção, nessa ordem.
67- Calcule a área lateral, a área total e o volume de um tronco de cone reto cuja geratriz
mede10 cm e os raios das bases medem 8 cm e 2 cm, respectivamente.
68- As áreas das bases de um tronco de cone reto são
volume do tronco é de
25cm 2 e 9cm 2 . Sabendo que o
49cm 2 , calcule a altura do tronco.
69- Um copo tem a forma de um tronco de cone. Suas bases têm diâmetros de 8 cm e 6 cm,
enquanto sua altura é de 10 cm. Qual é o volume máximo de água, em ml, que esse copo
pode conter?
70- (EEM-SP) O raio da base, a altura e a geratriz de um cone reto formam, nesta ordem, uma
3
P.A. Determine esses elementos, sabendo que o volume do cone é de 37,68cm . Adote
  3,14 .
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
21
4.Esfera
Consideremos um ponto O e um segmento de medida r. Denomina-se esfera de centro O e raio
r o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto O é menor ou igual a r.
O conjunto de todos os pontos P do espaço cujas distâncias ao ponto O são iguais a r é
denominado superfície esférica de centro O e raio r.
De uma forma bastante simples, podemos dizer que a superfície esférica é a “casca”, enquanto
a esfera é a reunião da “casca” com o “miolo”.
4.1 Área da superfície esférica (S)
S  4. .r 2
4.2 Volume da esfera (V)
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
22
4
V  . .r 3
3
Exemplos:
1.
Calcular a área de uma superfície esférica de raio 6 cm.
Sendo r = 6 cm, temos:
S  4. .r 2  S  4. .6 2  S  144 cm 2
A área da superfície esférica é 144  cm².
2.
O Raio de uma esfera é 3 m. Calcular o volume dessa esfera.
Sendo r = 3 m, temos:
4
4
4
V  . .r 3  V  . .33  V  . .27  V  36 m 3
3
3
3
O volume da esfera é 36 m³.
Exercícios Propostos
71- Calcule a área de uma superfície esférica de raio 3 cm.
72- Sabendo que a área de uma superfície esférica é
8cm 2 , calcule o raio da esfera.
73- Calcule a área de uma superfície esférica de diâmetro 48 cm.
74- Ache a área de uma superfície esférica, sabendo que a medida de uma circunferência
máxima é de 6dm .
75- Quantos cm
diâmetro?
2
de plástico são usados para fazer um balão de gás que tem 12 cm de
76- Uma bola de borracha tem 40 cm de diâmetro. Quantos
fazer essa bola?
cm 2 de borracha são gastos para
77- Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta 4 cm. Calcule a área dessa superfície
esférica.
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
23
78- Uma esfera está inscrita num cilindro equilátero de raio 4 cm. Calcule a área dessa
superfície esférica.
79- Ache o volume de uma esfera de raio 9 cm.
80- Se uma esfera tem 12 cm de diâmetro, qual é área de sua superfície e o seu volume?
81- O volume de uma esfera é
1372
cm 3 . Calcule o raio dessa esfera.
3
82- Uma bola de basquete tem 30 cm de diâmetro. Qual é o volume de ar que cabe nessa bola?
83- Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de
324cm 2 .
84- Calcule o volume de uma esfera, sabendo que a área de sua superfície é igual a
85- A superfície de uma bolha de sabão, de formato esférico, tem
volume de ar contido nessa bolha?
576 cm².
36 cm² de área. Qual é
86- Sabendo que o diâmetro das esferas do haltere que o Cebolinha esta segurando tem
diâmetro de 18 cm, qual o volume do haltere, desconsiderando o peso do bastão?
87- Uma fábrica de suco de laranja confeccionou suas embalagens em dois formatos: uma
esférica de 8 cm de diâmetro e outra cilíndrica. Sabendo que as duas embalagens têm a
mesma altura e a mesma largura, calcule seus volumes.
88- Num recipiente aberto, em forma de cubo cuja aresta mede 10 cm, existe
500cm 3 de água.
No interior do recipiente é colocada uma esfera que se ajusta perfeitamente a ele. (Temos,
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
24
então, a figura de uma esfera inscrita num cubo.) Haverá derramamento da água? Justifique
a sua resposta.
89- O volume de uma esfera A é
1
do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10,
8
então o raio da esfera A mede:
a) 5
b) 4
c) 2,5
d) 2
e) 1,25
90- Um reservatório de forma esférica tem 9 m de raio. Para encher totalmente esse reservatório
são necessárias 20 horas. Nessas condições, o reservatório recebe água na razão de
quantos
m3 / h ?
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
25
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI JR., José Ruy.
Matemática Fundamental : uma nova abordagem: ensino médio: volume único.
São Paulo: FTD, 2002.
DANTE,Luiz Roberto. Contexto & Aplicações: ensino médio: volume único. São
Paulo: Editora Ática, 2001
DESENHO GEOMÉTRICO – 2º ANO - ENSINO MÉDIO - 2014
26