MENSAGEM FINAL
DEUS ESTÁ FALANDO COM VOCÊ ! ! !
Um homem sussurrou: Deus fale comigo.
E um rouxinol começou a cantar, mas o homem não ouviu.
Então o homem repetiu: Deus fale comigo!
E um trovão ecoou nos céus, mas o homem foi incapaz de ouvir.
O Homem olhou em volta e disse: Deus deixe-me vê-lo.
E uma estrela brilhou no céu, mas o homem não a notou.
O homem começou a gritar: Deus mostre-me um milagre!
E uma criança nasceu, mas o homem não sentiu o pulsar da vida.
Então o homem começou a chorar e a se desesperar:
Deus toque-me e deixe-me sentir que você está aqui comigo...
E uma borboleta pousou suavemente em seu ombro.
O homem espantou a borboleta com a mão e desiludido
Continuou o seu caminho triste, sozinho e com medo.
Prece Indígena
Tradução e adaptação do Livro By San Etioy
Até quando teremos que sofrer para compreender
que Deus está sempre aonde está a vida ???
Até quando manteremos nossos olhos e nossos corações
fechados para o milagre da vida que se apresenta diante
de nós em todos os momentos ???
REFLITA SOBRE ESSAS PALAVRAS ! ! !
2
75
MENSAGEM INICIAL
O MOÇO SONHADOR
(Melcíades José de Brito )
O rapaz tinha a idade de 21 anos e
se apresentava como um belo moço, alto,
moreno, olhos castanhos e gozando de
extraordinária saúde física. Na condição de
filho único fora criado com muito carinho e
proteção por seus pais que, sendo pobres,
não puderam oferecer-lhe todo o conforto
material que desejavam. Mesmo assim, o
moço tinha concluído o curso primário.
De poucas amizades, era visto pela
moçada como introvertido, de gostos
esquisitos. Gostava muito de estar sozinho,
meditativo. Ensaiara alguns namoros com as
jovens da redondeza, as quais facilmente se
apaixonavam por ele, devido a sua beleza
exterior. Ele, porém, não conseguia sentir
aquele sentimento caloroso chamado amor,
e as desprezava sem justificativas
convincentes.
Sentia a
necessidade de conquistar um emprego, ganhar dinheiro.
Ambicionava fazer fortuna, ser famoso, estar em evidência, freqüentar os melhores
clubes e hotéis, ter prestígio e ver seu nome em jornais e revistas. Possuía um dote
raro: era exímio desenhista.
Tamanho era seu sonho de grandeza que ele se deixava passar horas e
horas, somente sonhando e sonhando. Sonhava de olhos abertos mesmo. Sentado
num banco de praça, por exemplo, via um bonito carro trafegar e, ao seu volante,
uma pessoa desconhecida. De imediato pensava: Ah, se fosse eu . . . dirigindo
aquele carro . . . sentado naquele banco macio . . . segurando aquela direção . . .
ouvindo músicas . . . ah ! se fosse eu, se fosse eu !!!
Na praia que freqüentava, não continha seus desejos de grandeza e a cena
se repetia: Ah ! aquela lancha . . . se fosse minha . . . se fosse eu a guiá-la . . . com
aquela jovem ao lado . . . curtindo a ventura do mar . . . tomando um suquinho gelado
. . . ah ! se fosse minha, se fosse eu !!!
E o tempo foi passando e o nosso jovem recusando todas as oportunidades
de serviço que apareciam, porque ofereciam pouco. Queria mais, muito mais. Certa
vez, convidado para ser balconista numa grande loja de confecções, não se conteve
e disse para o dono: Ah ! se essa loja fosse minha . . .
74
3
se eu tivesse a sua sorte . . . se eu ganhasse o que você ganha . . . se morasse na
casa que você mora . . . O dono da loja se apavorou. Se contratá-lo ele vai me
roubar. Nada feito.
Assim levou sua juventude. Sem conquistar um trabalho ou se entregar a um
estudo dignificante, apesar da saúde que possuía.
Quarenta anos depois, eis o quadro que se nos apresenta da vida daquele
moço: 61 anos de idade, com aparência de 90, magro, pobre, solteiro. Sem amigos,
esquecido pelos parentes, doente, muito doente ! Recolhido pela caridade pública
para um leito de hospital da cidade, na condição de indigente.
Foi atendido, horas depois, por um médico plantonista, que se fazia acompanhar de
um jovem acadêmico de medicina, alto, magro, moreno, olhos castanhos, saudável,
que aparentava ter a idade de 21 anos. O nosso herói, dando mostras de a quanto ia
sua tela mental, não se conteve e pensou:
Ah! Meus 21 anos . . . se eu tivesse essa idade . . . se eu tivesse a saúde
desse moço . . . eu também cursaria medicina . . . se eu tivesse, . . . se eu fosse, . . .
eu estaria, . . . eu faria.
Esqueceu que, quando tinha aquela idade, não se dispôs a fazer o que agora
imaginava. De tanto sonhar, sem nada fazer, PASSOU pela vida, NÃO VIVEU, não
venceu, não progrediu. Foi uma existência perdida, porque viveu mentalmente a vida
dos outros, e não a sua.
NÃO DEIXE QUE O TEMPO PASSE E QUANDO SE DER CONTA
NÃO TENHA SAÍDO DO MESMO PONTO !
Seu melhor momento é AGORA. A vida feliz é uma conquista que se realiza
passo a passo. É necessário que você sonhe, que deseje, que trace uma meta que
quer atingir. Importa até que esta meta seja ambiciosa e distante do ponto em que
você se encontra hoje. Afinal, quem não sabe aonde quer chegar, não vai a lugar
algum.
Mas não deixe que as pequenas dificuldades tolham seu desejo de crescer e
prosperar. Não queira começar do ponto de chegada. COMECE AGORA, do ponto
em que você se encontra. Tudo que você deseja ardentemente VOCÊ É CAPAZ de
fazer e conquistar. Uma coisa é verdade: a sua vida é a sua vida. Não queira moldar
sua vida à moda da vida alheia. Os valores dos outros, pertencem aos outros. Assim
como as dificuldades deles, que você não vê e que eles aprenderam a vencer.
4
73
58.(Unifor-CE) Os pontos D, E, F e G dividem os lados CA e AB , do triângulo retângulo ABC,
em três partes congruentes, conforme mostra a figura abaixo.
Se S é a área do triângulo ABC, então
a área da região sombreada equivale
a:
8
7
2
a) S b) S
c) S
9
9
3
d)
5
S
9
e)
4
S
9
59. Na figura abaixo, E é o ponto médio de AB, F é o ponto médio de AC e BR = RS = SC. Se a
área do triângulo ABC é 252, qual é a área do pentágono AERSF?
HISTÓRICO
O IRRACIONAL
, O MAIS CÉLEBRE DOS NÚMEROS.
O estudo das medidas numa circunferência remonta à Antigüidade. Já na Bíblia há
referências à relação entre as medidas do perímetro e do diâmetro de uma circunferência.
Numa
passagem,
conta-se que o rei Salomão
CINCO
mandou que um artesão de
CÔVADOS
DEZ
CÔVADOS !
!
nome Hirão, especialista em
trabalhos de bronze, fizesse um
trabalho num templo em
Jerusalém, construído entre
1014 e 1007 a.C. No versículo
O CÔVADO ERA A
23, consta a descrição de um
UNIDADE DE COMPRIMENTO
ADOTADA NA ÉPOCA.
tipo de reservatório de forma
TRINTA
circular:
CÔVADOS !
E ele passou a fazer o
mar de fundição de dez
côvados de uma borda à sua
outra borda, circular em toda a
volta, e sua altura era de cinco
côvados e requeria um cordel
de
trinta
côvados
para
circundá-lo em toda a volta.
Interpretando o texto:
“[...] dez côvados de borda a borda [...]
diâmetro = 10
[...] e requeria um cordel de trinta côvados para circundá-lo em toda a volta” .
perímetro = 30
De acordo com a Bíblia, o perímetro da circunferência é igual a 3 vezes a medida do
diâmetro.
C
C = 3d ou: a razão entre o perímetro C e o diâmetro d é:
3
d
Portanto, é de supor que se soubesse, já há alguns milênios, que a razão entre o
perímetro e o diâmetro de uma circunferência é um número constante, ou seja: que tem
sempre o mesmo valor.
O problema que se colocou daquela época até nossos dias foi o de determinar um
valor mais preciso desse número constante.
72
5
56.Um jardineiro deve construir um canteiro com a forma de um setor circular. Ele dispõe de
360 m de fio, para cercá-lo, dando 3 voltas, conforme indica a figura:
Qual deve ser o raio do setor para que a área do
canteiro seja a maior possível ? Qual a área máxima ?
O símbolo usado para designar a constante obtida pela razão entre a
medida do contorno de uma circunferência e seu diâmetro é a letra regra ,
inicial da palavra contorno, escrita em grego:
o . Foi popularizado pelo
matemático suíço Leonhard Euler, em 1737.
Num papiro egípcio, atribuído ao escriba Ahmes, o valor da área de um círculo é
calculado a partir da fração 256 , ou seja,
3,16.
81
Os povos da Mesopotâmica Antiga usaram
=
25
para calcular a área do círculo.
8
22
como valor para a constante .
7
Arquimedes foi um pouco mais longe e calculou que o verdadeiro valor de
número que satisfaz a seguinte desigualdade:
Arquimedes usou a fração
220
70
é um
223
71
Geômetras chineses encontraram uma fração que dava um valor ainda mais preciso
para :
=
57.(ITA-SP) Nesta figura, temos um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r
e 6 outras semicircunferências com centros nos pontos médios dos lados do hexágono e
cujos diâmetros são iguais ao lado do hexágono. Calcule a área da superfície destacada.
355
113
Foi somente em 1761 que o francês Lambert provou que é um número irracional,
ou seja, tem uma expansão decimal infinita, e não periódica.
Em 19/11/89, os japoneses Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura, da Universidade de
Tóquio, calcularam o número pi com 1 073 740 000 decimais, auxiliados por um potente
computador.
O matemático Malba Tahan mostra, em seu livro Maravilhas da Matemática, uma
forma de decorar uma aproximação de “pi” com 10 casas decimais, através da frase:
Sim, é útil e fácil memorizar um número grato aos sábios.
3, 1 4 1
5
9
2
6
6
5
3
6
71
54. O polígono eqüilátero côncavo representado na figura tem lado de medida igual a
e o ângulo mede 120°.
a)
b)
1 cm
Determine o raio da circunferência circunscrita.
Determine a área do polígono.
Uma vez que é um número irracional e só é possível trabalhar com aproximações,
não é necessário memorizar mais do que 2 ou 4 casas decimais, pois para a maioria das
atividades escolares o valor
= 3,14 satisfaz às exigências impostas pelas condições dos
problemas.
Para , que é o que comporta o visor de uma calculadora comum.
Aqui tem-se o irracional
com 1 000 casas decimais.
= 3.+
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4551520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8152061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
55.(U.F.ES-82) A figura sombreada abaixo é limitada por semicircunferências e está inscrita
num quadrado de lado  = 2 m. Sua área vale:
Algumas calculadoras têm uma tecla que dá o valor de .
Porém, a maioria das calculadoras simples não têm esta tecla.
Para obter um aproximação de basta efetuar certas divisões.
Escolha o valor que melhor interessar:
Bíblia:
=3
Ptolomeu:
=
Mesopotâmia:
Zu Chongzhi (430 – 501):
377
Aryabhata (460 - ?):
25
8
Liu Hui (séc. III):
=
Brahmagupta (aprox. 628):
70
355
113
Papiro Rhind (aprox. 1700 a.C.):
120
=
=
3927
Arquimedes:
1250
=
10
7
=
=
22
7
157
200
e depois
256
=
. d
81
2
220
223
70
71
A quadratura do círculo
Um dos problemas matemáticos mais famosos da
Antigüidade é o da quadratura do círculo. Ele consiste em
tentar construir um quadrado com a mesma área de um círculo
dado.
2
Os
R2

antigos
R
se R 1
dispunham
de
52.Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determine
o retângulo de área máxima sabendo que a base do retângulo está sobre a base do
triângulo.
então 
métodos
construções com régua e compasso. O valor de
baseados

em
só pode ser
obtido por aproximações. Assumindo = 3,14 tem-se  =
= 1,772, que é um número irracional.
Somente no início do século XIX se provou a
impossibilidade de se construir co régua e compasso um
quadrado com área exatamente igual à de um círculo. O
número
não é construtível.
Curiosidades
 Acredite se quiser: um japonês se especializou em decorar
o número com milhares de casas decimais.

53.Seja dado um segmento de reta AB de medida 4a e ponto médio M. Constroem-se dois
semicírculos com centros nos ponto médios de AM e MB e raios iguais a a. Com centros
respectivamente em A e B, raios iguais a 4a, e descrevem-se os arcos BC e AC. Calcule a
área da figura assim construída.
Para poder obter o símbolo a partir do teclado de um
computador, deve-se teclar Alt (segurando), seguido dos
dígitos 277 (Alt + 277).
Texto extraído e adaptado do Livro: Matemática Atual - 8ª Série; Editora Atual.
Autor: Antônio José Lopes Bigode.
8
69
50.(FUVEST-SP) Um trapézio isósceles está circunscrito a uma circunferência de raio 2 e tem
um ângulo agudo de 60º. Determine a área do trapézio.
51.(EPCAR) Na figura, tem-se um hexágono regular inscrito em um círculo de raio r. Têm-se
também 6 arcos de círculo com centros nos vértices do hexágono e cujos raios são iguais
ao lado do hexágono.
Calcule a área da rosácea.
68
9
49.Considere o quadrante de raio R da figura. Calcule a área da região assinalada.
10
67
48.(CICE-70) Na figura abaixo, r é o raio do círculo maior e t é o comprimento da tangente AB
comum aos dois círculos menores. Então, a área assinalada compreendida entre o círculo
maior e os dois menores é:
A
B
ÍNDICE
Página
66
01- Relações métricas na circunferência
Comprimento da circunferência
13
02 - Comprimento de um arco
15
03 - Relações métricas no círculo
20
04 - Potência de um ponto em relação à circunferência
21
05 - Polígonos regulares inscritos e circunscritos
24
06 - Relações métricas nos polígonos regulares inscritos
29
11
46. (MAUÁ-SP) Dado o hexágono regular (ABCDEF) de lado L:
a) calcule a distância do vértice C à diagonal AE, em
função de L.
b) ainda em função de L, calcule a área do quadrilátero
(ACDE).
47.(IME-67) Calcule a área da região hachurada em função de r.
12
65
44.(FCMSC-SP) Na figura a seguir, considere o segmento a = 2m.
sombreada é igual a:
A área da superfície
RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO
01. RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
 COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
Tomemos um disco e uma reta graduada.
Marquemos um ponto A no disco e façamos coincidir esse ponto com o zero da reta
graduada.
Façamos girar o disco sobre a reta graduada.
45.Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, o triângulo ABC é retângulo isósceles e os
segmentos BC e CD são congruentes. Calcule a medida do ângulo x em graus.
Comprimento da Circunferência
Quando o ponto A toca de novo a reta graduada, lemos nela o número que coincide
com A. Esse é o comprimento da circunferência.
64
13
Se você “desenrolar” uma circunferência de raio r, prendendo uma das “pontas”:
41.Na figura abaixo, sendo o
ADEF.
ABC eqüilátero de lado , determine a área do quadrado
Circunferência Retificada
A medida do segmento da reta obtido é o comprimento da circunferência.
Sabendo que duas circunferências quaisquer são semelhantes entre si.
42.A razão entre as áreas de dois pentágonos regulares é 4/9. Sabendo que o lado do
pentágono maior mede 6 cm, calcule a medida do lado do pentágono menor.
43.(UEM – PR) Na figura abaixo, o círculo está inscrito no triângulo retângulo ABC. Sejam P,
Q e R pontos de tangência do círculo com o triângulo. Sabendo que CR mede 6 cm
e que AP mede 4 cm, quanto é a medida da área interna ao triângulo e externa ao
círculo, em centímetros quadrados ?
C1
C2
2 R1
2 R2
C1
2 R1
C2
2 R2
cte

3,1415926
..

.
Generalizando :
C
2R
14
63
39.(PUC) No triângulo AED da figura, AE = 4 m, DE = 6 m e AÊD = 120°. A medida da área do
quadrado ABCD, em metros quadrados, é:
a)
b)
c)
d)
e)
02. COMPRIMENTO DE UM ARCO CIRCUNFERÊNCIA
“O comprimento de um arco de circunferência (  ) é proporcional à sua medida ( )”.
56
60
66
70
76
Para
em graus
360 º
º
Para
2 rad
rad
40. Determinar a área de um trapézio sabendo que seus lados paralelos são formados por
duas cordas situadas num mesmo semicírculo de 8 cm de diâmetro, e que uma das cordas
é o lado de um hexágono regular inscrito e a outra o lado um triângulo eqüilátero inscrito
no círculo.
62
2 R


R
180
em radianos
2 R

 R
EXERCÍCIOS
01. As rodas dianteiras de um caminhão tem 50 cm de raio e dão 25 voltas no mesmo tempo
em que as rodas traseiras dão 20 voltas. Determine o diâmetro das rodas traseiras.
15
02. Uma pista circular está limitada por duas circunferências concêntricas cujos
comprimentos valem respectivamente 3000 m e 2400 m. Determine a largura da pista.
37.Considere os círculos tangentes da figura abaixo, cujas tangentes comuns exteriores
formam um ângulo de 60º. A razão entre as áreas do menor e do maior círculo é:
03. Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo central , sabendo que os arcos AB e CD
possuem comprimentos, respectivamente de, 100 cm e 80 cm, e que CA = DB = 25 cm.
38.A altura deste trapézio é 4. Calcule a diferença entre as áreas dos triângulos BOC e AOD.
04. (CESGRANRIO-RJ) O comprimento da circunferência inscrita num quadrante de circulo de
raio 2 vale:
16
61
35.(FATEC-SP) Na figura abaixo, os arcos BD são arcos de circunferências de centros em A e
C. A área da região hachurada, em cm2, é:
05. Na figura abaixo determinar o comprimento da circunferência maior em função do raio r
das circunferências menores.
a) 25 3
2
b) 25
r
3
c) 25
R
6
d) 25 (2 - 3 3 )
r
6
r
e) 25 (2 - 3 3 )
12
36.A razão entre os apótemas de dois decágonos regulares é 2/5. Sabendo que a área do
menor é 24cm2, calcule a área do polígono maior.
06. (UNICAMP-SP) Para calcular o raio da circunferência terrestre, o sábio Eratóstenes valeuse da distância conhecida de 800 Km entre as localidades de Alexandria e Siena, no Egito
(A e S, respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que quando
em Siena os raios solares caiam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de
7,2º com a vertical. Calcule com esses
dados, o raio da circunferência terrestre.
A
S
O
60
17
07. (UM-SP) A, B, C, D, E e F são vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência
de raio 5. Então a soma dos comprimentos de todos os arcos da figura é:
a)
b)
c)
d)
e)
33.AB é o diâmetro do semicírculo de centro 0 e raio 2 cm. Calcule a área do triângulo COB.
30
30
15
15
6
08. (CESGRANRIO) Os centros das três polias de um mecanismo estão sobre os vértices de um
triângulo eqüilátero de lado  . O diâmetro de cada polia mede  , como sugere a figura.
O comprimento da correia que movimenta as polias é:
a) ( + 3) 
b) (2 + 3) 
c) ( + 6) 
(
6)
d)
2
e) 6 
18
34.(Univali-SC) Na figura abaixo ABCD é um losango de 4 3 dm de lado. A área da parte
sombreada em dm2, é:
a) 3(3 - 8)
b) 48 - 9
c)
3(8 3 - 3 )
d)
15( -
e)
12(2 3 - )
3)
59
31.Um triângulo ABC tem lados AB = 5, AC = 6 e BC = 7. Calcule:
a) a área desse triângulo.
b) a medida da maior das alturas.
c) o raio r da circunferência inscrita.
d) o raio R da circunferência circunscrita.
09. Na figura abaixo, determinar o comprimento da corrente que envolve as duas rodas,
sabendo que o raio da roda menor mede 2cm e o raio da roda maior 4cm e a distância
entre os centros das duas rodas mede 12cm.
32.(UMC-SP) Um quadrado está inscrito em um setor de 90º e raio R. A área da região
destacada é:
58
19
Conclusão: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao
quadrado da razão de semelhança.
03. RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO
 RELAÇÕES ENTRE DUAS CORDAS
Observação:
Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo, o produto das medidas dos
dois segmentos determinados sobre essas cordas é igual ao produto das medidas dos
segmentos determinados sobre a outra.
Pelo caso AA de semelhança de triângulo, temos:
APD
AP
CP
A propriedade acima é extensiva a quaisquer superfícies semelhantes e, por isso,
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão
de semelhança.
CPB
DP
BP
EXERCÍCIOS
ou
30.Calcular as áreas das figuras sombreadas:
(relação corda-corda)
PA . PB = PC . PD
vale:
a)
 RELAÇÃO ENTRE DUAS SECANTES
b)
Quando duas secantes se cortam externamente a um círculo o produto da medida da
secante inteira pela medida de sua parte externa é igual ao produto da medida da outra
secante pela medida de sua parte externa.
Temos: PAD
AP
CP
PCB
DP
BP
ou
c)
PA . PB = PC . PD
20
(relação secante-secante)
57
 ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR
 RELAÇÃO ENTRE UMA SECANTE E UMA TANGENTE
Asegmento = Asetor - Atriângulo
Pelo caso AA de semelhança de triângulo, temos:
PAC
PA
PC
PC
PB
PCB
ou
PC2 = PA . PB
11. RAZÃO ENTRE ÁREAS DE FIGURAS SEMELHANTES
Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes
04. POTÊNCIA DE UM PONTO EM RELAÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA
ponto P.
Considerando várias secantes e uma circunferência, todas passando pelo mesmo
PA . PB
Área do triângulo ABC = S1
ABC ~
S1
S2
b1
b2
A' B' C'
1
b1 h1
2
1
b 2 h2
2
b1
h
. 1
b2
h2
k . k
PA1. PB1
PA2 . PB2 = ... = constante.
Área do triângulo A’ B’ C’ = S2
h1
h2
k
k2
(r azão de semelhança )
S1
S2
k2
Essa constante é chamada potência do ponto P em relação à circunferência. Indica-se
pot(P).
Assim:
56
Pot(P) = PA . PB
21
ÁREAS DAS PARTES NOTÁVEIS DO CÍRCULO
Como a potência de um ponto não depende da direção da secante, vamos considerar uma
secante à circunferência passando pelo seu centro.
 ÁREA DA COROA CIRCULAR
Área da coroa circular
Acoroa = R2 - r2
r
R
Acoroa = (R2 - r2)
Seja:
d
a medida de P ao centro O.
r
a medida do raio da circunferência.
Pot(P) = PA . PB . Como PA
Pot(P) = (d + r) (d - r)
d r
e
PB
d r , temos:
 ÁREA DO SETOR CIRCULAR
Dados
Pot (P) = d2 - r2
em graus e R, fazemos a regra de três:
360º ____________
R2
º _____________ S
EXERCÍCIOS
Dados
rad ___________ S
a)
R2
360
em radianos e R, fazemos:
2 rad __________
10. Determine o valor de x nas figuras abaixo:
Asetor =
R2
Asetor =
R2
2
b)
Se ℓ e R são dados em medidas lineares, fazemos:
2 R _________ R2
ℓ __________ A
22
Asetor =
R
2
55
ℓ
OUTROS MÉTODOS INTUITIVOS PARA SE OBTER A ÁREA DO CÍRCULO
c)
d)
Pelo visto do círculo é igual a área do triângulo de base 2 r e altura r.
11. Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam
essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda
R
AF
da
circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3
e AG = 6, então GF vale:
R
Pelo visto, a área do círculo é igual à metade da área de um retângulo de base C a
de altura r, ou seja:
54
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
4
5
23
12. Na figura, calcule pot A + pot B + pot C.
10. ÁREA DO CÍRCULO
Consideremos uma circunferência de centro 0 e raio r.
Suponhamos que nela inscrito um polígono regular de n lados, cujo apótema mede a
e cujo perímetro é 2p.
Quando n cresce indefinidamente, a superfície do polígono cresce também,
mantendo-se, porém, menor que o círculo. Nesse caso, o polígono aproxima-se cada vez mais
da circunferência,e o apótema do polígono tende a confundir-se com R.
05. POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
Um polígono é regular quando tem todos os seus lados e ângulos respectivamente
congruentes entre si.
Exemplos:
Quando maior o número de lados de um polígono regular, mais o perímetro se
aproxima do comprimento da circunferência, e a medida do apótema se aproxima da medida
do raio da circunferência.
Resumindo:
Triângulo Equilátero
Quadrado
Hexágono Regular
Quando n tende a
aumentar
indefinidamente
an tende a R
 POLÍGONO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA
Quando dividimos uma circunferência em n partes iguais e unimos um a um esses
pontos de divisão, obtemos um polígono regular de n lados, inscrito na circunferência.
Pn n . n tende a 2 R
e
An =
1
1
Pn an tende a A =
(2 R) . R = R2
2
2
Portanto, a área do círculo é dada por:
ACIR = R2
24
53
Sendo um polígono regular dividido em n triângulos congruentes,
A PR
Como
nA T
n
A PR
n .
2p,
 . a
2
temos :
n .  . a
2
A PR
2 pa
2
A PR
pa
Observemos as circunferências de figuras, nas quais se inscrevem vários polígonos
regulares:
onde :
p
semiperíme tro
a
apótema
Triângulo
Quadrado
Hexágono
Decágono
 POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UMA CIRCUNFERÊNCIA
 ÁREA DO HEXÁGONO REGULAR
Dividimos em 6 triângulos
De outra forma, se pelos n pontos de divisão traçarmos as retas tangentes à
circunferência, obteremos um polígono regular de n lados, circunscrito à circunferência.
Transformamos em um paralelogramo
Observemos as circunferências de figuras, nas quais circunscrevemos vários polígonos
regulares:
AHEX
52
32 3
2
25
 ELEMENTOS DE UM POLÍGONO REGULAR
No polígono regular da figura temos:
O . . . centro
Assim:
Área (fig. I) =
OA
R . . . raio
AÔB
360º
. . . ângulo central
n
A área da fig. II, como já sabemos, é dada por:
Área (fig. II) = D x d
diagonal menor
diagonal maior
AB n . . . lado
OM
06. RELAÇÕES
INSCRITOS
MÉTRICAS
Ar ea (fig. II)
2
NOS
POLÍGONOS
 O QUADRADO INSCRITO
REGULARES
(OU ÁREA DO POLÍGONO REGULAR)
medida do lado do polígono r egular .
a
medida do apótema do polígono r egular .
n
númer o de lados do polígono
2p
per ímetr o do polígono.
medida do lado do quadrado inscrito.
medida do apótema do quadrado inscrito.
Observe que a diagonal do quadrado é o diâmetro da
circunferência circunscrita.
O
N
C
an
4 .
2
2R
4 = R 2
A
.
B
n
26
D.d
2
09. ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR UM POLÍGONO REGULAR
Indicamos
Vamos indicar por:
4
A LOS
a n . . . apótema

a4
Logo:
51
07. ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR UM TRAPÉZIO
E observe que o dobro do apótema é igual ao lado do quadrado.
(OU ÁREA DO TRAPÉZIO)
2a4 = ℓ4
fig. 1
fig. 2
Vemos que área (fig. 1) =
R 2
2
area (fig.2)
.
2
Vamos indicar por:
6
a6
altura
soma das bases
(B b).h
2
a4
 O HEXÁGONO REGULAR
Como área (fig. 2) = (B + b) . h , temos que:
área da (fig. 1) =
2a4 = R 2
A TRAP
ou
(B b).h
2
medida do lado do hexágono regular.
medida do apótema do hexágono regular.
O AOB é eqüilátero, então
6
R
08. ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR UM LOSANGO
(OU ÁREA DO LOSANGO)
O apótema do hexágono regular é a altura deste triângulo.
Vamos calcular a área da região limitada pelo losango da figura I.
a6
fig. 1
6 3
2
a6
R 3
2
fig. 2
50
27
 O TRIÂNGULO EQUILÁTERO
De p(p – a) ( p – b) (p – c) = A2 , temos:
Vamos indicar por:
3
medida do lado do triângulo equilátero.
a3
medida do apótema do triângulo equilátero.
AT
3
2R
a)(p
b)(p
c)
2R
3
2
3
p(p
 TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Pela lei dos Senos:
3
sen 60
=
h
 3
2
S=
a3
R 3

2
 3
1
.  .
2
2
AT
2 3
4

Como o ∆ABC é eqüilátero AM mediana e o ponto O é o baricentro, então:
 TRIÂNGULO RETÂNGULO
a3
R
1
2
2a 3
R
a3
28
R
2
AT
49
bc
2
FÓRMULA DE HERÃO
07. POLÍGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS
Vamos colocar aqui uma demonstração da fórmula de Heron para o cálculo da área
de um triângulo, conhecidas as medidas a,b e c de seus três lados:
Sabemos que:
p=
a
b
2
c
e
A = a.h
2
Queremos mostrar que:
Indicamos:
AT =
p(p
a)(p
b)(p
c)
 n = medida do lado do polígono regular inscrito
an = medida do apótema do polígono regular inscrito
Ln = medida do lado do polígono regular circunscrito
p
(a b) c
2
p (p - a) ( p - b) ((p - c)
a2
b2
2ab - c2
.
4
x2
y2
2xy
h2
x2
c2 - b2 - a2
4
p-c
ab
2xy
4
ax
2
2ab
ab - ax
.
2
.
2ab - h2 - y 2
- 2x 2 - 2xy
4
An = medida do apótema do polígono regular circunscrito (observe que An = r)
p-b
c (b - a)
2
c - (b - a)
2
2ba
4
2x 2
p-a
(a b) - c
2
.
Sabemos que os polígonos regulares inscrito e circunscrito, com o mesmo número de
lados, são semelhantes; então, os lados e os apótemas são proporcionais.
h2
2ab
y2
ab
h2 - x 2 - x 2 - y 2 - 2xy
4
x (x
2
y)
a 2 (b2 - x 2 )
4
a (b x)
a (b - x)
.
2
2
48
.
ab - x (x
2
a 2 . h2
4
2ab
y)
ah
2
2
A
2
Ln
n
Daí:
29
R
an
EXERCÍCIOS
 TRIÂNGULO CIRCUNSCRITO
13. Obter os lados do triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular circunscritos.
Área do triângulo em função dos
lados e do raio r da circunferência inscrita.
AT = pr
raio da circunferência inscrita
semi-perímetro
 TRIÂNGULO INSCRITO
Inscritos
RESUMINDO:
Circunscritos
lado
apótema
lado
apótema
R. 2
R 2
2
2R
R
Pela figura, temos:
D̂
BCD
BC
2
é retângulo ( Ĉ é reto)
R
R
Quadrado
Â
sen D =
a
2R
senA
a
2R
No ABC, pelo teorema da área, temos:
Hexágono
Triângulo
Equilátero
R
R. 3
R. 3
2
2R. 3
3
R
R
2
2R. 3
R
produto entre
as medidas dos lados
AT
1
bc . sen A
2
AT
1
a
bc .
2
2R
AT
abc
4R
raio da circunferência
circunscrita
30
47
14. Calcule o lado do hexágono regular circunscrito a um círculo no qual o apótema do
06. ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR
(OU ÁREA DO TRIÂNGULO)
quadrado inscrito mede 6 2 m.
a medida da base (lado qualquer)
ha altura relativa a base
Indicamos
a
AT
T
AT
T1
AP
AT
A T1
AT
AT
AP
2. AT
AP
AT
AP
2
15. Calcule o apótema do triângulo eqüilátero inscrito em uma circunferência cujo perímetro
é 4 cm.
medida de um lado (base)
AT
a . ha
2
altura relativa a este lado
16. Calcule o lado do quadrado inscrito em um círculo em que o lado do triângulo eqüilátero
circunscrito mede 2 3 .
OUTRAS EXPRESSÕES PARA A ÁREA DO TRIÂNGULO
 EM FUNÇÃO DO SENO DE UM ÂNGULO
S=
bh
2
(1)
No triângulo retângulo AHB ( Ĥ é reto), temos:
h
sen A =
c
h = c . sen A (2)
17. Se o apótema de um quadrado circunscrito a uma circunferência mede 3 3 . Calcule o
perímetro do triângulo eqüilátero que se encontra inscrito na mesma.
Substituindo (2) em (1), vem:
AT =
46
bc
sen A
2
31
18. Se a diagonal de um quadrado circunscrito a um círculo mede 3 2 então o semiperímetro do hexágono regular inscrito mede:
a) 9
b) 9 2
c)
9
2
d) 2 2
APD
BQC
A1 = A2
Área = medida da base x medida da altura.
Representando por: b a medida da base.
h a medida da altura, temos:
e) 2
APAR = B . h
 ÁREA DA REGIÃO RETANGULAR (OU ÁREA DO RETÂNGULO)
19. Calcule a altura do triângulo eqüilátero inscrito em uma circunferência na qual o apótema
do hexágono regular circunscrito é 2.
Área = medida da base x medida da altura
Representando por: B a medida da base.
h a medida da altura.
temos a expressão que nos dá a área do retângulo:
ARET = B . h
20. Determine a razão entre os apótemas do triângulo equilátero inscrito e do quadrado
circunscrito a uma mesma circunferência.
 ÁREA DA REGIÃO QUADRADA (OU ÁREA DO QUADRADO)
Área = medida do lado x medida do lado.
Representando por
AQ =

x
AQ =
32
 a medida do lado, temos

2
45
05. ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR UM PARALELOGRAMO
(OU ÁREA DO PARALELOGRAMO)
21.
Qual o comprimento da circunferência na qual o perímetro do triângulo eqüilátero
inscrito é 6 3 .
Considere o problema: O paralelogramo da figura tem 5 cm de base e 3 cm de
altura. Qual é a área desse paralelogramo?
O cm2 cabe 15 vezes nesse paralelogramo. Então a sua área é 15 cm 2.
22. Qual a razão entre o lado do quadrado circunscrito a um círculo e do triângulo eqüilátero
nele inscrito.
cm2
A = 15cm2
23. Qual a medida da altura do triângulo eqüilátero inscrito em uma circunferência na qual a
De um modo geral:
diagonal do quadrado circunscrito mede 4 2 m.
24. O perímetro de um hexágono regular inscrito numa circunferência é 18 3 cm. Calcule o
perímetro do triângulo equilátero circunscrito a essa mesma circunferência.
Cortando o paralelogramo como mostra a fig. B, podemos remontá-lo como um
retângulo (fig. C). A área do paralelogramo é igual à área desse retângulo. Nessa
remontagem, a altura e a base dessas figuras são as mesmas.
44
33
25. Calcule a razão entre o comprimento da circunferência circunscrita a um quadrado e o
perímetro deste.
A medida de uma região plana é chamada de área
Vimos, também, que a unidade legal das medidas de superfície é o metro quadrado
(m2), um de seus múltiplos ou submúltiplos, de acordo com o quadro seguinte:
Múltiplos
26. Dado um triângulo equilátero e um quadrado inscritos numa mesma circunferência, qual
a razão dos seus apótemas?
Unidade
Submúltiplos
quilômetro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro
quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
1 000 000 m2
10 000m2
100 m2
1 m2
0,01 m2
0,0001 m2
0,000001 m2
04. FIGURAS EQUIVALENTES
Consideremos as figuras A, B e C. Medindo a superfície das figuras na unidade vemos
que elas têm a mesma área. Dizemos que elas são equivalentes.
27. Qual a razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita em um
quadrado?
Observe que:
Se duas figuras são congruentes, elas são equivalentes.
34
43
Área de um polígono é o número real positivo que representa a medida da superfície
desse polígono.
Para medimos uma superfície, escolhemos como unidade de referência uma figura
cuja área é 1, e comparamos com essa superfície.
28. Qual a medida do lado e do apótema de um octógono regular inscrito em uma
circunferência de raio R.
03. UNIDADE DE ÁREA
Embora a unidade comprimento seja uma unidade básica do sistema internacional
(SI), a unidade área é considerada derivada. As unidades básicas, por expressões algébricas
utilizando símbolos matemáticos de multiplicação ou de divisão. A unidade de área, metro
quadrado (m2), é considerada a medida da superfície de um quadrado com um metro de lado,
segundo a resolução 12 da 11ª CGPM em 1960.
UNIDADE PADRÃO DE ÁREA NO S. I.
Observe que:
No sistema CGS a unidade de área é 1cm2.
S
1m
m(S) = 1m2
1m
29. Qual a medida do lado e do apótema do duodecágono regular inscrito em um círculo de
raio R.
Exemplo:
Qual é a medida, em uAdesta região?
Basta saber quantos uA
recobrem esta região.
Observe:
1 uA
1 uc
Esta região tem 9uA
42
35
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
01. ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
Consideremos a seguinte situação-problema:
Determine a área do terreno plano abaixo:
Realidade
Modelo Matemático
Após efetuar algumas medidas, vemos que, para determinar a área deste terreno, é
preciso recordar como se calculam as áreas de várias figuras que compõem o terreno.
02. MEDINDO SUPERFÍCIES: ÁREA
A reunião de um polígono com o seu interior é chamada superfície do polígono.
Quando medimos a superfície de um polígono, vamos encontrar um número real positivo que
é denominado área do polígono.
36
41
40
37
ÍNDICE
Página
38
01 - Áreas das figuras planas
41
02 - Medindo superfícies: área
41
03 - Unidade de área
42
04 - Figuras equivalentes
43
05 - Área da região limitada por um paralelogramo
(ou área do paralelogramo)
44
06 - Área da região triangular (ou área do triângulo)
46
07- Área da região limitada por um trapézio (ou área do trapézio)
50
08 - Área da região limitada por um losango (ou área do losango)
50
09 - Área da região limitada por um polígono regular
(ou área do polígono regular)
51
10 - Área do círculo
53
11 - Razão entre áreas de figuras semelhantes
56
39