UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
SEMANA DE MATEMÁTICA - OFICINA DE GEOMETRIA
PROFESSORAS: Jurema Lindote Botelho e Eurivalda Ribeiro Santana
ATIVIDADE 1 – TRANSLAÇÃO
1. Considere, na figura a seguir, a relação que ao ponto A faz corresponder o ponto A', ao ponto B
ao ponto B' e ao ponto P o ponto P'. Ligue cada ponto ao seu correspondente.
Os segmentos AA’, BB’ e PP’ , que você obteve, são chamados segmentos orientados.
Observe também que os segmentos orientados obtidos têm o mesmo_______________
a mesma _____________ e o mesmo _______________. Este segmento define um ente geométrico
chamado vetor.
Nestas condições a relação considerada acima é chamada translação de vetor v, ou translação v.
Os pontos A’, B’e P’são chamados transformados dos pontos A, B e P, respectivamente.
v
1
2. Considere a relação que ao ponto M faz corresponder o ponto M’, ao ponto N ao ponto N’e a
figura F faz corresponder a figura F’. Ligue cada ponto ao seu transformado. Ligue também
alguns pontos da figura F aos seus correspondentes na figura F’.
Os segmentos orientados obtidos tem o mesmo tamanho, a mesma direção eo mesmo sentido. Por
isso, esses segmentos definem um vetor. Represente, na figura acima, esse vetor e indique pela letra
u.
Nestas condições, a relação considerada, que leva M em M’, N em N’ e a figura F em F’, é chamada
translação de vetor u. Os pontos M’e N’ são os tranformados de M e N, respectivamente. A figura
F’é a transformada da figura F.
3. Considere, no plano, um ponto P e a translação de vetor v que leva P em P’
O ponto P’ é também chamado soma do ponto P com o vetor v e escreve-se P’= P + v, assim, no
plano, fica definida a soma. De modo geral, tem-se que
No plano, a soma de um ponto com um vetor é um ponto.
4. Na figura a seguir, o ponto P’é o transformado de P pela translação de vetor u, isto é P’ = P + u.
Ache os pontos A + u, M + u e R+ u
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5. Considere, agora, no plano, os pontos Q , Q’e o vetor v.
O vetor v é chamado diferença dos pontos Q e Q’ e escreve-se v = Q’ – Q.
No plano, a diferença de dois pontos é um vetor.
O vetor v = Q – Q’ é também indicado por QQ' .
CONGRUÊNCIA POR TRANSLAÇÃO
1. Considere o plano representado por uma folha de papel. Esse plano é um conjunto de
pontos. Qualquer subconjunto desses pontos chama-se figura. Considere a figura F e o vetor
v dados a seguir e ache os transformados dos pontos A, B e C pela translação de vetor v.
Ligue os pontos obtidos.
A figura F é levada na figura F’ pela translação de vetor v, ou seja F’ = F + v.
. Também podemos afirmar que a figura F’é levada na figura F pela translação de vetor –v, ou seja,
F = F’+ (-v).
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Definição
Dadas duas figuras F e F’, se uma pode ser obtida da outra por uma
translação, diz-se que F e F’são congruentes. Escreve-se F ≅ F’.
Obs: É claro que toda figura é congruente a si mesma, pois F é obtida de F por uma translação que
leva cada ponto de F em si mesmo. Esta translação é chamada translação de vetor nulo ou
identidade.
Exercícios
1. Diga se as figuras seguintes são congruentes por translação. Em caso afirmativo, indique o vetor
translação.
2. Diga se as figuras seguintes são congruentes por translação. Em caso afirmativo, indique o vetor
de translação.
3. Ache a transformada da figura F pela translação de vetor w.
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Atividade 2
SOMA DE VETORES, VETOR NULO, SIMÉTRICO DE UM VETOR, DIFERENÇA DE
VETORES
1. Considere o ponto P, dado a seguir, e as translações de vetores u e v. Ache o transformado de P
pela translação de vetor u, isto é, P’ = P+ u. Em seguida, ache o transformado de P’pela
translação de vetor v, isto é P’’ = P’ + v.
Existe uma translação que leva diretamente P em P’?____________
Você deve ter encontrado uma translação que leva diretamente P em P’’, chame de vetor w.
Assim fica definida a operação de adoção entre os vetores u e v, isto é w = u + v.
Dados os vetores u, v,w e t, figura a seguir, ache:
a) u +w; b) w + t; c) v + v
Obs:
1. Como já foi visto, existe uma translaçãode vetor nulo que leva uma figura em sim mesma.
O vetor nulo , que será indicado por 0 goza da propriedade: u + 0 = 0 + u.
2. Como já foi visto, a cada vetor u corresponde o vetor – u que tem o mesmo tamanho, direção e
sentido contrário ao de u. O vetor – u é chamado de simétrico de u e goza da seguinte
propriedade: u + (-u) = (-u) + u = 0
3. A soma de um vetor u com o opostode outro vetor v chama-se diferença dos vetores u e v e se
indica por u – v, isto é, u + (-v) = u – v
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4. Construa uma figura congruente à figura dada a seguir.
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3. Assinale as figuras que tem centro de simetria
5. Considere o ponto P e o vetor v e ache:
a)P+2v b) P+3v c) P-v d) P+1/2 v
Observe que os pontos foram obtidos somando-se ao ponto P o vetor tv para t = 2, t = 3, t = -1 e
t =1/2. Se você pudesse obter todos os pontos P+tv, você encontraria uma ___________.
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Atividade: HOMOTETIA
1. Considere um ponto fixo C e o número real 3. A cada ponto P do plano, com P ≠ C, pode-se fazer
corresponder o ponto P’ tal que CP’= 3CP
A correspondência que leva P em P’ é chamada homotetia de centro C e razão 3. O ponto P’é
CP '
chamado homotético de P. Observe que os pontos C, P e P’ estão alinhados e que
= 3.
CP
2. Considere o ponto fixo C, e o número real 1/2 e a correspondência que leva P em P’tal que
CP '=
1
CP .
2
A correspondência que leva P em P’ é chamada homotetia de centro C e razão 1/2. O ponto P’é
CP ' 1
= .
chamado homotético de P. Observe que os pontos C, P e P’ estão alinhados e que
CP 2
4. Considere o ponto fixo, o número real –3 e a correspondência que leva P em P’ tal que
CP’= -3CP
A correspondência que leva P em P’ é chamada homotetia de centro C e razão -3. O ponto P’é
CP '
chamado homotético de P. Observe que os pontos C, P e P’ estão alinhados e que
= −3 .
CP
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5. Na figura a seguir P’ é o homotético de P por uma homotetia de centro C e razão k = -1/4 .
Observe que os pontos C, P e P’estão alinhados.
Definição
Seja C um ponto fixo do plano e k um número real diferente de zero.
Chama-se homotetia de centro C e razão k a corrrespondência que leva
um ponto P qualquer do plano num ponto P’, tal que
CP’= k CP
O ponto P’é chamado homotético de P.
Observações:
1) Se k > 0, os pontos P e P’estão numa mesma semi-reta de origem C.
2) Se k < 0, os pontos P e P’estão em semi-retas opostas de origem C.
3) Se k = -1 a homotetia é uma simtria de entro C pois CP’= - CP.
4) Se k = 1 a homotetia é a identidade pois CP’= CP, e portanto P=P’.
5) Se P’é o homotético de um ponto P pela homotetia de centro C e razão k,
CP '
= k
CP
Exercícios
1. Ache os homotéticos dos pontos A, B e D, dados a seguir pela homotetia de centro C e razão 2.
(CA’= CA)
2. Ache os homotéticos dos pontos M, N, e P pela homotetia de centro C e razão 1/3.
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3. Ache os homotéticos dos pontos Q e R pela homotetia de centro C e razão –2.
4. Construa a figura homotética da figura dada a seguir, pela homotetia de centro C e razão k = 3.
5. Construa a figura homotética da figura dada a seguir, pela homotetia de centro C e razão k = -2.
6. A figura F’é a transformada da figura F por uma homotetia. Dê o centro e a razão de homotetia.
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7. A figura F’é a transformada da figura F por uma homotetia. Dê o centro e a razão de homotetia.
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