4. HIDROCINEMÁTICA
Unidade Curricular: Hidráulica
Docente: H. Mata­Lima, PhD
Universidade da Madeira, 2010
4. Hidrocinemática
(Descrição do escoamento com base nos deslocamentos, velocidades e acelerações).
Os parâmetros que descrevem o comportamento de um fluido não são
constantes num dado conjunto de circunstâncias, podendo variar de ponto para ponto e/ou de instante para instante.
Tópicos a abordar:
• Trajectórias de partículas
• Linhas de corrente
• Classificação de tipos de escoamento
• Caudal e velocidade média
• Equação da continuidade.
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐2
4.1. Trajectórias de Partículas (TP)
Nota: Fluidos são corpos cujas moléculas têm a propriedade de se moverem umas em relação às outras.
A Trajectória de Partículas é definida como o lugar geométrico dos pontos ocupados pela partícula ao longo do tempo.
Figura 4.1. Trajectórias das Linhas de Corrente.
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐3
4.2. Linhas de Corrente (LC)
Aspectos a considerar:
1. A velocidade de uma partícula de fluído (V) é função da sua posição (i.e. do ponto considerado) e do instante de tempo;
Uma partícula que se desloque de ponto A para B a variação da V pode ser expressa pela equação:
∂V
∂V
∂V =
∂t
∂x +
∂x
∂t
2. Num instante t a V corresponde a um campo de vectores;
3. É possível traçar linhas no instante t em que, em qualquer ponto, a tangente respectiva coincide com a direcção da velocidade. Estas linhas conhecidas como Linhas de Corrente (LC) são sempre tangentes à trajectória das partículas.
As linhas de corrente
podem receber também a designação de linhas de fluxo ou linhas de escoamento.
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
Um feixe de linhas de corrente vizinhas designa‐
se por Tubo de corrente ou de fluxo (ver QUINTELA, 2005:43).
4‐4
4.2. Linhas de Corrente (LC)
Algumas imagens de visualização do escoamento:
Figura 4.2. Bancada de Visualização do Escoamento.
Figura 4.3. Visualização das Linhas de Corrente em Torno de Obstáculos.
2010
Fonte: IST
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐5
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
ESCOAMENTO
Permanente
Variável (escoamento em regime estacionário)
(não permanente)
Uniforme (Secção uniforme, profundidade
e velocidade constantes)
Variado
(Acelerado ou retardado)
Gradualmente
Rapidamente
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐6
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
ESCOAMENTO
Permanente
Variável (escoamento em regime estacionário)
(Não Permanente)
O ESCOAMENTO PERMANENTE (ou estacionário) – ocorre quando os valores dos parâmetros que o caracterizam (e.g. velocidade, caudal, pressão) em cada ponto não variam com o tempo.
Em situações práticas os escoamentos rigorosamente permanentes raramente ocorrem. Porém, é possível analisar satisfatóriamente grande parte dos problemas da hidráulica assumindo que o escoamento é permanente visto que as variações/flutuações da velocidade e de outras grandezas são pequenas podendo considerar‐se os valores médios sensivelmente constantes no tempo (ver Massey, 2002: 145‐153).
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐7
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
ESCOAMENTO
Permanente
Variável (escoamento em regime estacionário)
(não permanente)
O ESCOAMENTO VARIÁVEL (ou transitório) – ocorre quando os valores das grandezas que caracterizam o escoamento (e.g. velocidade, caudal, pressão), em cada ponto, variam com o decorrer do tempo.
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐8
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
Tipo
Descrição
Escoamento Permanente
Esc. Permanente uniforme
Esc. Permanente ‘não uniforme’ (ou variado)
2010
Os valores das grandezas que o caracterizam (e.g. velocidade, caudal, pressão), em cada ponto, não variam com o tempo.
Além das características, em cada ponto, não variarem no tempo, são ainda constantes em cada instante de ponto para ponto numa região especificada.
Exemplo
­­­­­­
Escoamento a caudal constante e elevado num tubo comprido e direito, de secção constante. Nota: despreza‐se a região junto da parede do tubo.
As características, em cada Escoamento a caudal ponto, não variam no constante num tubo que tempo, mas variam, num afunila.
mesmo instante, de ponto para ponto numa região especificada.
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐9
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
Tipo
Descrição
Escoamento Variável
Ocorre quando os valores das grandezas que o caracterizam (e.g. velocidade, caudal, pressão), em cada ponto, variam com o decorrer do tempo.
Apesar das características, em cada ponto, variarem no tempo, são constantes em cada instante de ponto para ponto numa região especificada.
Escoamento Variável uniforme
Exemplo
­­­­­­
Escoamento a velocidade elevada, com aumento ou diminuição contínua de caudal, num tubo rectilíneo de secção recta constante. Nota: despreza‐
se a região junto da parede do tubo.
Escoamento Variável não uniforme
2010
As características, em cada ponto, variam no tempo, sendo também variável, num mesmo instante, de ponto para ponto numa região especificada.
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
Escoamento com aumento ou diminuição contínua de caudal num tubo que afunila.
4‐10
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
4.3.1. Escoamento variável (ou transitório)
A velocidade varia no espaço e no tempo. A velocidade num ponto é função da sua localização e do instante de tempo considerado. Isto equivale a dizer que, em cada ponto, a velocidade das partículas que por ele passa varia de instante para instante.
Portanto, num escoamento variável os parâmetros que descrevem o seu comportamento (e.g. velocidade, caudal, altura) variam no espaço e no tempo:
∂V
≠0
∂s
∂V
≠0
∂t
Importa referir que o escoamento variável é o tipo de escoamento mais comum (e.g. cursos de águas naturais; escoamento a velocidade elevada, com aumento ou diminuição contínua de caudal, num tubo rectilíneo de secção recta constante; escoamento com aumento ou diminuição contínua de caudal, num tubo que afunila).
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐11
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
4.3.2. Escoamento permanente (ou estacionário)
• Corresponde a um escoamento em que os valores dos diferentes parâmetros (e.g. velocidade, caudal, altura) não variam com o tempo;
• A velocidade varia de ponto para ponto, permanecendo‐se constante no tempo para cada ponto
∂V
=0
∂t
• Em escoamento permanente o padrão (i.e. as linhas de corrente) mantém‐se inalterado ao longo do tempo. No caso do escoamento variável o padrão varia com o tempo;
• Neste tipo de escoamento as linhas de corrente (lc) coincidem com as trajectórias (não se alteram no tempo). Nota: as linhas de corrente também podem coincidir com a trajectória quando o escoamento é variável (ver QUINTELA, 2005: 40‐42).
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐12
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
4.3.3. Escoamento uniforme
• Quando em cada instante, as grandezas que caracterizam o escoamento não variam de ponto para ponto, numa região especificada;
• É um movimento permanente em que a velocidade é constante ao longo de cada trajectória
∂V
=0
∂s
• As trajectórias num movimento uniforme são rectilíneas (ver Fig. 4.4).
Figura 4.4. Trajectórias num movimento uniforme.
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐13
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
Escomentos Unidimensionais
Escoamentos Didimensionais
Escoamentos Tridimensionais
∂V
=0
∂s
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐14
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐15
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐16
4.3. Tipos de Escoamento (TE)
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐17
4.4. Caudal e Velocidade média
4.4.1. Caudal do escoamento (Q)
• O caudal (Q) é o volume do fluído que atravessa uma dada secção por unidade de tempo;
∀
Q = , com o Q em m 3 /s
t
(
)
• O caudal recebe também a designação de débito ou vazão e pode obter‐se também multiplicando a velocidade média do escoamento (U) pela área da secção (A) perpendicular à direcção do escoamento;
Q =U × A
Conduto cheio: A = área do círculo
VdA
Q A∫
U= =
A
A
Conduto parcial/te cheio: A é a área da secção Canal aberto: A = área da secção molhada (azul)
molhada (azul)
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐18
4.5. Equação da Continuidade: conservação da matéria
4.5.1. Equação da continuidade (ou conservação da matéria)
• O Princípio de conservação da massa estabelece que: a variação da massa fluída contida num volume de controle, fixo e arbitrário, durante um dado intervalo de tempo é igual à soma das massas fluídas que nele entram e subtraídas das que dele saem nesse intervalo.
Massa do fluído a entrar no volume fixo
Massa do fluído a sair do volume fixo
• Por não haver criação nem destruição da matéria no interior do volume de controle (∀):
⎡Taxa de entrada ⎤ ⎡Taxa de saída ⎤
⎢ da massa no ∀ ⎥ = ⎢ da massa do ∀ ⎥ +
⎦
⎦ ⎣
⎣
• Para escoamento permanente:
2010
⎡Taxa de acumulação ⎤
⎥
⎢ da massa no ∀
⎦
⎣
⎡Taxa de acumulação ⎤
⎢da massa no ∀
⎥=0
⎣
⎦
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
Logo,
Q = constante
4‐19
4.5. Equação da Continuidade
Regime permanente (i.e. constante no tempo) implica que não há acumulação da matéria.
⎡Taxa de entrada ⎤ ⎡Taxa de saída ⎤
⎢ da massa no ∀ ⎥ = ⎢ da massa do ∀ ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
• Portanto, o Q é constante seja qual for a secção considerada.
• Matematicamente tem‐se
Q = U1 A1 = U 2 A2 = ... = U n+1 An+1 = cons tan te
• Quando se pretende o caudal em massa (caudal massico) multiplica‐se a equação anterior pela massa volúmica do fluído (ρ):
Qmassico = ρ1U1 A1 = ρ2U 2 A2 = ... = ρn+1U n+1 An+1 = constante
• De acordo com a condição anterior, a U aumenta com a diminuição de A e vice‐versa.
2007
Copyright©H. Mata-Lima, PhD.
Univ. Madeira-http://dme.uma.pt/hlima
4-20
4.5. Equação da Continuidade
Visto que a velocidade média do escoamento (U) aumenta com a diminuição de área da secção de escoamento (A) e vice‐versa pode‐se concluir que no escoamento permanente:
• A velocidade aumenta nas regiões onde as linhas de corrente se aproximam no sentido do escoamento:
• A velocidade diminui nas regiões onde as linhas de corrente se afastam (e.g. escoamento entre planos divergentes) – ver Figura.
A1
A2
Figura 4.5. Evolução das Linhas de Corrente com a variação da secção.
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐21
4.6. Escoamentos laminares e turbulentos
Os regimes de escoamento de fluidos podem ser de dois tipos: 1) laminar e 2) turbulento.
1. Escoamento LAMINAR – prevalece um caminhamento ordenado das partículas. As partículas não se atropelam umas as outras e seguem trajectórias regulares (i.e. as trajectórias de duas partículas vizinhas nunca se cruzam). O escoamento laminar é conhecido, em inglês, como viscous, streamline ou laminar flow.
2.Escoamento TURBULENTO – neste tipo de escoamento a velocidade num dado ponto varia constantemente em grandeza e direcção, sem qualquer ordem ou regularidade, sendo as trajectórias das partículas muito irregulares. A título de exemplo, refira‐se que no escoamento no interior de um conduto, uma mesma partícula pode localizar‐se, num instante, na vizinhança do eixo, e, noutro instante, junto da parede.
Contudo é possível admitir hipóteses simplificativas no regime turbulento de modo a definir‐se escoamento uniformes e permanentes (ver Figuras seguintes).
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐22
4.6. Escoamentos laminares e turbulentos Existe um parâmetro designado por número de Reynolds (Re), em homenagem ao cientista que o desenvolveu (1883), que permite distinguir facilmente os escoamentos em:
1. Regime Laminar (linhas de corrente seguem trajectória rectilínea)
Re < 2000 corresponde a regime laminar
2. Regime Turbulento (linhas de corrente seguem trajectória irregular e dispersam‐se)
Re ≥ 2000 corresponde a regime turbulento
O número de Reynolds é expresso pela equação:
Re =
UD
ν
onde: U é a velocidade média do escoamento (m/s), D o diâmetro do conduto e ν a viscosidade cinemática do fluído (m2/s).
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐23
4.6. Escoamentos laminares e turbulentos
Exercício 4.6.1
Um conduto de 25 mm de diâmetro transporta óleo. O caudal transportado é de 0,2 l/s e ν = 5*10‐5 m2/s. Classifique o regime de escoamento.
Resposta: O regime é laminar porque Re = 203 (i.e. < 2000)
Repita o mesmo exercício considerando que o fluido transportado é água a 20º C. Compare o resultado com o do óleo e justifique a diferença.
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐24
NOTAS FINAIS
• O escoamento de fluidos é um fenómeno complexo, sendo geralmente necessário recorrer à experimentação para obter as soluções;
• Quando se efectua a análise matemática do escoamento consideram‐se, geralmente, hipóteses simplificativas: i) fluído perfeito (i.e. desprezam‐se os efeitos da viscosidade); ii) admite‐se que as condições do escoamento não variam no tempo (i.e. regime permanente)
• Apesar de se considerar as simplificações supracitadas, deve ter‐se em atenção que, na realidade, as grandezas que descrevem o comportamento e o estado do fluído (e.g. velocidade, pressão, massa volúmica, etc.) não são, em geral, constantes. São, de facto, variáveis e podem variar de ponto para ponto e/ou de instante para instante no seio de um fluído em movimento. Ou seja, tais grandezas variam no espaço e no tempo:
dV
dV
≠ 0;
≠0
ds
dt
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐25
REFERÊNCIAS
Massey, B. (2002). Mecânica dos Fluídos, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.
Quintela, A. (2005). Hidráulica, 9ª Edição, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.
2010
Copyright©H. Mata‐Lima, PhD. Univ. Madeira‐http://dme.uma.pt/hlima
4‐26