Professor Bill apresenta:
Trigonometria no triângulo retângulo
1. (G1 - ifce 2014) Uma rampa faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que subiu 20
metros dessa rampa se encontra a altura de ___ do solo.
a) 6 metros.
b) 7 metros.
c) 8 metros.
d) 9 metros.
e) 10 metros.
2. (Uneb 2014) A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de carga de um ponto a outro. Nessa
técnica, a carga é presa a uma roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão
em alturas diferentes. A tirolesa também é utilizada como prática esportiva, sendo considerado um
esporte radical.
Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi montada
de maneira que as alturas das extremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca de
52m e 8m, cada uma, em relação ao nível do solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é de 80°.
Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg 10° = 0,176, pode-se afirmar que a
distância horizontal percorrida, em metros, ao final do percurso, é aproximadamente igual a
a) 250
b) 252
c) 254
d) 256
e) 258
3. (G1 - ifsp 2014) Uma forma pouco conhecida de arte é a de preenchimento de calçadas com pedras,
como vemos na calçada encontrada em Brazlândia – DF, conforme a figura.
Em relação ao desenho da calçada, considere o seguinte:
- todos os triângulos são retângulos;
- cada triângulo possui um ângulo de 30°; e
- a hipotenusa de cada triângulo mede 100 cm.
Com base nas informações acima, os catetos de cada triângulo medem, em cm,
a) 25 e 25 3.
b) 25 e 25 2.
c) 25 e 50 3.
d) 50 e 50 3.
e) 50 e 50 2.
4. (G1 - cps 2014) O passeio em teleférico é uma opção turística em várias cidades do mundo.
O teleférico mais alto e o segundo mais longo do mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, unindo a
cidade ao Pico Espejo, cujo topo está a uma altura de 4 765 metros acima do nível do mar.
O teleférico sai da estação de Barinitas, a 1 577 metros acima do nível do mar, na cidade de Mérida e,
depois de se deslocar 12,5 km, atinge o topo do Pico Espejo.
Considere que o cabo do teleférico seja completamente esticado e que θ seja o ângulo, com vértice na
estação de Barinitas, formado pelo cabo do teleférico e a horizontal, conforme a figura.
Nessas condições, o valor aproximado do ângulo θ é
Utilize:
medida
do ângulo
11º
15º
18º
22º
25°
seno
cosseno
tangente
0,191
0,259
0,309
0,375
0,423
0,982
0,966
0,951
0,927
0,906
0,194
0,268
0,325
0,404
0,467
a) 11°.
b) 15°.
c) 18°.
d) 22°.
e) 25°.
5. (Uemg 2014) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um
monumento de arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos,
colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°, conforme mostra a figura:
Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm, a altura do monumento, em metros, é
aproximadamente
a) 6,86.
b) 6,10.
c) 5,24.
d) 3,34.
6. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas
numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada
uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom
exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações,
descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço
a) menor que 100m2.
b) entre 100m2 e 300m2.
c) entre 300m2 e 500m2.
d) entre 500m2 e 700m2.
e) maior que 700m2.
7. (G1 - cftmg 2013) O percurso reto de um rio, cuja correnteza aponta para a direita, encontra-se
representado pela figura abaixo. Um nadador deseja determinar a largura do rio nesse trecho e propõe-se
a nadar do ponto A ao B, conduzindo uma corda, a qual tem uma de suas extremidades retida no ponto
A. Um observador localizado em A verifica que o nadador levou a corda até o ponto C.
Dados:
α
sen α
cos α
tg α
30°
1/2
45°
2/2
2/2
3/2
3/3
1
60°
3/2
1/2
3
Nessas condições, a largura do rio, no trecho considerado, é expressa por
1
AC.
3
1
b) AC.
2
3
c)
AC.
2
3 3
d)
AC.
3
a)
8. (G1 - utfpr 2013) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão está estacionado
em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada
uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme
com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros, de:
1
2
(Considere: sen 30°  , cos 30° 
3
3
)
e tg 30° 
2
3
a) 0,8 3.
b) 2,4.
c) 1,2 3.
d) 0,6 3.
e) 0,6.
9. (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da
cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de
a) 3,8 tan (15°) km.
b) 3,8 sen (15°) km.
c) 3,8 cos (15°) km.
d) 3,8 sec (15°) km.
10. (G1 - utfpr) Uma escada rolante de 6 m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem
inclinação de 30°. Determine, em metros, a altura entre estes dois andares.
Use os valores: sen 30  0,5, cos 30  0,87 e tg 30  0,58.
a) 3,48.
b) 4,34.
c) 5,22.
d) 5.
e) 3.
11. (G1 - ifba) Um atleta do IFBA se desloca com velocidade de 10 km/h ao longo da reta OP, que forma
um ângulo de 30° com a reta Ox, partindo do ponto O. Após 3 horas, qual a distância do atleta até a reta
Ox?
a) 30 km
b) 15 km
c) 15 3 km
d) 5 3 km
e) 7,5 3 km
12. (G1 - ifpe) Um estudante do Curso de Edificações do IFPE tem que medir a largura de um rio. Para
isso ele toma os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em seguida ele caminha de A até o
ponto B, distante 100 metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são perpendiculares. Usando
instrumento de precisão, a partir do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A, determinando o
ângulo CBˆA que mede 37º. Com isso ele determinou a largura do rio e achou, em metros:
Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75
a) 60
b) 65
c) 70
d) 75
e) 80
13. (G1 - epcar (Cpcar)) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do
ponto P, no chão.
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o
chão e a uma distância BR de medida 6 2 metros.
Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do
poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre
a) 3 e 4
b) 4 e 5
c) 5 e 6
d) 6 e 7
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher
informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e
Matemática.
14. (Pucrs) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar com o teodolito,
instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de
um rio. De um ponto A, o observador desloca-se 100 metros na direção do percurso do rio, e então
visualiza uma árvore no ponto C, localizada na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a figura
abaixo.
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é
a)
100 3
3
100 3
2
c) 100 3
b)
d)
50 3
3
e) 200
15. (Uel) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição P1 , um barco ancorado no
horizonte norte na posição B. Nesta posição P1 , o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de 90°,
como mostrado na figura a seguir.
Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a partir da
posição P2 . Neste novo ponto de observação P2 , o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de
45°.
Qual a distância P2B aproximadamente?
a) 1000 metros
b) 1014 metros
c) 1414 metros
d) 1714 metros
e) 2414 metros
16. (G1 - cftmg) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de 60º , conforme a
figura.
Dados: sen 60º 
3
1
; cos 60º  ; tg 60º  3 .
2
2
A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km , é
a) 600 dam
b) 12.000 m
c) 6.000 3 dm
d) 600.000 3 cm
17. (G1 - ifsc) Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte peruana deixou o
Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca desde 2005. [...]
Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas com mercadorias e
combustível para energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou situação de atenção
em 16 municípios e situação de alerta – etapa imediatamente anterior à situação de emergência – em
outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas ainda permitem plenas condições de
navegabilidade.
Texto adaptado de: http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-nivel-do-rioamazonasdiminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/ Acesso em: 10 nov. 2010.
Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu
deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do rio, teoricamente
constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância AB em metros percorrida pela
embarcação foi de...
Dados:
Seno Cosseno Tangente
1
3
3
0º
2
3
2
2
2
45º
1
2
2
1
3
60º
3
2
2
a) 60 3 metros.
b) 40 3 metros.
c) 120 metros.
d) 20 3 metros.
e) 40 metros.
18. (G1 - ifsc) A trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Em um
triângulo retângulo, sabemos que senθ 
cat. oposto
cat. oposto
cat. adjacente
, cos θ 
e tgθ 
. Considere
cat.adjacente
hipotenusa
hipotenusa
o triângulo abaixo e as proposições I, II e III.
I. o ΔABC é retângulo em B.
II. cos   0,8
III. sen   tg  
32
15
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas a proposição I é verdadeira.
b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
d) Apenas a proposição II é verdadeira.
e) Todas as proposições são verdadeiras.
19. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia.
Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o
mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 . A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo   30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco
havia percorrido a distância AB  2000 m . Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a
menor distância do barco até o ponto fixo P será
a) 1000 m .
b) 1000 3 m .
3
m.
3
d) 2000 m .
c) 2000
e) 2000 3 m .
20. (G1 - cps) Ter condições de acessibilidade a espaços e equipamentos urbanos é um direito de todo
cidadão.
A construção de rampas, nas entradas de edifícios que apresentam escadas, garante a acessibilidade
principalmente às pessoas com deficiência física ou com mobilidade reduzida.
Pensando nisso, na entrada de uma ETEC onde há uma escada de dois degraus iguais, cada um com 15
cm de altura, pretende-se construir uma rampa para garantir a acessibilidade do prédio a todos.
Essa rampa formará com o solo um ângulo de 30, conforme a figura.
Sendo assim, conclui-se que o comprimento da rampa será, em metros,
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
Resposta da questão 2:
[A]
Resposta da questão 3:
[D]
Resposta da questão 4:
[B]
Resposta da questão 5:
[D]
Resposta da questão 6:
[E]
Resposta da questão 7:
[C]
Resposta da questão 8:
[B]
Resposta da questão 9:
[A]
Resposta da questão 10:
[E]
Resposta da questão 11:
[B]
Resposta da questão 12:
[D]
Resposta da questão 13:
[B]
Resposta da questão 14:
[C]
Resposta da questão 15:
[C]
Resposta da questão 16:
[D]
Resposta da questão 17:
[B]
Resposta da questão 18:
[C]
Resposta da questão 19:
[B]
Resposta da questão 20:
6 m.