PESQUISA OPERACIONAL
DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE
MODELOS MATEMÁTICOS POR MEIO DA
LINGUAGEM GAMS
UNESP
Aneirson Francisco da Silva- Doutorando-UNESP
Fernando Augusto Silva Marins, Dr- UNESP
Guilherme Martin Silva
Paulo Roberto Marcondes de Andrade Lopes
O objetivo desta apostila é fornecer conceitos matemáticos sobre a estrutura da
linguagem de modelagem General Algebraic Modeling System – GAMS. Após a
leitura desta apostila o leitor estará apto a desenvolver e otimizar modelos lineares
e combinatórios utilizando a linguagem e o software GAMS.
A estrutura da apostila está definida primeiramente pela revisão da história da
pesquisa operacional, e em seguida a explicação a respeito dos modelos lineares,
iniciando pelas particularidades desse modelo, teoria de redes DEA. Também são
abordados modelos de otimização combinatória e problemas NP-HARD.
Capítulo 1
1. A EVOLUÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL
O termo Pesquisa Operacional “PO” foi empregado pela primeira vez em 1939. A partir de
individualizada e batizada, tornou-se possível fixar suas origens em épocas remotas da história
da ciência e da sociedade.
1.1. O MÉTODO DA PESQUISA OPERACIONAL
A experimentação tomada no sentido restrito - isto é, a manipulação física das variáveis - é
geralmente impossível ou impraticável quando se lida com organizações governamentais,
militares ou industriais. Apesar disso, a experimentação é às vezes possível, particularmente no
caso de subsistemas, e desempenha papel importante na PO. Na maioria das vezes, entretanto, o
sistema global em estudo não pode ser submetido a um tratamento desta natureza. Quem
trabalha em pesquisa operacional é geralmente obrigado a construir representações do sistema e
do seu comportamento para se orientar durante a pesquisa. Os modelos em PO assumem a forma
de uma ou mais equações ou inequações para traduzir a condição de que algumas, ou todas as
variações controladas só podem ser manipuladas dentro de limites. O conjunto destas equações
constitui, ao mesmo tempo, um modelo de sistema e um modelo de decisão.
A solução pode ser extraída do modelo mediante experimentação (isto é, por simulação) ou
mediante análise matemática. Para alguns tipos de função f (por exemplo, relações algébricas
elementares), desde que as restrições não sejam numerosas, a matemática clássica fornece
instrumentos perfeitamente adequados para a determinação dos melhores valores das variáveis
controladas. Por outro lado, a função f pode consistir em um conjunto de regras de cálculo (um
algoritmo) que nos permita medir a utilidade (U) do desempenho para qualquer conjunto de
valores das variáveis controladas e não controladas.
Em alguns casos o comportamento do elemento humano que toma a decisão não pode ser
representado no modelo. Ocorre a necessidade do uso de simulações que envolverão a
participação de seres humanos, sendo denominados jogos de operações.
Introdução________________________________________________________________________ 4
A otimização, portanto, produz a melhor solução para o problema que foi modelado.
A correspondência entre modelo e realidade terá de ser aferida (testada) e a solução avaliada.
Isto é, teremos de comparar seu desempenho com o da política ou procedimento que ela irá
substituir. Os resultados da pesquisa devem ser implantados. É nesta fase que se faz o teste e a
avaliação final da pesquisa; proporcionando, pois, ao especialista as maiores e melhores
oportunidades de aprender.
Cinco fases num projeto de PO:
1. Formulação do problema
2. Construção do modelo
3. Obtenção da solução
4. Teste do modelo e avaliação da solução
5. Implantação e acompanhamento da solução (manutenção)
As vantagens e desvantagens da utilização de modelos foram assim definidas:
Vantagens
a) Emerge sob a forma gráfica, para representar a realidade aprendida em
determinado momento;
b) Simplifica a visualização da amplitude das variáveis sem alterar a essência;
c) Ajuda a identificar várias relações possíveis entre os elementos da realidade;
d) Possibilita compreender relações complexas;
e) Serve como base para estabelecer e aprimorar parâmetros.
Desvantagens
f) Limitações na identificação de todas as variáveis relevantes que influenciam em
determinada situação;
g) Problemas na definição das propriedades a serem mensuradas e na especificação
de procedimentos para tal;
h) Dificuldades no entendimento entre os provedores e os usuários da informação.
Introdução________________________________________________________________________ 5
A representação simplificada de um problema prático por meio de um modelo matemático
permite que sobre ele se aplique técnicas e métodos que facilitam a obtenção de uma solução.
1.2. O IMPACTO DA PESQUISA OPERACIONAL
A Pesquisa Operacional tem tido um grande impacto crescente na administração de empresas
nos anos recentes. Tanto o número quanto a variedade de suas aplicações continuam a crescer
rapidamente. Algumas de suas técnicas envolvem idéias sofisticadas em ciências políticas,
matemática, economia, teoria da probabilidade e estatística. Como também sendo usada
amplamente em outros tipos de organizações, inclusive negócios e indústria.
Muitas indústrias, inclusive a de aviação e mísseis, automóveis, comunicações, computadores,
energia elétrica, eletrônica, alimentos, metalúrgica, mineração, papel, petróleo e transporte, têm
feito uso extensivo da pesquisa operacional. Mesmo instituições financeiras, agências
governamentais e hospitais têm aumentado rapidamente o uso que fazem da pesquisa
operacional.
Vejamos alguns dos problemas que têm sido resolvidos por técnicas particulares de pesquisa
operacional:
 PROGRAMAÇÃO LINEAR: tem sido usada com sucesso na solução de problemas relativos à
alocação de pessoal, mistura de materiais, distribuição, transporte, carteira de
investimento, avaliação da eficiência;
 PROGRAMAÇÃO DINÂMICA: tem sido aplicada também com sucesso a áreas como
planejamento de despesas de publicidade, distribuição do esforço de vendas e
programação de produção;
 TEORIA DAS FILAS: tem tido aplicação na solução de problemas relativos a
congestionamento de tráfego, máquinas de serviços sujeitas à quebra, determinação do
nível de uma força de serviço, programação do tráfego aéreo, projetos de represas,
programação de produção e operação de hospitais;
 PROGRAMAÇÃO INTEIRA: que é uma forma de programação linear onde as variáveis
podem apenas apresentar números inteiros. Tem sido utilizada na resolução de
problemas de investimento dentre outros;
Introdução________________________________________________________________________ 6
 PROGRAMAÇÃO MISTA: que é uma forma de programação linear onde as variáveis podem
assumir valores binários, inteiros e contínuos, este modelo também é definido como
otimização combinatória, enquadrando-se em problemas de dificuldades não polinomiais
NP-HARD;
 PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR: modelo matemático onde a função objetivo, as restrições
ou ambas, apresentam não linearidade em seus coeficientes.
 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO: é uma forma de programação linear e não linear onde
se analisa múltiplas funções objetivos;
 GOAL PROGRAMMING: que é uma extensão dos modelos de programação multiobjetivo,
contendo vários modelos específicos para cada problema de decisão;
Outras técnicas de pesquisa operacional, tais como teoria de estoque, teoria dos jogos,
teoria dos grafos e simulação, também tem sido aplicadas com sucesso a(em) diversos contextos.
Capítulo 2
2. ESTRUTURAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS LINEARES ESTACIONÁRIOS
O anexo A contempla a linguagem de modelagem GAMS. Abordando as principais funções e a
estrutura dessa linguagem de modelagem, mostrando suas principais vantagens. O anexo B
contempla as principais linguagens de modelagens, abordando as principais vantagens da
linguagem GAMS em relação às demais linguagens.
Vamos iniciar a modelagem do problema do Giapetto pela linguagem GAMS. A linguagem GAMS
requer que o problema seja traduzido na forma algorítmica.
1- Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira. Soldados e trens. Um soldado é
vendido por R$ 27,00 e usa R$ 10,00 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado
tem um custo adicional de R$ 14,00 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por R$
21,00 e gasta R$ 90,00. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de R$
10,00. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: Carpintaria e
Acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 para carpintaria.
Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana,
Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até
100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a
venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro
diário. Formular o modelo matemático que poderia ser usado por Giapetto para
maximizar seu lucro semanal.
1 passo: Modelar o problema. Vamos descrever as variáveis do problema, o que na linguagem
GAMS é chamada de (SETS ) numa tradução pode-se chamar de índices ou conjuntos.
Índices:
Xi,j: Quantidade a ser produzida do produto i utilizando os recursos j. O GAMS é um software
orientado ao objeto, logo temos que declarar esses objetos que no caso são os i produtos e os j
recursos.
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 8
2 passo: Definir os parâmetros (PARAMETER) do modelo: Neste caso sabemos a margem de
contribuição unitária por produto i. Portanto, é necessário esse parâmetro que estará ligado ao
índice i. Vamos chamar este parâmetro de MCi. Outro parâmetro é com relação à disponibilidade
dos recursos, sendo este parâmetro ligado ao índice j. Vamos chamar este parâmetro de Aj.
Finalmente, devemos criar um parâmetro que mostre o consumo unitário de cada recurso por
produto, sendo este parâmetro pertencente aos índices i e j. Neste caso na linguagem GAMS deve
ser criado uma Tabela (TABLE), que vamos chamar de R i, j.
3 passo: Definir as variáveis de decisão: Temos uma decisão que é saber o valor da margem de
contribuição, vamos definir essa variável de Xi. Na linguagem GAMS é necessário informar uma
variável que vai definir a função objetivo, neste caso chamaremos de Z, que vai definir os valores
ótimos de produção de cada produto.
4 passo: Definir as equações (EQUATIONS): as equações são definidas por meio do número de
restrições mais a função objetivo. A primeira equação vai definir o valor da margem de
contribuição, portanto chamaremos a mesma de margem. A segunda equação vai determinar o
quanto será consumido por recurso
j
vamos chamar essa equação de consumo. E a última
equação definirá o limite máximo de demanda do produto soldado. Agora podemos resolver o
problema do Amigo Giapetto.
2
Max Z   MC i . X i
i
sujeito a :
n
R
i, j
.X i  A j
i
X "SOLDADO "  40
X I ,J  0
A Tabela 2.1 mostra alguns comandos básicos da linguagem GAMS
Tabela 2.1- Comandos básicos em linguagem GAMS
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 9
Símbolo
Significado
G
Define uma inequação de sinal maior ou igual
L
Define uma inequação de sinal de menor ou igual
E
Define uma equação (X= n)
“
São fixadores de índices
‘
Também é um fixador de índices
PROD
Expressão para produto de uma série
SUM
Expressão para somatório
Model
Descreve o modelo estudado
Solve
Descreve a utilização de um solver específico
Display
Recurso utilizado para calcular o primal e o dual
A Tabela 2.2 mostra as funções padrão de GAMS.
Tabela 2.2- Funções padrão em GAMS
Nome
Descrição
Definição
Número de Argumentos
ABS
Valor absoluto
|ARG|
1
ARCTAN
Arco Tangente
Arctan
(arg);
resultado
em
1
radianos
CEIL
Função teto
Maior inteiro ≥ arg
COS
Cosseno
Cos
(arg)
argumento
1
em
1
Integral de distribuição normal
1
radianos
ERRORF
Função erro
padrão
EXP
Exponencial
earg
1
FLOOR
Função piso
Maior inteiro ≤ arg
1
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 10
Nome
Descrição
Definição
Número de Argumentos
LOG
Logaritmo
Log do arg na base e
1
Log de arg na base 10
1
natural
Log10
Logaritmo
comum
MAPVAL
Função
Atribuiu
números
mapeamento
especiais
MAX
Maior valor
Max (arg1, arg2,...,argn)
>1
MIN
Menor valor
Min (arg1, arg2,..,argn)
>1
MOD
Resto
arg1-trunc(arg1/arg2) x arg3
2
Normal
Randômica
Número
2*
normal
normalmente com argumento
aleatório
a
valores
distribuído
1
arg1 e desvio padrão arg2
POWER
Potência inteira
ROUND
Arredondamento
SIGN
Sinal
SIN
Seno
Sem (arg); arg em radianos
SQR
Quadrado
arg x arg
SQRT
Raiz quadrada
TRUNC
Truncamento
Sign (arg) x floor (abs(arg))
1
UNIFORM
Randômica
Número
2*
uniforme
uniformemente entre arg1 e arg2
1
1
aleatório
distribuído
A Figura 1.1 mostra os processos para obtenção do modelo do Giapetto em linguagem GAMS.
Clicando em F9 é obtido a solução para este modelo. A solução ótima para este modelo seria.
Produzir 20 soldados e 60 trens gerando um lucro máximo de R$ 180,00 reais. O GAMS oferece
algumas estatísticas referentes ao tamanho do modelo, como se pode ver abaixo no caso do
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 11
modelo Giapetto. As contagens de “BLOCKS” se refere ao número de equações genéricas e
variáveis. As contagens de “SINGLE” se refere as linhas e colunas individuais que estão sendo
geradas na instancia particular do modelo. Para os modelos não lineares, são fornecidas outras
estatísticas para descrever o grau de não linearidade do problema (BROOKE et al., 1997).
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 12
Figura 1.1- Modelo Giapetto em linguagem GAMS.
2- O Senhor Martins é dono de uma oficina muito movimentada na cidade de
Guaratinguetá- SP. Ele querendo maximizar seus retornos e também, visando à
realização de novos investimentos na sua oficina. Resolveu procurar você/SA, para
fazer um planejamento da sua produção, visando à maximização do lucro, e
identificar possíveis áreas para realização de novos investimentos. Os dados da
empresa estão logo abaixo:
Tipo de Máquina
Produto
Produto 2
Produto 3
1
Tempo
disponível
Torno
5
3
5
400
Fresa
8
4
0
500
Furadeira
2
5
3
300
Lucro
20
15
18
Demanda Semanal
40
50
20
máxima
Uma oficina mecânica deseja alocar o tempo ocioso disponível em suas máquinas para a
produção de três produtos. A Tabela abaixo mostra as informações sobre as necessidades de
horas de máquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a
disponibilidade das máquinas, o lucro dos produtos e a demanda máxima existente no
mercado. Deseja-se o esquema semanal de produção de lucro máximo.
Resolvendo o exemplo do senhor Martins.
1 passo: Descrever os índices.
i, j
Os objetos são os i produtos e j recursos
2 passo: Descrever os parâmetros.
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 13
Ri, j: Consumo unitários por produto i de cada recurso j.
Aj: Quantidade disponível do recurso j.
Di: Demanda máxima por produto i.
Li: Lucro unitário por produto i.
3 passo: Descrever as variáveis de decisão.
Xi: Define a produção do produto i.
Z: Expressão da função objetivo.
4 passo: Descrever as equações.
Margem: Define o lucro máximo
Consumoj: Define o consumo por produto i do recurso j.
Dprodutosi: Define a demanda máxima por produto i.
5 passo: Construção do modelo matemático.
n
Max Z   L i .X i
i
sujeito a :
n
consumo j   R i, j .X i  A j
i
Dprodutos i  X i  D i
X I,J  0
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 14
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 15
Figura 1.2: Modelo matemático exemplo 2 em linguagem GAMS.
Solução ótima: Produzir 40 unidades do produto 1, 32 unidades do produto 2 e 20 unidades do
produto 3. Gerando um lucro máximo de R$ 1.640,00.
Solução Dual: Produto 1 R$ 14,00, produto 3 R$ 9,00 e Furadeira R$ 3,00. Interpretação
econômica do dual. Se a oficina aumentasse a demanda do produto 1 em uma unidade o lucro
aumentaria em R$ 14,00. Se a usina aumentasse a demanda em uma unidade do produto 2, o
lucro aumentaria em R$ 9,00. Se o tempo disponível de utilização da furadeira fosse aumentada
em uma hora o lucro aumentaria em R$ 3,00.
Desenvolva e otimize os modelos dos problemas descritos a seguir utilizando-se do
software GAMS.
1 – Uma indústria fabrica dois tipos de papel e para isso utiliza somente uma máquina. Devido a
certas restrições de matéria prima, não se pode diariamente produzir mais do que 4 tons de
papel do tipo A, nem mais do que 6 tons do tipo B. Requer-se 1 hora da máquina para produzir 1
ton. de papel do tipo A e 1 hora para produzir 1 ton. de papel do tipo B. O lucro por ton.
produzida é de R$ 2,00 para o papel do tipo A e de R$ 5,00 para o papel do tipo B. O tempo de
utilização da máquina é de 8 horas/dia. Elaborar o plano ótimo de produção.
2 – Uma pequena indústria usa três tipos de matérias primas, P, Q, R para a fabricação de dois
produtos A e B. As matérias primas em disponibilidade na fábrica são:
20 unidades de P;
12 unidades de Q; e
16 unidades de R.
Por razões tecnológicas, uma unidade do produto A necessita respectivamente de 2, 2 e 4
unidades de matérias primas P, Q e R. Para o produto B esses coeficientes técnicos são 4, 2 e 0,
respectivamente. O fabricante sabe que o lucro na produção de A é de 0,5 unidades monetárias e
de B é de 1 unidade monetária. Qual o lucro máximo e quais as quantidades produzidas das
mercadorias A e B para se obter o lucro máximo?
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 16
3 – Uma companhia de investimento dispõe de R$ 100.000,00 para investir em ações e letras
imobiliárias.
Sua política de aplicação consiste em:
Empregar, no máximo, 50% do disponível em ações; e
Empregar, no máximo, 60% do disponível em letras imobiliárias.
Através de uma pesquisa de mercado, a companhia verificou que deveria empregar, no máximo,
40% do disponível, na diferença entre o dobro da quantidade investida em ações e a quantidade
investida em letras; e empregar, no máximo, 1% do disponível na soma da oitava parte investida
em ações com a quinta parte investida em letras.
As ações produzem uma rentabilidade de 5% ao mês e as letras 4% ao mês. Qual o investimento
ótimo?
4 – Uma fábrica de canetas quer saber do Departamento de Engenharia quantas canetas de cada
tipo (standard, luxo e esferográfica) deverão ser produzidas, para que o lucro da empresa seja
máximo.
INFORMAÇÕES:
a) Do departamento de Produção
Produções máximas mensais possíveis para cada um dos tipos de canetas (isto é,
produzir-se só um tipo):
Standard
Luxo
Esferográfica
15.000
10.000
20.000
b) Do Departamento de Vendas
Máximo de vendas mensais para cada um dos tipos:
Standard
12.000
Luxo
8.000
Esferográfica
30.000
c) Do Departamento de Contabilidade
Lucro unitário para cada tipo:
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 17
Standard
Luxo
R$ 0,70
R$ 0,50
Esferográfica
R$ 0,30
5 – Uma fábrica de automóveis e caminhões possui os seguintes departamentos;
1. Estamparia de pranchas metálicas;
2. Montagem de motores;
3. Montagem de automóveis; e
4. Montagem de caminhões.
O departamento 1 deve estampar, no mínimo por mês, as pranchas necessárias para 25.000
automóveis ou 35.000 caminhões, ou as correspondentes combinações de automóveis e
caminhões.
O departamento 2 deve no mínimo por mês, montar 33.333 motores de automóveis e 16.667
motores de caminhões ou as correspondentes combinações de motores de automóvel e
caminhão.
O departamento 3 pode montar e terminar 40.000 automóveis e o departamento 4, mensalmente
25.000 caminhões (ambos utilizando sua capacidade máxima).
Com o constante aumento do combustível, a fábrica sabe que o prejuízo na fabricação de um
automóvel é de R$ 500,00 e na fabricação de um caminhão é de R$ 200,00. Qual a quantidade de
automóveis e caminhões a ser produzida a fim de que a fábrica tenha o menor prejuízo possível,
dadas as condições atuais do mercado?
6 – Uma indústria de aparelhos eletrodomésticos tem equipamento para produzir geladeiras,
máquinas de lavar e fogões.
O regime de operação da indústria é de 45 horas semanais. Seu equipamento pode fabricar, por
hora, 50 geladeiras ou 25 máquinas de lavar ou 75 fogões.
Uma pesquisa de mercado revelou que a demanda semanal é de 1.000 geladeiras, 500 máquinas
de lavar e 1.500 fogões.
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 18
A geladeira proporciona, por cada unidade vendida, um lucro de R$ 40,00; a máquina de lavar R$
120,00 e o fogão um lucro de R$ 30,00.
Qual seria o modelo matemático da indústria que permitiria o lucro máximo semanal ?
7 – Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer
somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar uma unidade de sapato e uma
unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro
é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2
unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é
maximizar seu lucro por hora.
8 – Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele
necessita transportar 200 caixas com laranjas, tendo um lucro de 20 u.m. por caixa, pelo menos
100 caixas com pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa e no máximo 200 caixas com tangerinas a
30 u.m de lucro por caixa. Construir o modelo matemático que permita ao vendedor carregar o
caminhão de modo a obter o lucro máximo.
9 – Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com
20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores,
enquanto o programa “B” com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção
de 10.000 telespectadores. NO decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no
mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música.
Quantas vezes por semana cada programa devem ser levadas ao ar para obter o número máximo
de telespectadores? Construa o modelo do sistema.
10 – Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades
produtivas.
Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 19
A (Arrendamento) – Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana de açúcar, a
uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por alqueire
por ano.
P (Pecuária) – Usar outra parte para criação de gado de corte. A recuperação das pastagens
requer adubação (100 kg / Alq) e irrigação (100.000 l de água / Alq) por ano. O lucro estimado
nessa atividade é de $ 400,00 / Alq no ano.
S (Plantio de Soja) – Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg
por alqueire de adubos e 200.000 l de água / Alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa
atividade é de $ 500,00 por alqueire no ano.
Disponibilidade de recursos por ano:
12.750.000 l de água;
14.000 kg de adubo; e
100 alqueires de terra.
Quanto alqueire deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?
Capítulo 3
3. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS LINEARES PRÁTICOS POR MEIO DO GAMS
É comum durante o desenvolvimento de modelos matemáticos nos depararmos com problemas onde há
limites de demanda para determinados produtos. Como exemplo, iremos modelar um problema em
linguagem GAMS. Os dados estão dispostos abaixo. O Quadro 3.1 refere-se aos recursos disponíveis na
fazenda para realização das atividades leiteiras e de corte.
Quadro 3.1- Recursos disponíveis
Abreviatura
AT
RESTRIÇÕES
Área total disponível para a atividade leiteira – ha/ano
TR
Custo da terra (devendo ser considerado o custo de oportunidade e o custo de manutenção –
adubação, reforma de pasto, limpeza e destoca) – R$/ano
BE
Custo e despesas com benfeitorias (considerando-se a depreciação, o custo de oportunidade e
o custo de manutenção) – R$/ano
MI
Custo e despesas com máquinas e implementos (considerando-se a depreciação, o custo de
oportunidade e o custo de manutenção) – R$/ano
EQ
Custo e despesas com equipamentos (considerando-se a depreciação, o custo de
oportunidade e o custo de manutenção) – R$/ano
RE
Custo e despesas com reprodutores (considerando-se a depreciação e o custo de
oportunidade) – R$/ano
AL
Custo e despesas com alimentação (considerando-se o gasto com concentrados, suplementos
e forrageiras e o custo alternativo) – R$/ano
PV
Custo e despesas com produtos veterinários (considerando-se o gasto e o custo alternativo) –
R$/ano
IA
Custo e despesas com inseminação artificial (considerando-se o gasto e o custo alternativo) –
R$/ano
TE
Custo e despesas com transferência de embriões (considerando-se o gasto e o custo
alternativo) – R$/ano
DA
Gastos com despesas administrativas (considerando-se também o custo alternativo) – R$/ano
MK
Gastos com marketing e propaganda (considerando-se também o custo alternativo) – R$/ano
MO
Custo e despesas com mão-de-obra (considerando-se o gasto efetivo, os encargos pagos e o
custo alternativo) – R$/ano
A Tabela 3.1 mostra os recursos disponíveis e o consumo por categoria de animal para o ano de 2004.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 21
Tabela 3.1- Consumo anual por animal.
Restrições
RECURSOS
DISPONÍVEIS
RECURSOS CONSUMIDOS POR
CATEGORIA
Unidades
Bezerras
Bezerros
Novilhas
Vacas
Touro
AT
196,50
ha/ano
0,09
0,09
0,25
0,35
0,42
TR
39.493,39
R$/ano
43,37
32,81
66,12
88,78
1535,85
BE
9.894,38
R$/ano
4,07
3,08
3,16
68,26
10,99
MI
51.601,87
R$/ano
70,83
53,59
45,25
276,01
57,34
EQ
13.605,94
R$/ano
3,73
2,83
2,17
99,14
15,12
RE
2.432,04
R$/ano
10,35
7,83
6,59
0,94
0,00
AL
235.063,69
R$/ano
161,32
122,07
393,56
1239,10
261,18
PV
19.243,82
R$/ano
42,26
31,98
27,62
73,10
21,38
IA
3.923,65
R$/ano
16,69
12,63
10,64
1,52
0,00
TE
7.240,00
R$/ano
30,81
23,31
19,63
2,81
0,00
DA
35.535,30
R$/ano
34,14
25,83
19,83
214,86
78,97
MK
18.089,05
R$/ano
69,52
52,60
51,92
5,61
80,40
MO
RO
51.729,07
R$/ano
42,60
32,23
28,87
Orçamento disponível: R$ 487.852,20
316,79
114,95
Essa Tabela foi obtida por meio de rateio, considerando o consumo efetivo de recursos e o tempo de
permanência de cada categoria animal na propriedade. Para garantir a sustentabilidade econômica da
produção de leite e da produção animais da Fazenda , foram inseridas restrições adicionais as
quantidades máximas e mínimas que cada categoria animal deveria possuir, conforme apresentado na
Tabela 3,2. Esses valores são baseados na taxa de lotação histórica da fazenda no ano de 2003.
Tabela 3.2- Categorias de animais
Categoria
X1
X2
X3
X4
X5
Qtde Máxima
95
135
170
200
12
Qtde Mínima
39
53
60
100
-
O orçamento disponível é de R$ 487.852,20. O objetivo é maximizar a quantidade de animais. Formule o
modelo utilizando-se da linguagem GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 22
Índices:
i associado às categorias de animais (Bezerras, Bezerros, Novilhas, Vacas e Touros).
j associado às categorias dos recursos (AT, TR, BE, MI, EQ, RE, AL, PV, IA, TE, DA, MK, MO,RO).
Parâmetros:
Pj: associado ao índice j define os limites máximos de cada recurso.
Ri, j: associado ao consumo unitário do recurso j por categoria de animal i.
Variáveis:
Xi: Quantidade por categoria de animal.
Z: Associada ao cálculo da função objetivo.
Equações:
Animais define a função objetivo
AJ: Calcula o quanto a ser utilizado do recurso j por categoria de animal i.
maxbezerrai: máximo de bezerras.
minbezerrai: mínimo de bezerras.
maxbezerrosi: máximo de bezerros.
minbezerrosi: mínimo de bezerros.
maxnovilhasi: máximo de novilhas.
minnovilhasi: mínimo de novilhas.
maxvacasi: máximo de vacas
minvacasi: mínimo de vacas.
mintouroi: mínimo de touro.
maxtouroi: máximo de touro.
Vamos introduzir outro comando na linguagem GAMS denominado SCALAR neste caso esse comando vai
representar uma constante que não está ligado a nenhum índice.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 23
n
animais Z   X i
i
sujeito a :
n
R
i, j
. X i  Pj
i
maxbezerra i  X "bezerras "  95
minbezerra i  X "bezerras "  39
maxbezerro i  X "bezerros "  135
minbezerro i  X "bezerros "  53
maxnovilhas i  X "novilhas"  170
minnovilhas i  X "novilhas"  60
maxvacasi  X "vacas"  200
minvacas i  X "vacas"  100
maxtouro i  X "touro"  12
mintouro i  X "touro"  9
X i, j  0
Para este modelo temos um problema de programação inteira. Este assunto será discutido nos próximos
capítulos. Portanto, resolveremos o mesmo por meio da otimização linear contínua.
A Figura 3.1 mostra o modelo em linguagem GAMS. A solução ótima não inteira seria: bezerras= 39,
bezerros= 132,33, novilhas= 132,172, vacas= 127,773 e touro= 8,71. Utilizando 486.350,05 do
orçamento.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 24
Figura 3.1- Modelo agricultura em GAMS.
Os ‘e as “ (estes pontos ‘ “) são indexadores de índices na linguagem GAMS.
Exemplo 4: Alocação de tarefas.
Uma empresa de correios deseja estabelecer o número de funcionários de horários integral que deve
contratar para iniciar suas atividades. Para fazê-lo, recebeu uma matriz da empresa com o número
mínimo de funcionários por dia da semana. Estas informações se encontram na Tabela 3.3. O
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 25
sindicato dos empregados de franqueadores dos correios mantém um acordo sindical que
determina que cada empregado deve trabalhar cinco dias consecutivos e folgar em seguida dois
dias, e que as franquias devem ter apenas empregados com horário integral. Desenvolva e otimize o
modelo de maneira a determinar o número total de empregados que a franquia deve contratar e o
número de empregados por dia, utilizando a linguagem de modelagem GAMS.
Tabela 3.3- Dados do problema da empresa correios.
Dia da semana
Número de funcionários
Domingo
11
Segunda-feira
18
Terça-feira
12
Quarta-feira
15
Quinta-feira
14
Sexta-feira
14
Sábado
16
Índices:
n: associado ao número de funcionários
s: associado aos dias da semana.
Parâmetros:
Alocaçãos,n: associado ao número de funcionários n requeridos no dia da semana s.
Funcionáriosn: associado ao número mínimo de funcionários n para trabalhar no dia da semana s.
Variáveis:
Z associada à função objetivo.
Xs: número de funcionários i contratados no dia da semana s.
Equações:
Func: calcula a função objetivo.
Alocadosn: calcula o número de funcionários alocados em cada dia da semana s.
A Figura 3.2 mostra o resumo do modelo no GAMS. A solução ótima para o problema é contratar 22,6666
funcionários no total, sendo que seria contratado 5 funcionários no domingo, 1,666 na segunda, 4.667 na
terça, 7,667 na quinta e 3.667 no sábado. Os totais de empregados disponíveis por dia da semana estão
dispostos abaixo, sendo N1 número de funcionários que iniciam a atividade no domingo e N7 o número
de funcionários que iniciam a atividade no sábado. N1= 16.333, N2= 18, N3= 15, N4= 15, N5= 19 e N6=14
e N7= 16
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 26
n
func. Z   X s
s
sujeito a :
alocados n
 alocacao
s, n
. X s  funcionarios n
s
X s, n  0
Figura 3.2- Modelo correios pelo GAMS.
Exemplo de decisão entre fazer ou comprar:
A turbo motores LTDA, uma fábrica de motores especiais, recebeu recentemente R$ 100.000,00 em
pedidos de seus três tipos de motores. Cada motor necessita de um determinado número de horas de
trabalho no setor de montagem e acabamento. A turbo motores deseja determinar quantos motores
devem ser produzidos em sua fábrica e quantos devem ser produzidos de forma terceirizada para
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 27
atender à demanda de pedidos. A Tabela 3.4 mostra as informações referentes a esta empresa.
Tabela 3.4- Dados da empresa turbo motores.
Modelo
1
2
3
Disponibilidade
Demanda
3000 unid
2500 unid
550 unid
Montagem
1 h/unid
2h/unid
0,5 h/unid
6000 h
Acabamento
2.5 h/unid
1h/unid
4h/unid
10000h
Custo de
R$ 50
R$ 90
R$ 120
R$ 65
R$ 92
R$ 140
produção
Terceirização
Índices:
p: associado à produção.
j: associado aos recursos.
Parâmetros:
Aj: associado à disponibilidade dos recursos j.
Produzirp,: associado ao consumo da recurso j pelo produto p.
Custop: associado ao custo de produção do produto p.
cust: associado ao custo de terceirização t.
demandap,: associado a decisão unitária de produção e terceirização.
demandasp: associado a demanda do produto p que pode ser fabricado ou terceirizado.
Variáveis.
Z relacionado à função objetivo.
Mincp,: quantidade a ser produzida e terceirizada do produto p visando a obtenção do menor custo.
Produzidop: quantidade a ser fabricada do produto p.
Terceirizadop: quantidade a ser terceirizada do produto p.
Equações:
Customin: calcula o custo mínimo.
Consumop: calcula o consumo do recurso j pelo produto p.
Decisãop,t: calcula a decisão entre produzir e terceirizar.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 28
Modelo matemático:
customin. Z   produzido p .custo p   terceirizado p .cus t
p
t
Sujeito a :
consumo j .. produzirp, j .produzido p  A j
p
produzido p  terceirzado p  demandas p
minc, produzido, terceirizado  0
A figura 3.3 resume o desenvolvimento desse modelo em GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 29
Figura 3.3- Modelo de decisão de compra ou terceirização em GAMS
Solução ótima: Produzir P1=3.000; P2= 500; P3= 500, terceirizando a produção de P2= 2.000. Gerando um
lucro máximo= R$ 43.900,00.
Capítulo 4
4.
DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DINÂMICOS
A maioria dos problemas de otimização práticos são multiperíodo ou dinâmicos, e neste caso o
modelo matemático torna-se mais complexo. Resolvamos o problema de estoque:
Uma empresa de barcos precisa determinar quantos veleiros devem ser produzidos durante
cada um dos 4 próximos trimestres. A demanda de cada um dos trimestres é: primeiro
trimestre, 40 veleiros; segundo trimestre, 60 veleiros, terceiro trimestre, 75 veleiros, quarto
trimestre, 25 veleiros. A empresa quer atender a demanda prontamente. No início do
primeiro trimestre, a empresa tem 10 veleiros em estoque. No início de cada trimestre, a
empresa precisa decidir quantos veleiros devem ser produzidos durante o trimestre. Por
simplicidade, assume-se que os veleiros são fabricados durante um trimestre podem ser
usados para atender a demanda deste trimestre. Durante cada trimestre, a empresa pode
produzir até 40 veleiros com sua mão de obra regular a um custo de R$ 400,00 por veleiros.
Tendo de trabalhar com horas extras durante o trimestre, a empresa pode produzir veleiros
a mais a um custo total de R$ 450,00 por barco. No final de cada trimestre após ter ocorrido
a produção e a demanda do trimestre ter sido atendida, um custo de transporte ou
armazenagem de R$ 20,00 por barco ocorre. Desenvolva o modelo matemático por meio do
software GAMS.
Solução:
Índices:
i: associado ao produto veleiro.
t: associado aos trimestres.
Na linguagem GAMS há outra função chamada alias, esta função permite a inclusão de subíndices
no modelo matemático. Neste caso vamos criar 2 subíndices, associados ao índice principal t
t,textra: associado à produção utilizando horas extras no trimestre t.
t,stoks: associado ao estoque do produto veleiro no trimestre t.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 31
Parâmetros:
Demandat: associado à demanda requerida do produto i para cada trimestre t.
Producaot: associado à produção máxima para o produto i para cada trimestre t.
Mt,i: associado à produção do produto i usando a mão de obra normal no trimestre t.
Extratextra,i: associado à produção do produto i utilizando horas extras no trimestre t.
Estocagemstoks,i: associado à estocagem do produto i no trimestre t.
I0t,i,: associado ao estoque inicial do produto i no trimestre t.
Contrt: controle de estoque inicial.
Variáveis:
Z função objetivo.
produtoextrat,i: produção do produto i com mão de obra extra no trimestre t.
produtoestoquet,i: estoque do produto i no trimestre t.
Equações:
Mincusto: calcula o custo mínimo da função objetivo.
Limitet: calcula a produção do produto i no trimestre t.
fabricaot: calcula o limite fabricado em horas disponíveis.
calculoestoquet: calcula a capacidade de estoque no trimestre t.
Z   produto t,i .M t,i 
t,i
 produtoextra
textra,i
.extra textra,i 
textra,i
 produtoest0ques
stoks, i
.estocagem stoks,i
stoks, i
sujeito a :
limite t .   produto t,i   produtoextra t,i I0t ,i   produtoestoque t -1,i  demanda t
i
i
i
fabricacao t   produto t,i  producao t
i
calculoestoque t   produtoestoque t,i   produto t,i   produtoextra t,i  I0 t,i 
i
 produtoestoque
t -1,i
i
 demanda t
i
produtos t,i , produtoextra t,i , produtoestoque t,i  0
A Figura 4.1 mostra este modelo em linguagem GAMS.
i
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 32
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 33
Figura 4.1- Modelo dinâmico de estoque em linguagem GAMS.
Solução ótima: produção utilizando horas normais: t1=40; t2= 40; t3= 40 e t4= 25.
Produção utilizando horas extras: t2= 10; t3= 35.
Estoques: t1= 10. Custo mínimo R$ 7.840,00
Exemplo 2: Fluxo de caixa multiperíodo.
Uma empresa está construindo um novo restaurante que integrará a sua cadeia no próximo
ano. Para tal, necessita de um total de R$ 500.000,00 que será pago à construtora em duas
parcelas de R$ 150.000,00 ao final do 2º e 5º meses, e uma parcela de R$ 200.000,00 ao
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 34
término da construção no fim do 7º mês. A empresa dispõe de 4 tipos de investimentos que
podem ser utilizados a fim de gerar caixa para quitar a construção de maneira a reduzir a
necessidade total de caixa. Informações:
Investimento
Aplicação
Meses de duração
Retorno ao final do
disponível no
da aplicação
investimento
início dos meses
Tipo A
1,2,3,4,5,6,7
1
1.5%
Tipo B
1,3,5
2
3.2%
Tipo C
1,4
3
4.5%
Tipo D
1
7
9%
Solução:
Índices:
j: associado aos tipos de investimento.
m: associado aos meses.
a: associado às aplicações disponíveis.
Parâmetros:
Investimentosj, a, m: associado a alocado do disponível a no tipo de investimento j no mês m.
Dm: associado à parcela a ser paga no mês m.
Variáveis:
Z associada à função objetivo.
Utilizadoj, a: associada ao valor aplicado no tipo de investimento j do disponível a.
Equações:
Aplicações: calcula a função objetivo.
Cálculom: calcula o valor aplicado em cada tipo de investimento.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 35
Aplicações.. Min Z  UtilizadoA1  UtilizadoB1  UtilizadoC1  UtilizadoD1
sujeito a :
n
 Investimentos
j, a,m
.Utilizado j,a  D m
j, a
Utilizado j,a  0
A Figura 4.2 contempla o modelo fluxo de caixa em linguagem GAMS.
Figura 4.2- Modelo fluxo de caixa em linguagem GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 36
Exercícios propostos
Uma fábrica produz refrigeradores, freezers e fornos. A demanda mensal média destes produtos
é, respectivamente, de 115.000, 58.000 e 48.000 unidades, e segue um esquema de médias
móveis com período de 4, isto é, a demanda de quatro meses consecutivos e constantes ao longo
do tempo. A demanda registrada nos últimos três meses foi à seguinte:
Demanda mensal por (unidades)
Produto
Julho
Agosto
Setembro
Refrigerador
125.000
108.000
136.000
Freezer
57.000
52.000
73.000
Forno
45.000
36.000
58.000
Para fabricar estes produtos, três recursos básicos são necessários (MDO, MP e energia), cujos
consumos unitários estão apresentados no quadro abaixo.
Consumo unitário
Produto
MDO/ horas
Material Kg
Energia kWh
Refrigerador
1,4
17
25
Freezer
1,7
21
23
Forno
1,1
10
17
A fábrica dispõe de 1.900 empregados na linha de produção, cada um dos quais trabalha 200
horas por mês. O custo de armazenamento mensal de uma unidade de cada produto R$ 10, R$ 13,
R$ 8, respectivamente. A disponibilidade mensal de energia é 5,5 x 106 KW/h. A empresa poderá
comprar até 3.850 ton/ mês de material, que poderá ser armazenado a um custo mensal de R$
0,15kg. Desenvolva o modelo matemático que permita determinar o plano ótimo de produçãomaterial-pessoal para os próximos 12 meses, de modo a garantir que todos os empregados
entrem em férias (1 mês) durante este período. Considere que no início do mês de outubro não
existe estoque de produto acabado e que o estoque de matéria-prima é de 3.200 toneladas.
Capítulo 5
5.
DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS INTEIROS
Supondo que a empresa X, tenha uma disponibilidade máxima de R$ 650 reais para realizar
vários investimentos. A taxa mínima de atratividade requerida por esta empresa é 10%,
para cada um dos projetos. Os projetos 1 a 6 são mutuamente excludentes, ou seja, a escolha
de um elimina os outros 5.
Após a realização dos cálculos obtiveram os seguintes resultados
Projeto
1
Investimento Inicial/
(UM 1.000,00)
R$ 150,00
Valor Presente p/ I=
10% p/UM 1.000,00
R$ 500,00
2
R$ 160,00
R$ 515,00
3
R$ 170,00
R$ 555,00
4
R$ 210,00
R$ 530,00
5
R$ 180,00
R$ 565,00
6
R$ 240,00
R$ 595,00
7
R$ 200,00
R$ 500,00
8
R$ 150,00
R$ 400,00
9
R$ 70,00
R$ 30,00
10
R$ 250,00
R$ 350,00
11
R$ 150,00
R$ 300,00
Selecionar o portfólio de projetos que maximize o valor presente desta empresa. Os recursos
disponíveis são de R$ 650.
Solução:
Índices:
p: associado aos projetos disponíveis.
Parâmetros:
Investimentop: capital disponível para investir no projeto p.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Inteiros______________________________________ 38
VPLp: Valor presente do projeto p.
Variáveis:
Z: Função objetivo
MAXVPLp: associado à escolha do projeto p.
Modelo matemático:
n
Max Z   MAXVPL p .VPL p
p
sujeito a :
6
 MAXVPL
p
1
p
MAXVPL p .Investimento p  650
MaxVPL p  0, 1
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Inteiros______________________________________ 39
Figura 5.1- Modelo MIP1 em GAMS.
Solução ótima: Investir nos projetos: P1, P7, P8 e P11. Gerando um VPL máximo R$ 1.700,00.
Exemplo 2:
Uma indústria quer se expandir, construindo nova Fábrica ou em Itajubá ou em
Guaratinguetá. Também será considerada a construção de um novo Depósito na cidade que
for selecionada para receber a nova Fábrica. O Valor Presente Líquido de cada alternativa
está na Tabela 5.1. A última coluna dá o Capital Requerido para os investimentos, sendo o
capital total disponível $25 milhões.
Achar a combinação viável de alternativas que
Maximize o Valor Presente Líquido Total.
Tabela 5.1- Dados para a construção da nova Fábrica.
Capital
Decisão
Sim ou Não
VPL
Requerido
1
Fábrica em Itajubá
7.000.000
20.000.000
2
Fábrica em Guaratinguetá
5.000.000
15.000.000
3
Depósito em Itajubá
4.000.000
12.000.000
4
Depósito em Guaratinguetá
3.000.000
10.000.000
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Inteiros______________________________________ 40
Solução: Modelo Matemático:
n
Max Z   selecao i, j .VPL i, j
i, j
sujeito a :
n
 selecao
i, j
.capital i, j  25.000.000 Restrição orçamentária
i, j
selecao"itajuba", "fabrica"  selecao"itajuba", "deposito"
selecao i, j  0, 1
A Figura 5.2 mostra este modelo em linguagem GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos Inteiros______________________________________ 41
Figura 5.2- Modelo MIP2 em linguagem GAMS.
Solução ótima: Construir tudo em Guaratinguetá. Gerando um VPL máximo de R$ 8.000.000,00.
Repare que utilizamos o solver MIP (CPLEX 12.1.0), sendo este solver o mais adequado para
resolver problemas mistos, binários e inteiros.
Capítulo 6
6. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE REDES
De forma geral, modelos de rede são utilizados em casos especiais de otimização linear que são
mais bem analisados por meio de uma representação gráfica.
Modelos de rede são diagramas compostos por uma coleção de vértices ou nós ligados entre si
por um conjunto de arcos, conforme mostra a Figura 6.1. Os nós são os círculos e os arcos são as
retas de ligação.
Figura 6.1- Componentes de uma rede.
Os problemas modelados como redes geralmente apresentam números associados aos nós e aos
arcos. Em problemas de transporte modelados como redes, por exemplo, os números associados
aos nós podem representar a quantidade de produtos ofertados ou demanda pelo nó, ao passo
que os valores dos arcos podem refletir os custos de transporte (ou tempo, ou à distância) entre
um nó e o outro. Diversos problemas de tomada de decisão práticos estão categorizados como
problemas de Rede. Entre eles pode-se citar:
 Problemas de transporte; Escala de Produção; Rede de Distribuição; Problemas de Menor
Caminho; Problemas de fluxo máximo; Problemas de caminho crítico; Problemas de
árvores geradoras mínimas.
A
Figura
6.2
contempla
um
exemplo
de
redes
em
problemas
de
transporte.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 43
Figura 6.2- Exemplo de problemas de transporte.
Exemplo 1:
Uma empresa fabricante de bicicletas possui três fábricas localizadas no Rio, em São Paulo e
em Belo Horizonte. A produção da empresa deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus.
Considerando os custos de transporte unitários, a capacidade de produção das fábricas e a
demanda dos centros consumidores ilustrados na Tabela a seguir.
Determine quanto deve ser produzido e entregue por fábrica em cada centro consumidor, de
forma a minimizar os custos de transporte.
Fábrica/
Recife
Salvador
Manaus
Capacidade
Rio
25
20
30
2000
SP
30
25
25
3000
BH
20
15
23
1500
Demanda
2000
2000
1000
Consumidor
Solução:
Índices:
i: associado às fábricas
j: associado aos destinos.
Parâmetros:
Custoi, j: associado ao envio da fábrica i para o destino j.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 44
Capacidadei: associado à capacidade máxima de armazenagem da fábrica i.
Demandasj: associado à demanda requerida pelo destino j.
Variáveis:
Z: função objetivo.
Mincustoi, j: associada à quantidade enviada da fábrica i para o destino j ao menor custo.
MODELO MATEMÁTICO:
n
Z   envio i, j .custo i, j
i, j
sujeito a :
 envio
i, j
 capacidade i
 envio
i, j
 Demanda j
j
i
envio i, j  0
A Figura 6.3 mostra este modelo em GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 45
Figura 6.3: Modelo Rede 1.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 46
Este modelo pode ser representado por um formato de rede conforme contemplado pela Figura
6.4.
Figura 6.4- Modelo de rede do exemplo 1.
Em modelos de transporte as equações devem estar equilibradas, isto é, oferta total= demanda
total. Entretanto, podemos adotar um fluxo de balanceamento.
Hipótese do Problema
Tipo de Restrição
Oferta > Demanda
Entradas-Saídas ≥ Oferta ou demanda do nó
Oferta < Demanda
Entradas- Saídas ≤ Oferta ou Demanda do nó
Oferta= Demanda
Entradas-Saídas= Oferta ou demanda do nó
Neste caso a oferta é maior que a demanda.
A Figura 6.5 contempla este exemplo modelado em linguagem GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 47
Figura 6.5- Exemplo de modelo de rede em transportes.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 48
6.2 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE REDES EM PROBLEMAS
DE ESCALA DE PRODUÇÃO
Uma empresa fornece motores para um grande número de equipes de fórmula 1. A
companhia detém uma série de contratos de entregas futuras programadas para o próximo
ano. As entregas deverão ocorrer trimestralmente, de acordo com as necessidades das
equipes. A Tabela a seguir resume por trimestre as entregas programadas, a capacidade
máxima de produção e o custo unitário de produção. As entregas são feitas no final do
trimestre e os motores podem ser armazenados por quantos trimestres forem necessários
ao custo de 0,015 milhão de reais por trimestre. A diretoria deseja minimizar os custos
totais de produção (produção + armazenagem). Quantos e quando os motores pedidos
devem ser produzidos e entregues?
Pedidos
Capacidade de
Custos unitários em milhares de
Contratados
Produção
reais
1
10
25
1,08
2
15
35
1,11
3
25
30
1,1
4
20
10
1,13
Trimestre
Para resolver este problema como um problema de transporte, precisamos primeiramente
determinar quais serão as fontes, os destinos e as variáveis de decisão.
Solução:
Índices:
i: associado à produção dos motores.
j: associado à entrega dos motores.
t: associado aos trimestres.
Parâmetros:
Custoi, t: associado ao custo de produção.
Capacidadei: capacidade máxima de produção.
Contratosj, t: associado à demanda dos motores em cada trimestre.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 49
Demandasj,
i, t:
associado à entrega do motor produzido no trimestre t a ser entregue nos
trimestres.
capacidadesp11i, t: associado à entrega dos motores produzidos no trimestre t.
estoquest: associado ao custo de estoque no trimestre t.
estoquessi, t: associado ao estoque no trimestre t.
Variáveis:
Z: função objetivo.
Envioi, t: quantidade a ser enviada do motor produzido no trimestre t.
Stokt: associada à ociosidade no trimestre t.
n
n
i ,t
t
Z   envio i, t .custo i, t   stok t .estoques t
sujeito a :
n
 envio
i, t
 envio
i, t
t
. capacidade i, t   stok t .estoquess i, t  capacidadei
t
.demandas j, i, t  contratos j, t
i
n
 stok
t
 30
t
envio i, j  0
stok t  0
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 50
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 51
Figura 6.6 - Exemplo de modelos de produção.
6.3 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE REDE DE DISTRIBUIÇÃO
Problemas que consideram múltiplas fontes, centros consumidores e locais intermediários por
onde os produtos simplesmente passam são denominados de problemas de rede de distribuição.
Os problemas de transporte podem ser vistos como uma simplificação do problema de rede de
distribuição de custo mínimo, onde as localizações intermediárias não existem.
Exemplo 1:
Uma montadora de tratores está iniciando as suas operações no país, construindo duas
fábricas: uma na Bahia e outra em São Paulo. A montadora está estudando a forma de
distribuição de seus carros para as diversas revendas, localizadas nos estados de Goiás, Rio
de Janeiro, Minas Gerais, Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul, que minimize o custo
total de distribuição. As capacidades instaladas de cada uma das fábricas, as demandas das
revendas, bem como os custos unitários de transporte entre fábricas e revendas estão
evidenciadas na rede abaixo:
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 52
Figura 6.7- Diagrama de Rede do exemplo 1.
Neste problema a oferta é maior que a demanda e, portanto, adota-se que as entradas- saídas ≤
oferta do nó.
Solução:
Índices:
i: associado aos nós de oferta.
j: associado aos nós de demanda.
Parâmetros:
Capacidadei: associado à capacidade máxima dos nós de oferta.
Demandaj: associado à demanda máxima do destino j.
Custoi, j: associado ao custo de envio da origem i para o destino j.
Redei j: associado à distribuição da origem i para o destino j.
Redesi, j: associado à distribuição da rede.
Variáveis:
Z: função Objetivo.
Envioi, j: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 53
Modelo:
n
Z   envio i, j .custo i, j
i, j
sujeito a :
 envio
i, j
. rede i, j  capacidade
i
 envio
i, j
. redes i, j  Demanda
j
j
i
envio i, j  0
A Figura 6.8 mostra esse modelo em linguagem GAMS. Solução ótima:
Origem/Destino
SC
BA
SP
100
D
50
Custo mínimo
MG
GO
RJ
200
150
150
RS
200
300
250
R$ 28.000,00
PR
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 54
Figura 6.8- Modelo distribuição em GAMS.
A variável D é uma adição de uma origem fictícia, pois a demanda é maior que a oferta e, em
modelos de transporte a oferta total = demanda total. A leitura é a seguinte: não foram enviadas
50 e 250 unidades para SC e RS respectivamente.
6.4 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS DO MENOR CAMINHO
O problema do menor caminho representa um caso especial de problemas de redes, em que os
arcos significam a distância entre dois pontos (vértices ou nós). Quando desejamos achar a rota
que une estes pontos com distância mínima entre as possíveis rotas, temos um problema do tipo
do menor caminho.
Em problemas do menor caminho haverá sempre dois tipos de vértices especiais chamados de
origem e destino. Entre estes nós há nós intermediários, que podem representar cidades que
conectam rodovias, subestações em problemas de distribuição de energia, e assim por diante.
Exemplo 2:
A fábrica de artigos e decoração Águia, localizada em Lambari, Minas Gerais, deve entregar
uma grande quantidade de peças na cidade de Baependi, localizada no mesmo estado. A
empresa quer saber qual o caminho que seu caminhão de entregas deve percorrer para
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 55
minimizar a distância total percorrida. A Figura 6.9 mostra as cidades e as respectivas
distâncias.
Figura 6.9- Mapa rodoviário que liga as cidades de Lambari a Baependi
Solução:
Índices:
i: associado aos nós de oferta.
j: associado aos nós de demanda.
Parâmetros:
Distânciai, j: associado à distância da origem i para o destino j.
Circuitoi, j: associado à rede entre a origem i para o destino j.
Circuito2i, j: associado à rede entre a origem i para o destino j.
Circuito3i, j: associado à rede entre a origem i para o destino j.
Circuito4i, j: associado à rede entre a origem i para o destino j.
Cicloi, j: associado à rede entre a origem i=lambari para o destino j.
Ciclosi, j: associado à rede para o destino final.
Nosi: associado ao nó especial da origem.
Nosj: associado ao nó especial do destino final.
Variáveis:
Z: função Objetivo.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 56
Envioi, j: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.
Modelo:
n
Z   envio i, j .distancia
i, j
i, j
sujeito a :
 envio
i, j
. ciclo i, j  Nos i
 envio
i, j
. ciclo i, j  Nos j
 envio
i, j
. circuito i, j  0
 envio
i, j
. circuito2 i, j  0
 envio
i, j
. circuito3 i, j  0
 envio
i, j
. circuito4 i, j  0
j
i
i
i
i
i
envio i, j  0;1
A Figura 6.10 mostra esse modelo em GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 57
Figura 6.10- Problema do menor caminho em GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 58
6.5 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS DE FLUXO MÁXIMO
O tipo de problema de fluxo máximo é utilizado quando queremos maximizar a quantidade de
fluxo de um ponto de origem para um ponto de destino, sujeitos a restrições de capacidade de
fluxo nos arcos.
Estes problemas geralmente envolvem um fluxo de materiais como água, óleo, gás, energia por
meio de uma rede de tubos ou cabos, porém, também podem representar o fluxo mínimo de
carros em uma malha rodoviária, de produtos em linha de produção, e assim por diante.
Exemplo:
Uma empresa distribuidora de gás deseja determinar a quantidade máxima de metros
cúbicos por segundo de gás que pode bombear da estação de campos para o centro
consumidor do Rio de Janeiro, por meio da rede de gasodutos. A Figura 6.11 ilustra a
estrutura da rede de distribuição e apresenta a capacidade de fluxo máximo nos trechos em
metros cúbicos por segundo.
Figura 6.11- Rede de gasodutos que ligam campos ao Rio de Janeiro.
Solução:
Índices:
i: associado aos nós de oferta.
ii: associado aos nós de destino.
Parâmetros:
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 59
Capacidadei, ii: associado à capacidade máxima de fluxo de cada nó.
Circuitoi,ii: associado ao circuito do nó A.
Circuito2i,ii: associado ao circuito do nó 1.
Circuito3i, ii associado ao circuito do nó 2.
Circuito4i, ii: associado ao circuito do nó 3.
Circuito5i, ii: associado ao circuito do nó 4.
Circuito6i, ii: associado ao circuito do nó B.
Variáveis:
Z: função Objetivo.
Envioi, ii: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.
Z  envio "b", "a"
sujeito a :
envio i, ii  capacidade
i, ii
 envio
i, ii
.circuito i, ii  0
 envio
i, ii
.circuito2 i,ii  0
 envio
i, ii
.circuito3 i, ii  0
 envio
i, ii
.circuito4 i,ii  0
 envio
i, ii
.circuito5 i, ii  0
 envio
i, ii
.circuito i, ii  0
i, ii
i, ii
i, ii
i, ii
i, ii
i, ii
envio i, ii  
A Figura 6.12 contempla esse modelo em linguagem GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 60
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 61
Figura 6.12: Modelo fluxo máximo em GAMS.
Solução ótima:
Origem/destino
A
A
1
2
1
2
40
20
3
4
20
20
B
20
3
20
4
40
B
60
Fluxo máximo BA= 60.
6.6 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS DE ESCALA DE PRODUCAO COMO
MODELOS DE REDE POR MEIO DO GAMS
O caso dos problemas de escala de produção pode ser visto como problemas de transporte na
forma tradicional.
Exemplo:
A fábrica de eletrodomésticos Galáctica deseja realizar o escalonamento de sua produção de
liquidificadores para os próximos quatro meses. A fábrica pode produzir mensalmente, em
jornada normal, 150.000 unidades a um custo unitário de R$ 15. Por meio do pagamento de
horas extras, a capacidade mensal de produção da fábrica pode ser aumentada em 50.000
liquidificadores, a um custo de produção unitário de R$ 22 (somente aos adicionais). Existe a
possibilidade de armazenagem ilimitada de unidades de um mês para o outro a um custo
unitário mensal de R$ 3. Sabendo que as demandas de liquidificadores para os próximos
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 62
quatro meses são de 120.000, 200.000, 120.000 e 180.000, resolva o problema utilizando-se
da linguagem GAMS.
Do nó
Para o nó
Custo
1
A
15
1
E
0
2
A
22
3
B
15
3
E
0
4
E
0
4
B
22
5
C
15
5
E
0
6
C
22
6
E
0
T
D
15
T
E
0
8
D
22
8
E
0
A
B
3
A
C
3
C
D
3
Os nós ímpares são os nós de produção sem horas extras. As letras a, b, c e d referem-se à
demanda por mês, o nó E é um nó fictício utilizado para equilibrar a oferta com a demanda.
Solução:
Índices:
i: associado aos nós de oferta.
j: associado aos nós de destino.
Parâmetros:
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 63
Custoi ,j: associado ao custo entre os nós de saída com os nós de entrada.
Cicloi,j: associado ao circuito entre os nós com o nó fictício.
Circuitoi, j: associado ao circuito do nó A.
Circuito2i, j: associado ao circuito do nó 1.
Circuito3i, j associado ao circuito do nó b.
Circuito4i, j: associado ao circuito do nó c.
Circuito5i, j: associado ao circuito do nó e.
Variáveis:
Z: função Objetivo.
Envioi, ii: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.
Z  envio i, j .custo i, j
sujeito a :

envio i, j .ciclo i, j  demanda
i
j
 envio
i, j
.circuito i, j  120000
 envio
i, j
.circuito2 i, j  200000
 envio
i, j
.circuito3 i, j  120000
 envio
i, j
.circuito4 i, j  180000
 envio
i, j
.circuito5 i, j  180000
envio i, j  
A Figura 6.13 contempla este modelo em linguagem GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 64
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 65
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 66
Figura 6.13: Modelo de escala de produção formulado em GAMS.
A Tabela abaixo apresenta um plano de manutenção de uma estufa dinâmica da Pintura a
Pó LTDA. Uma das aplicações desse tipo de estufa é curar a tinta pó (de alta resistência) que
é aplicada em peças metálicas. Por meio de um processo eletromagnético, o pó de tinta fica
impregnado na peça, que é levada para dentro da estufa. Quando a peça entra na estufa a
uma temperatura de aproximadamente 200 graus, a tinta derrete e fica impregnada na
peça, num processo denominado cura da tinta. Em casos de produção de alto volume de
peças pequenas e médias, produtos são fixados em gancheiras, que são transportados por
trilhos que passam dentro da estufa aquecida.
Atividade
Descrição
Predecessor
Tempo [hs]
imediato
A
Desligar e desaquecer a estufa
-
6
B
Avaliar rolamentos danificados
-
4
C
Trocar rolamentos danificados
B, A
7
D
Avaliar e trocar resistências danificadas
A
8
E
Limpar estufa internamente
D
10
F
Lubrificar trilho com grafite
C
2
G
Fazer inspeção final
E, F
1
H
Religar estufa
G
2
Figura 6.14- Atividades de um projeto de manutenção
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 67
As atividades A e B não possuem atividades precedentes e, portanto, não há arestas de entrada. A
atividade C possui arestas como predecessores imediatos, as atividades A e B. A atividade D
possui como predecessor apenas a atividade A. As outras atividades são introduzidas na rede da
mesma forma. Os números na construção da rede, algumas regras são levadas em consideração.
 O tamanho da aresta não tem associação com as atividades;
 As atividades iniciadas no final da aresta não podem ser iniciadas antes das atividades que
são iniciadas no inicio da arestas;
 As atividades são representadas exclusivamente pelo seu início e término (evento inicial e
final);
 Nós não podem ser duplicados;
 Dois nós só podem ser conectados por uma única aresta;
OBS: A função objetivo neste caso é o tempo total, logo é definida por H+2, ou seja, o horário de
término da última atividade. Com relação às atividades A e B, como não há nenhuma atividade
predecessora tem-se A=B= 0. Sobre a modelagem das atividades que possuem predecessoras,
como por exemplo, a atividade C, que tem a atividade A e B como predecessoras, tem-se:
C  A  6 ou C  A  6
C  B  4 ou C  B  4
A figura 6.15 mostra a modelagem em GAMS
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 68
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 69
Figura 6.15- Modelo CPM EM GAMS
Exercícios para diversão.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 70
1) Análise a rede abaixo e faça o que é pedido.
Considere que os números indicados em cada aresta significam o número de quilômetros
necessários para um automóvel percorrer a estrada entre duas cidades indicadas pelo nós
extremos das arestas observadas. Monte o modelo e determine a rota que um automóvel deve
seguir para sair de Chapecó e chegar a porto alegre, percorrendo a menor quantidade de
quilômetros possível.
2) Considere a reconstrução de um armazém que será feito. As atividades associadas são
apresentados na Tabela a seguir:
Atividad
Descrição
e
A
Demolir o armazém
B
Comprar materiais para atividade
Predecessor
Tempo
imediato
[dias]
-
2
de -
1
alvenaria
C
Separar material reutilizável
A
1
D
Escavação de fundações
A
2
E
Preparação do acesso ao depósito
A
1
F
Fazer lista de outros materiais necessários
C
1
Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 71
G
Fazer fundações de concreto
B, D
2
H
Fazer acesso
E
1
I
Levantar paredes de alvenaria
B, G
8
J
Nivelar chão e fazer o contra piso
F, G
2
K
Instalar fiação e sistema elétrico
F, I
1
L
Acabar paredes
K, M, N
5
M
Fazer telhado
F, I
1
N
Acabar piso de concreto
J
5
O
Montar calhas e tubulações de escoamento
F, M
1
P
Limpar
H, L, O
1
Crie a rede associada ao projeto de reconstrução e indique qual o menor tempo para realização
do projeto. Qual é o caminho crítico?
3) A pessoa responsável pelo plano de atividade do armazém cometeu dois pequenos erros.
Ela introduziu duas relações da precedência imediata redundantes. Isso é uma falha
conceitual e acontece nos planos de atividades mal feitos. Quais são as duas relações de
precedência que não deveriam ter sido colocadas no plano?
72
Capítulo 7
7. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA
Neste tópico vamos comentar sobre problemas de dificuldade polinomial (P) e problemas de
dificuldade não polinomiais (NP).
Problemas polinomiais são problemas cujos algoritmos conhecidos fornecem soluções que
podem ser obtidas por meio de uma função polinomial de n tamanho de entrada, ou seja: f (n) =
O(nk) sendo que(k) uma constante. Problemas NP são problemas cujos algoritmos de solução
conhecidos são baseados em enumeração, seja ela implícita ou não. De maneira geral, o número
de combinações possíveis é assustadoramente grande, fazendo com que os algoritmos
enumerativos não consigam resolver problemas com grande número de entradas em tempo
hábil. São denominados algoritmos de tempo exponencial e, é nestes contextos que se encaixam
os problemas de otimização combinatória. Os problemas NP podem ser classificado, conforme
(COLIN, 2007):
 Problemas NP - Completos: são problemas que possuem uma forte evidência da não
existência de um algoritmo cujo tempo de solução seja uma função polinomial do
tamanho da entrada. São considerados os mais difíceis da classe NP, e, se algum deles for
resolvido em tempo polinomial, então todos os problemas NP também serão.
Quando se sabe que um problema de otimização é NP - difícil, tem-se a certeza de que nem
sempre a solução ótima será encontrada. Portanto, tem se aplicado métodos heurísticos, como
por exemplo, algoritmos genéticos, colônias de formigas, busca tabu, dentre outras. Abaixo
encontra-se o modelo do problema do Caixeiro-Viajante (CV), sendo este modelo de otimização
combinatória.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________73
n
n
Min Z    C i , j . X i , j
i 1 j 1
sujeito a :
n
X
i 1
i, j
Restrição de saída
i, j
Restrição de chegada
n
X
j 1
u i  u j  nx i, j  n - 1 (i  j; i  2, 3,..., n; j  2,3,..., n)
São subrotas
X i , j  0,1, u j  0
As restrições de saída e de chegada são binárias, e garantem que cada um dos xij seja 0 ou 1. As
restrições de saída garantem que para cada cidade haverá apenas uma rota de saída e,
analogamente uma chegada para as restrições de chegada.
As restrições de subrotas ou subcircuitos garantem que a solução ótima não contenha
subcircuitos.
Exemplo1:
PARA
Sede
Sede
DE
P1
P2
5
P3
P4
3.8
2.2
2.4
2.6
3.1
5.1
1.6
2.8
P1
5
P2
3.8
2.6
P3
2.2
3.1
1.6
P4
2.4
5.1
2.8
2.3
2.3
A Figura 7.1 mostra a solução deste problema por meio da linguagem GAMS.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________74
Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________75
,
Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________76
Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________77
Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________78
Figura 7.1-Modelo caixeiro viajante em GAMS.
A Figura 7.2 mostra os caminhos a serem percorridos.
Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________79
Figura 7.2-Modelo Caixeiro Viajante otimizado pelo GAMS.
OBS: com n vértices há
( n  1)!
ciclos distintos.
2
Capítulo 8
8. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE ANÁLISE POR ENVOLTÓRIA DE
DADOS
Em termos de programação matemática, a análise por envoltória de dados (DEA- Data
Envelopment Analysis), também chamada de análise de fronteiras ou análise de eficiência, é
considerada uma técnica relativamente nova. Ao mesmo tempo, também é considerada um dos
sucessos recentes da programação linear. No DEA existem as chamadas DMU- Decision Making
Units, ou seja, as unidades tomadoras de decisão.
Em linhas gerais, a DEA avalia problemas com múltiplos recursos (usados para gerar produtos e
ou serviços e múltiplas saídas para cada unidade) (COLIN, 2007). A capacidade com que as DMUs
conseguem gerar saídas para determinadas entradas define sua eficiência. Supõe-se que as DMUs
menos eficientes podem melhorar sua eficiência até o limite das melhores unidades , cuja
eficiência é de 100%. Mais especificamente, a DEA determina, segundo Colin (2007):
 A melhor prática- grupo das DMUs mais eficientes;
 As DMUs menos eficientes comparadas com as melhores práticas;
 A quantidade de recursos utilizados de forma improdutiva nas DMUs menos eficientes;
 Para cada uma das DMUs menos eficientes, o grupo das unidades de melhor prática que
são mais parecidas com elas e que poderiam ser usadas como benchmarks.
Antes de prosseguir com o DEA, vamos entender alguns significados.
 Eficácia – Capacidade da unidade produtiva atingir as metas previamente estabelecidas;
 Produtividade – Razão entre o que foi produzido e o que foi gasto para produzir. Ex.:
Peças/H.h;
 Eficiência – Conceito relativo que compara o que foi produzido com o que poderia ter sido
produzido. Pode ser entendida como uma comparação entre as produtividades
observadas;
Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 81
Se uma unidade atingiu a meta, foi eficaz. Se conhecermos os recursos que a unidade dispunha
podemos avaliar se esta foi produtiva. Se soubermos quais foram os resultados da concorrência
podemos avaliar a eficiência da unidade (SOARES DE MELLO, 2005)
O modelo DEA CCR (Charnes, Cooper e Rhodes, 1978) é apresentado no modelo abaixo.
s
u y
j
jc
j 1
Max Ec 
m
v x
i
ic
i 1
s
u y
j
jk
j 1
S.a.:
 1, k  1,2, , c, , n
m
v x
i
ik
i 1
uj  0 ,  j,
vi  0 , i
Onde: c é o índice da unidade que está sendo avaliada. O problema acima envolve a procura de
valores para u e v, que são os pesos, de modo que maximize a soma ponderada dos outputs
(output “virtual”) dividida pela soma ponderada dos inputs (input “virtual”) da DMU em estudo,
sujeita à restrição de que esse quociente seja menor ou igual a 1, para todas as DMUs.
Esta função está sujeita à restrição de que, quando o mesmo conjunto de coeficientes de entrada
e saída (vis e ujs) for aplicado a todas as outras unidades de serviços que estão sendo
comparadas, nenhuma unidade de serviço excederá 100% de eficiência ou uma razão de 1,00..
Porém, o modelo acima não é linear e sim um problema de programação fracionária. Entretanto,
o modelo linearizado é descrito abaixo.
s
u
Max Ec 
yjc
j
j 1
S.a.:
m
v x
i
ic
1
i 1
s
m
j 1
i 1
 uj yjk -  vi xik  0 , k  1,2, ...,c,, n
uj, vi  0 , x, y.
Esta forma do problema é conhecida como problema dos multiplicadores, como também são
chamados os pesos, uj e vi.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 82
Exemplo 1:
Um hospital deseja avaliar sua eficiência em relação aos demais hospitais da cidade. A
Tabela abaixo contempla os dados de entrada e saída analisados
Hospital
Entradas (x)
Capital
Mão de
obra
Saídas (y)
Jovens
Adultos
Idosos
1
5
14
9
4
16
2
8
15
5
7
10
3
7
12
4
9
13
Neste caso são 3 problemas de programação linear, uma para cada DMU.
A Figura 8.1 mostra a solução deste modelos por meio do GAMS. Lembrando-os que
Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 83
Figura 8.1- Modelo DEA em GAMS
Basicamente o que muda de um modelo para o outro é a função objetivo e a equação 4 (calculo
4). Vamos interpretar a solução ótima para o último modelo. W2= 0,9 ; W3= 7.1% e V2= 8.3%.
Neste caso as saídas adultos e jovens são importantes para manter a eficiência máxima do
hospital 3. Deve-se conservar a mão de obra. A Figura 8.2 contempla um exemplo de como
modelar o dual de um problema de DEA.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 84
Figura 8.2- Modelo primal e Dual de problemas de DEA.
Pelo GAMS também é possível rodar vários modelos continuamente. Vamos mostrar um exemplo
tomando como base o exemplo exposto acima. A Figura 8.3 mostra este exemplo.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 85
Figura 8.3: Modelo DEA GLOBAL.
Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 86
Repare que inseriu-se mais uma variável e também algumas equações e, ao rodar o modelo, deve
ser informado apenas as equações pertencentes ao modelo desejado.
Outro tipo de modelo DEA que iremos ver nesta apostila é conhecido por BCC (Banker, Charnes e
Cooper, 1984). No modelo DEA CCR há retornos de escalas constantes, válido para unidades
operando em escala ótima. No modelo BCC ou VRS, substitui o axioma da proporcionalidade pelo
axioma da convexidade linear, soma dos lambdas igual a 1. Fronteira côncava e linear por parte,
também chamado de retorno variáveis de escala.
u
Max Eff 0 
j
.y j0  u *
j
S.a.:
v x
i
ic
1
i 1

v x
i
j 1
ik
  u j . y jk  u *  0 ,k
j
uj, vi  0 , j, i.
u*  
As eficiências no modelo DEA BCC são maiores ou iguais as eficiências do modelo CCR. No modelo
CCR as eficiências independem da orientação; os outros resultados de DEA dependem da
orientação
No modelo BCC todos os resultados de DEA dependem da orientação. A Figura 8.4 mostra as
diferenças entre estes modelos.
Figura 8.4- Modelos DEA
Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 87
A figura 8.5 contempla a solução deste exemplo pelo modelo BCC ou (VRS).
Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 88
Figura 8.5- Modelagem em GAMS modelo DEA BCC ou VRS
Neste exemplo foi necessário acrescentar outro objetivo (sets) chamado u que vai pertencer a
variável do modelo BCC.
Resolva os exercícios abaixo utilizando-se da linguagem de modelagem GAMS.
Max Z  9w 1  4 w 2  16w3
sujeito a :
9w 1  4 w 2  16w3 - 5v1  14v 2  0
1)
5w 1  7 w 2  10w3 - 8v1  15v 2  0
4w 1  9w 2  13w3 - 7v1  12v 2  0
5v1  14 v 2  0
w j  0,001, v k  0,001
Formule o problema dual dos hospitais. E resolva-o pelos dois métodos.
2) O banco S/A está analisando a eficiência de suas agências a Tabela abaixo mostra os dados
de entrada e saída analisados.
Recursos empregados (Entrada)
Agências
Despesas
menos
Caixa
Plataforma Gerente
(excl.
pessoal
produtivas [pessoas] [pessoas] [pessoas]
e aluguel) [$]
A1
10,0
5,0
1,0
652.566
A3
3,0
2,5
1,0
468.637
A4
4,0
2,5
1,0
350.477
A5
9,0
7,0
1,0
1.059.526
A6
3,0
2,5
1,0
235.974
A8
4,5
3,5
1,0
353.235
A9
3,5
2,0
1,0
341.994
A11
7,5
3,5
1,0
768.338
A12
2,5
2,0
1,0
269.998
A13
9,0
6,5
1,0
1.112.090
Economia potencial (Saída)
Área da
agência
[pé2]
3.818
1.728
1.941
5.640
2.200
1.350
2.346
3.243
1.422
5.400
Caixa
4,5
1,9
2,3
0,7
1,6
1,5
1,2
3,3
1,1
0,1
PlataGerente
forma
1,8
1,6
1,4
1,9
1,4
1,3
0,7
0,7
1,1
0,1
0,3
0,7
0,7
0,1
0,6
0,3
0,4
0,2
0,7
-
Despesas
222.928
295.989
189.745
367.020
122.474
10.526
116.716
329.403
122.433
131.389
Área
da
agência
1.304
1.133
1.051
1.899
1.556
40
976
774
889
1.477
Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 89
Recursos empregados (Entrada)
Agências
Despesas
menos
Caixa
Plataforma Gerente
(excl.
pessoal
produtivas [pessoas] [pessoas] [pessoas]
e aluguel) [$]
A14
3,5
4,0
1,0
433.868
A15
2,0
2,0
1,0
253.902
A18
4,0
2,5
1,0
571.090
A20
7,0
4,0
1,0
666.133
A22
7,5
3,5
1,0
929.668
A26
3,5
3,0
1,0
411.922
A27
5,5
5,5
1,0
545.976
A28
6,0
5,0
1,0
914.990
A29
7,0
4,0
1,0
568.054
A30
15,0
13,0
1,0
1.402.615
A31
5,5
6,0
1,0
679.451
A32
3,0
2,0
1,0
367.828
A33
17,5
18,0
1,0
3.191.789
Total
143,0
109,5
23,0
16.550.121
Economia potencial (Saída)
Área da
agência
[pé2]
1.700
1.486
1.420
3.180
1.865
3.092
2.781
2.187
6.686
9.963
3.133
1.637
8.000
76.218
Caixa
0,7
1,1
2,0
3,0
5,2
1,0
1,9
1,8
1,7
4,0
0,8
0,9
3,3
45,6
PlataGerente
forma
2,0
1,3
0,8
1,5
1,5
1,0
3,1
1,6
0,9
6,1
2,7
0,6
10,6
45,7
0,4
0,7
0,4
0,4
0,3
0,3
0,3
0,2
0,3
0,1
0,5
0,2
8,1
Área
da
agência
81.024
502
135.920
961
206.693
361
280.853
1.176
496.072
605
112.147
1.491
188.394
960
233.870
60
176.227
3.669
551.272
5.377
94.692
824
107.934
480
2.510.589 2.016
7.084.310 29.581
Despesas
Desenvolva e otimize os modelos desse problema. Avalie o dual e conclua quais são as melhores
agências e o que deveria ser feito pelo banco para que as agências não eficientes se tornem
eficientes.
3) Considere as 6 empresas do setor X listadas na Tabela a seguir
Empresa
A
B
C
D
E
F
Receita
800.331
780.880
1.582.624
1.977.624
3.105.444
2.349.306
Ativo
1.487.845
1.599.784
3.886.613
5.147.807
5.299.049
7.475.831
Empregados
4.478
3.320
4.176
5.988
6.646
11.748
a- Utilize a DEA para classificar as empresas em termos de eficiência. Considere que as
entradas são definidas pelos ativos e empregados e que a saída seja definida pela receita.
Capítulo 9
9 Aplicações Reais
O próximo exemplo foi adaptado de Silva (2009). Uma usina deseja programar sua produção para
as próximas 5 semanas. Abaixo estão algumas informações sobre esta usina.
Matéria-Prima:
Própria: 150.000 toneladas
Comprada: 100.00 toneladas.
Estas matérias-primas devem ser consumidas totalmente nestas 5 semanas.
Porcentagem de MP comprada por semana.
Semana 1: 100%
Semana 2: 100%
Semana 3: 100%
Semana 4: 80%
Semana 5: 90%
Porcentagem de MP própria por semana.
Semana 1: 80%
Semana 2: 80%
Semana 3: 80%
Semana 4: 80%
Semana 5: 90%
Capacidade de transporte da frota própria em toneladas:
Semana 1: 47250
Semana 2: 47250
Semana 3: 51975
Semana 4: 51975
Aplicações reais___________________________________________________________________ 91
Semana 5: 51975
Capacidade de transporte da frota terceirizada em toneladas:
Semana 1: 37250
Semana 2: 27250
Semana 3: 19750
Semana 4: 14000
Semana 5: 15.000
Capacidade de transporte da frota terceirizada em toneladas:
Semana 1: 37250
Semana 2: 27250
Semana 3: 19750
Semana 4: 14000
Semana 5: 15.000
Capacidade de transporte da frota condomínio em toneladas:
Semana 1: 2250
Semana 2: 3250
Semana 3: 8750
Semana 4: 1400
Semana 5: 1000
Estes transportes são alocados na parte agrícola, pois estas matérias primas são colhidas no
campo. A Tabela abaixo mostra os níveis de moagem semanal, logo o total colhido na semana não
deve ser maior que a capacidade máxima de moagem e nem menor que a capacidade mínima.
Semana
Moagem Máxima
Moagem Mínima
1
40.00
30.200
2
42.000
31.600
3
45.000
32.500
4
50.000
33.000
5
55.000
36.000
Aplicações reais___________________________________________________________________ 92
A Tabela a seguir contempla a capacidade de estocagem em toneladas.
Produto
Estoque próprio
Estoque terceirizado
A
15.000
10.00
C
3000
0
D
14.000
3.000
A Tabela a seguir aborda o custo logístico agrícola em R$/toneladas.
Semana
Frota própria
Frota terceirizada
Frota condomínio
1
10
8
9
2
12
10
11
3
9
11
12
4
8
10
8
5
10
8.7
8
A próxima tabela contempla o custo por processo. No caso desta usina somente um processo
pode ser utilizado por semana, logo essa é uma restrição binária.
Processos
Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5
Processo 1
7.3
6.74
6.26
6.26
6.26
Processo 2
12
10
11
11
11
Processo 3
9
11
12
12
12
Processo 4
8
10
8
8
8
Processo 5
10
8.7
8
8
8
A próxima Tabela mostra o rendimento por processo, ou seja, qual é o nível de produção do
produto x utilizando o processo y na semana z.
Rendimento Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5
A.proc1
B.proc1
C.proc1
0,11
0,20
0,22
0,19
0,13
0,23
0,12
0,10
0,23
0,06
0,06
0,19
0,23
0,07
0,25
Aplicações reais___________________________________________________________________ 93
A.proc2
B.proc2
C.proc2
A.proc3
B.proc3
C.proc3
A.proc4
B.pro4
C.proc4
A.proc5
B.proc5
0,13
0,20
0,20
0,20
0,17
0,13
0,17
0,20
0,14
0,11
0,14
0,21
0,12
0,13
0,25
0,18
0,05
0,14
0,21
0,20
0,21
0,13
0,11
0,07
0,19
0,22
0,09
0,05
0,16
0,22
0,14
0,10
0,12
0,12
0,07
0,19
0,14
0,14
0,25
0,08
0,14
0,11
0,07
0,13
0,22
0,21
0,19
0,06
0,13
0,10
0,25
0,06
0,13
0,12
0,11
C.proc5
0,19
0,11
0,06
0,12
0,21
A próxima Tabela aborda o custo de estocagem em R$/toneladas. Nesta tabela é disposto o custo
por produto no estoque, ou seja, eprop (estoque próprio) e eterc(estoque terceirizado).
Estoque Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5
A.eprop
4,00
9,00
3,00
9,00
5,00
4,00
3,00
10,00
9,00
5,00
7,00
10,00
7,00
8,00
3,00
5,00
4,00
9,00
3,00
4,00
10,00
8,00
8,00
10,00
5,00
3,00
9,00
5,00
4,00
A próxima Tabela contempla o custo por fonte de matéria-prima.
6,00
B.eprop
C.eprop
A.eterc
B. eterc
C. eterc
Matéria-Prima Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5
Própria
Comprada
8.4
9
8.55
9.6
10
20
22
25
30
27
A Tabela a seguir mostra o preço de venda desses produtos.
Aplicações reais___________________________________________________________________ 94
Produtos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5
A
B
C
530,00
745,00
510,00
680,00
579,00
527,00
726,00
567,00
892,00
359,00
690,00
585,00
998,00
977,00
1000,00
A demanda pelo produto A é de 25.000 toneladas, B=2.000 e C=1.000, ambas as demandas são
referentes à quinta semana.
Os produtos A e C possuem estoques iniciais no estoque próprio nas quantidades de 500 e 1000
respectivamente.
Formule o modelo que auxilie às decisões agrícolas e industriais desta usina. Dica: ao todo são (
134 variáveis e 155 restrições e 25 variáveis binárias).
4- Considere que no exemplo extraído de Silva (2009) essa usina exporte seus produtos e, para
tanto utiliza de frota própria e terceirizada para realização deste transporte. O transporte é feito
para dois destinos. A Tabela abaixo mostra com mais detalhes.
Produtos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5
A.Dest1
50
40
60
B.Dest1
40
20
A próxima Tabela aborda o preço de venda dos produtos exportados
50
Produtos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5
A.Dest1
784,00
883,00
974,00
757,00
836,00
B.Dest1
944,00
918,00
929,00
785,00
742,00
A Tabela a seguir mostra o custo de transporte. Tterc= transporte terceirizado, Tprop=
transporte próprio.
Produtos
A.Dest1.tterc
B.Dest1.tprop
A.Dest1.tprop
A.Dest2.tterc
Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5
81,00
98,00
86,00
71,00
92,00
86,00
91,00
93,00
86,00
72,00
89,00
93,00
78,00
87,00
71,00
95,00
95,00
100,00
74,00
82,00
Aplicações reais___________________________________________________________________ 95
Faça as análises inserindo esses dados no modelo matemático.
5- Resolva os problema abaixo utilizando-se dos modelos BCC e CCR.
Loja
Copacabana
Ilha do Governador
Ipanema
Jacarepaguá
Tijúca
Angra dos Reis
Miracema
Niterói
Nova Friburgo
Petrópolis
Resende
Faturamento [R$ M]
29,24
18,39
30,54
20,48
23,27
28,98
27,85
31,81
17,99
23,94
15,17
Área [m2]
1.002
1.192
1.087
1.183
1.245
1.357
1.127
1.291
1.169
1.603
1.303
Empregados
140
147
103
160
156
136
160
159
106
142
119
Renda região [R$]
3.000
2.500
2.900
1.500
1.800
2.700
800
1.200
900
1.400
700
a) Analise os resultados duais dos modelos, e esboce um plano para tornar eficientes as
unidades que não forem eficientes.
6- Resolva este problema pelo modelos CCR e BCC e analise os resultados.
Empresa
Telerj
Telemig
CTBC Telecom MG
Telest
Telebahia
Telergipe
Telasa
Telpe
Telpa
Telern
Teleceará
Telepisa
Telma
Telepará
Teleamapá
Teleamazon
Telaima
Telesc
MN
66.715
104.585
17.858
25.006
93.584
8.366
6.268
33.575
16.296
13.949
3.233
6.971
176
20.711
4.379
447
1.898
92.233
Saídas
P
898.157
650.575
83.923
133.454
289.541
32.158
45.267
129.859
51.858
58.218
170.784
41.227
58.613
114.351
12.061
47.623
7.402
182.877
AS
3.348.768
2.746.105
362.485
50.388
1.302.615
159.206
227.226
714.117
293.823
294.634
761.737
236.549
299.971
513.635
69.287
301.052
46.024
1.049.553
L
13.707
10.947
2.373
1.837
4.785
314
256
2.821
686
556
303
649
868
105
220
1.039
183
3.461
Entradas
PT
99.951
73.407
7.465
1.669
54.439
6.776
11.681
41.304
13.519
12.607
34.874
10.554
15.296
23.521
2.055
1.042
1.602
25.623
AI
3.692.804
2.895.328
464.154
561.042
1.406.159
170.519
25.135
831.171
328.803
329.721
791.541
24.633
32.177
532.904
7.147
315.052
4.812
1.193.985
Aplicações reais___________________________________________________________________ 96
Telepar
Sercomtel
Telems
CTBC Telecom MS
Telemat
Telegoiás
CTBC Telecom GO
Telebrasília
Teleron
Teleacre
CRT
CTMR
Telesp
Ceterp
CTBC Telecom SP
CTBCampo
99.189
7.281
9.766
165
1.802
71.272
1.194
20.617
9.766
1.815
222.006
3.492
487.631
6.483
10.429
15.537
Saídas
382.924
37.475
36.771
1.629
80.212
226.598
4.391
19.946
36.771
11.903
404.249
23.321
2.289.167
47.654
35.251
318.203
1.710.688
13.919
387.969
6.143
328.261
957
22.076
74.912
180.469
6.833
1.826.485
99.406
9.413.366
184.837
164.842
964.195
10.659
851
2.633
44
195
4.859
86
3.278
718
313
9.731
469
4.955
1.307
374
5.294
Entradas
46.327
2.227.874
2.203
154.499
1.055
472.702
163
7.788
13.745
451.478
38.487
1.155.173
588
30.402
20.175
884.852
6.345
253.011
2.924
93.604
53.347
2.101.056
2.015
120.935
223.445
11.185.983
3.017
217.837
2.784
209.829
21.577
1.081.897
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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BATISTA, F. D. Metodologia para o uso da análise por envoltória de dados no auxílio à decisão.
Itajubá: Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal de
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GOLDBARG, M. C. & LUNA, H. P. L. Otimização combinatória e programação linear: Modelos e
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produção utilizando Data Envelopment Analysis. Florianópolis: Programa de Pós-Graduação em
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PAIVA, F. C. Eficiência produtiva de programas de ensino de pós-graduação em engenharias: uma
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SOARES DE MELLO, J. C. C .B.; MEZZA, L.A.; GOMES E.G.; BLONDI NETO, L. Curso de Análise de
Envoltória de Dados. Em: XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Gramado-RS,
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Itajubá: Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal de
Itajubá, 2009, 92p. Dissertação de Mestrado.
SHIMIZU, T. Decisão nas organizações: introdução aos problemas de decisão encontrados nas
organizações e nos sistemas de apoio à decisão. São Paulo: Atlas, 2010.
ANEXO A – LINGUAGEM DE MODELAGEM GAMS
Durante as décadas de 50 e 60 fez-se um progresso substancial no desenvolvimento de
algoritmos e códigos computacionais para resolver grandes problemas de programação
matemática (PAIVA, 2006). Sendo que, na década posterior, não surgiu um grande número de
aplicações das ferramentas que foram desenvolvidas. Conforme Brooke et al (1997) comentou o
fato de que grande parte do tempo requerido para o desenvolvimento de um modelo era
despendido na preparação dos dados e dos relatórios de saída. Portanto, foram estudados os
meios para reduzir esse tempo, e nesse sentido desenvolveram-se os geradores de matrizes para
a programação linear, que faziam transformações dos modelos matemáticos para a forma
algorítmica exigida pelos softwares. O percussor para adequação desses objetivos foi o
desenvolvimento das linguagens de modelagem (LMs). Dentre as LMs que se destacaram a
década de 80 e início da década de 90, cita-se: CML(Conversational Modeling Language), a LPM
(System for Constructing Linear Programming System), a LAMP (Language for Interactive General
Optimization), LINGO (Language for Interactive General Optimization) e o GAMS (General
Algebraic Modeling System). Essas LMs vêm adquirindo maiores significâncias para os
modeladores, visto que os problemas analisados estão se tornando cada vez mais complexos, e as
LMs propiciam que os modeladores dediquem cada vez mais tempo para solucionar problemas
referentes ao modelo, e não a implementação computacional.
O GAMS é uma LMs e foi projetada para o desenvolvimento e solução de modelos de programação
matemática complexa (BROOKE et al, 1997). As principais vantagens intrínsecas a utilização do
GAMS são:
I. Fornecer uma linguagem de alto nível para uma representação compacta de modelos
extensos e complexos;
II. Permitir mudanças na especificação dos modelos de forma simples e segura;
III. Permitir relações algébricas enunciadas de forma não ambígua;
IV. Permitir descrições de modelos independentes dos algoritmos de solução;
Linguagem de Modelagem GAMS ___________________________________________________ 100
V. Simplificar a preparação de dados de entrada e relatórios de saída e transformar
automaticamente os dados para a forma requerida pelos pacotes de programação
matemática.
Além destas vantagens, o GAMS é um compilador baseado na teoria de banco de dados (quando
se faz manipulação dos dados) e na teoria de programação matemática ( para descrição e solução
dos problemas). GAMS também disponibiliza um conjunto de Solvers, que são pacotes com opções
de várias técnicas de solução de problemas de programação matemática (p.ex: PL, PIM, PNL,
MIQCP, MINLP, DNPLP...), que podem ser utilizados conforme a escolha do modelador,
A UNESP-Guaratinguetá-SP possuiu o GAMS [23.4.3]e o solver CPLEX [12.1.0], para a solução do
problema programação inteira mista (PIM).
Solver CPLEX
A sigla CPLEX é a combinação da letra C, em referência à linguagem de programação C utilizada
no desenvolvimento deste algoritmo, com a terminação PLEX, em referência ao algoritmo
simplex de solução de problemas de PL. Este solver foi desenvolvido pela CPLEX Optimization
Inc., empresa fundada em 1988 com a ideia de comercializar algoritmos de PL que pudessem
ser utilizados para solucionar, de forma rápida, problemas grandes e difíceis de programação
linear. Atualmente o CPLEX é um produto de propriedade da ILOG S.A. A primeira versão do
CPLEX (CPLEX 1.0) foi lançada em 1988 com suporte para solucionar problemas de PL por
meio do método primal simplex. Posteriormente, este algoritmo incorporou o suporte
para utilizar o método dual simplex; incorporou o algoritmo barrier, que é uma alternativa ao
método simplex para problemas de programação linear e programação quadrática; incorporou
o algoritmo branch-and-bound, para solucionar problemas de PIM, programação inteira
mista quadrática e programação inteira mista com restrições quadráticas; incorporou
heurísticas
de
pré-processamento de
dados, para
gerar boas
soluções iniciais; e
incorporou técnicas de programação por restrições, para melhorar o desempenho de busca.
Além disso, o CPLEX passou a utilizar um algoritmo branch-and-cut com cortes com famílias de
desigualdades válidas e genéricas. Atualmente, também é possível utilizar processamento
paralelo para solucionar grandes problemas práticos (ILOG,2008). A figura A1 mostra a
Linguagem de Modelagem GAMS ___________________________________________________ 101
estrutura geral da linguagem GAMS.
Dados de Entrada
Definição e declaração de sets e alias;
Definição e declaração de scalars, parameters, tables e equações de
atribuição;
Determinação de displays de controle sobre as equações de atribuição.
FiguraAnexo A1 - Estrutura geral do modelo GAMS
(Fonte: adaptada de Brooke et al., 1997
Elementos do modelo
Definição e declaração, designação do tipo, limitantes e valores iniciais de
variables;
Definição e declaração de equations (função objetivo e restrições).
Soluções do modelo
Comandos: Models; Solve; Displays.
Figura anexo A1- Estrutura geral do modelo GAMS
(fonte: Adaptado de Brooke et al.,1997)
ANEXO B – MODELAGEM E SIMULAÇÃO
Pesquisa Quantitativa baseada em modelos
Extraído de BATISTA (2009).
Bertrand e Fransoo (2002) apresentam uma classificação das metodologias de pesquisa em
Administração da Produção que utilizam modelagem quantitativa. O trabalho de Bertrand e
Fransoo (2002) pode ser útil para os pesquisadores que trabalham com modelagem quantitativa,
e será abordado com profundidade nessa seção. Pesquisa quantitativa baseada em modelos é a
pesquisa onde são desenvolvidos, analisados e testados modelos de relações causais entre as
variáveis de controle e desempenho. Estas partem do princípio que podemos construir modelos
objetivos que expliquem parte do comportamento dos processos reais, ou que podem capturar
parte dos problemas de tomada de decisão enfrentados pelos gestores na vida real. Os diferentes
tipos de pesquisa quantitativa são dados na Figura B.1.
Figura B.1 – Classificação das metodologias de pesquisa quantitativa
Fonte: Bertrand e Fransoo (2002)
Ambas as classificações, axiomática e empírica, podem ser subdivididas em descritiva e
normativa. Normalmente a área descritiva relaciona-se com o estudo de um processo e a
normativa está ligada ao estudo de um problema.
Pesquisa axiomática:
A pesquisa axiomática é definida pelas seguintes características:
Modelagem e Simulação___________________________________________________________ 103
 É guiada pelo modelo idealizado (assume-se que alguns aspectos do problema não afetam
a solução);
 O objetivo primário é obter soluções que forneçam conhecimento acerca da estrutura do
problema;
 São utilizados métodos formais de áreas científicas como matemática, estatística e ciências
da computação;
 Os pesquisadores olham para os processos ou problemas através dos modelos
matemáticos que possam ser utilizados;
 Necessita-se de um forte fundo matemático;
 Deve-se julgar quais formulações de problemas científicos são bons problemas, ou seja,
problemas onde podem ser obtidos resultados de qualidade.
Os passos para realizar uma pesquisa axiomática são os seguintes:
1. Descrever as características dos processos ou problemas a serem estudados. A descrição
do modelo conceitual deve usar tanto quanto possível conceitos e termos aceitos como padrão na
literatura;
2. Especificar o modelo científico do processo ou problema. Este deve ser apresentado de
maneira formal, em termos matemáticos.
Na pesquisa axiomática descritiva, a modelagem do processo é o centro. Busca-se analisar um
modelo para explicar suas características. O pesquisador parte de um modelo conceitual e deriva
um modelo científico. Depois são feitas algumas análises do modelo científico para ganhar
conhecimento sobre o comportamento deste. Tipicamente não se passa à fase de solução do
modelo e a qualidade da pesquisa está ligada à extensão na qual os resultados provam dar as
características exatas do processo. A extensão para a solução do modelo é feita na pesquisa
axiomática normativa, onde a solução é a pesquisa central reportada. Em muitos artigos
axiomáticos normativos, o processo de modelagem também está incluído e os resultados
retornam ao modelo conceitual. Nesse caso a qualidade da pesquisa pertence à extensão no qual
o resultado prova ser a melhor solução possível para o problema. Quase todos os artigos no
domínio da PO caem na área normativa.
Pesquisa empírica:
Modelagem e Simulação___________________________________________________________ 104
A pesquisa empírica possui as seguintes características:
 O objetivo principal é assegurar que há um ajustamento das observações e ações na
realidade e no modelo feito daquela realidade;
 É voltada a criar um modelo que descreva adequadamente as relações causais que
possam existir na realidade e levem ao entendimento do processo;
 Deve ser planejada para testar a validade de modelos teóricos quantitativos e suas
soluções;
 A essência é validar o modelo conceitual ou a solução da pesquisa axiomática;
 Como os processos operacionais são todos diferentes, premissas básicas e características
dos problemas são validadas para classes definidas de processos, implícitas nos modelos
teóricos e problemas;
 Ao contrário da pesquisa axiomática quantitativa, a pesquisa empírica não tem sido muito
produtiva.
Os passos para aplicação de uma pesquisa empírica são os seguintes:
1. Identificar as premissas básicas dos processos onde estão baseados os modelos ou
problemas teóricos em questão. Na literatura existem diferentes linhas de pesquisa que
compartilham premissas comuns sobre processos ou problemas de decisão. Há por exemplo uma
linha de pesquisa baseada na visão do processo produtivo como um modelo de filas. Essa é
chamada de premissa básica;
2. Identificar o tipo de processo ou problema no qual as premissas básicas se apliquem;
3. Desenvolver um critério objetivo para decidir se um processo da vida real pertence à
classe de processos considerada e para identificar o sistema de decisão que representa o
problema em questão. Diferentes pesquisadores devem chegar ao mesmo resultado acerca
dessas classificações;
4. Derivar das premissas básicas, hipóteses sobre o comportamento dos processos. Esse
comportamento se refere a variáveis ou fenômenos que possam ser medidos;
5. Desenvolver uma maneira objetiva de medir ou fazer observações. Como não existe uma
maneira geralmente aceita de medir as variáveis, os pesquisadores devem desenvolver
Modelagem e Simulação___________________________________________________________ 105
maneiras próprias de medir e documentar essa etapa. Essa dificuldade ilustra a posição fraca da
pesquisa quantitativa empírica na administração científica;
6. Aplicar os sistemas de medição, coletar e documentar os resultados;
7. Interpretar os dados, o que geralmente irá incluir o uso de análise estatística. Técnicas
especiais são necessárias, pois os resultados não podem ser manipulados de maneira
arbitrária como num projeto experimental. As hipóteses devem ser restritas ao
comportamento dentro de um período esperado;
8. Interpretar os resultados em relação aos modelos teóricos ou problemas que deram
origem às hipóteses testadas. Esse passo completa a fase de validação e pode resultar na
confirmação do modelo teórico (ou partes) em relação ao problema de decisão e ao processo
considerado, ou levar a rejeição (parcial ou não) e sugestões para melhorar os modelos teóricos.
A pesquisa empírica descritiva é principalmente voltada a criar um modelo que descreva
adequadamente as relações causais que possam existir na realidade e levem ao entendimento do
processo corrente.
A pesquisa empírica normativa busca desenvolver políticas, estratégias e ações que melhorem a
situação atual. Essa área de pesquisa é pequena. Houve tentativa em alguns artigos, mas o
procedimento de verificação normalmente não é muito forte. Essa é a forma mais completa de
pesquisa científica, onde é conduzido o ciclo completo: Conceitualização, modelagem, solução do
modelo e implementação. Em muitos casos essa pesquisa é construída em trabalhos publicados
na categoria axiomática descritiva onde já foram desenvolvidos caminhos para os estágios de
modelagem e solução do modelo.
Não se deve confundir pesquisa empírica com uso dos resultados da pesquisa axiomática para
melhorar os processos. Nesse caso, os resultados se baseiam na crença que as premissas
admitidas nos modelos são válidas e as soluções irão funcionar bem.
RESUMO ARTIGO “Modelling and simulation: operations management research
methodologies using quantitative modeling” (BERTRAND; FRANSOO, 2002)
O objetivo do artigo é apresentar uma revisão de um modelo de pesquisa quantitativa em
gerenciamento de operações com foco na metodologia de pesquisa. A modelagem quantitativa
em pesquisa operacional tem auxiliado no sentido de resolver problemas da vida real no
gerenciamento de operações. O gerenciamento de operações é definido no artigo como o projeto
de projetar, planejar, controlar e executar operações na indústria de manufatura de serviços.
Para os pesquisadores os modelos quantitativos são baseados em um conjunto de variáveis que
variam em um domínio específico, enquanto relações quantitativa e causal são definidas entre
estas variáveis. Pesquisa de operações é considerada como parte de uma pesquisa quantitativa
em gerenciamento de operações. Enquanto a abordagem de pesquisa operacional é um outro
ramo da modelagem quantitativa que pretende incluir todos os aspectos do processo
operacional, incluindo conhecimento, opiniões e atitudes das pessoas a nível operacional e
gerencial.
Classifica as pesquisas sobre gerenciamento de operações em duas classes distintas: 1) Pesquisa
axiomática, onde a principal preocupação do pesquisador é obter soluções dentro do modelo
definido e certificar-se que estas soluções forneçam insights na estrutura do problema tal como
definido no modelo. Pesquisa axiomática produz conhecimento sobre o comportamento de certas
variáveis no modelo, baseado em pressupostos sobre o comportamento de outras variáveis no
modelo. Normalmente, pesquisa axiomática é normativa, embora a pesquisa descritiva, com o
objetivo de compreender o processo que foi modelado, também esteja presente. Pesquisa
normativa está essencialmente interessada em desenvolver políticas, estratégias e ações para
melhorar ao longo dos resultados disponíveis na literatura existente, para encontrar a solução
ótima para um problema definido recentemente ou para comparar várias estratégias para
abordar um problema específico. Já a pesquisa descritiva está primeiramente interessada em
analisar um modelo, o que leva a entender e explanar as características do modelo. Pesquisas na
área de teoria das filas e dos jogos, são normalmente descritivas por natureza e na maioria dos
modelos. 2) A segunda classe de pesquisas é a empírica, onde a principal preocupação do
pesquisador é garantir que existe um modelo de ajuste entre observação e ação na realidade e o
Bertrand e Fransoo________________________________________________________________ 107
modelo feito desta realidade. Este tipo de pesquisa pode ser tanto descritiva quanto normativa,
onde a pesquisa empírica descritiva está normalmente preocupada em criar um modelo que
descreve adequadamente as relações causais que possam existir na realidade, o que leva à
compreensão do processo em curso. Pesquisa quantitativa empírica normativa está
principalmente interessada no desenvolvimento de políticas, estratégias e ações para melhorar a
situação atual. Em contraste com pesquisas quantitativas axiomáticas, modelos baseados em
pesquisas quantitativas empíricas não são muito produtivos, visto que reportam a aplicação dos
resultados das pesquisas teóricas nos processos operacionais da vida real. Na pesquisa
quantitativa axiomática, a principal relevância científica é principalmente determinada pelo que
cada pesquisador pretende contribuir para a literatura existente, o que pode ser de dois tipos:
novas variações de processo ou problema usando técnicas de soluções conhecidas. A outra seria
estudar um processo ou problema que já foi estudado antes, mas fornecendo novas ou melhores
soluções para o problema, seja aplicando novos tipos de soluções técnicas, ou alcançando novos
resultados com as soluções técnicas aceitas. Na pesquisa quantitativa axiomática usando
simulação, os resultados são obtidos via simulação computacional. Usada nos casos em que o
modelo ou problema é muito complexo para uma análise matemática formal. Os passos para este
tipo de pesquisa são apresentados.
Na pesquisa quantitativa baseada em modelos empíricos, a principal preocupação é testar a
validade dos modelos científicos usados em pesquisas teóricas quantitativas ou testar o uso e
desempenho da solução do problema obtido por meio da pesquisa teórica quantitativa nos
processo operacionais da vida real.