Estudo da Otimização Dinâmica
utilizando Métodos Diretos para
Resolução
Aluno: Dyego dos Santos Silva – Escola de Química - UFRJ
Orientadores: Lizandro de Sousa Santos (Msc.) PEQ-COPPE
Evaristo Chalbaud Biscaia Jr. (Dr.) PEQ-COPPE
Objetivo: Resolver problemas de otimização dinâmica via
métodos diretos com enfoque algébrico diferencial (efeitos do
nível de discretização da variável de controle).
Função Objetivo
2
1
2
J (u ) :  x1 t  dt
2
0
x1  x2  u (t );
x 2  u (t );
Modelo
Restrições
x1 ( 2)  x2 (2)  0
 10  u (t )  10,
0t 2
Variável de controle
Métodos Diretos: Discretização da Variável de Controle e Otimização do
Sistema NLP resultante.
Metodologia:
i) Resolução de um Problema de Otimização Dinâmica via
Métodos Diretos estudando a influência do
procedimento de busca utilizado no algoritmo de
otimização e o grau de refinamento da malha ;
ii) Estudos de procedimento para adaptação da malha
utilizando wavelets, spline e métodos multigrid
visando obter um perfil ótimo com menor esforço
numérico (Estudos Futuros).
Estudo de Caso1
2
1
2
J (u ) :  x1 t  dt
2
0
x1  x2  u (t );
x 2  u (t );
u0
t0
u1
t1
x1 ( 2)  x2 (2)  0
 10  u (t )  10,
0t 2
Programa Computacional: MATLAB
Algoritmo :
•Fmincon (NLP)
•Ode15s (Runge Kutta)
Algoritmos de busca:
•Conjuntos Ativos:
•Ponto Interior
Número de estágios (ns): 2,4,8,16,32
un
u2
t2

tN
Resultados (Conjuntos Ativos):
Requer elevado número de passos para calcular a nova direção de busca,
porém com baixo custo numérico.
Número de
Estágios
Número de
Avaliações da
Função- Objetivo
Valor da FunçãoObjetivo
Tempo de Cálculo
(s)
2
5
5,858335
2,0992
4
15
4,898494
2,6965
8
39
4,608777
6,2626
16
83
4,593222
20,872
32
83
4,587480
75,231
Resultados (Conjuntos Ativos):
ns=4
ns=8
8
10
6
5
u(t)
u(t)
4
2
0
0
-2
-4
0
0.5
1
t
1.5
-5
2
0
0.5
ns=4
1.5
2
ns=8
6
4
4
3
2
2
x1(t), x2(t)
x1(t), x2(t)
1
t
0
1
0
-2
-1
-4
0
0.5
1
t
1.5
2
-2
0
0.5
1
t
1.5
2
Resultados (Conjuntos Ativos):
ns=32
10
10
5
5
0
u(t)
u(t)
ns=16
-5
-10
0
-5
0
0.5
1
t
1.5
2
-10
0
0.5
3
3
2
2
x1(t), x2(t)
x1(t), x2(t)
4
1
0
-1
-1
-2
0.5
1
t
2
1
0
0
1.5
ns=32
ns=16
4
-2
1
t
1.5
2
0
0.5
1
t
1.5
2
Resultados (Ponto Interior):
Requer baixo número de passos para calcular a nova direção de busca,
porém com elevado custo numérico.
Número de
Estágios
Número de
Avaliações da
Função- Objetivo
Valor da FunçãoObjetivo
Tempo de Cálculo
(s)
2
8
5,858335
1,5697
4
17
4,898495
2,4649
8
44
4,608659
7,4414
16
103
4,592358
40,248
32
203
4,586275
308,66
Conclusões
i)
ii)
Quanto maior o número de estágios, maior o grau de refinamento
da variável de controle. Logo, mais precisa será a solução. Porém, o
custo computacional é maior e a solução é mais lenta.
O método de conjuntos ativos apresentou melhores resultados para
o mesmo nível de discretização da variável de controle.
Próximos Passos
i)
Outras estratégias para parametrização da variável de controle
visando economizar o esforço computacional sem comprometer o
resultado da otimização. Para isso, iremos abordar o uso de análise
multi-resolução wavelets e spline e comparar com os resultados
atuais.
Cronograma / Planejamento
Período
Atividades
Maio
Leitura de textos* sobre
otimização e otimização
dinâmica
Junho
Aprendizado de programação
no Matlab
Julho
Aprendizado de programação
no Matlab e soluções de
problemas NLP usando o
fmincon
Agosto
Estudo do algoritmo do
problema no Matlab
Setembro
Estudo do algoritmo do
problema no Matlab
Outubro
Resolução de outros
problemas
Novembro
Estudo de Wavelets
Dezembro
Estudo de Wavelets