números
e funções
geometria
e medidas
O experimento
Experimento
Caixa de papel
Objetivo da unidade
Discutir com o aluno o conceito de volume aliado
ao comportamento de funções.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
O experimento
Caixa de papel
Sinopse
Para a realização deste experimento, os alunos, trabalhando em grupo,
construirão no mínimo seis caixas de papel e tentarão descobrir qual
delas tem maior volume. Só depois, fazendo os cálculos, verificarão se
sua intuição estava certa. Por fim, eles usarão os dados coletados para
esboçar um gráfico do volume obtido em função da medida x do corte
usado na confecção da caixa, sendo novamente instigados a responder:
qual o maior volume possível?



Conteúdos
Polinômios – Funções polinomiais, Gráficos e Propriedades;
Geometria espacial – Problemas de otimização;
Unidades de medida.
Objetivo
Discutir com o aluno o conceito de volume aliado ao comportamento
de funções.
Duração
Uma aula dupla.


Material relacionado
Experimento: Qual o Cone de Maior Volume?;
Software: Otimização de Cones.
Introdução
A discussão sobre a otimização de emba
lagens, peças e recipientes é assunto
frequente para indústrias de maneira geral.
Tal discussão pode ser resumida tanto em
obter o maior volume possível consumindo
uma quantidade fixa de material, quanto
em construir um objeto com determinado
volume, consumindo a menor quantidade
possível de material.
Na maioria das vezes o objetivo
é minimizar gastos, porém, existem
diversas outras variáveis que influenciam
na determinação do formato de uma
embalagem. Por exemplo, a necessidade
de encaixe da embalagem na mão do consu
midor, a aparência e a diferenciação em
relação a outros marcas, transporte etc.
Neste experimento iremos focar
a otimização do volume em função de
uma quantidade fixa de material. Contudo,
se assim desejar o professor, o problema
pode assumir outras formas.
Caixa de papel
O Experimento 2 / 8
x=5





Folha de papel A4,
Régua (O uso de uma régua de 30cm é
melhor por conta do tamanho da folha A4);
Lápis;
Tubo de cola;
Tesoura.
x=5
x=5
Material necessário
x=5
x=5
x= 5
O Experimento
fig. 1
O problema
fig. 2
Formulação do problema
Dada uma folha A4, qual a medida de x
para que a caixa, sem tampa, obtida pela
dobradura dos cantos, como indicado
nas figuras a seguir, tenha o maior volume
possível?
Construção da caixa de papel
Divida os alunos em grupos e entregue para
cada um a folha do aluno.
Os alunos realizarão, sob supervisão,
os seguintes procedimentos:
Caixa de papel
etapa
Percepção visual do volume
1
!!
O número de integrantes
por grupo ficará ao seu
critério, Professor.
O Experimento 3 / 8
Fazer, com o auxílio de régua, quadrados
de lado x nos quatro cantos da folha A4.
Anote, próximo ao lado desse quadrado,
o valor de x utilizado. Por último, para
montar a caixa, corte um dos lados de
cada um dos quadrados, como mostram
as figuras 3, 4, 5 e 6.
!!
Neste experimento
usamos 30 cm e 21 cm
como as medidas
aproximadas dos lados
da folha A4. No Guia
do Professor usamos
medidas mais precisas.
x=
5
x=5
x=5
x= 5
fig. 5
x=5
x=5
x=5
fig. 3
fig. 6
Colar a face do quadrado de forma
a montar uma caixa. Faça isso com todos
os quadrados. A caixa ficará como mostram
as figuras 7 e 8.
fig. 4
Caixa de papel
O Experimento 4 / 8
!!
x=5
x=5
Quando fizermos o
corte em um dos lados
do quadrado, devemos
considerar a colagem
que será feita a seguir.
Se x ≥ 7, teremos que
o corte deverá ser no lado
paralelo ao lado menor
da folha A4.
fig. 7
!!
fig. 8
Comparação dos volumes.
Cada grupo deverá construir no mínimo seis
caixas, escolhendo para cada uma delas
diferentes valores de x. Depois, colocando-as
uma ao lado da outra, o grupo deve discutir
e tentar descobrir qual delas tem maior
volume.
Feito isso, eles irão numerá-las em
relação ao volume, do maior para o menor.
Essa numeração servirá de registro para
a verificação da percepção visual dos alunos
acerca do volume das caixas.
Caixa de papel
A escolha de valores
diversos para x é impor
tante para a etapa 2, na
qual os alunos esboçarão
um gráfico do volume das
caixas em função de x.
etapa
Cálculo do volume
Chamaremos de 1ª numeração aquela
realizada na etapa 1, na qual os alunos
ordenaram as caixas com base em suas
percepções visuais e as classificaram
em relação ao seus volumes. Nesta etapa,
peça aos alunos para calcularem os volumes
das caixas algebricamente: chamaremos
de 2ª numeração.
Para isso, com o auxilio de uma régua,
medirão o comprimento, a largura e a altura
de cada caixa. Depois de calculados os
volumes de todas as caixas, os alunos irão
realizar a 2ª numeração, do maior para o
menor volume obtido. Neste momento, eles
poderão comparar a percepção visual que
têm do volume com o seu valor real.
Com os dados obtidos anteriormente, eles
farão uma tabela no caderno, como mostrado
na tabela 1.
2
!!
Professor, faça essa tabela
na lousa para auxiliar os
alunos na sua construção.
O Experimento 5 / 8
Caixa
Altura
Volume
1ª numeração
2ª numeração
1
2
5 cm
1100 cm3
2
1
4 cm
1144 cm3
3
4
6 cm
972 cm3
4
3
3 cm
1080 cm3
5
5
2 cm
884 cm3
6
6
9 cm
324 cm3
tabela 1
Após a confecção da tabela, os grupos
poderão esboçar o gráfico do volume da
caixa em função de sua altura x em um
sistema de eixos de coordenadas, como
está na folha do aluno. Quando termi
narem o esboço, questione qual seria o
maior volume possível: o que eles obtiveram
ou algum outro que eles desconhecem.
Caso tenham algum palpite, ajude os alunos
a construir a caixa que acreditam ser a maior.
!!
Esta tabela é apenas um
exemplo. Caso o professor
queira um número maior
de caixas, a tabela terá
mais linhas.
!!
Neste momento, o
gráfico que os grupos
estão fazendo deve ser
observado para ver se há
algum valor discrepante
em relação à curva
sugerida pelos outros
dados.
Fechamento
Depois que todos os grupos terminarem
as etapas descritas na folha do aluno,
sugerimos o fechamento em duas etapas:
Socialização dos dados.
Reúna os dados obtidos pelos diversos
grupos e faça um gráfico (volume × altura)
na lousa e, a partir dele, identifique quem
obteve a melhor estimativa. Se nenhum
grupo chegou no valor máximo para o
volume, que é aproximadamente 1144 cm3,
fale de sua existência e mostre, com o
gráfico, que o valor aproximado de x para
essa caixa é 4 cm. Peça para algum aluno
construir a caixa para x = 4 cm.
O gráfico deve ficar semelhante ao gráfico
mostrado na figura 9.
!!
Caso alguns grupos
terminem antes que
outros, o professor pode
pedir para que eles
discutam sobre o maior
volume obtido: “Será que
outro grupo construiu
uma caixa com um volume
maior?”
!!
O gráfico esboçado com
os dados dos alunos é
parte do gráfico da função
y = 4x3 − 102x2 + 630x
Veja o guia do professor.
fig. 9
Caixa de papel
O Experimento 6 / 8
Nesta etapa também é possível identificar
eventuais valores errados, por estarem
discrepantes da curva sugerida pelos demais
dados. É preciso estar atento a esses desvios
durante toda a atividade, mas com o gráfico
na lousa, provavelmente os próprios alunos
tomarão a iniciativa de questionar os pontos
fora da curva.
Questão para os alunos
A partir do gráfico que vocês traçaram
no caderno, é possível obter o valor máximo
do volume?
altura e área da base, mas o importante é
discutir sobre a divergência entre intuição
e a poderosa ferramenta que é o cálculo
matemático.
Depois dessa discussão, seria
interessante perguntar para os alunos
quanto eles acham que vale 1144 cm3, já
que estamos acostumados com o volume
dado em litros. Só lembrando, 1 litro é o
equivalente a 1 decı́metro cúbico, ou seja,
temos uma caixa de 1, 144 litros.
Com poucos pontos, a plotagem do gráfico
facilmente esconde detalhes só visualizáveis
com uma curva contínua.
Discussão sobre a percepção de volume.
Após o término da socialização dos dados,
peça para cada grupo mostrar, com as caixas,
a numeração que eles fizeram antes e depois
do cálculo do volume.
Questão para os alunos
fig. 10
Antes de fazer o cálculo do volume, por que
vocês achavam que a caixa escolhida possuía
maior volume?
Uns dirão que escolheram a caixa de maior
base, outros aquela que equilibrasse
Caixa de papel
O Experimento 7 / 8
Ficha técnica
Autor
Samuel Rocha de Oliveira
Projeto gráfico
Preface Design
Coordenação de Redação
Fabricio de Paula Silva
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Redação
Thaisa Aluani
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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Ministério
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