1
Professor Mauricio Lutz
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
A correlação linear é uma correlação entre duas variáveis, cujo gráfico
aproxima-se de uma linha. O gráfico cartesiano que representa essa linha é
denominado diagrama de dispersão. Para poder avaliar melhor a correlação entre
as variáveis, é interessante obter a equação da reta; essa reta é chamada de reta
de regressão e a equação que a representa é a equação de regressão. O diagrama
de dispersão é construído de acordo com os dados amostrais de n observações e a
equação de regressão é dada pela expressão:
Y = aX + b , onde a e b são os parâmetros.
Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda
das formulas:
a=
nå xi y i - (å xi )x(å y i )
nå xi2 - (å xi )
2
e
b = y - ax ,
Onde:
n é o número de observações;
æ
x é a média dos valores xi ç x =
ç
è
åx
æ
y é a média dos valores y i ç y =
ç
è
ö
÷;
n ÷ø
i
åy
ö
÷.
n ÷ø
i
Obs.: Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos
parâmetros, o resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de
regressão. Sendo assim escrevemos:
^
^
Y = aX + b , onde o Y é o Y estimado.
Exemplos: a) Determinar a reta de regressão linear, sabendo que existe uma forte
correlação entre o peso total do lixo descartado, por dia, numa empresa com o
peso do papel contido nesse lixo.
Hotel
H1
H2
H3
H4
H5
H6
H7
H8
H9
H10
Peso total
10,47
19,85
21,25
24,36
27,38
28,09
33,61
35,73
38,33
49,14
Peso do papel
2,43
5,12
6,88
6,22
8,84
8,76
7,54
8,47
9,55
11,43
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
2
Professor Mauricio Lutz
De acordo com os dados, fazemos a representação gráfica. Os pares
ordenados formam o diagrama de dispersão.
Para facilitar o cálculo construímos a seguinte tabela:
Peso total ( xi )
Peso do papel ( y i )
xi . y i
x i2
H1
10,47
2,43
25,44
109,62
H2
19,85
5,12
101,63
394,02
H3
21,25
6,88
146,20
451,56
H4
24,36
6,22
151,52
593,41
H5
27,38
8,84
242,04
749,66
H6
28,09
8,76
246,07
789,05
H7
33,61
7,54
253,42
1129,63
H8
35,73
8,47
302,63
1276,63
H9
38,33
9,55
366,05
1469,19
H10
49,14
11,43
561,67
2414,74
288,21
75,24
2396,68
9377,52
å
Temos assim:
a=
a=
nå xi y i - (å xi )x(å y i )
nå x - (å xi )
2
i
2
=
10 x 2396,68 - 288,21x75,24
10 x9377,52 - (288,21) 2
23966,8 - 21684,92 2281,88
=
= 0,2131
93775,2 - 83065
10710,2
Como y =
75,24
288,21
= 7,524 e x =
= 28,821 vem:
10
10
b = y - a x = 7,524 - 0,2131x 28,821 = 7,524 - 6,1405 = 1,3835
Logo:
^
Y = 0,21X + 1,38
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
3
Professor Mauricio Lutz
Com base no conhecimento da equação da reta, pode-se interpolar e
extrapolar valores.
• Interpolação: a interpolação ocorre quando o valor considerado
pertence ao intervalo da tabela, porém, não figura entre os dados coletados.
Supondo-se o valor 15 kg para o peso total do lixo descartado, pode-se
estimar o peso de papel contido nesse lixo. Uma vez que 15 kg não é um dado
coletado e, conseqüentemente, não pertence à tabela de dados, utiliza-se a
equação da reta para determinar o valor correspondente ao peso do papel.
Para 15 kg de lixo descartado, estima-se que haja 4,58 kg de papel
contido nesse lixo.
• Extrapolação: a extrapolação ocorre quando o valor considerado não
pertence ao intervalo da tabela, e também não figura entre os dados coletados.
Suponha que o peso do lixo descartado seja de 60 kg. Esse valor não é
um dado coletado e nem se encontra dentro do intervalo [10,47, 49,14]. Essa
situação é semelhante à anterior e utiliza-se a equação de reta para determinar o
peso do papel.
Para 60 kg de lixo descartado, estima-se, por extrapolação, que haja
14,16 kg de papel contido nesse lixo.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
4
Professor Mauricio Lutz
b) Consideremos uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma
classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em matemática e estatística:
Notas
Números
Matemática ( xi )
Estatística (
01
5,0
6,0
08
8,0
9,0
24
7,0
8,0
38
10,0
10,0
44
6,0
5,0
58
7,0
7,0
59
9,0
8,0
72
3,0
4,0
80
8,0
6,0
92
2,0
2,0
yi )
Vamos verificar a correlação primeiro fazendo um diagrama de
dispersão:
Correlação entre as notas de matemática e estatística
Números
Matemática ( xi )
Estatística (
yi )
xi . y i
x i2
01
5,0
6,0
30
25
08
8,0
9,0
72
64
24
7,0
8,0
56
49
38
10,0
10,0
100
100
44
6,0
5,0
30
36
58
7,0
7,0
49
49
59
9,0
8,0
72
81
72
3,0
4,0
12
9
80
8,0
6,0
48
64
92
2,0
2,0
4
4
65
65
473
481
å
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Notas
5
Professor Mauricio Lutz
Temos assim:
a=
nå xi y i - (å xi )x(å y i )
nå xi2 - (å xi )
2
Como y =
=
10 x 473 - 65 x65 4730 - 4225 505
=
=
= 0,8632
4810 - 4225 585
10 x 481 - (65) 2
65
65
= 6,5 e x =
= 6,5 vem:
10
10
b = y - a x = 6,5 - 0,8632 x6,5 = 6,5 - 5,6108 = 0,8892
^
Logo:
Y = 0,86 X + 0,89
Para traçarmos a reta no gráfico, basta determinar dois de seus pontos:
^
X = 0 Þ Y = 0,89
^
X = 5 Þ Y = 0,86 x5 + 0,89 = 5,19
Assim temos:
Coeficiente de determinação
Trata-se de um indicador da qualidade do ajustamento.
Dessa maneira, o coeficiente de determinação ou coeficiente de
explicação é dado por R 2
2
, onde 0 £ R £ 1 , ou se multiplicarmos (100) = % temos
0 £ R 2 £ 100%
O coeficiente de determinação (R2) é igual ao quadrado do coeficiente
de correlação linear de Pearson (r). O R2 expressa a proporção da variação total
que é explicada (divida) à reta de regressão de x sobre y.
Utilizando os valores do exemplo anterior de correlação temos:
R 2 = (0,9112) 2 = 0,8302
R 2 = 83,02%
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
6
Professor Mauricio Lutz
Interpretamos esse resultado da seguinte maneira: o uso da variável –
nota em matemática, X – , explica 83,02% das notas em estatística Y.
Exercícios
1)Complete o esquema para o ajustamento de uma reta aos dados:
xi
2
4
6
8
10
12
14
yi
30
25
22
18
15
11
10
Temos:
xi
yi
xi . y i
x i2
4
........
........
........
........
........
14
30
........
........
........
........
........
10
60
........
........
........
........
........
140
4
........
........
........
........
........
196
å =........
å =........
å =........
å =........
(........ x........) - (........ x........) ........ - ........ ........
=
=
= ........
........ - ........ ........
(........ x........ ) - (........) 2
Logo:
b = ........ - (........) ........ = ........ + ........ = ........
a=
Donde:
a = ........ e b = ........
^
Isto é: Y = -........X + ........
2) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma
barra de aço varia conforme a temperatura:
Temperatura (°C)
10
15
20
25
30
Comprimento (mm)
1.003
1.005
1.010
1.011
1.014
Determine:
a) O coeficiente de correlação;
b) A reta ajustada a essa correlação;
c) O coeficiente de determinação.
d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18°C;
e) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35°C.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
7
Professor Mauricio Lutz
3) A variação do valor do BTN (Bônus do Tesouro Nacional), relativamente a
alguns meses de 1990, deu origem à tabela:
Meses
Abr.
Mai.
Jun.
Jul.
Ago.
Set.
Out.
Nov.
Valores (Cr$)
41,73
41,73
43,98
48,91
53,41
59,06
66,65
75,76
a) Calcule o grau de correlação.
b) Estabeleça a equação de regressão de Y sobre X.
c) Calcule o coeficiente de determinação.
d) Estime o valor do BTN para o mês de dezembro.
Sugestão: Substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, ..., 8.
4) A partir da tabela:
1
2
3
4
5
6
70
50
yi
a) Calcule o coeficiente de correlação;
b) Determine a reta ajustada;
c) Calcule o coeficiente de determinação;
d) Estime Y para X=0.
40
30
20
10
xi
5) Certa empresa, estudando a variação de demanda de seu produto em relação a
variação de preço de venda, obteve a tabela:
38
56
59
63
70
80
95
110
350
325
297
270
yi )
a) Determine o coeficiente de correlação;
b) Estabeleça a equação da reta ajustada;
c) Calcule o coeficiente de determinação;
c) Estime Y para X=60 e X=120.
256
246
238
223
215
208
Preço ( xi )
42
50
Demanda (
6) Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis “consumo de energia
elétrica” ( xi ) e “volume de produção nas empresas industriais” ( y i ), fez-se uma
amostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores:
åx
i
= 11,34 ;
åy
i
= 20,70 ;
åx
2
i
= 12,16 ;
Determine:
a) O calculo do coeficiente de correlação;
b) A equação de regressão de Y para X;
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
åy
2
i
= 84,96 e
åx y
i
i
= 22,13 .
8
Professor Mauricio Lutz
c) A equação de regressão de X para Y.
7) Vamos supor que exista uma relação linear entre as variáveis: X = despesas em
propaganda e Y = vendas de certo produto.
Considerando os dados abaixo:
X
1,5
5,5
10,0
3,0
7,5
5,0
13,0
4,0
9,0
12,5
15,0
Y
120
190
240
140
180
150
280
110
210
220
310
Determine:
a) Faça o diagrama de dispersão.
b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
c) Estabeleça a equação da reta ajustada.
d) Calcular o valor de vendas para um gasto com propaganda de 4,5.
e) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o.
8)
Para
uma
empresa
desenvolvimento
manter-se
competitiva,
gastos
de
pesquisa
e
(P & D) são essenciais. Para determinar o nível ótimo de
gastos em P & D e seu efeito sobre o valor da empresa, foi aplicada análise de
regressão linear simples, onde:
Y = razão entre preços e ganhos e X = razão entre gastos com P & D e vendas.
Os dados das 20 empresas usadas no estudo são os seguintes:
Empresas
Y
X
Empresas
Y
X
Empresas
Y
X
Empresas
1
5,6
0,003
6
8,2
0,030
11
8,4
0,058
16
11,5 0,083
2
7,2
0,004
7
6,3
0,035
12
11,1 0,058
17
9,8
3
8,1
0,009
8
10,0 0,037
13
11,1 0,067
18
16,1 0,092
4
9,9
0,021
9
8,5
0,044
14
13,2 0,080
19
7,0
0,064
5
6,0
0,023
10
13,2 0,051
15
13,4 0,080
20
5,9
0,028
a) Construir o diagrama de dispersão.
b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
c) Estabelecer a equação da reta ajustada.
d) Usar a equação obtida pra prever o valor de Y, quando X = $0,070.
e) Calcule o coeficiente de determinação.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Y
X
0,091
9
Professor Mauricio Lutz
Resolução dos exercícios:
1)Complete o esquema para o ajustamento de uma reta aos dados:
xi
2
4
6
8
10
12
14
yi
30
25
22
18
15
11
10
Temos:
xi
yi
xi . y i
x i2
2
3
6
8
10
12
14
30
25
22
18
15
11
10
60
75
132
144
150
132
140
4
9
36
64
100
144
196
å =55
å =131
å =833
å =553
Logo:
(7 x833) - (55 x131) 5831 - 7205 - 1374
=
=
= -1,6241
3871 - 3025
846
(7 x553.) - (55) 2
b = 18,7143 - ( -1,6241)7,8578 = 18,7143 + 12,76089 = 31,4752
a=
Donde:
a = -1,6241 e b = 31,4752
^
Isto é: Y = -1,6241X + 31,4752
2) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma
barra de aço varia conforme a temperatura:
Temperatura (°C)
10
15
20
25
30
Comprimento (mm)
1.003
1.005
1.010
1.011
1.014
Determine:
a) O coeficiente de correlação;
b) A reta ajustada a essa correlação;
c) O coeficiente de determinação.
d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18°C;
e) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35°C.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
10
Professor Mauricio Lutz
xi
yi
xi . y i
x i2
yi2
10
15
20
25
30
1003
1005
1010
1011
1014
10030
15075
20200
25275
30420
100
225
400
625
900
1006009
1010025
1020100
1022121
1028196
å =100
å =5043
å =101000
å =2250
å =5086451
a)
n å xi y i - (å xi )(
. å yi )
r=
[nå x
][
- (å xi ) . n å y i2 - (å y i )
2
2
i
2
] [5x2250 - (100) ]x[5x5086451 - (5043) ]
(505000 ) - (504300 )
r=
(5 x101000 ) - (100 x5043)
=
[11250 - 10000 ]x[25432255 - 25431849 ]
2
=
700
1250 x 406
2
=
700
= 0,9826
712,3903
b)
(5 x101000 ) - (100 x5043) 505000 - 504300 700
=
=
= 0,56
11250 - 10000
1250
(5 x 2250 ) - (100) 2
b = 1008,6 - 0,1217 x 20 = 1008,6 - 11,2 = 997,4
a=
^
Isto é: Y = 0,56 X + 997,4
c)
R 2 = (0,9826) 2 = 0,9655
R 2 = 96,55%
^
d) Y = 0,56 x18 + 997,4 = 1007,48mm
^
e) Y = 0,56 x35 + 997,4 = 1017mm
3) A variação do valor do BTN (Bônus do Tesouro Nacional), relativamente a
alguns meses de 1990, deu origem à tabela:
Meses
Abr.
Mai.
Jun.
Jul.
Ago.
Set.
Out.
Nov.
Valores (Cr$)
41,73
41,73
43,98
48,91
53,41
59,06
66,65
75,76
a) Calcule o grau de correlação.
b) Estabeleça a equação de regressão de Y sobre X.
c) Calcule o coeficiente de determinação.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
11
Professor Mauricio Lutz
d) Estime o valor do BTN para o mês de dezembro.
Sugestão: Substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, ..., 8.
xi
yi
xi . y i
x i2
yi2
1
2
3
4
5
6
7
8
41,73
41,73
43,98
48,91
53,41
59,06
66,65
75,76
41,73
83,46
131,94
195,64
267,05
354,36
466,55
606,08
1
4
9
16
25
36
49
64
1741,393
1741,393
1934,24
2392,188
2852,628
3488,084
4442,223
5739,578
å =204
å =24331,73
å =36
å =431,23 å =2146,81
a)
r=
r=
n å x i y i - (å x i )(
. å yi )
[nå x
2
i
][
- (å x i ) . n å y i2 - (å y i )
2
2
=
(8 x 2146,81) - (36 x 431,23)
] [8x204 - (36) ]x[8x24331,73 - (431,23) ]
(17174,48) - (15524,28)
[1632 - 1296 ]x[194653,8 - 185959,3]
=
2
1650,2
336 x8694,496
2
=
1650,2
= 0,9655
1709,196
(8 x 2146,81) - (36 x 431,23) 17174,48 - 15524,28 1650,2
=
=
= 4,9113
1632 - 1296
336
(8 x 204 ) - (36) 2
b)
b = 53,9038 - 4,9113 x 4,5 = 53,9038 - 22,1009 = 31,8029
a=
^
Isto é: Y = 4,9113 X + 31,8029
c)
R 2 = (0,9655) 2 = 0,9322
R 2 = 93,22%
d) Dezembro é igual a x=9
^
Y = 4,9113x9 + 31,8029 = 76,0046
O valor para dezembro é de Cr$ 76,0046
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
12
Professor Mauricio Lutz
4) A partir da tabela:
xi
1
2
3
4
5
6
yi
70
50
40
30
20
10
a) Calcule o coeficiente de correlação;
b) Determine a reta ajustada;
c) Calcule o coeficiente de determinação;
d) Estime Y para X=0
xi
yi
xi . y i
x i2
yi2
1
2
3
4
5
6
70
50
40
30
20
10
70
100
120
120
100
60
1
4
9
16
25
36
4900
2500
1600
900
400
100
å =21
å =220
å =570
å =91
å =10400
a)
r=
r=
n å xi y i - (å xi )(
. å yi )
[nå x
2
i
][
- (å xi ) . n å y i2 - (å y i )
2
(3420 ) - ( 4620 )
[546 - 441]x[62400 - 48400 ]
2
=
(6 x570) - ( 21x 220)
=
] [6 x91 - (21) ]x[6 x10400 - (220) ]
- 1200
105 x14000
2
=
- 1200
= 0,9897
1212,436
(6 x570) - ( 21x 220) 3420 - 4620 - 1200
=
=
= -11,4286
546 - 441
105
(6 x91) - (21) 2
b)
b = 36,6667 - ( -11,4286 x3,5) = 36,6667 + 40 = 76,6667
a=
^
Isto é: Y = -11,4286 X + 76,6667
c)
R 2 = (-0,9897) 2 = 0,9796
R 2 = 97,96%
d) Para X=0 temos:
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
2
13
Professor Mauricio Lutz
^
Y = -11,4286 x0 + 76,6667 = 76,667
5) Certa empresa, estudando a variação de demanda de seu produto em relação a
variação de preço de venda, obteve a tabela:
Preço ( xi )
38
42
50
56
59
63
70
80
95
110
Demanda ( y i )
350
325
297
270
256
246
238
223
215
208
a) Determine o coeficiente de correlação;
b) Estabeleça a equação da reta ajustada;
c) Calcule o coeficiente de determinação;
c) Estime Y para X=60 e X=120.
xi
yi
xi . y i
x i2
yi2
38
42
50
56
59
63
70
80
95
110
350
325
297
270
256
246
238
223
215
208
13300
13650
14850
15120
15104
15498
16660
17840
20425
22880
1444
1764
2500
3136
3481
3969
4900
6400
9025
12100
122500
105625
88209
72900
65536
60516
56644
49729
46225
43264
å =663
å =2628
å =165327 å =48719
å =711148
a)
r=
r=
n å x i y i - (å xi )(
. å yi )
[nå x
2
i
][
- (å x i ) . n å y i2 - (å y i )
2
2
(10 x165327 ) - (663 x 2628)
=
] [10 x48719 - (663) ]x[10 x711148 - (2628) ]
(1653270 ) - (1742364 )
[487190 - 439569 ]x[7111480 - 6906384 ]
2
=
- 89094
47621x 205096
2
=
- 89094
= -0,9015
98827 ,5090
(10 x165327 ) - (663 x 2628) 1653270 - 1742364 - 89094
=
=
= -1,8709
487190 - 439569
47621
(10 x 48719 ) - (663) 2
b)
b = 262,8 - ( -1,8709 x 66,3) = 262,8 + 124,0405 = 386,8405
a=
^
Isto é: Y = -1,8709 X + 386,8405
c)
R 2 = (-0,9015) 2 = 0,8127
R 2 = 81,27%
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
14
Professor Mauricio Lutz
d) Para X=60 temos:
^
Y = -1,8709 x60 + 386,8405 = 274,5867
Para X=120 temos:
^
Y = -1,8709 x120 + 386,8405 = 162,3328
6) Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis “consumo de energia
elétrica” ( xi ) e “volume de produção nas empresas industriais” ( y i ), fez-se uma
amostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores:
åx
i
= 11,34 ;
åy
= 20,70 ;
i
åx
2
i
= 12,16 ;
åy
2
i
= 84,96 e
åx y
i
= 22,13 .
i
Determine:
a) O calculo do coeficiente de correlação;
b) A equação de regressão de Y para X;
c) A equação de regressão de X para Y.
a)
r=
r=
n å x i y i - (å x i )(
. å yi )
[nå x
2
i
][
- (å x i ) . n å y i2 - (å y i )
2
2
( 20 x 22,13) - (11,34 x 20,70)
=
] [20 x12,16 - (11,34) ]x[20 x84,96 - (20,70) ]
( 442,6) - ( 234,738)
[243,2 - 128,5956 ]x[1699,2 - 428,49]
=
2
207,862
114,6044 x1270,71
=
2
207,862
= 0.5447
381,6136
( 20 x 22,13) - (11,34 x 20,70) 442,6 - 234,738
207,862
=
=
= 1,8137
2
243,2 - 128,5956 114,6040
(20 x12,16 ) - (11,34)
b)
b = 1,035 - (1,8137 x0,567 ) = 1,035 - 1,0284 = 0,0066
a=
^
Isto é: Y = -1,8137 X + 0,0066
c)
åy
i
= 11,34 ;
åx
i
= 20,70 ;
åy
2
i
= 12,16 ;
åx
2
i
= 84,96 e
åx y
i
i
( 20 x 22,13) - (11,34 x 20,70) 442,6 - 234,738 207,862
=
=
= 0,1636
1699,2 - 428,49 1270,71
(20 x84,96 ) - (20,70) 2
b = 0,567 - (0,1636 x1,035) = 0,567 - 0,1693 = 0,3977
a=
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
= 22,13 .
15
Professor Mauricio Lutz
^
Isto é: X = 0,1636Y + 0,3977
7) Vamos supor que exista uma relação linear entre as variáveis: X = despesas em
propaganda e Y = vendas de certo produto.
Considerando os dados abaixo:
X
1,5
5,5
10,0
3,0
7,5
5,0
13,0
4,0
9,0
12,5
15,0
Y
120
190
240
140
180
150
280
110
210
220
310
Determine:
a) Faça o diagrama de dispersão.
b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
c) Estabeleça a equação da reta ajustada.
d) Calcular o valor de vendas para um gasto com propaganda de 4,5.
e) Calcule o coeficiente de determinação e interprete-o.
a)
xi
yi
xi . y i
x i2
yi2
1,5
5,5
10,0
3,0
7,5
5,0
13,0
4,0
9,0
12,5
15,0
120
190
240
140
180
150
280
110
210
220
310
180
1045
2400
420
1350
750
3640
440
1890
2750
4650
2,25
30,25
100
9
56,25
25
169
16
81
156,25
225
14400
36100
57600
19600
32400
22500
78400
12100
44100
48400
96100
å =86
å =2150
å =19515
å =870
å =461700
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
16
Professor Mauricio Lutz
b)
r=
r=
n å x i y i - (å x i )(
. å yi )
[nå x
2
i
][
- (å x i ) . n å y i2 - (å y i )
2
( 214665) - (184900 )
2
=
(11x19515) - (86 x 2150)
] [11x870 - (86) ]x[11x461700 - (2150 ) ]
[9570 - 7396]x[5078700 - 4622500 ]
=
2
29765
2174 x 456200
=
2
29765
= 0,9451
31492,52
(11x19515) - (86 x 2150) 214665 - 184900 29765
=
=
= 13,6914
9570 - 7396
2174
(11x870 ) - (86) 2
c)
b = 195,4545 - 107,0415 = 88,4131
a=
^
Isto é: Y = 13,6914 X + 88,4131
d) Quando X=4,5 temos:
^
Y = 13,6914 X + 88,4131 = 13,6914 x 4,5 + 88,4131 = 150,0241
e)
R 2 = (0,9451) 2 = 0,8932
R 2 = 89,32%
89,3% das vendas é explicada pela propaganda, os outros 10,7% é
devido a outros fatores.
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
17
Professor Mauricio Lutz
8)
Para
uma
empresa
manter-se
competitiva,
gastos
de
pesquisa
e
desenvolvimento (P & D) são essenciais. Para determinar o nível ótimo de gastos
em P & D e seu efeito sobre o valor da empresa, foi aplicada análise de regressão
linear simples, onde:
Y = razão entre preços e ganhos e X = razão entre gastos com P & D e vendas.
Os dados das 20 empresas usadas no estudo são os seguintes:
Empresas
1
2
3
4
5
Y
5,6
7,2
8,1
9,9
6,0
X
0,003
0,004
0,009
0,021
0,023
Empresas Y
X
6
8,2 0,030
7
6,3 0,035
8
10,0 0,037
9
8,5 0,044
10
13,2 0,051
Empresas
11
12
13
14
15
Y
8,4
11,1
11,1
13,2
13,4
X
0,058
0,058
0,067
0,080
0,080
Empresas Y
X
16
11,5 0,083
17
9,8 0,091
18
16,1 0,092
19
7,0 0,064
20
5,9 0,028
a) Construir o diagrama de dispersão.
b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
c) Estabelecer a equação da reta ajustada.
d) Usar a equação obtida pra prever o valor de Y, quando X = $0,070.
e) Calcule o coeficiente de determinação.
a)
xi
yi
xi . y i
x i2
yi2
0,003
0,004
0,009
0,021
0,023
0,030
0,035
0,037
0,044
0,051
0,058
0,058
0,067
0,080
0,080
0,083
0,091
0,092
0,064
0,028
5,6
7,2
8,1
9,9
6,0
8,2
6,3
10,0
8,5
13,2
8,4
11,1
11,1
13,2
13,4
11,5
9,8
16,1
7,0
5,9
0,0168
0,0288
0,0729
0,2079
0,1380
0,2460
0,2205
0,3700
0,3740
0,6732
0,4872
0,6438
0,7437
1,0560
1,0720
0,9545
0,8918
1,4812
0,4480
0,1652
0,000009
0,000016
0,000081
0,000441
0,000529
0,000900
0,001225
0,001369
0,001936
0,002601
0,003364
0,003364
0,004489
0,006400
0,006400
0,006889
0,008281
0,008464
0,004096
0,000784
31,36
51,84
65,61
98,01
36
67,24
39,69
100
72,25
174,24
70,56
123,21
123,21
174,24
179,56
132,25
96,04
259,21
49
34,81
å =0,958 å =190,5
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
å =10,2915 å =0,061638
å =1978,33
18
Professor Mauricio Lutz
b)
r=
r=
n å x i y i - (å x i )(
. å yi )
[nå x
2
i
][
- (å x i ) . n å y i2 - (å y i )
2
2
( 20 x10,2915) - (0,958 x190,5)
=
] [20 x0,061638 - (0,958) ]x[201978,33 - (190,5) ]
( 205,83) - (182,499 )
[1,23276 - 0,917764 ]x[39566,6 - 36290,25]
2
=
23,331
0,314996 x3276,25
2
=
23,331
= 0,7262
32,12533
( 20 x10,2915) - (0,958 x190,5)
205,83 - 182,499
23,331
=
=
= 74,0676
2
1,23276 - 0,917764 0,314996
(20 x0,061638 ) - (0,958)
c)
b = 9,526 - 74,0676 x0,0479 = 9,526 - 3,547838 = 5,9772
a=
^
Isto é: Y = 74,0676 X + 5,9772
d) Quando X = $0,070 temos:
^
Y = 74,0676 X + 5,9772 = 74,0676 x0,070 + 5,9772 = 5,1847 + 5,9772 = 11,1619
e)
R 2 = (0,7262) 2 = 0,5274
R 2 = 52,74%
Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br