Mecânica dos Materiais
Esforços axiais
Tensões e Deformações
Esforços multiaxiais
Lei de Hooke generalizada
Tradução e adaptação: Victor Franco Correia
2
(versão 1/2013)
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.
Deformação normal
P
   tensão normal
A

   deformação normal
L
2-2
Teste de tracção uniaxial: tensão-deformação
2-3
Diagrama tensão-deformação: materiais dúcteis
2-4
Diagrama tensão-deformação: materiais frágeis
Aspecto da fractura de
um material dúctil
Aspecto da fractura de
um material frágil
2-5
Lei de Hooke: Módulo de elasticidade
• No regime elástico:
  E
E  Módulo de Young ou
Módulo de elasticida de
• A resistência mecânica é
influenciada pelos elementos de
liga, tratamentos térmicos,
processos de fabrico, etc. mas não
a rigidez – Módulo de
Elasticidade – que se mantém
inalterado.
2-6
Comportamento elástico vs. plástico
• Quando a deformação se recupera
totalmente quando a tensão é
retirada, diz-se que o material tem
um comportamento elástico
• A maior tensão para a qual este
comportamento ocorre é designado
por limite elástico ou tensão limite
de elasticidade
• Quando a deformação não se
recupera totalmente, depois de a
tensão ter sido anulada, diz-se que
o material tem um comportamento
plástico
2-7
Deformações sob a acção de Forças Axiais
• Da Lei de Hooke
  E


E

P
AE
• Da definição de deformação


L
• Igualando e resolvendo em ordem ao
deslocamento

PL
AE
• Se a barra tiver variações na força axial, na
área da secção transversal ou nas propriedades
materiais, ter-se-á:
Pi Li
i Ai Ei
 
2 - 11
Exercício
Calcular:
a) Diagrama de esforços normais
b) Qual o perfil HEA adequado para
suportar os esforços indicados,
assumindo um aço S235 e um
coeficiente de segurança de 2.5 em
relação ao limite elástico?
c) Expressão para cálculo do
deslocamento vertical da extremidade
superior do pilar?
Exercício
Considere o sistema da figura, que é composto por
duas barras de aço ligadas à barra de cobre através
de um pino.
A barra de cobre tem um comprimento de 2 m,
uma área da secção transversal de 4800 mm2 e um
módulo de elasticidade Ec = 120 GPa.
As barras de aço têm um comprimento de 0.5 m,
uma área da secção transversal de 4500 mm2 e um
módulo de elasticidade Ea = 200 GPa.
barra
de aço
a) Determinar o deslocamento vertical da
extremidade inferior da barra de cobre provocado
por uma força P = 180 kN.
(0,625mm + 0,05mm = 0,675 mm)
b) Qual a força P máxima admissível se o
deslocamento vertical da extremidade inferior da
barra de cobre for limitado a 1 mm?
(266,7 kN)
barra
de
cobre
Exercício
Considere o sistema da figura, que é
composto por três tirantes em Titânio,
(AB, DC e EF) e uma viga rígida
AEC.
A área da secção transversal de cada
tirante é indicada na figura.
Se for aplicada uma força vertical
P = 20 kN em F, determinar:
a) As tensões nos tirantes.
b) O deslocamento vertical do ponto E.
c) O deslocamento vertical do ponto F.
ETitânio = 114 GPa
Exercício
Considere o sistema da figura, constituído por uma viga rígida ABD e um
tirante CB, contruído numa liga de alumínio 6061, cuja área da secção
transversal é de 14 mm2.
As ligações em C, B e A são efectuadas através de pinos.
Determinar o deslocamento vertical do ponto D quando é aplicada a carga
distribuída de 300 N/m conforme ilustrado.
EAluminio = 70 GPa
Exemplo
Determinar o deslocamento da extremidade D em relação a A, para a barra
de aço ABCD, sujeita às forças indicadas.
E = 200 GPa
2 - 20
Exemplo
2 - 21
Problema 2.1
A barra rigida BDE é suportada
por 2 barras AB e CD.
A barra AB é de aluminio
(E = 70 GPa) e tem uma área da
secção transversal de 500 mm2.
A barra CD é de aço (E = 200
GPa) e tem uma área da secção
transversal de 600 mm2.
Para a força de 30-kN ilustrada,
determinar os deslocamento dos
pontos: B, D e E.
2 - 22
Problema 2.1
Diagrama de corpo livre da
barra BDE
Deslocamento de B:
B 
PL
AE

 60 103 N 0.3 m 

50010-6 m2 70 109 Pa 
 514 10 6 m
 B  0.514 mm 
Deslocamento de D:
M
B
0
0  30 kN  0.6 m   FCD  0.2 m
FCD  90 kN tracção
M
D
0
0  30 kN  0.4 m   FAB  0.2 m
FAB  60 kN compressão
D 
PL
AE

90 103 N 0.4 m 

60010-6 m2 200109 Pa 
 300 10 6 m
 D  0.300 mm 
2 - 23
Problema 2.1
Deslocamento de D:
BB BH

DD HD
0.514 mm 200 mm   x

0.300 mm
x
x  73.7 mm
EE  HE

DD HD
E
0.300 mm

400  73.7 mm
73.7 mm
 E  1.928 mm
 E  1.928 mm 
2 - 24
Problemas estaticamente indeterminados
• As estruturas, para as quais as forças internas e as
reacções não podem ser calculadas através das
equações da estática, dizem-se estaticamente
indeterminadas (pq possuem mais apoios dos que
aqueles que seriam estritamente necessários para
manter o equilibrio)
• As reacções redundantes são substituídas pelas
forças correspondentes, que em conjunto com
as restantes forças actuantes na estrutura, têm
de originar deformações compatíveis
• As deformações causadas pelas forças actuantes
na estrutura e pelas reacções redundantes são
calculadas separadamente e depois são
adicionadas através do principio da sobreposição
  L R  0
2 - 25
Exemplo
Determinar as reacções em A e B para a
barra de aço ilustrada na figura. Assumir
um ajustamento perfeito entre a barra e os
apoios antes da aplicação das cargas
representadas.
  L R  0
2 - 26
Exemplo (cont.)
• Calcular o deslocamento em B devido às forças
aplicadas com a reacção redundante libertada
P1  0 P2  P3  600 103 N
A1  A2  400 10 6 m 2
P4  900 103 N
A3  A4  250 10 6 m 2
L1  L2  L3  L4  0.150 m
Pi Li 1.125109
L  

E
i Ai Ei
• Calcular o deslocamento em B devido à reacção
redundante
P1  P2   RB
A1  400 10 6 m 2
L1  L2  0.300 m

A2  250 10 6 m 2

Pi Li
1.95 103 RB
δR  

A
E
E
i i i
2 - 27
Exemplo (cont.)
• Impor que os deslocamentos devidos às forças aplicadas e
devido à reacção redundante têm de ser compatíveis:
  L R  0


1.125109 1.95 103 RB
 

0
E
E
RB  577 103 N  577 kN
• Calcular a reacção em A
 Fy  0  RA  300 kN  600 kN  577 kN
RA  323kN
R A  323kN
RB  577 kN
2 - 28
Exemplo
Determinar as reacções em A e B para a
barra de aço ilustrada na figura. Assumir
que existe uma folga de 4.5 mm entre a
barra e o apoio em B, antes da aplicação
das cargas representadas.
=4.5 mm
   L   R  4.5  103 m
1.125  109 1.95  103 RB


 4.5  103 m
E
E
RB  115 kN; R A  784.6 kN
2 - 29
Problemas estaticamente indeterminados
Equação adicional obtida através de compatibilização de deslocamentos
E
Considere-se o sistema da
figura composto por: uma barra
rígida EAD articulada no pino A;
um cabo de aço BC, com um
comprimento não deformado de
200 mm e uma área da secção
transversal de 22.5 mm2;
um bloco de alumínio em D,
com um comprimentos não
deformado de 50 mm e uma
área da secção transversal de
40 mm2.
Se a barra rígida EAD for sujeita
à força de 450 N ilustrada,
calcular:
a) As tensões normais médias
no cabo BC e no bloco D
b) A rotação da barra rígida
Tensões de origem térmica
• Uma variação de temperatura origina uma
deformação de origem térmica:    T
• Não existem tensões associadas, excepto se a
deformação estiver restringida pelos apoios
• Assumir o apoio como redundante e aplicar o
principio da sobreposição
T  T L
P 
PL
AE
  coeficient e de dilatação térmica
• A deformação térmica e a deformação provocada
pela reacção redundante têm de ser compatíveis
  T   P  0
PL
 T L 
0
AE
P   AE T 
P

  ET 
A
2 - 31
Problema estaticamente indeterminado
(B&J 6th ed.)
A barra de aço ABC está fixa entre dois suportes rígidos A e B e está
livre de tensões a uma temperatura de 25ºC.
Se a temperatura da barra for aumentada até 150 ºC, determinar:
a) As tensões normais nos troços AC e CB
b) O deslocamento do ponto C
E = 200 GPa, α = 11.7 x 10-6 /ºC
Exemplo 2.4 B&J 6th Ed.
A barra rígida CDE está articulada num
apoio em E e encosta em D num cilindro
de latão BD com diâmetro de 30 mm.
Um tirante AC, em aço, com 22 mm de
diâmetro está fixo em C conforme mostra
a figura e foi perfeitamente ajustado,
quando a temperatura do conjunto era de
20ºC.
A temperatura do cilindro de latão foi
posteriormente aumentada até 50ºC
enquanto o tirante de aço foi mantido a
20ºC.
Assumindo que antes do aumento de
temperatura as tensões eram zero,
determinar as tensões no cilindro para as
condições finais.
Cont.
Coeficiente de Poisson
• Para uma barra esbelta sujeita a força uniaxial:
x 
x
,  y  z  0
E
• O alongamento na direcção x é acompanhado
de uma contracção nas outras direcções.
Assumindo que o material é isotrópico,
y  z  0
• O coeficiente de Poisson é definido como


deformação lateral

 y  z
deformação axial
x
x
2 - 35
Compressão
2 - 36
Exemplo – determinação de E e 
2 - 37
Tensões em planos oblíquos
• Imaginemos uma secção que forma um
ângulo q com a normal ao eixo da barra
• Das condições de equilibrio, as forças
distribuídas no plano – tensões – têm de
equilibrar a força P.
• Decompondo P nas suas componentes
normal e tangencial à secção oblíqua,
F  P cosq
V  P sinq
• A tensão normal e a tensão de corte
médias, no plano oblíquo são:


F
P cosq
P


cos2 q
Aq A0
A0
cosq
V
P sinq
P


sinq cosq
Aq A0
A0
cosq
2 - 38
Tensão normal e tensão de corte máximas
• Tensão normal e tensão de corte no plano
oblíquo:
P
P

cos 2 q ,  
sinq cos q
A0
A0
• A tensão normal máxima ocorre quando o plano
de referencia é perpendicular ao eixo da
longitudinal da barra, ie. segundo a direcção da
força aplicada:
P
 max 
,   0
A0
• A tensão de corte máxima ocorre para um
plano a + 45o em relação ao eixo longitudinal da
barra:
 max 
P
P
sin 45º cos 45º 
,
A0
2 A0
 
P
2 A0
Estado de tensões num ponto
• As componentes das tensões são definidas
segundo as direcções dos eixos x, y e z e
actuando em planos perpendiculares aos
eixos x, y e z.
• As forças resultantes têm de satisfazer as
condições de equilibrio estático:
 F  0;  F  0;  F  0
 M  0;  M  0;  M  0
x
y
x
z
y
z
• Se considerarmos os momentos em torno do
eixo z :
 M z  0   xy A a   yx A a

 

 xy   yx
igualmente,  yz   zy
e  xz   zx
2 - 40
Estado de tensões num ponto – caso geral
O estado de tensão num ponto pode ser representado, no caso geral, por
6 componentes independentes:
x ,  y , z
tensões normais
 xy ,  yz ,  zx
tensões de corte
com :  xy   yx ,  yz   zy ,  zx   xz
2 - 41
Forças multiaxiais - Lei de Hooke generalizada
• Para um elemento sujeito a forças multiaxiais,
as componentes normais das deformações
resultantes das tensões normais podem ser
determinadas usando o principio da
sobreposição, sendo condições necessárias:
1) relação linear entre deformações e tensões
2) pequenas deformações
• Nestas condições, as deformações normais
são dadas pelas equações seguintes:
x
y
z
 y
x
 z



E
E
E
y
 x
 z



E
E
E
 y
 x



 z
E
E
E
2 - 42
Exemplo – Lei de Hooke generalizada
Considere-se a barra de cobre representada na figura, que está sujeita às forças
uniformemente distribuídas representadas.
A barra tem comprimento a = 300 mm, largura b = 50 mm e espessura t = 20 mm,
antes da aplicação das forças distribuídas.
Determinar as novas dimensões da barra (comprimento, largura e espessura) após a
aplicação das forças. Ecobre = 120 GPa, cobre = 0.34.
Estado de tensões num ponto – Tensões de corte
2 - 45
Deformações ou distorções de corte
• Um elemento cubico infinitésimal sujeito a
uma tensão de corte deforma-se como
representado na figura.
• A relação entre as tensões de corte e as
distorsões correspondentes é dada por:
 xy  G  xy  yz  G  yz  zx  G  zx
em que G é o módulo de elasticidade transversal.
2 - 46
Exemplo – distorções e tensões de corte
Relação entre E ,  e G
• Considere-se a barra sólida sujeita a uma
força axial que sofre um alongamento na
direcção axial e uma contracção na
direcção transversal
• Um elemento cúbico orientado como
ilustrado na figura de cima, sofrerá a
deformação representada. A força axial
origina uma deformação axial
• Se o elemento cúbico estiver orientado
como ilustrado na figura de baixo, sofrerá
a distorção representada: A força axial
origina também uma distorção de corte
• Em materiais isotrópicos, o módulo de elasticidade E e o módulo de
elasticidade transversal G estão relacionados:
E
E  2G 1    ou G 
2(1  )
2 - 48
Materiais Compositos
• Materiais compósitos reforçados com fibras:
laminas; fibras de reforço; matriz
• As tensões normais e as deformações estão
relacionadas pela Lei de Hooke:
y
x
z
Ex 
, Ey 
, Ez 
x
y
z
• As deformações transversais estão relacionadas com
longitudinais através dos coeficientes de Poisson:
 xy  
y
x
,  xz
z

x
• Os materiais compósitos, com propriedades
mecânicas dependentes da direcção, dizem-se
anisotrópicos.
2 - 49
Principio de Saint-Venant
Principio de Saint-Venant:
• Pode-se assumir que a
distribuíção de tensões é
independente do modo de
aplicação da força, excepto
na vizinhança imediata do
ponto de aplicação da força.
2 - 50
Concentração de tensões: furo circular
max
med
Descontinuídades da secção transversal podem
resultar efeitos de concentração de tensões
K
max
med
2 - 51
Concentração de tensões: concordância
max
med
2 - 52
Exemplo
r
Determinar a maior força axial P
que pode ser suportada em
segurança por uma barra plana
em aço com uma concordância,
ou variação de secção: D para d ,
ambas com uma espessura de 10
mm.
D= 60 mm; d= 40 mm; raio da
concordância r = 8 mm.
Assumir uma tensão normal
admissivel de 165 MPa.
2 - 53
• Determinar as relações geométricas e
obter o factor K, a partir dos gráficos
apropriados:
D 60 mm

 1.50
d 40 mm
r
8 mm

 0.20
d 40 mm
K  1.82
• Tensão normal máxima:
max  med K  adm
med 
adm 165 MPa

 90.7 MPa
K
1.82
• Força máxima:
P  A med  40 mm 10 mm 90.7 MPa
 36.3  103 N
P  36.3 kN
2 - 54
Deformações plásticas
P  med A 
e 0.2
max A
K
 A
PY  e 0.2
K
• Deformação elástica: enquanto a
tensão máxima é menor que a tensão
limite de elasticidade
• A tensão máxima é igual à tensão
limite de elasticidade para a carga
máxima em regime elástico
• Para cargas acima do limite elástico,
desenvolve-se uma região de
deformações plásticas junto ao furo
max  e0.2
PU  e 02. A
 K PY
• À medida que a carga aumenta, a
região deformada plasticamente
aumenta até que toda a secção está
sujeita a uma tensão uniforme igual
à tensão limite de elasticidade
(material idealmente plástico)
2 - 55
Exemplo
250 mm
O parafuso de aço tem um diâmetro
nominal de 8 mm e é montado no
tubo de alumínio como indicado na
figura.
O tubo de alumínio tem um diâmetro
interior de 12 mm e um diâmetro
exterior de 14 mm.
A porca em A é ajustada por forma a
somente eliminar a folga não
introduzindo qualquer força de
aperto.
Se o conjunto estiver inicialmente a
uma temperatura Ti = 20º C e fôr
aquecido até à temperatura Tf = 80º
C, calcular as tensões desenvolvidas
no parafuso e no tubo.