Termodinâmica II - FMT 259
Diurno e Noturno, primeiro semestre de 2009
Lista 2
(Entregar até dia 19 de março)
Leia o capítulos 1.2 e 1.3 do livro-texto e resolva os exercícios abaixo:
1. Que hipóteses são feitas a respeito da constituição de um gás, na teoria cinética?
Resposta:
Ler seção 11.2 (página 241) do livro Curso de Física Básica vol. 2 Moysés Nussenzveig
2. Uma molécula de N2 , cuja massa molecular é 28 g/mol, colide elasticamente com a parede do recipiente
o com a direção normal.
em que está contida com uma velocidade de 470 m/s, fazendo um ângulo de 55
Qual é o impulso transmitido à parede?
Resposta:
Da denição de impulso temos que
−
→
→
I = ∆−
p.
Chamaremos a direção paralela à parede de direção
x.
(1)
Como a única força que atua na molécula durante a
colisão é a força normal, que está na direção x, então, só a componente
o impulso é transmitido apenas na direção x (Iy
x do momento é alterada e portanto
= Iz = 0).
Ix = 2 m v cos θ,
onde
θ
(2)
é o angulo entre o vetor velocidade e a normal ao plano da parede, ou seja o eixo x. Substituindo
os valores do enunciado na equação acima teremos
Ix = 2, 5 × 10−23 N s.
(3)
3. Uma caixa cúbica de 1,0 cm de aresta contém ar à pressão atmosférica, temperatura de 295 K e cuja
3
densidade é 1,29 kg/m . Estime o número de colisões moleculares por segundo nas paredes da caixa.
Resposta:
Seja
∆S
∆t,
as moléculas com velocidade
um elemento de superfície da parede perpendicular ao eixo da colisão. Em um intervalo de tempo
vi
que estão próximas o suciente da parede ( mais especicamente,
apenas as moléculas que estão contidas num volume
vi⊥ ∆t ∆S
) colidirão com a superfície. Entretanto
há moléculas se aproximando e se afastando da parede. Se assumirmos igual probabilidade, metade das
partículas se aproximam e metade se afastam em relação a superfície. De maneira que o número de colisões
nas paredes devido as moléculas com velocidade
#
sabendo que
∆S = 6L2 ,
colisões tipo
colisões
∆t
L
é
i=
1
ni vi⊥ ∆S ∆t,
2
=
∑
1
6L2
ni vi⊥ ,
2
i
é o tamanho da aresta da caixa. O valor médio de
média ponderada
(4)
o número de colisões totais nas paredes por unidade de tempo é
#
onde
vi
v⊥ ,
∑
i ni vi⊥
hv⊥ i = ∑
,
i ni
1
que indicaremos por
(5)
hv⊥ i,
é por denição a
(6)
sabendo que
∑
i ni
= n,
teremos
#
colisões
1
6L2 n hv⊥ i,
2
=
∆t
(7)
devido a isotropia da distribuição de velocidades temos
hv⊥ i =
lembrando que
n = N/V = N/L3 ,
colisões
∆t
Agora nos resta calcular
Vqm =
√
hv 2 i
hvi.
=
N
hvi.
L
√
√
Portanto
#
colisões
∆t
α
Na
é o número de mols do gás e
N
≈
L
= 1, 0 ×
10−6
m3 estão contidos
(10)
3P
α Na
=
ρ
L
√
3P
,
ρ
(11)
colisões
∆t
4. Um feixe molecular de oxigênio contendo 10
22, 415 ` = 22, 415 × 10−3 m3 ,
portanto no volume
10−5 mols de ar. E o número de colisões nas paredes é
α = 4, 461 ×
#
3P
,
ρ
é o número de avogadro. Assumindo que o ar é um gás ideal,
então um mol de gás ideal ocupa um volume de
L3
(9)
Vamos estimar o valor da velocidade média pelo valor da velocidade quadrática
que vale
hvi ≈ Vqm =
onde
(8)
teremos
#
média
1
hvi,
3
≈ 1, 29 × 1024
colisões/s.
(12)
10 moléculas/cm3 , com velocidade média de 500 m/s, incide
o
sobre uma placa segundo um ângulo de 30 com a normal da placa. Calcule a pressão exercida pelo feixe
sobre a placa, supondo as colisões perfeitamente elásticas.
Resposta:
A pressão de um gás se deve as colisões entre as partículas constituintes do gás e as paredes. Sendo essa
colisão elástica, o momento transferido à parede é
∆p⊥ = 2 m v⊥ , onde o simbolo ⊥ signica a componente
perpendicular a superfície. A força total exercida na parede é o momento transferido pela colisão de uma
única particula vezes número de colisões nas paredes por segundo.
O cálculo para obter o número de colisões por segundo nas paredes é analogo ao item anterior. Seja
um elemento de superfície da parede perpendicular ao eixo da colisão. Em um intervalo de tempo
moléculas com velocidade
vi
∆t,
as
que estão próximas o suciente da parede ( mais especicamente, apenas as
moléculas que estão contidas num volume
feixe de moléculas,
∆S
vi⊥ ∆t ∆S
) colidirão com a superfície. Como trata-se de um
todas elas se aproximam da parede.
devido as moléculas com velocidade
vi
#
colisões
O momento total transferido pelas colisões com
∆pi
total
Portanto o número de colisões nas paredes
é
= (#
= ni ∆S vi⊥ ∆t.
∆S
colisões)
durate
∆t
(13)
é
2
× ∆pi⊥ = 2 ni m vi⊥
∆S ∆t.
Assim a força devido as moléculas com velocidade
vi
é a taxa de variação do momento
(14)
Fi⊥ = ∆pi
total /∆t
tal que
2
Fi⊥ = 2 ni m vi⊥
∆S,
portanto a pressão devido as moléculas com velocidade
vi
nas paredes é dada por
2
Pi = 2 ni m vi⊥
,
2
(15)
(16)
tomando a média, teremos a pressão exercida pelo feixe sobre a placa
2
P = 2 n m hv⊥
i,
v⊥ = v cos 30o
como
(17)
e a massa molar do O2 é 32 g/mol então,
P ≈ 2, 0 × 10−4 P a.
(18)
5. Calcule a velocidade quadrática média (Vqm ): (a) de moléculas do gás de Bi, cuja massa é 3,47
g, à temperatura de 2,7
×
resfriado em uma armadilha magneto-óptica à essa temperatura)
de 1,0
×
×
10
−22
−7 K (em uma experiência de condensação de Bose-Einstein, um gás de Bi é
10
1 ; (b) de partículas de poeira com massa
−13 g, suspensas no ar à temperatura de 295 K; (c) de um vírus, com massa de 2,0
10
×
10
−17 g,
imerso no sangue à temperatura de 310 K.
Resposta:
Pelo teorema da equipartição da energia temos que
3
1
m hv 2 i = kB T,
2
2
√
Vqm =
onde
kB
(19)
√
hv 2 i =
3kB T
m
(20)
é a constante de Boltzmann
(a) A velocidade quadrática média (Vqm ) das moléculas do gás de Bi, cuja massa é 3,47
temperatura de 2,7
×
−7 K é
10
×
10
−22 g, à
Vqm = 5, 67 × 10−3 m/s.
(21)
(b) Assumindo que as partículas de poeira estão em equilíbrio térmico com as partículas que compõem o
ar, temos que a velocidade quadrática média (Vqm ) de partículas de poeira com massa de 1,0
×
10
−13 g,
suspensas no ar à temperatura de 295 K é
Vqm = 1, 1 × 10−2 m/s.
(22)
(c) Assumindo que o víru está em equilíbrio térmico com as partículas que compõem o sangue, temos
que a velocidade quadrática média (Vqm ) de um vírus, com massa de 2,0
×
−17 g, imerso no sangue à
10
temperatura de 310 K é
Vqm = 0, 8 m/s.
(23)
Desao aos que tiverem mais tempo
Pressão da radiação
Pressão de radiação é a pressão exercida sobre uma superfície devido à incidência de uma onda eletromagnética. Uma onda eletromagnética possui momento, embora não tenha massa e se mova sempre a velocidade da
1
Um
condensado de Bose-Einstein
é um novo estado da matéria observado a temperaturas muito baixas, próximas do zero
absoluto. Nestas temperaturas os átomos colapsam (ou condensam) no estado mínimo de energia possível, e adquirem um comportamento coletivo, suas identidades se fundem. A possibilidade da existência deste estado da matéria foi prevista por Albert Einstein
em 1925, em um trabalho onde adapta cálculos estatísticos feitos pelo um físico indiano Satyendra Nath Bose para partículas com
massa. O
Condensado de Bose-Einsten
permaneceu apenas como uma possibilidade teórica por cerca de 70 anos até que, em 1995
físicos da Universidade do Colorado conseguiram observar pela primeira vez sua formação, usando um gás de átomos de rubídio
resfriados à 170 nanokelvins (nK). Os Condensados de Bose-Einstein apresentam diversos comportamentos estranhos, como
para fora do seu recipiente,
uir
muitos deles ainda não completamente compreendidos. Estudar suas propriedades, do ponto de vista
teórico e experimental vem mobilizando muitos cientistas nos dias de hoje; Condensados de Bose-Einstein já foram produzidos na
USP de São Carlos e são estudados do ponto de vista teórico por vários pesquisadores do IFUSP.
3
luz,
c.
Além de se comportar como uma onda, em muitas situações a luz também se comporta como uma partícula,
conhecida hoje como fóton. Os fótons estão sempre à velocidade
energia
E
c,
e carregam um momento
| p~ | = E/c2 .
A
do fóton está associada à frequência da luz, de modo que, embora sempre se movam com a mesma
velocidade, fótons associados a luzes de diferentes cores tem momentos diferentes
3.
Suponha que tenhamos um grande número de fótons presos em um recipiente (uma estrela muito quente,
por exemplo).
(a) Repita o cálculo que zemos para calcular a pressão de um gás, agora calculando a pressão da radiação : não
substitua o momento
P V = U/3,
px
de uma partícula de luz por
mvx ,
mas por
E/c,
e mostre que, para um gás de fótons,
onde U é a energia dos fótons.
Resposta:
A pressão de um gás se deve as colisões entre as partículas constituintes do gás e as paredes.
essa colisão elástica, o momento transferido à parede é
∆p⊥ = 2 m v⊥ = 2 p⊥ ,
onde o simbolo
⊥
Sendo
signica a
componente perpendicular a superfície.
Agora precisamos do número de colisões por segundo.
perpendicular ao eixo da colisão.
Seja
Em um intervalo de tempo
dt,
dS
um elemento de superfície da parede
as moléculas com velocidade
vi
que estão
próximas o suciente da parede ( mais especicamente, apenas as moléculas que estão contidas num volume
vi⊥ dt dS
) colidirão com a superfície.Entretanto há moléculas se aproximando e se afastando da parede.
Se
assumirmos igual probabilidade, metade das partículas se aproximam e metade se afastam em relação a superfície.
De maneira que o número de colisões nas paredes devido as moléculas com velocidade
#
colisões
O momento total transferido pelas colisões com
dS
=
A força devido as moléculas com velocidade
vi
é
1
ni dS vi⊥ dt
2
durate
dpi⊥ = #
vi
dt
(24)
é
colisões
2pi⊥
(25)
é a taxa de variação do momento
Fi⊥ = dpi⊥ /dt
sendo assim
Fi⊥ = ni pi⊥ vi⊥ dS,
(26)
Pi = ni pi⊥ vi⊥
(27)
portanto a pressão nas paredes é dada por
tomando a média, e levando em consideração a isotropia do espaço
1
P = n hpvi.
3
A velocidade dos fotons é a velocidade da luz. Então o termo
de um único fotons. Além disso, sabemos que
n = N/V .
P =
U = NE
4
neste caso ?
3
(29)
1
U
3
(30)
é a energia interna total do gás.
(b) Qual seria o equivalente da expressão
2
pv na expressão acima representa a energia E = pc
Portanto
1N
E.
3V
P V =
onde
(28)
P V γ = C,
válida em transformações adiabáticas em um gás ideal,
Para entender essa expressão para o momento de um fóton, veja um texto básico de relatividade (Moysés, Halliday, etc.).
Uma experiência simples sobre pressão de radiação pode ser feita em classe no ensino médio. Veja por exemplo o sítio "The
Radiation Pressure of Light", from The Wolfram Demonstrations Project,
http://demonstrations.wolfram.com/TheRadiationPressureOfLight , acessado em 05/03/2010.
4
The Feynman Lectures on Physics,
Veja, por exemplo, o capítulo 39-3 (Compressibility of Radiation), do livro
P V γ = Constante no curso de termodinâmica I para fazer esse item!
você precise recordar como se mostrou que
4
vol 1. Talvez
Resposta:
Suponha a seguinte relação
P V =
1
U.
3
A primeira lei da termodinâmica em transformações adiabáticas (∆Q
(31)
= 0)
temos que
dU = −P dV,
(32)
dU
1 dV
=−
,
U
3 V
(33)
substituindo a equação (31) na (32) teremos
ln U = −
1
ln V + C,
3
(34)
que vale a igualdade
U = C V −3 ,
1
(35)
substituindo esse resultado na equação (31) teremos
P V = C V −3 ,
1
P V
4
3
= C.
(36)
(37)
Essa é uma outra aplicação da teoria cinética dos gases, muito usada em astronomia e astrofísica: permite
calcular qual a contribuição da pressão de radiação em uma estrela, e como ela muda quando a estrela se expande
(ou é comprimida). Uma estrela "em equilíbrio", como o Sol, está sob a ação de forças que tendem à contrai-la
e de forças que tendem à expandi-la. O equilíbrio se dá quando essas tendências opostas se equilibram por um
longo tempo - alguns bilhões de anos - até que eventualmente uma delas vence a disputa (e o sistema sai do
equilíbrio). A única força atrativa que pode fazer a estrela se contrair é a gravidade. Já a tendência à expansão
é devida a mais de um fator, e os mais importantes são a pressão térmica, a pressão de radiação e a pressão
quântica. A pressão térmica é a pressão usual, devida ao movimento das partículas (com massa) que compõe
a estrela. Em muitos casos, como o do Sol, é a mais importante. Em estrela mais quentes que o Sol, porém, o
efeito da pressão de radiação (que pode ser calculada como você acabou de fazer) é preponderante; a chamada
pressão quântica, importante para entender o equilíbrio, por exemplo, de estrelas conhecidas como Anãs Brancas,
é uma força repulsiva devido a um princípio quântico conhecido como princípio de exclusão de Pauli, que diz
que se os elétrons se aproximarem muito um dos outros, devem ter velocidades muito diferentes, o que causa
uma expansão. Essa pressão, que tem origem na degenerescência do elétron, não depende da temperatura, mas
da densidade.
5