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Fonte: SEARS E ZEMANSKY – Física I – Mecânica – 10a edição. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
Capítulo 5: Aplicações das Leis de Newton
1) Aplicações das Leis de Newton
Estratégia para solução de problemas utilizando as Leis de Newton
1. Defina um sistema de coordenadas. Um diagrama indicando a direção e o sentido positivo de cada eixo é
sempre útil.
2. Seja coerente com os sinais. Uma vez definido o sentido positivo do eixo Ox, os componentes da
aceleração, da força e da velocidade com esta direção e este sentido possuem sinais positivos.
3. Ao aplicar a primeira e a segunda lei de Newton, sempre se concentre sobre um corpo específico.
Desenhe um diagrama do corpo livre mostrando todas as forças que atuam sobre o corpo, mas não inclua
as forças que este corpo exerce sobre outros corpos. No seu diagrama você pode representar o seu corpo
como uma partícula.
4. Identifique as grandezas conhecidas e as desconhecidas e use um símbolo algébrico para cada grandeza
desconhecida. Caso no início você conheça a direção e o sentido da força, uso um símbolo para
representar o módulo da força, uma grandeza sempre positiva. Lembre-se que os componentes da força ao
longo de um eixo particular podem ser positivos ou negativos.
5. Escreva a primeira lei de Newton (para problemas com aceleração nula) ou a segunda lei de Newton
(para problemas com aceleração diferente de zero) através de seus componentes usando o seu sistema de
coordenadas, conforme recomendação da etapa 1. Resolva as equações, explicitando as incógnitas.
Exercício 1: Tensão de uma corrente sem massa. Para melhorar a acústica em um auditório, um refletor
de som com massa igual a 200 kg é suspenso por uma corrente presa ao teto (figura 4.22a). Qual é o peso
do refletor? Qual é a força (o módulo, a direção e o sentido) que a corrente exerce sobre ele? Qual é a
tensão na corrente? Suponha que a massa seja desprezível. ( w=1960N, T=1960N, -T=-1960N.)
Exercício 2: Tensão em uma corrente com massa. No exercício 1, suponha que a massa da corrente não
seja desprezível, e sim igual a 10,0 kg. Determina as forças na extremidade da corrente. (T1 = 2058N)
Exercício 3: Equilíbrio em duas dimensões. Na figura 5.2a, o motor de um automóvel com peso w está
suspenso por uma corrente ligada no ponto O a duas outras correntes, uma delas amarrada ao teto e a
outra presa na parede. Ache as tensões nas três correntes, desprezando os pesos das correntes e
sabendo-se que w = 2200 N. (T1=2200N, T2=1270N, T3 = 2540N)
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Exercício 4: Um plano inclinado. Um carro está em repouso sobre a rampa de um rebocador de carro
o
(Figura 5.3a) formando um ângulo de 10 com a horizontal. O freio do carro está solto e o carro não está
engrenado; logo, somente o cabo ligado ao carro e ao rebocador impede o carro de deslizar para baixo ao
longo da rampa. Se o peso do carro é w = 5000N, ache a tensão no cabo e a força com a qual a rampa
empurra os pneus do carro.
Exercício 5: Tensão em torno de uma polia sem atrito. Blocos de granito estão sendo retirados de uma
pedreira e transportados para cima de um plano inclinado de 15o . Por razões ambientais, o barro também
está sendo despejado na pedreira para preencher buracos antigos. Pediram que você descobrisse um meio
de usar esse barro para mover facilmente o granito para fora da pedreira. Você projeta um sistema no qual
o bloco de granito sobre um carrinho com rodas de aço (peso w1, incluindo o carrinho) é puxado para cima
sobre trilhos de aço por um balde cheio de barro (peso w2, incluindo o balde) que cai verticalmente para o
interior da pedreira (Figura 5.4a). Desprezando o peso do cabo e os atritos na polia e nas rodas, determine
a relação entre os pesos w1 e w2 para que o sistema se mova com velocidade constante. (w2 = 0,26w1)
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Exercício 6: Tensão em um cabo de elevador. Um elevador e sua carga possuem massa total igual a 800
kg (Figura 5.8a). O elevador está inicialmente descendo com velocidade igual a 10,0 m/s; a seguir ele atinge
o repouso em uma distância de 25,0m. Ache a tensão T no cabo de suporte enquanto o elevador está
diminuindo de velocidade até atingir o repouso. (T= 9440N)
Exercício 7: Peso aparente dentro de um elevador em aceleração. Uma garota de 50,0 kg está sobre
uma balança dentro do elevador do exercício 6 (figura 5.9a). Qual é a leitura da balança? (N=590N)
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Exercício 8: Aceleração descendo a montanha. Um tobogã cheio de estudantes em férias (peso total w)
escorrega para baixo numa encosta coberta de neve (Figura 5.10a). A montanha possui uma inclinação
constante e o tobogã está tão bem lubrificado que não existe qualquer atrito. Qual é a aceleração do
tobogã? (ax=g.sen )
Exercício 9: Dois corpos com a mesma aceleração. Um braço de robô puxa um carrinho de 4,0 kg ao
longo de um trilho horizontal sem atrito com uma corda de 0,50 kg, aplicando na corda uma força horizontal
de módulos F=9,0N (Figura 5.12a). Calcule a aceleração do sistema e a tensão no ponto onde a corda é
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amarrada no carrinho. (a= 2,0m/s , T = 8N)
Exercício 10: Dois corpos com acelerações de mesmo módulo. Na figura 5.13a, um cavaleiro com
massa m1= 1kg desliza sobre um trilho de ar horizontal sem atrito em um laboratório de física. Ele está
ligado a um peso de laboratório de massa m2= 5 kg através de um fio leve, flexível e não deformável, que
passa sobre uma pequena polia sem atrito. Calcule a aceleração de cada corpo e a tensão no fio.
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2) Forças de Atrito
O atrito é uma força importante em muitos aspectos de nossa vida cotidiana. O óleo no motor de um
automóvel minimiza o atrito entre as partes móveis, porém se não fosse o atrito entre os pneus do carro e o
solo, não poderíamos guiar um carro nem fazer curvas.
Atrito estático e atrito cinético
Quando um corpo está em repouso ou desliza sobre uma superfície, podemos sempre decompor as
forças de contato em componentes perpendiculares e paralelas à superfície. Chamamos o vetor
componente perpendicular à superfície de força normal e a representamos por N ( normal é sinônimo de
perpendicular). O vetor componente paralelo à superfície é a força de atrito, representada por f. Por
definição, N e f são forças sempre ortogonais entre si. O sentido da força de atrito é sempre contrário ao
sentido do movimento relativo entre as duas superfícies. O tipo de atrito que atua quando um corpo está
deslizando sobre uma superfície denomina-se força de atrito cinético fc. O módulo da força de atrito cinético
geralmente cresce quando a força normal cresce. Por exemplo, no sistema de freios do carro, quanto mais
as pastilhas de freio são comprimidas contra o disco de freio, maior é o efeito da freada. Em muitos casos
verifica-se experimentalmente que o módulo da força de atrito cinético fc é proporcional ao módulo N da
força normal. Em tais casos, podemos escrever:
fc =
c=
c.N
(módulo da força de atrito cinético) – equação 1
coeficiente de atrito cinético adimensional (sem unidade)
A força de atrito também pode atuar quando não existe movimento relativo ( corpo parado). Quando
você tenta arrastar uma caixa ela pode não se mover porque o solo exerce uma força igual e contrária. Essa
força denomina-se força de atrito estático fs .
Na figura 5.16a) a caixa está em repouso equilibrada pela ação do peso w e pela força normal N
exercida da de baixo para cima pelo solo sobre a caixa (Figura 5.16b) e aumentamos gradualmente a
tensão T na corda. No início, a caixa permanece em repouso porque, à medida que T cresce, a força de
atrito fs também cresce (permanecendo com o mesmo módulo de T). Em dado ponto, T torna-se maior que
o máximo valor da força de atrito estático fs que a superfície pode exercer. Então a caixa “quebra o vínculo”
( a tensão é capaz de quebrar as ligações moleculares entre as superfícies da caixa e o solo) e começa a
deslizar. A Figura 5.16c mostra um diagrama das forças quando T atingiu esse valor crítico. Quando T
supera esse valor, a caixa não está mais em equilíbrio. Para um dado par de superfícies, o valor máximo de
fs depende da força normal. A experiência mostra que esse valor máximo (fs)max é aproximadamente
proporcional a N; chamamos o fator de proporcionalidade de s de coeficiente de atrito estático.
fs
s .N
(módulo da força de atrito estático) – equação 2
Na equação 2, o sinal de igual só é válido quando a força T, paralela a superfície, atingiu seu valor
crítico e o movimento está na iminência de começar (Figura 5.16c). Quando T for menor do que esse valor
(Figura 5.16b), o sinal da desigualdade é válido. Neste caso é necessário usar a condição de equilíbrio (Fr =
0 – força resultante nula) para achar fs. Quando não existe nenhuma força aplicada (T=0), como na figura
5.16a, então também não existe nenhuma força de atrito estático (fs=0). Logo que o deslizamento começa
(Figura 5.16d), a força de atrito normalmente diminui; manter a caixa deslizando é mais fácil do que produzir
o início do movimento. Portanto, o coeficiente de atrito cinético é geralmente menor do que o coeficiente de
estático para um dado par de superfícies, conforme mostra tabela abaixo.
Valores aproximados dos coeficientes de atrito
Materias
Estático, s
Aço com aço
0,74
Alumínio com aço
0,61
Cobre com aço
0,53
Teflon com teflon
0,04
Borracha com concreto (seco) 1,00
Borracha com concreto (úmido) 0,30
Cinético,
0,57
0,47
0,36
0,04
0,80
0,25
c
Quando para t=0 começamos sem nenhuma força aplicada (T=0) e gradualmente aumentamos a
força, ocorrerá uma pequena variação de força de atrito, conforme indicado na Figura 5.17. Em alguns
casos, as superfícies podem alternadamente aderir (atrito estático) e deslizar (atrito cinético). Ex: giz numa
posição errada sobre o quadro negro, som do violino...
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Exercício 11: Atrito em um movimento horizontal. Uma empresa de entrega acaba de descarregar na
calçada em frente a sua casa um engradado de 500N com equipamento de ginástica (Figura 5.18a). Você
verifica que para começar o movimento até a porta da sua casa você precisa aplicar uma força horizontal de
módulo igual a 230N. Depois da “quebra do vínculo” e de iniciado o movimento, você necessita apenas de
200N para manter o movimento com velocidade constante. (a)Qual é o coeficiente de atrito estático e o
coeficiente de atrito cinético? (b) Qual é a força de atrito se o engradado está em repouso sobre uma
superfície, e uma força horizontal de 50N é aplicada sobre ele?
(a: s = 0,46 e C = 0,40; b: fs = 50N)
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Exercício 12: No exercício 11, suponha que você tente mover o engradado amarrando uma corda em torno
o
dele e puxando a corda para cima com um ângulo de 30 com a horizontal (Figura 5.19a). Qual a força que
você deve fazer para manter o movimento com velocidade constante? O esforço que você faz é maior ou
menor do que quando aplica uma força horizontal? Supor w = 500N e c = 0,40. ( T = 188N,N = 406N)
Exercício 13: Movimento de um tobogã com atrito I: Um tobogã possui um atrito cinético c sendo que
sua inclinação é apenas suficiente para que o tobogã se desloque com velocidade constante. Deduza uma
expressão para o ângulo de inclinação em função de w e de c. ( c= tan )
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Exercício 14: Movimento de um tobogã com atrito II: Qual seria a solução do exercício 13 considerando
o mesmo tobogã, porém uma inclinação mais íngreme? Agora o tobogã se acelera. Deduza uma expressão
para aceleração em termos de g, , c e w. (ax = g.(sen - c.cos ) )
Atrito de rolamento
É mais fácil mover um armário cheio sobre um carrinho com rodas do que arrasta-lo sobre o piso
Quanto é mais fácil? Podemos definir um coeficiente de rolamento r , como uma força horizontal
necessária para um deslocamento com velocidade constante sobre uma superfície plana dividida pela força
normal de baixo para cima exercida pela superfície. Os engenheiros de transporte chamam r de
resistência a tração. Valores típicos de r , são 0,002 a 0,003 para rodas de aço sobre trilhos de aço e
0,001 a 0,002 para pneus de borracha sobre concreto. Esses valores mostram a razão pela qual um trem
que se desloca sobre trilhos gasta muito menos combustível do que um caminhão em uma auto-estrada.
Exercício 15: Movimento com atrito de rolamento: O peso de um carro comum é cerca de 12000N. Se o
coeficiente de atrito de rolamento for r = 0,010, qual a força horizontal necessária para deslocar este carro
com velocidade constante em uma estrada plana? Despreze a resistência do ar. (fr = 120N)
Resistência de um fluido e velocidade terminal
Se você colocar sua mão para fora da janela de um carro que se move com alta velocidade, ficará
convencido da existência da resistência de um fluido, a força que um fluido (um gás ou um líquido) exerce
sobre o corpo que se move em seu seio. O corpo que se move exerce uma força sobre o fluido para afastalo do caminho. Pela terceira lei de Newton, o fluido exerce sobre o corpo uma força igual e contrária. O
módulo da força da resistência de um fluido normalmente cresce com a velocidade do corpo através do
fluido. Para baixas velocidades (menores que a velocidade de uma bola de tênis no ar), o módulo f da força
de resistência de um fluido é aproximadamente proporcional à velocidade do corpo v:
f = k. v (resistência de um fluido para baixas velocidades)
onde k é um fator de proporcionalidade que depende da forma e do tamanho do corpo e das propriedades
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do fluido. Para velocidades maiores, a força é aproximadamente proporcional a v . Ela é então chamada de
arraste do ar, ou simplesmente arraste. Aviões, gotas de água caindo e carros que se movem com
velocidades elevadas, todos sofrem a ação do arraste do ar.
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f = D. v (resistência de um fluido para altas velocidades)
O fator de proporcionalidade D depende da forma e do tamanho do corpo e da densidade do ar. Por causa
dos efeitos da resistência do fluido, um objeto caindo em um fluido não terá aceleração constante. Para
descrever seu movimento devemos aplicar a segunda lei de Newton (Fr = m.g + (-k.v) = m.a). Por exemplo,
caso você deixe cair uma pedra num lago profundo (baixa velocidade) a velocidade final vt (quando a=0),
denominada velocidade terminal, é dada por:
vt = (m.g)/k (velocidade terminal, resistência do fluido f = k.v)
Para um objeto caindo no ar com velocidade elevada, a velocidade terminal é dada por:
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vt = raiz quadrada (m.g)/D (velocidade terminal, resistência do fluido f = D. v )
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Exercício 16: Velocidade terminal de um pára-quedista. Para um corpo humano caindo no ar em
posição horizontal, o valor da constante D é aproximadamente 0,25 kg/m. Considerando um pára-quedista
de 80,0 kg, a sua velocidade terminal é: (56 m/s)
3) Dinâmica do Movimento Circular
Para uma partícula que se desloca ao longo de uma circunferência com velocidade escalar
constante, a aceleração é sempre orientada para o centro do círculo (perpendicular a velocidade
instantânea) O módulo arad da aceleração centrípeta é constante, sendo dado em termo da velocidade v e
do raio R por:
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arad = v /R
A velocidade v é dada em função do comprimento da circunferência (2. .R) e o período T.
v = (2. .R)/T
O movimento circular uniforme, como qualquer movimento de uma partícula, é governado pela
segunda lei de Newton. A aceleração da partícula orientada para o centro deve ser produzida por alguma
força, ou diversas forças, tais que a soma vetorial (força resultante Frad) seja um vetor sempre orientado
para o centro do círculo. O módulo da força radial (Frad) é dado por:
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Frad= m.a rad = (m.v )/R
Exercício 16: Força no movimento circular uniforme. Uma pequena caixa de plástico com massa de
0,300 kg se desloca com movimento circular uniforme em um plano horizontal sem atrito, como o de uma
mesa de ar (figura 5.26a). A caixa está segura por uma corda de 0,140 m de comprimento presa a um pino
fixado na superfície. Se a caixa completa duas revoluções por segundo, ache a força F exercida sobre ela
pela corda. (F=6,63N)
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Exercício 17: Contorno de uma curva. O carro está fazendo uma curva plana com raio R. Se o
coeficiente de atrito entre os pneus e a estrada for igual s, qual a velocidade máxima vmáx com a qual o
carro pode completar a curva sem deslizar?
Exercício 18: Movimento circular uniforme em um círculo vertical. Um passageiro na roda-gigante de
um parque de diversões se move em um círculo vertical de raio R com velocidade v. Supondo que o
assento permaneça sempre na vertical durante o movimento, deduza relações para a força que o assento
exerce sobre o passageiro no topo do círculo e em seu ponto inferior.
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Exercícios para entregar no dia da segunda
avaliação:
01) Ache a tensão em cada corda da figura
abaixo, sabendo que o peso suspenso w = 100N.
(Ta = 73,2N e Tb = 89,2N)
02) Dois blocos, cada um com peso w = 100N,
são mantidos em equilíbrio em um plano inclinado
o
sem atrito. Sabendo que o ângulo
= 30 ,
determine: a) a tensão na corda que conecta os
dois blocos; b) a tensão na corda que conecta o
bloco A com a parede; c) Calcule o módulo da
força que o plano inclinado exerce sobre cada
bloco; d) Interprete suas respostas para os casos
o
= 0 e = 90 . a) 50N, b) 100N, c) 87N
03) Duas caixas estão ligadas por uma corda
sobre uma superfície horizontal. A caixa A possui
massa ma= 10kg e a caixa B possui massa mb=
10kg. O coeficiente de atrito cinético C = 0,40. As
caixas são empurradas para a direita com uma
velocidade constante F. a) Calcule o módulo da
força F; b) a tensão na corda que conecta os
blocos. (a) 98N (b) 39,2N
04) No exercício 10, calcule a aceleração e
atração no fio, caso o coeficiente de atrito cinético
entre o cavaleiro de massa m1 e o trilho de ar seja
2
de C= 0,10. a=8m/s ; T=9N (aproximadamente)
05) Uma mulher de 50,0 kg pilota um avião
mergulhando verticalmente para baixo e muda o
curso para cima, de modo que o avião passa a
descrever um círculo vertical. a) Se a velocidade
do avião na base do círculo for igual a 95,0 m/s,
qual será o raio mínimo do círculo para que a
aceleração não supere 4 vezes a aceleração da
gravidade? b) Qual é seu peso aparente neste
ponto? (a) 230m (b) 2450N