SISTEMA NUMÉRICO BINÁRIO: da Matemática à Informática1
Esp. Fabiana Conceição de Souza2
Jefferson Alencar do Nascimento Vieira3
RESUMO
O objetivo deste artigo é demonstrar como os números e a matemática se desenvolveram durante a
história da evolução humana, em especial o sistema numérico que tem por base apenas dois
algarismos: zero e um. Conhecido como sistema numérico binário, este foi desenvolvido no século
XVII, porém só veio a ganhar significativa relevância no século XX com as descobertas da era digital.
O sistema numérico binário, assim como outros sistemas conhecidos, pode ser aplicado a diversos
conteúdos matemáticos como a divisão, multiplicação, potenciação, e através disso é possível
transformar seus números, compostos de apenas dois dígitos, em qualquer número de outro sistema
numérico. Além de tudo isso, foi fundamental para o processo de crescimento da informática, pois é a
base da programação, que pelas diversas combinações entre 0 (desligado) e 1 (ligado) é possível
criar qualquer coisa no mundo digital. A metodologia utilizada foi através de pesquisa bibliográfica
ampla, livros, revistas, artigos e sites, em conteúdos que contemplam estudos matemáticos e da sua
fundamentação na área da informática.
PALAVRAS-CHAVE: Sistema numérico binário, Matemática, Informática.
ABSTRACT
The objective of this article is demonstrate how the numbers and the mathematic if develop during the
evolution history of the people, into special the system numeric who have by base two figure: Zero
and one, known how system numeric binary, this gone developed in the century XVII, but your the
importance, earned significative in the century XX how others systems known , can be apply in the
various contents of mathematics, for example: In the division, multiplication, potentiation and by of
that is possible transform their numbers, made up of only two digits in any number of the other
numerical system. Besides all this, was instrumental in the growth process of the computer, it is the
basis of programming, which by different combinations between 0 (off) and 1 (on) you can create
anything in the digital world. The methodology has been through extensive literature, books,
magazines, articles and websites, which include studies in mathematical content and its foundation in
computer science.
KEYWORDS: Binary number system, Mathematics, Computer science.
1
Artigo final apresentado como requisito para obtenção do título de Licenciado em Matemática das
Faculdades Integradas de Ariquemes - FIAR.
2
Professora Orientadora e docente das Faculdades Integradas de Ariquemes – FIAR.
3
Discente do curso de Graduação com Licenciatura em Matemática das Faculdades Integradas de
Ariquemes – FIAR.
2
INTRODUÇÃO
O conceito de número e o processo de contagem, segundo evidências
arqueológicas, já era possível desde 50.000 anos a.C., pois as pessoas daquela
época tinham noção e conhecimento do que poderia ser algo em uma quantidade
maior ou menor, como na comparação de dois rebanhos.
Ao longo dos anos a apreciação do significado de números foi se
desenvolvendo, dessa forma, sistemas numéricos foram se criando, dentre esses,
este projeto se propõe a abordar sobre o Sistema Numérico Binário, aquele que tem
por base apenas dois algarismos.
A importância do tema proposto se dá pelo pouco conhecimento que se tem
sobre o mesmo, pois estudantes que, desde o primeiro ano do ensino fundamental
ao terceiro ano do ensino médio, podem nunca tê-lo visto.
Não obstante ao sistema numérico binário em si, pode ainda ser utilizado
para demonstrar outros conteúdos matemáticos e ajudar a entendê-los, como por
exemplo a adição, multiplicação, divisão, potenciação, raciocínio lógico, entre outros.
Além disso, mostrar qual é sua importância para ramo da informática, a ciência
chamada de Tecnologia da Informação.
Este artigo foi elaborado através de pesquisa bibliográfica e virtual, através
de consultas e referências que abordam conteúdos educacionais e matemáticos e
sobre informática e seu desenvolvimento.
1 BREVE HISTÓRICO DA METAMÁTICA E A DESCOBERTA DOS NÚMEROS
As histórias da matemática e do seu conhecimento se perdem no tempo:
existem evidências arqueológicas de que o homem já era capaz de contar à cerca
de 50.000 anos atrás; há ainda provas de entalhos em osso e pedaços de madeira
encontrados na Europa datados de 35.000 a. C. que demonstram como o homem
primitivo passou a diferenciar número ordinal de número cardinal.
Mas como entender a matemática, sem antes conhecer e compreender o
conceito de número e do processo de contar? Além do número em si, também tinha
3
a mesma importância ter conhecimento sobre a grandeza e forma, como uso foi
possível?
Essa compreensão se deu de forma longa e gradual, principalmente por
conta das línguas espalhadas pelo mundo em que, por exemplo, para os gregos
havia uma distinção entre números, em que consideravam um, dois e mais de dois,
enquanto que todas as outras línguas só havia duas distinções, entre o plural e do
singular. Os homens primitivos começaram a ter noção de quantidade a partir de
suas necessidades, situações cotidianas e reais, como por exemplo, a quantidade
de peixe e/ou carne necessária para alimentar sua família durante o dia; a diferença
entre um lobo (coiote) que ataca sua criação de animais e uma alcateia (muitos
lobos); uma expressão da quantidade de pessoas de sua tribo ou comunidade,
também podendo ser comparada a outra tribo.
Assim foram se desenvolvendo as primeiras formas de pensar sobre a
quantidade, valores, os números. Com isso nascia a matemática, que segundo
Boyer (1998, p. 01), hoje em dia, ―definições antiquadas da matemática como uma
ciência do número e grandeza já não são válidos; mas sugerem as origens dos
diversos ramos da matemática‖.
Tal percepção de quantidade é possível até mesmo nos animais, como por
exemplo, se ao observar um animal ovíparo que, ao sair de seu ninho e ao voltar,
estiver faltando um ovo numa quantidade mínima de três, não conseguem perceber
sua falta. Mas já conseguem perceber a falta de dois ovos numa quantidade mínima
de quatro, e se não vão à procura dos ovos que faltam, acabam por abandonar
todos os outros ovos e procuram outro lugar para uma futura reprodução.
O homem tem essa capacidade bem mais avançada, mas o início dessa
compreensão se deu da mesma forma como a dos animais, em que qualquer
conjunto era representado por um ou dois elementos, além disso, era entendido
como muitos.
Não era esse o nome dado no início de sua compreensão, mas assim,
nascia o que hoje são chamados de números.
4
2 A ORIGEM DA CONTAGEM E DAS BASES NUMÉRICAS
De nada adianta ter uma percepção sobre o significado de número,
enquanto representação de quantidade, se o homem não aprender a utiliza-lo e
desenvolver um método para isso, ou seja, através da descoberta dos números
era necessário aplicar a eles uma utilidade, seja na vida cotidiana ou no meio
científico. Nascia então, depois de muitas experiências e circunstâncias, a
operação de contar.
De início, o homem utilizava para se contar, algo que pudesse comparar
as quantidades, princípio da correspondência biunívoca, que consiste em atribuir
a cada elemento de um conjunto um elemento de outro, fazendo isso até que um
ou ambos os conjuntos se encerrassem, era empregado, por exemplo, para uma
contagem de carneiros, em que para cada carneiro dobrava-se um dedo. Mais
tarde, com a evolução, passou-se a fazer ranhuras em madeira, barro ou pedras,
e até mesmo nós em corda para representar a unidade de outro elemento que se
queria saber e comparar a quantidade, geralmente animais de criação. Era esse
o sentimento e a ideia segundo Boyer:
A idéia de número finalmente tornou-se suficientemente ampla e vívida para
que se sentisse a necessidade de exprimir a propriedade de algum modo,
presumivelmente a princípio somente na linguagem de sinais. Os dedos de
uma mão podem facilmente ser usados para indicar um conjunto de dois,
três, quatro ou cinco objetos, não sendo o número 1 geralmente
reconhecido inicialmente como um verdadeiro número. Usando os dedos
das duas mãos podem ser representadas coleções contendo até dez
elementos; combinando dedos das mãos e dos pés pode-se ir até vinte.
Quando os dedos humanos eram inadequados, podiam ser usados montes
de pedras para representar uma correspondência com elementos de um
outro conjunto. Quando o homem primitivo usava tal método de
representação, ele frequentemente amontoava as pedras em grupos de
cinco, pois os quíntuplos lhe eram familiares por observação da mão e pé
humanos (BOYER,1996, p. 02-03).
Surgiu-se então, a necessidade de se criar arranjos, símbolos e métodos
para se representar grandes números:
Mais tarde, com o surgimento das primeiras civilizações, foi necessário fixar
um determinado número de símbolos, e ordenar a sua repetição de forma a
facilitar a sua escrita e a sua pronuncia, assim foram adotados vários
critérios, sempre ou quase sempre, relacionados com a anatomia humana
(CONTADOR, 2008, p. 29).
5
Ou seja, era necessário se criar uma quantidade de símbolos que não
fosse demasiadamente grande e que se pudesse aprender e memorizar. Como a
quantidade de muitas coisas pode ser praticamente infinita, foi necessário
também se ordenar a repetição desses símbolos para que se pudesse
demonstrar uma quantidade maior de elementos, e de forma a facilitar à escrita e
a pronuncia.
Em culturas em que nas fases mais antigas usavam-se os dedos de uma
das mãos para contar, a quantidade de elementos de um grupo fixou-se em
cinco e consequentemente a base numérica adotada é a quinaria; quando
forma usados os dedos das duas mãos a base adotada foi a decimal, e no
caso do uso dos dedos dos pés a base adotada foi a vigesimal. Assim
surgiram os principais sistemas de numeração das civilizações antigas, o de
base dez ou decimal, de base cinco ou quinaria, de base vinte ou vigesimal,
além da base sessenta ou sexagesimal e do de base doze ou duodecimal.
Mais tarde outras bases, conforme a conveniência ou a necessidade, foram
criadas, e mesmo variando o número de elementos básicos de um grupo, os
conceitos de formação do sistema num todo foram mantidos. São exemplos
destas bases o sistema de base dois ou binário e o sistema de base
dezesseis ou hexadecimal (CONTADOR, 2008, p. 29).
Surgem, então, as bases numéricas.
2.1 SISTEMA DECIMAL OU DE BASE DEZ
Esse sistema se originou basicamente pelo fato de ser a quantidade de
dedos existentes em uma pessoa, nas duas mãos juntas, por se tratar do meio
de contagem rápido e prático.
Hoje, esse sistema é composto por dez símbolos, que são chamados de
algarismos arábicos, conhecido como sistema de numeração indo-arábico, e tem
esse nome pelo fato de que os hindus o inventaram e os árabes o transmitiram
para a Europa Ocidental. Esse sistema conseguiu aceitação em todos os países
do mundo. O sistema decimal é composto pelos seguintes algarismos: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9.
A base decimal tem sua primeira dezena representada pelo número dez, ou
seja, uma dezena e zero unidade, e o restante das dezenas é a simples
combinação de dezenas e unidades 11, 12, 13, 20, 21... 30, 31... 99, a
primeira centena é a base vezes ela mesma, representada na forma
6
exponencial 102 ou 10 x 10 ou simplesmente pelo número 100. Depois as
combinações de unidades, dezenas e centenas 101, 102... 201, 202... 999,
e a seguir temos a milhar, ou à base elevada ao cubo ou 103 ou 10 x 10 x
10 ou o número 1.000, e continuando assim indefinidamente (CONTADOR,
2008, p. 32).
Esse sistema de numeração trouxe grandes vantagens, pois, apesar de
um número maior de dígitos, são menos nomes para se gravar, porque a partir
de uma dezena as nomenclaturas começam a se repetir em parte da leitura do
número, como por exemplo: um, vinte e um, trezentos e vinte e um, seis mil e
trezentos e vinte e um, entre outros.
2.2 SISTEMA QUINÁRIO OU DE BASE CINCO
No início da descoberta dos sistemas numéricos não era hábito de todos,
principalmente dos índios, utilizarem as duas mãos para contar, que segundo
Contador (2008, p. 32) havia também tribos que contavam com apenas uma das
mãos, utilizando apenas os cinco dedos. Com isso criou-se o sistema quinário:
[...] composto apenas por cinco símbolos, cujos nomes aparecem sem
repetição até o quinto algarismo e depois começam as derivações; sua
estrutura é a mesma da base decimal, com unidades, dezenas, centenas
etc., sendo o símbolo correspondente ao número cinco a dezena
(CONTADOR, 2008, p. 32).
Ainda, segundo Contador (2008, p. 33), esse sistema de numeração usase no povo das Novas Hébridas 4, cuja língua era o ―opi‖. Usa-se uma das mãos
como base e a outra como referência, assim:
4
Ilhas da Grã-Bretanha.
7
Quadro 1 – Leitura dos Números pelo povo das Novas Hébridas
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
16
Tai
Tai
Lua
Tolu
Vari
Luna
Otai
Olua
Otolu
Ovair
Lualuna
Lualuna i tai
Lualuna i lua
Toluluna
Toluluna i tai
(mão)
(mais um)
(mais dois)
(mais três)
(mais quatro)
(duas mãos)
(2 x 5 + 1)
(2 x 5 + 2)
(3 x 5)
(3 x 5 + 1)
Fonte: (CONTADOR, 2008, p. 33)
Além do principio que deu origem a esse sistema, o uso de uma das
mãos, dentre os sistemas numéricos indo-arábicos, o sistema quinário é o único
que se assemelha a outro sistema, o Romano. Pode-se notar que o sistema
romano de numeração tem traços do sistema de base cinco, como se vê: I, II, II,
IV, V, VI, VII, VIII.
2.3 SISTEMA VIGESIMAL OU DE BASE VINTE
Não podia ser diferente com o sistema vigesimal, que além de ter como
referencia o dedo das mãos tinha mais os dedos dos pés, como diz Eves (2004,
p. 28), ―O sistema vigesimal (base vinte) [...] remonta aos dias em que o homem
andava descalço‖.
Veja, ainda, as vantagens e desvantagens desse sistema numérico
segundo Contador:
O sistema vigesimal nos oferece uma economia de algarismos, e isto é uma
vantagem em relação a outros sistemas mas, por outro lhado, temos o
problema da quantidade de nomes: são vinte no total, só para as unidades,
depois começam as derivações. Como consequência há uma grande
dificuldade na gravação destes nomes (CONTADOR, 2008, p. 32).
8
2.4 SISTEMA DUODECIMAL OU DE BASE DOZE
Esse sistema de numeração não tem origem conhecida, apesar de ter
sido, pelos povos antigos, o sistema mais bem aceito entre os suméricos,
babilônicos, romanos e etc. Diferentes autores acreditam que teve sua origem
pela quantidade de divisores inteiros de doze (duodecimal) ser maior que por dez
(decimal), facilitando cálculos matemáticos.
Os sumérios utilizaram os divisores desta base nas medidas de distâncias,
áreas e volumes. Também dividiram o dia em doze partes iguais
denominadas danna, e o círculo foi dividido em doze partes de trinta graus
cada qual com o nome beru ou setor; os romanos, por sua vez, dividiram
sua moeda em doze partes chamadas onces; alias, 12 é o númer de onças
numa libra antiga, de pences num shilling, de horas num relógio, de meses
num ano, também encontramos alguns vestígios dessa numeração em
nosso dia-a-dia como a grosa e a dúzia, unidade esta que acompanha a
dezena utilizada também em vários países como Índia, Síria, Egito, Iraque e
o próprio Brasil entre outros (CONTADOR, 2008, p. 32).
2.5 SISTEMA BINÁRIO OU DE BASE DOIS
Enfim, o Sistema Numérico Binário, que requer apenas dois símbolos: 0 e 1,
a partir dos quais se exprimem todos os outros números como pode ser
exemplificado no quadro seguinte:
Quadro 2 – Representação dos números decimais em binários
Decimal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Binário
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
Fonte: (PONTE, 2000, p. 39)
Mas não cabe tratar deste tema agora, pois, por ser título do artigo, será
melhor detalhado do terceiro capítulo em diante.
9
3 SISTEMA NUMÉRICO BINÁRIO
O sistema numérico binário foi desenvolvido pelo matemático Gottfried
Whilhelm Leibniz. Foi o sistema numérico criado com menor número possível de
algarismos, apenas dois. Fazendo uma comparação ao sistema numérico
decimal, tem-se:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10...
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010...
A transcrição da numeração decimal para a numeração binária está
fundamentada na mudança da base dez para base dois. Este é o sistema numérico
binário.
Esse sistema permite que as informações sejam duplicadas e repassadas
adiante sem erros ou duplas interpretações. Enquanto os cálculos com
números binários são pouco atraentes devido ao grande número de dígitos
que seria preciso manipular, a tabuada de multiplicação se reduz a poucas
relações. Toda e qualquer informação pode ser convertida em números
usando apenas os algarismos zero e um. Em linguagem computacional
cada 0 e 1 é chamado de bit. Uma vez convertida a informação, ela pode
ser armazenada numa longa cadeia de bits. Essas cadeias de números são
o que chamamos de informação digital (ATHENA, 2004, p. 45).
Para Leibniz, segundo Contador (2008), o sistema numérico binário era
perfeito para qualquer cálculo, tanto quanto o sistema decimal. Na tentativa de
padronização, no século XVII, Leibniz desistiu, pois para se representar um
número, de formato decimal, em números binários exigia-se uma grande
quantidade de casas:
259 = 100000011;
302 = 0100101110.
Diante de tal dificuldade, seu projeto teve de ser engavetado. Mas isso se
manteria em stand by somente até o século XX, época em que os computadores
foram criados, descoberto e passaram a fazer parte da vida humana.
Como capítulo principal deste artigo é importante ressaltar que não se
10
pode confundir o tema número binário com binômio de Newton 5, que é um
teorema que permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente à
potência de um binômio, que assim como descreve Daghlian (2006, p. 97) é ―a lei
pela qual todo par ordenado de elementos (x, y) leva a um terceiro elemento z.
Notação: x . y = z. Os sinais aritméticos + , - , . , ÷ são exemplos de operadores
binários.
O sistema decimal tem por base o número 10, que corresponde ao número
de algarismos (símbolos) utilizados para representação de quantidades, que são: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Qualquer número que seja maior que 9 (nove) pode ser representado
utilizando o sistema de peso por posicionamento, quanto mais próximo do extremo a
esquerda do número estiver o algarismo, maior será a potência de dez (decimal) que
será multiplicada por esse algarismo, ou seja, mais significativo será o dígito, por
exemplo:
3 x 103 + 5 x 102 + 4 x 101 + 6 x 100
3000 + 500 + 40 + 6 = 3546
1992 = 1 x 103 + 9 x 102 + 9 x 101 + 2 x 100
1 x 1000 + 9 x 100 + 9 x 10 + 2 x 1
1000 + 900 + 90 +2
Assim, há ainda, as fórmulas de conversão entre os sistemas numéricos,
dentre elas, serão mostradas neste artigo as mais importantes: de deci mal para
binário e de binário para decimal, conforme Contador (2008):
 .Fórmula de conversão de decimal em binário:
Divide-se o número decimal dado e os quocientes sucessivos por 2 até que
o quociente dê 0. O binário equivalente é a combinação de todos os restos na ordem
inversa a qual foram obtidos.
Exemplos:
a) Converter 10 (decimal) em número binário.
5
Nome dado ao que é um conteúdo matemático, em homenagem ao físico e matemático Isaac
Newton.
11
Divisões sucessivas por dois:
10
2
0
5
2
1
2
2
0
1
2
1
0
Resultado obtido: 1010
Notação posicional:
28
27
26
25
24
23
22
21
20
0
0
0
0
0
1
0
1
0
b) Converter 107 (decimal) em número binário.
Divisões sucessivas por dois:
107 2
1
53
2
1
26
2
0
13
2
1
6
2
0
3
2
1
1
2
1
0
Resultado obtido através deste processo: 1101011
Notação posicional:
28
27
26
25
24
23
22
21
20
0
0
1
1
0
1
0
1
1
12
 Fórmula de conversão de binário em decimal.
No sistema binário, ou sistema de base 2, cada posição vale duas vezes o
que vale a posição imediatamente à direita.
Em um sistema de base qualquer – b – o valor do número a0 a1 a2 ...an é:
a0 a1 a2 ...an = an b0 + an-1 b1 +... a1 bn-1 + a0 bn
Exemplo:
a) Converter 1101011 (binário) em número decimal.
Divisões sucessivas por dois, e somar o valor correspondente as casas com 1 e
ignorar o valor das casas com 0:
28
27
26
25
24
23
22
21
20
0
0
1
1
0
1
0
1
1
26 + 25 + 23 + 21 + 2 0 =
64 + 32 + 8 + 2 + 1= 107
Contador (2008, p. 42) em seu livro Matemática, uma breve história
explica e exemplifica que o homem ao montar um cálculo qualquer, na forma
como o estrutura, também pensa de forma binária. Ele pede que se faça uma
soma 5 + 3 + 2, e afirma ―consciente ou inconscientemente esta soma foi
separada em grupos de dois termos [...] não importa a formação de grupos [...]
mas sempre em grupos de dois, mais uma prova de que o homem trabalha
binário em tudo que faz‖.
4 O CONTEÚDO MATEMÁTICO: NÚMEROS BINÁRIOS
Sabe-se que o sistema numérico binário é aquele que tem por base somente
dois algarismos, 0 (zero) e 1 (um), e pode ser aplicado nas operações básicas de
matemática.
No trecho a seguir, pode-se observar como a função docente pode e deve
ganhar novas dimensões, de forma a permitir discussão e reflexão sobre suas
13
potencialidades e limites, através até mesmo daquilo que chama-se hoje de TIC –
Tecnologias da Informação e Comunicação:
Um explorador capaz de perceber o que lhe pode interessar, e de aprender,
por si só ou em conjunto com os colegas mais próximos, a tirar partido das
respectivas potencialidades. Tal como o aluno, o professor acaba por ter de
estar sempre a aprender. Desse modo, aproxima-se dos seus alunos. Deixa
de ser a autoridade incontestada do saber para passar a ser, muitas vezes,
aquele que menos sabe, o que está longe de constituir uma modificação
menor do seu papel profissional (PONTE, 2000, p. 76).
Desde um conceito matemático, sobre determinado conteúdo, até a sua
aplicação e a eficácia de uma aula, existe um longo caminho a ser traçado, tanto na
Matemática quanto na informática, assim o sistema numérico binário pode ser
considerado como conteúdo e até mesmo uma metodologia a ser aplicada.
O sistema numérico binário é pouquíssimo, ou nem mesmo, aplicado nos
diversos níveis de ensino da matemática, ou seja, desde o ensino primário ao ensino
superior, provavelmente só um estudante o terá como conteúdo no ensino superior,
se fizer algum curso relacionado a exatas, como matemática ou informática. Esse
pode ser trabalhado para exemplificar e ser transformado em todos os outros
sistemas numéricos e servir como base para diversos outros conteúdos matemáticos
e, pode ainda, contribuir para o desenvolvimento de diversos outros conteúdos do
ensino da Matemática nos níveis de educação básica.
Analisa-se os conceitos a seguir, segundo o Minidicionário Aurélio da Lingua
Portuguesa (2004):
 Adição: ―Operação elementar que consiste em reunir em um só número
unidades, e frações de unidades, constituintes de dois ou mais outros
números; soma‖;
 Subtração: ―Operação inversa à da adição; diminuição‖
 Multiplicação: ―Operação elementar em que se calcula a soma de duas ou
mais parcelas iguais‖;
 Divisão: ―Operação que consiste em encontrar quantas vezes sucessivas
um mesmo número fixo (o divisor) pode ser subtraído de uma quantidade
inicial (o dividendo)‖;
 Potenciação: ―Série de multiplicações em que se obtém a potência de um
número; Produto de fatores iguais; o resultado de uma série de
multiplicações em que o mesmo número é repetido como fator‖;
14
Assim como no sistema decimal, também pode-se trabalhar as operações
matemáticas, mencionadas anteriormente, no sistema binário e com isso
operacionalizar o processo de ensino aprendizagem em crianças e adultos do
ensino fundamental e médio, através de um sistema numérico novo aos olhos da
categoria estudantil, que pode ser tão simples quanto o método convencional de
ensino. Professores podem buscar novas formas de ensinar, fazer o diferencial em
sala de aula.
Isso pode ser demonstrado nas fórmulas e métodos de resolução, no quadro
a seguir, que não fazem distinção dos cálculos realizados com o sistema numérico
utilizado no Brasil, o decimal:
Quadro 3 – Aritmética Binária
Soma de Binários
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=fica 0 e transporte de 1 (para somar ao digito imediatamente à esquerda)
1+1+1= fica 1 e transporte de 1(para somar ao digito imediatamente à esquerda)
Para somar dois números binários, o procedimento é o seguinte:
Exemplo 1:
*
1100
+ 111
-----
= 10011
Explicando: Os números binários são base 2, ou seja, há apenas dois algarismos: 0
(zero) ou 1 (um). Na soma de 0 com 1 o total é 1. Quando se soma 1 com 1, o
resultado é 2, mas como 2 em binário é 10, o resultado é 0 (zero) e passa-se o outro
1 para a "frente", ou seja, para ser somado com o próximo elemento, conforme
assinalado pelo asterisco, como no exemplo acima.
Exemplo 2:
**
1100
+ 1111
-----
= 11011
Explicando: Nesse caso acima (exemplo 2), na quarta coluna da direita para a
esquerda, nos deparamos com uma soma de 1 com 1 mais a soma do 1 ( * ) que
veio da soma anterior. Quando temos esse caso (1 + 1 + 1), o resultado é 1 e passase o outro 1 para frente.
15
Subtração de Binários
0-1=1 e vai 1* para ser subtraido no digito seguinte 1-1=0 1-0=1 0-0=0 Para subtrair
dois números binários, o procedimento é o seguinte:
* ****
1101110
- 10111
-------
= 1010111
Explicando: Quando temos 0 menos 1, precisamos "pedir emprestado" do elemento
vizinho. Esse empréstimo vem valendo 2 (dois), pelo fato de ser um número binário.
Então, no caso da coluna 0 - 1 = 1, porque na verdade a operação feita foi 2 - 1 = 1.
Esse processo se repete e o elemento que cedeu o "empréstimo" e valia 1 passa a
valer 0. Os asteriscos marcam os elementos que "emprestaram" para seus vizinhos.
Perceba, que, logicamente, quando o valor for zero, ele não pode "emprestar" para
ninguém, então o "pedido" passa para o próximo elemento e esse zero recebe o
valor de 1.
Multiplicação de Binários
A multiplicação entre binários é similar à realizada com números decimais. A única
diferença está no momento de somar os termos resultantes da operação. 0x0=0
0x1=0 1x0=0 1x1=1
1011
x1010
---------
0000
+ 1011
+ 0000
+1011
---------------
=1101110
Perceba que na soma de 0 e 1 o resultado será 1, mas na soma de 1 com 1, ao
invés do resultado ser 2, ele será 0 (zero) e passa-se o 1 para a próxima coluna,
conforme assinalado pelo asterisco. Nota que se a soma passar de 2 dígitos, devese somar o número em binário correspondente ( ex. 7 = 111, 6 = 110, 5 = 101, 4 =
100, 3 =11).
111
x 111
---------
+
+
111
111
111
---------------
= 110001
16
No caso, a terceira coluna a soma dá 4 (com mais um da anterior), que adiciona um
"1" duas colunas depois (100).
Divisão de Binários
Essa operação também é similar àquela realizada entre números decimais:
110 |__10__
- 100 11—010
- 10—00
Deve-se observar somente a regra para subtração entre binários. Nesse exemplo a
divisão de 110 por 10 teve como resultado 11.
Fonte: Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_bin%C3%A1rio_(matem%C3%A1tica)>,
2011.
Vê-se que é possível a utilização das propriedades matemáticas aos
números binários. Já com relação a potenciação inteiramente ligada e relacionada
com a conversão dos números binários em números decimais, ou seja, um
determinado numero binário N, que se queira expressar de forma decimal...
[...]deve-se escrever cada número que o compõe (bit), multiplicado pela
base do sistema (base = 2), elevado à posição que ocupa [...]A soma de
cada multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências resulta no
número real representado (SISTEMA..., on-line, 2011).
1011(binário)
1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 21 + 1 × 20 = 11
Portanto, 1011 é 11 em decimal.
A operação inversa, ficaria da seguinte forma:
11 (decimal) = ? (binário)
Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R(dois) até que se
obtenha um quociente inteiro igual a zero. Os restos das divisões sucessivas, lidos
do último para o primeiro, constituem o número transformado para a base R
(binária).
17
11
2
1
5
2
1
2
2
0
1
2
1
0
11 (decimal) = 1011 (binário)
5 NÚMEROS BINÁRIOS E A INFORMÁTICA
No século XX, o homem proporciona a maior revolução tecnológica da
história, nascia, então, a era computacional, e logo em seguida, em consequência, a
era digital.
Os números binários têm papel fundamental nessa era, pelo principio de
armazenamento de dados num disco de computador.
Mas, antes é preciso entender como o algarismo binário está inserido na
informática, e Contador esclarece muito bem como isso acontece:
A menor unidade de informação, chama-se bit, que representa um
algarismo binário ou uma simples escolha entre 0 e 1, (imantado ou não
imantado), um grupo de oito bits recebe o nome de byte e pode ter 28 ou
256 diferentes combinações ou configurações de informação, indo de
00000000 a 11111111. Nestas 256 opções podemos configurar letras,
atribuindo-lhes valores binários por convenção (CONTADOR, 2008, p. 41).
Os números 0 e 1 como representação de letras, números e arquivos, se
dão pela forma como os dados são gravados no disco rígido (HD) de um
computador, em que por uma descarga elétrica é possível imantar ou não imantar 6 a
superfície de um disco a ser gravado. Para se compreender melhor, pode-se
destacar que para um computador a letra ―I‖ é representada, em forma decimal, pelo
número 201, mas o computador o lê da seguinte forma binária 11001001, ou seja, a
ordem como os números 1 (imantado) e 0 (não imantado) aparecem é consequência
do processo de imantação para se representar o símbolo que se quer.
6
O óxido de ferro possui a particular propriedade de ficar imantado ou em seu estado normal,
dependendo exclusivamente de uma descarga elétrica.
18
Meirelles (1994) cita em seu livro que, no início da era digital, para a
transferência de informações eram necessários de forma satisfatória 7 bits, como os
hardwares dessa época eram pouco confiáveis, por esse motivo foi necessário
acrescentar mais um bit, chamado de bit de paridade. Com a evolução e o
desenvolvimento dos hardwares, essa necessidade de um bit a mais se perdeu, o bit
de paridade desapareceu. Mas com a convenção de que um byte tinha 8 bits, assim
permaneceu, o que resultou na potência 28(dois elevado a oitava potência), que
calculada resultaria em 256 combinações diferentes. ―Portanto, um byte pode conter
uma informação e, quanto mais bytes o equipamento possuir, mais informações
poderemos processar‖ (MEIRELLES, 1994, p. 122).
Os números digitais, que hoje entender-se-ia como números que foram
digitados em um computador ou aqueles escritos em uma máquina evoluída através
da informática, na verdade vem da forma como os números eram representados
antigamente, através dos dedos, retomando a sua origem a palavra digito, que quer
dizer dedo. Para indicar os algarismos de 1 a 9, e, posteriormente, os números
maiores, os povos primitivos e algumas tribos da África, Arábia, Persa e esquimós
da América do Sul e do Norte usam as mãos até hoje.
A figura abaixo simboliza os números digitais mencionados:
Figura 1 – Números digitais
Fonte: (EVES, 2004, p. 30)
19
Para a Informática, a Matemática exerce papel importantíssimo, pode ser
perceber isso na matriz curricular de um curso de Licenciatura e/ou Bacharelado em
Sistema de Informação que há componentes curriculares como cálculo, lógica,
geometria analítica, álgebra linear, estatística entre outras, são obrigatórias, e não
só no curso em si, mas para o desenvolvimento de sistemas e na programação
como um todo, a Matemática é fundamental para todo esse meio tecnológico, que se
desenvolve e transforma-se a cada milésimo de segundo, que todos conhecem por
informática.
Nesse sentido destaca-se o pensamento de Davis e Hersh:
Por software entendemos o programa do computador e todo o complexo
sistema de controle programado, que permite escrever os nossos
programas em dez páginas em vez de mil. Por hardware entendemos a
própria máquina, os transístores, memória, fios, etc. Software é também um
tipo de matemática (DAVIS; HERSH, 1995, p. 348).
O sistema numérico binário foi e ainda é considerado a base, ou seja, o
princípio e a fundamentação para o que se conhece como tecnologia da informação,
seja na estrutura física, como àquela que não se pode ver, mas se pode perceber
em sua reação, a estrutura lógica.
O sistema binário corrente nos dias de hoje, ponto de partida de toda a
chamada ―vida digital‖, baseia-se numa sucessão de combinações entre
zeros e uns. Para obter-se dois sinais diferentes, basta uma variação. Esta
variação se exprime graficamente como combinação desses dois símbolos
numéricos, cada um deles denominado bit. ―Um bit não tem cor, tamanho ou
peso e é capaz de viajar à velocidade da luz. Ele é o menor elemento
atômico no DNA da informação. É um estado: ligado ou desligado,
verdadeiro ou falso, para cima ou para baixo, dentro ou fora, preto ou
branco‖ (NEGROPONTE, 1997, p. 19).
Assim começa o desenvolvimento da tecnologia, que em breve passa a ser
útil também para a educação.
Foi durante o século XX, entretanto, que estas máquinas tornaram-se parte
efetiva de nossas vidas. Data do início do século passado o surgimento da
notação binária, que possibilitou o aproveitamento dos circuitos elétricos em
calculadoras. Esta notação, somada à necessidade de acelerar os cálculos
de tabelas, especificamente para finalidades militares, levou, na década de
quarenta, à construção do ENIAC – Electronic Numerical Integrator and
Calculator. O ENIAC, com suas trinta toneladas, 17 mil válvulas e 1500
relés, estava mais para uma calculadora gigante do que para um
computador, tal como os que conhecemos atualmente (ATHENA, 2004, p.
40).
20
A citada notação binária consiste na ideia de aberto ou fechado, sim ou não,
ligado ou desligado. Dessa forma, o sistema numérico binário é representado pelos
algarismos (números) 0 e 1, e em seu conceito, matemático ou na informática, uma
chave aberta recebe o número 0, se estiver fechada, o número 1.
Assim, temos uma conclusão bastante interessante: podemos dizer que
quando o homem inventou o computador passou a ocupar o papel de
criador com relação à máquina, acrescentando na história da evolução
humana a frase: façamos o computador segundo a nossa imagem e
semelhança. E não seria possível uma concepção diferente, pois o homem
pensa binário. Um computador ternário, por exemplo, seria impossível, pois
o homem não pensa ternário (CONTADOR, 2008, p. 42).
É através dessa concepção que pode-se observar que um conteúdo
matemático, o sistema numérico binário, faz parte da vida humana, seja ela
estudantil ou real, e com a evolução o homem desenvolveu algo para si, e
semelhante a si, o computador. E este, nada mais é do que um conjunto visível
(hardware) e invisível (software) que funciona através de circuitos e comandos que
são executados por uma sequência de ordens de ―ligado‖ ou ―desligado‖, ―0‖ ou ―1‖,
ou seja, os números binários.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O homem, mesmo sem saber ou conhecer seu significado, já utilizava
espécies de representação de números, de contagem e até de cálculos. Mas que,
hoje, analisando conceitos históricos e da evolução humana percebe-se o quanto o
homem pré-histórico já destacava-se das demais espécies em termos de
inteligência, tornando-se conhecido como o ser racional.
O sistema numérico binário, como pôde ser percebido, pode ser utilizado
como ferramenta de ensino para conteúdos matemáticos. Mesmo sendo tão pouco
conhecido e estudado, teve e, mesmo com o crescimento da era tecnológica,
continua tendo destaque importante na progressão geométrica que se tem na área
da tecnologia da informação, conhecida como informática.
Os objetivos do presente artigo foram alcançados: demonstrar como os
21
números binários tem sua aplicação na matemática e quanto os mesmos se
tornaram extremamente fundamentais e relevantes a essência do mundo
globalizado da informação, o computador.
Mas o conhecimento nunca é suficiente, vive-se sempre em aprendizagem,
e outras abordagens poderão ser criadas e trabalhadas, em outros aspectos, pelo
tão marcante, para a tecnologia da informação, sistema numérico binário.
[...]quando o homem inventou o computador,
passou a ocupar o papel de criador com relação à máquina,
acrescentando na história da evolução humana a frase:
façamos o computador segundo a
nossa imagem e semelhança.
PAULO ROBERTO CONTADOR
AGRADECIMENTOS
Não quero eu elencar a ordem de meus agradecimentos, por maior ou
menor relevância no desenvolvimento deste artigo, a não ser, primeiramente a Deus,
nosso criador, que, diante de todo seu infinito amor e bondade, me trouxe até aqui;
Farei então agradecimentos cronológicos em minha vida acadêmica:
Aos meus pais, que sempre me apoiaram e me incentivaram a estudar,
buscar o conhecimento e, mais do que tudo, vencer na vida;
À Minha Esposa e Filha, por compreender os momentos em que estive
ausente, e a quem nesse instante dedico todas as minhas forças e que me fazem
entender o verdadeiro sentido da palavra de Deus, o Amor;
Aos meus amigos de classe, que mesmo nos momentos de dificuldade e,
principalmente, quando mais precisei de palavras que me motivassem, foram a
minha procura dizer: ―Quando eu precisei de Você, sempre me ajudou, agora estou
aqui pra te ajudar e não vou deixar Você desistir!‖;
À Profª. Luzitânia Dall’ Agnol, como coordenadora do Curso, e a todo corpo
docente do curso de matemática, ao qual ministrou aula para a Turma 2009/1, que
sempre em sua dedicação, compreensão e competência fizeram de mim, não
somente, um Graduado Licenciado em Matemática, mas um ser capaz de colaborar
com uma educação de qualidade para esse país;
22
À Profª. Tatiane Patrícia Laquimia pelo excelente desempenho às aulas e
por instruções extremamente perfeitas, por sempre me apoiar, compreender e,
principalmente, pela confiança demonstrada, que espero ter correspondido.
À Profª. Orientadora Fabiana Conceição de Souza pela paciência,
experiência, orientações precisas, sugestões oportunas, pelo estímulo dado e pelo
carinho que sempre me acolheu;
A todos que, de algum modo, colaboraram para a realização e finalização
deste artigo.
REFERÊNCIAS
BOYER, Carl B. História da Matemática. 2.ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. p.
01-03.
CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve história. Vol. I. São
Paulo: Livraria da Física, 2008. p. 29, 32, 33, 41,42.
DAGHLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4.ed. 11.reimpr. São Paulo: Atlas,
2006, p. 97.
DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. A Experiência Matemática. Tít. orig. The
Mathematical Experience. Revista científica Jorge Buescu, Trad. Fernando Miguel
Louro e Ruy Miguel Ribeiro, Rev. texto José Soares de Almeida. Lisboa : Gradiva,
1995. p. 348.
EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas – SP: UNICAMP,
2004. p. 28, 30.
MEIRELLES, Fernando de Souza. Novas aplicações com microcomputadores.
2.ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil – Makron Books, 1994. p. 122.
NEGROPONTE, N. A vida digital. São Paulo. Editora: Shwarcz, 1997. p. 19.
PONTE, João P. Tecnologia de informação e comunicação na formação de
professores: que desafios? Revista Ibero-Americana, nº 24, Set.-Dez. 2000. p. 39,
76.
ATHENA: Revista Científica de Educação. Participação de Matemáticos no
Desenvolvimento de Novas Tecnologias. v. 2, n. 2, fev./mar. 2004. Curitiba:
Expoente, 2004. p. 40, 45.
23
MINIDICIONÁRIO Aurélio da Língua Portuguesa. 7. edição eletrônica. São Paulo:
Positivo, 2004.
SISTEMA
binário
(matemática).
Disponível
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_bin%C3%A1rio_(matem%C3%A1tica).
em: 26 outubro 2011, às 23 horas.
em:
Acesso
OBRAS CONSULTADAS
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à Prática. 13.ed.
Campinas, SP: Papirus, 1996.
TAHAM, Malba. Matemática Divertida e Curiosa. 22.ed. Rio de Janeiro: Record,
2006.
BINÔMIO
de
Newton.
Disponível
em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%B3mio_de_Newton. Acesso em: 25 outubro
2011, às 23:30 horas.
HISTÓRIA
dos
Números.
Disponível
em:
http://www.somatematica.com.br/numeros.php. Aceso em: 18 outubro 2011, às 19
horas.