A Utilização de Atividades de Agrupamento e Troca em Bases
Diversificadas e de um Algoritmo Diferenciado Melhora o Desempenho
na Divisão pelo Algoritmo.
José Leôncio Ferreira Filho 1
GD1 – Educação Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
A idealização deste projeto surgiu da prática de seu autor ao ministrar, no curso de pedagogia de uma
universidade privada na cidade de São Paulo, aulas da disciplina metodologia de ensino da Matemática, mais
especificamente os conteúdos Sistema de Numeração Decimal (SND) e a operação divisão. O que ocorre é que
a maioria desses alunos de pedagogia reconhece a importância do trabalho com bases variadas, precedendo a
base dez, mas por causa de suas próprias dificuldades duvida que alunos dos anos iniciais sejam capazes de
compreendê-las e sobre a divisão, a proposta de um algoritmo diferenciado daquele tradicional ensinado nas
escolas, novamente a maioria desses alunos considera uma boa sugestão. Por isso o objetivo do autor deste
projeto é investigar sobre a importância dessas atividades com alunos dos anos iniciais, a fim de levantar
reflexões e propor sugestões relacionadas ao ensino desses temas nas escolas. Nesse sentido e apoiado na
sugestão de KAMII & DECLARK (1994) os sujeitos da pesquisa serão alunos de anos variados do Ensino
Fundamental, os quais serão previamente selecionados pela escola por terem apresentado dificuldades em
matemática, especificamente em relação ao algoritmo da divisão. Considerando a importância do livro didático
ao ensino de matemática será feita análise de livros do PNLD. Pretende-se aplicar pré e pós-testes. Para o
trabalho sobre agrupamento e troca será utilizado um jogo e aplicados exercícios dos tipos sugeridos em
VERGNAUD (1991). Os alunos trabalharão em duplas na realização do jogo e dos exercícios e por isso
pretende-se selecioná-los em número múltiplo de quatro.
Palavras-chave: Divisão. Bases Variadas. Algoritmo Diferenciado.
Introdução
O interesse pelo tema deste projeto surgiu do trabalho do autor com a disciplina Metodologia
de Ensino da Matemática com alunos do curso de pedagogia de uma universidade onde
trabalha. A maioria desses alunos não entende, ou têm dificuldades de explicar, por exemplo,
o significado do “vai um”, ou do questionável “empresta um” que aparecem nos algoritmos,
1
Universidade Anhanguera – UNIAN-SP, [email protected], orientador: Ubiratan D’Ambrosio.
e no algoritmo da divisão cometem erros. Até mesmo no curso de Licenciatura em
Matemática, já se ouviu aluno revelar que só naquela determinada aula ele tinha entendido
o significado do “vai um” ou do “empresta um”, fora aqueles que não falam.
Diante dessa situação buscaram-se formas de se trabalhar o Sistema de Numeração
Decimal, doravante SND, e foram encontradas na literatura algumas orientações, como a de
TOLEDO & TOLEDO, (1997) que sugere um trabalho com agrupamento e troca em bases
variadas, de dois a seis, precedendo a base dez. Para esses autores “[...] quanto mais
diversificadas forem as situações de agrupamentos e trocas em que estiver envolvida (a
criança), mais oportunidade ela terá de observar as semelhanças e diferenças entre essas
situações, realizando abstrações e construindo conceitos.(TOLEDO & TOLEDO, 1997 p.
65)(grifos nossos).
Ao seguir tais sugestões nas aulas constatou-se que o trabalho com bases diversificadas
realmente é necessário, mas não é fácil de ser compreendido por aqueles alunos, futuros
professores, e nem para professores atuantes (GUIMARÃES, 2005). Baseados em suas
dificuldades é que esses alunos questionam se esse trabalho seria compreendido por
crianças. É importante destacar que não é objetivo deste projeto o ensino de bases
diversificadas, como parece era feito na época do Movimento Matemática Moderna
(WIELEWSKI, 2008).
BANDEIRA (2012) fez um trabalho bem parecido, mas com um grupo específico de crianças
que tinha em suas “ticas” de “matema” o “par de cinco” que é uma contagem em base cinco,
fato que, segundo o autor, contribuiu para que elas tivessem vantagem em relação àqueles
que não tinham essa experiência do “par de cinco”.
Dessas aulas também surgiu a ideia do uso de um algoritmo diferenciado para a divisão, o
qual é muito bem aceito pelos alunos que até sugerem o seu uso com crianças, e por isso
se pretende testar, nesta pesquisa, as suas vantagens em relação ao algoritmo tradicional
ensinado nas escolas. Esse algoritmo “sem chave” usa colunas do valor posicional que
podem ajudar a evitar o esquecimento do zero, que é um erro muito comum cometido no
algoritmo “com chave”. Um algoritmo muito semelhante foi depois encontrado na pesquisa
de SALVADOR (2012) e encontramos em VAN DE WALLE
(2009, p. 268) e a sua diferença para o algoritmo deste projeto é que naquele o quociente é
anotado acima do dividendo, enquanto que este (deste projeto) o quociente é anotado
embaixo do dividendo.
Foram essas duas colocações acima, em negrito, repetidas em todos os semestres pelos
alunos de pedagogia, que motivaram a criação deste projeto de pesquisa que pretende
investigar, com crianças, “a validade do uso de bases diversificadas no ensino do SND e do
uso de um algoritmo diferenciado”.
Problema e Justificativa da pesquisa
O historiador IFRAH (2001, p. 131), a respeito da importância do SND, como escrita
numérica, escreve:
[...] figuram, portanto, entre os mais poderosos instrumentos intelectuais de que se
dispõe o homem hoje. Cálculos irrealizáveis durante milênios tornaram-se possíveis
graças a sua descoberta, abrindo caminho para o desenvolvimento das matemáticas,
das técnicas e de todas as outras ciências.
E o mesmo IFRAH, (2001, p. 131) prossegue com a seguinte condição:
Mas esta descoberta fundamental evidentemente não surgiu de uma só vez, como o
presente perfeito de um deus ou de um herói civilizador. Ela tem uma origem e uma
longa história, destacando-se pouco a pouco, após vários milênios de uma
extraordinária profusão de tentativas e ensaios, de regressões e de revoluções.
Entende-se que essa é uma advertência em relação à dificuldade e à demora do processo de
construção do SND pelo homem. E isso pode ser um “puxão de orelha” naqueles que não
gastam tempo suficiente no ensino do SND. Se por trás desse sistema houve uma longa
história, cheia de tentativas, ensaios, regressões e revoluções, como podemos esperar que em
uma ou duas semanas, as crianças possam dominá-lo? Até hoje se observam variados
sistemas de numeração como os observados na África por GERDES (2008).
Também TOLEDO & TOLEDO (2010, p. 58), experientes no trabalho com o SND
afirmam que “professores habituados a trabalhar com crianças que apresentam dificuldades
em ‘fazer contas’ com os números naturais sabem que, na verdade, uma das principais causas
do problema está no aprendizado do sistema de numeração decimal”
Já MORETTI (1999, p. 27) considera que o “entendimento do funcionamento do sistema de
numeração é fundamental na compreensão dos algoritmos e mesmo na realização das
operações básicas”.
Para GOLBERT (1999), mesmo considerando avanços significativos em relação ao ensino
do SND, esse ainda é um grande desafio para a Educação Matemática. Também considera a
dificuldade das crianças em compreender o conceito de valor posicional e números
multidígitos. Para ele ainda é constatada “a necessidade de modelos de ensino que facilitem
a aprendizagem do valor posicional e a compreensão do significado dos números
multidígitos” (GOLBERT 1999, p. 41).
Pode-se dizer, a partir da experiência do autor deste projeto no curso de pedagogia, que ao
ensino da escrita numérica, a numeração, deveria ser dada igual ou maior atenção que ao
ensino da escrita das palavras, a alfabetização, algo que na opinião deste autor não é
considerado pela escola, visto que para a alfabetização é gasto longo período de tempo e para
a numeração pouco tempo.
E sabe-se que o processo de alfabetização não é simples, pode demorar anos e se não for bem
compreendido pode se tornar algo mecânico.
Dos estudos de Piaget sabe-se de KAMII (1984) que o próprio indivíduo constrói o conceito
de número, e entende-se que só quando esse conceito é construído é que o indivíduo pode
estar pronto para começar no processo de aprendizagem da escrita ou da representação
numérica, a numeração.
Assim como na alfabetização, se o idioma (português, inglês etc) for outro, a escrita
geralmente é outra e precisaria ser reaprendida, na numeração se o idioma (sistemas de
numeração) for outro a escrita também pode ser outra. E essa diferença de escrita em sistemas
de numeração diferentes é uma vantagem, pois pode contribuir para diferenciar número e
numeral, pois o número não se altera nunca, já o numeral se altera dependendo do sistema
utilizado. A diferença entre número e numeral é pouco compreendida por muitos.
FAYOL (2012) ao tratar das representações numéricas considera o modelo chamado “triplo
código” elaborado por Stanikslas Dehaene e Laurent Cohen. Esse modelo postula a
existência de três tipos de representações, a analógica, a verbal e a arábica que serão
consideradas futuramente neste estudo.:
Esse autor considera que “enquanto têm sido conduzidos numerosos trabalhos acerca da
aprendizagem e da utilização dos sistemas numéricos verbais, poucas pesquisas têm incidido
sobre a aprendizagem do sistema numérico escrito em algarismos arábicos” e ele cita alguns
poucos desses trabalhos, dentre esses nenhum brasileiro. Mas ele apresenta dois fatores que
podem explicar essa raridade. O primeiro fator é que o sistema decimal escrito é formalmente
simples, pois contém apenas dez elementos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e um princípio, que é
a notação posicional. O segundo fator é que o sistema decimal é objeto de um ensino
sistemático. FAYOL (2012, p. 31)
Neste projeto considera-se um erro pensar assim em relação ao ensino do SND, e pelo
contrário, ao seu ensino nas escolas deveria ser dada muita importância e atenção, pois não
compreendê-lo pode ser um grande problema para avançar na aprendizagem dos conteúdos
matemáticos (MORETTI, 1999). Assim como se gasta tempo à questão da escrita de
palavras, muito mais atenção deveria ser dada à questão da escrita numérica. Mas o que
parece é que a escola entende que criança alfabetizada é criança “numeralizada”. É como se
a escrita numérica já viesse junta no pacote da alfabetização. Normalmente a criança
desenvolve representação verbal (Fayol), mas precisa aprender a representar também através
dos códigos do SND.
Parece que o próprio Fayol não compactua com a ideia de que a aprendizagem do SND seja
simples e que não se deva dar atenção, pois em seguida ele mesmo chama a atenção para a
dificuldade do valor posicional quando os números exigem dois, três ou mais algarismos
(FAYOL, 2012 p. 32). Ele ainda trata do problema da “transcodificação” que é a passagem
da representação por código verbal (um, dois, dezesseis, trinta, setenta e três) para a
representação por códigos indo-arábicos (1, 2, 16, 30, 73) (p. 33) que pode ser mais ou menos
complicada dependendo da língua, por exemplo, no chinês é mais fácil que no português.
O Parâmetro Curricular Nacional (PCN) de matemática para o Ensino Fundamental (2001,
p. 67), afirma: “[...] os alunos constroem hipóteses sobre o significado dos números e
começam a elaborar conhecimentos sobre as escritas numéricas, de forma semelhante ao que
fazem em relação à língua escrita”. Parece que essa afirmação sugere que alfabetização e
numeração são conceitos diferentes o que parece louvável, pois assim ambas devem receber
atenção.
Entretanto o próprio PCN, p. 68 orienta que: “as escritas numéricas podem ser apresentadas
num primeiro momento sem que seja necessário compreendê-las e analisá-los pela
explicitação de sua decomposição em ordem e classes (unidade, dezena, centena).” E
complementa que “as características do sistema de numeração são observadas,
principalmente por meio da análise das representações numéricas e dos procedimentos de
cálculo, em situações-problema”. Essa ideia de partir das representações numéricas e dos
procedimentos de cálculo para daí tentar ensinar as características do SND não parece uma
boa sugestão, isso talvez funcione bem na alfabetização, mas para a numeração talvez seja
mais fecundo um trabalho de construção da escrita numérica a partir dos agrupamentos, visto
que cada algarismo que compõe o numeral tem valores diferentes. Partir do numeral e
“avisar” que tal dígito vale uma unidade, outro tal dígito vale dez unidades, etc pode ser uma
imposição que o aluno tenha que aceitar, mas que talvez não vejam significado algum.
Talvez nessa sugestão do PCN seja um apoio à ausência quase total, na prática dos
professores (GUIMARÃES, 2005, ROSAS & SELVA, 2008a, 2008c) e nos livros didáticos
(ROSAS & SELVA, 2008b), de sugestões de trabalhos com agrupamento e troca com bases
diversificadas. O que ainda se vê nos livros didáticos é uma “pincelada” de atividades com
agrupamento em base dez, geralmente com o “material dourado”, e o tempo empregado
nesse tipo de atividade geralmente dura uma semana, o que é compreensível, pois na base
dez as trocas são demoradas e se torna enfadonho, cansativo além de exigir muitas contas
(palitos), o que é uma justificativa para o uso de bases menores (TOLEDO & TOLEDO,
2010) e (VERGNAUD, 1991).
É necessário entender que alfabetização e numeração são caminhos diferentes apesar de
serem dependentes. “enquanto a maior parte dos sujeitos afirma ter alguma dificuldade em
tarefas que exigem leitura e escrita, a mesma dificuldade não é mencionada em relação à
leitura de números ou à capacidade de fazer contas”. (TOLEDO 2004, p. 97) Ou seja,
alfabetização e numeração não são caminhos totalmente dependentes.
Indivíduos que
aprendem matemática tratando de jogo do bicho, numa venda na feira, na venda de balas no
semáforo e que não conseguem ter bom desempenho em matemática escolar. (CARRAHER
et al, 1991, p. 19). Talvez esses indivíduos estejam apenas no nível da representação verbal,
que permite cálculos mentais, mas precisam atingir o nível da representação arábica (a
numeração). É como criança que aprende a falar fluentemente, mas que não consegue
entender um texto por não ter aprendido a ler e escrever. Eles precisam aprender a “versão
formalizada de suas habilidades” DEVLIN (2009, p. 253). Para FERRERO (2013) “a
diversidade é uma vantagem na alfabetização” e não uma desvantagem como se pensava.
Ela revela que “pesquisas recentes têm se debruçado sobre como a variedade de línguas pode
ser útil no trabalho pedagógico, em vez de um problema”. Seu próximo livro “ingresso na
escrita e nas culturas do escrito” deve tratar desse tema.
VERGNAUD (1991, p. 174) escreve “nada é mais fecundo, no plano pedagógico, do que
exercícios de passagem de um material a outro, ou de uma representação à outra”. Esse autor
acrescenta que outra vantagem da utilização de diversas bases para o ensino da escrita
numérica está no fato de que as regras são as mesmas em todas as bases e a única coisa que
muda é a própria base.
A falta de conhecimento dos professores sobre bases menores também é um problema. A
pesquisa de ROSAS & SELVA (2008a) que relata a fala de professoras sobre suas práticas
no ensino do SND mostra que não é feito uso de bases pequenas por tais professoras e
também a pesquisa de GUIMARÃES, (2005), realizada com professores que já atuavam,
mostra que o uso de bases pequenas é uma novidade para aqueles professores. Isso sugere
que a formação de professores com relação ao SND deveria ser de grande preocupação nos
cursos de pedagogia.
Outra preocupação é o preparo das crianças. Os estudos de KAMII & DECLARK (1994)
observaram que “A criança de 6 e 7 anos está ainda em processo de construir o sistema
numérico, com operações de ‘+1’” (p. 91). E que “o valor posicional é algo muito difícil para
os alunos de 1ª série [2º ano], e extremamente confuso para a segunda [3º ano] e até mesmo
terceira série [4º ano].” (KAMII & DECLARK, 1994, p. 90) (grifo nosso). Quem trabalha
com a escrita numérica sabe que é necessário o domínio das operações de adição e
multiplicação em linguagem verbal, o que normalmente não é observado. Tomando como
base os livros didáticos, observam-se com frequência que já no 2º ano do Ensino
Fundamental, são exploradas as operações pelos algoritmos. Será que essas crianças já
aprenderam a “falar” matematicamente? Em outras palavras, já construíram o conceito de
número? E já dominam o SND para compreenderem tais algoritmos?
Em relação ao domínio dos algoritmos, chama-se a atenção especificamente para o da
divisão. Pesquisas mostram que é um problema a ser resolvido. AGRANIONIH et al (2009
e 2010), apresentam dificuldades observadas em 34 alunos de 5ª. série (6º ano) do Ensino
fundamental de 17 escolas públicas da cidade de Erechim/RS na resolução de cálculos
envolvendo o algoritmo tradicional da divisão, e afirmam que: “O cálculo da divisão tem
sido considerado pelos professores como um dos mais difíceis de ser assimilado pelos
alunos, fato que gera preocupações e buscas por estratégias de ensino mais eficazes para a
aprendizagem”. Já DRABIK (2008) considera que
Ao manipularem (os alunos) objetos como palitos, tampinhas, pedaços de papel,
sementes e outros conseguiam chegar facilmente ao resultado e muitas vezes o
faziam até mentalmente. No entanto, o mesmo não ocorria quando necessitavam
registrar essas divisões por meio do algoritmo padrão ensinado e valorizado na
escola. (Drabik, 2008, p. 9).
Em sua própria experiência, o autor deste projeto pode sentir de perto o drama que é para
uma criança o entendimento do algoritmo tradicional da divisão que é ensinado nas escolas.
Seu filho estava iniciando esse estudo na escola, no 3º ano (antiga 2ª serie). Esse menino
estava completamente perdido e irritado por não compreendê-lo. Ele sabia, por exemplo,
responder quando lhe era perguntado “quanto é 8 dividido por 2?” ao que respondia 4, mas
não sabia onde anotar o 4, se era na esquerda, em baixo do dividendo, ou na direita, no
quociente. Estava bem atrapalhado. Ao insistir que ele aceitasse uma explicação com um
algoritmo diferenciado, o pai conseguiu fazer com que ele resolvesse a divisão.
É reconhecido por todos que trabalham com divisão na escola, em qualquer nível, que o
algoritmo tradicionalmente utilizado nas escolas e nos livros didáticos, é de difícil
compreensão, até mesmo por parte daqueles que já passaram pelo Ensino Médio ou Superior.
Pelo algoritmo tradicional é muito comum, no curso de pedagogia, o esquecimento do zero
no quociente, por exemplo, muitos encontram 17 quando o correto é 107. Esse é um
problema pode não acontecer no algoritmo “sem chave” aqui proposto.
Diante dessas considerações temos um problema a ser resolvido relacionado ao ensino do
SND e da divisão, o que justifica esta pesquisa.
Objetivo Geral
- Refletir sobre o uso de novas estratégias de ensino do SND e das operações básicas a fim
de propor sugestões para o ensino desses temas nas aulas de matemática.
Objetivos específicos:
- Explorar por meio de um jogo a propriedade posicional a partir de bases diversificadas.
- Investigar a validade de um trabalho com diferentes bases, precedendo a base dez, para o
domínio do SND e das operações básicas.
- Investigar possíveis vantagens de se explorar a escrita numérica também em outras bases
diferentes de dez.
- Propor um algoritmo diferenciado para a divisão, a fim de observar as vantagens de seu
uso comparado ao uso do algoritmo tradicional.
- Investigar possíveis vantagens de um algoritmo “sem chave”, diferenciado em relação ao
habitualmente usado nas escolas.
Referencial teórico
O trabalho com agrupamento e troca em bases diversificadas será realizado por meio de um
jogo que é proposto pelo Ministério da educação do Brasil e as atividades escritas estarão
baseadas principalmente de VERGNAUD (1991) que trata da numeração e as quatro
operações. Pretende-se ainda estudar em GOLBERT (1999), sobre avaliação da
compreensão da numeração, os modelos de Bednarz, de Janvier e de Jones e colaboradores,
a fim de avaliar a possibilidade de aplicar esses modelos de avaliação na presente
investigação. Sobre a análise do trabalho relacionado à divisão, pretende-se apoiar no
trabalho feito por AGRANIONIH, ENRICONE & ZATTI (2009, 2010), que apresentam um
relato parcial das dificuldades de alunos de 5ª. série (6º ano) do Ensino fundamental de 17
escolas públicas da cidade de Erechim/RS na resolução de cálculos envolvendo o algoritmo
tradicional da divisão.
Procedimentos metodológicos
Pretende-se selecionar alunos de diversos níveis, possivelmente de 3º ou 6º anos, a fim de
investigar também em qual nível essas atividades seriam mais apropriadas e apoiados nas
sugestões de KAMII & DECLARCK(1994) . Os dados da pesquisa serão coletados através
de: Análise de livro didático considerando a importância desse instrumento ao ensino de
matemática, conforme (VALENTE, 2008a; CHOPPIN, 2004; CHERVEL, 1990;
BITTENCOURT, 2004) em (SOARES 2013); pré-teste para avaliar o conhecimento dos
alunos em relação à adição e à multiplicação, pré-requisitos importantes para trabalharem as
propriedades aditiva e multiplicativa dos sistemas de numeração, parte que poderá ser feito
de forma oral, e por fim exercícios de divisão já armados para serem resolvidos pelo
algoritmo tradicional. Após a análise e avaliação do rendimento dos alunos em relação à
adição e a multiplicação no pré-teste, eles seguirão para execução de um jogo sugerido pelo
Ministério da Educação através do programa gestão da aprendizagem escolar – GERAR 1
para explorar as bases diversificadas. Esse jogo será disputado entre duplas de alunos e
durante a sua execução haverá várias intervenções do pesquisador para chamar a atenção das
propriedades: valor posicional, aditiva, multiplicativa e o papel do zero. Também serão
utilizadas atividades sugeridas por VERGNAUD (1991) as quais exploram a escrita de
números em diferentes bases. Ao final das atividades esses alunos farão um pós-teste tanto
em relação ao SND como na operação de divisão.
Referências
AGRANIONIH, N.T, ENRICONE, J.R.B & ZATTI, F. Dificuldades no cálculo divisão na
5ª. série do Ensino Fundamental. X Encontro Gaúcho de Educação Matemática de 02 a
05
de
junho de
2009, Ijuí/RS.
Disponível
em:
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/CC/CC_7.pdf, acesso
em 15/09/2014, às 13: 30h.
_____________________. Aprendizagem Matemática: Desvendando dificuldades de
cálculo dos alunos. Revista PERSPECTIVA, Erichim. V. 34, n. 128. P. 115-132.
Dezembro/2010.
Disponível
em:
http://www.uricer.edu.br/new/site/pdfs/perspectiva/128_142.pdf, acesso em 15/09/2014, à
13:40h.
BANDEIRA, Francisco de Assis. Pedagogia etnomatemática: uma proposta para
o ensino de matemática na educação básica. Revista Latinoamericana de
Etnomatemática, 5(2), 21-46, 2012.
BELLETMAIN, Paula Moreira Baltar, GITIRANA, Verônica & TELES, Rosinalda Aurora
de Melo. A apropriação da escrita numérica no sistema de numeração decimal. Projeto
rede jogos na educação matemática – UFPE – Centro de Educação – Núcleo de Educação
Matemática – NEMAT, 2008.
CARRAHER, T e outros, Na vida dez, na escola zero. 5. Ed. São Paulo: Cortez, 1991.
DEVLIN, K. J. O instinto matemático. 3ª ed. – Rio de Janeiro: Record. 2009.
FAYOL, M. Numeramento – Aquisição das competências matemáticas. Ed. Parábola,
2012.
FERRERO, E. Entrevista a Camila Ploennes e Deborah Ouchana, Revista Educação.
Ano 17, n. 195. pag. 6-10 – Editora Segmento, julho 2013.
GERDES, Paulus; ISMAEL, Abdulçarimo; MAPAPÁ, Abílio; SOARES, Daniel; UAILA,
Evaristo; DRAISMA, Jan & CHERINDA, Marcos. A Numeração em Moçambique:
contribuição para uma reflexão sobre cultura, língua e educação matemática. Projecto de
investigação etnomatemática. 2a ed. internacional, 2008. (1a ed 1993). Distribuição
http://stores.lulu.com/pgerdes ou via e-mail [email protected].
GOLBERT, Clarissa Seligman. Matemática nas séries iniciais: O sistema decimal de
numeração. Porto Alegre: Mediação. 1999.
GUIMARÃES, Anilda Pereira da Silva. Aprendendo e ensinando o sistema de numeração
decimal: uma contribuição à prática pedagógica do professor. Dissertação de mestrado.
UFRN. Natal 2005. (106 páginas)
IFRAH, G. Os números. A história de uma grande invenção. 10ª ed. Ed. Globo. 2001
KAMII, C. A criança e o número. Campinas, Papirus, 1984.
KAMII, C. & DECLARK, G. Reinventando a aritmética: Implicações da teoria de Piaget.
8ª edição. Campinas, Papirus, 1994.
Ministério da Educação - Programa gestão da aprendizagem escolar – GERAR 1 –
Número natural – Conceito e representação. FNDE. Brasília 2007 acessível em
http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/gestar/aaamatematica/mat_aaa1.pdf,30/09/2011. 14h.
MORETTI, Méricles Thadeu. Dos Sistemas de Numeração às operações básicas com
números naturais. Florianópolis: Ed. da UFSG, 1999.
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS: Matemática/Ministério da Educação.
Secretaria de Educação Fundamental – 3 ed. - Brasília: A Secretaria, 2001.
RODRIGUES, L. S. O uso de software educacional no ensino fundamental de
matemática e a aprendizagem do sistema de numeração decimal por alunos de 3ª série.
Campo Grande, 2006, 175p. Dissertação de Mestrado em Educação. Universidade Católica
Dom Bosco – UCDB.
ROSAS, Maria Luiza Laureano & SELVA, Ana Coelho Vieira, Ensino do sistema de
numeração decimal: O que falam as professoras? In: UFPE. 2º Simpósio Internacional de
Pesquisa em Educação Matemática - SIPEMAT, Universidade Federal de Pernambuco UFPE, Recife-Pernambuco-Brasil, 2008a.
______________. O livro didático de matemática e a abordagem do Sistema de
Numeração Decimal. In: 2º SIPEMAT. UFPE, Recife-Pernambuco-Brasil, 2008b.
_______________. Ensino do Sistema de Numeração Decimal numa turma de 2º ano do
1º ciclo. In: 2º SIPEMAT. UFPE, Recife-Pernambuco-Brasil, 2008c.
SALVADOR, Heloisa Hernandes de Fontes. Dividindo Histórias e Opiniões:
Compartilhando e Polemizando a Operação de Divisão. (Dissertação de mestrado).
Universidade
Severino
Sombra.
VassourasRJ,
2012.
Obtido
em
http://www.laphem.com.br/wp-content/arquivos/E-book%20Heloisa%20Salvador.pdf.
Consultado em 09/09/2014, às 18:34h.
SOARES, Elenir T. Baluch. O Sistema de Numeração em Dois BEST-SELLERS de
Osvaldo Sangiorgi. In: XI ENEM da SBEM. Curitiba-PR. 18-21 de julho de 2013.
TOLEDO, Maria Elena Roman de Oliveira, Letramento no Brasil: Habilidades
matemáticas. Reflexões a partir do INAF 2002/ Organizadora Maria da Conceição Ferreira
Reis Fonseca: São Paulo: global editora: Ação Educativa Assessoria, Pesquisa e Informação.
Instituto Paulo Montenegro, 2004.
TOLEDO, Marília & TOLEDO, Mauro. Didática de matemática: como dois e dois. A
construção da matemática. FTD, 1997.
__________________, Teoria e prática de Matemática: como dois e dois. Teoria e prática.
1. ed. - São Paulo: FTD, 2010. 1 ed.
VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores
e aplicação em sala de aula. Tradução: Paulo Henrique Colonese. - 6 ed. Porto Alegre:
Artmed, 2009.
VERGNAUD, Gèrard. El niño, lãs matemáticas y la realidad: problemas de la enseñanza
de lãs matemáticas em la escuela primaria. México: Trillas, 1991.
WIELEWSKI, Gladys Denise. O Movimento Da Matemática Moderna e a formação de
grupos de professores de Matemática no Brasil. In: ProfMat2008. Elvas-Portugal.
ProfMat2008 Actas. Lisboa-Portugal: Copyright 2008 Associação de Professores de
Matemática, 2008. p. 1-10.
PANIZZA, M, Ensinar Matemática na educação infantil, Porto Alegre, Artmed, 2006.