“Compressive
Sensing”
“Compressive Sensing”
Novos Paradigmas para Aquisição e Compressão de Imagens
Projeto Final , 17 de Dezembro de 2008
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
Autora:
Orientadores:
Examinadores:
Adriana Schulz
Prof. Eduardo A. B. da Silva
Prof. Luiz Velho
Prof. Gelson Vieira Mendonça
Prof. Lisandro Lovisolo
1
Objetivos
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
• estudo teórico
• exemplos de aplicações em processamento de imagens
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
2
Motivação
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
3
“Compressive
Sensing”
Motivação
Compressão de
Imagens
Amostragem =⇒ Nyquist
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
3
“Compressive
Sensing”
Motivação
Compressão de
Imagens
Amostragem =⇒ Nyquist
Nyquit era pessimista!!!
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
3
“Compressive
Sensing”
Motivação
Compressão de
Imagens
Amostragem =⇒ Nyquist
Nyquit era pessimista!!!
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
Taxa de Nyquit × Taxa de Informação
3
“Compressive
Sensing”
1 Compressão de Imagens
2 Representação de Sinais
3 Introdução a Compressive Sensing
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
4 Teoria de Compressive Sensing
Trabalhos Futuros
5 Resultados
6 Trabalhos Futuros
4
“Compressive
Sensing”
1 Compressão de Imagens
2 Representação de Sinais
3 Introdução a Compressive Sensing
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
4 Teoria de Compressive Sensing
Trabalhos Futuros
5 Resultados
6 Trabalhos Futuros
5
“Compressive
Sensing”
Sinais naturais são compressíveis
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
6
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Transform Coding
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
7
“Compressive
Sensing”
1 Compressão de Imagens
2 Representação de Sinais
3 Introdução a Compressive Sensing
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
4 Teoria de Compressive Sensing
Trabalhos Futuros
5 Resultados
6 Trabalhos Futuros
8
“Compressive
Sensing”
Representação de Sinais
x2
x2
Compressão de
Imagens
y1
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
y2
Resultados
Trabalhos Futuros
x1
x1
9
Representação de Sinais
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
10
“Compressive
Sensing”
1 Compressão de Imagens
2 Representação de Sinais
3 Introdução a Compressive Sensing
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
4 Teoria de Compressive Sensing
Trabalhos Futuros
5 Resultados
6 Trabalhos Futuros
11
Sinais Esparsos
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
12
Sinais Esparsos
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
Não sabemos onde os pontos estão...
12
O Truque
amostras pontuais
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
13
O Truque
amostras pontuais × medidas do sinal
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
13
O Truque
amostras pontuais × medidas do sinal
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Cada medida yk é o produto interno sobre uma função teste
diferente φk :
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
y1 = hx, φ1 i , y2 = hx, φ2 i , . . . , yM = hx, φM i
onde M é o número de medidas.
13
O Problema Algébrico
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
• Este problema é mal condicionado!
14
O Problema Algébrico
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
• Mas e se existe um domínio onde x é esparso?
15
O Problema Algébrico
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
• ΘΩ = ΦΩ Ψ∗
• Medidas y = ΘΩ s
16
“Compressive
Sensing”
• Existem infinitas soluções para o problema.
• Desejamos encontrar aquela que torna s esparso.
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
17
“Compressive
Sensing”
• Existem infinitas soluções para o problema.
• Desejamos encontrar aquela que torna s esparso.
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Problema NP Complexo!!!
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
17
“Compressive
Sensing”
• Existem infinitas soluções para o problema.
• Desejamos encontrar aquela que torna s esparso.
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Problema NP Complexo!!!
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
• Como tornar o problema viável?
17
A Norma l1 e a Esparsidade
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
18
A Norma l1 e a Esparsidade
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
19
O Algoritmo de Reconstrução
min kskl1 sujeito a ΘΩ s = y
s
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
onde
ΘΩ = ΦΩ Ψ∗
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
20
O Algoritmo de Reconstrução
min kskl1 sujeito a ΘΩ s = y
s
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
onde
ΘΩ = ΦΩ Ψ∗
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Parece um boa forma de resolver o problema.
• Mas quando vai funcionar?
• O que devemos assumir sobre a matriz ΦΩ ?
• E sobre o número de medidas?
• Que tipo de resultados podemos garantir?
Trabalhos Futuros
20
“Compressive
Sensing”
1 Compressão de Imagens
2 Representação de Sinais
3 Introdução a Compressive Sensing
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
4 Teoria de Compressive Sensing
Trabalhos Futuros
5 Resultados
6 Trabalhos Futuros
21
O Primeiro Teorema
“Compressive
Sensing”
• O modelo MRI
• Amostras no domínio da freqüência
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
22
Backprojection × Minimização de Total Variation
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
(a) Imagem de teste
23
Backprojection × Minimização de Total Variation
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
(a) Imagem de teste
(b) Reconstrução a
partir de
backprojection
23
Backprojection × Minimização de Total Variation
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
(a) Imagem de teste
(b) Reconstrução a
partir de
backprojection
(c) Reconstrução a
partir de otimização
convexa
Reconstrução perfeita!
23
Fourier Sampling Theorem
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Teorema
N
• x ∈ R é S-esparso
• M coeficientes de Fourier selecionados aleatoriamente.
M ≥ Const · S · log N
Então a reconstrução é exata com alta probabilidade.
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
24
Fourier Sampling Theorem
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Teorema
N
• x ∈ R é S-esparso
• M coeficientes de Fourier selecionados aleatoriamente.
M ≥ Const · S · log N
Então a reconstrução é exata com alta probabilidade.
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
princípio da incerteza
24
Fourier Sampling Theorem
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Teorema
N
• x ∈ R é S-esparso
• M coeficientes de Fourier selecionados aleatoriamente.
M ≥ Const · S · log N
Então a reconstrução é exata com alta probabilidade.
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
princípio da incerteza
=⇒ possibilita os resultados!
24
Extensão do Fourier Sampling Theorem
“Compressive
Sensing”
• outras possibilidades de Φ e Ψ
Compressão de
Imagens
Definição (Coerência entre Ψ and Φ)
√
µ(Φ, Ψ) =
N max |hφi , ψj i| , kφi kl2 kψi kl2 = 1
i,j
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
25
Extensão do Fourier Sampling Theorem
“Compressive
Sensing”
• outras possibilidades de Φ e Ψ
Compressão de
Imagens
Definição (Coerência entre Ψ and Φ)
√
µ(Φ, Ψ) =
N max |hφi , ψj i| , kφi kl2 kψi kl2 = 1
i,j
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
Teorema
Suponha que
M ≥ Const · S · µ2 (Φ, Ψ) · log N
Então a reconstrução é exata com alta probabilidade.
25
Princípio da Isometria Restrita (RIP)
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
26
Princípio da Isometria Restrita (RIP)
“Compressive
Sensing”
Definição (Constante de Isometria Restrita)
Para cada inteiro S = 1, 2, . . . , N define-se a constante de
isometria S-restrita δS de uma matriz ΘΩ como o menor
número tal que
(1 − δS )ksk2l2 ≤ kΘΩ sk2l2 ≤ (1 + δS )ksk2l2
para todos vetores S-esparsos.
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
RIP ⇒ propriedade de ΘΩ relacionada à existência e limitação
de δS
26
Princípio da Isometria Restrita (RIP)
“Compressive
Sensing”
Definição (Constante de Isometria Restrita)
Para cada inteiro S = 1, 2, . . . , N define-se a constante de
isometria S-restrita δS de uma matriz ΘΩ como o menor
número tal que
(1 − δS )ksk2l2 ≤ kΘΩ sk2l2 ≤ (1 + δS )ksk2l2
para todos vetores S-esparsos.
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
RIP ⇒ propriedade de ΘΩ relacionada à existência e limitação
de δS
• Na verdade, RIP garante que a solução mais esparsa é
única!
26
Se as colunas de ΘΩ forem l.d., ∃a, b tais que
“Compressive
Sensing”
y = ΘΩ a = ΘΩ b
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
27
Se as colunas de ΘΩ forem l.d., ∃a, b tais que
“Compressive
Sensing”
y = ΘΩ a = ΘΩ b
• Isso sempre ocorre pois ΘΩ é gorda!
• Mas, só é necessário que a combinação de quaisquer S
colunas de ΘΩ seja l.i.!
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
27
Se as colunas de ΘΩ forem l.d., ∃a, b tais que
“Compressive
Sensing”
y = ΘΩ a = ΘΩ b
• Isso sempre ocorre pois ΘΩ é gorda!
• Mas, só é necessário que a combinação de quaisquer S
colunas de ΘΩ seja l.i.!
• Se δ2S < 1 a solução que maximiza a esparsidade é
única.
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
27
Se as colunas de ΘΩ forem l.d., ∃a, b tais que
“Compressive
Sensing”
y = ΘΩ a = ΘΩ b
• Isso sempre ocorre pois ΘΩ é gorda!
• Mas, só é necessário que a combinação de quaisquer S
colunas de ΘΩ seja l.i.!
• Se δ2S < 1 a solução que maximiza a esparsidade é
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
única.
Resultados
Trabalhos Futuros
Seja s1 e s2 S-esparsos tais que ΘΩ s1 = ΘΩ s2 = y .
Seja h = s1 − s2 .
ΘΩ h = ΘΩ (s1 − s2 ) = ΘΩ s1 − ΘΩ s2 = 0.
Já que h é 2S-esparso, temos pela RIP:
(1 − δ2S ) khk2 ≤ kΘΩ hk2 = 0 ⇒ h = 0
| {z }
>0
27
Se as colunas de ΘΩ forem l.d., ∃a, b tais que
“Compressive
Sensing”
y = ΘΩ a = ΘΩ b
• Isso sempre ocorre pois ΘΩ é gorda!
• Mas, só é necessário que a combinação de quaisquer S
colunas de ΘΩ seja l.i.!
• Se δ2S < 1 a solução que maximiza a esparsidade é
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
única.
√
2 − 1 a solução que maximiza a esparsidade e
a que minimiza a norma l1 são únicas e equivalentes.
• Se δ2S <
Compressão de
Imagens
Resultados
Trabalhos Futuros
Teorema
Seja s S-esparso. Se para a matriz ΘΩ a constante de
isometria é tal que
√
δ2S < 2 − 1
Então a reconstrução é exata com alta probabilidade.
27
CS Robusto
“Compressive
Sensing”
A teoria deve ser robusta e considerar
• o sinal não é exatamente esparso; ou
• medições estão corrompidas por ruído.
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
28
CS Robusto
“Compressive
Sensing”
A teoria deve ser robusta e considerar
• o sinal não é exatamente esparso; ou
• medições estão corrompidas por ruído.
Seja:
• sS a melhor aproximação S-esparsa de s
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
28
CS Robusto
“Compressive
Sensing”
A teoria deve ser robusta e considerar
• o sinal não é exatamente esparso; ou
• medições estão corrompidas por ruído.
Seja:
• sS a melhor aproximação S-esparsa de s
• y = Φx + n, onde o ruído n é limitado por knkl2 ≤ Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
28
“Compressive
Sensing”
CS Robusto
A teoria deve ser robusta e considerar
• o sinal não é exatamente esparso; ou
• medições estão corrompidas por ruído.
Seja:
Representação de
Sinais
• sS a melhor aproximação S-esparsa de s
• y = Φx + n, onde o ruído n é limitado por knkl2 ≤ Teorema
Se δ2S <
Compressão de
Imagens
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
√
Trabalhos Futuros
2 − 1, a solução ŝ para
ŝ = min kskl1 sujeito a kΘΩ s − y kl2 ≤ s
obedece
kŝ − skl2 ≤ C0 s−1/2 · kŝ − sS kl1 + C1 para valores razoáveis das constantes C0 e C1 .
28
“Compressive
Sensing”
1 Compressão de Imagens
2 Representação de Sinais
3 Introdução a Compressive Sensing
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
4 Teoria de Compressive Sensing
Trabalhos Futuros
5 Resultados
6 Trabalhos Futuros
29
Procedimento Experimental
“Compressive
Sensing”
• Diferentes cenários de aquisição de dados
• Simulação com imagens já armazenadas
• Variações do número de medida
• Avaliação baseada em PSNR
• Bases
• Ψ: DCT e Wavelets
• Φ: Noiselets : incoerente, ortogonal e auto-adjunta


1 −1
1
1
1  −1
1
1
1 

Φ= ·
1 −1
1 
2  1
1
1
1 −1
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
• Otimização: l1-Magic
ŝ = mins kskl1 sujeito a y = ΘΩ s ⇒ não converge!
Solução:
ŝ = mins kskl1 sujeito a ky − ΘΩ skl2 ≤ 30
“Compressive
Sensing”
80
80
70
70
60
60
PSNR
PSNR
Imagem Esparsa (DCT)
50
40
40
30
30
20
1
2
3
4
Number of Measurements
5
20
6
x 10
Compressão de
Imagens
50
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
1
2
4
(a) Imagem 3.5k -Esparsa
3
4
Number of Measurements
5
6
x 10
4
Teoria de Compressive
Sensing
(b) Imagem 6k -Esparsa
80
70
70
60
60
PSNR
PSNR
Resultados
80
50
50
40
40
30
30
20
1
2
3
4
Number of Measurements
5
20
6
x 10
(c) Imagem 10k -Esparsa
4
Trabalhos Futuros
1
2
3
4
Number of Measurements
5
6
x 10
4
(d) Imagem 14k -Esparsa
Figura: DCT Linear (azul), CS baseado na DCT (verde).
31
“Compressive
Sensing”
PSNR
Imagem Aproximadamente Esparsa (DCT)
60
Compressão de
Imagens
50
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
40
Teoria de Compressive
Sensing
30
Resultados
Trabalhos Futuros
20
1
2
3
4
Number of Measurements
5
6
x 10
4
Figura: DCT Linear (azul), CS baseado na DCT (verde).
32
“Compressive
Sensing”
PSNR
Imagem Aproximadamente Esparsa (Wavelets)
60
Compressão de
Imagens
50
Representação de
Sinais
40
Introdução a
Compressive Sensing
30
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
20
Trabalhos Futuros
1
2
3
4
Number of Measurements
5
6
x 10
4
Figura: DCT Linear (azul), CS baseado na DCT (verde), CS baseado
em Wavelets (cian).
33
“Compressive
Sensing”
Avaliação Taxa × Distorção
• Diversos passos de quantização
Compressão de
Imagens
• Variações do número de medida
Representação de
Sinais
• Avaliação baseada em PSNR
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Cálculo da taxa:
Taxa =
M · Ey
2562
Resultados
Trabalhos Futuros
onde
Ey =
K
X
k =1
pk · log
1
pk
34
“Compressive
Sensing”
Imagem Esparsa Quantizada
100
90
Compressão de
Imagens
80
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
70
Teoria de Compressive
Sensing
PSNR
60
Resultados
step = 0.01
step = 0.02
step = 0.05
step = 0.1
step = 0.2
step = 0.5
step = 1
step = 2
step = 3
step = 4
step = 5
step = 10
step = 20
step = 50
step = 100
50
40
30
20
Trabalhos Futuros
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Rate
35
“Compressive
Sensing”
Imagem Original Quantizada
70
Compressão de
Imagens
60
Representação de
Sinais
50
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
40
PSNR
Resultados
step = 0.01
step = 0.02
step = 0.05
step = 0.1
step = 0.2
step = 0.5
step = 1
step = 3
step = 5
step = 10
step = 20
step = 50
step = 100
JPEG2000
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Trabalhos Futuros
18
Rate
36
Imagem Aproximadamente Esparsa no Domínio DCT
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
(a) Medidas = 5k
(b) Medidas = 20k
Resultados
Trabalhos Futuros
(c) Medidas = 35k
(d) Medidas = 50k
37
Imagem Aproximadamente Esparsa no Domínio Wavelet
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
(a) Medidas = 5k
(b) Medidas = 20k
Resultados
Trabalhos Futuros
(c) Medidas = 35k
(d) Medidas = 50k
38
“Compressive
Sensing”
Imagem Quantizada
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
(a) Medidas = 5k ,
Taxa = 0.36bits/pixel
(b) Medidas = 20k ,
Taxa = 1.46bits/pixel
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
(c) Medidas = 35k ,
Taxa = 3.09bits/pixel
(d) Medidas = 50k ,
Taxa = 5.17bits/pixel
39
“Compressive
Sensing”
1 Compressão de Imagens
2 Representação de Sinais
3 Introdução a Compressive Sensing
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
4 Teoria de Compressive Sensing
Trabalhos Futuros
5 Resultados
6 Trabalhos Futuros
40
Trabalhos Futuros
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
• Norma Total-Variation
Introdução a
Compressive Sensing
• Alternativas para Noiselets
Teoria de Compressive
Sensing
• Wavelets Biortogonais
• Particionamento em blocos
Resultados
Trabalhos Futuros
41
“Compressive
Sensing”
Compressão de
Imagens
Representação de
Sinais
Obrigada pela Atenção!
Introdução a
Compressive Sensing
Teoria de Compressive
Sensing
Resultados
Trabalhos Futuros
42