Compressive Sensing in Medical
Imaging
André Luiz Pilastri
Orientador: Prof. Dr. João Manuel R. S. Tavares
Co-Orientador: Prof. Dr. João Paulo Papa - (Unesp/Brasil)
Relatório: Planeamento de Investigação
Programa Doutoral em Engenharia Informática
Setembro, 2015
© André Luiz Pilastri: Setembro, 2015
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Compressive Sensing in Medical Imaging
André Luiz Pilastri
Programa Doutoral em Engenharia Informática
Setembro, 2015
Índice
1
Introdução
2
Compressive Sensing: Princípios e Fundamentos
2.1 O nascimento de Compressive Sensing . . . .
2.2 Aquisição e Reconstrução Sinal . . . . . . .
2.3 Sinais Esparso e Compressíveis . . . . . . . .
2.3.1 Sinais Esparsos . . . . . . . . . . . .
2.4 Sinais Compressíveis . . . . . . . . . . . . .
2.5 Teoria da Aproximação . . . . . . . . . . . .
2.6 Aplicações de Compressive Sensing . . . . .
2.7 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . .
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Reconstrução de imagens de Ressonância Magnética
3.1 Algoritmos de Reconstrução . . . . . . . . . . .
3.1.1 Convex Relation . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Greedy Iterative Algorithm . . . . . . . .
3.1.3 Combinatorial / Sublinear Algorithms . .
3.1.4 Iterative Thresholding Algorithms . . . .
3.1.5 Bregman Iterative Algorithms . . . . . .
3.1.6 Non Convex Minimization Algorithms .
3.2 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . .
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13
Revisão Sistemática de Literatura
4.1 Introdução . . . . . . . . . . .
4.2 Planeamento . . . . . . . . . .
4.3 Execução . . . . . . . . . . .
4.4 Resultados . . . . . . . . . . .
4.5 Considerações Finais . . . . .
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Proposta da Tese
5.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Questões de pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
ii
Hipótese de pesquisa . .
Metodologia Proposta . .
Plano de trabalho . . . .
Periódicos de interesse .
Conferências de interesse
Referências
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Lista de Figuras
2.1
Esquema de aquisição por sensoriamento. (a) Processo de medidas utilizando matriz de medida Φ e matriz que leva à esparsidade Ψ. (b) Processo
de medida com Θ = ΦΨ.(adaptado de [[1]] . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.1
Compressive Sensing: Algoritmos de Reconstrução (adaptado de [2]). . .
11
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Motores de buscas. . . . . . . . . . . . . .
Identificação das fontes de pesquisa. . . . .
Identificação e seleção dos trabalhos. . . . .
Análise de publicações - Web of Knowledge.
Análise das áreas - Web of Knowledge. . . .
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17
18
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5.1
5.2
Periódicos relacionados aos temas de pesquisa. . . . . . . . . . . . . . .
Conferências de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lista de Tabelas
4.1
Número de publicações Identificadas (Ident.), Selecionadas(Sel.) . . . . .
18
5.1
Cronograma de atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
iv
Capı́tulo
1
Introdução
A revolução digital pela qual a sociedade pós-moderna está passando tem lançado
vários desafios quanto ao processamento, armazenamento e transmissão de sinais. A
necessidade do homem e os consequentes avanços tecnológicos tem fornecido uma
enorme quantidade de dados que devem ser comprimidos para ocupar menos espaço de
armazenamento e facilitar a transmissão. Neste sentido, técnicas modernas de compressão
de sinais fundamentas no teorema de amostragem têm desempenhado um papel bastante
satisfatório para a maioria das aplicações práticas. Essas técnicas utilizam o modelo
amostragem-compressão que consiste em amostrar a uma taxa de, no mínimo, duas
vezes a frequência de Nyquist para sinais limitados em banda, aplicando técnicas de
representação de sinais e, posteriormente, comprimi-los [3].
Nos últimos anos o estudo de Compressive Sensing tem causado um grande impacto na
comunidade científica por representar uma quebra de paradigma na área de amostragem
e aquisição de dados. Esta técnica baseia-se na reconstrução de sinais esparsos, usando
poucas medidas do que as necessárias para satisfazer o critério de Nyquist [4]. Compressive Sensing surgi a partir de um problema de reconstrução de imagens de Ressonância
Magnética apresentado aos pesquisadores do grupo de imagens médicas do Instituto de
Tecnologia da Califórnia - Caltech em 2006 [5]. O problema consistia em reconstruir imagens de Ressonância Magnética com apenas 5% dos dados iniciais. Este limiar é devido
às características físicas do equipamento e à necessidade de garantir exposição mínima
do paciente ao equipamento [5, 4]. Geralmente, sinais naturais não são esparsos, mas são
aproximadamente esparsos ou possuem um decaimento exponencial. Além disso, as medições não são perfeitas e geralmente algum nível de ruído é adicionado a elas. Para que
a teoria de Compressive Sensing possa ser aplicada a situações reais, ela deve ser robusta
a dois tipos de erros: o primeiro está relacionado ao sinal não ser exatamente esparso, e
o segundo está relacionado a medições corrompidas por ruído. Por isso, grande esforço é
1
Introdução
2
realizado no sentido de definir condições e teoremas que garantam a expansão da teoria
[3, 6].
No caso de imagens médicas no trabalho [7], pode-se observar a reconstrução de imagens de dados altamente incompletos, substituindo a modelagem paramétrica utilizada na
abordagem clássica pela modelagem não paramétrica. Os resultados obtidos apresentam
eficiência para a reconstrução de alguns tipos de tomografias computadorizadas, quando
a matriz de medida é desconhecida do codificador ou o número de medidas não podem
ser muito alto devido ao procedimento ser prejudicial à saúde. Outros trabalhos de aquisição de imagens podem ser observados em [8, 9]. No trabalho [10] é apresentado um
protocolo de Compressive Sensing não colaborativo baseado na estrutura da superfície
geométrica para a reconstrução conjunta da imagem utilizando poucas medidas aleatórias. Outra aplicação pode ser observada em [11], que trata da reconstrução de imagens
obtidas por sensoriamento remoto aeroespaciais baseados na teoria de Compressive Sensing. O trabalho [12] apresenta técnicas baseadas em Compressive Sensing que reduzem
a distorção espectral das imagens fundidas e produz resultados superiores aos métodos
de fusão convencionais. O trabalho [13] propõe uma câmera simples que pode operar em
uma faixa muito ampla do espectro eletromagnético, ele é denominado de câmera de um
pixel.
Em termos gerais, a teoria de Compressive Sensing consiste em subamostrar um sinal
e então utilizar um algoritmo de reconstrução baseado em otimização para reconstruí-lo.
Deste modo, o maior desafio de Compressive Sensing é reconstruir um sinal a partir de
amostras ruidosas [14].
A presente proposta visa explorar e desenvolver métodos iterativos para a reconstrução
de estruturas complexas, como orgãos e tecidos, a partir de imagens médicas.
A presente proposta de Tese está organizada em cinco capítulos, incluíndo o presente
capítulo de Introdução:
• Capítulo 2: Fundamentos teóricos - descreve uma revisão bibliográfica sobre o
novo paradigma "Compressive Sensing".
• Capítulo 3: Reconstrução de Imagens de Ressonância Magnética - apresenta
uma visão geral dos algoritmos de reconstrução para a recuperação do sinal esparso
em Compressive Sensing.
• Capítulo 4: Revisão Sistemática de Literatura - apresenta a descrição dos procedimentos realizados na revisão de literatura, e a discussão acerca das principais
pesquisas relacionadas com a presente proposta.
Introdução
3
• Capítulo 5: Proposta da Tese - são apresentados os objetivos, questões de pesquisa, hipótese e metodologia de pesquisa, além da descrição detalhada do plano de
trabalho previsto para a realização do doutoramento.
Capı́tulo
2
Compressive Sensing: Princípios e
Fundamentos
2.1
O nascimento de Compressive Sensing
Compressive Sensing é uma recente área de pesquisa, iniciada em 2006, a qual, desde
então se tornou conceito em várias áreas da matemática aplicada, ciências da computação,
engenharia elétrica, astronomia, medicina, biologia, e entre outros [5, 15, 16].
Convencionalmente, a amostragem de sinais ou imagens seguem o teorema de
Shannon-Nysquist. O Teorema de Amostragem de Shannon-Nysquist afirma que para evitar a perda da informação ao representar digitalmente um sinal analógico, deve-se ter uma
taxa de amostragem de pelo menos duas vezes a frequência presente no sinal original.
Geralmente, os sinais não são compressíveis, ou seja, apresentam redundância ao se fazer
uma amostragem pontual em algum domínio. Assim, após o processo de amostragem,
onde há a discretização do sinal original num certo domínio, tenta-se reduzir o número
de bits necessários para representá-lo digitalmente, sendo este processo chamado de compressão.
As técnicas de amostragem seguidas de compressão, por sua vez, levam em conta o
teorema de Shannon-Nysquist, tendo-se mostrado eficiente em muitas pesquisas. Entretanto, tal teorema não considera a possível esparsidade do sinal original, sendo pessimista
nos casos em que isto ocorre. A teoria Compressive Sensing também chamado de Compressed Sensing ou Compressive Sampling surgiu, pois, como uma nova abordagem na
área de Processamento de Sinais ao propor a reconstrução de sinais esparsos utilizando
uma taxa de amostragem menor do que requerida no teorema de Shannon-Nysquist, ou
seja, o objetivo é tentar obter um sinal já comprimido no ato do sensoriamento, daí a
origem do nome. Resultados mostram que a reconstrução dos sinais esparsos utilizando
4
2.2 Aquisição e Reconstrução Sinal
5
a abordagem de Compressive Sensing é realizada perfeitamente com alta probabilidade
quando certas condições são satisfeitas [15].
2.2
Aquisição e Reconstrução Sinal
A abordagem amostragem-compressão encontra uma representação esparsa e então codifica os coeficientes mais significativos. Nesta nova abordagem, o conjunto de técnicas
objetiva adquirir a imagem já na forma comprimida. Supõe-se que os coeficientes mais
significativos de uma compressão não linear são conhecidos e toma-se apenas esses. Desse
modo, o desejável é que as funções bases de medidas sejam não adaptativas, ou seja, que
as mesmas funções utilizadas para adquirir um sinal possa ser utilizada para adquirir qualquer outro.
O processo de aquisição por sensoriamento consiste em adquirir medidas ym como um
produto interno do sinal de interesse x com diferentes funções de medidas φm .
y1 = hx, φ1 i, y2 = hx, φ2 i, ...ym = hx, φm i
(2.1)
Onde m = 1, ..., M é o conjunto de medidas [17]. De posse dessas medidas ym , a
reconstrução consiste em encontrar o x tal que o sistema de equação 2.2 deve ser resolvido
por um problema de otimização.
y = ΦΩ x
(2.2)
Infelizmente, a aquisição por sensoriamento direta de ym utilizando as funções de medidas
φm sobre o sinal x não é diferente. Para que a teoria seja eficiente, o sinal x deve ser levado
a esparsidade por uma transformação ψ de tal modo que s = ψx, como ilustrado na figura
2.1.
Figura 2.1: Esquema de aquisição por sensoriamento. (a) Processo de medidas utilizando matriz
de medida Φ e matriz que leva à esparsidade Ψ. (b) Processo de medida com Θ = ΦΨ.(adaptado
de [[1]]
Compressive Sensing: Princípios e Fundamentos
6
Pode-se observar em (b) que existem quatro colunas que correspondem aos coeficientes si diferentes de zero. O vetor de medida y é a combinação linear dessas medidas.
Assim, a reconstrução pode ocorrer sobre o sistema de equações 2.2 ou sobre o sistema
alternativo da equação 2.3.
y = ΘΩ s
(2.3)
Este problema, no entanto, é mal condicionado, pois existe uma infinidade de soluções
possíveis. Apesar disso, nem todas as soluções satisfazem a propriedade de s e, portanto,
uma escolha simples consistiria em procurar, entre todas as soluções possíveis, aquela que
torna s esparso. É importante evidenciar que ΘΩ = ΦΩ Ψ∗ , Ψ∗ é inversa da transformada
que leva a esparsidade e ΘΩ é uma matriz constituída da escolha aleatória de M linhas da
matriz Φ denominada de matriz gorda. A denominação matriz gorda é utilizada para se
referir a uma matriz onde o número de colunas excede o número de linhas.
2.3
Sinais Esparso e Compressíveis
A representação de sinais é um conceito muito importante em processamento de sinais.
Ela se refere a descrever um sinal de modo único como uma sequência de coeficientes
enumeráveis, [1]. Embora a representação de sinais esteja extremamente ligada à passagem do contínuo para o discreto, uma boa representação de sinais pode facilitar a utilização de técnicas como análise, filtragem de ruídos e compressão de sinais. No contexto
de Compressive Sensing , uma boa representação de sinais pode facilitar a a busca por
algoritmos de otimização das informações de interesse dependendo de como o sinal é
descrito. Um exemplo de representação de sinais é a transformada de DCT que preserva
muitas propriedades do sinal, tais como invertibilidade e ortogonalidade [1, 19].
Uma base é um conjunto de elementos linearmente independentes que expandem o
espaço de Hilbert. Por linearmente independente entende-se que nenhuma função pode ser
expressa como combinação linear de outros elementos - isto implica que o conjunto possui
representação mínima. Já o elementos - isto implica que o conjunto possui representação
mínima. Já o frame é uma generalização de uma base em um espaço linear. Um conjunto
de elementos forma uma base em ℜM se ele expande ℜM e são linearmente independentes.
Por outro lado, um conjunto de M ≤ N elementos forma um frame se ele expande
ℜM . Bases e frames são utilizadas nas técnicas de compressão de sinais que procuram
minimizar a relevância e reduzir a concentração de energia em poucos coeficientes. Além
disso, as teorias de bases e frames estabelecem condições para uma representação estável
e completa de sinais.
2.4 Sinais Compressíveis
7
O ponto chave na decomposição ou representação de sinais é obter uma sequência
de formas de ondas de dicionário e seus respectivos coeficientes utilizando bases ou
frames. O conceito de sinais esparsos e compressíveis é de suma importância para o bom
entendimento de Compressive Sensing [19].
2.3.1
Sinais Esparsos
Na última década, esparsidade surgiu como um dos conceitos conducentes em uma variedade de aplicações em processamento de sinais (representação, extração, de características, separação de fonte de compressão). Esparsidade tornou-se teoricamente atrativa e
uma propriedade prática em muitas áreas da matemática aplicada [18].
Esparsidade expressa a ideia de que a taxa de informação de um sinal contínuo no
tempo pode ser menor que o sugerido por sua largura de banda ou que o sinal discreto
no tempo depende de um grau de liberdade que é muito menor do que seu comprimento,
[19]. Compressive Sensing explora o fato que muitos sinais suaves são esparsos no sentido
em que eles têm uma representação concisa em base apropriada Ψ.
Recentemente, pesquisadores de várias áreas têm preconizado o uso de representações
de sinais utilizando dicionários supercompletos [18]. Tais representações diferem da
representação tradicional pois oferecem um âmbito maior de geração de elementos
(chamados atoms). Potencialmente, isto permite maior flexibilidade na representação
do sinal e implica mais efetivamente em muitas tarefas de processamento de sinais
(restauração, separação, compressão e estimação), [19, 18].
Considere um vetor x ∈ Rn , x = [α1 , ...., αn ]T . Este sinal é exatamente ou estritamente
esparso se a maioria de seus elementos forem iguais a zero, isto é, se o suporte ∧(x) =
{1 ≤ i ≤ n | αi 6= 0} é de cardinalidade k n [18]. Portanto, um sinal é dito k-esparso
quando possui no máximo k elementos não nulos.
Se um sinal não é esparso, este pode possuir uma representação esparsa em um
domínio de transformada apropriado [19, 18]. De fato, esquemas de compressão baseiamse nesta ideia. Como exemplos, é possível citar o caso da JPEG que utiliza a DCT e a
JPEG-2000 que utiliza wavelets. Em ambos os casos, utiliza-se destas transformadas para
obter uma representação esparsa da imagem, sendo então, possível realizar a compressão
da imagem.
2.4
Sinais Compressíveis
Sinais compressíveis ocorrem quando os sinais não são exatamente esparsos, mas sim,
aproximadamente esparsos. Neste caso, um sinal é compressível s = Ψx é constituído
Compressive Sensing: Princípios e Fundamentos
8
da melhor aproximação S-esparsa de s, isto é, s é a melhor aproximação obtida quando
força-se os N - S menores coeficientes para zero, [19]. Compressive Sensing explora o fato
que muitos sinais localmente suaves são compressíveis no sentido em que eles têm uma
representação concisa em uma base apropriada Ψ.
2.5
Teoria da Aproximação
A utilização de representação de sinais por bases ou frames é bastante útil no processamento de sinais devido ao fato de ser possível realizar boas aproximações de sinais
usando poucos vetores. Existem duas aproximações possíveis: sobre base linear e sobre
dicionários.
No caso de bases lineares, tem-se o seguinte: dado um sinal x e uma base ortogonal
B = (φλ )λ∈τ , uma aproximação projeta x sobre M vetores da base xM = ∑n∈IM hx, φn iφn ,
[20].
Se a escolha dos vetores M a serem utilizados for realizada antes do processo, trata-se
de aproximação linear. Por outro lado, se a escolha for feita após o processo, trata-se de
aproximação não linear. Embora a aproximação linear seja mais fácil de implementar, ela
depende fortemente do sinal original. Já a aproximação não linear fornece condições de
ajuste do vetor de projeção para minimização do erro de aproximação, [20].
A transformada DCT consiste em projetar o sinal em uma base que o torna esparso
e a codificação por run-length consiste em escolher, dessa nova base, o vetor mais
significativo. Neste procedimento não linear, deve-se salvar cada coeficiente e a posição
dos vetores dessa nova base que são os mais importantes. Na compressão linear, os
vetores mais significativos são conhecidos antes e é necessário armazenar apenas suas
coordenadas.
A expansão linear em uma única base não é sempre eficiente porque a informação
é diluída em toda a base. Em dicionários redundantes, é possível expressar o mesmo
sinal utilizando um número pequeno de coeficientes. A dúvida está na seguinte escolha:
representar o sinal por um conjunto de elementos menores que exige um número grande
de valores para representá-lo, mas que demanda um número pequeno de bits para
representar o vetor ou representar o sinal por um conjunto de elementos maiores que
exige um número pequeno de valores para representar um sinal, mas demanda um número
grande bits para representar o sinal. O objetivo é encontrar representações que concentrem
a energia em poucos coeficientes. Em notação matemática, tem-se um sinal x de dimensão
N, um dicionário D = {g1 , g2 , ...., g p } de tamanho P e um valor M de modo que M < N < P.
A representação xM = ∑M−1
m=0 α pm g pm . que minimiza k x − xM k é uma boa representação
2.6 Aplicações de Compressive Sensing
9
desde que seja possível utilizar métodos de busca como Basis Pursuit e Matching Pursuits
para encontrar a representação mais esparsa em dicionários redundantes,[20].
2.6
Aplicações de Compressive Sensing
O novo paradigma de proposto pela teoria de Compressive Sensing atrai interesse da
comunidade científica e da engenharia. À medida que os fundamentos teóricos foram
se consolidando, pesquisadores desenvolveram aplicações em várias áreas da ciência da
e tecnologia, explorando as inovadoras características Compressive Sensing , entre elas: a
utilização de poucas medidas não adaptativas para reconstruir um sinal arbitário.
É importante salientar que toda a teoria de Compressive Sensing construída para sinais vale para imagens, basta que cada coluna da imagem rasterizada seja empilhada
construindo um vetor de várias linhas (alta dimensão) e a coluna. Neste contexto, é possível apresentar as seguintes aplicações: Compressão e Aquisição de Imagens Médicas,
Processamento de Sinais Estatísticos, Aprendizagem de Máquina, Conversão AnalógicoInformação, Biologia Computacional, Análise de Dados Geofísicos, Imagem Hiperspectral, Sensoriamento Remoto, Imagens de Radar, Astronomia, Planejamento de Código de
Correções de Erro em comunicações, Metrologia de Superfície, Acústica e Análise no
Tempo-Frequência, Engenharia da Computação, Computação Gráfica, Controle e Robótica, Recuperação Baseada em Conteúdo, Holografia e ótica, Física, entre outras.
Não faz parte do escopo desse trabalho apresentar detalhadamente aplicações de Compressive Sensing nas diversas áreas do conhecimento. Uma extensa lista é apresentada em
[21]. Neste trabalho são apresentados detalhes relacionados a processamento de imagens
e vídeos.
• Imagens médicas
Na área de imagens médicas, em especial, na Ressonância Magnética, em que se medem os coeficientes de Fourier das imagens, a teoria de Compressive Sensing encontra
uma aplicação importante. As imagens de ressonância magnética são implicitamente esparsas. Algumas imagens de ressonância magnética, tais como angiogramas, são esparsas
em seu próprio domínio de representação (base canônica), enquanto outras imagens de
ressonância magnética mais complexas são esparsas em outro domínio como, por exemplo, as wavelet[22]. Na proposta de [23] pode-se observar a reconstrução de imagens de
dados altamente incompletos, substituindo a modelagem paramétrica utilizada na abordagem clássica pela modelagem não paramétrica. Os resultados observados apresentam
eficiência para a reconstrução de alguns tipos de tomografias computadorizadas, quando
Compressive Sensing: Princípios e Fundamentos
10
a matriz de medida é desconhecida do codificador ou o número de medidas não pode ser
muito alto devido ao procedimento ser danoso a saúde.
2.7
Considerações Finais
Neste capítulo foram apresentados os conceitos, definições e teoremas que fornecem sustentação à teoria Compressive Sensing. Em seguida foi apresentado uma visão geral das
duas etapas principais de Compressive Sensing: a aquisição por sensoriamento e a reconstrução do sinal. A seção sobre representações de sinais apresentou os conceitos de esparsidade e compressibilidade, extremamente importantes para Compressive Sensing. Uma
visão sobre teoria de aproximação foi realizda devido a sua importância na aproximação
de sinais compressíveis em sinais esparsos.
Capı́tulo
3
Reconstrução de imagens de Ressonância
Magnética
Neste estudo apresentamos uma visão geral de algoritmos de reconstrução no processo
de recuperação do sinal esparso em Compressive Sensing, estes algoritmos podem ser
amplamente divididos em seis classes.
3.1
Algoritmos de Reconstrução
Em termos gerais, a teoria de Compressive Sensing consiste em subamostrar um sinal
e então utilizar um algoritmo de reconstrução baseado em otimização para reconstruílo. A literatura descreve um grande número de abordagens para resolver este problema
[2, 24, 23, 25, 26].
Figura 3.1: Compressive Sensing: Algoritmos de Reconstrução (adaptado de [2]).
11
Reconstrução de imagens de Ressonância Magnética
3.1.1
12
Convex Relation
Esta classe de algoritmo resolve um problema de otimização convexa através da programação linear [27] para obter a reconstrução. O algoritmo de relaxamento convexo funciona bem com um número pequeno de medidas, mas este método é computacionalmente
complexo. Basis Pursuit [28], Basis Pursuit De-Noising (BPDN) [28, 29], Least Absolute
Shrinkage and Selection Operator (LASSO) [30] e Least Angle Regression (LARS) [31]
são alguns exemplos destes algoritmos.
3.1.2
Greedy Iterative Algorithm
Esta técnica faz a escolha que parece ser a melhor no momento, chamada de escolha
ótima local, na esperança de que essa aproximação leve à solução ótima global. Os
algoritmos greedy iterative mais utilizados são: Matching Pursuit [32] e seus derivados
Orthogonal Matching Pursuits (OMP) [24], devido ao baixo custo de implementação e
de alta velocidade de recuperação. Entretanto, quando o sinal não é muito esparso, a
recuperação deste sinal torna-se custoso. Em algumas configurações, o algoritmo OMP
é mais rápido e mais fácil de implementar, por isso é uma alternativa atraente para a
Basis Pursuit por problemas de recuperação de sinal [2, 28]. O algoritmo de greedy
iterative ocupa uma posição intermediária se comparado aos algoritmos Convex Relation e
Combinatorial / Sublinear , tanto no desempenho de tempo de execução, quanto eficiência
de amostragem [2]. .
3.1.3
Combinatorial / Sublinear Algorithms
Esta técnica adquire amostras altamente estruturadas de sinais que suportam reconstrução
rápida por meio de teste de grupo. Os algoritmos combinatorial são extremamente rápidos,
mas exigem um grande número de amostras, que pode ser difícil aquisição [2, 23].
A representação deste algoritmos são demonstrados nos trabalhos Fourier Sampling
Algorithms [33], Chaining Pursuits [34], Heavy Hitters on Steroids [35] entre outros.
3.1.4
Iterative Thresholding Algorithms
Abordagens iterativas para o problema de recuperação em Compressive Sensing são mais
rápidas que os problema de otimização convexa. Para esta classes de algoritmos as medições corretas são recuperadas por thresholding soft ou hard [27], [36], a partir de medições de ruído dado o sinal é esparsa. O thresholding função depende de número de
iterações. O algoritmo Message Passing é uma importante modificação dos algoritmo
3.2 Considerações Finais
13
iterativo thresholding em que as variáveis básicas messages são associadas a grafo direcionados com bordas [20]. Um grafo relevante no caso de Compressive Sensing é o grafo
bipartido com n nós de um lado e textitm de outro (nós de medição) [37]. Esta abordagem
distribuída dispõe de muitas vantagens como baixa complexidade computacional e fácil
implementação em paralelo. Expander Matching Pursuits [38], Sparse Matching Pursuits
[39] são algoritmos recentemente propostos neste domínio que permitam atingir o tempo
de recuperação quase linear usando O(s.log(n/s))medições. Outro algoritmo que tem se
destacado é o Belief Propagation este algoritmo recupera sinais M-esparsos perfeitamente
e os sinais ruidosos são recuperados com distorção polylogarithmic.
3.1.5
Bregman Iterative Algorithms
O algoritmo Bregman Iterative fornece uma maneira simples e eficiente de resolver
problemas de minimização l1 . No trabalho [40], é apresentado um novo conceito que
dá solução exata dos problemas limitados por iteravidade que procura resolver uma
sequência de sub-problemas sem restrições geradas por um sistema de regularização
Bregman Iterative. Quando aplicados a problemas de Compressive Sensing, a abordagem
iterativa usando distância Bregman a regularização e alcança a reconstrução em quatro
a seis iterações [40]. A velocidade computacional deste algoritmo é particularmente
atraente em comparação com os outros algoritmos disponíveis.
3.1.6
Non Convex Minimization Algorithms
Algoritmos de Otimização não convexa são principalmente utilizados em imagens médicas de tomografia. Existem muitos algoritmos propostos na literatura que utilizam essa
técnicas, exemplo: Focal Underdetermined System Solution (FOCUSS) [41], Iterative
Re-weighted Least Squares [42], Sparse Bayesian algorithms [40], Monte-Carlo based
algorithms[13].
3.2
Considerações Finais
Neste capítulo procurou-se apresentar uma visão geral de algoritmos de reconstrução no
processo de recuperação do sinal esparso em Compressive Sensing. A revisão de literatura
encontra-se em andamento, desta maneira, apresentamos este relatório na fase ainda da
análise das publicações identificadas pelos motores de busca.
Capı́tulo
4
Revisão Sistemática de Literatura
O presente capítulo descreve em detalhes os procedimentos realizados durante a revisão
de literatura, com o objetivo de identificar a literatura científica especializada.
4.1
Introdução
O processo de revisão de literatura consiste na descrição de literaturas consideradas
importantes para uma determinada área ou assunto de interesse. Existem diferentes formas
de realizar a revisão de literatura [43].
A revisão de literatura é uma parte vital do processo de investigação. Aquela que
envolve localizar, analisar, sintetizar e interpretar a investigação prévia (revistas e jornais
científicos, livros, anais de congressos, resumos, etc.), relacionada com a sua área de
estudo, é, então, uma análise bibliográfica pormenorizada, referente aos trabalhos já
publicados sobre o tema.
A revisão da literatura é indispensável não somente para definir bem o problema, mas
também para obter uma ideia precisa sobre o estado atual dos conhecimentos sobre um
dado tema, as suas lacunas e a contribuição da investigação para o desenvolvimento do
conhecimento. Segundo [44] "cada investigador analisa minuciosamente os trabalhos dos
investigadores que o precederam e, só então, compreendido o testemunho que lhe foi
confiado, parte equipado para sua própria aventura". Devido à constante evolução dos
conhecimentos, deve-se começar por rever os trabalhos mais recentes primeiro e recuar
no tempo. Normalmente, estas informações são concentradas na forma de relatórios.
14
4.2 Planeamento
4.2
15
Planeamento
A partir da definição do objetivo de realizar a revisão de literatura, é necessário definir
questões de pesquisa, pois implicam na própria atividade do processo de revisão como um
todo. Inicialmente, a questão de pesquisa definida foi a seguinte: Porque Compressive
Sensing é interessante para Imagiologia médica?. A partir deste questionamento,
surgiram outras questões para complementar a qualidade final da revisão:
• Q1. Quais são os algoritmos de reconstrução utilizados?
• Q2. Quais são as modalidades de imagiologia utilizada?
• Q1. Quais são as aplicações concretas de Compressive Sensing à imagem?
• Q3. Qual é a vantagem de Compressive Sensing?
• Q4. Quais são os fatores subjacentes que leva a essas vantagens?
• Q5. Quais são as deficiências?
• Q6. Quais são os desafios que permanece?
• Q7. Quais os avanços da tecnologia são necessários para torná-lo uma técnica
atraente para ajudar a atender às necessidades atuais e futuras?
Nesta fase procurou-se definir um protocolo que estabelece os critérios de seleção,
inclusão e exclusão de literatura no processo de revisão, bem como palavras-chave,
motores de busca, e até definir o idioma de interesse. O propósito desta revisão no estudo
de investigação consistiu em:
• Delimitar o problema de investigação;
• Identificar palavras-chaves ou descritores;
• Rever fontes secundárias;
• Recolher fontes primárias;
• Ler criticamente e resumir a literatura;
• Ganhar perspectiva metodológica;
• Apresentar os resultados;
Revisão Sistemática de Literatura
16
Numa revisão abrangente, o processo de identificação dos estudos deve ser uma
busca tão ampla quanto o possível. Foram utilizadas diversas fontes afim de reduzir a
possibilidade de viés.
Figura 4.1: Motores de buscas.
4.3 Execução
17
Figura 4.2: Identificação das fontes de pesquisa.
4.3
Execução
A primeira estratégia definida foi considerar apenas publicações escritas em língua
inglesa, visto que abrange maior número de produções científicas na área da computação
e engenharia. Em seguida , definiu-se realizar a busca por publicações nos motores de
busca conforme ilustrado na figura 4.1. A identificação da publicação iniciou-se com a
busca das palavras-chave: medical image processing, compressive sensing, compressed
sensing, compressive sampling, sparsity nos motores de busca.
A análise das publicações identificadas pelos motores de busca, de maneira geral, leva
em consideração a ocorrência das palavras-chaves indicadas, no campo keywords, título,
abstract. Entretanto, as publicações são analisadas individualmente para identificar se
atendem ao critério de seleção, inclusão e exclusão da literatura conforme ilustra a figura
4.3.
Figura 4.3: Identificação e seleção dos trabalhos.
Revisão Sistemática de Literatura
4.4
18
Resultados
Na tabela 4.1, indica o número total de publicações obtidas de acordo com a busca nos
respectivos motores de busca, indicando exatamente a expressão de caracteres utilizada
até o presente momento nesta revisão.
Tabela 4.1: Número de publicações Identificadas (Ident.), Selecionadas(Sel.)
Publicações
Motores de Busca
Ident.
Sel.
CiteSeerX
(("compressive sensing"OR"compressive sampling"OR"compressed sensing")AND"medical imag*")
Expressão
116
14
Scopus
(("compressive sensing"OR"compressive sampling"OR"compressed sensing")AND"medical imag*"AND"Image reconstruction"AND"Iterative methods")
374
25
ScienceDirect
"compressive sensing"OR"compressive sampling"OR"compressed sensing"AND"medical imag*"AND"Image reconstruction"AND"Iterative methods"AND LIMIT-TO(contenttype, "JL,BS","Journal").
29
6
IEEE Xplore
"Abstract":compressive sensing OR compressive sampling OR compressed sensing AND medical imag* AND Image reconstruction AND Iterative methods")
445
15
ACM Portal
Abstract:"compressive sensing"OR"compressive sampling"OR"compressed sensing"AND"medical imag*"AND"Image reconstruction"AND"Iterative methods")
178
13
1142
73
Total
A figura 4.4 apresenta uma análise de todos journals publicados nos últimos 10
anos, essas informações foram extraídas utilizando o motor de busca Web of Knowledge (http://pcs.isiknowledge.com) em 3 Junho de 2015, para obtenção dos dados
utilizou-se a regra de busca de tópicos: "Compressive Sensing"OR"Compressed Sensing"OR"Compressive Sampling".
Figura 4.4: Análise de publicações - Web of Knowledge.
A figura 4.5 apresenta análise das 10 áreas que se destacaram nos últimos 10
anos, essas informações foram extraídas utilizando o motor de busca Web of Kno-
4.5 Considerações Finais
19
wledge (http://pcs.isiknowledge.com) em 3 Junho de 2015, para obtenção dos dados
utilizou-se a regra de busca de tópicos: "Compressive Sensing"OR"Compressed Sensing"OR"Compressive Sampling".
Figura 4.5: Análise das áreas - Web of Knowledge.
4.5
Considerações Finais
A presente revisão de literatura encontra-se em andamento, desta maneira, apresentamos
este relatório na fase ainda da análise das publicações identificadas pelos motores de
busca. É importante destacar que os parâmetros de busca no motor estão sendo ajustados
conforme o refinamento da pesquisa.
Capı́tulo
5
Proposta da Tese
Neste capítulo apresenta-se a Proposta de Tese, abordando o estudo sobre Compressive
Sensing aplicadas em imagiologia médica. Também são apresentados os objetivos, questões de pesquisa, hipótoses e metodologias, bem como o plano de trabalho para a realização do presente projeto.
5.1
Motivação
Dados de imagiologia médica apresentam um custo associado. O desejo é minimizar
este custo, a imagiologia apresenta várias vantagens inerentes que promovem o uso
de Compressive Sensing. A principal motivação para este estudo é que imagens de
ressonância magnética na realidade elas possui características muito especiais, por que
é um tipo de exame médico muito importante. Por questões físicas do equipamento
quanto clinicas você não pode expor o paciente a dosagens muito altas, durante um tempo
grande no equipamento de ressonância magnética [21]. Isso leva o fato que é importante
coletar o menor número possível de amostras e ao mesmo tempo ter os dados de maneira
confiável. A teoria de Compressive Sensing assegura que é possível recuperar sinais
esparsos a partir de um número bem menor de amostras que as necessárias nos métodos
clássicos, e usa para isto protocolos de sensoriamento não-adaptativos. Então como
podemos notar Compressive Sensing têm uma coisa muito diferente da teoria clássica,
que é toda determinística, com Compressive Sensing temos uma série de componentes
probabilísticos. A reconstrução é feita através de um processo de otimização, e ela é exata
[45].
Além de ser um tema recente que tem causado grande impacto na comunidade cientíca
por representar uma quebra de paradigma na área de amostragem e aquisição de dados,
a teoria se torna interessante na medida em que envolve ferramentas matemáticas im20
5.1 Motivação
21
portantes e noções de aquisição, compressão, redução de dimensionalidade e otimização
[45]. Os avanços tecnológicos nos sistemas computadorizados de diagnósticos médicos
baseados em imagem contribuem para procedimentos de análise e detecção de patologias
menos invasivas e mais precisas. Tomografia computadorizada e Ressonância magnética
são exemplos de técnicas de diagnósticos não invasivos que são agora amplamente utilizados na avaliação pré-terapêutica de doenças e disfunção de órgãos internos. A tomografia
computadorizada é um procedimento que reconstrói as imagens a partir da medida de
atenuação radiológica da região anatômica examinada [46, 47]. Em exames de tomografia computadorizada, um equipamento circular composto por ampolas de raios x gira em
torno da região de interesse do corpo, gerando imagens a duas dimensões que representam
seções da estrutura anatômica a ser analisada e com qualidade superior ao de sistemas de
raios x convencionais. A combinação das seções permite a geração de modelos tridimensionais de análises mais acuradas de patologias. A tomografia computadorizada contribui
para o surgimento da angiotomografia, um procedimento de diagnóstico por imagem do
sistema cardiovascular utilizando procedimentos menos invasivos em relação à tradicional
angiografia por cateterismo [48]. Apesar de ser um método de diagnóstico não invasivo e
oferecer melhor qualidade das imagens para a visualização das patologias de interesse, os
sistemas de tomografia computadorizada expõem os pacientes a emissão de raios x. Além
da tomografia computadorizada, outra técnica de imagiologia que tem sido adotada em
diversos diagnósticos de imagens de estruturas anatômicas internas é a da Ressonância
magnética [49]. A análise de imagens por meio de Ressonância magnética é feita sem
a utilização de radiação ionizante, representando menos riscos ao paciente. A angiografia por Ressonância magnética vem sendo utilizada nos diagnósticos das patologias do
sistema cardiovascular e representa um procedimento que, além de não ser invasivo, não
expõe o paciente a radiação ionizante e pode ser realizado sem a introdução intravascular
de corantes radiopacos [48, 49], o qual pode provocar reações alérgicas em determinados
pacientes.
Técnicas de processamento e análise de imagens aplicadas em imagens médicas
permitem o realce e a extração das estruturas relevantes ao estudo e análise das patologias
associadas. Com técnicas computacionais de processamento de imagem é possível aplicar
algoritmos de redução de ruído, aumentando de contraste das regiões de interesse,
correção geométrica, entre outras. Já com as técnicas computacionais de análise de
imagem, tenta-se extrair informação de mais alto nível das imagens originais, como, por
exemplo, a segmentação das estruturas de interesse nas imagens originais, a extração de
dados estatísticos ou o reconhecimento de padrões. Em particular, a segmentação de uma
imagem, que é o processo de dividir uma imagem original em suas partes ou elementos
constituintes [47], é um processo importante e crucial para a geração de informação a ser
Proposta da Tese
22
processada nas de análise de imagem.
Os procedimentos de diagnóstico médico utilizando imagens tridimensionais têm ganhado destaque nos últimos anos. A reconstrução em três dimensões de estruturas representadas em imagens em duas dimensões é atualmente objeto de intenso trabalho de
investigação [49, 50], pois é à base do processo de obtenção da geometria 3D das mesmas,
e permite, entre outras aplicações, o diagnóstico clínico, a obtenção de simulações computacionais por intermédio de modelos de elementos finitos [49] ou sua reprodução por
prototipagem rápida [51]. A adequada reconstrução tridimensional de órgãos e estruturas
anatômicas internas permite uma representação geométrica mais próxima do modelo de
interesse e apoia o estudo e diagnóstico mais eficiente e a simulação computacional de maneira mais realista. Desta maneira, a análise pode identificar características de interesse,
como patologias e lesões, em diferentes direções de análise. Em imagens de Tomografia
computadorizada e de Ressonância magnética, as imagens das seções podem ser combinadas, ou seja, fundidas, para a construção de modelos tridimensionais das regiões em
estudo.
5.2
Objetivos
A presente proposta de Doutoramento, tem como objetivo principal, desenvolver e implementar métodos iterativos para a reconstrução de estruturas complexas, como órgãos
e tecidos, a partir de imagens médicas. Concentrarei esforços em mostrar a efetividade
dos métodos iterativos para a reconstrução de imagens em ressonância magnética. Outros
objetivos de trabalho são:
• Elaborar uma revisão e classificar os algoritmos empregados ;
• Levantar e classificar os algoritmos, métodos e técnicas de reconstrução de imagens;
• Propor, implementar e validar novas técnicas robustas e eficientes para a reconstrução;
5.3
Questões de pesquisa
Inicialmente, a questão de pesquisa definida foi a seguinte: Porque Compressive Sensing
é interessante para Imagiologia médica?. A partir deste questionamento, surgiram
outras questões para complementar a qualidade final da revisão:
• Q1. Quais são os algoritmos de reconstrução utilizados?
5.4 Hipótese de pesquisa
23
• Q2. Quais são as modalidades de imagiologia utilizada?
• Q1. Quais são as aplicações concretas de Compressive Sensing à imagem?
• Q3. Qual é a vantagem de Compressive Sensing?
• Q4. Quais são os fatores subjacentes que leva a essas vantagens?
• Q5. Quais são as deficiências?
• Q6. Quais são os desafios que permanece?
• Q7. Quais os avanços da tecnologia são necessários para torná-lo uma técnica
atraente para ajudar a atender às necessidades atuais e futuras?
5.4
Hipótese de pesquisa
A Imagiologia é a especialidade médica que permite a obtenção de imagens de diversos
órgão e sistemas, utilizando diferentes metodologias, como radiações, ultrassons ou ondas
de radiofrequência, para fins de diagnóstico e terapêutica. A área de imagiologia médica
é vital para muitos aspectos da medicina, incluindo a detecção e diagnóstico de doença, o
planejamento e o tratamento e monitoramento de resposta à terapia [21]. O propósito da
imagiologia médica é informar decisões clínicas. De acordo com o estudo Compressive
Sensing têm atraído muito o interesse na comunidade de imagiologia por causa do seu
potencial em obter imagens de alta qualidade a partir de dados esparsos. Duas das
modalidades mais amplamente utilizadas são os seguintes:
• Tomografia Computadorizada;
• Ressonância Magnética.
A melhoria de Compressive Sensing, pode levar a importantes avanços na imagiologia
médica. Essas investigações na melhoria incremental na qualidade de imagem ou a robustez de dispositivos podem ter um grande impacto, porque a aplicação clínica é vital para
a saúde do paciente. A fim de compreender possíveis papéis para conceitos Compressive
Sensing em imagiologia médica é importante ter uma exposição para dispositivos clínicos
atuais e avanços para tal dispositivos, que estão atualmente no domínio da investigação
[21]. Este ponto de vista baseado na utilidade coloca uma grande ênfase na necessidade de
uma avaliação baseada em tarefas de Compressive Sensing a algoritmos de reconstrução
de imagens.
Proposta da Tese
5.5
24
Metodologia Proposta
A fim de alcançar um algoritmo de recuperação ótima, existem vários requisitos que
deverão ser satisfeitos. Os requisitos são apresentados a seguir:
• Estabilidade - O algoritmo deverá ser estável. Isso significa que quando os sinais
ou as medições são ligeiramente perturbado pelo ruído, a recuperação deverá ser de
aproximadamente precisa.
• Rápido - O algoritmo deverá ser rápido, se queremos aplicá-la em prática.
• Garantias uniformes - Ao adquirir medidas lineares utilizando um método específico, estas medidas lineares poderão aplicar-se a todos os sinais esparsos.
• Eficiência - O algoritmo deverá exigir o mínimo de medidas possíveis.
5.6
Plano de trabalho
Pretende-se, neste trabalho, adotar uma metodologia composta pelas etapas descritas a
seguir:
1. Nesta etapa do projeto será dedicada aos aspectos básicos de Compressive Sensing, fundamentando a teoria do método de amostragem e reconstrução. Nesta etapa
ocorrerá uma investigação na literatura dos desafios de reconstrução de Compressive Sensing.
2. Nesta etapa apresentaremos uma visão geral de algoritmos de reconstrução no
processo de recuperação do sinal esparso em Compressive Sensing, estes algoritmos
podem ser amplamente divididos em seis classes, conforme ilustra a figura 3.1.
3. Na etapa seguinte, será utilizada para estudar o desenvolvimento e a base da
plataforma computacional deste projeto.
4. Produção científica: publicação dos resultados em periódicos de interesse e participação em conferências da área, identificados nas seções 5.7 e 5.8
5. Por fim, a última fase deste projeto será redigida a respectiva Tese.
Neste próximo semestre serão cursadas as seguintes disciplinas:
• Extração de Conhecimento e Aprendizado Computacional (6 ECTS);
• Robótica Inteligente (6 ECTS);
5.7 Periódicos de interesse
25
• Metodologias de Investigação Científica (12 ECTS);
Data provável da conclusão dos créditos: 31/03/2016
Tabela 5.1: Cronograma de atividades
Ano
2015
2016
2017
2018
Atividades/Semestre
1
2
1
1
1
Disciplinas
x
x
x
Desenvolvimento da metodologia
x
x
x
Inscrição Definitiva
2
x
x
x
Desenvolvimento da aplicação
x
x
x
x
Previsão de Publicação
x
x
x
x
x
x
x
Escrita da Tese
5.7
2
Periódicos de interesse
Os principais periódicos de interesse, relacionados com os temas de Processamento e
Análise de Imagens Médicas, Visão Computacional. Os índices indicados na coluna Fator
de Impacto estão atualizados e foram obtidos no website de cada journal.
Figura 5.1: Periódicos relacionados aos temas de pesquisa.
Proposta da Tese
5.8
26
Conferências de interesse
As principais conferências de interesse, relacionadas com o presente tema do projeto estão
indicadas na figura 5.2. Os índices indicados na coluna Qualis estão atualizados e foram
obtidos no repositório http://qualis.capes.gov.br/webqualis.
Figura 5.2: Conferências de Interesse
Referências
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Information Theory, vol. 51, no. 12, pp. 4203–4215, Dec. 2005. [Online]. Available:
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27
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Measurements for Remote Sensing,” IEEE Transactions on Geoscience and
Remote Sensing, vol. 47, no. 3, pp. 792–802, Mar. 2009. [Online]. Available:
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[12] X. Luo, J. Zhang, J. Yang, and Q. Dai, “Image fusion in compressed sensing,” pp.
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[13] M. Duarte, M. Davenport, D. Takhar, J. Laska, Ting Sun, K. Kelly, and
R. Baraniuk, “Single-Pixel Imaging via Compressive Sampling,” IEEE Signal
Processing Magazine, vol. 25, no. 2, pp. 83–91, Mar. 2008. [Online]. Available:
http://ieeexplore.ieee.org/lpdocs/epic03/wrapper.htm?arnumber=4472247
[14] E. J. Candès, “The restricted isometry property and its implications for
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[15] E. Candès, J. Romberg, and T. Tao, “Robust uncertainty principles: exact signal
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[17] E. Candes and T. Tao, “Decoding by Linear Programming,” IEEE Transactions on
Information Theory, vol. 51, no. 12, pp. 4203–4215, Dec. 2005. [Online]. Available:
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