Programa de
Recuperação Paralela
PRP - 01
Nome: ______________________________________
1ª Etapa – 2013
Disciplina: Matemática
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2ª Série – Ensino Médio
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PROGRAMA DE RECUPERAÇÃO PARALELA – PRP 02 – MATEMÁTICA
2
01- Sejam dois cubos A e B, com arestas a e b, respectivamente. Sabendo que a área total de A é de 1800 m e o
a
3
volume de B é 21 m , determine ab  .
b
02- Determine o volume de um prisma hexagonal, de altura 5 cm, cuja base está inscrita em um círculo de
diâmetro
3 cm .
03- Um ortoedro tem dimensões: 4, 5 e x. Se a diagonal mede 32  cm , determine x.
04- Em uma pirâmide regular de base quadrangular, a medida do perímetro da base é 40 cm. Sabendo que a altura da
pirâmide é 12 cm, calcule a área lateral dessa pirâmide.
05- Uma pirâmide triangular tem 9 cm3 de volume e 4 3 de altura. Qual a medida da aresta da base?
06- Calcule o volume de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo excede e 1 dm a diagonal de uma face.
07- A altura de um cilindro reto é igual a um terço do raio da base. Calcule a área total, sabendo-se que seu volume
é 32 2 cm3 .
0 1
3 1
 1 0
2
08- Sendo A  
, B  
eC
, determine a matriz A  B  C .
1
0
2
1

1
2






 x
09- Resolvendo a equação  2
x
10- Dada a matriz A  (aij )2 x 2
4  x 2   13


y  y 1  x 3  y 2
2x  4 
 , quais os valores encontrados para x e y?
8 


aij  sen i  j se i  j

onde 
, determine:
a  tg  se i  j
 ij
i j
a) o valor da soma de todos os elementos que compõem a matriz A;
b) o valor do determinante da matriz A.
2x  y  z  5

11- Dado o sistema x  2y  z  7 , calcule x + y + z.
3 x  4 y  2z  2

12- Dê um exemplo de um sistema de equações (pode ser com duas variáveis) que seja possível e indeterminado.
13- Reduza ao 1º quadrante:
a) 1080º
c)
3
15
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b) - 1000º
d) 
16
12
2
14- Sejam dois cubos A e B, com arestas a e b, respectivamente. Sabendo que a área total de A é de 1800 m e o volume
a
3
de B é 2000 2 m , determine 2ab  .
b
15- Calcule a área total e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal 5 2 cm.
16- Considere uma pirâmide regular de base quadrada inscrita em um círculo de raio 10 2 cm. e a altura mede 8,
determine a área total.
17- Uma pipa de suco, cuja forma é de um cilindro circular reto, tem o raio da base igual a
4

e altura 3 m. Se apenas
30% do seu volume está ocupado por suco, qual a capacidade total da pipa?
18- Uma pirâmide triangular tem 9 cm3 de volume e 4 3 de altura. Qual a medida da aresta da base?
19- Calcule a área total de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo excede em 2 dm a diagonal de uma face.
20- A altura de um cilindro reto é igual a um meio do raio da base. Calcule a área total, sabendo-se que seu volume é
33  cm3 .
6 
 x 8
y
 7 16
3
2
M  N  P.
21- Seja M = 
, N = 
 e P = 
 , três matrizes que satisfazem a igualdade
2
3
10 y 
12 x  4
23 13
Determine y – x.
 x 2  3 2 1 0
22- Determine o valor de x que verifica a igualdade: 
, 

.
 1 3  1 x  0 1
0
0
1

23- Se x + y =
então qual o valor de cos x sen x 0 ?
3
sen y cos y 0
x  2y

24- Resolvendo o sistema 2y  3z
determine o valor de x + 2y + 3z.
x  y  z  11

25- Sabendo que a + b = 1200, b + c = 1100 e a + c = 1500, determine a + b + c.
26- Calcule a área total e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal mede 2 cm.
27- A altura de um cilindro reto é igual a um meio do raio da base. Calcule a área total, sabendo-se que seu volume é
1570 cm3 . Considere   3,14.
28- Determine a menor determinação positiva de:
a)
5
 rad .
8
c) 2700º.
b) 13 .
d) – 900º
29- A área lateral de um cilindro de revolução é igual a soma das áreas de suas bases. Sendo o raio do cilindro igual a
4 m, determine seu volume.
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a 0
 1 b
30- Dadas as matrizes A  
eB
 , determine a e b de modo que A . B = I, onde I é a matriz identidade.
0
a


b 1
t
31- Se uma matriz quadrada A é tal que A = – A ela é chamada anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e,
...
... 
4  a


M a
b2
...  . Determine o valor dos termos a12 , a13 e a23 da matriz M.
 b
c
2c  8
32- Se A é uma matriz quadrada, defini-se traço de A como a soma dos elementos da diagonal principal de A. Nestas
condições, determine o traço da matriz A = (aij)3x3, onde aij = 2i - 3j.
--1
33- Se det A = 5 e A
 4

=  5
 1
 5
34- Sejam as matrizes

a
, então determine o valor de a.
2 
5 
[
35- Calcule o valor da expressão
36- Se cossecx =
]e
sen 920 o . cot g210 o
tg240 o . cos 650 o
[
], calcule o valor de det (A.B).
.
5
2
2
e x pertence ao 1º quadrante, calcule o valor de 25 . sen x – 9tg x.
4
37- Uma pirâmide regular de base quadrada é tal que o apótema da base mede 7cm. Sabendo que o apótema da pirâmide
mede 25 cm, calcule a medida de sua altura, o valor da sua área da base, o valor do seu volume, e o valor da sua área
lateral.
3
38- Deseja-se projetar uma lata cilíndrica para leite condensado que tenha volume de 400cm . Sabendo que a altura da lata
cilíndrica será 8cm, determine a medida do raio da base, o valor da área da base, o valor da área lateral e também, o
valor da sua área total.
39- Um cone inscrito em um cilindro equilátero tem seu vértice no centro de uma das bases do cilindro. Se a altura do
cilindro é h e o raio da base R, calcule, em função de R, o valor da geratriz do cone e determine, também em função de
R, o volume do cone, a sua área da base e a sua área lateral.
40- Em uma pirâmide de base quadrada, a medida da aresta da base é a terça parte da medida da altura. Se o volume
3
dessa pirâmide é 64cm , determine a medida da aresta de sua base.
41- Um copinho tem a forma de um cilindro circular de reto com 2cm de raio da base e altura 5cm. Determine qual o maior
número de copinhos iguais a esse que podemos encher com 1 litro de café. (Use:  = 3,1)
42- Determine o valor dos números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostrada a seguir.
y2 
x  1


x  y  z
 z
1 1  3 0
.
 

0 1   2 5
43- Uma piscina circular tem 5 m de diâmetro. Um produto químico deve ser misturado à água na razão de 25 g por 500
litros de água. Se a piscina tem 1,6 m de profundidade e está totalmente cheia, determine a quantidade do produto que
deve ser misturada à água.
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 3
44- Sejam as matrizes: M  
 n
2
de n + n.q .
6 6
q
t
eP
 . Se M. M = P, sendo M a matriz transposta de M, calcule o valor
3 
6 6
45- Um depósito cheio de combustível tem a forma de um cilindro circular reto. O combustível deve ser transportado por um
único caminhão distribuidor. O tanque transportador tem igualmente a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro
de base mede 1/5 do diâmetro da base do depósito e cuja altura mede 3/5 da altura do depósito.
● Determine o número mínimo de viagens do caminhão para o esvaziamento completo do depósito.
46- Planificando a superfície lateral de um cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O e raio 18 cm. Calcule
a altura e o volume desse cone.
47- Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9 cm e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como base
3
a face oposta. Se V cm é o volume da pirâmide, determine (1/3)V.
48- Dadas as matrizes abaixo, calcule o valor de det(A.B).
1 
sen x
 0 1
A 
eB
,

1

sen
x


  1 0
49- Calcule o determinante da matriz a seguir.
3


sen
sen2 
 sen 2
cos 765º cos 300 º
tg135 º 

 tg225 º sec 315º cos sec 780 º 


50- Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a
12
. Calcule o valor de
13
senx + cosx + tgx + secx + cossecx
51- A figura abaixo mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 2x. Retirando-se o cone
do cilindro, determine em função de x, o volume do sólido resultante.
52- Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede 2 2 cm e uma aresta lateral mede
3
Calcule o volume dessa pirâmide, em cm .
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22 cm.
53- A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado a B = 6 cm e arestas laterais das faces aL = 4 cm.
Calcule a altura da pirâmide e, em seguida, determine o seu volume.
54- No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE =
volume desse sólido. Use (π = 3)
10 cm. Determine o
 1 1
 x 1 
-x
55- Se x é um número real positivo tal que A  
, B
 e det (A.B) = 2, então determine o valor de x .
x
0
1

1




56- Determine o valor de x + y, para que o produto das matrizes seja a matriz nula.
1 x
 2 2
A
 eB 

y
1


 2 2 
57- Por recomendação médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias. Estas refeições são
compostas por dois tipos de alimentos, os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na
seguinte tabela (fig. 1).
De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada refeição 13.000 unidades de vitamina A e 13.500 unidades de
vitamina B.
Considere nesta dieta:
x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas.
y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.
 x  13000
.
 Determine a matriz M, tal que M     

 y  13500
58- Calcule o determinante da matriz.
4
2
2
4
2
2 2
Lembre-se que: sen x + 2sen xcos x + cos x = (sen x + cos x)
 sen x cos2 x
cos x 

A   cos x
0
 sen x 


 sen x  sen2 x cos x 


59- Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado líquido, em recipientes, como mostram as figuras a seguir.
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 Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em dois
recipientes em forma de paralelepípedo, como representado na figura acima, determine a quantidade preparada, em
litros. Use π = 3,14.
60- Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia,
então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia
igual a um terço do que possui Maria.
 Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria?
61- Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico,
inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm. Após o gelo derreter completamente, qual
será, aproximadamente, a altura do nível da água no copo?
62- Considere as matrizes de elementos reais representadas abaixo. Sabendo-se que A . B = C, calcule o produto dos
elementos de A.
1 x
1 1
3 5 
A  
, B  
 eC  
.
y
z
1
2




9 14
63- Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em
mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de
outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.
 Determine a quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês?
64- Cecília jogou na loteria esportiva durante cinco semanas consecutivas, de tal forma que, a partir da segunda semana, o
valor apostado era o dobro do valor da semana anterior. Se o total apostado, nas cinco semanas, foi
R$ 2.325,00, qual o valor pago por Cecília, no jogo da primeira semana?
65- Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região.
A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura.
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de c23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.
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66- O imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria utilizada como seu túmulo. As
características da pirâmide são: sua base é um quadrado com 100m de lado e sua altura é de 100m. Para construir
3
cada parte da pirâmide, equivalente a 1000m , os escravos, utilizados como mão de obra, gastavam, em média, 54
dias. Mantida essa média, qual o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias?
67- As medidas da geratriz, do raio da base e da altura de um cone circular reto são x + a, x e x - a, respectivamente.
Ao calcular o volume desse cone, usou-se, por engano, a fórmula do volume do cilindro circular reto de mesmo raio e
de mesma altura do cone.
3
O valor encontrado supera em 4πcm o volume procurado.
 Calcule a altura e o raio da base desse cone.
68- Uma bola de ouro de raio r se funde, transformando-se em um cilindro de raio r. Determine a altura do cilindro.
69- A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com
137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m.
 Determine a área da base dessa pirâmide, em m .
2
70- Um recipiente cúbico, sem tampa, cujas arestas medem 4 dm, contém 56 litros de água. Ao lado desse recipiente,
estão os seguintes sólidos, todos de aço maciço:
- uma esfera de raio
3 2 dm;
- um cilindro circular reto com raio da base
2 dm e altura
- um paralelepípedo retangular de dimensões
- uma pirâmide reta de altura
3 dm,
2 dm;
3 dm e
7 dm; e
5 dm e de base quadrada com lado
12 dm.
 Determine qual desses sólidos, quando colocado no recipiente, NÃO fará com que a água transborde. Justifique sua
resposta com os cálculos.
71- Uma pista de skate, com 10 m de largura, está representada na figura a seguir.
As superfícies ABCD e EFGH são cilíndricas, cada uma delas é
1/4 de um cilindro circular reto de raio 2 m, e a superfície CBEH é
plana retangular. Se M é o ponto médio do segmento CH e a
distância entre M e B é 20 m, determine quanto mede
aproximadamente a área da superfície da pista, compreendida
2
entre AD e FG, em m . Use π = 3,14 e
3 = 1,73
72- Na venda de bolas de tênis, são utilizadas embalagens em forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro interno
mede
128
2
cm e corresponde a um terço da altura interna. Determine a área, em cm , da superfície lateral interna de

cada embalagem.
73- O raio da base de um cone circular reto e a aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular têm mesma medida.
Sabendo que suas alturas medem 4 cm, determine a razão entre o volume do cone e o volume da pirâmide.
74- Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O
frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas
medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.
3
Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm = 1 ml, e
usando a aproximação
π = 3, determine o volume aproximado, em ml, do medicamento restante no frasco após a
interrupção da medicação.
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75- Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura a seguir.
A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura do reservatório é
h = 6 m, determine a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório.
3
76- Considere uma bola de sorvete de 36π cm de volume e uma casquinha cônica de 3 cm de raio. Determine a altura da
casquinha, para que o sorvete, ao derreter, ocupe todo o seu espaço.
77- Sabendo-se que cos x = 3/5 e 0 < x < π/2, determine o valor de tg x.
2i2  j  i  j
78- Construa a matriz B  (bij)3x4 com bij  
.
5i  j2  i  j
79- As duplas Ana e Ricardo, Cláudia e José, Rita e Roberto, Celina e Jorge, respectivamente nessa ordem, disputam uma
gincana em sua escola. Cada dupla deverá percorrer uma das rotas determinadas pela organização da prova,
rigorosamente na ordem estabelecida, conforme descrição abaixo:
- Dupla 1: Estação 4; Estação 2; Estação 1; Estação 3; Estação 4.
- Dupla 2: Estação 3; Estação 1; Estação 4; Estação 2; Estação 3.
- Dupla 3: Estação 2; Estação 3; Estação 1; Estação 4; Estação 2.
- Dupla 4: Estação 1; Estação 3; Estação 2; Estação 4; Estação 1.
A matriz abaixo representa em quilômetros as distâncias entre cada estação.
E1 E2 E3 E4
E1
E2
E3
E4
 Vence a gincana quem completar primeiro a sua rota. Determine:
a) A dupla que venceu a gincana.
b) Quantos quilômetros percorreu a dupla vencedora?
80- Determine os valores de x, y e z de modo que as matrizes A e B sejam iguais.
x  y
A
 z
3

9

4
2x  3 y 
B

9 
3x  y  1
8
a
 3


a
5  é simétrica. Calcule a2  2b  c .
81- A matriz  b  1


b  4 c  1  1
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82- Sejam as matrizes:
4

0
A
0
1

 1 3 2
1
1
5
2


3 1 5

7 2
 1 1 3 2
, B  

3 4
6 4 1 0 
2 4 3 1
2 3


 Sabendo-se que C = A . B, calcule a soma dos elementos a24 + a34 + a12 da matriz C.
 y
83- A inversa de 
 2
x  4
 3  x
 é 
 . Determine x e y.
1 
x  x  5
84- Considere as matrizes A e B a seguir e n = det (AB).
n
Calcule 7 .
1
0


A   1  1

1 
1
0 1 2
B

3 4 5
 Conteúdos envolvidos: Matrizes, Determinantes e Sistemas
85- Escreva a matriz:
a ij  0, para i  j
a)
triangular de ordem 4, na qual 
2
a ij  (i  j) , para i  j

a ij  2, para i  j
b) de ordem 3, na qual

a ij  0, para i  j

3

a ij  i para  j
6   x 4 12 y 
1 2z     3 z    4  1

 
 

86- Determine as incógnitas em  x
87- Em uma granja há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Qual a quantidade de galinhas?
88- Sejam as matrizes A   2 3  e B   1  1 . Verifique se (A  B) 2 e A 2  2AB  B2 apresentam mesmo valor.
 1 4
2 5 




89- Sendo
(
)
.
90- Aplicando a regra de Sarrus, calcule o determinante: [
91- Sabendo que x 
1 3 1
1 3
e y  2 2 1 , det er min e x 2 - 2y
2 2
3 1 3
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]
92- Verifique se:
2x  5y  11
3x  6 y  3
a) (3,-1) é solução do sistema 
2x  y  z  6
x  3y  2z  13
b) (4,1,3) é solução do sistema 
93- Resolva e classifique os sistemas em: impossível (retas paralelas), possível e indeterminado (retas coincidentes) ou
ainda possível e determinado (retas concorrentes).
x  y  3
a) 
x  y  1
x  y  4
b) 
x  2y  2
2x  y  2
c) 
 4 x  2 y  6
2x  4y  4
d) 
3x  6 y  3
4 x  y  3z  15

e) 3 x  2y  5z  7
2x  3 y  4z  7

2x  3 y  2z  2

f) 3 x  5 y  4z  5
x  2y  7z  24

3 x  9y  12z  24

g) 4 x  16 y  26z  46
x  7 y  14z  20

x  y  0

h) 2y  4z  6
x  y  4z  6

94- Faça a redução ao 1º quadrante de:
a) 108º
b) 300º
c) 370º
d) 2000º
e) 1090º
f) – 450º
g) – 1530º
h)
i)
15
2
j)
5
8
3
4
k) 10
95- Calcule a medida da diagonal, a área total, e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal de uma face mede
5 2 cm.
96- Se aumentarmos a aresta de um cubo em 2 5 cm, obteremos um outro cubo cuja diagonal mede 30 cm. Determine a
área total e o volume do cubo inicial.
97- Determine as dimensões e o volume de um paralelepípedo, sendo a soma de suas dimensões igual a 45 cm, a diagonal
2
da base igual a 25 cm e a área total igual a 1300 cm .
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3
98- Calcule as dimensões de um ortoedro, sabendo que a soma de duas delas é 25 m, o volume 900 m e a área total 600
2
m .
99- Calcule o volume de um prisma triangular retangular de 5 3 cm de altura, sabendo que a área lateral excede a área
da base em 56 3 cm.
100- Um prisma de 3m de altura tem por base um quadrado inscrito em um círculo de 2 m de raio. Qual o seu volume?
101- Calcule a área da base de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros, sendo
81 3 cm2 a soma das áreas desses triângulos.
2
102- A área lateral de um cilindro de 1 m de altura é 16 m . Calcule o diâmetro da base do cilindro.
103- A geratriz de um cone mede 14 cm e a área da base 80
cm2 . Calcule a medida da altura do cone.
3
104- Determine a aresta de um cubo, sabendo-se que, aumentada em 1m, o volume aumenta de 37m .
2
105- Calcule o volume de um ortoedro retângulo de 93 cm de diagonal, 132 cm de área total, sabendo que suas
dimensões estão em P.A.
106- Qual deve ser a altura de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que seu volume seja
igual ao volume de um cubo de aresta a?
107- A altura de um cilindro reto é igual ao triplo do raio da base. Calcule a área lateral, sabendo-se que seu volume é
32  cm3 .
108- A área lateral de um cilindro de revolução é igual a soma das áreas de suas bases. Sendo o raio do cilindro igual a 4
m, determine seu volume.
109- Determine o volume de um cone circular reto de 2 cm de raio de base, sabendo que a base e a secção meridiana têm
áreas iguais.
110- Uma casquinha de sorvete de forma cônica, tem 5 cm de diâmetro e 13 cm de altura. Se a casquinha está cheia de
sorvete até a boca, porém sem excesso, com quantos milímetros ela está?
2
111- Uma pirâmide, cuja área da base é 360 cm , tem 15 cm de altura. A que distância da base se deve cortá-la, por um
2
plano paralelo à base, para que a secção tenha 250 cm de área?
112- O apótema de um tronco de pirâmide regular mede 5 cm e as bases são quadrados cujos lados medem 4 cm e 10 cm,
respectivamente. Calcule a área lateral, a área total e o volume do tronco.
3
3
113- Determine o ângulo de uma cunha de 5m de uma esfera de 20m .
 Conteúdos envolvidos: Matrizes, Determinantes, Sistemas e Trigonometria
2 1 
1 2
4 1
114- Sendo A  
, B  
eC
, determine a matriz X que verifica a igualdade 3(X – A) = 2 (B+X) + 6C.
3

1
1
0




2 1 
115- Sabendo que a 
3 2
1 3
,b 
1 1
2 0
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e
c
2 4
, calcule o número real x tal que x  3a  2b  c 2 .
4 7
 1 4 7  x   2 

   
116- Resolva a equação matricial  2 3 6  y    2  .
 5 1  1 z   8 

   
3 0 
 2 1
117- Dadas as matrizes A  
 eB  
, determine AB – BA.
1

4


  1 0
118- Dada a matriz A  (aij )2x 2
119- Se a 
w

aij  sen i se i  j
2
tal que 
, determine
aij  cos wj se i  j

A2 .
sen a cos a
1

, qual o valor do determinante cos a
1
sen a ?
2
1
sen a cos a
120- Alexandre e sua irmã Helena foram a uma farmácia com seu cão Rex. Havia uma velha balança com defeito que só
marcava pesos corretamente acima dos 60 kg. Se pesaram dois a dois e obtiveram os seguintes resultados:
Alexandre e Rex pesam juntos 87 kg;
Alexandre e Helena pesam juntos 123 kg;
Helena e Rex pesam juntos 66 kg.
 Pode-se afirmar que:
(A) Cada um deles pesa menos que 60 kg.
(B) Dois deles pesam mais que 60 kg.
(C) Helena é a mais pesada dos três.
(D) O peso de Helena é a média aritmética dos pesos de Alexandre e Rex.
(E) Alexandre é mais pesado que Helena e Rex juntos.
12'- A matriz A é dada pela lei de formação:
 2i i  j

A  (aij )3x3  i2  j  2  i  j

 2j  i  1  i  j
 Construa a matriz A.
122- Sr. José Carlos, considerado farmacêutico de sua cidade, resolveu organizar seu estoque de remédios. Colocou numa
matriz as quantidades de caixas dos 4 tipos de remédio: Antibióticos, Anti-inflamatórios, Analgésicos e Anti-térmicos,
respectivamente nessa ordem, nas linhas. Os 4 laboratórios: Roche, Herald’s, Bayer e Merck, respectivamente nessa
ordem, nas colunas, conforme a matriz abaixo:
12 10 20

20 19 11

17 21 14
14 13 15

18

12
16
22
 Determine:
a) Qual o total de analgésicos da farmácia do Sr. José Carlos?
b) Quantos medicamentos do laboratório Bayer possui o farmacêutico?
123- Determine o traço das matrizes:
a)
 1 2

4 3
A
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b)
 2 0 1 


B   2 3  5


  1 0  1
124- Determine os valores das incógnitas sabendo que A = B:
a)
 2
m2  9 2 0

b) 

m  3 m  3  0 0
 1  2 x   1  2 3 / 4
3 y 5 z  1   6 5
0 
125- Dado as matrizes:
5 1
 4 1  C   1 9
A
;
; B  


2
7


7 8
3 2
 Calcule a matriz M  2 A  3B  C
126- Resolva as seguintes equações matriciais:
a)
 3   11 
   
X   1   3 
   
 5    2
 2 3  4

4 1 0
X
b)
 1

3 
127- Considere as matrizes:
3 5 
 4


A  2 1 ,B   , C  2 1 3
3


0  1
 A adição da transposta de A com o produto de B por C é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
impossível, pois não existe o produto de B por C.
impossível, pois as matrizes são todas de tipos diferentes.
t
impossível, pois não existe a soma de A com B . C.
possível de efetuar e o seu resultado é do tipo 2 x 3.
possível de efetuar e o seu resultado é do tipo 3 x 2.
2 y
 1


128- A matriz A   x
1 0 é simétrica. Calcule x  y .


 x  1 0 1
0

129- A matriz A   x

 7
1
7

0
9 é anti-simétrica. Calcule x + y + z.
y  5 z
1 0
1 2
130- Dadas as matrizes A  
 e B
 e o sistema
 2 2
1 1
3

131- Sejam as matrizes A  0

1

x  2y  7A  2B
, calcule as matrizes x e y.


 2x  y  4 A  B
 1
0 1 
4

2, B
 e C    . Determine, se existir:
 1
1  3
4 
a) A . B
b) B . A
c) A . C
d) B . C
e) B . A
t
t
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 1 2
 2 / 5
 é a inversa de 
.
1 / 5 
 1 3
3 / 5
132- Verifique se 
1 / 5
 2 1/ 2
133- Determine, se existir, a inversa da matriz 
.
1 
 4
1

134- Determine x, y e z de modo que 0

 x
135- Calcule o valor de
 2
1
3
0
2
2
y
0 
2
 seja ortogonal.
2 
z 
1
2
2 é:
5
136- Calcule o determinante da matriz A = (aij), de ordem 3, onde:
i  j  i  j
aij = 
.
i  j  i  j
 1

137- Qual o módulo do determinante da matriz A   0

 2

 4

 5
138- Calcule o determinante da matriz A  
 1
 2

3
4 

 1 1/ 3  ?

5
1 
 1 2 6

 1 1 4
.
0 3 0 
 1 2 6
139- Calcule os seguintes determinantes:
a)
3
4
5
0
0 1  2
0 4
0
1 0
2
3
1
3
b)
2
3
1
7
0
3
1
4
2
5
0
1
1
0
 2 1
140- M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu determinante é det(M) = 2. Qual o valor da expressão det(M) + det(2M) +
det(3M)?
141- Resolva o sistema:
x  y  z  2

2x  4y  z  16
 x  5y  3z  10

142- Resolva o sistema:
x  y  1

x  z  3
y  z  2

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143- Resolva o sistema:
 5x  8y  12z  10

x  2y  3z  4

 2 x  2 y  3 z  3

144- Resolva:
a)
x  y  z  0

x  2y  2z  3
2x  y  z  3

x  y  z  0
b) 2x  4y  6z  1
x  y  z  3

x  y  z  4
c) 2x  z  w  4

y  z  w  2
 x  z  2 w  2

145- Ao ser perguntado sobre o valor do pedágio, um caixa respondeu: “Quando passaram 2 carros de passeio e 3 ônibus,
arrecadou-se a quantia de R$ 26,00; quando passaram 2 ônibus e 5 caminhões a quantia arrecadada foi de R$ 47,00,
e quando passaram 6 carros de passeio e 4 caminhões arrecadou-se a quantia de R$ 52,00”. Qual foi o valor do
pedágio para cada veículo citado?
146- O curso de Álgebra, no semestre passado, teve três provas. As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos
das provas eram diferentes. Rafael, que acertou 4 questões na primeira prova, 5 na segunda e 3 na terceira, obteve
no final um total de 15 pontos. Joana acertou 3 na primeira, 4 na segunda e 4 na terceira prova, totalizando também
15 pontos. Por sua vez, Leandro acertou 5 na primeira, 5 na segunda e 2 na terceira prova, atingindo a soma de 14
pontos no final. Já Fernando fez 4 questões certas na primeira prova, 6 na segunda e 3 na terceira. Qual foi o total de
pontos de Fernando?
147- A base de uma pirâmide de 6cm de altura é um quadrado de 8cm de perímetro. Calcule seu volume.
148 - O tampo de uma mesa apóia-se em quatro pirâmides regulares quadrangulares iguais, feitas de granito. Se a área
2
lateral de cada pirâmide é 0,28m e o lado do quadrado da base é 0,20m, calcule o volume de granito das estruturas
das quatro pirâmides.
149- Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24cm o perímetro da base e 30cm a soma dos
comprimentos de todas as arestas laterais.
150- Um grupo de amigos foi acampar e levou uma barraca de lona que, depois de montada, tinha a forma de uma
pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base media 2m. Se, depois de montada, o ar em seu interior ocupava um
3
volume de 5 3 m , quantos metros quadrados de lona tinha a barraca?
151- A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas laterais das faces A = 4 cm.
a) Calcule a altura da pirâmide.
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?
152- Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede 3a cm, onde "a" é a medida da aresta de sua
2
base. Então, a área total desta pirâmide, em cm , vale?
153- Um cilindro circular reto, de ouro maciço, tem o raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10 cm. Sabendo que a
3
densidade do ouro é de 19 g/cm , calcule a massa total do cilindro.
(densidade = massa/volume)
154- Duzentos litros de um líquido serão armazenados em latas cilíndricas de raio 5 cm e altura 13 cm. Cada lata deverá
ser preenchida em até 80% do seu volume.
 Quantas latas, no mínimo, serão necessárias?
2
155- Qual a altura de um reservatório cilíndrico, sendo 150 m o raio da base e 900π m sua área lateral?
2
156- O perímetro da seção meridiana de um cilindro reto é 36 cm, e a área total é 130π cm .
 Determine a altura do cilindro.
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157- Na decoração de uma festa foram usadas lanterninhas orientais.
 Determine a área lateral de uma lanterninha, sabendo que ela tem a forma de um cilindro equilátero cuja altura mede
15 cm.
158- Determine a medida da altura de um cone reto cuja geratriz mede 10 cm, sendo 12 cm o diâmetro de sua base.
3
159- Determine a medida do raio da base de um cone de revolução cuja altura mede 3 cm e cujo volume é 9π cm .
2
160- A geratriz de um cone reto mede 14 cm e a área da base, 80π cm .
 Calcule a medida da altura e o volume desse cone.
3
161- O chapéu de um bruxo tem a forma de um cone de revolução de 12 cm de altura e 100π cm de volume.
 Se ele é feito de cartolina, quanto desse material foi usado para fazer a superfície lateral?
2
162- Determine a altura de um cone eqüilátero cuja área total é de 54π cm .
163- Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério, para uma exposição. Se, para o revestimento total do piso,
2
utilizou-se 78,5m de lona, quantos metros quadrados de lona se utilizaria na cobertura completa do galpão?
(Considerar π = 3,14).
164- Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície
esférica, determinando uma circunferência.
 Qual o raio desta circunferência, em cm?
165- Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará:
(A) 21 %
(C) 31 %
(E) 30 %
(B) 11 %
(D) 24 %
166- Qual a razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita a um mesmo cubo?
167- Se senx - cosx = 1/2, qual será o valor de senx cosx?
168- O seno de um arco de medida 2340° é igual a quanto?
160- Qual o valor de y = cos 150° + sen 300° - tg 225° - cos 90°?
170- Determine o valor do número:
2
N = (3 cos180° - 4 sen210° + 2 tg135°) / (6 sen 45°)
171- O triângulo ABC é retângulo em A. Se cos B = 0,6, então cotg C é igual a quanto?
172- Seja x um número real pertencente ao intervalo [0,π/2]. Se secx = 3/2, então tgx é igual a quanto?
173- Se x é um arco do 3° quadrante e cosx = -4/5, então cossecx é igual a quanto?
174- Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007.
Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos a ij representam o número de medalhas
do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}.
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Para fazer uma outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores:
- ouro: 3 pontos;
- prata: 2 pontos;
- bronze: 1 ponto.
Esses valores compõem a matriz V.
 Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente.
175- Se as matrizes
 São tais que M.N = N.M, então, sobre os números reais x e y, é possível afirmar, corretamente, que:
(A)
(B)
(C)
(D)
x é um número qualquer e y pode assumir somente um valor.
y é um número qualquer e x pode assumir somente um valor.
x e y podem ser quaisquer números reais.
x pode assumir somente um valor, o mesmo acontecendo com y.
176- Duas matrizes A e B são comutativas em relação à operação multiplicação de matrizes, se A . B = B . A. Dada a
matriz B (figura 1), para que uma matriz não nula A (figura 2) comute com a matriz B, seus elementos devem
satisfazer a relação
(A) a = c + d e b = 0.
(C) a = c + d e b = 1.
(B) a + d e b = c.
(D) c = a + d e d = c.
177- O valor de x + y, para que o produto das matrizes
 seja a matriz nula, é:
(A) - 1
(C) 1
(E) 4
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(B) 0
(D) 2
178- Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O lucro
obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00 e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz a seguir (figura 1)
fornece a quantidade de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no mês de novembro.
 A matriz da figura 2, onde x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda
das peças às empresas E1 e E2, respectivamente, é:
2
2
2
2
179- Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i – j e bij = - i + j , o valor de A - B é:
180- Na planilha de cálculos do setor de Engenharia, responsável pelas obras de um shopping, foram encontradas as
matrizes:
 É correto, então, afirmar que A é igual a:
(A) (1/2) B
(C) - B
(B) B
(D) 2B
181- Três barracas de frutas, B1, B2 e B3 são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio
de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas B i e Bj, em
milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira.
 Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
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182- Dadas as matrizes A = (aij)3x2, definida por aij = i - j; B = (bij)2x3, definida por bij = j; C = (cij), definida por C = A.B,
 é correto afirmar que o elemento c23 é:
(A) Igual ao elemento c12.
(C) O inverso do elemento c32.
(E) Igual ao produto de a21, por b23.
(B) Igual ao produto de a23 por b23.
(D) Igual à soma de a12 com b23.
183- A e B são matrizes e A é a matriz transposta de A.
Se
 então a matriz A . B será nula para:
(A) x + y = -3
(C) x/y = -4
(E) y/x = -8
(B) x . y = 2
2
(D) x . y = -1
-1
-1
184- Dada uma matriz A (figura 1), denotamos por A a matriz inversa de A. Então A + A é igual a:
185- Sendo B = (bij)2x2, onde,
{
 Calcule o det B:
(A) 13.
(B) -25.
(C) 25.
(D) 20.
(E) -10.
186- Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis:
 podemos afirmar que x/y vale:
(A) -12
(C) 36
(E) -1/6
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(B) 12
(D) -36
187- Para que o determinante da matriz
 seja nulo, o valor de a deve ser:
(A) 2 ou -2
(C) -3 ou 5
(E) 4 ou -4
(B) 1 ou 3
(D) -5 ou 3
188- Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes
 é verdade que y/x é igual a
(A) 1/20
(C) 20
(E) 3/20
(B) - 1/20
(D) - 20
189- Sendo sen x = 1/2; x  Q, o valor da expressão cos x . sec x + 2senx é:
2
(A) zero
(C) 3/2
(E) 3
2
(B) 1
(D) 2
190- O triângulo ABC é retângulo em A. Se cos B̂ = 0,6, então cotg Ĉ é igual a:
(A) 5/3
(C) ¾
(E) 1/2
(B) 4/3
(D) 3/5
191- Seja x um número real pertencente ao intervalo [0,  /2]. Se secx = 3/2, então tgx é igual a:
(A)
2 /3
(C) 1/2
(E)
(B) 2/3
(D)
5 /2
3 /2
192- Se x é um arco do 3º quadrante e cosx = -4/5, então cossecx é igual a:
(A) -5/3
(C) 3/5
(E) 5/3
(B) -3/5
(D) 4/5
193- Milena, diante da configuração representada abaixo, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o comprimento da
sombra x do poste, mas, para isso, ela informa que o sen  = 0,6.
 Calcule o comprimento da sombra x.
1945- O seno de um arco de medida 2340° é igual a:
(A) -1
(B) - 1/2
(C) 0
(E) 1/2
(D) ( 3 )/2
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195- O valor de y = cos 150° + sen 300° - tg 225° - cos 90° é
(A) - [( 3 ) - 3]/2
(B) - ( 3 ) + 1
(C) - ( 3 ) -1
(D) ( 3 ) - 1
2
196- O número N = (3 cos180° - 4 sen210° + 2 tg135°) / (6 sen 45°) pertence ao intervalo:
(A) ] -4 , -3 [
(C) [ -2 , -1 ]
(B) [ -3 , -2 [
(D) ] -1 , 0 ]
197- A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com
137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m.
 A área da base dessa pirâmide, em m , é:
2
(A) 13.272
(C) 39.816
(E) 79.432
(B) 26.544
(D) 53.088
198- Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5 cm e a altura mede 4 cm.
 Qual seu volume, em cm ?
3
199- Um grupo de esotéricos deseja construir um reservatório de água na forma de uma pirâmide de base quadrada.
 Se o lado da base deve ser 4/5 da altura e o reservatório deve ter capacidade para 720 m , qual deverá ser a medida
aproximada do lado da base?
3
(A) 8,7 m
(C) 13,9 m
(E) 16,0 m
(B) 12,0 m
(D) 15,0 m
200- A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas laterais das faces A = 4 cm.
a) Calcule a altura da pirâmide.
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?
201- Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior.
 Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m , então, o volume do cubo, em m , é igual a:
3
(A) 9
(C) 15
(E) 21
3
(B) 12
(D) 18
202- Numa pirâmide regular, a base é um quadrado de lado a. Suas faces laterais são triângulos equiláteros.
 O volume desta pirâmide é:
3
(A) [( 2 )/12] a
(C) [( 2 )/3] a
3
3
(B) [( 2 )/6] a
(D) [( 3 )/12] a
3
3
(E) [( 3 )/6] a
203- Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade.
Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%.
 O número que expressa a capacidade desse tonel, em litros é:
(A) 200.
(C) 400.
(E) 800.
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(B) 300.
(D) 500.
204- Um salame tem a forma de um cilindro reto com 40 cm de altura e pesa 1 kg. Tentando servir um freguês que queria
meio quilo de salame, João cortou um pedaço, obliquamente, de modo que a altura do pedaço varia entre 22 cm e 26
cm.
 O peso do pedaço é de:
(A) 600 g
(C) 620 g
(E) 640 g
(B) 610 g
(D) 630 g
205- Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6 m e raio da base 3 m. O nível da água nele contida está
a 2/3 da altura do tanque. Se  = 3,14, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é:
(A) 113 040
(C) 56 520
(E) 56 520
(B) 169 560
(D) 37 680
206- Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3 m e área total (área da superfície lateral mais
2
áreas da base e da tampa) igual a 20  m .
 Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner.
207- Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um menino constrói um
chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa.
 Qual a distância do bico do chapéu à mesa?
(A) 10 3 cm.
(B) 3 10 cm.
(C) 20 2 cm.
(E) 10 cm.
(D) 20 cm.
208- A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base.
 Se o comprimento da circunferência dessa base é 8  cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:
(A) 64 
(C) 32 
(E) 8 
(B) 48 
(D) 16 
209- Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm.
 Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral?
(A) 20 
(C) 40 
(E) 60  */
(B) 30 
(D) 50 
210- O setor circular da figura a seguir é a superfície lateral de um cone cuja base tem
diâmetro 4 e área igual a k% da área total do cone.
 Então k vale:
(A) 20.
(C) 30.
(E) 40.
(B) 25.
(D) 35.
FM/1306/DOCUMENTOS/PRP - PROGRAMA DE RECUPERACAO PARALELA - APOSTILAS /PRP 01 – 2013 - MATEMATICA/MATEMATICA–PRP 01 – 2ª SERIE – ENSINO MEDIO - 2013 - PARTE 2.DOC
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