Professor:
Revisão: Geometria Espacial
ARGENTINO
o
2 ano
DATA: 26 / 10 / 2015
MATEMÁTICA
1. (Unisc 2015) Um reservatório cúbico de 60 cm de
1
de água e precisa ser totalmente
3
esvaziado. O volume de água a ser retirado desse reservatório é
de
a) 7,2 litros. b) 72 litros. c) 21,6 litros.
d) 216 litros. e) 25 litros.
profundidade está com
2. (Unesp 2015) Uma chapa retangular de alumínio, de
espessura desprezível, possui 12 metros de largura e
comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma
canaleta vazada de altura x metros são feitas duas dobras, ao
longo do comprimento da chapa (figura 2).
5. (Fgv 2015) Determinada marca de ervilhas vende o produto
em embalagens com a forma de cilindros circulares retos. Uma
delas tem raio da base 4cm. A outra, é uma ampliação perfeita
da embalagem menor, com raio da base 5cm. O preço do
produto vendido na embalagem menor é de R$2,00. A
embalagem maior dá um desconto, por mL de ervilha, de 10%
em relação ao preço por mL de ervilha da embalagem menor.
Nas condições dadas, o preço do produto na embalagem maior é
de, aproximadamente,
a) R$3,51. b) R$3,26. c) R$3,12.
d) R$2,81. e) R$2,25.
6. (Uemg 2015) Um reservatório de água, de formato cônico,
com raio da tampa circular igual a 8 metros e altura igual a 9
metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta
igual a 10 metros.
Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se
transferir a água para o reservatório cúbico, a altura do nível
atingida pela água será de (considere π ≅ 3 )
a) 5,76 m. b) 4, 43 m. c) 6,38 m. d) 8,74 m.
7. (Pucrs 2015) Uma casquinha de sorvete na forma de cone foi
colocada em um suporte com formato de um cilindro, cujo raio
da base e a altura medem a cm, conforme a figura.
Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta
fabricada é igual a 18 m2, então, a altura dessa canaleta, em
metros, é igual a
a) 3,25. b) 2,75. c) 3,50. d) 2,50. e) 3,00.
3. (Uel 2015) Na molécula do Metano (CH4 ), o átomo de
carbono ocupa o centro de um tetraedro regular em cujos
vértices estão os átomos de hidrogênio.
O volume da parte da casquinha que está no interior do cilindro,
em cm3 , é
a)
Considerando que as arestas l do tetraedro regular medem
1
6 cm e que a altura mede h = l 6, assinale a alternativa que
3
apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro.
a) 3 3 cm3 b) 18 2 cm3 c) 18 3 cm3
d) 36 2 cm3 e) 54 2 cm3
4. (Uece 2015) A medida da aresta de um tetraedro regular com
altura igual a 5 metros é
a) 5 2,5 m. b) 5 1,5 m. c) 2 1,5 m. d) 3 2,5 m.
πa 2
2
b)
πa 2
3
c)
πa3
2
d)
π a3
3
e)
π a3
6
8. (Imed 2015) Após a limpeza de um aquário, que tem o
formato de um paralelepípedo, com dimensões internas de
1,20 m de comprimento, 1m de largura e 50 cm de
profundidade, constatou-se que o nível da água atingiu 80% de
sua altura máxima. Nessa situação, a quantidade de água que
falta para encher completamente o aquário, em litros,
corresponde a:
a) 80. b) 100. c) 120. d) 240. e) 480.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Considere o texto e as figuras para responder a(s) questão(ões).
O circo é uma expressão artística, parte da cultura
popular, que traz diversão e entretenimento. É um lugar onde as
pessoas tem a oportunidade de ver apresentações de vários
artistas como mágicos, palhaços, malabaristas, contorcionistas e
1
muito mais. Mas antes que a magia desse mundo se realize, há
muito trabalho na montagem da estrutura do circo.
A tenda de um circo deve ser montada em um terreno
plano e para isso deve ser construída uma estrutura, conforme a
sequência de figuras.
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e
volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25%
maiores que as da lata atual.
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser
reduzida em
a) 14,4% b) 20% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0%
11. (Enem PPL 2014) Um agricultor possui em sua fazenda um
silo para armazenar sua produção de milho. O silo, que na época
da colheita é utilizado em sua capacidade máxima, tem a forma
de um paralelepípedo retângulo reto, com os lados da base
medindo L metros e altura igual a h metros. O agricultor
deseja duplicar a sua produção para o próximo ano e, para isso,
irá comprar um novo silo, no mesmo formato e com o dobro da
capacidade do atual. O fornecedor de silos enviou uma lista com
os tipos disponíveis e cujas dimensões são apresentadas na
tabela:
Tipo de silo
I
II
III
IV
V
Nas figuras, considere que:
- foram colocadas 8 estacas congruentes perpendiculares ao
plano do chão;
- cada estaca tem 4m acima do solo;
- as estacas estão igualmente distribuídas, sendo que suas bases
formam um octógono regular;
- os topos das estacas consecutivas estão ligados por varas de
12m de comprimento;
- para imobilizar as estacas, do topo de cada uma delas até o
chão há um único cabo esticado que forma um ângulo de 45°
com o solo (a figura mostra apenas alguns desses cabos). Todos
os cabos têm a mesma medida;
- no centro do octógono regular é colocado o mastro central da
estrutura, que é vertical;
- do topo de cada estaca até o topo do mastro é colocada uma
outra vara. Todas essas varas têm a mesma medida;
- na estrutura superior, são formados triângulos isósceles
congruentes entre si; e
- em cada um desses triângulos isósceles, a altura relativa à base
é de 15 m.
9. (G1 - cps 2015) A cobertura e as laterais da tenda descrita
serão totalmente revestidas por lona. Para que isso ocorra, a
quantidade mínima de lona que deverá ser usada é, em metros
quadrados, igual a
a) 138. b) 384. c) 720. d) 1104. e) 1200.
10. (Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um
paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em
centímetros, mostradas na figura.
Lado
(em metros)
L
2L
2L
4L
L
Altura
(em metros)
2h
h
2h
h
4h
Para atender às suas necessidades, o agricultor deverá escolher o
silo de tipo
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
12. (Enem 2014) O condomínio de um edifício permite que
cada proprietário de apartamento construa um armário em sua
vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1: 100, foi
disponibilizado aos interessados já com as especificações das
dimensões do armário, que deveria ter o formato de um
paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais
a 3cm, 1cm e 2cm.
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
a) 6. b) 600. c) 6.000. d) 60.000. e) 6.000.000.
13. (Acafe 2014) Num reservatório com a forma de um
paralelepípedo reto retângulo, de 1 metro de comprimento, 2
metros de largura e 5 metros de altura, solta-se um bloco de
concreto. O nível da água que estava com 60% da altura do
3
reservatório eleva-se até
da altura.
4
O volume de água deslocado (em litros) foi de:
a) 4500. b) 1500. c) 5500. d) 6000.
14. (Uepa 2014) A natureza é uma fonte inesgotável de
comunicação de saberes necessários à sobrevivência da espécie
humana, por exemplo, estudos de apicultores americanos
comprovam que as abelhas constituem uma sociedade
organizada e que elas sabem qual o formato do alvéolo que
comporta a maior quantidade de mel.
Texto Adaptado: “Contador”, Paulo Roberto Martins. A
Matemática na arte e na vida – 2ª Ed. rev. – São Paulo: Editora
Livraria da Física, 2011.
2
Um professor de matemática, durante uma aula de geometria,
apresentou aos alunos 3 pedaços de cartolina, cada um medindo
6 cm de largura e 12 cm de comprimento, divididos em partes
iguais, conforme figuras abaixo:
18. (Enem PPL 2014) A caixa-d'água de uma casa tem a forma
de um paralelepípedo reto-retângulo e possui dimensões
externas (comprimento, largura e altura) de, respectivamente,
4,0 m, 3,0 m e 2,5 m. É necessária a impermeabilização de
todas as faces externas dessa caixa, incluindo a tampa. O
fornecedor do impermeabilizante informou ao dono da casa que
seu produto é fornecido em galões, de capacidade igual a 4,0
litros. Informou, ainda, que cada litro impermeabiliza uma área
de 17.700 cm2 e são necessárias 3 demãos de produto para
garantir um bom resultado.
Dobrando os pedaços de cartolina nas posições indicadas,
obtemos representações de prismas retos com as mesmas áreas
laterais e base triangular, quadrangular e hexagonal. Sendo V3
o volume do prisma de base triangular, V4 o volume do prisma
de base quadrangular e V6 o volume do prisma de base
hexagonal, é correto afirmar que:
Adote: 3 = 1,7.
a) V3 < V6 < V 4 . b) V3 < V 4 < V6 .
c) V 4 < V3 < V6 . d) V6 < V3 < V 4 . e) V6 < V 4 < V3 .
15. (Ufpr 2014) As figuras abaixo apresentam um bloco
retangular de base quadrada, uma pirâmide cuja base é um
triângulo equilátero, e algumas de suas medidas.
a) Calcule o volume do bloco retangular e a área da base da
pirâmide.
b) Qual deve ser a altura da pirâmide, para que seu volume seja
igual ao do bloco retangular?
16. (Enem PPL 2014) Um lojista adquiriu novas embalagens
para presentes que serão distribuídas aos seus clientes. As
embalagens foram entregues para serem montadas e têm forma
dada pela figura.
Com essas informações, para obter um bom resultado no
trabalho de impermeabilização, o dono da casa precisará
comprar um número mínimo de galões para a execução desse
serviço igual a
a) 9. b) 13. c) 19. d) 25. e) 45.
19. (Enem 2014) Um fazendeiro tem um depósito para
armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se
comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica
de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da
parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito
tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da
parte de baixo.
Quantos minutos essa torneira levará para encher
completamente o restante do depósito?
a) 8. b) 10. c) 16. d) 18. e) 24.
20. (Enem PPL 2014) Uma pessoa comprou um aquário em
forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 40 cm de
comprimento, 15 cm de largura e 20 cm de altura. Chegando
em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à
metade de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, irá colocar
pedrinhas coloridas, de volume igual a 50 cm3 cada, que
ficarão totalmente submersas no aquário.
Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a
6 cm do topo do aquário.
O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a
Após montadas, as embalagens formarão um sólido com quantas a) 48. b) 72. c) 84. d) 120. e) 168.
arestas?
a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16
21. (Ucs 2014) O volume de um prisma reto, cuja base é um
retângulo com lados de medidas 4 m e 6 m, é igual a
17. (Fgv 2014) Uma piscina vazia, com formato de
3
paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10m, largura 120 m .
igual a 5m e altura de 2m. Ela é preenchida com água a uma
Qual será o volume, em m3 , do prisma reto que tem como base
vazão de 5.000 litros por hora.
o polígono com vértices nos pontos médios da base do prisma
Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da
anterior e que tem o triplo da altura do prisma anterior?
água na piscina atingiu:
a) 30 b) 60 c) 120 d) 180 e) 300
a) 25cm b) 27,5cm c) 30 cm d) 32,5 cm e) 35 cm
3
22. (Espm 2014) No sólido representado abaixo, sabe-se que as
faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6 cm2 e
a) 6 m b) 7 m c) 8 m d) 9 m e) 10 m
26. (Upe 2014) Um torneiro mecânico construiu uma peça
retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma cônica, de
acordo com a figura 01 a seguir:
10cm2, respectivamente.
Considere π ≅ 3
O volume desse sólido é de:
a) 8 cm3 b) 10 cm3 c) 12 cm3
d) 16 cm3
e) 24 cm3
23. (Enem PPL 2014) Uma fábrica de rapadura vende seus
produtos empacotados em uma caixa com as seguintes
dimensões: 25 cm de comprimento; 10 cm de altura e 15 cm
de profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela
fábrica é um agrupamento de 125 caixas dispostas conforme a
figura.
Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de
rapaduras?
a) 3.750 cm3 b) 18.750 cm3 c) 93.750 cm3
d) 468.750 cm3 e) 2.343.750 cm3
24. (Mackenzie 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de
comprimento 6 m, então podemos afirmar que
a) a altura é igual a 3 3 m. b) a altura é igual a 3 6 m.
c) a altura é igual a 4,5 m. d) o volume é igual a
27 3 3
m .
2
e) o volume é igual a 18 2 m3 .
25. (Unifor 2014) Um posto de combustível inaugurado
recentemente em Fortaleza usa tanque subterrâneo que tem a
forma de um cilindro circular reto na posição vertical como
mostra a figura abaixo. O tanque está completamente cheio com
42 m3 de gasolina e 30 m3 de álcool. Considerando que a
altura do tanque é de 12 metros, a altura da camada de gasolina
é:
Qual é o volume aproximado da peça em milímetros cúbicos?
a) 2,16 × 105 b) 7,2 × 104 c) 2,8 × 105
d) 8,32 × 104 e) 3,14 × 105
27. (Enem 2014) Uma empresa farmacêutica produz
medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro
com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada
uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma
máquina programada para que os cilindros tenham sempre
10mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o
volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm de raio.
Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento
diminuindo o raio para 4mm, e, por consequência, seu volume.
Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas
pílulas.
Use 3 como valor aproximado para π.
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a
reprogramação da máquina, será igual a
a) 168. b) 304. c) 306. d) 378. e) 514.
28. (Acafe 2014) Um tubo cilíndrico reto de volume
128π cm3 , contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes
entre si e tangentes externamente.
Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas
bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro
do tubo é, aproximadamente, de:
a) 75. b) 50. c) 33. d) 66.
29. (Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de
formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de
papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos,
cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de
diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas
completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um
cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra
o desenrolamento, como ilustrado na figura.
Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel
enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a
espessura da folha de papel original seja desprezível.
4
Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel
usado na confecção do diploma?
a) πd b) 2πd c) 4 πd d) 5 πd e) 10 πd
30. (Cefet MG 2014) Um artesão resolveu fabricar uma
ampulheta de volume total V constituída de uma semiesfera de
raio 4 cm e de um cone reto, com raio e altura 4 cm,
comunicando-se pelo vértice do cone, de acordo com a figura
abaixo.
1
da
3
altura do depósito. Quantas viagens o caminhão deverá fazer
para esvaziar completamente o depósito, se para cada viagem a
capacidade do tanque é preenchida?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
da base mede metade do raio da base do depósito e altura
34. (Enem 2014) Um sinalizador de trânsito tem o formato de
um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido
externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do
cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O
responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do
material de maneira que a forma do adesivo corresponda
exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida.
Qual deverá ser a forma do adesivo?
Para seu funcionamento, o artesão depositará na ampulheta areia
que corresponda a 25% de V. Portanto o volume de areia, em
cm3, é
a)
128 π
64π
a) 16 π. b)
. e) 64 π.
. c) 32π. d)
3
3
b)
31. (Fgv 2014) Um sorvete de casquinha consiste de uma esfera
(sorvete congelado) de raio 3 cm e um cone circular reto
(casquinha), também com 3 cm de raio. Se o sorvete derreter,
c)
ele encherá a casquinha completa e exatamente. Suponha que o
sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele ocupa quando
está congelado.
d)
Calcule a altura da casquinha.
e)
32. (Enem PPL 2014) Para fazer um pião, brinquedo muito
apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico
para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro
reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na
Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a
parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2.
O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do
cilindro.
35. (Uepb 2013) Um reservatório em forma de cubo, cuja
diagonal mede 2 3 m, tem capacidade igual a:
a) 4.000 litros b) 6.000 litros c) 8.000 litros
d) 2.000 litros e) 1.000 litros
36. (Fgvrj 2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de
uma chapa retangular de metal, com 8 dm de largura por
10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa,
um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para
cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir:
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse
pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a
quantidade de madeira a ser descartada.
Por simplicidade, aproxime π para 3.
A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é
a) 45. b) 48. c) 72. d) 90. e) 99.
33. (Unifor 2014) Um depósito cheio de combustível tem a
forma de um cone circular reto. O combustível deve ser
transportado por um único caminhão no qual o tanque
transportador tem a forma de um cilindro circular reto, cujo raio
O volume, em dm3 , da caixa assim obtida é
a) 80x − 36x 2 + 4x3 b) 80x + 36x 2 + 4x3
c) 80x − 18x 2 + x3 d) 80x + 18x 2 + x3
e) 20x − 9x 2 + x3
37. (Pucrs 2013) Uma piscina na forma retangular tem 12
metros de comprimento, 6 metros de largura e 2 metros de profundidade. Bombeia-se água para a piscina até atingir 75% de
sua altura. A quantidade de água para encher esta piscina até a
altura indicada é de ________ litros.
a) 54 b) 108 c) 54000 d) 108000 e) 192000
5
38. (Ufsm 2013) Os produtos de plástico são muito úteis na
nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente.
Algumas empresas começaram a investir em alternativas para
evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas
é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens,
garrafas, componentes de celulares e autopeças.
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um
prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm
de altura. Qual é o volume, em cm3, dessa embalagem?
a) 150 3. b) 1.500. c) 900 3. d) 1.800. e) 1.800 3.
39. (Ufrgs 2013) Um sólido geométrico foi construído dentro
de um cubo de aresta 8, de maneira que dois de seus vértices,
P e Q, sejam os pontos médios respectivamente das arestas
AD e BC, e os vértices da face superior desse sólido
coincidam com os vértices da face superior do cubo, como
indicado na figura abaixo.
A área dessa peça é de ______ cm2.
a) 10π b) 16π c) 20π d) 28π
e) 40π
45. (Uftm 2012) Sem perda do volume original, um ourives
pretende transformar um cubo de ouro de 1 cm3 em uma placa
na forma de um paralelepípedo reto-retângulo. Adotando a
medida da aresta do cubo como largura da placa e 50% da
medida da aresta do cubo como altura da placa, a medida, em
centímetros, do comprimento dessa placa resultará em
a) 1,2. b) 1,5. c) 1,8. d) 2,0. e) 2,2.
46. (Ucs 2012) Uma caixa aberta é confeccionada a partir de
um pedaço de cartolina em forma de um retângulo, do qual se
retiraram pequenos quadrados nos vértices, conforme a figura
abaixo.
O volume desse sólido é
a) 64. b) 128. c) 256. d) 512. e) 1024.
40. (Ufpe 2013) Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro
obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é moldado em
esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a
altura do cilindro é quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas
são as esferas obtidas?
41. (Espm 2013) Um cilindro circular reto de raio da base igual
a 4 cm contém água até uma certa altura. Um objeto é colocado
no seu interior, ficando totalmente submerso. Se o nível da água
no cilindro subiu 3 cm, podemos afirmar que o volume desse
objeto é de, aproximadamente:
a) 174 cm3 b) 146 cm3 c) 162 cm3 d) 183 cm3 e) 151 cm3
42. (Ueg 2013) Uma coluna de sustentação de determinada
ponte é um cilindro circular reto. Sabendo-se que na maquete
que representa essa ponte, construída na escala 1: 100, a base da
coluna possui 2 cm de diâmetro e 9 cm de altura, o volume,
em m3 de concreto utilizado na coluna, é:
(Use π = 3,14)
a) 2,826 b) 28,26 c) 282,6 d) 2826
43. (Uern 2013) Uma esfera e um cilindro possuem volumes e
raios iguais. O raio da esfera ao cubo é igual ao triplo do
quadrado do raio do cilindro. A altura do cilindro, em unidades,
é
a) 2. b) 3. c) 4. d) 8.
44. (Pucrs 2013) Um desafio matemático construído pelos
alunos do Curso de Matemática tem as peças no formato de um
cone. A figura abaixo representa a planificação de uma das
peças construídas.
Conhecido o valor de x, a expressão que permite calcular o
volume da caixa, levando em consideração os dados da figura, é
a) ( 4x2 – 108x + 720 ) x. b) ( 4x2 + 720) x.
c) ( −4x2 + 720) x. d) ( x2 – 54x + 720) x.
e) ( x2 + 54x + 720) x.
47. (G1 - ifsp 2012) Fernando pretende abrir um aquário para
visitação pública. Para tanto, pretende construí-lo com a forma
de um bloco retangular com 3 m de comprimento, 1,5 m de
largura e 2 m de altura. Assim sendo, o volume desse aquário
será de
a) 6,5 m3 . b) 7,0 m3 . c) 8,5 m3 . d) 9,0 m3 . e) 10 m3 .
48. (Uftm 2012) A figura 1 representa um prisma obtido após a
secção do paralelepípedo reto-retângulo ADFCGJLI
representado na figura 2.
Sendo que AB = BC = DE = EF e 4HI = 4KL = JL = 2JG =
2AG = x, o volume do prisma representado na figura 1 é
a)
6
5x 3
3x 3
3x 3
5x 3
3x3
. b)
. c)
. d)
. e)
.
32
16
5
8
4
49. (Uerj 2012) Para transportar areia, uma loja dispõe de um
caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma de um
paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância
entre dois pontos desse paralelepípedo é igual a 3 m.
Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa
caçamba.
50. (Enem 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação,
necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que
isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento,
como mostrado na figura.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir
dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
54. (Ucs 2012) Um cilindro circular reto tem por secção
meridiana um retângulo ABCD, o qual, representado no sistema
de coordenadas cartesianas ortogonais, tem como vértices os
pontos A(2,8), B(4,8), C(4,0) e D(2,0).
Sendo o eixo do cilindro paralelo ao segmento DA e as medidas
do cilindro dadas em centímetros, a área lateral do cilindro é, em
cm2, igual a
a) 8π. b) 16π. c) 32π. d) 10 π. e) 18π.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no
tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3?
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de
altura.
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de
altura.
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de
altura.
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
55. (Unisc 2012) Uma indústria de tonéis produz 4000 unidades
mensais. Estes tonéis são cilindros equiláteros de 1 metro de
altura. Para pintar a superfície lateral desses cilindros, é
51. (Uftm 2012) A altura, em centímetros, do nível da água
armazenada em um reservatório com a forma de um prisma reto
de base retangular é igual a x, conforme mostra a figura.
56. (Uftm 2012) Em um laboratório, um reservatório, que
contém um medicamento líquido, tem a forma de um cilindro
circular reto, com medidas internas de diâmetro D e
comprimento L iguais a 80 cm e 100 cm, respectivamente. O
reservatório repousa sobre uma superfície plana e horizontal.
Diariamente, um funcionário verifica a quantidade de
medicamento no reservatório usando uma régua, que é inserida
verticalmente até atingir a extremidade inferior do tanque, como
mostra a figura.
Usando todo esse volume de água armazenado, pode-se encher
completamente uma quantidade exata de recipientes com
capacidade de 20 litros cada, ou uma quantidade exata de
h
recipientes com capacidade de 50 litros cada. Se x = , onde h
3
é a altura do reservatório, então a menor capacidade, em litros,
desse reservatório cheio é
a) 200. b) 300. c) 400. d) 500. e) 600.
52. (Uern 2012) Uma livraria recebeu caixas cúbicas contendo
duas pilhas de livros cada, que preenchem totalmente o espaço
no seu interior. Se o total de caixas é igual a 45 e cada livro
possui 12 cm de largura e 3 cm de espessura, então o total de
livros recebidos é
a) 540. b) 450. c) 810. d) 720.
53. (Enem 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens
e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens
apresentadas estão as planificações dessas caixas.
utilizada uma tinta cujo rendimento é de 200 gramas por m2.
Calculando a quantidade de tinta consumida a cada mês,
encontramos um valor próximo de
Observação: Utilize o valor da constante π (Pi) = 3,14
a) 1.500 kg. b) 1.800 kg. c) 1.900 kg.
d) 2,2 toneladas. e) 2,5 toneladas.
Nessas condições, determine:
a) a capacidade total aproximada, em litros, desse reservatório.
b) a medida, em centímetros, da corda AB, representada na
figura, indicando o nível horizontal do medicamento em
relação à superfície.
57. (Acafe 2012) Um posto de combustíveis abastece
mensalmente seu reservatório cilíndrico subterrâneo, cujas
medidas estão indicadas no esquema a seguir.
Considerando que o reservatório esteja vazio e que será
abastecido com 80% de sua capacidade por um caminhão
7
tanque, a uma vazão de 10 L por segundo, em
aproximadamente quantos minutos o reservatório será
abastecido?
a) 59 min. b) 51 min. c) 47 min. d) 48 min.
a) Calcule o volume da figura I.
b) Calcule a área da superfície da figura II.
58. (Uern 2012) A figura representa um sorvete de casquinha,
no qual todo o volume interno está preenchido por sorvete e a
parte externa apresenta um volume de meia bola de sorvete.
volume do octaedro, em cm3 .
62. (Ufpe 2011) Na ilustração a seguir, temos um octaedro
regular com área total da superfície 36 3 cm2 . Indique o
Considerando que o cone tem 12 cm de altura e raio 6 cm, então
o volume total de sorvete é
63. (G1 - ifal 2011) Arquimedes, para achar o volume de um
objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico
a) 216 π
360 π cm . c) 288 π cm . d) 264 π cm . circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem
transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o volume
do objeto é:
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de
Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma
das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade
entre Engenharia e Matemática.
cm3 . b)
3
3
3
59. (Pucrs 2012) A quantidade de materiais para executar uma
obra é essencial para prever o custo da construção. Quer-se
construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados
na figura abaixo.
A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 20 cm
necessárias para fazer esse telhado é
a) 104 b) 105 c) 5.103 d) 5.10 4 e) 25.104
60. (Ufrgs 2011) O paralelepípedo reto A, com dimensões de
8,5 cm, 2,5 cm e 4 cm, é a reprodução em escala 1:10 do
paralelepípedo B.
Então, o volume do paralelepípedo B, em cm3 , é
a) 85. b) 850. c) 8.500. d) 85.000. e) 850.000.
61. (Ueg 2011) Considere um cubo com 3 cm de aresta,
subdividido em cubos menores, cada um com 1cm de aresta.
Dele foram retirados cubos menores dos centros de cada face e
um cubo menor do seu centro. A figura I mostra o que restou do
cubo maior, enquanto a figura II mostra o que foi retirado do
cubo.
a) 1.000π b) 2.000π c) 3.000π d) 4.000π e) 5.000π
64. (Ufrgs 2011) Um tipo de descarga de água para vaso
sanitário é formado por um cilindro com altura de 2 m e
diâmetro interno de 8 cm.
Então, dos valores abaixo, o mais próximo da capacidade do
cilindro é
a) 7L. b) 8L. c) 9L. d) 10L. e) 11L.
65. (Cesgranrio 2011) Um sólido totalmente maciço é
composto pela união de dois cilindros circulares retos de mesmo
diâmetro. As densidades do cilindro menor e do cilindro maior
valem, respectivamente, 8.900 kg m3 e 2.700 kg m3 .
Considerando-se π = 3 , a massa desse sólido, em toneladas,
vale
a) 97,2 b) 114,5 c) 213,6 d) 310,8 e) 320,4
66. (Enem 2011) A figura seguinte mostra um modelo de
sombrinha muito usado em países orientais.
8
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução
chamada de
a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro.
d) tronco de cone. e) cone.
67. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde
cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal.
Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone
cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular
de 28,26m2 , considerando π ≅ 3,14 , a altura h será igual a
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 9 m.
e) 16 m.
A altura do cone formado pela areia era igual a
3
1
a) da altura do cilindro. b) da altura do cilindro.
4
2
2
1
c) da altura do cilindro. d) da altura do cilindro.
3
3
68. (Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no
formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume.
As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo
medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de
espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a
medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é
igual a
a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm. d) 24 cm. e) 25 cm.
69. (Enem 2ª aplicação 2010) Uma empresa de refrigerantes,
que funciona sem interrupções, produz um volume constante de
1 800 000 cm3 de líquido por dia. A máquina de encher garrafas
apresentou um defeito durante 24 horas. O inspetor de produção
percebeu que o líquido chegou apenas à altura de 12 cm dos 20
cm previstos em cada garrafa. A parte inferior da garrafa em que
foi depositado o líquido tem forma cilíndrica com raio da base
de 3 cm. Por questões de higiene, o líquido já engarrafado não
será reutilizado.
Utilizando π ≅ 3 , no período em que a máquina apresentou
defeito, aproximadamente quantas garrafas foram utilizadas?
a) 555
b) 5555
c) 1333
d) 13333
e) 133333
70. (Enem 2ª aplicação 2010) Um arquiteto está fazendo um
projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que
deverá instalar a luminária ilustrada na figura
9
Gabarito:
O volume de água no reservatório cônico é igual a
Resposta da questão 1:
[B]
1
⋅ π ⋅ 82 ⋅ 9 ≅ 576 m3 .
3
O volume de água no reservatório é igual a
1
1
⋅ 603 = ⋅ 216000 = 72000cm3 = 72dm3 = 72 L.
3
3
Portanto, a altura h atingida no reservatório cúbico será
Resposta da questão 2:
[E]
Resposta da questão 7:
[D]
Sabendo que (12 − 2x) ⋅ x = 18 m2 , vem
O volume pedido corresponde ao volume de um cone cujo raio
da base mede acm e cuja altura é acm. Portanto, o resultado é
x2 − 6x + 9 = 0 ⇔ (x − 3)2 = 0 ⇔ x = 3 m.
Resposta da questão 3:
[B]
O volume do tetraedro regular de aresta l = 6cm é dado por
l 3 2 63 2
=
= 18 2 cm3 .
12
12
Resposta da questão 4:
[B]
Sabendo que a altura de um tetraedro regular de aresta l é dada
l 6
por h =
, temos
3
5=
1
πa3
⋅ π ⋅ a2 ⋅ a =
cm3 .
3
3
Resposta da questão 8:
[C]
Sendo a profundidade igual a “altura máxima” do aquário, o
nível total preenchido de água foi:
0,5 ⋅ 80% = 0,40 m, ou seja, restam apenas 0,10 m = 10 cm
não preenchidos.
Calculando-se o volume do espaço a ser preenchido de água,
tem-se:
0,1⋅ 1⋅ 1,20 = 0,12 m3
Sendo 1m3 = 1000 L, então 0,12 m3 = 120 L.
l 6
15
⇔l =
3
6
Resposta da questão 9:
[D]
5 6
2
6
⇔l =5
4
⇔l =
O resultado pedido é dado por
⇔ l = 5 1,5 m.
Resposta da questão 5:
[A]
5
A razão de semelhança entre os cilindros é . Logo, se V é o
4
volume da embalagem maior e v é o volume da embalagem
3
menor, então
102 ⋅ h = 576 ⇔ h = 5,76 m.
V ⎛ 5 ⎞
125
125
= ⎜ ⎟ =
, implicando em V =
⋅ v.
v ⎝ 4 ⎠
64
64
Sabendo que o preço por mL de ervilha na embalagem menor é
R$ 2,00, e que foi dado um desconto de 10% na embalagem
125
maior, tem-se que a reposta é 0,9 ⋅ 2 ⋅
≅ R$ 3,52.
64
Resposta da questão 6:
[A]
⎛
12 ⋅ 15 ⎞
2
8 ⋅ ⎜ 12 ⋅ 4 +
⎟ = 1104 m .
2 ⎠
⎝
Resposta da questão 10:
[D]
Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a
242 ⋅ Hcm3 . Agora, sabendo que as dimensões da nova lata são
25% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova
lata, temos
2
16
⎛ 5
⎞
2
⋅ H ⇔ h = 64% ⋅ H, isto é, a
⎜ ⋅ 24 ⎟ ⋅ h = 24 ⋅ H ⇔ h =
⎝ 4
⎠
25
altura da lata atual deve ser reduzida em 100% − 64% = 36%.
Resposta da questão 11:
[A]
O volume do silo que o agricultor possui é igual a L2h m3 .
Desse modo, o silo a ser comprado deverá ter volume igual a
2L2h m3 .
10
Portanto, dentre as opções apresentadas pelo fornecedor, a única
que apresenta a capacidade desejada é o silo I.
Resposta da questão 12:
[E]
10 ⋅ 5 ⋅ h = 17,5 ⇔ h = 0,35 m = 35cm.
Seja V o volume real do armário.
O volume do armário, no projeto, é 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6cm3 . Logo,
3
6 ⎛ 1 ⎞
3
temos
= ⎜
⎟ ⇔ V = 6.000.000cm .
V ⎝ 100 ⎠
Resposta da questão 13:
[B]
Como
3
= 0,75, segue-se que o resultado pedido é
4
A área que deverá ser impermeabilizada corresponde a
2 ⋅ (4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2,5 + 3 ⋅ 2,5) = 59 m2 = 590.000cm2 .
3 ⋅ 590000
= 25.
4 ⋅ 17700
Resposta da questão 19:
[B]
Resposta da questão 14:
[B]
Sendo l a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se
que a aresta da parte cúbica de baixo mede 2l .
Tem-se que
Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos para despejar
42 3
V3 =
⋅ 6 ≅ 40,8cm3 ,
4
(2l )3
= 4l 3 unidades de volume, então ela levará
2
⎛ 4l 3 + l 3 ⎞
8 ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ = 10 minutos para encher completamente o
3
⎝ 4l
⎠
restante do depósito.
e
3 ⋅ 22 3
⋅ 6 ≅ 61,2cm3 .
2
Resposta da questão 20:
[A]
Portanto, conclui-se que V3 < V4 < V6 .
Resposta da questão 15:
a) O volume do bloco retangular é igual a 4 ⋅ 4 ⋅ 8 = 128 u.v.
A área da base da pirâmide é dada por
Resposta da questão 18:
[D]
Portanto, o número mínimo de galões para a execução do
serviço é igual a
1⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ (0,75 − 0,6) = 1,5 m3 = 1500 L.
V6 =
O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é
igual a 3,5 ⋅ 5000 = 17.500 litros. Portanto, a altura h atingida
pela água é tal que
82 3
= 16 3 u.a.
4
b) Para que o volume da pirâmide seja igual ao do bloco
retangular, sua altura h deve ser tal que
1
24
⋅ 16 3 ⋅ h = 128 ⇔ h =
3
3
⇔ h = 8 3 u.c.
Resposta da questão 16:
[D]
O sólido formado será um prisma pentagonal. Logo, o número
de arestas é igual a 3 ⋅ 5 = 15.
Lembrando que o volume de líquido deslocado é igual ao
volume do corpo submerso, segue que o número de pedrinhas a
40 ⋅ 15 ⋅ (10 − 6)
serem colocadas deve ser igual a
= 48.
50
Resposta da questão 21:
[D]
Seja h a altura do prisma retangular. Desde que 4 ⋅ 6 ⋅ h = 120,
e sabendo que o polígono com vértices nos pontos médios dos
lados do retângulo é um losango, concluímos que o resultado é
igual
4⋅6
3
⋅ 3h = ⋅ 120 = 180 m3 .
2
2
Resposta da questão 22:
[C]
Temos
Resposta da questão 17:
[E]
11
Portanto, o resultado pedido é igual a
(ABCD) = AB ⋅ BC ⇔ AB ⋅ 2 = 6
2 ⋅ 52 ⋅ (15 + 2 ⋅ 5) − 2 ⋅ 42 ⋅ (15 + 2 ⋅ 4) = 1250 − 736 = 514mm3 .
⇔ AB = 3cm
Resposta da questão 28:
[D]
e
(BCFE) = BC ⋅ BE ⇔ 2 ⋅ BE = 10
Seja r o raio das bolinhas. Tem-se que
⇔ BE = 5cm.
Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE,
πr 2 ⋅ 16r = 128π ⇔ r = 2cm.
obtemos AE = 4cm.
O volume ocupado pelas bolinhas é igual a
Por conseguinte, o resultado pedido é
8⋅
4π 3 256π 3
⋅2 =
cm .
3
3
AB ⋅ AE
3⋅4
⋅ BC =
⋅ 2 = 12cm3 .
2
2
Portanto, o resultado pedido é
Resposta da questão 23:
[D]
256 π
3 ⋅ 100% ≅ 67%.
128 π
O volume pedido é dado por 125 ⋅ 25 ⋅ 10 ⋅ 15 = 468.750cm3 .
Resposta da questão 24:
[E]
A altura do tetraedro regular é igual a
6 6
= 2 6 m, e seu
3
63 2
volume é
= 18 2 m3 .
12
Resposta da questão 29:
[D]
O lado da folha de papel corresponde ao quíntuplo do
comprimento da base do cilindro, ou seja, 5 πd.
Resposta da questão 30:
[A]
O resultado pedido é dado por
Resposta da questão 25:
[B]
⎛ 1 4π 3 1
⎞ 1
0,25 ⋅ ⎜ ⋅
⋅ 4 + ⋅ π ⋅ 42 ⋅ 4 ⎟ = ⋅ 64π
3
⎝ 2 3
⎠ 4
= 16π cm3 .
Seja h a altura da camada de gasolina. Assim, como a altura de
cada líquido é proporcional ao volume, temos
h
42
=
⇔ h = 7 m.
12 42 + 30
Resposta da questão 31:
Seja h a altura que o sorvete derretido atinge na casquinha.
Tem-se que
Resposta da questão 26:
[A]
1
80 4π 3
⋅ π ⋅ 32 ⋅ h =
⋅
⋅ 3 ⇔ h = 9,6cm.
3
100 3
O volume do cone retirado é dado por
1
⋅ π ⋅ 32 ⋅ 6 ≅ 54cm3 ,
3
enquanto que o volume do cilindro é π ⋅ 32 ⋅ 10 ≅ 270cm3 .
Portanto, o volume da aproximado da peça é igual a
270 − 54 = 216cm3 = 2,16 ⋅ 105 mm3 .
Resposta da questão 32:
[E]
A quantidade de madeira descartada corresponde ao volume do
cilindro subtraído dos volumes da semiesfera e do cone.
Portanto, o resultado é
2
Resposta da questão 27:
[E]
O volume de uma pílula de raio r, em milímetros cúbicos, é
4
dado por π ⋅ r 2 ⋅ 10 + ⋅ π ⋅ r 3 ≅ 2r 2 (15 + 2r).
3
2
1 4
1
⎛ 6 ⎞
⎛ 6 ⎞
π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 7 − ⋅ ⋅ π ⋅ (7 − 4)3 − ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 4 ≅ 189 − 54 − 36
⎝ 2 ⎠
2 3
3
⎝ 2 ⎠
= 99cm3 .
Resposta da questão 33:
[C]
Sejam 2r e 3h, respectivamente, o raio da base e a altura do
depósito.
12
[C]
O resultado pedido é dado por
O sólido indicado é um prisma reto triangular, cujo volume é
8⋅8
igual a
⋅ 8 = 256.
2
1
⋅ π ⋅ (2r)2 ⋅ 3h
4r 2
3
=
= 4.
π ⋅ r2 ⋅ h
r2
Resposta da questão 34:
[E]
Lembrando que a superfície lateral de um cone é obtida a partir
de um setor circular, segue-se que o objetivo do responsável
pelo adesivo será alcançado se ele fizer o corte indicado na
figura abaixo.
Resposta da questão 40:
Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do
cilindro.
Como h = 4 ⋅ 2r = 8r, segue que o volume do cilindro é igual a
πr 2 ⋅ 8r = 8πr 3 .
Sabendo que o raio de cada esfera mede
r
, podemos concluir
2
3
3
que o volume de uma esfera é 4 π ⋅ ⎛⎜ r ⎞⎟ = πr .
3 ⎝ 2 ⎠
6
3
Portanto, o número de esferas obtidas é dado por 8πr = 48.
3
πr
6
Resposta da questão 41:
[E]
Resposta da questão 35:
[C]
Pelo Princípio de Arquimedes, o volume do objeto corresponde
ao volume de um cilindro circular reto de raio da base igual a
4cm e altura 3cm, ou seja,
Seja a a aresta do cubo.
Sabendo que a diagonal do cubo é igual a a 3, temos a = 2.
3
= 8 m3 , segue
Portanto, como o volume do cubo é igual a 2
que a sua capacidade é de 8 ⋅ 1000 = 8.000 litros.
Resposta da questão 36:
[A]
O volume da caixa é dado por
π ⋅ 42 ⋅ 3 ≅ 3,14 ⋅ 48
≅ 151cm3 .
Resposta da questão 42:
[B]
O volume da coluna na maquete é dado por
x ⋅ (8 − 2x) ⋅ (10 − 2x) = x ⋅ (80 − 16x − 20x + 4x 2 )
2
⎛ 2 ⎞
π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 9 ≅ 3,14 ⋅ 1⋅ 9 = 28,26cm3 = 28,26 ⋅ 10−6 m3 .
⎝ 2 ⎠
= 80x − 36x2 + 4x3 .
Resposta da questão 37:
[D]
Como a escala da maquete é de 1: 100, segue que o volume
pedido é tal que
O volume da piscina é igual a 12 ⋅ 6 ⋅ 2 = 144 m3 . Logo, a
quantidade de água a ser bombeada, em litros, para que o nível
da piscina atinja 75% de sua altura, é
75
⋅ 144 ⋅ 1000 = 108.000.
100
Resposta da questão 38:
[C]
O volume da embalagem é dado por
3 ⋅ 102 ⋅ 3
⋅ 6 = 900 3 cm3 .
2
Resposta da questão 39:
3
28,26 ⋅ 10−6 ⎛ 1 ⎞
3
= ⎜
⎟ ⇔ V = 28,26 m .
⎝ 100 ⎠
V
Resposta da questão 43:
[C]
Sabendo que o cilindro e a esfera possuem volumes iguais e
raios iguais, temos
π ⋅ r2 ⋅ h =
4
4
⋅ π ⋅ r 3 ⇔ h = ⋅ r,
3
3
com h sendo a altura do cilindro.
Além disso, como o raio da esfera ao cubo é igual ao triplo do
quadrado do raio do cilindro, vem
13
3
2
2
r = 3 ⋅ r ⇔ r ⋅ (r − 3) = 0 ⇒ r = 3 u.c.
Portanto,
h=
4
⋅ 3 = 4 u.c.
3
O volume do prisma é dado por:
x 3x
+
⎛
AB + GH ⎞
x 2 4 x 5x3
AG
⋅
⋅
JG
=
⋅
⋅ =
.
⎜
⎟
2
2
2
2 32
⎝
⎠
Resposta da questão 49:
Seja a a aresta da base da caçamba.
Sabendo que a altura da caçamba mede 1m, temos que a sua
Resposta da questão 44:
[B]
capacidade é dada por a2 ⋅ 1 = a2 . Desse modo, como a
diagonal do paralelepípedo mede 3 m e a diagonal da base
A área pedida corresponde à soma das áreas de um círculo de
diâmetro 4cm e de um setor circular de raio 6cm e ângulo
mede a 2, vem
central igual a 120°. Portanto, a área da peça, em cm2, é igual
a
32 = (a 2)2 + 12 ⇔ 2a2 = 8
2
120°
⎛ 4 ⎞
π ⋅ ⎜ ⎟ + π ⋅ 62 ⋅
= 4 π + 12π
360°
⎝ 2 ⎠
= 16 π.
Resposta da questão 45:
[D]
Seja c o comprimento da placa.
⇔ a2 = 4 m3 .
Resposta da questão 50:
[C]
2400
= 2cm, fazendo a água ficar
40 ⋅ 30
com 25 − 5 + 2 = 22cm de altura.
O nível da água subiria
Sabendo que o volume do cubo é 1 cm3 , segue que sua aresta
Resposta da questão 51:
[B]
mede 3 1 = 1cm.
Portanto, como não houve perda na transformação, vem
O volume de água armazenado é dado por A ⋅ , em que A é a
1
1 = 1⋅ ⋅ c ⇔ c = 2cm.
2
Resposta da questão 46:
[A]
O volume da caixa é dado pela expressão
h
3
área da base do reservatório.
Se é possível encher completamente recipientes de 20 e 50
litros cada, então o volume de água no reservatório deve é tal
que mmc(20, 50) = 100 litros.
Portanto, como a capacidade do reservatório é dada por A ⋅ h,
vem A ⋅
h
= 100 ⇔ A ⋅ h = 300 L.
3
(30 − 2x)(24 − 2x)x = (4x2 − 108x + 720) x.
Resposta da questão 52:
[D]
Resposta da questão 47:
[D]
Sabendo que cada livro possui 12 cm de largura, e que as caixas
terão duas pilhas de livros, segue que as arestas das caixas
medem 2 ⋅ 12 = 24cm. Logo, como a espessura de cada livro é
3 cm, temos que cada pilha terá
24
= 8 livros e, portanto, cada
3
caixa conterá 2 ⋅ 8 = 16 livros. Desse modo, o número de livros
recebidos pela livraria é 45 ⋅ 16 = 720.
Resposta da questão 53:
[A]
V = 3 ⋅ 1,5 ⋅ 2 = 9 m3.
Resposta da questão 48:
[A]
De acordo com as planificações, Maria poderá obter, da
esquerda para a direita, um cilindro, um prisma de base
pentagonal e uma pirâmide triangular.
Resposta da questão 54:
[B]
O diâmetro da base do cilindro é igual a
14
xC − xD = 4 − 2 = 2cm, e sua altura mede
y A − yD = 8 − 0 = 8cm. Portanto, o resultado pedido é igual a
2
⎛ 2 ⎞
2π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 8 = 16 π cm2 .
⎝ 2 ⎠
A capacidade do reservatório é dada por
2
9
⎛ 3 ⎞
π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 5 ≅ 3,14 ⋅ ⋅ 5 = 35,325 m3 = 35325 L.
⎝ 2 ⎠
4
Sabendo que o reservatório será abastecido com 80% de sua
capacidade, segue que o caminhão tanque despejará
0,8 ⋅ 35325 = 28.260 litros no cilindro e, portanto, levará
28260
2826
= 2.826 segundos ou
≅ 47 minutos para
60
10
Resposta da questão 55:
[E]
realizar o abastecimento.
A área total a ser pintada é dada por
Resposta da questão 58:
[C]
1
4000 ⋅ π ⋅ ⋅ 1 ≅ 4000 ⋅ 3,14 m2.
2
Portanto, como o rendimento da tinta é 200 g m2 =
1
kg m2 ,
5
segue que o consumo mensal de tinta é
1
4000 ⋅ 3,14 ⋅ = 2.512kg ≅ 2,5 ton.
5
Resposta da questão 56:
a) Sabendo que o diâmetro da base do cilindro mede
80cm = 8 dm e que a altura do mesmo é 100cm = 10 dm,
temos que a capacidade total aproximada é dada por
2
⎛ 8 ⎞
π ⋅ r 2 ⋅ h ≅ 3,14 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 10
⎝ 2 ⎠
= 31,4 ⋅ 16
= 502,4 dm3
= 502,4 L.
b) Seja PQ o diâmetro da base do cilindro que é perpendicular
à corda AB.
O volume total de sorvete é dado pela soma do volume da
semiesfera de raio 6cm com o volume da casquinha, ou seja,
2
1
⋅ π ⋅ 63 + ⋅ π ⋅ 62 ⋅ 12 = 144π + 144π
3
3
= 288π cm3 .
Resposta da questão 59:
[A]
Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular
reto, temos que a = 5 m.
Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões
5 m × 30 m serão cobertas por telhas, segue que o resultado
pedido é dado por
2 ⋅ 5 ⋅ 30
3 ⋅ 10
−2
= 104.
Resposta da questão 60:
[D]
Temos que o volume VA do paralelepípedo A é dado por
VA = 8,5 ⋅ 2,5 ⋅ 4 = 85cm3 .
Por outro lado, como o paralelepípedo A é a reprodução em
escala 1: 10 do paralelepípedo B, segue que o volume VB do
paralelepípedo B é tal que
3
VA ⎛ 1 ⎞
= ⎜ ⎟ ⇔ VB = 85 ⋅ 1000 = 85.000cm3 .
VB ⎝ 10 ⎠
Se M é o ponto de interseção de PQ com a corda AB, então Resposta da questão 61:
a) O volume de um cubo de aresta 3cm é igual a
AB
M é o ponto médio de AB. Daí, AM = MB =
e, assim,
33 = 27cm3 , e o volume de um cubo de aresta 1cm é
2
2
13 = 1cm3 . Logo, como foram retirados 7 cubos do cubo
⎛ AB ⎞
AB AB
⋅
= MQ ⋅ MP ⇔ ⎜
⎟ = 60 ⋅ 20
maior, o resultado pedido é 27 − 7 = 20cm3 .
2
2
⎝ 2 ⎠
⇒
AB
= 22 ⋅ 3 ⋅ 102
2
⇔ AB = 40 3 cm.
Resposta da questão 57:
[C]
b) A área da superfície do sólido corresponde à área da face de
um cubo de aresta 1cm multiplicada por 6 ⋅ 5 = 30, ou seja,
12 ⋅ 30 = 30cm2 .
Resposta da questão 62:
Sabendo que a área total de um octaedro regular é dada por
2a2 3, em que a é a aresta do octaedro, segue que
15
2a2 3 = 36 3 ⇒ a =
6
cm.
2
Portanto, o volume do octaedro é dado por
3
⎛ 6 ⎞
⋅ 2
a3 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
=
= 36cm3 .
3
3
Resposta da questão 63:
[A]
O volume do objeto é dado por
2
⎛ 20 ⎞
π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 10 = 1.000π cm3 .
⎝ 2 ⎠
dado por π⋅ 32 ⋅ 12 ≅ 3 ⋅ 9 ⋅ 12 = 324cm3 .
Portanto, o número aproximado de garrafas utilizadas foi de
1800000
≅ 5.555.
324
Resposta da questão 70:
[B]
Se a área a ser iluminada mede 28,26 m2 e r é o raio da área
circular iluminada, então
28,26
⇒ r ≅ 3 m.
3,14
Portanto, como g = 5 m e r = 3 m, segue que h = 4 m.
π ⋅ r 2 = 28,26 ⇒ r ≅
Resposta da questão 64:
[D]
Se a altura do cilindro mede 2 m = 20dm e o diâmetro
8cm = 0,8 dm, então a capacidade do cilindro é dada por
2
⎛ 0,8 ⎞
3
π ⋅ ⎜
⎟ ⋅ 20 ≅ 3,14 ⋅ 0,16 ⋅ 20 = 10,048 dm ≅ 10 L.
⎝ 2 ⎠
Resposta da questão 65:
[D]
O volume do cilindro menor é π⋅ 22 ⋅ 2 = 24 m3 e o do maior
π⋅ 22 ⋅ 3 = 36 m3. Portanto, como a massa é o produto do
volume pela densidade, segue que:
8900 ⋅ 24 + 2700 ⋅ 36 = 310.800kg = 310,8 ton.
Resposta da questão 66:
[E]
A expressão superfície de revolução garante que a figura
represente a superfície lateral de um cone.
Resposta da questão 67:
[A]
Como o volume de areia é o mesmo, segue que:
1
1
2
2
⋅ π ⋅ rcon
⋅ hcon = π ⋅ rcil
⋅ hcil ⇔ ⋅ (2R)2 ⋅ hcon = R2 ⋅ hcil
3
3
3
⇔ hcon = ⋅ hcil.
4
Resposta da questão 68:
[B]
Sendo a a aresta do cubo, temos:
a3 = 4.18.3
a3 = 216
a=6
Resposta da questão 69:
[B]
O volume de refrigerante em uma garrafa parcialmente cheia é
16