MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Sólidos de
revolução
círculos de centros O e O’ – bases
AA' – geratriz
OO' – eixo
BB’CC’ – seção meridiana
h – altura
Cilindro
Chama-se de cilindro a reunião de todos os segmentos paralelos e congruentes a um segmento de
reta, que tem uma das extremidades contidas num
círculo pertencente a um plano, de forma que todos os
segmentos estejam num mesmo semiespaço. (Assim,
as bases serão círculos paralelos).
Cilindro circular reto
É todo cilindro formado pela rotação completa
de um retângulo em torno de um eixo que contém
um dos lados.
R
O’
A
g
B
h
O
R
2πR
h
R
A
(α)
g=h
B
Fórmulas
(α)
Área lateral (Sl)
Elementos
Sl = 2πRh
Área total (ST)
C’
A’
O’
B’
ST = 2πR(R + h)
EM_V_MAT_030
h
B
O
C
A
Volume (V)
V = πR2 . h
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1
Caso particular
Cone circular reto
Cilindro equilátero
É todo cone formado pela rotação completa de
um triângulo retângulo em torno de um eixo que
contém um dos seus catetos.
É o cilindro reto cuja altura é igual ao diâmetro
da base, assim a seção meridiana é um quadrado.
g
2R
h
g
h
R
h = 2R
Planificação
Cone
g
Dada uma circunferência contida em um plano,
se de um ponto V fora do plano traçarmos segmentos que ligam V a pontos da circunferência, o sólido
formado será um cone.
R
V
(α)
(α)
h
Elementos
g
R
V
g2 = h2 + R2
h
círculo de centro O – base
VA – geratriz (g), se o cone for reto
VO – eixo
VAB – seção meridiana
h – altura
OA – raio da base
2
Fórmulas
Área lateral (Sl)
Sl = R . g
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EM_V_MAT_030
A
O B
Definição do
volume da esfera
Área total (ST)
ST = R(R + g)
anticlépsidra
esfera
Volume (V)
O
d
π R2 . h
V=
3
R
h
R
=
β
α
R
h
+
s
d d Q
P
s
s
R
h
+
d
r
h
S
Cone equilátero
P
É todo cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro
da base; assim, a seção meridiana é um triângulo
equilátero.
SPQ é isósceles:
SP = d
g
PQ = d
Área da seção na esfera (círculo)
s2 = (r2 – d2)
Áreas da seção na anticlépsidra (coroa circular)
r2 – d2 = (r2 – d2)
Áreas iguais Volumes iguais
(Princípios de Cavalieri)
Então:
Vesfera = Vanticlépsidra = Vcilindro – 2Vcone =
R
g = 2R
A planificação da superfície lateral é um semicírculo.
 πr 2 . r 

πr 2 . 2r − 2
 3 


Esfera
Vesfera =
A esfera é o sólido gerado pela rotação completa
de um círculo em torno do seu diâmetro.
R
Q
4 r3
3
Dedução de área da esfera
x
A
EM_V_MAT_030
x
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r+ x
r
3
Cunha esférica
V
x
4
4
3
V = π (r + x ) − πr 3
3
3
4
3
V = π (r + x ) − r 3
3
4
V = π 3r 2x + 3rx2 + x 3
3
V 4
= π 3r 2x + 3rx + x 2
x 3
V =A . x→A =
R
a
Para x = 0
4
A = π 3r 2 + 3r . 0 + 02 = 4 πr 2
3
Volume da cunha
V=
Fórmulas
a 4pR3
.
360° 3
( em graus)
Seção de uma esfera
Área da esfera
r
S = 4πR2
d
R
Volume da esfera
V=
4πR3
3
R = raio da esfera
r = raio da seção
d = distância do centro à seção
r
Partes da esfera
d
Fuso esférico
R2 = d2 + r2
R
Calota esférica
h
R
a
R
SF =
α .
2
4π R α em graus
360°
O plano divide a esfera em dois segmentos
esféricos e a superfície esférica em duas calotas
esféricas.
Área da calota
S=2 R.h
4
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EM_V_MAT_030
Área do fuso
Segmento esférico
Volume do segmento
V=
1
π.h 2 (3R – h)
3
Teorema de Guldin
1. Um cilindro reto com diâmetro da base igual a 6cm é
seccionado por um plano oblíquo a ela, que determina,
no cilindro, alturas entre 2cm e 8cm, como indicado na
figura. O volume resultante é:
``
Solução:
A área da superfície gerada pela rotação completa de uma linha de comprimento l em torno de
um eixo é dada por:
2cm
8cm
eixo
8cm
2cm
8cm
2cm
6cm
l
6cm
xcm
Vcil
π . 3 2 .10
⇒ VF =
2
2
V F = 45πcm3
VF 
2. Pedro e João pretendem descobrir qual o copo cilíndrico
que possui mais volume: o copo 1 com 3cm de raio
e 6cm de altura ou o copo 2 com 6cm de raio e 3cm
de altura. Qual o copo que eles acharam com o maior
volume? Justifique.
S = 2p . l . xcm
onde xcm é a distância do centro de massa da linha
ao eixo.
O volume do sólido gerado pela rotação completa de uma figura plana (superfície) de área S em
torno de um eixo é dada por:
eixo
S
xcm
``
Solução:
Copo 1: V = π . 32. 6 = 54πcm3
Copo 2: V = π . 62. 3 = 108πcm3
Logo, o copo 2 possui o maior volume.
3. Calcule o volume do sólido formado pela rotação de
um triângulo de catetos 15cm e 20cm em torno da
hipotenusa.
``
Solução:
15
x
y
20
V = 2p . S . xcm
EM_V_MAT_030
onde xcm é a distância do centro geométrico (ou de
massa) da superfície ao eixo de rotação.
y 2 = 152 + 202
y = 25
25 . x = 15 . 20
x = 12
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5
h1
``
Solução:
h
r
h2
5
R
O
r2 = 144
π . x 2 . h1 π . x 2 . h2
π . x2
+
⇒ VF =
( h1 + h2 )
3
3
3
π . x2
π . 12 2
VF =
. y ⇒ VF =
. 25
3
3
VF = 1 200 πcm 3
VF =
r2 = 144
r = 12cm
R2 = 52 + r2
4. Rodrigo foi à feira e observou que o caldo-de-cana estava sendo vendido em copos cilíndricos com raio da base
r e altura h por R$1,00, e em copos cônicos com raio da
base r e altura h por R$0,50. Qual tipo de copo é mais
vantajoso para Rodrigo tomar o caldo? Justifique.
``
R2 = 25 + 122
R 2 = 169
R = 13cm
Solução:
h+5=R
2
Copo cilíndrico: V = πr . h
h + 5 = 13
πr 2 . h
Copo cônico: V =
3
Copo cilíndrico = 3 copos cônicos; assim é mais vantajoso
tomar o caldo em um copo cilíndrico.
h=8
S=2 R.h
5. Uma esfera maciça de raio R foi dividida em 12 partes
iguais como na figura. Calcule a área total de uma
dessas partes.
S = 2 . 13 . 8
S = 208 cm2
7.
João cortou uma laranja de formato esférico e com 10cm
de diâmetro, formando uma região circular com 16 cm2.
Qual a distância dessa região ao centro da laranja?
``
Solução:
R
R
2R = 10
R=5
Solução:
A área total será a área do fuso mais a área lateral (dois
semicírculos).
S fuso =
S lateral
2
Sesfera 4 πR
πR
=
=
12
12
3
6
r=4
2
4
πR 2
= 2.
= πR 2
2
Stotal = S fuso + S lateral =
x
5
O
πR 3
+ πR 2
3
4 πR 2
3
6. Calcule a área da menor calota formada por um plano
que secciona uma esfera distando 5cm do centro e
formando uma região de área igual a 144 cm2.
Stotal =
r2 = 16
52 = 42 + x2
x = 3cm
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EM_V_MAT_030
``
1. (Unificado) Um recipiente com a forma de um cilindro
reto, cujo diâmetro da base mede 40cm e altura 100
π cm,
armazena um certo líquido que ocupa 40% de sua capacidade. O volume do líquido contido nesse recipiente
é, em litros, aproximadamente igual a:
a) 16
4. Aumentando-se em 6 unidades o raio de um cilindro,
o seu volume aumenta Y unidades. Se tivéssemos
aumentado em 6 unidades a altura do cilindro inicial, o
seu volume teria aumentado igualmente Y unidades. Se
a altura original é 2, o raio original é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 6π
b) 18
e) 8
c) 20
5. A área total do prisma triangular regular inscrito num
cilindro reto de 10cm de altura e de 25πcm2 de base é:
d) 30
e) 40
2. (Unirio) Considere um cilindro equilátero de raio R. Os
pontos A e B são pontos da secção meridiana do cilindro,
sendo A o ponto médio da geratriz.
a)
A
375
2
cm2
b) 375 3 cm2
2
B
c) 300 3 cm2
d) 375 3 cm2
Se amarrarmos um barbante esticado do ponto A ao
ponto B, sua medida deverá ser:
a) R 5
e) 675 3 cm2
6. A área lateral de um cilindro de revolução é metade da
área da base.
2
b) R 1+ π
c) R 1+ 3π
F
2
r
2
d) R 4 + π
e) 2R 2
EM_V_MAT_030
3. (Rural) Um caminhão pipa carrega 9,42 mil litros d’água.
Para encher uma cisterna cilíndrica com 2 metros de
diâmetro e 3 metros de altura são necessários, no
mínimo:
Se o perímetro de sua secção meridiana é 18m, o
volume vale:
a) 8pm3
a) 10 caminhões.
b) 10pm3
b) 100 caminhões.
c) 12pm3
c) 1 caminhão.
d) 16pm3
d) 2 caminhões.
e) 20pm3
e) 4 caminhões.
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7
7.
Um cilindro reto, com diâmetro de base igual a 6cm, é seccionado por um plano oblíquo a ela, que determina, no cilindro,
alturas entre 2cm e 8cm, como indicado na figura.
11. (F.C.CHAGAS) Dois recipientes cilíndricos têm altura de
40cm e raios da base medindo 10cm e 5cm. O maior
deles contém água até 1/5 de sua capacidade.
8cm
h
2cm
10
6cm
O volume resultante, em cm3, é:
a) 7 3π
b) 30π
Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando
a altura h, de:
a) 32cm
b) 24cm
c) 8 3π
c) 16cm
d) 45π
d) 12cm
e) 10 3π
e) 10cm
8. (Mackenzie) A razão entre a área total e a área lateral
de um cilindro equilátero é:
a)
5
1
2
b) 1
3
c)
2
d) 2
12. (Cesgranrio) Um bloco cilíndrico de volume V deformase quando submetido a uma tração T, conforme indicado
esquematicamente na figura. O bloco deformado, ainda
cilíndrico, está indicado por linhas tracejadas. Nesse
processo, a área da secção reta diminui 10% e o comprimento aumenta 20%.
T
T
e) 3
9. (UFPA) Qual é a razão entre os volumes de um cilindro
de um cubo nele inscrito?
a) 2π
b) V
b) π
c) 1,08V
π
d) 1,20V
2
e) 1,80V
d) π
8
e)
π
4
10. (UFC) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de
20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume desse
cilindro sofrerá aumento de:
8
13. (PUC) Um copo cilíndrico tem 18cm de altura, raio da
base de 2cm e metade do seu volume ocupado por
bebida. Coloca-se no copo uma pedra de gelo que tem
a forma de um cubo de 2cm de aresta. Se o gelo ficar
completamente submerso, o nível de bebida subirá,
aproximadamente:
a) 0,3cm
a) 2%
b) 0,6cm
b) 4%
c) 1,2cm
c) 6%
d) 1,8cm
d) 8%
e) 2,0cm
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EM_V_MAT_030
c)
O volume do bloco deformado é:
a) 0,90V
14. (UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60cm de altura e
base com 20cm de raio sobre uma superfície plana
horizontal, contém água até a altura de 40cm, conforme
indicado na figura.
60cm
{
18. (Unificado) No desenho abaixo, dois reservatórios de
altura h e raio r, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um sendo alimentado por uma
torneira, ambas de mesma vazão.
20cm
R
}
40cm
Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente,
o nível da água sobe 25%. Considerando p igual a 3, a
medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água
é igual a:
a) 10 2
3
b) 10 2
H
H
Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar
completamente cheio, o tempo necessário para que isso
ocorra com o reservatório cônico será de:
a) 2h
b) 1h 30
c) 10 12
c) 1h
3
d) 50min
d) 10 12
15. (FCC) Um cone circular reto tem altura de 8cm e raio da
base medindo 6cm. Qual é, em cm2, sua área lateral?
a) 20p
b) 30p
e) 30min
19. (PUC) Um triângulo equilátero ABC, de lado igual a
2cm, efetua uma revolução em torno da reta que contém
o vértice A e é paralela ao lado BC. O volume assim
gerado é de:
c) 40p
a) 4pcm3
d) 50p
b) 6pcm3
e) 60p
16. (Unificado) A é um ponto não pertencente a um plano
P. O número de retas que contém A e fazem um ângulo
de 45º com P é igual a:
c) 3π 3 cm3
d) 4π 3 cm3
e) 10π 3 cm3
3
20. Planificando-se a superfície lateral de um cone reto,
obtém-se um setor circular de 288° e raio de 10cm,
conforme a figura. O volume desse cone é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
10
e) infinito.
EM_V_MAT_030
R
17. (Unificado) A partir de um triângulo retângulo são criados dois cones de revolução, separadamente, girandose o triângulo ao redor de cada cateto. Sabendo-se
que a hipotenusa mede 3 5 cm e que o volume de
um dos cones é o dobro do volume do outro, calcule
o cateto maior.
10
288o
a) 256pcm3
b) 128pcm3
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9
c) 64pcm3
10 cm
10cm
d) 130pcm3
e) 32pcm3
h
21. (UFPA) Um cone equilátero tem área de base 4pcm2.
Qual sua área lateral?
a) 2pcm
a) 20cm
b) 4pcm
b) 16cm
c) 8pcm
c) 12cm
d) 16pcm
d) 8cm
e) 32pcm
e) 4cm
22. (Fatec) Suponham-se dois cones retos, de modo que a
altura do primeiro é quatro vezes a altura do segundo e
o raio da base do primeiro é a metade do raio da base
do segundo. Se V1 e V2 são, respectivamente, os volumes
do primeiro e do segundo cone:
26. (Unificado) A razão entre os volumes de uma esfera de
raio “R” e um cilindro equilátero de raio “2R’ é:
a) 3/4
b) 2/3
a) V1 = V2
c) 1/2
b) V1 = 2V2
d) 1/6
c) 2V1 = 3V2
e) 1/12
d) 2V1 = 2V2
e) 2V1 = V2
23. (FCC) Num cone reto, o raio da base tem a mesma
medida da altura e a área da base é 36π cm2. O volume
desse cone, em centímetros cúbicos, é:
27. Os raios de uma semiesfera e de um cilindro de revolução são iguais à altura desse cilindro, como mostra
a figura:
a) 72p
b) 56p
c) 48p
Se a área lateral do cilindro mede 12π cm2, então a área
total da semiesfera, em cm2, é igual a:
a) 24p
d) 42p
e) 36p
24. (FCC) Um pedaço de cartolina é formado por um semicírculo de raio 20cm. Com essa cartolina, um menino
constrói um chapéu cônico e o coloca com a base
apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do
chapéu à mesa?
a) 10 3 cm
b) 20p
c) 18p
d) 16p
e) 12p
28. (UFF) Na figura, estão representados três sólidos de
mesma altura h – um cilindro, uma semiesfera e um prisma – cujos volumes são V1, V2 e V3, respectivamente.
c) 20 2
d) 20cm
r
e) 10cm
25. (Unirio) Uma tulipa de chopp tem a forma cônica, como
mostra a figura a seguir. Sabendo-se que sua capacidade
é de 100π ml, a altura h é igual a:
10
r
2r
h
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2r
EM_V_MAT_030
b) 3 10 cm
d) 2π
A relação entre V1, V2 e V3 é:
a) V3 < V2 < V1
e) π
b) V2 < V3 < V1
32. Determine a área do fuso e o volume da cunha de 30º de
uma esfera cujo círculo máximo tem 36πcm2 de área.
c) V1 < V2 < V3
33. (Cesgranrio) Uma laranja pode ser considerada uma
esfera de raio R, composta por 12 gomos exatamente
iguais.
d) V3 < V1 < V2
e) V2 < V1 < V3
29. (UERJ) Uma esfera maciça de metal foi colocada dentro
de uma caixa cúbica de plástico, sem folgas (fig. A) e o
espaço vazio preenchido com água. Uma outra caixa,
igual à primeira, foi preenchida por 64 esferas congruentes maciças e do mesmo metal, sem folga (fig. B), e no
espaço vazio colocou-se água.
VISTA FRONTAL
Fig. A
Fig. A
Fig. B
Sejam VA e VB, respectivamente, os volumes de metal
contidos nos cubos correspondentes às figuras A e
B. Sobre os volumes VA e VB e as suas respectivas
superfícies de contato com a água, SA e SB, pode-se
concluir que:
a) VA > VB e SA > S B
b) VA < VB e SA < S B
c) VA = VB e SA = S B
d) VA = VB e SA < S B
30. Uma esfera de raio 8 é seccionada por um plano, distante
5 do seu centro. O raio da secção é:
a)
11
b)
23
c)
39
d)
47
A superfície total de cada gomo mede:
a) 2R2
b) 4R2
c)
3π 22
RR
4
d) 3R2
4 22
πR
R
3
34. (PUC) Uma esfera de raio R1, um cilindro circular reto
com o raio da base igual a R2 e com altura 2R2 e um
cone reto de base circular com o raio R3 e altura 2R3
têm todos o mesmo volume. Vale, então, que:
e)
a)
3
2R1 =
3
3R 2 = R 3
b) R1 = 3 3R 2 = 3 2R 3
c)
3
2R1 = R 2 =
d)
3
3R1 =
3
3
3R 3
2R 2 = R 3
e) R1 = 3 2R 2 = 3 2R 3
31. A região R da figura está limitada por três semicírculos:
y
35. (UFF) O rebite R é obtido pela rotação, em torno do eixo
E, da região do plano formado por 2 arcos de circunferência centrados em O e O’ e um retângulo, conforme
a figura abaixo:
20mm
EM_V_MAT_030
-2
-1
0
1
2
x
50mm
10mm
20mm
Se R efetua uma volta completa em torno do eixo x, ela
gera um sólido de volume:
a) 12π
R
b) 8π
Determine o volume do rebite.
`
c) 4π
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10mm
eixo E
11
36. Calcule a área do sólido gerado pela revolução do triângulo equilátero (A) (B) (C), de 4m de lado, em torno
da paralela ao lado (B) (C), traçada por (A).
37. Um hexágono regular de 6 3m2 de área sofre uma
rotação completa em torno de uma reta de seu plano
que não o atravessa, passando por um de seus vértices e
formando ângulos iguais com os dois lados que formam
esse vértice. Calcular a área do sólido gerado.
38. Calcular a área do sólido gerado pela revolução de um
hexágono regular de 2m de lado em torno de uma reta
de seu plano, paralela a um de seus lados e distante
4 3m de seu centro.
39. Um quadrado de 2m de lado sofre revolução em torno
de uma reta de seu plano, pertencente a um de seus
vértices e perpendicular à diagonal que chega a esse
vértice. Calcular a área do sólido gerado.
r
8cm
igual a
200
π
m.
A
C
800m
solo
x
O
B (0, 400 ,0)
π
y
Determine o comprimento do menor caminho percorrido
pelo paraquedista para atingir o ponto de pouso B
(0;
400
;0).
π
4. Um cilindro com eixo horizontal de 15m de comprimento
e diâmetro interno de 8m contém álcool. A superfície
livre do álcool determina um retângulo de área 90m2.
Qual o desnível entre essa superfície e a geratriz de
apoio do cilindro?
Sup. do álcool
B
a) 6m
F
A
D
E
Sabe-se que AD e BC são diâmetros paralelos, que E
é o ponto médio do arco AED e que o segmento FE é
perpendicular à base do cilindro. Pede-se a área AEF
limitada pelo barbante, pelo arco AE e pelo segmento FE.
2. O caminho mais curto entre uma formiga (F) e um torrão
de açúcar (T) sobre a superfície de um copo cilíndrico,
já está traçado. Veja a figura.
12
18
R = π cm
b)
7m
(4 − 7 ) m
d) (4 + 7 ) m
e) (4 − 7 ) m ou (4 + 7 ) m
c)
5. Calcule o volume do sólido localizado entre os planos da
figura, sabendo que é parte de um cilindro circular reto
e a base desse cilindro é o circulo contido em a.
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EM_V_MAT_030
C
T
O problema é que a formiga tem, no máximo, 5s para
chegar ao torrão, caso contrário ele fica com uma mosca.
Qual deve ser, então, a velocidade média mínima da
formiga para que ela não perca o seu doce?
3. (UERJ) Um paraquedista está no ponto A situado a
800m do solo e, devido a condições técnicas, é obrigado
a seguir uma trajetória que está sempre na superfície
lateral do cilindro C de revolução, cujo raio r da base é
41. Calcular a área total e o volume do sólido gerado pela
revolução de um círculo de 2dm de raio, em torno de
uma tangente.
1. (Associado) Na figura abaixo, sobre a superfície lateral
de um cilindro reto de altura igual a 10m e raio da base
igual a 2m, estica-se um barbante de A até B.
r
F
40. Calcular o volume gerado pela revolução de um semihexágono regular (A) (B) (C) (D) em torno da diagonal
(A) (D), sabendo que a área do sólido gerado é igual
a 8π 3m2 .
42. Calcular a área e o volume do sólido gerado pela revolução de um retângulo de 3m de base e 4m de altura,
em torno de uma reta de seu plano que passa por um
de seus vértices e que é perpendicular à diagonal que
chega a esse vértice.
60O
2cm
45
D
G
2cm
F
E
C
6. Um cilindro circular reto de raio R e altura h = 2R é
cortado por um plano paralelo ao seu eixo.
A
O volume desse hangar, em m3, é:
a) 320 + π
X
b)
R/2
X
B
16 π
3
+ 320
(
c) 40 8 + 2π
X
Sendo
R
2
2R
X
d)
a distância do eixo ao plano secante, calcule
o volume do menor segmento cilíndrico resultante dessa
secção.
7.
6π
m3 será revestida
Uma chaminé cilíndrica de volume
5
por tijolos de dimensões, em cm, 20 x 10 x 5.
10cm
20cm
)
1 280π
3
(
e) 40 8 + π
)
9. (Fuvest) A uma caixa d’água de forma cúbica, com 1
metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com
4cm de diâmetro e 50m de comprimento. Num certo
instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio.
Solta-se água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor
aproximado da altura da água na caixa no instante em
que o cano ficou cheio?
a) 90cm
b) 92cm
c) 94cm
Considerando a figura como a chaminé vista de cima,
cujo revestimento nos dá ideia de forma hexagonal,
pode-se afirmar que a quantidade aproximada de tijolos
necessária para revesti-la será de:
a) 1 200
b) 2 400
c) 3 600
d) 9 600
e) 98cm
10. (Cesgranrio) Estamos pintando uma caixa d’água cilíndrica, cuja altura é igual ao diâmetro da base. Sabemos
que foram necessários 16 litros de tinta para pintar a tampa (considerada como um disco com o mesmo diâmetro
da base da caixa). Para completar a pintura interna, o
número de litros de tinta a ser ainda gasto será de:
a) 160
e) 12 000
8. (Fafi-BH) Um hangar da aeronáutica tem a forma da
figura a seguir. Considere o polígono ABEF como um
quadrado de lado 4m, BC = 20m e EGF um semicírculo
de diâmetro EF .
EM_V_MAT_030
d) 96cm
b) 64
c) 48
d) 80
e) 96
11. (Fuem–PR) A figura a seguir mostra um prisma de base
hexagonal regular de altura 10cm; o cilindro interior
também tem altura 10cm e raio r = 2cm. O hexágono
tem lado de 4cm.
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13
14. (UFRJ) Mário e Paulo possuem piscinas em suas casas.
Ambas têm a mesma profundidade e bases com o mesmo perímetro. A piscina de Mário é um cilindro circular
reto e a de Paulo é um prisma reto de base quadrada. A
companhia de água da cidade cobra R$1,00 por metro
cúbico de água consumida.
a) Determine qual dos dois pagará mais para encher
de água a sua piscina.
Atendendo a um pedido da família, Mário resolve
duplicar o perímetro da base e a profundidade de
sua piscina, mantendo, porém, a forma circular.
Qual o volume exterior ao cilindro e interior ao prisma?
(
)
a) 360 − 40π cm3
b) 320π cm3
b) Determine quanto Mário pagará pela água para encher a nova piscina, sabendo-se que anteriormente
gastava R$50,00.
c) 80π cm3
(
)
d) 720 − 40π cm3
(
)
e) 240 3 − 40π cm3
12. Seccionando-se dois cilindros circulares retos de mesmo
raio R por um plano a 45°, montamos um sólido com a
forma de um “joelho”, como se mostra na figura.
3R
3R
15. (Unificado) Um salame tem a forma de um cilindro
reto com 40cm de altura e pesa 1kg. Tentando servir
um freguês que queria meio quilo de salame, João
cortou um pedaço, obliquamente, de modo que a
altura do pedaço variava entre 22cm e 26cm. O peso
do pedaço é de:
a) 600g
b) 610g
c) 620g
Seu volume é:
d) 630g
b) 10 πR 3
e) 640g
3
3
c) 3πR
d) 4πR
3
e) 6πR 3
13. Um cilindro equilátero, de raio 3cm, está inscrito num
prisma triangular reto cujas arestas da base estão em
progressão aritmética de razão s, s > 0. Sabendo-se que
a razão entre os volumes do cilindro e do prisma é π ,
podemos afirmar que a área lateral do prisma vale: 4
a) 10cm
a) 144cm2
b) 14cm
b) 12π cm2
c)
c) 24cm2
d)
e)
14
16. Um copo cilíndrico tem 6cm de altura e uma circunferência da base medindo 16cm. Um inseto está do lado
de fora do copo, a 1cm do topo, enquanto, do lado de
dentro, a 5cm do topo, está uma gota de mel. A gota
e o inseto encontram-se em geratrizes do cilindro, que
são simétricas em relações ao eixo do cilindro. A menor
distância que o inseto deve andar para atingir a gota
de mel é:
π
5
5
3
da área lateral do cilindro.
da área lateral do cilindro.
(
d) (
)
89 + 1) cm
65 + 5 cm
e) 4 5 cm
17. (Fatec) A fim de que não haja desperdício de ração e
seus animais estejam sempre bem nutridos, um fazendeiro construiu um recipiente com uma pequena abertura
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EM_V_MAT_030
a) 5πR
3
na parte inferior, que permite a reposição automática da
alimentação, conforme mostra a figura abaixo.
2m
Cilindro
4m
6m
Cone
A capacidade total de armazenagem do recipiente, em
metros cúbicos, é:
a) 8 π +
40
3
b) 24π
Explicite o domínio da função.
20. A geratriz de um cone circular reto forma, com o eixo
desse cone, um ângulo de 45°. Sabendo-se que o perímetro de sua secção meridiana mede 2cm, podemos
afirmar que a área total desse cone vale:
a)
π
c) 28π
d) 48π
e) impossível de ser determinada, pois faltam informações.
18. (UFMG) Um tanque de água tem a forma de um cone
circular reto, com seu vértice apontado para baixo. O raio
do topo é igual a 9m e a altura do tanque é de 27m.
Pode-se afirmar que o volume V da água no tanque,
como função da altura h da água, é:
a) V =
b) V =
c) V =
πh
(
2 − 1 cm2
c) π
(
3 − 1 cm2
(
2 − 1 cm2
(
5 − 1 cm2
d)
π
2
e) π
27
πh3
)
)
)
21. O desenvolvimento da superfície lateral de um cone reto
é um setor circular de raio a e ângulo central igual a 60°.
O volume desse cone é:
a3
6
⋅π
b) π 35 ⋅ a
c)
e)
9
πh3
1
3
3
3
19. (PUC) Considere um cilindro circular reto inscrito em um
cone circular reto com 10cm de raio e 24cm de altura.
Expresse o volume desse cilindro como uma função do
raio da base do cilindro.
πa 3
3
1  a
π 
3  6
3
35
V
V
h
O
EM_V_MAT_030
3
22. As figuras abaixo representam um cone de revolução,
seus elementos e a planificação de sua superfície
lateral.
3
d) V = 3πh
2
)
 a
d) π  
 6
3
e) V = 9πh
3
b) π
a)
h
(2 2 − 2)cm
π
A
O
β
g
α
r
A
Expresse b em função de a.
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15
23. Sejam M e N pontos situados nas geratrizes VMA e
VNB de um cone equilátero, cuja secção meridiana é o
triângulo VBA, como se vê na figura abaixo.
V
V3
6
V2
8
V1
N
M
A
B
Lembrando que a superfície lateral do cone é planificável
e supondo que VM = 8 e VN = 6, então o menor
caminho de M até N mede:
a) 10
b) 14
c)
d)
21
Sabe-se que cada um dos cilindros tem a altura igual ao
raio de sua base. Determine o raio da base do cone.
27. (UERJ) Uma linha poligonal fechada de três lados limita
um triângulo de perímetro . Se ela gira em torno de um
dos seus lados, gera uma superfície de área S igual ao
produto de pelo comprimento da circunferência descrita pelo baricentro G da poligonal. A figura abaixo mostra
a linha (ABCA) que dá uma volta em torno de BC.
e
2
19
C
2
e) 7 2
24. Considere o triângulo ABC, retângulo em A. Sejam Va,
Vb, e Vc os volumes dos sólidos de revolução gerados

 



pelo triângulo ao girar em torno das retas BC , AC e AB ,
respectivamente. Prove que:
1
( Va )
2
=
1
( Vb )
2
+
1
( Vc )
2
25. O volume gerado pela revolução de um hexágono regular
de lado a em torno de um de seus lados é igual a:
a)
b)
c)
d)
9π
2
7π
2
5ρ
2
3π
a
3
a
3
a
3cm
G
4cm
a) Esboce a figura gerada e indique o cálculo da área
de sua superfície.
b) Calcule a distância r do baricentro G dessa linha ao
eixo de rotação.
28. (UFRJ) Dois cones circulares retos têm bases tangentes
e situadas no mesmo plano, como mostra a figura. Sabese que ambos têm o mesmo volume e que a reta que
suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice
do outro.
3
a
3
2
e) 3πa 3
26. (UFF) A figura representa um cone de volume 36π cm3,
contendo 3 cilindros cujos volumes V1, V2 e V3 estão, nessa ordem, em progressão geométrica de razão 1/27.
s
Sendo r o menor dentre os raios das bases, s o maior e
r
x = , determine x.
s
16
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EM_V_MAT_030
r
29. Calcular o volume de um cone, conhecendo a área lateral
S e distância d do centro da base a uma geratriz.
30. (UFRJ) Uma certa quantidade de material radioativo é
compactado, tomando a forma de um cubo de aresta
igual a uma unidade. Pretende-se revesti-lo com uma
camada isolante, de espessura e formato tais que cada
ponto da superfície externa do sólido a ser obtido diste
exatamente uma unidade do cubo radioativo. Determine
o volume ocupado pelo isolante.
34. Na figura abaixo, há um círculo de raio R e uma reta (e)
que contém o seu centro — ambos do mesmo plano.
Fez-se uma rotação de uma volta desse círculo ao redor
da reta (e). O menor arco AB nele assinalado descreveu
a superfície de uma calota esférica, cuja área pode ser
calculada mediante a fórmula 2πRm, sendo m a projeção
ortogonal do arco AB sobre a reta (e).
e B
31. (UFRJ) Ping Oin recolheu 4,5m3 de neve para construir
um grande boneco de 3m de altura, em comemoração
à chegada do verão no Polo Sul.
O boneco será composto por uma cabeça e um
corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o
corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura
a seguir.
Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin
aproximou π por 3.
m (medida da
projeção
ortogonal de
AB sobre e)
A
O
R
c
a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo original, em função de R e m.
b) Demonstre que a área da calota esférica, gerada
pelo arco AB, é equivalente à área plana, limitada
por uma circunferência de círculo cujo raio tem a
mesma medida da corda AB.
35. Uma esfera de raio R e um cone de raio R e altura 2R
estão sobre o mesmo plano α. Calcule a distância de α,
a que se deve passar um plano β // α, de modo que se
obtenham secções equivalentes no cone e na esfera.
R
2
R
b) 2
3
a) 3
Calcule, usando a aproximação considerada, os raios
das duas esferas.
32. A superfície de uma esfera pode ser calculada por meio da
3
fórmula: 4. π .R2, onde R é o raio da esfera. Sabe-se que 4
1
da superfície do planeta Terra são cobertos por água e 3
da superfície restante é coberto por desertos. Considere
o planeta Terra esférico, com seu raio de 6 400km e use
π igual a 3.
R
5
R
2
36. Uma esfera é cortada por dois planos paralelos, afastados de 9cm. As intersecções dos planos com a esfera
são círculos de raios iguais a 3 6 cm e 9cm. A superfície
da esfera, em cm2, é:
d) 5
a) 360π
A área dos desertos, em milhões de quilômetros
quadrados, é igual a:
a) 122,88
c) 240π
b) 81,92
d) 180π
c) 61,44
e) 90π
d) 40,96
EM_V_MAT_030
c) 2
33. Uma pessoa resolveu jogar boliche numa pista de gelo.
Em certa jogada, devido ao peso, a bola afundou parcialmente. Ao retirá-la, o jogador verificou que ela havia
deixado um buraco com 12cm de diâmetro e 2cm de
profundidade. Qual o volume da bola?
b) 270π
37. Três esferas de raio “r” se tangenciam e tangenciam um
plano “α”. Uma quarta esfera de mesmo raio é colocada
sobre as outras três, tangenciando-as externamente. A
distância do centro dessa quarta esfera ao plano “α” é:
3r
2
3
6 r
b)
3
a)
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17
c)
r( 6 + 3)
2
d)
r(2 6 + 3)
3
41. Em uma pirâmide de base quadrada, as faces laterais
são triângulos equiláteros e todas as oito arestas são
iguais a 1.
a) Calcule a altura e o volume da pirâmide.
r( 2 + 3)
2
38. Que fração da área da Terra pode ser vista por um
observador situado a 20km do solo? Suponha a Terra
esférica com raio 6 300km.
e)
1
315
b) 1
628
1
c) 632
1
a)
d)
e)
b) Mostre que a esfera centrada no centro da base
da pirâmide e que tangencia as arestas da base,
também tangencia as arestas laterais.
c) Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com
cada face lateral da pirâmide.
42. Um trapézio retângulo de altura h tem bases respectivamente iguais a 2h e h. Calcular o volume e a área do
sólido gerado pela revolução do trapézio em torno do
lado oblíquo às bases.
43. Calcular o volume e a área do sólido gerado pela revolução de um triângulo de lados respectivamente iguais
a 10m, 17m e 21m, em torno do seu maior lado.
6 280
1
6 320
39. Uma calota esférica de 5m de altura é equivalente a um
fuso de 45º, pertencente a mesma esfera. Calcular o
volume da esfera.
44. De um ponto (M) exterior a um círculo de 4,5m de raio,
traça-se uma tangente MA de comprimento igual ao
dobro da distância de (M) à circunferência do círculo.
Calcular a área e o volume do sólido gerado pela revolução do triângulo: MAO – (O) é o centro do círculo
dado – em torno do segmento MO.
45. Um paralelogramo (A) (B) (C) (D), de área S, sofre rotação completa em torno de uma reta de seu plano, que
dista x de seu vértice (A) e y de seu vértice (C). Calcular
o volume do sólido gerado nessa revolução.
40. Um copinho de sorvete, em forma de cone, tem 10cm
de profundidade e 4cm de diâmetro no topo.
46. Um quadrado de 2m de lado, sofre uma rotação parcial
em torno de uma reta de seu plano, distante 5m de
seu centro, gerando um sólido de 40m3 de volume.
Determinar a amplitude da rotação desenvolvida pelo
quadrado.
47. A que distância de um dos lados de um quadrado de
4m de lado se deve traçar uma reta – coplanar com o
quadrado – para que o volume do sólido gerado pela
revolução do quadrado em torno da reta seja igual a
128pm3.
b) o sorvete não transborda.
c) os dados são insuficientes.
d) os dados são incompatíveis.
18
49. Dado um quadrado ABCD de 8cm2 de área, considere
os quatro triângulos equiláteros, exteriores ao quadrado
e construídos sobre seus lados, e calcule o volume do
sólido gerado pela revolução da figura em torno da reta
formada pelos vértices R e S dos triângulos equiláteros
ABR e BCS, considerados.
50. Maria queria saber o volume de seu bambolê. Enrolou
um barbante e viu que o diâmetro da circunferência
formada era de 3cm. Se a distância do centro da circun-
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EM_V_MAT_030
São colocadas no copinho duas conchas semiesféricas de sorvete. Cada concha tem 4cm de
diâmetro. Admita que o sorvete derreta para dentro
do copinho.
Podemos, assim, afirmar que:
a) o sorvete transborda.
48. Calcular o volume gerado pela revolução da figura interior a um quadrado de 8cm2 de área, e exterior ao círculo
inscrito no quadrado, em torno da reta pertencente a
um dos vértices do quadrado e paralela à diagonal que
não contém esse vértice.
ferência formada pelo barbante ao centro do bambolê é
de 48,5cm, qual o valor encontrado por Maria?
EM_V_MAT_030
51. São dados um triângulo equilátero ABC, de 18 3 cm
de perímetro, o círculo a ele cinscunscrito e a tangente
ao círculo, tendo por contato com o círculo o ponto A’,
diametralmente oposto ao vértice A. Calcule as áreas S1 e
S2 das áreas geradas na revolução do círculo em torno da
tangente, respectivamente, pelos arcos BA’C e BAC.
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19
16. E
17. 6cm
2. B
3. C
4. C
5. B
6. D
7.
D
8. C
9. C
10. D
11. A
12. C
13. B
14. D
15. E
20
18. D
19. A
20. B
21. C
22. A
23. A
24. A
25. C
26. E
27. E
28. E
29. D
30. C
31. B
32. 12πcm2 e 24πcm3
33. E
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EM_V_MAT_030
1. A
34. A
23. A
35. 11 000πmm3
24. Demonstração.
36. 36π 3m2
25. A
37. 32π 3m2
26. 3cm
38. 96π 3m2
27.
2
39. 16π 2m
40. 64πm3
5
41. St = 16π2dm2 ; V = 16π2dm3
4
42. S = 70πm2 ; V = 60πm3
3
5π 2
m
2
2. 2m/s
4
2
a) S = 2π.l.x cm = 2π.(5 + 4). 2 = 36πcm
1.
b)
3. 200 17 m
5 −1
2
Sd
29. V =
3
13
30. π + 6 un. de volume
3
31. Er = 0,5m
28. x =
4. E
5.
3πcm3
6.
 4π − 3 3R 3 


6


7.
B
32. D
8. E
9. C
33.
10. D
4 000πm
a) AB = 2Rm
12. D
b) AB2== 2Rm
2Rm
13. A
S = 2πRm ... S = π(2Rm)
14.
S = πAB2=que2Rm
é a área do círculo cujo raio mede AB. = 2Rm
a) Mário
35. C
b) R$400,00
15. A
36. A
16. A
37. D
17. B
38. C
18. A
EM_V_MAT_030
20. B
3
3
34.
11. E
19. V =
4
cm
3
39.
12πR (10 − R )cm3 Dom (V) = { RR / 0R 10}
5
32 000
2
21. E
22. b = 2πsena
40. B
3
πm
3
41.
a) H =
2
2
, V=
2
6
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21
b) Basta mostrar que à distância do centro às arestas
laterais é igual à distância do centro às arestas da
base, isto é, igual à metade da aresta da pirâmide.
3
6
7
42. V = πh3 2; S = 4πh2 2
6
43. V = 488πm3 ; S = 216πm2
c)
189π 2
162π 3
m; V=
m
5
5
45. πS( x + y )
44. S =
46. 2rad
47. 2m
3
48. 8π( 4 − π )cm
49. 32π(2 + 3 )cm3
2
50. 873π cm3
4
51. S1 = 24π(2π − 3 3 )cm2
22
EM_V_MAT_030
S2 = 24π( 4π + 3 3 )cm2
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EM_V_MAT_030
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