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Referência: Sears e Zemansky – Física I – Mecânica
Capítulo 7: Energia Potencial e Conservação da Energia
Resumo: Profas. Bárbara Winiarski Diesel Novaes
1. INTRODUÇÃO
Neste capítulo estudaremos o conceito de energia potencial, que é a energia associada com a
posição da partícula e não com o seu movimento. Durante a queda de um objeto, nenhuma energia é
adicionada ao sistema objeto-Terra durante sua queda, porém uma energia armazenada é transformada
de uma forma (energia potencial) para outra forma (energia cinética) durante sua queda. Outro tipo de
energia potencial é a associada a molas e também a associada a posição relativa entre cargas elétricas.
Em alguns casos a soma da energia potencial com a energia cinética, que fornece a energia
mecânica total de um sistema, permanece constante durante o movimento do sistema. Isso nos conduzirá a
uma formulação geral da lei da conservação da energia, um dos princípios mais fundamentais e
abrangentes de todas as ciências.
2. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
O trabalho realizado por uma força gravitacional constante sobre uma partícula é representado em
termos da energia potencial U = m.g . y por:
Wgrav = m.g . y1 − m.g . y 2 = U 1 − U 2 = −(U 2 − U 1 ) = − ∆U
2.1 Conservação da Energia Mecânica (somente forças gravitacionais)
Suponha que o peso seja a única força atuando sobre o corpo, então um corpo cai livremente sem
resistência do ar e pode se mover ou para cima ou para baixo. O teorema do trabalho-energia afirma que o
trabalho total realizado sobre o corpo é igual à variação da energia cinética do corpo; Wtot = ∆K = K 2 − K1
Como a gravidade é a única força atuando sobre o corpo, então Wtot = Wgrav = − ∆U = U 1 − U 2
Ou seja, ∆K = − ∆U , a qual pode ser escrita como:
K1 + U 1 = K 2 + U 2 (se somente a gravidade realiza trabalho)
ou
1
1
2
2
.m.v1 + m.g . y1 = .m.v2 + m.g . y 2 (se somente a gravidade realiza trabalho)
2
2
A soma K + U = E é chamada de energia mecânica total do sistema.
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E = K + U = constante (se somente a gravidade realiza trabalho)
Quando uma grandeza possui sempre o mesmo valor, dizemos que ela é uma grandeza
conservada. Quando somente a gravidade realiza trabalho, a energia mecânica total é constante, ou seja,
ela é conservativa. Esse é o nosso primeiro exemplo da conservação da energia mecânica.
Exercício 1: Altura de uma bola de beisebol usando a conservação da energia. Você arremessa uma
bola de beisebol de 0,145 kg verticalmente de baixo para cima, fornecendo-lhe uma velocidade inicial de
módulo igual a 20,0 m/s. Usando a conservação da energia, calcule a altura máxima que ela atinge supondo
que a resistência do ar seja desprezível. (y=20,4m)
2.2 Efeito de outras forças
Quando além da força gravitacional, outras forças realizam trabalho sobre uma partícula, o trabalho
realizado pela resultante de outras forças W outra é igual à variação da energia mecânica total do sistema
(soma da energia cinética com a energia potencial):
K1 + U 1 + Woutra = K 2 + U 2 (se outras forças além da gravidade realizam trabalho)
ou
1
1
2
2
.m.v1 + m.g . y1 + Woutra = .m.v2 + m.g . y 2 (se outras forças além da gravidade realizam trabalho)
2
2
O significado das equações anteriores é o seguinte: o trabalho total realizado por outras forças além
da gravidade é igual à variação da energia mecânica total E = K + U do sistema, onde U é a energia
potencial gravitacional. Quando Woutra é positivo, E aumenta, e K1 + U 1 < K 2 + U 2 . Quando Woutra é
negativo, E diminui. No caso particular em que nenhuma força além da gravidade atua sobre o corpo,
Woutra = 0 e a energia mecânica total do sistema é constante.
Exercício 2: Trabalho e Energia no arremesso de uma bola de beisebol. No exercício 1, suponha que
sua mão se desloque 0,50m para cima quando você está arremessando a bola, o que deixa sua mão com
uma velocidade inicial de 20,0m/s. Novamente suponha que a resistência do ar seja desprezível. a)
Suponha que sua mão exerça uma força constante sobre a bola,ache o módulo dessa força. b) Ache a
velocidade da bola quando ela está a uma altura de 15,0m acima da altura do ponto inicial onde ela deixou
sua mão. (a) 29,7J; (b) +/-10m/s
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Exercício 3: Cálculo da velocidade escalar em um círculo vertical. Tobias pratica skate se deslocando
para baixo em uma rampa circular em um playground. Considerando Tobias juntamente com sua prancha
de skate como uma partícula, seu centro se move ao longo de um quarto de círculo de raio R=3,00m (figura
7.7). A massa total de Tobias juntamente com sua prancha de skate é igual a 25,0kg. Ele parte do repouso,
e não existe nenhum atrito. a) Calcule sua velocidade na parte inferior da rampa. b) Calcule a força normal
que atua sobre ele na parte inferior da curva. Resp: a)7,67m/s; b) 735N
Exercício 4: Um círculo com atrito. No exercício 3, suponha que a rampa possua atrito e que a velocidade
de Tobias na base da rampa seja igual a 6m/s. Qual é o trabalho realizado pela força de atrito sobre ele?
Use R=3,00m. Resposta: -285J
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3. ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
O trabalho realizado por uma mola alongada ou comprimida que exerce uma força
Fx = − k .x sobre
uma partícula, sendo x a deformação da mola comprimida ou dilatada e k a constante da mola, é
representado em termos da energia potencial
Wel =
1
U = .k .x 2 :
2
1
1
2
2
.k .x1 − .k .x2 = U 1 − U 2 = − ∆U (trabalho realizado pela mola)
2
2
Quando alongamos ainda mais a mola que já está alongada, como na figura 7.10b, W el é negativo, e
U aumenta; uma quantidade maior de energia potencial elástica é armazenada na mola. Quando a mola
comprimida se relaxa, como na figura 7.10c, x diminui, W el é positivo e U diminui; a mola perde energia
potencial elástica.Valores negativos de x referem-se à compressão da mola. Porém como indicado na figura
7.11, U é sempre positivo tanto para valores de x positivos quanto negativos. Quanto maior for o valor da
compressão ou do alongamento da mola, maior é o valor da sua energia elástica.
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O teorema do trabalho-energia afirma que o trabalho total é igual a variação da energia cinética
Wtot = ∆K = K 2 − K1 , qualquer que seja o tipo de força atuante sobre o corpo. Quando a força elástica é a
única força que atua sobre o corpo, então Wtot = Wel = − ∆U = U 1 − U 2 . O teorema do trabalho-energia
permite escrever ∆K = − ∆U :
K1 + U 1 = K 2 + U 2 (se a força elástica é a única que realiza trabalho)
ou
1
1
1
1
2
2
2
2
.m.v1 + .k .x1 = .m.v2 + .k .x2 (se a força elástica é a única que realiza trabalho)
2
2
2
2
Neste caso a energia mecânica total E=K+U (a soma da energia cinética com a energia potencia) se
conserva.
Quando além da força elástica outras forças realizam trabalho sobre uma partícula, o trabalho
realizado W outra pela resultante de outras forças é igual à variação da energia mecânica total do sistema
(soma da energia cinética com a energia potencial):
K1 + U 1 + Woutra = K 2 + U 2
ou
1
1
1
1
2
2
2
2
.m.v1 + .k .x1 + Woutra = .m.v2 + .k .x2
2
2
2
2
SITUAÇÕES COM ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL E ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
Pode ocorrer simultaneamente em um sistema, a variação da energia potencial elástica e da
energia potencial gravitacional. Por exemplo, no caso de um corpo preso na extremidade de uma mola
pendurada verticalmente. O enunciado mais geral da relação entre a energia cinética, a energia potencial e
o trabalho realizado por outras forças é dado por:
K1 + U grav,1 + U el ,1 + Woutra = K 2 + U grav, 2 + U el , 2
Ou seja, o trabalho realizado por todas as forças além das forças gravitacionais e das forças
elásticas é igual à variação da energia total do sistema E=K+U, onde U é a soma da energia potencial
gravitacional com a energia potencial elástica.
Exercício 5: Movimento com energia potencial elástica. A figura 7.12 mostra um cavaleiro com massa
m=0,200kg em repouso sobre um trilho de ar sem atrito, ligado a uma mola cuja constante elástica é dada
por k=5 N/m. Você puxa o cavaleiro fazendo a mola se alongar 0,1m e a seguir o liberta sem velocidade
inicial (figura 7.12b). O cavaleiro começa a se mover retornando para sua posição inicial (x=0). Qual é o
componente x da sua velocidade no ponto x=0,08m. Resposta: v2=-0,3m/s.
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Exercício 6: Movimento com energia potencial elástica e trabalho realizado por outras forças. Para o
exercício 5, suponha que o cavaleiro esteja em repouso na posição inicial x=0, quando a mola ainda não
está deformada. Aplicamos então sobre o cavaleiro uma força F constante no sentido +x com módulo igual
a 0,610N. Qual a velocidade do cavaleiro no ponto x=0,100m. Resposta v2=0,6m/s
Exercício 7: Movimento com força gravitacional, elástica e de atrito. Em um projeto com um cenário
para calcular o “pior caso”, um elevador de 2000kg com o cabo quebrado cai a 25m/s sobre a mola de
amortecimento no fundo do poço. A mola é projetada para fazer o elevador parar quando ela sofre uma
compressão de 3m (figura 7.13). Durante o movimento, uma braçadeira de segurança exerce sobre o
elevador uma força de atrito constante igual a 17000N. Como consultor do projeto, você foi solicitado para
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calcular a constante da mola que deveria ser usada. Resposta: k=1,41.10 N/m
4. Forças Conservativas e Forças não conservativas
Uma força é conservativa quando a relação trabalho-energia cinética é completamente reversível,
isto é, quando ela é capaz de converter energia cinética em potencial e de fazer a conversão inversa. Outra
característica importante é que é que quando um corpo segue várias trajetórias para ir de um ponto 1 a um
ponto 2, a força conservativa realiza sempre o mesmo trabalho sobre o corpo em qualquer uma dessas
trajetórias (Figura 7.14). Logo, se um corpo permanece próximo da superfície terrestre, a força gravitacional
m.g é independente da altura, e o trabalho realizado por esta força depende somente da variação da altura.
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Quando um corpo se move ao longo de uma trajetória fechada, com o ponto final coincidindo com o ponto
inicial, o trabalho realizado pela força gravitacional é sempre igual a zero.
A força que não é conservativa denomina-se força não conservativa. Por exemplo, quando você
joga uma bola de baixo para cima no ar, a resistência do ar realiza um trabalho negativo na subida e na
descida da bola. A bola volta para a sua mão com velocidade e energia cinética menores do que a
velocidade e a energia cinética no momento em que você lançou a bola, e não existe nenhum processo
capaz de recuperar a energia cinética perdida. O trabalho realizado por uma força não conservativa não
pode ser representado por nenhuma função que forneça uma energia potencial. Algumas forças não
conservativas, como a força de atrito cinético ou a força de resistência do fluido, produzem uma perda ou
dissipação de energia mecânica; esse tipo de força denomina-se força dissipativas. Existem também forças
não conservativas que produzem um aumento da energia mecânica. Os fragmentos das explosões de fogos
de artifício se espalham com energias cinéticas elevadas por causa das reações químicas da pólvora com o
oxigênio do ar. As forças oriundas dessas reações não são conservativas, visto que o processo não é
reversível. Imagine a volta espontânea dos fragmentos das explosões para reconstruir os fogos de artifício
queimados!
Exercício 7: O trabalho realizado pela força de atrito depende da trajetória. Você deseja mudar a arrumação
de seus móveis e desloca um sofá de 40kg por uma distância de 2,5m através da sala (figura 7.15).
Contudo,a trajetória retilínea é bloqueada por uma mesa que você deseja deslocar. Em vez disso, você
desloca o sofá ao longo de uma trajetória com dois trechos ortogonais, um trecho com comprimento 2m e o
outro com 1,5m de comprimento. Em comparação com o trabalho que seria realizado na trajetória retilínea,
qual é o trabalho excedente que você deve realizar para deslocar o sofá ao longo da trajetória com os dois
trechos ortogonais? O coeficiente de atrito cinético é 0,200. (resposta: 78J)
LEI DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
O trabalho realizado por uma força não conservativa se manifesta através da variação da energia
interna de corpos . A energia interna de um corpo aumenta quando sua temperatura aumenta; sua energia
interna diminui quando sua temperatura diminui.
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Para entender o significado da energia interna, imagine um bloco deslizando sobre uma superfície
rugosa. O trabalho realizado sobre o bloco pela força de atrito é negativo, e a variação da energia interna do
bloco e da superfície é positiva (o bloco e a superfície se aquecem). Experiências mostram que a variação
da energia interna é exatamente igual ao módulo do trabalho realizado pela força de atrito. Em outras
palavras:
∆U int = −Woutra
onde ∆U int é a variação da energia interna
Concluímos que permanece sempre constante a soma total da variação da energia cinética com a
variação da energia potencial mais a variação da energia interna:
∆K + ∆U + ∆U int = 0
Esse resultado notável é uma forma geral da lei da conservação da energia. Em um dado processo,
podem ocorrer variações da energia cinética, da energia potencial e da energia interna do sistema.
Contudo, a soma dessas variações é sempre igual a zero. Havendo uma diminuição de uma dessas formas
de energia, ocorrerá aumento de outra. A energia nunca pode ser criada nem destruída; ela pode
apenas mudar de uma forma para outra.
Exercício 8: Trabalho realizado pelo atrito. No exercício 4, Tobias praticava skate descendo uma rampa
curva. Ele começa com energia cinética zero e energia potencial igual a 735J, e na base ele possui 450J de
energia cinética e energia potencial igual a zero. Qual a variação de energia interna do sistema? Resposta:
∆U int = +285J
7.5 Força e Energia Potencial
Para um movimento retilíneo, uma força conservativa Fx(x) é obtida da energia potencial U(x)
através derivada da energia potencial em relação a sua posição:
Fx ( x) = −
dU ( x)
dx
Exercício 9: Força elétrica e sua energia potencial. Uma partícula com carga elétrica é mantida em repouso
no ponto x=0, enquanto uma segunda partícula com a mesma carga pode se mover livremente ao longo do
sentido positivo do eixo Ox. A energia potencial do sistema é U(x) = C/x, onde C é uma constante positiva
que depende do módulo das cargas. Deduza em função da posição uma expressão para a componente x
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da força que atua sobre a carga que se move. Resposta: Fx=C/x