Como reinventar a Matemática na sala
de aula?
Primeira Edição do Mestrado em Matemática para Professores
Seminário
José Manuel Cascalho
Ricardo Cunha Teixeira
Departamento de Ciências da Educação
Universidade dos Açores
Departamento de Matemática
Universidade dos Açores
Com a colaboração de Nuno Inácio, EBS Tomás de Borba, Angra do Heroı́smo
Ciclo de seminários “Ensinar e aprender Matemática: diálogos e conjunções numa
perspectiva interdisciplinar”
9 de março de 2012
A matemática na sala de aula
A aprendizagem da matemática
Ole Skovsmose apresenta a seguinte descrição de uma aula de matemática
observada pelo investigador inglês Tony Cotton (1998):
[Ele] notou que a aula de matemática é dividida em duas partes: primeiro,
o professor apresenta algumas ideias e técnicas matemáticas e, depois, os
alunos trabalham com exercı́cios seleccionados.
[. . . ] Observou que existem variações do mesmo padrão: há desde o tipo
de aula em que o professor ocupa a maior parte do tempo com exposição
até aquela em que o aluno fica a maior parte do tempo envolvido com
resolução de exercı́cios.
[. . . ] Geralmente, o livro didáctico apresenta as condições da prática de
sala de aula. Os exercı́cios são formulados por uma autoridade externa à
sala de aula.
Skovsmose, Cenários para investigação
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2
A matemática na sala de aula
Isso significa que a justificação da relevância dos exercı́cios não é parte da
aula de matemática em si mesma. Além disso, a premissa central do
paradigma do exercı́cio é que existe uma, e somente uma, resposta
correcta.
Skovsmose, Cenários para investigação
Segundo Gravemeijer:
O problema com o modelo transmissivo (centrado no professor) é que, em
geral, a matemática ensinada dessa forma não faz sentido para os alunos.
A matemática trabalhada na escola deve manter-se dentro de um contexto
relacionado com o real (Freudenthal).
Este contexto real é, na verdade, um ponto de partida para a construção
de modelos.
Estes modelos são utilizados na interpretação e participam na construção
de uma linguagem matemática que produz uma nova realidade.
Gravemeijer, Criar oportunidades para reinventar a matemática
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A matemática na sala de aula
Propostas para mudar
Na sala de aula, o professor (Gravemeijer, 1999):
Planeia/escolhe actividades e ferramentas adequadas (percurso
hipotético de aprendizagem);
Estabelece uma cultura de “inquirição”: E se. . . ? ;
Estabelece conexões entre as convenções e a prática de matemática –
como re-inventamos novos conceitos e ferramentas? (modelação).
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4
A matemática na sala de aula
Propostas para mudar
Mas no contexto da organização de aprendizagens há que considerar
(comunidade de práticas):
Contrato didáctico;
Estimular o conhecimento do que os alunos sabem, o que têm de
saber e como vão aprender (metacognição);
Promover a discussão em torno das aprendizagens (questões
problemáticas, projectos de investigação);
Promover a autonomia da aprendizagem (Kamii, 1986).
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5
A matemática na sala de aula
Objectivos desta apresentação
Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
(inquirição, conexões, percurso hipotético de aprendizagem);
Perceber o papel da modelação matemática no processo de
aprendizagem (resolução de problemas);
Discutir a organização das aprendizagens na sala de aula
(autonomia, metacognição, comunidade de práticas).
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
Objectivos desta apresentação
Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
(inquirição, conexões, percurso hipotético de aprendizagem);
• Perceber o papel da modelação matemática no processo de
aprendizagem (resolução de problemas);
• Discutir a organização das aprendizagens na sala de aula
(autonomia, metacognição, comunidade de práticas).
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
Seno, cosseno e tangente. . .
O que diz o novo Programa de Matemática do Ensino Básico (2007):
Introdução da noção do seno, cosseno e tangente como razões
trigonométricas de um ângulo agudo de um triângulo rectângulo (3o ciclo).
Propor a determinação das razões trigonométricas:
por construção geométrica;
recorrendo à calculadora;
conhecida uma razão trigonométrica do mesmo ângulo.
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
E se. . .
. . . procurássemos na história como surgiram alguns destes conceitos?
. . . adaptássemos alguma dessas ideias?
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
História: a altura de Tales de Mileto
Grande
Pirâmide de
Queóps
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
História: a altura de Tales de Mileto
[. . . ] É considerado o fundador da filosofia e da ciência. Falamos de Tales
de Mileto (624–547 a. C.), é claro. Quem mais poderia ser? Pois esse
homem, um dia, em viagem pelo Egipto, ficou surpreendido com a altura
da Grande Pirâmide de Queóps. Pensou numa maneira de a medir sem
sair do chão.
[. . . ] Notou que a razão entre a altura da pirâmide e a sua sombra era a
mesma que a razão entre a sua própria altura e a da sua sombra. Mediu
as sombras, fez as contas e chegou à conclusão de que a pirâmide media
85 vezes a sua altura. Foi um feito que surpreendeu os seus
contemporâneos e que ainda hoje é recordado.
[. . . ] Sabemos hoje que a pirâmide de Queóps mede 147 metros.
De onde concluı́mos que Tales media 1,73 metros. Nada mais simples!
Nuno Crato, Passeio Aleatório
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
Semelhança de triângulos
Dois triângulos dizem-se semelhantes se os três ângulos correspondentes
forem geometricamente iguais.
Em triângulos semelhantes, a ângulos geometricamente iguais opõem-se
lados de comprimentos proporcionais.
Exemplo de aplicação: Observe a figura e determine x.
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
Seno, cosseno e tangente
Observe a figura:
Os triângulos [ADE ], [ABC ] e [AFG ] são semelhantes.
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
Seno, cosseno e tangente
Relativamente ao ângulo α, tem-se:
A razão entre os comprimentos do
cateto oposto e da hipotenusa
mantém-se constante. Esta constante
tem a designação de seno de α e
representa-se por sen α (ou por sin α).
DE
BC
FG
=
=
= sen α
AE
AC
AG
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
Seno, cosseno e tangente
A razão entre os comprimentos do
cateto adjacente e da hipotenusa
mantém-se constante. Esta constante
tem a designação de cosseno de α e
representa-se por cos α.
AD
AB
AF
=
=
= cos α
AE
AC
AG
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
Seno, cosseno e tangente
A razão entre os comprimentos do
cateto oposto e do cateto adjacente
mantém-se constante. Esta constante
tem a designação de tangente de α e
representa-se por tg α (ou por tan α).
DE
BC
FG
=
=
= tg α
AD
AB
AF
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
E se. . .
Medir a
altura
do edifício
Como resolver
o problema?
Desafio:
Como fez Tales
de Mileto
História: Discussão
Escolher proposta(s):
- Mais eficiente;
- Menor erro;
-...
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Experimentação:
-Cenário Experimental
dentro e fora da sala;
-Geogebra;
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
E se. . .
Medir a
altura
do edifício
Como resolver
o problema?
4IVGYVWS LMTSX¬XMGS
HI ETVIRHM^EKIQ
Desafio:
Como fez Tales
de Mileto
História: Discussão
Escolher proposta(s):
- Mais eficiente;
- Menor erro;
-...
1SHIPEª¦S
Experimentação:
-Cenário Experimental
dentro e fora da sala;
-Geogebra;
-RZIWXMKEª¦S VIWSPYª¦S HI TVSFPIQEW
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
E se. . .
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
E se. . .
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Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
E se. . .
O teodolito é um instrumento óptico de medida utilizado na topografia
para determinar medidas de ângulos.
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Perceber o papel da modelação matemática
Objectivos desta apresentação
• Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
(inquirição, conexões, percurso hipotético de aprendizagem);
Perceber o papel da modelação matemática no processo de
aprendizagem (resolução de problemas);
• Discutir a organização das aprendizagens na sala de aula
(autonomia, metacognição, comunidade de práticas).
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Perceber o papel da modelação matemática
O processo de modelação matemática
O papel da modelação matemática, tanto nos currı́culos portugueses como
nos internacionais, tem vindo a merecer uma atenção crescente.
O processo de modelação constitui uma forma privilegiada para explorar a
relação da Matemática com a realidade que nos rodeia. Apoiado nas
tecnologias da informação e comunicação, constitui, sem dúvida, um tipo
de experiência de aprendizagem propı́cia à introdução e consolidação de
numerosos assuntos e temas matemáticos.
O modo como a relação matemática-realidade é encarada suscita tomadas
de posição distintas. Alguns autores defendem a separação entre o mundo
matemático e o mundo real. A matematização é vista como uma tradução
de fenómenos reais, pertencentes a uma parte da realidade, para a
Matemática. Neste processo, o modelo matemático e a situação real a ser
modelada são vistos como entidades separadas. Em seguida,
apresentam-se duas propostas nesta linha, a de Haylock (2006) e a de Kerr
e Maki (1979), e os respectivos ciclos de modelação.
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Perceber o papel da modelação matemática
As quatro etapas segundo Haylock
Modelo
matemático
Solução em
linguagem
matemática
Etapa 2 (Resolver)
→
↑
↓
Etapa 1 (Formular)
Problema do
mundo real
←
Etapa 4 (Testar)
Etapa 3 (Interpretar)
Solução no mundo
real
Este ciclo de modelação pode ser empregue desde os primeiros anos do
Ensino Básico. Os modelos matemáticos, tradicionalmente caracterizados
por uma função ou equação, podem ser simplesmente representados por
uma expressão matemática.
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Perceber o papel da modelação matemática
As seis etapas segundo Kerr e Maki
O esquema idealizado por Kerr e Maki (1979) dá particular atenção ao
ambiente de sala de aula, sendo também bastante apropriado para a
introdução de tarefas de modelação nas aulas de Matemática.
1
2
3
4
5
6
Procede-se à identificação do problema do mundo real.
Caso se justifique, o problema é modificado e simplificado com vista a
ser descrito em termos razoavelmente precisos e sucintos (esta
descrição constitui o chamado modelo real).
O modelo real é ainda mais simplificado e apresentado num contexto
que seja interessante e compreensı́vel para os alunos (esta etapa
conduz ao chamado modelo para a sala de aula).
Efectua-se a conversão de aspectos e conceitos do mundo real em
sı́mbolos e representações matemáticas (obtenção do modelo
matemático).
Utilizam-se ferramentas e técnicas matemáticas para se obter
conclusões com base no modelo encontrado.
As conclusões são testadas através da sua confrontação com o mundo
real e é determinada a validade do modelo.
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Perceber o papel da modelação matemática
Se se verificar que o modelo é insuficiente no fornecimento de informações
úteis acerca da realidade, o processo deve ser repetido novamente com o
intuito de melhorar o resultado final.
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Perceber o papel da modelação matemática
Outras perspectivas. . .
Alguns autores, por entenderem a Matemática como uma actividade
humana em constante evolução e reinvenção, encaram o mundo
matemático como integrado no mundo real, pelo que defendem outro tipo
de abordagem.
De acordo com esta visão, o processo de matematização não se efectua
através de uma tradução, mas sim através da reorganização progressiva de
situações reais. Quer o modelo quer a situação real a ser modelada
evoluem, interligando-se ao longo do percurso da actividade de modelação.
Dá-se ênfase aos processos de raciocı́nio e conhecimentos informais,
resultantes da experiência quotidiana dos alunos, como base para os mais
formais. Valoriza-se o emergir do conhecimento de dentro para fora. Este
processo geralmente é designado por processo de modulação emergente.
Lança (2007) defende uma adaptação desta interacção dinâmica
modelo-situação às fases do processo de modelação matemática no
esquema que se segue.
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Perceber o papel da modelação matemática
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Perceber o papel da modelação matemática
Os 10 mandamentos da Modelação Matemática
Apresentam-se, como base de reflexão, algumas vantagens da
implementação do processo de modelação matemática no contexto de sala
de aula.
1. A modelação constitui uma forma de motivar os alunos, que podem
ser persuadidos a aprender Matemática se esta surgir como
ferramenta para a resolução de problemas práticos mais apelativos.
2. Desenvolve a capacidade de reconhecer, compreender, analisar e
avaliar exemplos actuais do uso da Matemática, incluindo a sua
contribuição para a resolução de problemas relevantes na nossa
sociedade.
3. É um meio adequado para o desenvolvimento de competências gerais
dos alunos, estimulando o interesse pela descoberta, a criatividade e a
confiança nas suas próprias capacidades.
4. Desenvolve nos alunos o pensamento crı́tico que lhes permitirá uma
integração na sociedade como cidadãos activos e esclarecidos.
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Perceber o papel da modelação matemática
5. Proporciona aos alunos uma visão representativa e multifacetada da
Matemática, quer como ciência, quer como actividade cultural e
social.
6. Permite a interiorização de conceitos matemáticos, métodos e
resultados.
7. Favorece a construção de uma visão equilibrada do edifı́cio
matemático e põe em destaque a ideia que aprender Matemática é
também aprender a aplicar a Matemática no dia-a-dia.
8. Promove a interdisciplinaridade, constituindo uma forma privilegiada
de estabelecer conexões entre os vários temas matemáticos e entre
estes e as suas aplicações nas diferentes áreas do saber.
9. Proporciona o recurso às novas tecnologias da informação e
comunicação, potenciando novas descobertas e uma compreensão
mais profunda da Matemática.
10. Constitui um caminho promissor para a investigação sobre os
processos de aprendizagem matemática dos alunos.
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Perceber o papel da modelação matemática
GeoGebra: uma tecnologia para o ensino-aprendizagem da
Matemática. . .
O GeoGebra é um software de distribuição livre. Foi criado em 2001 pelo
austrı́aco Markus Hohenwarter. É escrito em Java, o que lhe permite estar
disponı́vel em múltiplas plataformas.
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Perceber o papel da modelação matemática
O GeoGebra é um ambiente de aprendizagem que integra múltiplas
representações dinâmicas, vários domı́nios da matemática e uma rica
variedade de ferramentas de modelação para ser utilizado em ambiente de
sala de aula.
Este software permite relacionar várias representações de um conceito
matemático de forma dinâmica e ganhar, com isso, uma compreensão mais
profunda desse conceito e das suas conexões com outros conceitos,
desenvolvendo assim uma visão mais madura de todo o edifı́cio
matemático.
Em virtude de ser um software gratuito de fácil manuseamento, o
GeoGebra tem atraı́do milhares de utilizadores de todo o mundo, incluindo
matemáticos, professores e educadores.
Através de grupos de trabalho na Web e de conferências locais e
internacionais, uma comunidade internacional de usuários do GeoGebra
tem assumido números cada vez mais significativos. Tem-se verificado uma
discussão alargada sobre a resolução tradicional de problemas em educação
matemática e o desenvolvimento de novas intervenções pedagógicas e
perspectivas teóricas sobre o ensino-aprendizagem da matemática.
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Perceber o papel da modelação matemática
Continuando com o nosso exemplo. . . Generalização da
noção de ângulo
A cada ângulo podemos associar uma amplitude e um sentido.
Convencionou-se que o sentido do movimento dos ponteiros do relógio
corresponde ao sentido negativo e que o sentido contrário ao movimento
dos ponteiros do relógio corresponde ao sentido positivo. Um ângulo ao
qual se atribui um sentido designa-se por ângulo orientado.
Se α é uma das amplitudes, em graus, de um ângulo orientado, então
α + k × 360◦ , k ∈ Z, são também amplitudes de ângulos que têm o
mesmo lado origem e o mesmo lado extremidade.
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Perceber o papel da modelação matemática
Medida de um ângulo
Um grau é a nonagésima parte de um ângulo recto.
Para além do grau, existe uma outra unidade de medida para a amplitude
de um ângulo: o radiano.
Um radiano é a amplitude de um ângulo que define em qualquer
circunferência, com centro no seu vértice, um arco de comprimento igual
ao raio, conforme é ilustrado na seguinte figura:
Dado que o perı́metro de uma circunferência de raio r é 2πr , é imediato
constatar que 360◦ = 2π rad.
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Perceber o papel da modelação matemática
O cı́rculo trigonométrico
Num referencial cartesiano ortogonal e monométrico do plano,
considerem-se o cı́rculo de centro na origem e de raio 1, que se designa
por cı́rculo trigonométrico, e um ângulo α (com vértice na origem e lado
origem coincidente com o semi-eixo positivo dos xx):
O ângulo pertencerá a um dos quatro quadrantes, consoante o lado
extremidade esteja contido num deles.
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Perceber o papel da modelação matemática
As funções trigonométricas no cı́rculo trigonométrico
Designando por P(x,y) o ponto de intersecção do lado extremidade do
ângulo com a circunferência que limita o cı́rculo trigonométrico, tem-se:
y
x
y
sen α = = y ;
cos α = = x;
tg α = .
1
1
x
Assim, o seno e o cosseno são a abcissa e a ordenada, respectivamente, do
ponto P. Se considerarmos o movimento do ponto P ao longo da
circunferência que limita o cı́rculo trigonométrico, obtemos os valores
entre os quais variam o seno, o cosseno e a tangente.
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Perceber o papel da modelação matemática
As funções trigonométricas e os seus gráficos
Dado um ângulo α, existe um e um só valor para sen α, cos α e tg α e
visto que estes valores são números reais, podemos definir as funções
trigonométricos seno, cosseno e tangente como funções reais de variável
real α:
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Perceber o papel da modelação matemática
Actividades de exploração no GeoGebra
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Perceber o papel da modelação matemática
Como reinventar a Matemática na sala de aula?
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Perceber o papel da modelação matemática
Como reinventar a Matemática na sala de aula?
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Perceber o papel da modelação matemática
Vamos modelar as marés!
As funções trigonométricas descrevem o comportamento de muitos
sistemas fı́sicos: estações do ano, fases da Lua, marés, ondas cerebrais,
pulsações cardı́acas, campos electromagnéticos, etc. A caracterı́stica
comum dos fenómenos que são modelados pelas funções trigonométricas é
que são fenómenos periódicos.
As marés são fenómenos cı́clicos e ocorrem aproximadamente de 12 em 12
horas. Numa praia, foi realizado um estudo em que se obtiveram os
resultados apresentados na tabela:
Tempo (h)
0
3
6
9
12
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Nı́vel da água (m)
0
4
0
-4
0
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Perceber o papel da modelação matemática
Vamos tentar encontrar um modelo matemático para o estudo realizado.
Transpondo os dados da tabela anterior para um gráfico, obtém-se uma
surpresa agradável! Utilize o GeoGebra!
A função procurada é da famı́lia
y = a sen[b(x − c)] + d,
com a, b, c, d constantes reais. Da observação do gráfico obtido a partir
dos dados da tabela, podemos deduzir o valor das constantes.
O valor de a corresponde ao valor da amplitude. Neste caso, a amplitude é
de 4 metros.
O valor de c é 0 porque não há nenhuma deslocação do gráfico na
horizontal em relação ao gráfico de y = sen x.
O valor de d é 0 porque não há nenhuma deslocação do gráfico na vertical
em relação ao gráfico de y = sen x.
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Perceber o papel da modelação matemática
Por último, para determinar a constante b é apenas necessário calcular o
perı́odo da função. O perı́odo deste tipo de funções é dado por
2π
,
p=
|b|
π
pelo que obtemos b = .
6
Logo a função que modela esta situação é dada por
π x .
y = 4 sen
6
Trace no GeoGebra o gráfico desta função e compare com os dados da
tabela!
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Perceber o papel da modelação matemática
Actividade de exploração no GeoGebra
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Discutir a organização das aprendizagens na sala de aula
Objectivos desta apresentação
• Exemplificar um percurso de planeamento de tarefas
(inquirição, conexões, percurso hipotético de aprendizagem);
• Perceber o papel da modelação matemática no processo de
aprendizagem (resolução de problemas);
Discutir a organização das aprendizagens na sala de aula
(autonomia, metacognição, comunidade de práticas).
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Discutir a organização das aprendizagens na sala de aula
O contrato didáctico e a matemática
- Quanto é que dá?
- Oito
- Quanto é que dá?
- Aaa... sete
Mais tarde chegam à conclusão que o resultado “oito” é que estava certo e o
aluno queixa-se:
- Mas o professor disse que oito era uma resposta errada!
- Qual é o teu nome?
- Diana
- Qual é o teu nome?
- Diana
- E se eu te perguntasse novamente, respondias outro nome?
Em seguida o professor explica que se a Diana entende que a resposta está
correcta então ela deve manter essa resposta e justificá-la – explicitando normas
sociais e explicando aos alunos o que espera deles.
Gravemeijer, Criar oportunidades para reinventar a matemática
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Discutir a organização das aprendizagens na sala de aula
O contrato didáctico e a matemática
Existe um contrato didáctico que não é mais que um acordo tácito, não
explı́cito que estabelece regras – normas sociais – no contexto da sala de
aula.
Ora, mudar significa também mudar esse contrato.
Estabelecer novas regras no contexto da aprendizagem da matemática –
normas sociais de aprendizagem da matemática (Cobb, Yackel & Wood,
1992):
O que conta como problema matemático?
O que é uma solução?
O que são diferentes soluções?
O que significam soluções menos complexas/mais completas/mais
adequadas?
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Discutir a organização das aprendizagens na sala de aula
Organização das aprendizagens
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Discutir a organização das aprendizagens na sala de aula
Organização das aprendizagens – um exemplo prático do
5o ano de escolaridade
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Referências bibliográficas
Livros e artigos:
Bu, L., & Schoen, R. (Eds.) (2011). Model-Centered Learning:
Pathways to Mathematical Understanding Using GeoGebra. Boston:
Sense Publishers.
Cobb, P., Yackel, E., & Wood, T. (1992). A constructivist alternative
to the representational view of mind in mathematics education.
Journal for Research in Mathematics Education, 23 (1), 2-33.
Crato, N. (2008). Passeio aleatório pela ciência do dia-a-dia. Lisboa:
Gradiva.
Doly, A. M. (1999). Metacognição e mediação na escola. In M.
Grangeat (Coord.), A Metacognição, um apoio ao trabalho dos alunos
(pp. 17-59). Porto: Porto Editora.
Gravemeijer, K. (2004). Creating opportunities for students to reinvent
mathematics. In International Congress on Mathematical Education
10, Copenhagen. Acedido a 20 de fevereiro de 2012, em:
http://www.icme10.dk/proceedings/pages/regular pdf/RL Koeno Gravemeijer.pdf.
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Referências bibliográficas
Haylock, D. (2006). Mathematics Explained for Primary Teachers.
Third Edition. London: Sage Publications.
Kamii, C. (1986). Autonomy vs. heteronomy (Comments on “Three
preschool curriculum models: Academic and social outcomes” by D.
P. Weikart & L. J. Schweinhart). Principal, 66, 68-70.
Kerr, D. R., & Maki, D. (1979). Mathematical Models to Provide
Applications in the Classroom. In S. Sharron, & R. Reys (Eds.),
Applications in School Mathematics (pp. 1-7). Reston, VA: NCTM.
Lança, C. G. (2007). Potencialidades das tarefas de modelação
matemática com recurso a calculadoras gráficas e sensores na
aprendizagem matemática dos alunos. Dissertação de Mestrado,
Departamento de Pedagogia e Educação, Universidade de Évora.
Skovsmose, O. (2000). Cenários para Investigação. Bolema, 14,
66-91. Acedido a 6 de março de 2012, em:
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/textos/skovsmose(Cenarios)00.pdf.
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Referências bibliográficas
Sı́tios na Web:
Brochuras, programas e orientações curriculares do Ministério da
Educação
Associação de Professores de Matemática
Sociedade Portuguesa de Matemática
National Council of Teachers of Mathematics
Página oficial do GeoGebra
Página com tutoriais sobre o GeoGebra
Página do Atractor
Obrigado pela vossa atenção! :-)
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